ASI 3. Méthodes numériques pour l ingénieur. Résolution de systèmes d équation non linéaires

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Edith Lepage
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1 ASI Méthodes nmériqes por l ingénier Résoltion de sstèmes d éqation non linéaires

2 Introdction Comment résodre le sstème sivant? 8 4 Méthodes directes Méthodes itératives

3 Introdction Comment résodre le sstème sivant? cos 8. sin.6 π e Méthodes directes : impossibles Méthodes itératives

4 Résoltion de Soit ne onction : R n R n contine sr... Dérivable sr... Principe : trover ne méthode itérative g qi converge vers la soltion

5 Résoltion de Plsiers méthodes Newton Qasi-Newton sécante, Broden, Point ie Gradient Problèmes? Convergence Compleité

6 lorsqe n Recherche par dichotomie méthode de la séqente méthode de point ie méthode de Newton-Raphson} Assi lorsqe n

7 Recherche dichotomiqe a b < c si c < ε alorson alors a a a sinon si c trové > c sinon si b alorsb c c > Théorème : { p } a b la soltion : c b a cab/ b Mé thode de la dichotomie c soit n la site générée par n N l'algorithme de recherche par dichotomie, soit p la soltion d problème : p a Alors { pn} n N converge vers p avec: b a pn p n n Bonne idée : prendre c à l intersection de la séqente et le l ae des

8 c c a a b b Mé thode de la sé qente Méthode de la séqente a b a b b b c

9 La «asse» bonne idée garder a et b de signe opposé Mé thode de la sé qente Mé thode de la asse position Bonne idée : si on est proche de la soltion : prendre la dérivée

10 a a b b c c Mé thode de Newton-Raphson Méthode de Newton ' ' b b b c a b a b b b c

11 Méthode de Newton En dimension : on considère l'approimation aine : h h h ε h on cherche h tel qe h soit si on néglige les terme en h et ainsi h h '

12 Méthode de Newton Illstration tanhcos -.5 '-tanh cos -tanhsin

13 Méthode de Newton Illstration.5.8 tanhcos - '-tanh cos -tanhsin

14 Méthode de point ie Déinition et le g eemple convergence site de Cach théorème de convergence globale théorème de convergence local théorème d point ie

15 Méthode d point ie Principe général : trover g en onction de telle qe û gûû la site converge si est bien choisi conditions sisantes sr g en dimension g dérivable et g'û < conditions sisantes sr g en dimension n g diérentiable et ρ[ gû] < ρ raon spectral

16 Méthode d point ie Convergence linéaire : il eiste C > tel qe û C û Inconvénient : choi de g de manière algébriqe

17 Méthode d point ie Eemple en dimension résoltion de - choi de g : g / g' -/ g' û - g - / g' / g' û g / / g' /-/ g' û g g g g'û < convergence assrée

18 Méthode d point ie Eemple en dimension résoltion de - choi de g : g / g' -/ g' û - g - / g' / g' û g / / g' /-/ g' û g g g g'û < convergence assrée

19 résmé Dichotomie séqente newton Point ie Mltidimensionnel? Accélération!

20 Accélération de la convergence Déinition : l ordre de la convergence Motivation Déinition d principe de Aiten Théorème de convergence qadratiqe Aiten et Steensen

21 Méthode de Newton En dimension n : ne éqation, n inconnes : n éqations, n inconnes : n n n n L L M O M M O L La matrice jacobienne R R n : n i M M ' ' h h h H h h h ε Le vecter gradient La matrice Hessiène n n R R : ' h h h H h h h ε

22 En dimension n : Méthode de Newton on considère l'approimation aine : on cherche h tel qe h soit h sstème linéaire! : R n R h h n et ainsi h h initialisation sstème linéaire LU itèration

23 Méthode de Newton Théorème : s'il eiste û tel qe û est diérentiable dans n voisinage de û û û est inversible alors il eiste η > tel qe si vériie α û û < η alors la site constrite par la méthode de Newton converge vers û

24 Méthode de Newton Avantage : convergence qadratiqe il eiste C > tel qe û C û Inconvénient : calcl de sovent diicile

25 Eemple cos e

26 Méthodes de Qasi-Newton Comment se passer d calcl de? En dimension : méthode de la sécante En dimension n : le rapport précédent n'a acn sens est n vecter comment approcher? Approimation de / '

27 Méthodes de Qasi-Newton Approimation de par la matrice A A doit vériier A Problème : il eiste ne ininité de A Méthode de Broden : condition spplémentaire : A A - si - - '

28 Méthodes de Qasi-Newton Méthode de Broden : algorithme initialisation de et A diérences inies itération : A s s s s A A A

29 Méthodes de Qasi-Newton Convergence de la méthode de Broden : "sper-linéaire" lim û û moins rapide qe Newton

30 Méthode d point ie Principe général : trover g en onction de telle qe û gûû la site converge si est bien choisi conditions sisantes sr g en dimension g dérivable et g'û < conditions sisantes sr g en dimension n g diérentiable et ρ[ gû] < ρ raon spectral

31 Méthode d point ie Eemple en dimension.6 sin. 8 cos π e..6 sin 9 6 cos π e,,, g g g,,,,,,

32 Méthode d point ie Eemple en dimension.6 sin. 8 cos π e..6 sin 9 6 cos π e,,, g g g,,,,,,

33 Méthode d point ie Eemple en dimension site valers initiales. ;. ; -. convergence vers.5 ;. ; -.56 résltat théoriqe:.5 ;. ; -π/6..6 sin 9 6 cos π e

34 Méthode d point ie Comment essaer d'accélérer la convergence remplacer les valers par lers "dernières" estimations c. Gass-Siedel por les sstèmes linéaires eemple : 9 cos sin e 6.6 π.

35 Conclsion Méthodes Newton : inconvénient calcl des dérivées avantage convergence qadratiqe Qasi-Newton : inconvénient convergence sper-linéaire avantage pls de calcl des dérivées Point Fie : inconvénient convergence linéaire inconvénient choi de g Problème général : initialisation de la site!

36 TD Implémenter en Matlab : Newton, Broden, point ie Gass Siedel por les problèmes sivants : cos 8. sin.6 π e sin log e 7 5 comparer le temps de convergence por n même seil

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