( n) 1. Présentation générale ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) GI Mathématiques. 1.1 Notion d équation différentielle ) ( )

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1 . Présentation générale. Notion d équation différentielle ( ( n ),,,,..., n, ) F = 0. Définitions ORDRE degré maimal de dérivation LINEAIRE Dans chaque terme, (ou une de ses dérivées) intervient une fois, à la puissance un.... a a a a f ( n) n = E HOMOGENE... ( n) a0 + a + a + + an = 0 EH à coefficients constants ( n) a0 + a + a an = f E

2 . Présentation générale d 4 0 d + = 4 + = 0. ordre linéaire NON NON linéaire homogène coefs constants non oui = 4 OUI NON OUI = 0 OUI OUI OUI + 5 = cos d.ln d + 3 = 0 OUI OUI NON NON OUI NON

3 . ED Linéaires, ordre. A coefficient constant * Equation homogène séparation des variables + a = f ( E) + a = 0 ( EH). ( E) + A = f. d d d + a = 0 + a = 0 = a d = a. d = a. d d d d + On intègre : = a. d + K ln = a + K = e = e e (K, réel quelconque ; e K, réel strictement positif quelconque) D où les solutions de l équation différentielle : = C.e a (C réel quelconque) a K a K

4 . ED Linéaires, ordre. A coefficient constant * Equation avec d membre + a = f ( E). ( E) + A = f. Résoudre (EH) (dont la solution générale sera notée H ). Trouver une solution particulière de l équation (E) (notée P ) Solution générale de (E) : = H + P schéma valable pour toute ED linéaire dans ce chapitre vu précédemment deu méthodes : * l identification * la variation de la constante à une forme donnée en reprenant H

5 . ED Linéaires, ordre. A coefficient constant + a = f ( E) Eemple : + = + 3 = 0 EH = Ce. ( E) + A = f 3 6 E. 3. identification P = a²+b+c a + b + 3(a² + b + c) = 6² - 3a² + (3b+a) + 3c + b = 6² - 4 a = ; b = ; c = 3 9 H variation de la constante = C 3 P e C C + C. e 3. e 3. e = 6 3 C = ( 6 ) e double intégration par parties = ( 4 + ) C e 3 9 3

6 5.. Cas général. ED Linéaires, ordre Eemple : d d + = 3 + E. ( E) + A = f. par séparation. C + = 0 ( EH) variation de la constante : des variables P = d d d + d = 0 = C ( ) C + = 3 + C. C C C + = 3 + ln = ln + K H = C = 3 + C = + C = H + P = + + 3

7 3. ED linéaires du d ordre 3. Se ramenant au er ordre 3.. De la forme f ( ),, = 0 Poser z= Eemple : = ( E) ( E) z H : z z 0 ( EH) z z = ED linéaire du er ordre dz d = = zh = λ z E λ λ λ λ λ zp z P : ( + ) = = = ln = ln = ( C ln ) + K

8 3. ED linéaires du d ordre 3. Se ramenant au er ordre 3.. De la forme f,, = 0 Poser p() = Eemple : ( ) = ( E) dp dp d = = d d d ( ) p ( ) = p = p p = pp p ( ) = ou p= 0 : = K p dp d = p p = λ = λ = Ke λ si λ= 0

9 3. ED linéaires du d ordre 3. Se ramenant au er ordre 3.. De la forme f,, = 0 Poser p() = = pp p p = 0 p ( ) p Eemple : = 0 ( E) = p ( ) = + k = + k

10 3. ED linéaires du d ordre 3. A coefficients constants a + b + c = f Solution générale de (E): = H + P 3.. Equation homogène Racinesdu polnôme caractéristique: ar² + br+ c r H = Ae + Be > 0 : réels r et r r ( E) 8. < 0 : r et r = α ± iβ = e α ( Acos β + B sin β ) = 0 : réel r 9. = ( A + B) H 6. H e r

11 3. ED linéaires du d ordre 3. A coefficients constants a + b + c = f ( E) Equation complète identification Eemple : ( + = e + ) ( E) H : H = ( A + B) e P : = p e = ( p + p) e = ( p + p + p) P P P e ( E) ( p + p + p) e ( p + p) e + pe = e ( + ) p = + p = e = + + A + B

12 3. ED linéaires du d ordre 3. A coefficients constants a + b + c = f ( E). 3.. Equation complète variation des constantes Eemple : + = tan ( E ) H : = Acos + B sin H P : = cos + P A B sin A cos + B sin = 0 P = Asin + B cos = A sin + B cos Acos B sin P ( E) A sin + B cos = tan + sin = A ln cos + B sin sin

13 4. Autres ED du er ordre 4. ED à variables séparables Eemple + = 0 ( E). = P Q. séparation d+ d= 0 d= -d intégration d = d + K = + K relation + = C

14 4. Autres ED du er ordre 4. ED à variables séparables. = P Q Eemple = 3. séparation d= /.d intégration = ln + K relation = ± ln + K

15 4. Autres ED du er ordre 4. ED dont le er membre est une différentielle U (, ) + U (, ). = 0 Eemple = U U d + d = 0 4. d d 0 + = U = ssi U = + + f ( ) U = + f ( ) f ( ) 0 = U = + + K + = C 3 = C du = 0

16 4.3 ED homogènes Autres ED du er ordre paramètre On pose t = = t d =. dt + t. d Eemple d d ( ) = ( E ) = f t remplacement = t t d t différentielle dt + td = d séparation = d t t t t C intégration ln = ln t t + K = t t C C relation = et = t t t

17 4. Autres ED du er ordre 4.3 ED homogènes coordonnées polaires = f = r cosθ d = f f r sin = = θ d ( tanθ ) d = cos θ. dr r sin θ. dθ d = sin θ. dr + r cos θ. dθ dr r = g f f ( θ ) dθ = tanθ sinθ + cosθ d θ tanθ cosθ sinθ

18 4. Autres ED du er ordre 4.3 ED homogènes coordonnées polaires = f 6. ( E) Eemple ( ) ( + ) = 0 ( E) + cosθ + sinθ = = cosθ sinθ sin θ. dr + r cos θ. dθ cosθ + sinθ = cos θ. dr r sin θ. dθ cosθ sinθ d = cos θ. dr r sin θ. dθ et d = sin θ. dr + r cos θ. dθ ( sc s ) r ( rc rsc) θ ( c sc) r ( rsc rs ) d + d = + d + dθ dr dr + rdθ = 0 dr = rdθ = dθ r r = λe θ

19 4. Autres ED du er ordre 4.4 ED de Bernoulli 7. Eemple n + P. + Q. = 0 + = 0 E n= u = d = du u E u + 0 = u u u séparation des variables C uh = variation de la constante up = e u n u + u = = = u C u = n Q + up = e +

20 4.5 ED de Riccati Eemple Autres ED du er ordre = + u = ( P + ) + = A + B + C P = + 3 ( E) u = + = + u u E u + u = 0 u A B. u A. u P = ED de Bernoulli précédemment résolue u = C e + u = P + = + C e +