ln 1 f x 1 ln x 1 2x 1 x lorsque x varie EXERCICE 5A.1 Soit la fonction définie sur ]0 ; + [ par : 1. On admet que : et lim f x

Transcription

1 LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES 5A EXERCICE 5A. Soit la fonction défini sur ]0 ; +[ par : ln f. a. Calculr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. b. En déduir qu C, la courb rprésntativ d f, admt un asymptot (d) dont on précisra l équation.. a. Montrr qu C, la courb rprésntativ d f, admt la droit (Δ) d équation y = + pour asymptot n +. b. Etudir la position d C par rapport à (Δ). 3. a. Calculr la fonction dérivé d f. b. On admt qu st strictmnt positiv sur ]0 ; +[. En déduir l sns d variation d f.. Dans un rpèr orthonormé (unité : cm), tracr C, (Δ), t (d). EXERCICE 5A. Soit la fonction défini sur ] ; +[ par : f ln. a. Calculr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. b. En déduir qu C, la courb rprésntativ d f, admt un asymptot (d) dont on précisra l équation.. a. Montrr qu C, la courb rprésntativ d f, admt la droit (Δ) d équation y = pour asymptot n +. b. Etudir la position d C par rapport à (Δ). 3. a. Calculr la fonction dérivé d f. b. Etudir l sign d. c. En déduir l sns d variation d f.. Dans un rpèr orthonormé (unité : cm), tracr C, (Δ), t (d), ainsi qu la tangnt à la courb au point. EXERCICE 5A.3 - BTS 005 Soit f la fonction défini sur ]- ; +[ par : f ln Sa courb rprésntativ C dans un rpèr orthonormal st donné ci-dssous : 0. On admt qu : lim f t lim f 0. Qu put-on n déduir pour la courb C.. a. Démontrr qu pour tout d ]- ; +[, ln f b. Résoudr l inéquation En déduir l sign d f ' ln 0. dans ]- ; +[. c. Etablir l tablau d variation d f. EXERCICE 5A. - BAC 009 Parti A Soit la fonction défini sur ]0 ; +[ par : lorsqu vari g ln. Montrr qu : g. a. Etudir l sign d g sur ]0 ; +[. b. Calculr g c. Drssr l tablau d variation d g sur ]0 ; +[ (sans ls limits). 3. En déduir qu pour tout d ]0 ; +[, g() st strictmnt positif. Parti B Soit la fonction défini sur ]0 ; +[ par : ln f 3 On appll C sa courb dans l rpèr orthogonal (O, I, J) (unités : cm n abscisss, cm n ordonnés).. Etudir la limit d f n 0. En déduir qu C admt un asymptot qu l on précisra.. Etudir la limit d f n + t démontrr qu la droit (Δ) d équation y = 3 st asymptot à C n Montrr qu pour tout strictmnt positif : ()= g() ² En déduir l sign d () sur ]0 ; +[.. Drssr l tablau d variation d f. 5. Soit A t B ls points d C d abscisss rspctivs t. a. Donn ls valurs arrondis au cntièm ds coordonnés d A t B. b. En déduir qu f st positiv sur [ ; ]. 6. Tracr la droit (Δ), la courb C t placr A t B. 7. a. Démontrr qu au point A, la courb C admt un tangnt parallèl à (Δ). b. L point A st-il l sul point d C admttant un tangnt parallèl à (Δ)?

2 LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES 5A CORRIGE NOTRE DAME DE LA MERCI MONTPELLIER EXERCICE 5A. Soit la fonction défini sur 0; par : ln f. a. Limits d f au borns d son nsmbl d définition : lim t ln lim 0 Par somm : lim f lim 0 t ln lim 0 Par somm : lim f 0 b. La courb rprésntativ d f, admt un asymptot vrtical (d) d équation : y = 0.. a. ln ln f ln lim 0 donc lim f 0 C, la courb rprésntativ d f, admt la droit (Δ) d équation y = + pour asymptot n +. b. Position d C par rapport à (Δ) : ; : ln 0 donc C st au-dssus d (Δ) 0; : ln 0 donc C st au-dssous d (Δ) 3. a. f st dérivabl n tant qu somm t quotint d fonction logarithm t polynômial. ln 0; : f ' ln ln f ' b. On admt qu st strictmnt positiv sur ]0 ; +[ donc la fonction f st strictmnt croissant sur 0;.. EXERCICE 5A. Soit la fonction défini sur ; par : f ln ln ln. a. Limits d f au borns d son nsmbl d définition : lim ; lim ; lim ln 0 Par somm : lim f lim ; lim 0 ; lim ln Par somm : lim f b. La courb rprésntativ d f, admt un asymptot vrtical (d) d équation : =.. a. f f ln ln lim ln lim 0 La courb rprésntativ d f, admt la droit (Δ) d équation y = pour asymptot obliqu n +. b. Position d C par rapport à (Δ) : ln 0 ln ln : IMPOSSIBLE ; : ln 0 : C st au-dssous d (Δ) 3. a. f st dérivabl n tant qu somm t quotint d fonction logarithm t polynômial. ; : f b. ; : 0 t 0 donc ; : 0

3 LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES 5A c. Ainsi ;, la fonction f st croissant.. Tangnt à la courb au point : T : y f ' f 6 f 6 3 f ln ln ln T : y ln 3 ln T : y ln EXERCICE 5A.3 - BTS 005 Soit f la fonction défini sur ; par : ln f Sa courb rprésntativ C dans un rpèr orthonormal st donné ci-dssous : 0. On admt qu : lim f t lim f 0. La courb C admt du asymptots, l un horizontal d équation y = 0 t un vrtical d équation =.. a. f st dérivabl n tant qu quotint d fonction logarithm t polynômial. ; : ln f ' ln ln f ' b. ln 0 ln ln ; : f ' 0 ; : f ' 0 c. Tablau d variation d f. ln ln f ln f ln ln f 0 EXERCICE 5A. - BAC 009 Parti A Soit la fonction défini sur 0; par : ln g. g st dérivabl n tant qu somm d fonctions logarithm t polynômial : 0; : g g

4 LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES 5A : 0 t 0. a. 0; 0 0; g 0 : ; : g 0 b. g ln ln g 3 ln ln c. Drssr l tablau d variation d g sur ]0 ; +[ (sans ls limits). 0 g 0 + g,5 ln 3. g 0 t lim g 0 0; g st continu t strictmnt décroissan- -t, d après l théorèm d la bijction, g n s annul pas sur 0;. ln lim ln lim ln ln Or lim 0 donc lim Donc par somm t produit : lim g ; g st continu t strictmnt croissan- -t, d après l théorèm d la bijction, g n s annul pas sur ;. 0; : g() st strictmnt positif. DONC Parti B Soit la fonction défini sur 0; par : ln f 3 On appll C sa courb dans l rpèr orthogonal (O, I, J) (unités : cm n abscisss, cm n ordonnés). ln. lim 0 t lim Donc par somm : lim g 0 C admt un asymptot d équation : = 0. ln. lim 0 t lim 3 Par somm : lim g ln lim g 3 lim 0 Donc la droit (Δ) d équation y = 3 st asymptot à C n f st dérivabl n tant qu somm t quotint d fonction logarithm t polynômial. ln 0; : ln g 0; : 0 0 Or g donc. Tablau d variation d f : 0 + f 5. Soit A t B ls points d C d abscisss rspctivs t. ln 3 a. f 3 ln ln f A ; t B ; B,65;0,60 A,7;,80 t (valurs arrondis au cntièm).

5 LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES 5A b. f 0 t f st continu t strictmnt croissant sur ;. Donc f st positiv sur ;. 6. Tracr la droit (Δ), la courb C t placr A t B. 7. a. f ln Or la droit (Δ) a pour équation y = 3 Donc au point A, la courb C admt un tangnt parallèl à (Δ) : ln ln ln 0 ln b. f L point A st l sul point d C admttant un tangnt parallèl à (Δ).