Barycentres. Chapitre 6. 1/ Barycentre de deux points. a) Définition. On se place dans le plan ou dans l espace.

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1 Chapitre 6 Barycentres On se place dans le plan ou dans l espace. 1/ Barycentre de deux points a) Définition Théorème et définition SoientAetB deux points quelconques,αet deux réels. Il existe un unique pointgdu plan tel queα GA + GB si et seulement siα+ 0. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés (A,α); (B,). On note G = Bar{(A,α) ; (B,)}. Quels que soientαet : α GA + GB α GA +( GA + AB ) α GA + GA + AB (α +) GA = AB (α +) AG = AB 1/ Siα + 0 alors l équation équivaut à AG = AB. α + Le pointgexiste et est unique. 2/ Siα + = 0 alors l équation équivaut à AB. Cette n équation n admet pas de solution sia B et 0 et en admet une infinité sia =B ou= 0. Exemple : Deux pointsaetb étant donnés, placerg = Bar{(A, 2) ; (B, 1)}. G = Bar{(A, 2) ; (B, 1)} 2 GA + GB 2 GA + GA + AB 3 AG = AB AG = 1 AB 3 A G B

2 Barycentres 33 b) s Dans tout le paragraphe,aetb sont deux points quelconques,αet deux réels tels que α + 0 etg = Bar{(A,α) ; (B,)} Homogénéité Soitk un réel. Sik 0 alorsg = Bar{(A,kα) ; (B,k)}. Sik 0 alors : G = Bar{(A,α) ; (B,)} α GA + GB k(α GA + GB ) =k 0 kα GA +k GB G=Bar{(A,kα) ; (B,k)} Exemple : Démontrer que l on peut exprimergcomme barycentre deaetbde telle façon que la somme des coefficients soit égale à 1. {( )( 1 SiG = Bar{(A,α) ; (B,)} alorsg = Bar A, α + α ; B, {( )( )} α α On a ainsig = Bar A, ; B, avec α + α + α + + Position du barycentre )} 1 α + carα + 0. α + = 1 SiAetB sont distincts alorsg (AB). Autrement dit,a,b etgsont alignés. Si, de plus,αet sont de même signe alorsg [AB]. G = Bar{(A,α) ; (B,)} α GA + GB Les vecteurs GA et GB sont donc colinéaires etg,aetb sont alignés. De plus, on a obtenu au cours de la première démonstration le résultat suivant : AG = AB α + or siαet sont de même signe alors est positif et inférieur à 1. α + AinsiG [AB]. Réciproquement, sia B, tout point de la droite (AB) est le barycentre deaetb affectés de coefficients bien choisis. SiM (AB) alors AM et AB sont colinéaires donc il existe un réelktel que AM =k AB. On a alors : AM =k AB AM k AB AM k( AM + MB ) AM k AM k MB (k 1) MA k MB De plus,k 1 k = 1 0 doncm = Bar{(A,k 1) ; (B, k)}.

3 34 Chapitre 6 Isobarycentre Siα =, alorsgest appelé isobarycentre deaetb.gest alors le milieu du segment [AB]. immédiate Réduction vectorielle Quel que soit le pointm,α MA + MB = (α +) MG. Quel que soit le pointm, α MA + MB =α( MG + GA) +( MG + GB ) =α MG +α GA + MG + GB = (α +) MG +α GA + GB = (α +) MG }{{} Exemple : SoitG = Bar{(A, 2) ; (B, 5)}. Exprimer AG en fonction de AB. L égalité précédente pourm =A donne 5 AB = 7 AG. On a donc 5 AG = AB. 7 c) Coordonnées du barycentre Soit (O; ı, j ) un repère du plan. SoitA(x ( A ;y A ) etb(x B ;y B ). αxa +x B SiG = Bar{(A,α) ; (B,)} alorsg ; αy ) A +y B α + α + Dans un repère de l espace, il suffit de faire le même calcul sur la troisième coordonnée. Quel que soit le pointm, on aα MA + MB = (α +) MG. Cette égalité est donc valable en particulier pour M = O. On a doncα OA + OB = (α +) OG soit OG = α OA + OB α + α + Les coordonnées de ( ) xa OA sont et les coordonnées de ( ) xb OB sont. y A y B On en déduit que les coordonnées de ( α α+ OG sont x A + α+ x ) B = α α+ y A + α+ y B ( αxa +x B α+ αy A +y B α+ Exemple : Dans un repère du plan, on aa(3; 2) etb( 1; 4). Déterminer les coordonnées degbarycentre de (A, 2); (B, 3). On a : ( 2 Ainsi G 5 ; 8 5) x G = y G = 2 xa + 3 xb ya + 3 yb = ( 1) = ( 2) = = ).

4 Barycentres 35 2/ Barycentre de trois points Les définitions et propriétés du paragraphe précédent s étendent au cas de trois points pondérés. a) Définition Théorème et définition SoientA,B etc trois points quelconques,α, etγ trois réels. Il existe un unique pointgdu plan tel queα GA + GB +γ GC si et seulement siα + +γ 0. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés (A,α); (B,); (C,γ). On noteg = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} Quels que soientα, etγ : α GA + GB +γ GC α GA +( GA + AB ) +γ( GA + AC ) α GA + GA + AB +γ GA +γ AC (α + +γ) GA = AB γ AC (α + +γ) AG = AB +γ AC 1/ Siα + +γ 0 alors l équation équivaut à γ AG = AB + AC α + +γ α + +γ Le pointgexiste et est unique. 2/ Siα + +γ = 0 alors l équation équivaut à AB +γ AC. Cette n équation n admet pas de solution si AB +γ AC 0 et en admet une infinité si AB +γ AC. b) Associativité du barycentre SoientA,B etc trois points,α, etγ trois réels tels queα + +γ 0 etα + 0. { G = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} Si alors G = Bar{(H,α +) ; (C,γ)} H = Bar{(A,α) ; (B,)}

5 36 Chapitre 6 { G = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} Supposons que H = Bar{(A,α) ; (B,)} On a alors : (α +) GH +γ GC =α GH + GH +γ GC =α GA +α AH + GB + BH +γ GC =α GA + GB +γ GC +α AH + BH }{{}}{{} Conclusion : G = Bar{(H,α +) ; (C,γ)} Exemple : Trois pointsa,b etc étant donnés, placerg = Bar{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 2)}. PosonsH= Bar{(A, 1) ; (B, 1)}.H est donc le milieu de [AB]. D après la propriété d associativité, G = Bar{(H, 2) ; (C, 2)}. G est donc le milieu de [CH]. C G c) s Dans tout le paragraphe, A, B et C sont trois points quelconques, α, et γ trois réels tels queα + +γ 0 etg = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} Homogénéité Soitk un réel. Sik 0 alorsg = Bar{(A,kα) ; (B,k) ; (C,kγ)}. A H B Sik 0 alors : G = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} α GA + GB +γ GC k(α GA + GB +γ GC ) =k 0 kα GA +k GB +kγ GC G=Bar{(A,kα) ; (B,k) ; (C,kγ)} Position du barycentre SiA,B etc ne sont pas alignés alorsg (ABC). Autrement dit,a,b,c etgsont coplanaires. G = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} α GA + GB +γ GC Les vecteurs GA, GB et GC sont donc coplanaires. Ainsi les pointsa,b,c etg sont coplanaires.

6 Barycentres 37 Réciproquement, sia,b etc ne sont pas alignés, alors tout point du plan (ABC) est le barycentre dea,b etc affectés de coefficients bien choisis. SiM (ABC) alors il existe des réelsketk tel que : AM =k AB +k AC =k AM +k MB +k AM +k MC On a alors (1 k k ) MA +k MB +k MC doncm = Bar{(A, 1 k k ) ; (B,k) ; (C,k )}. Isobarycentre Siα= =γ, alorsgest appelé isobarycentre dea,b etc.gest alors le centre de gravité du triangle ABC. SoientI le milieu de [BC] etj le milieu de [AC]. On a alorsi= Bar{(B, 1) ; (C, 1)} etj = Bar{(A, 1) ; (C, 1)}. D après la propriété d associativité, on a, d une part, G = Bar{(I, 2) ; (A, 1)} donc G (AI) et, d autre part,g = Bar{(J, 2) ; (B, 1)} doncg (BJ). G appartient donc à deux médianes deabc. G est le centre de gravité deabc. Réduction vectorielle Quel que soit le pointm,α MA + MB +γ MC = (α + +γ) MG. Quel que soit le pointm, α MA + MB +γ MC =α( MG + GA) +( MG + GB ) +γ( MG + GC ) =α MG +α GA + MG + GB +γ MG +γ GC = (α + +γ) MG +α GA + GB +γ GC }{{} = (α + +γ) MG d) Coordonnées du barycentre Soit (O; ı, j ) un repère du plan. SoitA(x ( A ;y A ),B(x B ;y B ) etc(x C ;y C ). αxa +x B +γx C SiG = Bar{(A,α) ; (B,) ; (C,γ)} alorsg ; αy ) A +y B +γy C α + +γ α + +γ Dans un repère de l espace, il suffit de faire le même calcul sur la troisième coordonnée. La démonstration est identique au cas de deux points.

7 38 Chapitre 6 Exemple : Dans un repère du plan, on aa(2; 1),B(0; 3) etc( 2; 0). Déterminer les coordonnées deg barycentre de (A, 1); (B, 3); (C, 2). On a : xa + 3 xb 2 xc x G = = ( 2) = ya + 3 yb 2 yc y G = = = Ainsi G(3; 4) 3/ Barycentre d un nombre quelconque de points Toutes les définitions et propriétés précédentes se généralisent à n points pondérés. SoientA 1,A 2,...,A n n points eta 1,a 2,...,a n n réels. Il existe un unique pointgtel quea 1 GA 1 +a 2 GA 2 + +a n GA n si et seulement sia 1 +a 2 + a n 0. Ce point est appelé barycentre desnpoints pondérés (A 1,a 1 ); (A 2,a 2 );... ; (A n,a n ). Règle d associativité : Pour trouver le barycentreg, denpoints, lorsquen 3, on peut remplacerppoints, pris parmi lesnpoints, par leur barycentre (s il existe) affecté de la somme de leurs coefficients. Soitk 0. G = Bar(A 1,a 1 ), (A 2,a 2 ),..., (A n,a n ) G=Bar(A 1,ka 1 ), (A 2,ka 2 ),..., (A n,ka n ). Autrement dit, on ne change pas le barycentre en changeant les coefficients par des coefficients proportionnels. Sia 1 =a 2 = =a n 0 alorsgest appelé isobarycentre desnpointsa 1,A 2,...,A n. Pour tout pointm, a 1 MA 1 +a 2 MA 2 + +a n MA n = (a 1 +a 2 + +a n ) MG Dans un repère, le barycentre denpoints pondérés a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des n points pondérés par les n coefficients. Dans le cas d un repère du plan, on obtient : x G = a 1x A1 +a 2 x A2 + +a n x An a 1 +a 2 + +a n y G = a 1y A1 +a 2 y A2 + +a n y An a 1 +a 2 + +a n