Fonctions dérivées. Échauffez-vous! est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2].

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1 4 Fonctions dérivées Échauffez-vous! est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ ; ]. et sont les tangentes à au points d abscisses et. Les tangentes et à au points d abscisses et sont parallèles à l ae des abscisses Cochez la case correspondant à la réponse eacte. a) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est : 9 On en déduit que le nombre dérivé f 9( ) de f en est : 9 b) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est : 9 On en déduit que le nombre dérivé f 9() de f en est : 9 c) Le nombre dérivé de f en et en est : 9 Reliez chaque tangente à son équation. y = y = y = + y = y Aide Nombre dérivé de f en A C est le coefficient directeur de la tangente au point A, d abscisse A, à la courbe représentative de f. Il est noté f9( A )

2 Fonctions dérivables, dérivées. Connaître les dérivées des fonctions usuelles Une fonction f, définie sur un intervalle I, est dérivable sur I lorsqu elle admet en tout de I un nombre dérivé, f 9(). On appelle alors dérivée de f la fonction, notée f 9, qui, à tout de I, associe le nombre dérivé f 9(). Les fonctions usuelles sont dérivables. Les intervalles sur lesquels elles sont dérivables, ainsi que leurs dérivées, sont donnés dans le tableau suivant : Fonction définie sur : Epression de la fonction : f() = a + b Fonction dérivable sur : Epression de la dérivée : f 9() = a R f() = b (constante) R f 9() = c() = c9() = ] ; + [ ou ] ; [ q() = q9() = s() = ] ; + [ ou ] ; [ s9() = [ ; + [ r() = ] ; + [ r9() = Activité. Complétez. (Utilisez le tableau précédent.) a) c9( ) = 6 ; c9( ) = ; c9() = ; c9() = ; c9() = 6. b) q9( ) = 7 ; q9( ) = ; q9() = ; q9() = ; q9() = 7. c) s9( ) = 4 ; s9( ) = ; s9(,5) = 4 ; s9() = ; s9() = 4. d) r9(,6) =,5 ; r9() =,5 ; r9(4) =,5 ; r9(5) =,.. Pour chaque cas, en utilisant la question., donnez deu nombres et pour lesquels : a) q9( ) = q9( ) ; = ; =. b) c9( ) = c9( ) ; = ; =. c) s9( ) = 4s9( ) ; =,5 ; =.. On note t c, t q, t s et t r les tangentes respectives au courbes représentatives des fonctions c, q, s et r, au point d abscisse. Reliez chaque tangente à son coefficient directeur. (Utilisez la question..) t c t q t s t r,5 56 5

3 . Comment déterminer l équation réduite de la tangente en un point à la courbe représentative d une fonction? Méthode On veut déterminer l équation réduite de la tangente à la courbe représentative d une fonction f au point A, d abscisse A. Étape Calculer f 9( A ). Étape Écrire l équation réduite sous la forme y = f 9( A ) + b. Étape Calculer f( A ), puis résoudre l équation f 9( A ) A + b = f( A ), d inconnue b, et écrire l équation réduite de la tangente. Étape 4 Contrôler le résultat en réalisant un tracé sur écran de calculatrice.. Soit s la fonction définie sur [ ; ] par s() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de s au point d abscisse. Solution Étape s9() =. Ainsi, s9() = 4. Étape L équation réduite de la tangente est donc de la forme y = 4 + b. Étape s() =. On résout l équation 4 + b =, d inconnue b, pour obtenir b =. L équation réduite de est donc y = 4 +. Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente.. Soit r la fonction définie sur [ ; ] par r() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de r au point d abscisse. Solution Étape r () =. Ainsi, r () =. Étape L équation réduite de est de la forme y = + b. Étape r() =. On résout l'équation = + b, d inconnue b. On obtient b =. L équation réduite de est donc y = +. Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente.,5,5,5,5,5 5 chapitre 4 Fonctions dérivées 5 57

4 Opérations sur les dérivées. Connaître la dérivée d une somme ou d une différence, du produit par un nombre réel On considère une fonction f, définie sur un intervalle I. Le tableau suivant donne des égalités permettant de calculer des dérivées. u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I Si f() s écrit alors f est dérivable sur I et f 9() est égal à Somme u + v f() = u() + v() f 9() = u9() + v9() Différence u v f() = u() v() f 9() = u9() v9() Produit ku par un nombre réel k f() = ku() f 9() = ku9() Activité Soit u et v les fonctions définies sur [ ;,7] par u() = et v() = +,5.. a) Rayez les encadrés ineacts. u9() = / /, donc u9() = / / et u9() = / 4 /. v9() =,5 / /, donc v9() =,5 / / et v9() =,5 / /. b) Complétez. u9() + v9() = ; u9() + v9() =.. Rayez les encadrés ineacts. a) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative de la fonction f définie sur [ ;,7] par f () = u() + v() = +,5 et de ses tangentes et au points d abscisses et. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de, on constate que f 9() = / /,5 / et que f 9() = / /,5 /. b) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative de la fonction f définie sur [ ;,7] par f () =,5u() =,5 et de ses tangentes et au points d abscisses et. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de, on constate que f 9() = / / / et que f 9() = / / /.. a) Complétez avec l un des signes «=» ou. (Utilisez. et..) f 9() = u9() + v9() et f 9() = u9() + v9(). f 9() =,5u9() et f 9() =,5u9(). b) Rayez l encadré ineact. Pour les fonctions u et v précédentes et pour = et =, on vient de vérifier les re / e / e égalités de l encadré. y,5,5,5,5,5 y,5,5,5,5,5 58 5

5 . Comment déterminer la dérivée d une fonction f? Méthode Étape On identifie la forme de f() : somme u() + v(), différence u() v(), produit ku(), combinaison des trois (où u et v sont des fonctions usuelles). Étape On calcule les dérivées de chacun des éléments formant f() : u9(), v9(),, avec les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (voir p. 56). Étape On calcule f 9(), avec les résultats des opérations sur les dérivées (voir p. 58), puis on simplifie l écriture de la dérivée obtenue, si nécessaire.. Soit f la fonction définie sur [ ; 6] par f() = 5. Calculez f 9().. Soit g la fonction définie sur [,5 ; 4] par g() = Calculez g9().. Soit h la fonction définie sur ] ; 5] par h() = +. Calculez h9(). Solution. Étape f() s écrit ku(), avec k = 5 et u() =. Étape On utilise le résultat sur la dérivée de la fonction usuelle «cube» : u9() =. Étape On utilise le résultat sur le produit par un nombre réel : f 9() = ku9() = 5 = 5.. Étape g() s écrit k u() + k v() w(), avec k = 4, k =, u() =, v() = et w() = 5. Étape On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube», «carré» et «constante») : u9() =, v9() = et w9() =. Étape On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme et la différence : g9() = k u9() + k v9() w9() = + 4 = Étape h() s écrit k u() + k v(), avec k =, k =, u() = et v() =. Étape On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube» et «inverse») : u9() = et v9() =. Étape On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme : h9() = chapitre 4 Fonctions dérivées 54 59

6 Sens de variation et etremums d une fonction. Déterminer le sens de variation avec le signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et J un intervalle inclus dans I. Si, pour tout de J, f 9(), alors f est strictement croissante sur J. Si, pour tout de J, f 9(), alors f est strictement décroissante sur J. Activité Soit f la fonction définie sur [ ; 4] par f() = Rayez l encadré ineact. a) f 9() est égal à : / b) La solution de l équation f 9() = est :,5 /,5. c) Le tableau de signe de f () est : d) Le tableau de variation de f est :,5 4,5 4 f 9() + f 9() +,5 4,5 4 f 9() + f 9() ,5 7, Tracez la courbe représentative de f sur calculatrice et contrôlez les résultats précédents.. Visualiser ce qu est un etremum d une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Lorsque, dans l intervalle I, autour d un nombre, le tableau de variation de f se présente sous l une des formes suivantes, on dit que f a un etremum en. f 9() + f 9() + f( ) f( ) Minimum en, égal à f( ) Maimum en, égal à f( ) Activité Rayez l encadré ineact.. Le tableau de variation la fonction f de l activité permet d affirmer qu elle a un etremum en,5. Il s agit d un minimum / maimum, égal à 7,5.. Un tracé de la courbe et le tableau de variation, autour de, de la fonction cube q, définie par q() = sont donnés ci-contre. Cet eemple permet d affirmer que lorsque la dérivée d une fonction est nulle pour un nombre, elle a / n a pas forcément un etremum en. q9() + + q () 6 55

7 . Comment étudier le sens de variation d une fonction f et déterminer ses éventuels etremums? Méthode Étape Calculer f 9(). Étape Étudier le signe de f 9(), en résolvant s il y a lieu l équation f 9() =. Étape Déduire du signe de f 9() le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f. (Le contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 Lire dans ce tableau de variation les éventuels etremums de f. Soit f la fonction définie sur [, ; 4] par f() = + 4. Étudiez le sens de variation de f et dressez son tableau de variation, puis déterminez ses etremums. Solution Étape f() s écrit u() + kv(), avec u() =, k = 4 et v() =. On a u9() = et v9() =, donc f 9() = 4. Étape On étudie le signe de f 9() ; pour cela on factorise : 4 = 4 ( + ) ( ) =. + Pour appartenant à [, ; 4], puisque, f 9() a le signe de, d où son tableau de signe :, 4 + f 9() + Étape D après le tableau de signe précédent : pour appartenant à [, ; [, f 9() <, donc f est strictement décroissante sur [, ; [ ; pour appartenant à ] ; 4], f 9() >, donc f est strictement croissante sur ] ; 4]., 4 f 9() + 4, 5 4 (Tableau à contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 fonction a un minimum en, égal à chapitre 4 Fonctions dérivées 56 6

8 . f () =. f () =,5 et f() =,5. L équation de la tangente est de la forme y =,5 + b ; on résout alors l équation d inconnue b :,5 =,5 + b, soit b =. Ainsi, : y =,5 +.. Tracé sur l écran de la calculatrice. f () = ². f ( ) = ( )² = ; f ( ) = ² =. Les coefficients directeurs des tangentes à # au points d abscisses et sont égau, donc ces tangentes sont parallèles.. Vrai.. Fau. g () = ², donc g ( ) =. Le coefficient directeur de la tangente à # g au point d abscisse est.. Vrai. 4. Fau. f () =, donc f ( ) = <. 5. Fau. g () =, donc g'() =. 6. Fau. f'() =, donc f'( ) = <. 4 a) f () =. b) f () =. c) f () =. d) f () =. e) f () = 4. 5 a) f () = b) f () = ² +. c) f () = ² 7. d) f () = ² e) f () = a) f () = + 8. b) f () = 6². c) f () = ². d) f () = 5² 4. e) f () = a) f () = 8 +. f () > pour tout de I, donc f est strictement croissante sur I. 5 f () + 5 fonction n'a pas d'etremum. b) f () = + 4. f () = équivaut à = 8. Pour appartenant à [ ; 8 [, f () >, donc f est strictement croissante sur [ ; 8 [ ; pour appartenant à ] 8 ; 4 ], f () <, donc f est strictement décroissante sur ] 8 ; 4 ]. 8 f () fonction a un etremum en, égal à 9. Cet etremum est un maimum c) f () = ² = ( 4). f () = équivaut à = ou = 4. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] ; 4[ et au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ]4 ; 6]. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ ; [ et ]4 ; 6] et strictement décroissante sur l intervalle ] ; 4[. 4 6 f () fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en 4, égal à. 57 chapitre 4 Fonctions dérivées 57

9 d) f () = 6² + 6 = 6( + ). f () = équivaut à = ou =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est au-dessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ] ; ]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] ; [ et strictement décroissante sur les intervalles [ ; [ et ] ; ]. f () fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à. 8 a) f () = 4 + = 4 = ( )( + ). ( + ) > sur I, donc, f () a le signe de ( ), d où son tableau de signe : 6 + f () + f est strictement décroissante sur [ ; [ et strictement croissante sur ] ; 6]. 6 f () fonction a un etremum en, égal à 4. Cet etremum est un minimum. b) f () = 4 = 4 = ( )( + ). Pour tout de I, ( ) < et ( + ) <, donc ( )( + ) >. De plus, ² >, donc f () > pour tout de I et f est strictement croissante sur I. 4 f () + 5 6,5 fonction n a pas d etremum. c) f () = > ; f est strictement croissante sur I.,5 4 f () +,75 fonction n a pas d etremum. d) f () = < ; f est strictement décroissante sur I. f () 9,8 fonction n a pas d etremum. 9 a) f () = ². Signe de f () : f est strictement décroissante sur [ ; ]. f () 6 fonction n a pas d etremum. b) f () = ² 6 + ; f () est un polynôme du second degré : =, f () s annule donc en = b a =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe coupe l ae des abscisses en et est au-dessus ou sur cet ae pour tout de l intervalle [ ; ]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle [ ; ]. f () fonction n a pas d etremum. 58

10 c) f () = ² + + ; f () est un polynôme du second degré : = 6, f () s annule en = et en =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ] ; ]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] ; [ et strictement décroissante sur les intervalles ] ; [ et ] ; ]. f () f () +. Le nombre est le minimum de la fonction f sur [ ; ].. Le nombre étant le minimum de f, on en déduit que pour tout de [ ; ], on a f() >. Ainsi, l inéquation f() < n a pas de solution.. Le nombre est le maimum de la fonction f sur [ ; ].. Le nombre étant le maimum de f, on en déduit que pour tout de [ ; ], on a f() <. Ainsi, tous les nombres réels de l intervalle [ ; ] sont solutions de l inéquation f() <. fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à 7. d) f () = 6² + ; f () est un polynôme du second degré : = 5, f () s annule donc en = et en =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ] ; 4 ] et au-dessous de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] ; [. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ ; [ et ] ; 4 ] et strictement décroissante sur l intervalle ] ; [. f () , fonction a deu etremums : un maimum en, égal à 8 et un minimum en, égal à 54. f () = ; f () >, donc f est strictement croissante sur [ ; 9].. a) et b) Tracé de la courbe,6 y,4,,8,6,4,,5,5 Les solutions de l équation = sont les abscisses des points d intersection de la courbe et de la droite d équation y =, soit le nombre. Les solutions de l inéquation < sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle [,5 ; [. Les solutions de l inéquation > sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle ] ; ].. a) f () =. b) f () = équivaut à =, soit successivement = ; = ; =. En utilisant la question., on obtient =. f () > équivaut à >, soit successivement > ; > ; <, car >. En utilisant la question., on obtient les nombres de l intervalle [,5 ; [. 59 chapitre 4 Fonctions dérivées 59

11 f est strictement croissante sur [,5 ; [ et strictement décroissante sur ] ; ].,5 f () + 5,5,5 Le tableau de variation de f permet d'affirmer que f a un etremum en, égal à. Cet etremum est un maimum. 4 Partie A. f () = 9 ² = ( ). f () s annule pour = et pour =. Pour tout de [ ; 45], >, donc f () a le même signe que ( ). D où son tableau de signe : 45 + f () f () + 5. Tableau de valeurs f() Tracé sur l écran d une calculatrice. Partie B. Le nombre de personnes malades est maimal le e jour ; le nombre maimum de malades est alors égal à 5.. La droite d équation y = coupe la courbe au points d'abscisses et 8. a) Le premier jour où le nombre de personnes malades a dépassé est le e jour. b) Le premier jour où le nombre de personnes malades est redevenu inférieur à est le 8 e jour. 5. On pose l'équation P = I ri, successivement équivalente à,5 =,5 r,5 ;,5 = 8,5r ; 6,75 =,5r ; r =.. a) f () = 6. b) f () s annule en. Tableau de signe de f () : f () + 4 f () + c) Tableau de valeurs,5,5,5,5 4 f() 5,5 9,5,5 9 5,5 d) Tracé de la courbe représentative de f y ,5,5,5,5 4 4,5 e) f admet un maimum en ; la puissance utile maimale du moteur est alors égale à W. 6. Tracés sur tableur (voir graphique ci-après). a) R() = 5 est l epression d une fonction linéaire ; la recette est donc proportionnelle au nombre de pièces détachées vendues. b) Le montant des coûts fies est C() = 5, soit 5. c) Les cellules B et C permettent de déterminer le coût total de production de pièces et la recette de la vente de ces pièces, soit 7 5 et 5. Le bénéfice réalisé est alors = L artisan réalise un bénéfice lorsque les recettes sont supérieures au coûts. Graphiquement, on cherche les valeurs de pour lesquelles la courbe représentative de la fonction R est située au-dessus de celle de la fonction C, soit pour 5 < < 5. L artisan réalise un bénéfice lorsqu il vend entre 6 et 4 pièces détachées. 4. a) B() = R() C() = 5 ( ) B() = + 5. b) B () = +. c) f () s annule en 5. D où le tableau de signe : B () + D où le tableau de variation de B : 5 4 B () + B () 5 6 6

12 d) L artisan réalise un bénéfice maimal pour 5 pièces détachées usinées et vendues. e) Tracé sur tableur f) La courbe représentative de la fonction B est située audessus de l ae des abscisses pour 5 < < 5, ce qui correspond à un bénéfice pour l artisan. 7 Partie A. f () = = 4 = ( + )( ) ; pour tout de ] ; 5], + >, donc f () a le même signe que ( ). D où le tableau de signe :,5 5 + f () +. Tableau de variation de f,5 5 f () +, 7. Tracé de la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice ou d un tableur. Partie B. a) l =,5, soit l =,5. b) AB + BC + CD = + l + = + l = +,5 = + = f().. a) Le frottement est minimal pour =,5 m. b) La valeur de l correspondante est égale à,5,5 = m. 8 Partie A. f () = 6 = 6. (5 + 4)(5 4). f () =. Pour tout de [ ; 65], a le même signe que (5 4). D où le tableau de signe : (5 + 4) >, donc f () f () +. Tableau de variation de f f () + f(55) 4. Tracé de la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice ou d un tableur. Partie B. A = ( )(y 6).. a) m = cm ; soit y =. b) On en déduit : y =.. A = ( )(y 6) = ( ) ( 6 ) A = A = 6 6 = f(). 4. a) L aire A est maimale pour = 55 cm, soit 79 cm. b) y = = = 45 cm, soit y 6 cm. 55 c) f(55) = = = cm. 6 chapitre 4 Fonctions dérivées 6

13 Comme à l écran Déterminer la courbe représentative d une fonction à partir de celle de sa dérivée On sait que la dérivée d une fonction f, définie sur [ ; ], est définie par f 9() = ( ). On a obtenu à l aide d un tableur un tableau de valeurs et un tracé de la courbe représentative de f 9 :. a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B, puis recopiée jusqu en B8? On a saisi la formule =A*(A ). b) À partir du tableau de valeurs et de la courbe de f 9, étudiez le signe de f 9() et complétez ci-contre le tableau de variation de la fonction f, en y portant les valeurs des solutions de l équation f 9() =.. Parmi les tracés suivants, déterminez celui de la courbe représentative de f. y,8,6,4,,5,,5,5,4,6,8 A f 9() + + f() y,8,6,4,,5,,5,5,4,6,8 B,6 y,4,,8,6,4,,8,6,4,,5,5,5, C Il s'agit de la courbe C.,6 y,4,,8,6,4,,8,6,4,,5,5,5, D 66 6

14 Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice 4 points. Soit f et g les fonctions définies sur [,5 ; 5] par f() = + et g() = Calculer f 9() et g9(). f'() = + =. g () = ( ) + + = +. Eercice 6 points Soit f la fonction définie sur [ 6 ; ] par f() = Calculer f 9(). f'() = + + = +.. a) Étudier le signe de f 9() ; en déduire le sens de variation de f. f () = ( + ). f'() s'annule en et en. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ 6 ; [ et ] ; ] et au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] ; [. f est strictement croissante sur les intervalles [ 6 ; [ et ] ; ] ; elle est strictement décroissante sur ] ; [. b) Compléter le tableau de variation 6 de f. f 9() + + 7,5 5,5 f(),5. Déterminer les etremums de f. Le tableau de variation de f permet d'affirmer que cette fonction a deu etremums : un maimum en, égal à 7,5 et un minimum en, égal à. 6 chapitre 4 chapitre Fonctions Vecteurs dérivées 6 67

15 Eercice points Chaque jour, une petite entreprise fabrique centaines de cartons d emballage, avec < <. La recette journalière issue de la vente de tous ces cartons, en euros, est donnée par la fonction R définie par R() = Calculer R9(). R'() = + 4 = ( + 8).. Étudier le signe de R9(). R'() s'annule en et en 8. R'() a le même signe que + 8, car pour tout de [ ; ], >. Ainsi, R'() > sur [ ; 8] et R'() < sur [8 ; ].. Dresser le tableau de variation de la fonction R. 8 R9() + R() Déterminer le nombre de cartons à fabriquer et vendre chaque jour pour obtenir une recette journalière maimale. Quelle est cette recette maimale? Le maimum de la fonction R est, atteint en 8. La recette maimale journalière est donc pour 8 cartons fabriqués et vendus. 5. Pour contrôler les résultats obtenus au questions précédentes, on veut tracer sur tableur la courbe représentative de la fonction R. On entre dans la cellule A et dans la cellule A ; on sélectionne ces deu cellules, puis on tire la poignée de remplissage jusqu en A. a) Donner une formule à écrire dans la cellule B et à recopier jusqu à la cellule B pour obtenir un tableau de valeurs de la fonction B. On écrit la formule = *A^+*A^ 6. b) Quelle formule obtient-on alors en cliquant dans la cellule B8? On obtient la formule = *A8^+*A8^ 6. c) L assistant graphique a permis d obtenir le tracé ci-contre. Retrouver graphiquement les réponses à la question 4. (Faire apparaître les tracés utiles à la lecture.) Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (8 ; ), donc le maimum de la fonction est obtenu en 8 et est égal à