TD1 Les vecteurs. 1. Trouver A+B, A-B, 3A, -2B dans chacun des cas suivants: 1. Déterminer les vecteurs liés PQ et AB équivalents et parallèles

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1 TD1 Les veceurs Par 1 1. Trouver A+B, A-B, 3A, -B dans chacun des cas suivans: A=(,-1), B=(-1,1) A+B = (1, 0) A=(-1,3), B=(0,4) A+B = (-1, 7) A= (,-1,5), B=(-1,1,1) A+B = (1, 0, 6) A=(π,3,-1),B=(π,-3,7) A+B = (3π, 0, 6) 1. Déerminer les veceurs liés PQ e AB équivalens e parallèles P = (1, -1), Q = (4, 3), A = (-1, 5), B = (5, ) i) PQ = (3, 4) ; AB = (6, -3) = 3 (, -1) Rien P = (1, 4), Q = (-3, 5) ; A = (5, 7), B = (9, 6) i) PQ = (- 4, 1) ; AB = (4, -1) AB = - PQ ce son veceurs parallèles P = (1, -1, 5), Q = (-, 3, -4), A = (3, 1, 1), B = (0, 5, 1) i) PQ = (-3, 4, -9) ; AB = (-3, 4, 0) Rien P = (1,, 4), Q = (-1, 3, 5), A = (, 3, 4), B = (0, 4, 5) i) PQ = (-, 1, 1) ; AB = (-, 1, 1) ce son veceurs équivalens. Calculer A B, A A, ( A + B), ( A B) A = (, -1, 3), B = (-1, 1, 1) Dies s'ils son perpendiculaires? lorsque : i) A B = 1+ 3= 0 ils son perpendiculaires ii) AA= = 14 ; iii) A+ B = ( 1, 0, 4) ( A B) + = = 14 iv) ( ) A B = 3,, ( A B) = = 17

2 /6 3. Monrer que si le veceur A es perpendiculaire à ou aure veceur X, alors A=0. 0; a,..., a,..., a. 0,...,1,...,0 = a = 0 e ceci pou ou i. AX = ( ) ( ) 1 i n i 4. Trouver dans chacun des cas suivans la norme de A, la projecion de A sur B, le cosinus de leur angle: A=(1,-), B=(5,3) i) A = 1 + = 5 ; AB B. B ii) proj ( A) = kb = B = ( 5,3) = ( 5,3) B iii) AB. 1 1 cosθ = = = θ = A B A= (-,1,4), B=(-1,-1,3) i) 1 13 projb A = ; 11 A = ; ( ) ( 1, 1, 3) 13 cosθ = ; θ = A=(-1,1,0), B=(,1,-1) i) A = ; proj ( A) A=(1, -, 3), B=(-3, 1, 5). B = 1,, 3 ; 1 cosθ = ; θ = i) 14 1 projb A = ; 7 A = ; ( ) ( 6,,10) 10 cosθ = ; θ = Déerminer les angles du riangle: (,-1,1), (1,-3,-5), (3,-4,-4) AB. cos( AB, ) 0 A B cos( AC, ) cos( BC, ) = = ( ) AC. 6 A C 41 AB, = 90 = = ( ) BC. 35 B C 41 = = ( ) AB, AB,.4915

3 3/6 On vérifie que la somme des angles es bien égale à 180 degrés 6. Prouver que: A + B + A - B = A + B i) ( )( ) A+B = A + B A+ B = A + B + AB. ii) ( )( ) A-B = A B A B = A + B AB. iii) A+B + A-B = A + B = A + B iv) A + B A - B = 4AB 7. Monrer par un conre exemple que si A.B = A.C, B n'es pas nécessairemen égal à C. A = ( ) B = ( ) ( ) 1,, 3,, 4, 1, C = 1, 0, 4 AB=. 8 3= 13 AC. = 1 1 = Ecrire une représenaion paramérique des lignes passan par les poins suivans: P=(1,3,-1), Q=(-4,1,) M = ( 1 5,3, 1+ 3 ) P=(-1,5,3), Q=(-,4,7) M = ( 1,5,3+ 4) P=(1,1,-1), Q=(-,1,3) M = ( 1 3,1, 1+ 4) P=(-1,5,), Q=(3,-4,1) M = ( 1+ 4,5 9, ) 9. Trouver l'équaion du plan passan par le poin P e perpendiculaire au veceur N lorsque: N=(1,-1,3) e P=(4,,-1) x y + 3z = 1 N=(-3,-,4) e P=(,π,-5) 3x y+ 4z+ 6+ π = 0 N=(-1,0,5) e P=(,3,7) x+ 5z 33= 0 N=(1,1,1) e P=(1,1,1) x+ y+ z 3= 0

4 4/6 10. Trouver l'équaion de la droie passan par (-5,3) e perpendiculaire au veceur (1,-1) u = ( ) M = ( 5 +,3+ ) 1,1 ; 11. Trouver la disance enre le poin (1,1,) e le plan 3x + y - 5z =, écrire la formule générale donnan cee disance. Corrigé La normale au plan es : N = ( 3,1, 5) L équaion de la normale au plan passan par P es donnée par : M = ( 1,1, ) + N = ( 1 + 3,1 +, 5 ) Le poin I d inersecion de cee normale avec le plan vérifie l équaion du plan e celui de la normale : i) ( ) ( ) = 8 = 35 ii) I =,, La disance demandée es I P = 8 35 Par 1. Trouver le veceur viesse des courbes suivanes: Voir si le veceur accéléraion es perpendiculaire au veceur viesse. (cos,sin ) i) v () = ( sin,cos) a ( ) = ( cos, sin ) ii) v( y). a( ) = 0 ( e,cos,sin ) i) v( ) = ( e, sin,cos) a( ) = ( e, cos, sin) ii) v( y). a( ) 0 (sin Log, (1 + ), )

5 5/6 1 i) v() = cos,,1 1+ ii) v( y). a( ) 0 a 1 = 4sin,,0 1+ () ( ) 13. Trouver le veceur viesse des courbes suivanes: (cos,sin); (e,cos,sin) ; (sin, Log(1 + ), ) Voir si le veceur accéléraion es perpendiculaire au veceur viesse. 14. Soi X() une courbe différeniable. Le plan où la droie perpendiculaire au veceur viesse X'() au poin X(), es di normal à la courbe au poin ou au poin X(). Trouver l'équaion de la normale à la courbe (cos3, sin3) au poin π/3, e l'équaion du plan normal à la courbe ( e,,²) aux poins =1 e = Soi X() une courbe différeniable définie dans un inervalle ouver. Considérons un poin Q non siué sur la courbe. Ecrire la formule donnan la disance enre Q e un poin quelconque de la courbe. Si o es la valeur de pour laquelle la disance enre Q e X( o ) es minimum, monrer que le veceur Q-X( o ) es normal à la courbe, au poin X( o ). Si X() es l'équaion d'une droie, monrer qu'un el o es unique. 16. Monrer que si la viesse es consane, alors le veceur accéléraion es perpendiculaire au veceur viesse. 17. Monrer que si le veceur accéléraion d'une courbe es oujours perpendiculaire au veceur viesse, alors la viesse es consane. 18. Soi un veceur non nul B e une courbe X() elle que X().B = pour ou. Supposons que l'angle de X'() e de B es consan. Monrer que X''() es oujours perpendiculaire à X'(). 19. Ecrire une équaion paramérique de la angene aux courbes suivanes, aux poins suivans: (cos4,sin 4, ) au poin = p ) 8 (,, ) au po in A=( 1, 1, )

6 6/6 3-3 ( e, e, ) au poin = (,, ) au poin = (1,1,1 ) 0. Soi X() = ( 1+², 1-², 1). Monrer que l'angle de X() e de X'() es 1+² consan. 1. Calculer la longueur des arcs suivans: (cos, sin, 3) enre =1 e =3. (-sin, 1-cos) enre =0 e =π. E enre =0 e =π/. (, Log) enre =1 e =. -. Démonrer que les deux courbes : ( e, e,1- e ) e (1-, cos, sin) se coupen au poin (1,1,0). Quel es l'angle de leurs angenes au poin (1,1,0). 3. Quels son les poins d'inersecion de la courbe (, 1, 3+ ) e le plan 8x 14y + z 10= 0 4. Soi X() = (acos, asin, b) el que a e b soien consanes. Soi u() l'angle de la angene en un poin donné de la courbe avec l'axe des z. Démonrer que cos u() b es consan e a pour valeur: a²+ b². 5. Soi B un veceur uniaire fixe, e soi X() une courbe elle que ; X( ) B = e. Supposons aussi que le veceur viesse de la courbe déermine un angle u consan avec le veceur B, e 0 < u < π/. Démonrer que la viesse v() a pour valeur e cosu Calculer le produi scalaire X'().X''() en foncion de e u.