Notes de cours de gazodynamique. Par : A. Boukhari

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1 االله الرحمن الرحيم بسم Notes de cours de gazodynamique Par : A. Boukhari 49-8

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3 SOAIRE CHAPIRE I : INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE I- Introduction... I-. Définitions... I-. Quelques concets de la thermodynamique...3 I-.3 Relations des gaz arfaits.. 4 I-.4 Relations isentroiques.. 4 I- hermodynamique et hysique du son 5 I-. Proagation des ondes sonores..5 I-. La vitesse sonore d arès l équation d état..7 I-.3 Nombre de ach. 8 I-.4 Ondes de ach CHAPIRE II : ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL II- Equations de base d un écoulement comressible unidimensionnel... II- Etat générateur II-3 Proriétés isentroiques et de stagnation d un écoulement.3 II-4 Seuil de comressibilité 4 II-5 Ecoulements isentroiques dans les canalisations. 5 II-6 Conditions critiques.6 CHAPIRE III : ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION III- Ecoulement isentroique avec changement de section 7 III- Débit massique d une canalisation de section variable... 9 III-3 uyère convergente. III-4 uyère convergente-divergente. 3 III-5 Equation du raort des sections.. 5 CHAPIRE I : ONDES DE CHOC NORALES I- Ondes de choc normales. 6 I- Equations de base 7 I-3 Equation de Prandtl 3 I-4 Changement d entroie à travers un choc 3 أ

4 CHAPIRE : ONDES DE CHOC OBLIQUES - Les ondes de choc obliques. 3 - Equations de base Equation de Prandtl Adatations des tables du choc normal aux chocs obliques Les ondes de choc faibles Ecoulement autour d'un coin Réflexion et réfraction des ondes obliques. 36 CHAPIRE I : ECOULEEN COPRESSIBLE AEC FRICION (HÉORIE DE FANNO) I- Ecoulement comressible dans les conduites avec friction (héorie de FANNO)...38 I- Relations en nombre de ach CHAPIRE II : ÉCOULEEN COPRESSIBLE AEC ECHANGE DE CHALEUR (HÉORIE DE RAYLEIGH) II- Écoulement dans les conduites avec transfert de chaleur et sans friction (héorie de RAYLEIGH)...44 II- Relations de nombre de ach II-3 Les effets de suffocation en raison de chauffage simle.. 48 ABLE I : Écoulement isentroique d un gaz arfait. 5 ABLE II : Écoulement à onde de choc d un gaz arfait ABLE III : Ecoulement adiabatique d un fluide visqueux dans une canalisation de section constante, gaz arfait (Courbes de Fanno). 58 ABLE I : Ecoulement comressible non visqueux avec transfert de chaleur dans une canalisation de section constante, gaz arfait (Courbes de Rayleigh). 6 APPENDICE I : Quelques facteurs de conversion...66 APPENDICE II : Formules utiles..67 ب

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6 CHAPIRE I I- Introduction : Ce cours traite quelques concets de la disciline de l aérodynamique des écoulements de fluide visqueux comressible. Quand un fluide se meuve à des vitesses comarables à sa vitesse de son, les variations en densités seront considérable et l écoulement sera nommé comressible. Ce tye d écoulements est difficile de le réaliser our les liquides, uisque la génération des vitesses soniques nécessite de hautes ressions de l ordre de atm. Ceendant dans les gaz, un doublement de ression eut causer un écoulement sonique, de ce fait que la science qui étudie l écoulement comressible des gaz est souvent aelée Gazodynamique. I-. Définitions : La gazodynamique : (Gasdynamics ديناميكا الغازات ) est la branche de la dynamique qui s occue du mouvement de l air et d autres fluides gazeux, et des forces réagissant sur un cors en mouvement relatif aux areils fluides.: De tels écoulements comressibles se rencontrent dans les conduites transortant du gaz naturel, ou à travers le diffuseur d un turboréacteur d un avion, aux seins des turbines et des comresseurs. Probablement, les deux effets les lus imortants de la comressibilité de l écoulement sont :. La suffocation : où la vitesse de l écoulement dans la conduite (interne) est étroitement limitée ar la condition sonique.. Les ondes de choc : qui sont des etites discontinuités dans les roriétés de l écoulements suersonique. L objectif de ce cours est d exliquer tels hénomènes et les quantifier en utilisant les équations fondamentales suivantes : équation de continuité. équations de quantité de mouvement (Navier Stokes). équation de l énergie. équation d état des gaz. Et en les résolvant simultanément our quatre inconnues ; ression, densité (masse volumique), temérature et la vitesse d écoulement (,,, ). outefois la théorie des écoulements comressibles est assez comliquée, notamment c est la raison de suoser la réversibilité et l adiabaticité de l écoulement.

7 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE Alors, la gazodynamique étudie les cas où le arcours libre moyen ( Ω ) (ean free ath) des articules du gaz est négligeable devant la longueur caractéristique du domaine de l écoulement (L), c.-à-d. si Ω L le gaz est considéré comme milieu continu. Ce raort Ω Kn L est aelé nombre de Knudsen. Gaz : est un tye de fluides qui délacent sous l action des contraintes de cisaillement u τ µ, et l influence de la comressibilité est lus imortante en comaraison avec l état de y reos. Système : C est l ensemble mobile d une matière, ayant des roriétés bien déterminées et des limites extérieures nommées les frontières du système. La caractéristique fondamentale d un système au reos ou en écoulement est la quantité de matière (masse) contenue dans ce système. olume de contrôle : Un volume fictif et fixe dans l intervalle du mouvement du système, utilisé essentiellement our étudier l écoulement assant à travers lui. Ces frontières se nomment surface de contrôle. olume de contrôle Surface de contrôle Fig. I- : olume de contrôle. Processus (Evolution) : la transformation d un état à un autre, avec généralement un échange de chaleur et de travail. Exemles : P Evolution isobarique : à ression constante v Evolution isochore : à volume constant v v Evolution isentroique : à entroie constante Evolution isotherme : à temérature constante Evolution adiabatique : sans échange de chaleur avec l extérieur. s s

8 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE Cycle : rocessus qui retourne en son état initial. iscosité : est définie ar le quotient de la contrainte de cisaillement τ au gradient de u u kg vitesse ( ; aussi c est la tension) : τ µ y y m. s, et mesure la résistance du fluide aux cisaillements. iscosité cinématique : est définie arν µ m, qui mesure le roagation du s mouvement au sein du fluide en mouvement. I-. Quelques concets de la thermodynamique : Proriété : caractéristique thermodynamique de l état d un système : - extensive : Proriété roortionnelle à la masse du système, ex. : U, S, H. - intensive : Proriété indéendante de la masse du système, ex. : u, s, h,, P. outes roriété thermodynamique intensive eut être exrimée en fonction de deux roriétés thermodynamiques intensives au maximum. Premier rincie de la thermodynamique : du dq + dw : U l énergie interne [J] Seconde rincie de la thermodynamique : ds dq : S l entroie du système [J/K] ravail sécifique : d un écoulement est défini ar : w dv [J/kg] Quantité de chaleur réversible : ar unité de masse : q ds [J/kg] : s l entroie sécifique [J/kg.K] Enthalie sécifique : est définie ar : : u énergie interne sécifique h u + v [ J kg] : v travail sécifique Chaleur sécifique à volume constant : c v u v Chaleur sécifique à ression constante : c h c Raort des chaleurs sécifiques : c v Loi de Lalace : our un rocessus isentroique v Const 3

9 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE I-.3 Relations des gaz arfaits : La majorité des calculs des écoulements comressibles est effectuée our un gaz arfait (c.-à-d. idéal, chaleurs sécifiques constantes), ayant l équation d état : P R I- où R : est la constante du gaz : R R /, gaz et R est la constante universelle des gaz (R 834 J/kg.K 834 m /s.k) gaz la masse molaire du gaz. Si on utilise les quantités sécifiques où v l équation (I-) devient : R I- Ainsi our l air (suosé comme gaz arfait), on a air 8.96 donc : R 87 J/kg.K, c R c cv Const et Const d où : c v R c v J / kg. K 78 R ; c J / kg. K 5 Aussi our un gaz arfait : u cv ; h c I-.4 Relations isentroiques : En thermodynamique des écoulements comressibles, les relations qui décrivent les rocessus isentroiques (sconstante) résentent de grande imortance. D arès le deuxième rincie thermodynamique : ds dq dq Si le rocessus est réversible : ds Si le rocessus est adiabatique : dq ds, d où un rocessus isentroique est adiabatique et réversible. La variation d entroie sera d arès le remier et le second rincie thermodynamique : d ds dh ais comme dh c d our un gaz arfait; et on aura : R ds c d R d 4

10 CHAPIRE I en intégrant nous obtenons : Ou: INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE s s s c ln R ln I-3 s s s cv ln R ln I-4 Et our un rocessus isentroique s s on aura les relations en uissances des gaz arfaits : I- hermodynamique et hysique du son : I-. Proagation des ondes sonores : Il est bien connu que lorsqu une minuscule erturbation se déveloe dans un gaz, la variation résultant de la ression se roage dans toutes les directions sous forme d une onde de comression (onde longitudinale), c est ce qui l on entend comme du son. Sa vitesse de roagation est la vitesse du son. Pour des raison de simlification, on suose une onde lane dans un fluide stationnaire (au reos) dans un tube de section uniforme A (figure I-). I-5 Fig. I- : Proagation de l onde de comression. Des augmentations de la vitesse, le ression et la densité ( u, d, d ) résultent de ladite erturbation. Entre le front d onde qui avance à la vitesse sonique a et l autre lan où il était née cette erturbation, il y en a une section de longueur l où la ression était augmentée. 5

11 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE Puisque la durée de l augmentation de la ression dans l onde est : tl/a, la masse ar unité du tems confinée dans cette section est augmentée ar : A l d / t Aa d. Donc, le gaz de masse A u ( d) Au + s écoule à travers cette section et l équation de continuité sera : A a d Au ou a d u I-6 la vitesse du fluide dans cette section change de à u dans un las du tems t, de ce fait u u a on eut la regarder comme ayant une accélération uniforme. t l Puisque la masse est A l en négligeant d devant ; l équation du mouvement (ème loi de Newton) sera : ua A l A d l u a d I-7 En éliminant u des équations (I-6) et (I-7) nos obtenons : a d / d ais uisque le soudain changement de la ression est considéré comme adiabatique (as de gradients de temérature sauf à l intérieur de l onde) ; donc ce rocessus est isentroique, et l exression de la vitesse sonore sera : a d I-8 d s alide our tout fluide, gaz ou liquide, et même our un solide (voir tableau suivant). Gaz H He Air Ar CO CH 4 Liquides Glycérine Eau ercure Ethyle Solides Aluminium Acier Glace Substance a [ft/s] a [m/s] ab. I- : la célérité sonore our divers matériaux à 6 F (5.5 C) et atm. Il est remarquable que la forme de la dernière équation de la célérité sonore (I-8) ne soit as ratique dans tous les cas. 6

12 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE 7 I-. La vitesse sonore d arès l équation d état: Pour une quelconque substance, on a : s d d a le remier rincie de la thermodynamique donne : dv du dq + Et our un rocessus réversible ds dq d où dv du ds + On a aussi, d arès les relations de axwell : dv d c du v v + On aura : dv dv d c ds v v + + dv d c ds v v + mais uisque v et d dv, on a : d d c ds v et quand ), ( : d d d + d d d en substituant our d : d d d c ds v Grouons les termes en d et d on obtient : d c d c ds v v + Si le rocessus est isentroique ( ds ) + c c v v s

13 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE s + c v Finalement : a(, ) + c v I-9 Exemle : Pour un gaz arfait : (, ) R Par dérivation on a : R ; R a(, ) R + R c D où : ( ) v R + R c v c cv R + a R cv Pour un gaz arfait, La vitesse de son déend uniquement de la temérature. I-.3 Nombre de ach : Le raort de la vitesse à la vitesse du son a, c.-à-d. /a, est aelé nombre de ach. Donc, si on considère un cors lacé à la direction d un écoulement uniforme de vitesse, au oint de stagnation (d arrêt), la ression augmente de / ce qui imlique une augmentation de la densité de / a ; ar conséquent : I- a a En d autres termes, le nombre de ach est un nombre adimensionnel qui exrime l effet de comressibilité d un fluide en écoulement. D arès l équation (I-), le nombre de ach corresondant à une variation de 5% est environ.3, our cette raison un écoulement stationnaire eut être suosé incomressible jusqu à un ach de.3. Le nombre de ach est le aramètre dominant dans l étude de l écoulement comressible. L aérodynamique notamment utilise une classification des écoulements en fonction des diverses valeurs du nombre de ach : <.3 : écoulement incomressible, où les effets de la densité sont négligeables. 8

14 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE.3 < <.8 : écoulement subsonique, où les effets de la densité sont imortants mais sans aarition des ondes de choc..8 < <. : écoulement transsonique, où les ondes de choc aaraissent, en divisant l écoulement en régions subsonique et suersonique.. < < 5. : écoulement suersonique, où les ondes de choc existent sans aucune région subsonique. 5. < : écoulement hyersonique, où les ondes de choc et d autres variations des roriétés de l écoulement sont sécialement fortes. Ces cinq catégories sont essentiellement utilisées dans les écoulements comressibles externes. Alors, our les écoulements internes, la question sera simlement si que l écoulement est subsonique ( < ) ou suersonique ( > ). I-.4 Ondes de ach : Si on considère la roagation d une onde sonore, une minuscule variation (comme un son) se roage à une vitesse sonique a deuis la source sonore dans toute les directions (figure I-3a). Fig. I-3 : Nombre de ach et les roagations des ondes sonores : (a) reos ; (b) subsonique (<) ; (c) sonique () ; (d) suersonique (>). 9

15 CHAPIRE I INRODUCION A LA GAZODYNAIQUE Une succession d ondes sonores est roduite continûment d une source sonore lacée dans la direction d un écoulement de vitesse. Quand est inférieure à a (figure I-3b) ; c.-à-d. <, les fronts d onde se roagent à la vitesse a- en amont, mais à a+ en avale de l écoulement. Par conséquent, l intervalle entre les fronts d ondes est lus dense en amont qu en aval. Quand a, c.-à-d., la vitesse de roagation (-a) sera nulle, et le son se roage seulement en avale de l écoulement (figure I-3c), en roduisant une onde aelée onde de ach normale à la direction de l écoulement. Si un observateur est situé en amont de l écoulement, il ne eut as entendre le mouvement s arochant. Si > a, c.-à-d. >, les fronts d ondes cessent de se roager en amont (figure I-3d), mais ils continuent de se roager en aval. L enveloe de ces ondes forme le cône de ach, et le son est confiné dans le cône. Si l angle au sommet du cône de mach est Cet angle est aelé angle de mach. β, on a : aδ t a sin β I- δ t Plus que le nombre de ach /a est élevé, lus le cône est ointu, ar exemle ; β 3 à. et.5 à 5.. Pour le cas limite de l écoulement sonique, ; β 9, le cône de mach deviendra un lan délaçant avec la articule ; ce qui est en agrément avec la figure (I-3c). L observateur ne eut entendre les erturbations suersoniques seulement s il se trouve dans le cône de ach (zone d action), et la zone en dehors du cône est aelée zone de silence. Exemle : Un observateur ne eut entendre le bruit causé ar un avion volant à 5 km d altitude, jusqu il s éloigne de lui de 9 km. Quel est le nombre de ach de l avion? en suosant des etites erturbations et négligeant les variations de la vitesse du son avec l altitude. Solution : 5km tg β.5556 β km et de l équation (I-) :. 6. sin β

16 CHAPIRE II II- Equations de base d un écoulement comressible unidimensionnel : En aliquant le remier rincie de la thermodynamique à un gaz s écoulant à travers un volume de contrôle comme rerésenté sur la figure II-, nous ouvons écrire l équation de l énergie entre les sections comme suit : Q C + u + v + g z + + Q + W C + u + v + g z + + Q + W Où : C C C : la variation de l énergie chimique. u : la variation de l énergie interne. Q : la quantité de chaleur échangée. W Fig. II- : olume de contrôle. W W W : le travail mécanique entre la sortie et l entrée. g z : la variation de l énergie otentielle. : la variation du travail sécifique (énergie de ression). v v Si on suose un écoulement sans échanges de chaleur avec l extérieur, de travail mécanique ou de l énergie chimique (c est le cas des écoulements dans les conduites) : On obtient : u + v + g z + u + v + g z + d où : u + + g z + Cte Cette équation décrit l énergie totale d un écoulement de fluide interne (dans les conduites). II-

17 CHAPIRE II ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL Si le fluide en écoulement est incomressible ( Cte ) avec une négligeable variation de la temérature qui entraîne une constance de l énergie interne ; et l équation (II-) sera : + g z + Cte Que l on aelle l équation de Bernoulli, ou sous une autre forme : t + g z + Cte où : : la ression statique. : la ression dynamique. g z : la ression de otentiel ( de la esanteur). t Cte : la ression totale. Pour un fluide comressible, sans transfert de chaleur, et en introduisant le concet de l enthalie on a : h t h + g z + avec : Cte h u + : est l enthalie statique et h t Cte : est l enthalie totale (ou de stagnation). Donc : h t h + g z + h + g z + ais comme, les variations de l énergie otentielle sont extrêmement etites devant celles de l enthalie et l énergie cinétique, on eut négliger les termes gz et gz dans nos analyses gazodynamiques, donc l équation de l énergie sera finalement : h t h + Cste II- qui donne l énergie totale d un écoulement d un gaz dans les conduites. II- Etat générateur : En suosant que le fluide comressible se décharge d un réservoir de très grandes dimensions; les conditions dans cet état (générateur) seront aelées les conditions initiales, ce qui entraîne (avec l indice marquant les roriétés au réservoir), et si on considère un gaz arfait : c h et c Cste

18 CHAPIRE II ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL on aura : c t c c + Sachant que : c cv R c c cv R Fig. II- : Conditions initiales. Qui donne : + Et uisque la vitesse du son our un gaz arfait est donnée ar : a R,on obtient : a a + II-3 où a et a dénotent resectivement les vitesses du son aux conditions initiales (au réservoir) et statique. En introduisant le nombre de ach comme aramètre (/a), l équation (II-) eut être réécrite comme suit : a + a Et avec a R le raort des temératures totale et statique est : + Où : : la temérature totale : la temérature statique. : le nombre de ach. II-3 Proriétés isentroiques et de stagnation d un écoulement : Si l écoulement est isentroique ( Cste ), les raorts des ressions et des densités our un gaz arfait ( R ) sont calculées ar : et + + où et dénotent resectivement la ression et la densité isentroiques de stagnation. Ces formules sont alicables dans les écoulements des fluides comressibles entre le oint de stagnation et un oint quelconque au sein du fluide. Réservoir 3

19 CHAPIRE II ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL II-4 Seuil de comressibilité : Afin de déterminer la seuil de comressibilité (limite entre l écoulement comressible incomressible), on note la ression statique en un oint quelconque dans le fluide où <, et d arès l équation de Bernoulli : + Et l équation u raort des ressions donne : + Déveloons la dernière équation d arès la formule du binôme de Newton (ou en série de aylor, voir aendice II); en osant : m et Y m m( m ) ( + Y ) m + Y + Y +...( Y < )!! on aura : 4 ( ) ( ) et on a : donc : ( ) Dressons le tableau suivant en fonction du nombre de ach avec. 4 : ( )/ c Erreur relative (%) E(c-)/c On eut remarquer évidemment que l utilisation de l équation de Bernoulli (utilisée our les écoulements incomressibles), commet une erreur de % our le nombre de ach., et cette erreur eut atteindre % à.3 ; c est ce que l on aelle la seuil de comressibilité. 4

20 CHAPIRE II ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL 5 II-5 Ecoulements isentroiques dans les canalisations : Considérons le cas de l écoulement comressible d un gaz arfait entre deux sections du canal (figure II-3). L équation (II-) donne : Cste h h + Cste h h h + + d où : + + et our un écoulement isentroique: Cste / On obtient : II-4 Cette équation ermet de calculer la vitesse dans une section quelconque du canal, en connaissant seulement la ression statique. L équation de Barré de Saint-enant est un cas sécial de l équation (II-4) où les suositions suivantes sont rises : on obtient : Fig. II-3 : Ecoulement dans une conduite.

21 CHAPIRE II ECOULEEN COPRESSIBLE UNIDIENSIONNEL II-5 L équation de Saint-enant donne la vitesse du gaz dans une section à conditions de connaître les conditions initiales (au réservoir) et la ression statique à cette section, ou sous la forme suivante : R Et l équation S. montre que l annulation de la ression engendre une augmentation de la vitesse jusqu à une valeur limite : L max R c aussi : L a II-6 Conditions critiques : Les roriétés de stagnation ( a,,, ) sont utiles comme référence our l écoulement comressible, mais ils existent d autres roriétés d une utilité comarable à savoir les conditions où l écoulement est sonique,.. Ces conditions soniques ou critiques seront notées ar un astérisque :,, a, et. il résentent certains raorts aux conditions de stagnation (totales) donnés ar les équations suivantes avec et. 4 : a a II-6 Dans tous les écoulements isentroiques, les roriétés critiques sont constantes. La vitesse critique est égale à la vitesse du son critique a ar définition et souvent utilisée comme vitesse de référence our l écoulement isentroique : ( R ) + / a R 6

22 CHAPIRE III III- Ecoulement isentroique avec changement de section : En combinant les relations isentroiques d un écoulement comressible avec l équation de continuité, on eut étudier des roblèmes ratiques des écoulements comressibles. La figure III- illustre le cas d un écoulement unidimensionnel. Un fluide réel (figure III-a) a la roriété de non-glissement à la aroi, et le rofile de vitesse ( x, y) variable à travers la section de la conduite. Ceendant, si la variation de la section est etite et le rayon de courbure est grand : dh h( x) R( x) dx L écoulement est aroximativement unidimensionnel (figure III-b) avec (x), ce qui simlifie la théorie. Pour l écoulement unidimensionnel stationnaire, l équation de continuité informe que le débit massique soit constant : m A Const En différentiant logarithmiquement (voir aendice II), on obtient : d d da + + III- A L équation d Euler décrivant le mouvement stationnaire le long d une ligne de courant est : d d Fig. III- : Ecoulement comressible dans une canalisation : (a) Profile de vitesse d un fluide réel ; (b) Aroximation unidimensionnelle. d + d où : est l abscisse curviligne. 7

23 CHAPIRE III d Ou bien : +d La vitesse du son est a d d d où : ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION III- d a d En éliminant d dans l équation (III-), on obtient : a d +d d d a Puisque a : Si on substitue d d d dans l équation (III-), on aura : III-3 d da III-4 ( ) A Qui est la remière équation de la théorie d Hugoniot donnant la relation entre le changement de la section d une canalisation et la vitesse de l écoulement comressible. Aussi on a d arès l équation (III-) : et uisque a d : d a d d III-5 Qui rerésente la deuxième équation d Hugoniot. L insection de ces deux équations (III-4 et III-5) nous révélera un asect fascinant de l écoulement comressible : les variations des roriétés ont des sens oosés our les écoulements subsonique et suersonique à cause du terme. Il y a quatre combinaisons du changement de section et du nombre de ach.. Si ; écoulement sonique, uisque une accélération infinie est hysiquement imossible (équation III-4), donc da, qui signifie mathématiquement une section minimale (col) ou maximale (figure III-), mais ce dernier cas (maximum) n a as de sens hysique. Par conséquent, si l écoulement est sonique, il aura lieu dans la section minimale de la canalisation (aelée le col). 8

24 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Fig. III- : Ecoulement comressible dans une canalisation de section variable : (a) l écoulement accélère graduellement de l état subsonique au suersonique; (b) l écoulement dans cette configuration n est lus sonique de oint de vue hysique.. Si < ; écoulement subsonique, quand la section A augmente la vitesse diminue et vice-versa. 3. Si > ; écoulement suersonique, toute augmentation de la section A imlique une augmentation de la vitesse et vice-versa. 4. Ainsi d arès l équation (III-5), toute variation de la vitesse entraîne une variation de la ression dans le sens inverse. La table suivante récaitule les quatre cas déjà cités : Ecoulement Proriétés Subsonique Suersonique Section itesse / nombre de ach Densité / ression / temérature III- Débit massique d une canalisation de section variable : Le oint essentiel dans l étude des écoulements comressibles dans les canalisations avec changement de section, est la détermination du débit massique m en fonction des autres roriétés de l écoulement, on a l équation : m A Substituons ar son exression d arès l équation de Saint-enant (II-5) : m A 9

25 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Et uisque l écoulement est isentroique : Const / D où : A m A m III-6 Ψ max A m Avec : max L Et : Ψ Posons x, donc : Ψ dx d + x Quand a la valeur +, la fonction Ψ est maximum, uisque Ψ Ψ s annule si et (figure III-3). Fig. III-3 : racé de la fonction Ψ.

26 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION La ression corresondante est aelée ression critique et s écrit : + elle s obtiendra au col d arès la théorie d Hugoniot, et le débit massique maximal sera : m max A max + + m max A III-7a + + Aussi au col on a : a où : a a + Et le débit massique critique sera: m max A + ( ) m max A a III-7b + Cette exression donne le débit massique maximum au col de la tuyère, où règne les conditions critiques. Pour. 4 on a : m max. 685 A a III-3 uyère convergente : Un gaz de ression, densité et de temérature s écoule isentroiquement deuis un réservoir de grandes dimensions ( ) à travers une tuyère convergente (figure III- 4a) vers un comartiment de décharge où règne la ression en aval b inférieure à. Adotons que la ression et la vitesse de sortie e et, d arès la formule de Saint enant : et e m A on étudie les différents états de l écoulement dans la tuyère convergente en changeant la ression en aval b à diverses valeurs modérées.

27 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Fig. III-4 : uyère convergente : (a) Géométrie et ressions caractéristiques de la tuyère ; (b) distribution des ressions causée ar divers ressions aval b ; (c) débit massique. Si on considère des valeurs de b comme dans le cas a et b (figure III-4b), la ression au col est suérieure à la ression critique. L écoulement au sein de la tuyère convergente est subsonique et jet sort à la ression e b. Le débit massique de l écoulement isentroique subsonique est inférieur à la valeur critique m max (figure III-4c).

28 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Si la ression b est égale à (le cas c) au col. L écoulement au col sera sonique, et le jet aussi ( e b ), et le débit massique de l écoulement sera maximal. L écoulement en amont du col est subsonique. Finalement, si b est diminuée au dessus de, comme les cas d et e, la tuyère ne eut réondre lus uisqu elle est suffoquée à sa valeur maximum du débit massique. Le col reste sonique avec e, et la distribution de la ression dans la tuyère est la même que celle dans le cas c. le jet s étend de façon suersonique en réduisant sa ression de sa valeur critique (au col ) à la ression b. athématiquement arlant, le débit massique donné ar l équation (III-6) voit sa valeur se réduit dans les cas d et e ; mais ceci n est as vrai hysiquement, en raison de la violation de la condition de l écoulement isentroique autour d elle s auie le théorie, l écoulement sera non-isentroique à cause des ondes de choc qui aaraissent en rendant le hénomène irréversible. III-4 uyère convergente-divergente : Une tuyère convergente-divergente (aussi aelée tuyère de Laval) est rerésentée dans la figure (III-5a). Si la ression en aval b est suffisamment faible, il existera un écoulement suersonique dans la ortion divergente de la tuyère aussi qu une variété de conditions de choc ourra exister. Pour les cas A et B (figure III-5b), la ression b n est as suffisamment faible our induire un écoulement sonique au col, et l écoulement est subsonique à travers l ensemble de la tuyère (convergente-divergente). La distribution de ression est calculée d arès les relations isentroiques déjà établies. La ression de sortie est e bet le jet est subsonique. Pour le cas C, le raort des sections A A e col A est exactement égal à e A our un nombre de ach subsonique à la sortie. Le col devient sonique, et le débit massique atteint son maximum (figure III-5c). l écoulement dans le reste de la tuyère est subsonique, le jet inclus et e b. Cette fois considérons le cas H. ici b est tel que b corresond exactement au raort A e d un nombre de ach suersonique à la sortie. L écoulement dans le divergent est A entièrement suersonique, y comris le jet et e b. 3

29 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Fig. III-5 : uyère convergente-divergente : (a) Géométrie de la tuyère et configurations ossibles; (b) distribution des ressions causée ar divers ressions aval b ; (c) débit massique. Suosons dans ce cas que b se trouve entre les cas C et H, qui est imossible d arès les relations de l écoulement isentroique. Alors, les ressions b des cas D à F ont lieu (figure III-5b). le col reste suffoqué à la valeur sonique. Le débit massique garde sa valeur maximale (figure III-5c). A la ression en aval du cas F l onde de choc normale aaraîtra à la sortie de la tuyère. Dans le cas G, l écoulement résentera des séries comlexes d ondes de choc obliques jusqu il atteint la ression b. 4

30 CHAPIRE III ECOULEEN ISENROPIQUE AEC CHANGEEN DE SECION Finalement dans le cas I, b est inférieure à celle du cas H, mais la tuyère est suffoquée et ne réond lus. L écoulement à la sortie s étend en de comlexes séries d ondes suersoniques. III-5 Equation du raort des sections : En utilisant les relations de l écoulement isentroique du gaz arfait et l équation de continuité on eut tirer une exression faisant intervenir seulement la section A et le nombre de ach. Puisque le débit massique est conservé sous les conditions soniques : A A A Ou III-8 A Les termes à droite sont des fonctions du nombre de ach our l écoulement isentroique on a d arès les relations isentroiques déjà rencontrées dans le chaitre récédent : + + Aussi des équations exrimant les diverses temératures (, et ) on aura : ( ) ( ) R R + + Combinons les équations (III-8 et III-9) : A + A + + ( ) III-9 III- Le grahe de cette exression our un écoulement (.4) monodimensionnel et isentroique sans ondes de choc dans la tuyère (figure III-6), montre que la section d un écoulement isentroique dans une tuyère convergentedivergente est la section sonique ou critique( le col). Dans divers écoulements, un col sonique n est lus résent est l écoulement dans la tuyère est entièrement subsonique, ou moins fréquemment suersonique. Fig. III-6 : L équation (III-) our.4 5

31 CHAPIRE I I- Ondes de choc normales : Un hénomène irréversible commun aura lieu dans les écoulements suersoniques que ces soient internes ou externes, qui est l onde de choc normale. C est une très mince onde (d éaisseur de quelques microns) de discontinuité dans les roriétés de l écoulement. Puisque l état du gaz change adiabatiquement, une augmentation de la temérature statique s accomagne d un augmentation de la ression (figure I-a), la face arrière de l onde de comression ayant une temérature lus grande, se roage lus raidement que la face frontale de l onde (figure I-b), ces deux faces de l onde se combinent en une mince discontinuité de la ression. Les ondes de choc sont associées avec nécessairement d une augmentation de la ression et as d une réduction. Fig. I- : Proagation d une onde de comression Puisque une onde de choc est essentiellement différente d une onde sonore à cause de l intense changement de la ression, la vitesse de roagation du choc est lus élevée que celle du son, et la hausse de la ression l est aussi. Fig. I- : Avion à réaction volant à vitesse suersonique. 6

32 CHAPIRE I ONDES DE CHOC NORALES Les ondes de choc se remarquent ar exemle arès une exlosion, l éjection des gaz brûlés à travers une tuyère d échaement ou quand un avion ou une rojectile vole à une vitesse suersonique (figures I-, I-3) I- Equations de base : Fig. I-3: Cône volant à une vitesse suersonique(ach 3) dans l air (Schlieren method). L analyse des ondes de choc se base sur le concet d une onde fixe de ression (figure I-4). Les états amont et aval de l onde de choc sont désignés ar les indices et resectivement. L éaisseur dune onde de choc x est tellement etite (aroximativement des microns), qu elle soit suosée n ayant aucun changement de section (dans une conduite à section variable), donc A A et l équation de continuité s écrit : Const I-a Fig. I-4: Ecoulement à travers d une onde de choc normale fixe. 7

33 CHAPIRE I L équation de quantité de mouvement est : L équation de l énergie : ONDES DE CHOC NORALES I-b h+ h + h Const I-c Les relations d un gaz arfait : I-d Et : h c ; Const I-e En suosant que les conditions en amont (,,, h, ) sont connues, les équations récédentes (équations I-) résentent 5 relations algébriques à 5 inconnues (,,, h, ). Les termes carrés de la vitesse nous révèlent l existence de deux solutions, la correcte armi elles est déterminée d arès le second rincie de la thermodynamique, qui exiges > s. En éliminant les vitesses et des équations (I-a à -c), on obtient la relation de Rankine-Hugoniot : h h ( ) + ais uisque our un gaz arfait : h c, l équation (I-) se réécrit : ( ) I- I-3 Ou bien : + + I-4 Aussi our un gaz arfait :, et l équation (I-4) sera : ( R ) ( ) + I-5 De cette dernière équation on eut remarquer que our un quelconque ; > seulement si >.. Ainsi our un écoulement avec onde de choc normale, le nombre de ach amont doit être suersonique our satisfaire le second rincie de la thermodynamique. 8

34 CHAPIRE I ONDES DE CHOC NORALES Aussi our le gaz arfait on a l identité, et on eut réécrire l équation (I-b) comme : + I-6 + Et le nombre de ach en aval sera arès combinaisons des équations (I-5 et I-6) : ( ) + ) ( I-7 ais comme doit être suersonique, cette équation rédit our tout >que doit être subsonique. Ainsi une onde de choc normale décélère un écoulement resque d une façon discontinue des conditions suersoniques aux conditions subsoniques. D autres maniulations des équations (I-) donnent des relations additionnelles décrivant les changements des roriétés à travers d une onde de choc normale au sein d un gaz arfait : ( +) ( ) + ( ) + ( ) ( +) I-8 ( +) + + ( ) ( ) D un intérêt lus considérable, est le fait que la section critique (au col sonique) tuyère augmente à travers une onde de choc normale. + ( ) + ( ) + ( ) A d une A I-9 A En conclusion, dans les ondes de choc les temératures totales (de stagnation) restent les mêmes, mais les ressions et les densités totales diminuent avec le même ratio, c.-à-d. l écoulement à travers le choc est adiabatique mais non-isentroique. Ainsi les rincies fondamentaux gouvernant les écoulements aux ondes de choc euvent être récaitulés comme suit :. L écoulement en amont est suersonique, et celui en aval est subsonique.. Pour les gaz arfaits (aussi que our les fluides réels), seulement les ondes de comression euvent exister. 3. l entroie augmente à travers le choc. 9

35 CHAPIRE I ONDES DE CHOC NORALES 4. Les ondes de choc faibles sont resque isentroiques. L analyse des ondes de choc normales fixes s alique également aux ondes de choc en mouvement. I-3 Equation de Prandtl : En considérons l équation de l énergie (I-c), on a our un gaz arfait : R R R + + Introduisons la vitesse du son critique a R + : + + a + + a Soustrayons ces deux équations, on obtient : ( ) + ( ) + ( ) a ais, d arès l équation de quantité de mouvement (équ. I-b): ( ) ( ) a Finalement, en utilisant l équation de continuité (équ. I-a) : a I- Cette équation dite de Prandtl ermet de calculer la vitesse en aval de l onde de choc normale, en connaissant les conditions en amont du choc. I-4 Changement d entroie à travers un choc : La variation de l entroie à travers le choc eut être calculée selon la relation du gaz arfait : s s s ln I- R R En suosant que l intensité de l onde de choc est connue, on eut calculer le raort des densités de l équation (I-3) et ar suite calculer le changement d entroie s. 3

36 CHAPIRE - Les ondes de choc obliques : Les ondes de choc euvent se former à angle oblique σ ar raort au courant suersonique. Ce tye d ondes dévie le courant d un angleδ (angle de déflexion), contrairement aux ondes de choc normales, our lesquelles l écoulement aval ne change lus sa direction. Un choc oblique est causé essentiellement ar la nécessité d un écoulement de tourner selon un certain angle. Exemles des chocs obliques est l écoulement à travers un coin d extrémité d un cors et à travers un rame dans la aroi d un tunnel suersonique. La géométrie de l écoulement considéré est illustrée dans la figure (-). Comme dans le chaitre récédent des ondes de choc normales l état dénote les conditions en amont et l état dénote celles en aval. Fig. - : Géométrie d un écoulement à onde de choc oblique. L angle de choc a une valeur arbitraireσ, et l écoulement en aval change de direction d un angle δ qui est fonction de σ et les conditions de l état. L écoulement amont est toujours suersonique, mais le nombre de ach / aeut être subsonique, sonique ou suersonique tout déend des conditions de l écoulement. - Equations de base : Il est avantageux d analyser l écoulement à choc oblique en lui décomosant en deux comosantes normale et tangentielle ar raort à l onde, (voir figure -). Pour un volume de contrôle très mince, on eut écrire les relations suivantes, sachant que A A de art et d autre de l onde : 3

37 CHAPIRE ONDES DE CHOC OBLIQUES L équation de continuité est : -a La rojection normale de l équation de quantité de mouvement est : n n n n -b La rojection tangentielle de l équation de quantité de mouvement est : L équation de l énergie : ( ) -c n t t h+ n+ t h + n + t h -d D arès l équation (-c) on eut déduire qu il y en a as de variation de la vitesse tangentielle à travers un choc oblique : Const - t t t Par suite la comosante tangentielle de la vitesse a le seul effet d ajouter une énergie cinétique constante aux deux membres de l équation de l énergie (-d). Donc, les ondes de choc t normales avec et remlacées ar les comosantes normales n et n l aarition des nombres de ach normaux aux lieu de et : n n a n n a, ce qui entraîne sin σ -3 sin ( σ δ ) Pour un gaz arfait ( Const ), et avec remlacé ar n : sin σ ( ) + -4a tanσ ( +) sin σ σ δ σ n tan( ) ( ) sin + n + ( ) sin σ ( +) sin sin σ ( ) σ -4b -4c -4d ( sin σ +) + + ( ) sin σ sin σ ( ) ( ) + ) n n n ( -4e -4f 3

38 CHAPIRE ONDES DE CHOC OBLIQUES outes ces dernières équations sont tabulées dans la table de l onde de choc normale. Il est clair maintenant que la table est aussi valable our les ondes de choc obliques. -3 Equation de Prandtl : En considérons l équation de l énergie (-d), on a our un gaz arfait : ( n+ t) ( n + t ) R R R + + Introduisons la vitesse du son critique a ( n t ) R a ( n + t ) + + a Soustrayons ces deux équations, on obtient : our un gaz arfait : ( ) + ( ) + ( ( n + t ) ( n + t )) a ais, les rojections de l'équation de quantité de mouvement (-b et -c): + ( ) + ( n n) a t ( ) Finalement, en utilisant l équation de continuité (équ. -a) : + n n a t -5 C'est la relation de Prandtl our un choc oblique. Pour un choc normal ; avec t rencontrée dans le chaitre récédent. Une autre forme utile de l'équation (-5) est : + a t, l'équation récédente rend la forme a déjà -6-4 Adatations des tables du choc normal aux chocs obliques : Les tables (II) rerésentant les relations des chocs normaux euvent être adatées aux calculs des ondes de choc obliques. Une onde de choc oblique avec un nombre de ach amont eut, ar une transformation aroriée, être réduite à une onde de choc normale avec un nombre de 33

39 CHAPIRE ach amont de ONDES DE CHOC OBLIQUES sinσ. Par conséquent, si x de la table est égal à sinσ, donc y, y, x x y et x y x de la table sont resectivement les valeurs de,, et our un choc oblique de nombre de ach amont et d'angle de choc σ, et le nombre de ach en aval y sin( σ δ ). Une famille comlète de solutions des ondes de choc obliques eut être tracée ou calculée d'arès les équations (-4). Pour un donné, l'angle de choc σ varie avec et δ de l'équation (-4b). En utilisant une identité trigonométrique our tan(σ δ ), cela eut être réécrit de cette forme : cotσ (Μ sin σ ) tanδ ( + cos σ) + -7 Fig. - : Angles de déflexion du choc oblique en fonction de l'angle de choc our divers nombre de ach,.4. oute les solutions ossibles de l'équation (-7) our.4 sont tracées dans le grahe de la figure (-). Pour les déflexions où δ < δ il y'a deux solutions : un choc faible (σ etit) et max un choc fort (σ grand). outs les oints le long de la ligne tiret-ointillée sont le lieu géométrique deδ max. La ligne en tirets est ajoutée au grahique our montrer où est exactement sonique. On eut voir clairement que la région où l'écoulement en aval et subsonique est très étroite. 34

40 CHAPIRE ONDES DE CHOC OBLIQUES Pour les déflexions nulles (δ ), la famille de chocs faibles satisfait la relation : σ β arcsin -8 Ainsi les chocs faibles de déflexions nulles sont équivalent aux ondes de ach. -5 Les ondes de choc faibles : Pour toute δ finie, l'angle σ d'un choc faible est suérieur à l'angle de ach β. Pour des etites δ l'équation (-7) eut être déveloée en série de uissances (déveloement de aylor) en tanδ avec linéarisation de l'angle de choc : + sinσ sin β + tan δ O (tan δ) cosβ Si se situe entre.4et. et les déflexions sont inférieures à 6 cette relation rédit les valeurs de σ d'un degré ( ) rès our un choc faible. Pour les déflexions lus suérieures, la relation récédente (équ. -9) eut être utilisée comme estimation initiale d'une solution itérative de l'équation (-7). Une autre roriété qui change à travers le choc oblique et qui eut être déveloée en série de uissance our de etits angles de déflexion, est la ression. Selon l'équation (-4a) et avec linéarisation : tan δ O (tan δ) +... / ( ) - Fig. -3 : Saut de ression à travers une onde de choc oblique faible avec des angles de déflexion très etits,.4. 35

41 CHAPIRE ONDES DE CHOC OBLIQUES La figure (-3) montre le saut de ression exact d'un choc faible calculé ar (équ. -4a). Aux etites déflexions les courbes sont linéaires avec des entes données ar l'équation (-). Finalement, le changement d'entroie à travers le choc faible se déveloe en série de uissances, et on obtient : s s ( + ) 3 4 tan δ O (tan δ) / R ( ) - La variation de l'entroie est une uissance cubique de l'angle de déflexionδ. Ainsi les ondes de choc faibles sont resque isentroiques. -6 Ecoulement autour d'un coin : Considérons l'écoulement autour d'un dièdre saillant d'angle au sommet ψ, dont l'arrête est erendiculaire à la direction de l'écoulement. a) Si ψ est etit, le hénomène se réduit à un roblème d'onde de choc oblique (fig. -4a). b) A artir d'une certaine valeur maximale de ψ ou d'une valeur minimale de qu'il est ossible de calculer, l'onde se détache et le nombre de ach aval devient inférieur à (fig. -4b). le oint critique corresond au minimum de que résentent les courbes ψ Const de la figure (- 4b). d'arès les courbes on remarque que devient subsonique un eu avant que l'onde se détache. c) Si l'obstacle est émoussé, le hénomène sera analogue mais l'onde se détache lutôt (fig. -4c). Onde oblique > > > > < < ψ ψ > (a) (b) Ligne sonique ( ) (c) Fig. -4 : Chocs au voisinage d'un coin. -7 Réflexion et réfraction des ondes obliques : Quand un choc oblique rencontre une aroi il y a réflexion. Le choc réfléchi roduit une déflexion en sens inverse, l'écoulement aval étant à nouveau arallèle à la aroi. 36

42 CHAPIRE ONDES DE CHOC OBLIQUES Chaque onde roduit une diminution du nombre de mach et une augmentation de la ression. Les taux de comression des deux ondes sont différents ainsi que les raorts des nombres de ach. La figure (-5) rerésente schématiquement le hénomène ainsi que la variation de ression le long d'une ligne de courant et à la aroi. Un hénomène analogue intervient quand il y a intersection d'ondes (fig. -6) qui est accomagnée d'une réfraction. Cette réfraction est négligeable our des ondes de faible intensité. Quand il y a réflexion d'une onde de choc oblique sur la limite libre d'un jet il y a réflexion avec changement de signe Fig. -6 : Intersection des ondes de choc obliques. 3 x Fig. -5 : Réflexion d'une onde de choc oblique. x 37

43 CHAPIRE I I- Ecoulement comressible dans les conduites avec friction (héorie de FANNO) : Le chaitre (III) a montré l'effet de changement de section sur un écoulement comressible en négligeant le transfert de chaleur et (le frottement) la friction. Nous ourrions maintenant ajouter la friction et le transfert de chaleur au changement de section et considérer les effets coulés, qui sont faits dans des textes avancés. Au lieu de cela, comme une introduction élémentaire, cette section traite seulement l'effet de la friction, en négligeant le changement de section et le transfert de chaleur. Les suositions de base sont. Ecoulement unidimensionnel, stationnaire et adiabatique. Gaz arfait avec des chaleurs sécifiques constantes 3. Conduite à section droite constante 4. ravail mécanique et changements d'énergie otentielle négligeables 5. Contrainte de cisaillement ariétale corrélée ar un facteur de friction de Darcy En effet, nous étudions un roblème de friction des tuyauteries de tye oody, mais avec de grands changements de l'énergie cinétique, l'enthalie et la ression dans le courant fluide. Considérons le volume de contrôle élémentaire de la conduite de section A et la longueur dx dans la figure (I-). La section est constante, mais d'autres roriétés de flux (,,Τ, h, ) euvent varier avec x. Fig. I- : olume de contrôle élémentaire our un écoulement avec friction dans une conduite de section constante. L alication des trois lois de conservation à ce volume de contrôle donne trois équations différentielles 38

44 CHAPIRE I Continuité : ECOULEEN COPRESSIBLE AEC FRICION (HEORIE DE FANNO) m G const A d d ou + I-a Quantité de mouvement suivant x : A ( + d) A τ π D dx m ( + d ) ou w 4τ dx w d + + d I-b D Énergie : h + h c c + ou cd + d I-c Puisque ces trois équations ont cinq inconnues,,,, et τw nous avons besoin de deux relations comlémentaires. On est la loi des gaz arfaits d d d R ou + I- Pour éliminerτ w comme une inconnue, il est suosé que la contrainte de cisaillement à la aroi est corrélée ar un coefficient de friction local de Darcy f τw f f I où la dernière forme obéit la relation de vitesse de son dans un gaz arfait a k /. En ratique, f eut être relié au nombre de Reynolds local et la rugosité de la aroi ar exemle ar l équation de Colebrook (aendice II), ou disons, le diagramme de oody (voir références de la dynamique des fluides). I- Relations de nombre de ach : Les équations (I-) et (I-) sont des équations différentielles du remier ordre et euvent être intégrées, en emloyant des données du coefficient de frottement, artant de n'imorte quelle section d entrée, où on connaît,, etc., our déterminer ( x), ( x), etc, le long de la conduite. Il est ratiquement imossible d'éliminer tous sauf une variable our donner, disons, une équation différentielle simle our ( x ), mais toutes les équations eut être écrite en termes du nombre de ach ( x ) et le coefficient de frottement, en emloyant la définition du nombre de ach R ou d d d + I-4 39

45 CHAPIRE I ECOULEEN COPRESSIBLE AEC FRICION (HEORIE DE FANNO) En éliminant des variables entre les équations (I- à I-4), nous obtenons les relations de travail d + ( ) f dx I-5a ( ) D d dx d f ( ) D I-5b d d dx f D I-5c 4 d ( ) dx f ( ) D I-5d + ( ) d dx f D I-5e ous ceux sauf d / ont le facteur dans le dénominateur, our que, comme les formules de changement de section dans le chaitre (III), les écoulements subsonique et suersonique aient des effets oosés : Proriété Subsonique Suersonique, Entroie Diminue Diminue Augmente Diminue Diminue Augmente Augmente Augmente Augmente Diminue Diminue Augmente Diminue Augmente Nous avons ajouté à la liste au-dessus que l entroie doit augmenter le long de la conduite our l écoulement soit subsonique ou bien suersonique comme une conséquence de la deuxième loi our l écoulement adiabatique. Pour la même raison, la ression et la densité de stagnation doivent toute les deux diminuer. Le aramètre clef ci-dessus est le nombre de ach. Si l écoulement d'entrée est subsonique ou suersonique, le nombre de ach de la conduite a toujours tendance en aval vers, arce que c'est le chemin le long duquel l'entroie augmente. Si la ression et la densité sont calculées des équations (I-5a) et (I-5b) et l'entroie de l équation (I-), le résultat eut être tracé dans la figure (I-) en fonction du nombre de ach our.4. L'entroie maximale aura lieu à, our que la deuxième loi exige que les roriétés de l écoulement dans la conduite s'arochent continuellement du oint sonique. Puisque et diminuent continuellement le long de la conduite en raison des ertes ar friction (nonisentroiques), ils ne sont as utiles comme des roriétés de référence. outefois, les roriétés 4

46 CHAPIRE I soniques ECOULEEN COPRESSIBLE AEC FRICION (HEORIE DE FANNO),,,, et sont les quantités constantes de référence aroriées dans l écoulement adiabatique dans les conduites. La théorie calcule alors les roortions /, /, etc., comme une fonction du nombre de ach local et l'effet de friction intégré. Pour tirer des formules ratiques, nous attaquons d'abord l équation (I-5e), qui relie le nombre de ach à la friction. Séarons les variables et intégrons : dx L. f d D I ( ) La limite suérieure est le oint sonique, s il est en réalité ou as atteint dans l écoulement de la conduite. La limite inférieure est arbitrairement lacée de la osition x, où le nombre de ach est. Le résultat de l'intégration est f L + ( + ) + ln D + ( ) I-7 où f est la valeur moyenne du coefficient de friction entre et L ( voir aendice II). En ratique, un f moyen est toujours suosé, et aucune tentative n'est faite our rerésenter les légers changements du nombre de Reynolds le long de la conduite. Pour des conduites non circulaires, D est remlacé ar le diamètre hydraulique D (4 sec tion) / érimètre. h Fig. I- : Ecoulement adiabatique avec friction dans un conduit de section constante s'aroche toujours de our satisfaire la seconde loi de la thermodynamique. La courbe calculée est indéendante de la valeur du cœfficient de friction. L'équation (I-7) est tabulée en fonction du nombre de ach dans la table (III). La longueur L est la longueur de conduite exigée our déveloer un écoulement dans la conduite artant du nombre de ach jusqu au oint sonique. Beaucou de roblèmes imliquent les 4