UNIVERSITE MONTPELLIER II

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1 ACADEMIE DE MONTPELLIER UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC THESE pésnté à l'unvsté Montpll II - Scncs t Tchnqus du Langudoc pou obtn l dplô d DOCTORAT SPECIALITE : Foaton Doctoal : Ecol Doctoal : MECANIQUE, GENIE MECANIQUE, GENIE CIVIL Mécanqu ds Matéaux, Stuctus t Gén ds Pocédés SCIENCES POUR L'INGENIEUR MORPHOGENESE DES MEMBRANES TEXTILES ARCHITECTURALES pa Bnad MAURIN Soutnu l 3 Janv 998 dvant l Juy coposé d : MM. O. MAISONNEUVE Pofssu Unvsté Montpll II Pésdnt M. LEMAIRE Pofssu IFMA Aubè Rappotu K. LINKWITZ Pofssu Unvsté Stuttgat Rappotu J.M. DELARUE Pofssu Ecol d'achtctu Pas-Vlln Exanatu H. NOOSHIN Pofssu Unvsté Guldfod Exanatu R. MOTRO Pofssu Unvsté Montpll II Dctu d Thès

2 Avant-popos III Avant-Popos C taval st l'aboutssnt d tos annés d chch ffctués au Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II. En accptant d pésd l uy d soutnanc d ctt thès, Monsu Olv MAISONNEUVE, Pofssu, Dctu du Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II, fat un honnu auqul sus tès snsbl. J tns à lu xp c l'xpsson d a vv gattud. J c tès sncènt Monsu Mauc LEMAIRE, Pofssu à l'insttut Fanças d Mécanqu Avancé d Clond Fand t Monsu Klaus LINKWITZ, Pofssu à l'unvsté d Stuttgat, qu ont accpté d'êt appotus d c taval. Qu'ls touvnt c l'xpsson d a pofond connassanc. J sus tès snsbl à la pésnc dans c uy d Monsu Jan Ma DELARUE, Pofssu à l'ecol d'achtctu d Pas Vlln, t d Monsu Hoshya NOOSHIN, Pofssu à l'unvsté d Guldfod, ans qu'à l'attnton dont ls ont su fa puv à l'égad d s tavaux. Ctt étud a été éalsé sous la dcton d Monsu Rné MOTRO, Pofssu au Laboato d Mécanqu t Gén Cvl, Rsponsabl d l'équp Concpton n Stuctus. D pat la qualté t la pspcacté d ss nsgnnts, s stuant bn au-dlà d spls consdéatons scntfqus, ctt ncont sta un évènnt aquant à s yux. J tns à lu xp tout a connassanc t a sncè até. J'adss l téognag d a sypath à tous ls bs du Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II. Lu accul, lus consls t ncouagnts 'ont été d'un ad ctan.

3 IV Résué Résué L dévloppnt ds stuctus à bas d tols txtls tndus soulgn l'nsuffsanc ds appochs concptulls tadtonnlls t nécsst d nouvlls éthods. Ls tavaux pésntés dans c éo s appotnt ans à l'étud ds pocédés d chch d fo ds Mbans Txtls Achtctuals t à la découp d lazs. Nous ttons tout d'abod n évdnc l'nsuffsanc d'un pésntaton dscèt ds tols tndus (ésaux d câbls) t poposons la éthod d chch d fo ds Dnstés d Contants Sufacqus qu s'appu su un odélsaton contnu du doan. Ct aspct st coplété pa un étud d la stablté ans qu ds écanss ds stuctus tndus. L'attnton s pot nsut su ls pocédés dstnés à l'nvstgaton d fos nals : ésaux d câbls d longuu nal t sufacs d'a na. Dux éthods sont pésntés, un pè fondé su l'utlsaton ds éthods d Dnstés t un scond appoch lé à la nsaton d fonctonnlls slon la éthod du Gadnt Conugué (poblès d'optsaton). Nous poposons égalnt un outl autosant l calcul ds caactéstqus géoétqus ds sufacs (valus ds coubus oynns t gaussnns n tout pont du lu). Enfn, la éthod d Coposton ds Contants dédé à la détnaton ds fos d découp du tssu pt d pnd n consdéaton ls paaèts d géoét, état d pétnson du doan t héolog du atéau, tout n atténuant ls us nhénts à tout découp d lazs (nsaton slon ds éthods d onds caés). Cs dévloppnts vsnt à appot ds éponss concèts aux poblès posés, dctnt utlsabls pa ls concptus. Abstact Th dvlopnt of fabc stuctus ponts out th tadtonal appoachs' nadquacy and qus nw pocsss. Ths woks dal, thus, wth th study of fo-fndng thods and cuttng pattn. Fstly, w phasz on th lacks of a dsct psntaton fo tnsl bans (cabl nt) and put fowad th Sufac Stss Dnsty Mthod as a fo-fndng tool basd upon a contnuous odllng of th doan. A study of stablty and chanss fo tnsl stuctus bngs addtonal consdatons. Th attnton s thn focusd on pocsss assocatd wth th nvstgaton of nal confguatons : nal lngth cabl nts and nal aa sufacs. Two thods a poposd, latd to Dnsty thods and also to th nzaton of nonlna functons wth Conugat Gadnt thod (optzaton pobls). Sufac gotc popts (an cuvatu ad) a calculatd accodng to spcfc pocdus. Nxt, th Stss Coposton thod dvotd to th cuttng pattn allows to tak nto account th ban chaactstcs (goty and stss dstbuton, atal consttutv laws), whl ducng nhnt os (nzaton wth last squas thods).

4 Mots-clés V MOTS-CLES ARCHITECTURE TEXTILE STRUCTURES TENDUES RECHERCHE DE FORME METHODE DES DENSITES DE CONTRAINTES SURFACIQUES STABILITE COURBURES DES SURFACES RESEAUX DE CABLES DE LONGUEUR MINIMALE SURFACES D'AIRE MINIMALE DECOUPE DE LAIZES METHODE DE COMPOSITION DES CONTRAINTES KEY-WORDS FABRIC MEMBRANES TENSILE STRUCTURES FORM-FINDING SURFACE STRESS DENSITY METHOD STABILITY SURFACE CURVATURES MINIMAL LENGTH CABLE NETS MINIMAL AREA SURFACES CUTTING PATTERN STRESS COMPOSITION METHOD

5 Tabl ds atès VII Tabl ds atès Intoducton généal... Pat I : Rchch d Fo t Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals Intoducton... 7 Hypothèss fondantals... 8 I- Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo... 9 I-- Ls éalsatons aquants... 9 I-- La Méthod ds Dnstés d Focs... I- Etud ds états d'autocontant t valdté du Pncp d'equvalnc... I-- Rchch ds états d'autocontant... I-- Valdté du Pncp d'equvalnc... 3 I--3 Etud d'un systè hybd... 5 I-3 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals... 7 I-3- Qulqus éalsatons... 7 I-3- Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo... 8 I-3-3 La Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus... 9 I-3-3- Expsson ds ffots ntns dans l cas d'un pétnson sotop... 9 I-3-3- Etud d la convgnc... I Applcatons... 3 I Cobnason avc la Méthod ds Dnstés d Focs... 5 I Etud d Stuctus Gonflabls... 6 I-4 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals... 8 I-4- Rappls su la stablté ds équlbs... 8 I-4- Rchch ds écanss... 9 I-4-3 Détnaton ds éngs d défoaton éléntas su l'spac ds écanss... 9 I-4-3- Cas d'un élént d câbl... 9 I-4-3- Cas d'un élént d ban... 3 I-4-4 Etud d la stablté su ls dffénts spacs... 3 I-4-4- Stablté losqu ls écanss n sont pas xctés... 3 I-4-4- Stablté losqu sulnt ls écanss sont xctés I-4-4- Stablté au vosnag ds déplacnts othogonaux I-4-4- Stablté au vosnag ds écanss Concluson... 37

6 VIII Tabl ds atès Pat II : Rchch d Fo d Confguatons Mnals Intoducton II- La Natu t ls Fos Mnals... 4 II- Rchch d Fos Mnals pa ls Méthods d Dnstés II-- Etud d ésaux d câbls d longuu nal II--- Résau avc coffcnts d dnstés d focs dntqus II--- Résau d longuu nal II---3 Applcatons II-- Etud ds sufacs d'a nal II--- Sufac avc coffcnts d dnstés d contants dntqus II--- Sufac d'a nal II---3 Applcatons... 5 II-3 Rchch d Fos Mnals pa la Méthod du Gadnt Conugué II-3- Fos nals t focs ntns II-3- La Méthod du Gadnt Conugué II-3-- Consdéatons généals II-3-- Ls pocédus d Rchch d Lgn II-3-3 Applcatons nuéqus II-3-3- Pésntaton ds xpls II-3-3- Copaason ds ésultats... 6 II Qulqus auts confguatons... 6 II-3-4 Appoch cobné : Méthods d Dnstés t du Gadnt Conugué... 6 II-4 Détnaton ds Caactéstqus Géoétqus ds sufacs II-4- Pncp d la éthod II-4- Applcatons Concluson... 67

7 Tabl ds atès IX Pat III : Découp d Lazs t Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals Intoducton III- Découp d Lazs ds Mbans Txtls Achtctuals... 7 III-- Etud ds dffénts pocédés... 7 III--- Ls éthods d détnaton ds lsès... 7 III--- La chch ds fos plans... 7 III-- La Méthod d Coposton ds Contants III--- Obctfs t pncps généaux III--- Etud ds tansfoatons III---3 Détnaton du doan Ω III---4 Méthodolog III---5 Ms n ouv du pocédé... 8 III--3 Applcatons... 8 III- Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals III-- Modélsaton d la Ms n Pétnson III-- Applcatons... 9 Concluson Concluson généal Annxs Annx A : Méthod ds Dnstés d Focs Annx B : Pncps Vaatonnls - Dscétsaton pa Elénts Fns Annx C : Los d copotnt du atéau txtl... 5 Annx D : Intpolaton cnéatqu t ds déplacnts... 9 Annx E : Convgnc d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus... 5 Annx F : Etud d la défn-postvté ds atcs d caactésaton éngétqu... 9 Annx G : Calcul ds dévés ds fonctons d fo pou ls élénts T6 t T... Annx H : Résoluton d systès pa Méthods d Monds Caés... 5 Annx I : A popos ds ablls Bblogaph... 9

8 Notatons XI Notatons Sybols [ ] Matc { } t Vctu colonn t lgn [ ] T t [ ] Matc tansposé t nvs dt ([ ]) Détnant d'un atc [ ] n Matc caé à la pusssanc n ([ ]) vctu lgn d'un atc ([ A] ) = A T () d la atc [ A ] ({ X} ) = X coposant du vctu colonn { X } l No étqu l ( = cospond à la no ucldnn) n Matc dntté t null d'od n [ Id n ] t [ ] I A Sous-spac vctol ag d [ A ] K A Sous-spac vctol noyau d [ A ] Valu absolu u u ou u, u Podut scala Podut vctol Podut tnsol So dct Soaton Ω dv V Qul qu sot Il xst Qu appatnt Od Confguaton d'un stuctu Elnt d volu su Ω Intégal su V Egalté lté à l'od O ( cospond à ) v = X, X Dévé patll d la vaabl v pa appot à la vaabl X δu Pè vaaton d la quantté u δ u Scond vaaton d la quantté u

9 XII Notatons Notatons pou tous ls élénts (= pou ls bans t =c pou ls câbls) v ( X Y Z ) N t N { X } t { X } ( x y z ) { } { u } d t { d } [ F ] [ R ] t [ U ] [ S ] { } S t { S loc } [ σ ] { σ } t { σ loc } { σ loc } Rpè global lé à la stuctu Nob total d nouds t d dgés d lbté d la stuctu Vctu élénta t généalsé ds coodonnés nodals Rpè local lé à un élént Vctu élénta t généalsé ds déplacnts nodaux Chap d déplacnt élénta Tnsu gadnt d tansfoaton Tnsu d otaton t d'élongaton pu Tnsu élénta ds contants d Pola-Kchhoff (PK) Vctu élénta PK n pè global t local Tnsu élénta ds contants d Cauchy Vctu élénta ds contants d Cauchy n pè global t local Vctu élénta d pécontant n pè local { σ loc } Vctu généalsé d pécontant [ ε ] [ ε L ] t [ ε NL ] ε t { ε loc } { } [ ] Tnsu élénta ds défoatons d Gn-Lagang (GL) Pat lnéa t non lnéa du tnsu d Gn-Lagang Vctu élénta ds défoatons d GL n pè global t local Tnsu élénta ds défoatons d'alans-eul w t t Wt w d t Wd w t W Eng potntll total élénta t généalsé d la stuctu Eng d défoaton élénta t généalsé d la stuctu Taval élénta t généalsé ds focs xtéus d la stuctu { f } t { F nt } Vctu élénta t généalsé ds ffots ntns [ ψ nt ] { } { f υ } f t { } { f p } { } Matc élénta d caactésaton ds ffots ntns F xt Vctu élénta t généalsé ds focs xtéus t { f s } R t { R } Vctu élénta ds focs xtéus d volu t d sufac Vctu élénta ds focs xtéus ponctulls Vctu ésdu élénta t généalsé

10 Notatons XIII [ b L ] [ b NL ] [ k T ] [ k L ] [ k NL ] [ ] Matc élénta d'ntpolaton ds défoatons lnéas Matc élénta d'ntpolaton ds défoatons non lnéas t [ K T ] Matc d gdté tangnt élénta t généalsé t [ ] K L Matc d gdté lnéa élénta t généalsé t [ K NL ] Matc d gdté non lnéa élénta t généalsé kσ t [ K σ ] [ ] a t [ A ] Matc d gdté géoétqu élénta t généalsé Matc d'équlb élénta t généalsé [ E ] t [ E loc ] Matc élénta d'élastcté n pè global t local [ Tε ] Matc d passag ds défoatons du pè global au pè local [ Tσ ] [ ] T σ' ξ t η [ N ] [ J ] t [ ] Matc d passag ds contants du pè global au pè local Matc d passag ds contants du pè local au pè global Coodonnés ntnsèqus Matc ds fonctons d fo Matc acobnn t son nvs g t g vctu d la bas covaant t d la bas contavaant Notatons pou ls élénts d ban M s t p q s σ S S l b t l h [ d ] Nob total d'élénts d ban d la stuctu Nob d'élénts d ban lés avc l noud A t épassu d'un élént Coffcnt d dnsté d contant sufacqu d'un élént Pécontant So total ds as ds élénts élvés au caé So total ds as ds élénts Longuus d la bas t d la hautu d'un élént Matc élénta d caactésaton éngétqu E t t E c Moduls d Young slon la dcton d la ta t d la chaîn G ct, ν ct t ν tc Modul d Coulob t coffcnts d Posson [ E ot ] Matc élénta d'élastcté n pè d'othotop

11 XIV Notatons [ T ] θ ot ε,ot Matc d passag ds défoatons du pè d'othotop au pè local Angl onté dct nt la dcton d la ta t l vctu x Notaton pou ls élénts d câbl C c s c t v c l c q l c t c t σ L L [ d c ] E c Nob total d'élénts d câbl d la stuctu Nob d'élénts d câbl lés avc l noud Scton t volu du câbl Longuu d'un câbl dans la confguaton d'équlb Coffcnt d dnsté d foc d'un élént Pétnson t pécontant dans un élént So total ds longuus ds câbls élvés au caé So total ds longuus ds câbls Matc élénta d caactésaton éngétqu Modul d Young [ C ] t [ D ] C f Pats d la atc [ ] [ C l ] t [ ] [ Q l ] { } X l t { } Matc d connctvté t atc d connxon C lés au nouds lbs t fxs Matc ds coffcnts d dnstés d foc X f Vctu ds coodonnés ds nouds lbs t fxs slon X Abévatons CAO FLA FLT MCC MEF MMC MDCS MDF MTA NF NL Concpton Asssté pa Odnatu Foulaton Lagangnn Actualsé Foulaton Lagangnn Total Méthod d Coposton ds Contants Méthod ds Elnts fns Méthod ds Monds Caés Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus Méthod ds Dnstés d Focs Mban Txtl Achtctual Noud ntènt fx Noud ntènt lb

12 Intoducton généal

13 Intoducton généal Intoducton généal Il n'st plus nécssa d'nsst su l succès gandssant qu connassnt ls stuctus à bas d Tols Txtls dpus cs dnès annés. Ctt nouvll coposant du paysag achtctual s touv n fft n étot cospondanc avc ls bsons t ls attnts ds concptus. Toutfos, lu céatvté st dans c doan plus qu aas tbuta ds avancés tchnologqus ans qu ds pocédés d éalsaton t d calcul s à lu dsposton. C'st donc dans un optqu d'xtnson d cs oyns d'xpsson qu s stunt ls tavaux éalsés dans l cad d c éo d thès. Ls applcatons ds bans tndus ont été ultplés dpus ds tps élognés : potcton cont ls ntpés (tnts noads, foans, ltas), assvssnt d l'éng éolnn (an à vol, aéostats, als d'avons). Not lu d sècl a vu alos s dssn ls contous d'un changnt pogssf as néanons adcal. Ds bsons nouvaux appaassnt : gands sufacs couvts t as d stockag povsos ou lux d'xpostons t d anfstatons cultulls, dés d oblté d cs stuctus posant un édfcaton ans qu'un déontag apds t dvant donc all légèté avc faclté d s n plac t ésstanc. A cla s'aoutnt la chch d'un gand souplss d'utlsaton ds bâtnts pttant agandssnts ou auts odfcatons ans qu la nécssté d édu ls coûts d constucton [MAL 89]. Paallèlnt à cs nouvaux bsons, on assst égalnt à l'égnc d nouvlls appochs d la concpton achtctual t ê d la fnalté d'un ouvag. Désant op avc un ontaton vs ds édfcs à géoét assv ou pafos agssv, ctans stnt qu'l st gand tps d s toun à nouvau vs la natu t ls fos soupls t agéabls qu'll off dont l'équlb stuctul épond souvnt à ds ctès d'écono d'ffot t d atè. Pou d'auts, l st nécssa d défn la noton d dué d v d'un ouvag à la luè d son utlsaton pésnt ou à vn t pa là-ê off à lus succssus la possblté d l odf ou d l supp à onds fas. Tous cs élénts favosnt pa vo d conséqunc l dévloppnt accu d l'achtctu Txtl. Ct aspct n put êt qu nfocé pa la s au pont d nouvlls fbs synthétqus aux pfoancs élvés t donc pa l'utlsaton d'un atéau conuguant légèté t ésstanc. Toutfos, l pncp constuctf ê ds bans txtls st souc d nouvlls pobléatqus; ds dstosons appaassnt losqu l'on copa ls aspatons ds concptus avc ls connassancs actulls. L'utlsaton d la pécontant pou assu à la stuctu la gdté t stablté nécssas s tadut n fft pa un fot ntdépndanc nt sa géoét t la dstbuton ds contants au sn du doan. La détnaton d cs paaèts (fo t tnson d la tol) épond à l'appllaton d Rchch d Fo t consttu d fat l'étap pè d tout étud. La pédonanc d tlls consdéatons écanqus st c généalnt élogné d la cultu ds achtcts t nhabtull au gad ds ngénus.

14 Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo à c ou poposés posnt su ds dffénts appochs : utlsaton d odèls physqus (fls d savon), éthods géoétqus, pocédés nuéqus fondés su ds consdéatons écanqus d natus dffénts. On put néanons gtt qu'ls s tadusnt sot pa un stcton d la ga ds fos possbls, sot pa ds ncttuds top élvés ou bn pa la coplxté ds appochs écanqus utlsés, cs élénts nctant ans à popos d nouvlls éthods. Un fos qu la géoét t l'état d pétnson d la stuctu sont détnés, l concptu s'ntéss dans un scond tps à sa éalsaton. Il s'agt dans l cas pésnt d spécf ls fos d découp d la tol, c'st à d ls pècs d tssu dont l'assblag ptta d concvo au ux, apès s n tnson su l st, la ban nvsagé. Ctt étap, désgné sous l t d Découp d Lazs, dot êt condut d façon à ns ls us obtnus à ctt occason. La ptnnc t ls pfoancs ds pocédés utlsés sont ans n laton dct avc l'étndu ds possbltés offts à l'achtct. Enfn, c'st sulnt dans un dn tps qu l'attnton s pota su l'analys du copotnt d l'édfc sous à ds actons xtéus (généalnt d typ clatqu : vnt, ng...). Ctt analys écanqu st d fat ons pépondéant dans la concpton ds Stuctus Légès qu dans cll ds stuctus classqus. L'nsbl ds poblès posés put êt analysé n plaçant pa xpl l'étud ds Mbans Txtls Achtctuals dans l contxt plus généal d la concpton d systès. L schéa tnu pt d popos un od ogansatonnl posant su quat paaèts pncpaux d la concpton : Fos, Focs, Matéaux t Stuctus. L concpt d Focs s'ntpèt, au sns lag, slon ls dvss actons xtéus suscptbls d'êt ss n u ans qu slon ls caactéstqus d pétnson xstant au sn d l'ouvag. Dans l cas ds stuctus tndus, cs dnès actons ont un caactè pannt t lls suls sont pss n copt dans l cad d cs tavaux. La noton d Matéau st pou sa pat clant défn n s éféant à l'élént consttutf n tant qu'ntté écanqu, ll cospond n c sns à ss los héologqus d copotnt. Ls analyss sont plus coplxs losqu'l s'agt d'abod ls concpts d Fos t Stuctus tant cs dux élénts sont ntnt lés. Ctt théatqu touv un écho dans la Mopholog Stuctual, téognant à ctt occason d la chss du langag ds Fos. Ct aspct a été souc d ultpls dévloppnts t l popos n'st pas d s'y consac à nouvau. Nous nous ltons à un défnton où la Fo pt d caactés l'xstnc spatal d'un obt, sot ntndu co la pocton du systè étudé dans l'spac géoétqu.

15 Intoducton généal 3 La noton d Stuctu dot d son côté êt cops n tant qu Stuctu Rlatonnll ds élénts constuctfs, c qu plqu sultanént l'énoncé d lus lasons avc l'nvonnnt xtéu (condtons d'appus, éthods t tchnologs d'accochag) t clu d lus lasons t ods d schéatsaton ntns (topolog stuctual du allag) [MOT 9] t [REN 9]. Maquons c un paus afn d claf l popos t, au tavs d'un bèv étud hstoqu, d dégag c qu consttua un ds lgns dctcs d cs tavaux d thès. L dévloppnt ds stuctus légès s dstngu n fft pa qulqus dats chanès. Ells cospondnt à l'édfcaton d'ouvags aquants ou à la s au pont d nouvaux outls d calcul, élénts tous dux à l'ogn d'avancés aus. L'hsto nous appnd ans qu ls constuctons à bas d ésaux d câbls tndus ont oué un ôl au. Ctons édatnt, t à ust tt, la couvtu ds nstallatons ds Jux Olypqus d Munch éalsé dans ls annés 7. Ct ouvag, d pa son potanc t la natu ds nnovatons appotés, a sv d catalysu n déontant d façon spctacula la fasablté d tls pots t a nsct dans l'agna collctf ls Stuctus Légès n tant qu pspctv d'avn. Un aut étap, d'od nuéqu ctt fos, a été fanch duant ctt ê péod gâc à l'appot d la Méthod ds Dnstés d Focs s'agssant d l'étud t du calcul ds stuctus n ésaux d câbls tndus. Ctt éthod s'st évélé tllnt pspcac t ffcac qu ctans ont dès los nvsagé d l'étnd au calcul ds tols txtls, s fondant alos su un hypothès d'équvalnc nt un ésau d câbls t un ban tndu. Ctt appoch st d'allus touous d'actualté t d nobux outls d'analys utlsés n Achtctu Txtl s'y éfènt nco. D'auts ont cpndant souhaté abod ls poblès posés dans lu ntè coplxté n délassant c Pncp d'equvalnc. Quo qu'l n sot, cs tchnqus d'étud ds ésaux d câbls tndus pésntnt pou l concptu d bans un étap ssntll ca lls pttnt d'ntvo ls psts à suv à pat d'un éctu splfé. Pou vn au concpt ophologqu d Stuctu Rlatonnll, nous dstnguons à pésnt ls dux appochs topologqus nvsagabls : un tol tndu sa consdéé co un ésau d câbls t nous ploons l vocabl d pésntaton lnéa (ou d schéatsaton dscèt), ou bn ll consva son ntégté n tant qu ban t nous palons d pésntaton sufacqu (ou schéatsaton contnu). Ctt doubl appoch sa pésnt tout au long d ctt thès où ls dux foalss sont abodés n paallèl, non sans avo ps son d'étud lus latons t tout patculènt la éalté d'un possbl équvalnc. Apès avo xposé ls quat concpts d Fos, Focs, Matéaux t Stuctus, l'attnton s pot à pésnt su ls aspcts fondantaux qu pésntnt ls lns qu ls unssnt, s stuant bn au-dlà d spls dépndancs pou dvn consttutfs du systè n lu-ê.

16 4 La déclnason Fos-Stuctus ayant déà été évoqué, consacons nous à cll d Fos-Focs. L'Achtctu Txtl, t d façon plus généal tout typ d systè constuctf pésntant ds caactéstqus d pécontant, s caactés pa un fot coélaton nt cs dux concpts, ls latons possbls dévant nécssant d la noton d'équlb écanqu du doan. S ls Focs s'ntndnt sulnt au sns d'ffots ntns ou au cas patcul d focs xtéus svant à tt l'ouvag n pétnson (à l'ag ds Stuctus Gonflabls), l'étud d cs cospondancs put s'nsc dans l contxt plus généal d la Rchch d Fo. L couplag nt ls concpts d Fos, Focs, Stuctus t clu d Matéaux n'ntvnt qu pa la sut. Il flèt n fft l passag d'un odèl théoqu aupaavant spécfé los du pocssus d Rchch d Fo vs sa éalsaton. Il cospond n c sns à la détnaton d'un confguaton géoétqu t latonnll d dépat qu, un fos s n plac su l st slon ls ods d lasons avc l'nvonnnt xtéu énoncés pa la noton d Stuctu, dva spct l plus fdèlnt possbl cux ssus ds concpts d Fos t d Focs. Dans l cas patcul ds bans txtls, l s'agt d spécf ls élénts d tssu d fo plan (applés lazs) dont l'assblag consttu ctt confguaton d dépat. Nous avons ans vu appaaît n flgan, tout au long d ctt ntoducton, c qu va consttu l'ossatu d cs tavaux. La pè pat d c éo a n fft pou obt la Rchch d Fo t la Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals. Il s'agt d'abod la laton Fos-Focs dans l cad d'un pésntaton lnéa pus d'un appoch sufacqu, non sans avo débattu d'un possbl cospondanc. L'étud d la stablté d cs stuctus vnt nsut n coplént ndspnsabl. Ell pt d statu su l'xstnc t l'od d'évntuls écanss pou n vs l'énoncé d ctès d stablté t n t ls conclusons qu s'posnt. La scond pat s'ont vs l'étud d systès natuls avc un appoch écanqu t s touv ans consacé à la Rchch d Fo d Confguatons Mnals. Plus pécsént, l popos consst à étud cs supnants t xcptonnlls notons qu pésntnt ls Résaux d Longuu Mnal t ls Sufacs d'a Mnal pus à découv ls épcussons qu'lls puvnt avo dans l doan ds Stuctus Légès. En dn lu, la tosè pat st dédé à la Découp d Lazs t à la Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals. Fasant c ntvn l paaèt Matéau, l s'agt d détn un confguaton d dépat non tndu qu, un fos s n plac su l st, éponda au plus pès aux xgncs du concptu. L'étud d ctt coélaton s'nvsag d'apès un odélsaton du Pocssus d Déplont t pt alos d pononc un ugnt su ls pocédés d Découps d Lazs aupaavant spécfés.

17 Intoducton généal 5 Co annoncé pécédnt, l'analys statqu ou dynaqu du copotnt ds stuctus tndus sous actons xtéus n'st volontant pas abodé dans l cad d c taval. Afn d confé un axu d lsblté à c éo, ls dffénts pats s'nscvnt dans un schéa délbéént splfé : apès un chapt ntoductf t un dscpton d l'état d l'at, l txt st consacé aux nouvlls appochs t éthods poposés ans qu'aux ésultats obtnus. Ls consdéatons d'od théoqu déà connus t étayant l asonnnt sont dévloppés n annxs ou font l'obt d éféncs bblogaphqus. Il n st d ê pou ds déonstatons athéatqus qu, snon, suchagant l popos. Nous nvtons toutfos l lctu à s'y pot, t c dans l'optqu d'un llu copéhnson ds thès abodés.

18 Pat I Rchch d Fo t Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals

19 Intoducton 7 Intoducton La pè pat d c éo a pou obctf d popos un nouvll éthod d Rchch d Fo pou ls bans txtls tndus pus d'étud la Stablté écanqu ds stuctus ans éalsés. Apès avo posé ls hypothèss d'od écanqu qu nous suvont tout au long d cs tavaux, l'ntéêt s pot n p lu su l od d pésntaton lnéa qu défnssnt ls ouvags à bas d ésaux d câbls tndus. Ls éalsatons aus sont ss n avant, suvs pa la pésntaton d la Méthod ds Dnstés d Focs. Dans l cad d'un foals pttant d caactés ls sous-spacs vctols ds états d'autocontant, on ont qu l'hypothès du Pncp d'equvalnc nt un ésau d câbls t un ban tndu n'st pas touous véfé. Afn d pall ls nconvénnts d la schéatsaton dscèt, un nouvau pocssus d Rchch d Fo fondé su un appoch sufacqu st ans poposé. Répondant à l'appllaton d Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, ll appaaît co un xtnson d la Méthod ds Dnstés d Foc t, d pa son éctu, autos ds foulatons xts ans qu la Rchch d Fo d stuctus gonflabls. D nobuss applcatons sont xposés t soulgnnt sa légtté. L dn chapt tat d la Stablté ds stuctus tndus. Résaux d câbls ou tols txtls, l s'agt d véf s ctt noton fondantal st spcté. La détnaton d l'od ds écanss du systè ans qu l'énoncé d ctès d stablté pt d épond à ctt quston postvnt.

20 8 Pat I Hypothèss fondantals Avant d conc l'xposé d cs tavaux d thès, l st nécssa d pésnt ls hypothèss qu nous accopagnont duant c pacous. Hypothès H : L'étud s stu dans l cad ds ptts défoatons élastqus. Ctt consdéaton ntvnda dans la pat III dédé à la découp d Lazs ans qu'à la s n pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals. Hypothès H : Expés dans un pè local lé à un élént d ban, ls contants d Cauchy d ct élént véfnt ls latons suvants : σ << σ t σ << σ σ loc z loc xz loc x loc xy loc z loc yz << σ t σ << σ loc y loc xy Cla sgnf qu l'on s stua, pou un élént d ban, dans un contxt d Contants Plans. D plus, l cad ds défoatons sa clu ds Défoatons Plans. Pou un élént d câbl, suls ls coposants d contants t d défoatons latvs à son ax longtudnal sont non nulls. Hypothès H3 : Ls élénts d câbl t d ban suvnt un lo d copotnt héologqu d typ sold élastqu lnéa. Ctt lo n'st vald qu dans l doan ds tactons, suls sollctatons copatbls avc la gdté unlatéal ds câbls t bans. Hypothès H4 : Dans un systè constuctf copotant un sul typ d'élénts, tous ls câbls ont ê scton t tous ls élénts d ban un épassu dntqu. Cla n'st pas focént valabl dans l cas d stuctus hybds, c'st à d copnant ds élénts d natus dffénts.

21 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 9 I- Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo I-- Ls éalsatons aquants Il st touous dffcl d'xta qulqus nos dans un lst dont chacun ds coposants pésnt n so un p aouté à l'édfc achtctual ds constuctons à bas d ésaux d câbls. Cpndant, l appaaît évdnt qu'un aoté ds psonns ntogés tta n p lu l'accnt su la éalsaton d la couvtu ds nstallatons accullant ls Jux Olypqus d Munch n 97 [HOL 97]. Répondant au souhat foulé pa ls autotés d la RFA d'un soluton nnovant t légè, l chox poposé pa ls achtcts Bhnsh & Patn fut tnu. Fat au, ls poblès posés pa la éalsaton tchnqu ds couvtus funt l'occason d éun qulqu uns ds plus gand spécalsts d l'époqu : on cta volonts F. Otto (sut à son xpénc acqus los d'un pécédnt éalsaton dans l cad d l'exposton Unvsll d Montéal), F. Lonhadt t J. Schlach. Consttué pa un succsson d stuctus ndépndants fondés su l'utlsaton d ésaux d câbls à doubl coubu nvs, l'nsbl occup un sufac total d 74 t s dstngu pa ds élévatons attgnant usqu'à 8. La couvtu au sns pop du t st éalsé pa l'ntéda d pannaux plxglas dsposés nt ls élénts d câbl. Fg. I- Stad Olypqu d Munch (vu d'nsbl) Ctt éalsaton s dstngu pa l'nsbl ds nnovatons tchnqus qu ont été appotés : d façon non xhaustv, nous pouvons tt n xgu ls étuds potant su la ésstanc n fatgu ds élénts d câbl, la concpton ds nouds t auts pècs d lason n ac. La détnaton ds dnsons du allag t l calcul ds découps d câbl fut d'abod nvsagé pa utlsaton d aqutts. Ls squs d'u étant toutfos top potants, d nouvlls éthods d calcul ont été ployés (éthod ds Dnstés d Focs nt auts, K. Lnkwtz Unvsté d Stuttgat [LIN 76]). Fg. I- Détal du ésau

22 Pat I L scond chox st baucoup plus psonnl; l s'agt d la tou d la cntal nucléa d Schhausn (Allagn). D'un hautu d 46 pou un daèt à sa bas d 4, ll st conçu su l pncp ds tous d fodssnt à sc t possèd ans ds dnsons supéus à clls ds tous d fodssnt huds d ê capacté. Un éalsaton n béton aé auat été ctannt ds plus pobléatqus copt tnu d cs Fg. I-3 Tou d Schhausn caactéstqus. Un habllag n tôl d'alunu st nsut placé su la fac ntn du tlls. Constut n 974 pa J. Schlach [HOL 97], ctt tou fut cpndant déol n 99 sut à la décson d édu pus d stopp l poga nucléa alland. I-- La Méthod ds Dnstés d Focs L'étud d la géoét d'équlb ds ésaux d câbls pétndus a été nvsagé slon dvss pocédus : éalsaton d aqutts [OTT 73], Rchch d Fo pa appoch géoétqu [KNE 9] ou écanqu (Méthod ds Elénts Fns [HAU 7]-[LEO 88] ou bn Rlaxaton Dynaqu [BAR 75]). S la dffculté posé st ssntllnt d'od nuéqu (ésoluton d'équatons non lnéas), un étap potant a toutfos été fanch n 97 losqu la Méthod ds Dnstés d Focs fut poposé. D'apès un dé ognal d K. Lnkwtz [LIN 7] nsut ps pa H.J. Shck [SHE 74], ll appot un splfcaton dans l'éctu ds équatons d'équlb t pt un calcul apd d la poston ds nouds du ésau. L pncp n st l suvant. On sol un noud du allag où c élénts d câbl sont connctés, chacun étant d longuu l, sous à un tnson t t lé au noud (fgu I-4). La so ds actons xcés pa ls câbls su l noud st égal à : c c X Z Y l x c Fg. I-4 Equlb du noud f = f = c t = = La coposant d x c su l'ax global X étant x cx (avc X = X X ) l vnt : f X = c t = l X x c X = l L'équlb du noud posant f X =, on obtnt un laton non lnéa pou détn la valu d X. L'dé consst à lnéas ctt équaton n consdéant l appot : (I-) (I-) q l t = (I-3) l L t q l st applé coffcnt d dnsté d foc pou l'élént d câbl.

23 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo A pat d là, on put calcul X slon la fo spl : c c X q = ( q X ) (I-4) l = = L'xtnson d ctt déach à l'nsbl du ésau pt d'éc un laton atcll d la fo : l [ D] { X l } = { D X } (I-5) où { X l } désgn ls coodonnés n X ds nouds lbs d la confguaton d'équlb; [ D ] st foncton ds coffcnts q l, { D X } égalnt as dépnd auss ds coodonnés ds nouds fxs. Un tll éctu s touv pa analog slon ls axs Y t Z d la stuctu. La ésoluton d ctt équaton put êt ffctué pa nvson d [ D ] ou bn slon un éthod téatv. Ds latons plus détallés sont pésntés n annx A. La fo d'équlb obtnu étant dctnt n laton avc ls dffénts coffcnts d dnstés d foc choss, l concptu put ans la odf à volonté sans chang ls condtons d'appu d la stuctu. D la ê façon, l put auss gé la coubu ds câbls d alngu stués su ls côtés n fasant d'auts chox pou cs coffcnts. Fg. I-5a Mallag plan Fg. I-5b Condtons d'appu Fg. I-5c Fo calculé Ls fgus I-5 llustnt la déach suv où, à pat d'un allag ntal plan auqul sont spécfés ds condtons d'accochag, la Méthod ds Dnstés d Focs détn un possbl géoét d'équlb. Ls tnsons dans ls élénts d câbls sont nsut calculés d'apès ls latons (I-3). Ctt éthod s dstngu pa sa apdté t sa faclté d'ntégaton au sn d'un logcl CAO d Rchch d Fo [PAU 94]. Un ds épcussons édats a été d'nvsag d l'étnd à l'étud ds Mbans Txtls Achtctuals. Ctt appoch s fond dès los su un hypothès d'équvalnc nt un ésau d câbls tndus (pésntaton lnéa) t un tol tndu (pésntaton sufacqu). Dès los, un tll déach susct ls qustons suvants : - Un géoét d'équlb d'un ésau d câbls tndus put-ll auss cospond à un confguaton d'équlb d'un ban tndu? - Connassant ls tnsons xstant dans ls dffénts élénts d câbl, cont évalu la dstbuton ds contants d pétnson au sn d la tol? S cs aspcts puvnt paaît d façon topus scondas aux yux d l'achtct, ls sont podaux pou l écancn.

24 Pat I Il st n fft possbl d'agn qu, s c Pncp d'equvalnc n'st pas véfé, ds zons d la ban puvnt êt localnt détndus t ans suscptbls d posséd ds pls. Out un péudc sthétqu ctan, cs zons ctqus pésntnt un squ potntl d foaton d pochs d'au stagnant t ans pot attnt à l'ntégté d l'édfc. Cs poblès sont abodés dans l chapt suvant où l s'agt d'étud la laton Fos-Focs au sns unvoqu, c'st à d pos la quston suvant : qul état d pétnson cospond à un géoét donné? I- Etud ds états d'autocontant t valdté du Pncp d'equvalnc Avant tout chos, l convnt d pécs c qu l'on ntnd pa l vocabl "ban tndu". En consdéant ls valus pncpals σ t σ du tnsu ds contants d Cauchy défn dans l pè local d l'élént, l faut qu : c c - σ = σx > pou tout élént d câbl (appoch lnéa) (I-6a) - σ > t σ > pou tout élént d ban (appoch sufacqu) Dans c scond cas, on ont qu cs latons sont véfés s [MAU 95] : x y xy σ x >, σ y > t σ σ σ > ( ) (I-6b) I-- Rchch ds états d'autocontant En l'absnc d focs xtéus, l'équlb écanqu d'un doan Ω s tadut pa la laton : où { } F nt { } { } F nt = (I-7) pésnt l vctu généalsé ds ffots ntns su la stuctu. En dscpton ulénn su Ω, on put calcul l vctu élénta ds ffots ntns { } f d'apès la laton (B-) établ n annx B où sont s n plac ls dffénts opéatus t ls gandus écanqus utlsés. { f } [ L ] T b { } = σ dv (I-8) V S on xp l vctu pécontant d Cauchy dans l pè local d l'élént, l vnt (n consdéant la atc d passag latv aux contants défn n C-) : { f } [ L ] T = [ σ ] { σloc } b T ' dv (I-9) V

25 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 3 En consdéant pou un élént d ban { } T loc { loc} c c c c un élént d câbl { σloc} = { σ loc} { σ } σ = = { f } [ a ] { loc} où v pésnt l volu d l'élént su Ω. T σ = σ = σ x σ y σ xy t pou x, nous écvons : Apès assblag ds latons éléntas (I-), l vnt : = v σ (I-) { Fnt } [ ] { loc} = A σ (I-) La atc [ A] pnd l no d atc d'équlb du systè; ll pt d détn un bas ds vctus d'autocontant possbls, c'st à d l'nsbl ds vctus { σ loc } pou lsquls l st véfé : [ A] { σ loc } = { } (I-) Pou cla, l sufft d chch l noyau d la atc d'équlb K A. S l sous-spac vctol ans ngndé st vd, cla sgnf qu la confguaton étudé n possèd aucun état d'autocontant. Dans l cas conta, l faut véf qu'l xst au ons un vctu d'autocontant non nul copatbl, sot un cobnason lnéa ds vctus d la bas d'autocontant pou laqull tous ls élénts d la stuctu sont n état d tnson (latons I-6). S l'on consdè qu l doan Ω st pésnté d façon dscèt (ésau d câbls caactésé pa un sous-spac vctol d'autocontant K A c ) ou slon un schéatsaton contnu (élénts d ban), l Pncp d'equvalnc suppos qu : cp { σ loc} { } K A cp K A c t { σ } { } loc (I-3) Nous allons à pésnt, su un xpl conct, étud s ctt hypothès st touous véfé. I-- Valdté du Pncp d'equvalnc La confguaton poposé s copos d 9 nouds, 8 élénts d câbl n pésntaton lnéa t 8 élénts tangulas d ban n od sufacqu. L tablau c-cont donn ls caactéstqus d qulqus nouds (ls auts s'n dédusant pa syét slon ls axs X t Y, s appot à la fgu I-6a). Ls cass n gsé cospondnt à un blocag du noud slon la dcton consdéé. Nouds 3 4 X 3 Y Z

26 4 Pat I 9 4 Y Z X Fg. I-6a Résau d câbls Fg. I-6b Elénts d ban La confguaton lé à la pésntaton dscèt possèd d façon évdnt un état d'autocontant copatbl déct pa : σ cà4 c5à6 3 7 c c = t σ = σ ; σ 7 à 8 5 c = σ (I-4) On chch antnant un bas ds états d'autocontant lé à un pésntaton sufacqu d la stuctu n tnant copt d ss syéts (fgu I-6b). L'étud nuéqu d K A nous pécs un bas foé d quat vctus { } à { 4 } : K à 4 à 4 à 4 à à à A σ x σ y σ x y σ x 5 8 σ y 5 8 σ x 5 y 8 { } { } { } { } (I-5) Nous aquons qu qulqu sot la cobnason lnéa ds vctus { } à { } 4 chos, ls élénts d ban 5 à 8 n puvnt posséd un état d pécontant copatbl slon ls latons (I-6). Dans ct xpl, la condton foulé n (I-3) n'st donc pas véfé. Un tll applcaton, poutant spl d éalsaton, ont qu'l xst ds stuatons où l Pncp d'equvalnc st s n défaut. Un Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals fondé su un appoch lnéa pa ésau d câbls st nsuffsant. Il faut ans nvsag d'auts éthods utlsant un pésntaton sufacqu d la tol. Avant d'abod ctt quston d façon détallé, l pocédé d chch ds états d'autocontant dévloppé nous pt d'ouv c un bf apaté. Il s'agt d l'applqu au cas d'un systè copotant à la fos ds élénts d câbl, d ban as auss d ba.

27 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 5 I--3 Etud d'un systè hybd L vocabula achtctual s'st nch ds dnès annés d'un nouvau t : ls Systès d Tnségté. Cs stuctus s caactésnt égalnt pa l'utlsaton d la pécontant n tant qu pncp constuctf. Ls confguatons ls plus couants sont fondés su l'assocaton d plusus oduls d bas, l plus spl d'nt ux étant applé Splx [VAS 97]. C systè copot 3 élénts d ba sous à d la copsson, ds napps supéu t nféu d câbls d longuus dntqus (6 élénts au total) ans qu 3 auts câbls dts "d'nttosnt". Il possèd bn ntndu un géoét d'équlb Ω avc un état d'autocontant copatbl (fgu I-7a). Fg. I-7a Splx L'dé consst à plac ls dux napps d câbls pa dux élénts d ban t à détn alos ls évntuls états d'autocontant (fgu I-7b). Afn d splf ls calculs nous allons nvsag un cas patcul où : T { loc} { so} σ = σ = σ σ = σ (sot σ = σ = σ t σ = ) (I-6) T x y Un tl vctu élénta d pétnson st dt sotop, l st auss focént copatbl s σ >. On foul à nouvau (I-9) n utlsant (C-), l sut : { f } = v [ aso ] { σ so} avc [ aso ] [ bl ] T { T so } = σ' (I-7) xy Z Fg. I-7b Stuctu hybd 3 6 Y 3 X Nouds X Y Z Ls caactéstqus ds nouds sont donnés dans l tablau c-dssus (n ). Dans l cas patcul ds stuctus hybds, on dot spécf ls dnsons ds élénts, sot un scton s c = c pou ls bas ans qu ls câbls t un épassu p = pou ls bans.

28 6 Pat I Pou l Splx avc ds napps hozontals d câbls (élénts 7 à non pésntés), la bas d'autocontant st bn connu; ll st d la fo : K A c = { } cà3 b4à6 c7à σ σ σ (I-8) Apès assblag ds latons (I-7) t n tnant copt ds élénts lnéas, on étud K A c so. La bas d'autocontant n copot qu'un vctu t on véf qu'l st copatbl avc tous ls élénts (bans t câbls tndus, bas copés). K cà3 b4à6 7à8 σ σ σ A c so = { } (I-9) Raqu : Un véfcaton put êt ffctué au gad d la laton (I-) qu pt d calcul ls ffots ntns d tnson su ls côtés d'un élént d ban à pécontant sotop. p Avc tgα = 3, l b = t t = σ lb l vnt : tgα t sc = = p (I-) 3 Bn qu'applqué c su un xpl spl, ctt appoch ont qu'l st possbl d détn nuéqunt ls états d'autocontant d stuctus hybds. On a égalnt ffctué d'auts calculs potant su ds systès plus coplxs. Ls ésultats obtnus s ésuant à l'énuéaton d valus n sont volontant pas xposés. Ds applcatons tès concèts sont dès los nvsagabls, s'agssant pa xpl d l'étud d dôs-câbl avc couvtu tol (fgu I-8) [ISH 95]. Fg. I-8 Dô-câbl avc ban txtl

29 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 7 I-3 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals I-3- Qulqus éalsatons Focé d constat, un fos d plus, qu c n sont pas focént ls édfcs ls plus dffcls à concvo qu sont auss ls plus agéabls à nos sns, t qu'l st ds ouvags bn plus spls n total haon avc lu nvonnnt t lus péatfs fonctonnls, c'st toutfos avc l gad du tchncn qu l chox s'st poté su qulqus éalsatons sgnfcatvs. Fg. I-9 Ha Tnal La pè stuctu llust, d pa ss dnsons posants, l potntl ds constuctons légès. Tous cux pnsant cantonn c typ d éalsaton dans ds ôls nus sont sups pa la couvtu n tol du Ha Tnal d l'aéopot d Dddah n Aab Saoudt (fgu I-9). Conçu n 98 pa H. Bg, ct ouvag fut l'occason d'appot d nobux élénts d épons à ds poblès d'od écanqu ou thqu [HOL 97]. La couvtu du stad d Tokyo pésnt, dans un pays où l'achtctu Txtl st lagnt planté, la fgu d pou ds éalsatons à bas d bans gonflabls. D'un sufac supéu à 8, l tot all un stuctu n câbls avc un tol d typ fb d v- Téflon; l fut conçu n 988 pa N. Skk [ISH 95]. Fg. I- Tokyo dô Fg. I- Couvtu du Zénth La Fanc, d son côté, s dstngu pa un ctan flosté n la atè. Ctt stuaton sbl néanons évolu d façon pogssv t qulqus constuctons appaassnt à nos yux, ctans gttont toutfos qu lu fnancnt pos ssntllnt su ds fonds publcs. On cta volonts la couvtu ds salls d spctacl d typ Zénth (fgu I-) [PIC 97].

30 8 Pat I I-3- Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo Ls pès appochs qu l'on pouat qualf d vant gouuss ont fat lu appaton vs c lu d sècl. Ells étant fondés su l'étud d odèls physqus tls qu ds aqutts n vol lég ou bn ds fls d savon cnsés déc la géoét ans qu la dstbuton ds contants au sn d la tol. Mnés n au pat sous l'pulson d F. Otto, cs tavaux ont pa allus appoté bn ds éclacssnts t ps d constu avc succès d nobux ouvags [OTT 73]. Ls dévloppnts apds d l'nfoatqu ont pa la sut ntaîné la pédonanc du calcul pa l'appaton d odèls t éthods nuéqus. Nous lassons bn ntndu d côté tout ls foulatons fasant appl à un pésntaton lnéa du poblè à l'ag d la Méthod ds Dnstés d Focs [NGU 79]. E. Haug t G. Powll ont ls ps s n évdnc n 97 un pocédé d Rchch d Fo pa utlsaton d la Méthod ds Elénts Fns dans un contxt d'analys statqu non lnéa d'od géoétqu [HAU 7]. Pu d tps apès (975), M.R. Bans a défn un appoch fondé su la éthod dt d Rlaxaton Dynaqu aupaavant poposé pa A. DAY [BAR 75 t 8], [DAY 65]. Foulé d'apès l'éctu ds équatons d'équlb d la stuctu n dynaqu, ctt déach put toutfos s ésu ll auss n un analys non lnéa. Cs dux appochs pésntnt cpndant d nobux nconvénnts. Pou l'ngénu tout d'abod, ca lls n pttnt pas d contôl l'état d pétnson d la tol ans calculé t ctans zons puvnt alos s touv n copsson. La géoét d'équlb st n fft obtnu pa défoatons succssvs d'un confguaton ntal n agssant su ss condtons aux lts. L'achtct sa égalnt snsblnt déouté pa cs éthods où la fo céé n'st qu tès pu pévsbl à l'avanc. S ll n lu convnt pas, l dva alos défn un nouvau allag ntal. Il faut égalnt soulgn qu cs appochs éclant l'utlsaton d logcls souvnt coplxs t d tps d calcul élvés, sauf cous à d pussants outls nfoatqus. Cla dt, xcpté ls éthods lés à un pésntaton lnéa qu sont aotas, lls consttunt la quas totalté ds auts cods d calcul qu l'on ncont dans ls buaux d'étud ou auts cabnts d'ngén. Désant pall cs nconvénnts, R. Hab t J. Abl ont suggéé n 98 un pocédé alos éputé appot épons su d nobux ponts. La déach s vut n fft êt ndépndant du atéau t ptt au concptu d spécf la dstbuton ds contants su la ban [HAB 8]. Ls xpls pésntés pa ls autus d la éthod sblnt d'allus all dans c sns. On constat toutfos qu ls applcatons sont stés tès agnals. Baucoup plus écnts, ls tavaux nés pa K.U. Bltzng su ds éthods dts d'hootop ou d'urs (Updatd Rfnc Statgy) sont potus d baucoup d posss. Ms à pat un ctan coplxté ds calculs à ffctu, l'appoch écanqu st nnovant, audacus t ouv ans d nobuss pspctvs [BLE 97].

31 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 9 Ayant la volonté d pésnt un nouvll éthod d Rchch d Fo pou ls Mbans Txtls Achtctuals, nous avons tnus ls ctès suvants : - Il faut avo un contôl suffsant du chap d pétnson ngndé dans la tol pou évt touts zons n copsson. - La possblté d gé d façon apd t ntactv ls dffénts fos obtnus dot êt offt au concptu. Nous aquons édatnt qu l p aspct st valdé s l'on a ds vctus d pécontants copatbls pou chaqu élént d ban, t tout patculènt s l s'agt d tnsus sotops d la fo { so} T σ = σ σ avc σ >. Ctt condton st à la bas d la éthod suggéé t qu nous allons déc dans l chapt suvant. I-3-3 La Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus I-3-3- Expsson ds ffots ntns dans l cas d'un pétnson sotop -a- Equlb d'un élént d ban S l'on éct la laton (I-9) pou un élént d ban dans son pè local (fgu I-a), l sut : f p { floc} = f avc { f } = σ x3 (I-) f f 3 y f f 3 y 3 3 p x { f } = x3 y p σ t { f3 } = σ x Fg. I-a Effots ntns Il st possbl d pot ls vctus f su ls côtés du tangl (fgu I-b); on calcul ls valus ds tnsons t pa : t p = lb tgα σ (I-) En consdéant ls vctus noés n assocés aux hautus du tangl (fgu I-c) : f p = σ lb n (I-3) Raqus : - S l'on dés xp la coposant ds ffots ntns f dans l pè global lé à la stuctu, l sufft d'éc l vctu n dans clu-c. - Au cous ds pats I t II d c éo, la confguaton d'équlb sa touous Ω ; auss l t n'appaata plus n ndc ds quanttés xpés.

32 Pat I t t 3 α l b l b3 t t 3 α α 3 l 3 t b t Fg. I-b Tnsons su ls côtés l b3 n 3 l t l h n 4 n l b l b Fg. I-c Pocton othogonal 3 Avc l pont 4, ntscton d la hautu l h assocé au noud t à son côté opposé, on put éc : f p = l l p 4 b σ 4 = h σ b 4 s l (I-4) L t σ s st l appot nt la contant sotop d l'élént t son a. Ctt consdéaton st au cou d la nouvll appoch poposé où, pa xtnson d la Méthod d Dnstés d Focs, nous désgnons l appot : q s = σ (I-5) s co l coffcnt d dnsté d contant sufacqu assocé à l'élént. X Z Y f l b 4 Fg. I-3 Equlb du noud 3 t 4 3 b X = X + l X l Nous défnssons alos ls quanttés : -b- Equlb nodal S l'on étud antnant un confguaton avc élénts d ban lés au ê noud (fgu I-3), la ésultant ds ffots ntns n c pont s'ntpèt slon : p f = f = q s lb 4 (I-6) 4 = = Co l'on put calcul : où l t = l 3 (I-7) b NX = qs l b X4 t D = q l b = s = (I-8) C qu pt d'éc ls coposants d la ésultant ds ffots ntns applqués su l noud : p fx p = ( NX D X ) ; fy p = ( NY D Y ) t fz = ( NZ D Z ) (I-9) 4 4 4

33 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals La chch d la poston d'équlb du noud s'ffctu n consdéant qu'll cospond à f =, sot ls latons : X NX NY = ; Y = t Z D D NZ = (I-3) D On détn ans un nouvll poston du noud pou laqull on calcul ls coposants d f slon (I-9). La pocédu téatv st aété losqu c vctu st suffsant poch du vctu nul, c qu suppos bn ntndu un convgnc du pocssus. I-3-3- Etud d la convgnc Nous allons à pésnt établ d façon détallé ls équatons qu tadusnt l'évoluton ds paaèts tout au long du pocédé téatf. A l'téaton (p+) on put éc : En consdéant Q s qs = qs l b = X (p) q X (p) s lb 4 (p+ ) NX = = = D qs lb = l sut : (I-3) (p+ ) (p) (p) (p) XX XY XZ X X = A X + A Y + A Z + B (I-3) avc : AXX = Qs ( X3 ) = AXY = Qs ( X3 Y 3 ) = A XZ = Qs ( X3 Z 3 ) = B X = Qs Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) = ( ) (I-33) D façon dntqu, on put calcul ls auts coodonnés du noud pou l'téaton (p+) : (p+ ) (p) (p) (p) YX YY YZ Y Y = A X + A Y + A Z + B (p+ ) (p) (p) (p) Z = A X + A Y + A Z + B ZX ZY ZZ Z (I-34)

34 Pat I A A A où l'on défnt : A B B YY YZ ZZ YX Y Z = A = = = = = = = = = = Q ( Y Q ( Y Q Q ; A ( ( X X 3 3 Q ( Z XY s s s s s 3 ZX 3 3 ) 3 ) = A ( X Z ( X XZ ) ; A Y 3 Z 3 ZY X X = A 3 3 Y YZ Z ) + Z 3 ) + Y 3 ( Y 3 ( Y Z Z 3 Y Y 3 Z 3 Z ) ) ) ) (I-35) Cs équatons puvnt s tt sous la fo atcll : X Y Z (p+ ) (p+ ) (p+ ) S l vctu { X ( ) } A A A = A A A A A A XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ X Y Z (p) (p) (p) B + B B caactés la poston ntal du noud, l vnt : p (p+ ) p + ( ) k { X } = [ A ] { X } + ( [ A ] ) { B } k= X Y Z (p+ ) (p) ou { X } [ A ] { X } { B } = + (I-36) k avc [ A ] = [ Id3 ] (p+ ) (p) p ( ) { X } { X } = [ A ] ([ A ] [ Id3] ){ X } + { B } ( ) p L'annx E ont qu ls ts d [ A ] véfnt l [ A ] = [ ] p pou k = (I-37) (I-38) 3, c qu sgnf qu l pocssus convg vs la poston d'équlb du noud. Nous ploons à c popos la tnolog d convgnc local. A pat d (I-37) l vnt : (p ) p ( ) p { X } = [ ] { X } + ([ 3] [ ] ) [ 3] [ ] [ ] { } A Id A Id A B (p ) p ( ) { X } [ ] { X } [ 3] [ ] [ ] { } [[ 3] [ ]] { } + + = A ( Id A B ) + Id A B (I-39) (I-4) qu tnd à l'nfn vs : (p) { } = [ 3] [ ] [ Id A ] { B } l X p Nous avons ans la laton fondantal d'équlb nodal : [ Id A ] { B } { X } = [ 3] [ ] (I-4) (I-4)

35 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 3 Ctt équaton qu pt d détn la poston d'équlb du noud st à la bas d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. Son éctu splfé (la sul opéaton "coplx" ésd dans l'nvson d'un atc X. Dux évntualtés s pésntnt alos : 3x3) autos un calcul apd du vctu { } - Sot l concptu souhat utls la déach téatv défn n (I-3) t a ans la possblté d l'aêt losqu l vctu ds ffots ntns st nféu à un sul dandé. - Sot l dés obtn un pécson axal, c qu suppos un pousut ds téatons à l'nfn, t l put dans c cas utls la laton d'équlb à l'nfn (I-4). L chox lèv n fat d'un copos nt l tps d calcul pat t la pécson voulu. Losqu la poston d'équlb st attnt, ls as ds dffénts élénts sont évalués t pttnt d calcul ls valus ds contants sotops pa : σ q s s = (I-43) Ctt pocédu st applqué à chaqu noud lb d la stuctu usqu'à c qu la fo d l'nsbl attgn un poston d convgnc. S c'st l cas, nous palons d convgnc global du pocssus. L'équaton (I-4) ont qu ctt géoét fnal st obtnu dctnt n laton avc ls dffénts valus attbués aux coffcnts d dnstés d contants sufacqus q s pa l'ntéda ds atcs [ A ] t ds vctus { B }. Co dans la Méthod ds Dnstés d Focs, l concptu a ans la possblté d odf la fo d'équlb n agssant su ls coffcnts q s, t c sans odf ls condtons d'appu du systè. I Applcatons L p xpl llust l cas où, patant d'un allag ntal plan pou lqul on a spécfé ds condtons d'appu (fgu I- 4a), un pè Rchch d Fo st ffctué avc ds coffcnts d dnstés d contants sufacqus dntqus (fgu I- 4b). Dans un scond tps, l concptu pos q s = pou ls élénts stués au cnt d la stuctu t q s = pou ls auts (fgu I-4c). Fg. I-4a Confguaton ntal Fg. I-4b Fo fnal avc q s = Fg. I-4c Fo avc dffénts coffcnts q s

36 4 Pat I Fgs. I-5 Qulqus confguatons calculés pa la MDCS Ls fgus I-5 ttnt n évdnc d'auts applcatons où dffénts vaétés d fos sont obtnus. C'st auss l'occason d sgnal qu touts ls géoéts ntals ployés tout au long d cs tavaux d thès ont été conçus pa utlsaton d la Fox Algèb. Ct outl (copnd Algèb ds Fos) s'avè n fft pafatnt adapté à la généaton d tlls stuctus spatals, allant à la fos ds qualtés d apdté, splcté t ffcacté [NOO 93]. L pocssus d concpton pos su l'utlsaton d schéas paaétés t off un gand dvsté dans ls géoéts t Stuctus Rlatonnlls ngndés. La paol put ans êt donné n tout confanc à l'achtct, sachant qu ls confguatons qu'l va détn pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus offnt touts ls gaants souhatés n ts d écanqu. Il st d'allus possbl d'llust c popos avc un xpl spl. La fgu I-6a pésnt un tol plan fxé su ss côtés t su un noud cntal n poston haut. L calcul d la poston d'équlb du systè dans l cad d'un schéatsaton dscèt (Méthod ds Dnstés d Focs) èn à un géoét d'autocontant (fgu I-6b). Fg. I-6a Mallag ntal Fg. I-6b Rpésntaton lnéa Fg. I-6c Mod sufacqu Cpndant, c ésultat put paaît assz toublant à tout psonn ayant déà été confonté à la éalsaton d tols tndus, n sat-c qu pa l'ntéda d aqutts n tssu. Nous savons n fft qu'un tll confguaton ntaîn focént l'appaton d pls au sn d la tol. S l'on ffctu antnant un Rchch d Fo slon un pésntaton

37 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 5 contnu du lu, n l'occunc d'apès la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, nous aquons qu l pocssus n put convg globalnt vs un poston d'équlb. Cla tadut l fat qu'l n put xst un bas d'autocontant fondé su l'utlsaton d tnsus d pétnson sotops t qu'l sat alos nécssa d pnd n consdéaton ds ts d csallnt avc bn ntndu un squ potntl d zons d la ban n état d copsson. Il st ans constaté qu c spl xpl t n défaut, un fos d plus (cf I--), l Pncp d'equvalnc foulé n (I-3). La dvgnc global d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus st huusnt dans l cas pésnt d gad-baè n évtant au concptu d cott ds us péudcabls. I Cobnason avc la Méthod ds Dnstés d Focs Ctt pat tat l cas pou lqul ds câbls d alngu sont stués su ls côtés d la tol. Nous allons consdé un confguaton avc élénts d bans t c élénts d câbl lés au noud t aux nouds péés 5 (fgu I-7). X 5 Z Y c f f l b 4 Fg I-7 Elénts d câbl 3 La so ds ffots ntns xcés au noud s'éct : c p c c f = f + f s l = q b 4 + ql 5 (I-44) 4 = = = = Ls équatons d'équlb ( f = ) nous donnnt ls ês latons (I-3) as avc : c NX = qs lb X + q X l = = c NY = qs lb Y4 + q Y l 5 = = c NZ = qs lb Z4 + q Z l 5 = = 4 5 c s b = = t D = q l + q l (I-45) Dans c cas auss, on put détn la poston du noud d façon téatv ou pa ésoluton du systè (I-4). Il st n fft possbl d ont qu ls ts d la atc p [ A ] sont tls qu l [ A ] = [ ] p 3 st touous véfé (cf. annx E). Ctt appoch cobné pt au concptu d gé tout à la fos la coubu ds câbls d alngu stués n péphé (n agssant su ls coffcnts q l ) ans qu d odf localnt la fo d la tol (coffcnts q s ).

38 6 Pat I Nous allons llust ctt possblté pa l'xpl suvant. Il s'agt d'un stuctu d pa dont ls nouds postonnés su ls côtés d plus gand longuu sont fxs t décvnt un ac d ccl avc un hautu axal d 5 (nouds péés o). Ds alngus sont égalnt dsposés su ls côtés tansvsaux (nt ls nouds xtês aqués ). Fg. I-8a q s = t q l = 6 Fg. I-8b q s = t q l = 5 Fg. I-8c q s = t q l = Un pè fo st calculé avc tous ls coffcnts q s égaux à t ls coffcnts q l à 6. Dans c cas, la flèch ésultant au nvau ds câbls d alngu st d (fgu I-8a). S l'on pécs antnant qu q l = 5 ll dvnt égal à (fgu I-8b) pus chut à un valu d.5 s q l = (fgu I-8c). I Calcul d Stuctus Gonflabls L popos st à pésnt consacé au cas patcul ds stuctus pnuatqus dont la poston d'équlb dépnd d l'acton d'ffots xtéus d psson. La détnaton ds ffots ntns xcés n chaqu noud s'ffctu n aoutant à (I-6) un t supplénta dû aux coposants noals à chaqu élént d ban (ax local z ) t popotonnl à sa sufac ans qu'à la valu d la psson P. On éct alos : P s p P s f = f + = ( q s lb ) z 4 + z (I-46) = = = Nous sos toutfos confontés c à un poblè nouvau ca, s usqu'à pésnt l pocédé d Rchch d Fo nous pttat d'obtn un bas latv à un état d'autocontant (ls untés pouvant êt consdéés co "lbs"), l fat d'ntodu ds ts d psson (avc ds untés pécss) plqu un défnton gouus ds untés choss. La déach poposé st la suvant : ( ) - On st tout d'abod su l allag plan ntal la sufac oynn ds élénts s oy t, n consdéant un valu d pécontant d la tol σ, ls coffcnts d dnstés d contants sufacqus pa : ( ) q s = σ ( ) soy (I-47) - Un p calcul st éalsé; la fo obtnu pt d'avo un scond staton d la ( ) sufac oynn élénta s oy t ans d'attbu d nouvlls valus aux coffcnts ( ) q s slon (I-47).

39 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 7 La convgnc local du pocédé st égalnt assué ca l'ntoducton d focs d psson n fat qu'aout ds ts suppléntas aux vctus { B } xplctés dans ls équatons d'équlb (I-4). Nous allons llust ctt déach n ffctuant un Rchch d Fo su un stuctu bn connu : la couvtu ds Aèns d Nîs (fgu I-9a). La tol supéu déct su sa bas un llps d'axs 9 x 65 t la psson latv à l'ntéu d l'édfc st P =. 5 4 MPa (sot.5 bas). Son épassu st d'nvon.5. Fg. I-9a Aèns d Nîs ( ) Un p calcul ffctué avc ds coffcnts q MPa s 3 MPa. donn 6. 8 un flèch cntal égal à 7. (fgus I-9b t c). S l'on éactuals cs valus avc ( ) q s =. 5 MPa. nous obtnons alos un flèch d Fg. I-9b Vu n ppctv Fg. I-9c Vu d côté Mê s l st dffcl d'st l'état d pécontant él d la ban constut (pétnson d typ sotop?), nous aquons toutfos qu ctt valu st n adéquaton avc la flèch axal sué su l tan t égal à 8.. Ctt cohénc d ésultat pt ans d vald n pat l odèl poposé. A pésnt qu nous avons s n évdnc un pocédé d Rchch d Fo pou ls Mbans Txtls Achtctuals, l st cpndant un pont cucal su lqul l débat dot s pot. Un systè écanqu n état d'équlb n'st n fft ntéssant, au sns constuctf du t, sulnt s ct état d'équlb st ffctvnt éalsabl, c'st à d s sa stabllté st assué. Ctt noton plqu avant tout d détn d façon pécs ls dffénts écanss suscptbls d'êt s n u au sn d l'ouvag pus d'étud lus épcussons su l'équlb d l'nsbl. Tl st l'obt du chapt suvant où, d'abod dans l cad d'un pésntaton dscèt d la stuctu pus à pat d'un schéatsaton contnu, ds élénts d épons vont êt appotés.

40 8 Pat I I-4 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals I-4- Rappls su l'étud d la stablté ds équlbs L'étud d la stablté d'un systè consvatf put s'nvsag n utlsant l théoè d Lun-Dchlt où l st déonté qu, s l'éng potntll du systè adt un nu stct n un poston d'équlb, alos ctt poston d'équlb st stabl [BAM 8]. Dans l cas consdéé, ls sollctatons xtéus étant consdéés co nulls, l'éctu d l'éng potntll du systè s ésu à cll d son éng d défoaton Wd povnant ds ffots ntns. La confguaton d'équlb dont on dés tst la stablté, détné slon un pocédé d Rchch d Fo, pnd l'appllaton d poston d éfénc. Co ls déplacnts ds nouds sont nuls dans ctt poston, son éng d défoaton Wd d sot défn postv slon un déplacnt ( ) st égalnt null. Auss sufft-l qu { } { } d ps dans un vosnag d la poston d éfénc pou qu l'éng potntll du systè adtt un nu stct. D plus, l a déà été déonté qu la défnton t l'ndéfnton d'un foncton analytqu dépndat ds ts d plus bas dgé d son dévloppnt [CAP 9]. Cla sgnf ans qu s la pat pncpal d ctt foncton st un fo défn postv, alos ctt foncton st ll ê défn postv. Auss, suffa t-l pa la sut d consdé sulnt ls ts lés à la pat pncpal d l'éng d défoaton Wd, c'st à d ss ts d plus ptt od. Losqu'l st pécsé qu ls déplacnts { d } appatnnnt au vosnag d la poston d éfénc, cla plqu qu ctt étud d stablté s stu dans l cad d l'hypothès ds ptts ptubatons. D fat, l vctu déplacnt st d'od nféu ou égal à un, sot d. D façon généal l'od noté st défn slon = ζ = ζ où ζ st un él stctnt postf tès ptt dvant l'unté. S on lt l'éctu d'un quantté à son dévloppnt à l'od on utlsa l sgn (pou splf ls xpssons on ploa d péfénc au lu d ). En gus d concluson, nous pouvons d qu l ctè d stablté s ésu d la façon suvant : ( ) { d} { } avc, la stablté st assué s { } R N d ( ) Wd d >

41 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 9 I-4- Rchch ds écanss S l'on consdè un déplacnt généalsé { d } ds nouds d la stuctu, on put éc l tnsu lnéasé ds défoatons d Gn-Lagang assocé à chaqu élént slon (D-6) sous la fo : { ε L loc} [ Tε ] { ε L} [ Tε ] [ bl ] { d } = = (I-48) D'apès (C-) nous avons[ T ] [ T ] T ε σ élénta d'équlb [ a ] n (I-) : v { } v { } [ T ] T L loc L loc [ bl ] { d } v [ a ] T ε = ε σ = { d } sot apès assblag ds latons éléntas (I-49) avc { ε v L loc} v { ε L loc} { ε v } [ ] T L loc { d } = ' t ans, n utlsant la défnton d la atc ' (I-49) = : = A (I-5) L noyau d A T, sot K A T, défnt ans l sous-spac vctol ds écanss; c'st à v d l'nsbl ds vctus pou lsquls { ε } { ε } { } L loc = =. L loc Il st possbl d déont qu K A T t I A font dux sous-spacs vctols suppléntas t othogonaux dans l'spac R N, sot R K A I A. D façon généal tout vctu déplacnt put alos s décopos d façon unqu n [VAS 98] : N = T { d} = { d } + { d } où { } K A t { } I K d K T d I I A (I-5) I-4-3 Détnaton ds éngs d défoatons éléntas su l'spac ds écanss On consdè la stuaton où la stuctu possèd au ons un écans, c'st à d { d} = { d K } d'od n occultant ls déplacnts othogonaux { d I }. Il s'agt d popos un éctu atcll d l'éng d défoaton élénta w d K ({ dk }) pou chaqu élént losqu ss nouds s déplacnt slon un écans { d K }. I-4-3- Cas d'un élént d câbl L vctu élénta ds déplacnts nodaux ds nouds t xtétés du câbl consdéé s'éct : T d = d d = d d d d d d { K c } K K KX KY KZ KX KY K (I-5) Z

42 3 Pat I ' l c ' En notant dk = dk dk, la longuu apès ' d défoaton s détn pa (fgu I-) : K ' d lc = ' ' = l c+ dk + dk (I-53) K l c Z Co T d x c X Y K x c = su K A, l sut : ' dk. 5 dk l c= lc ( + ) l + (I-54) Fg. I- Défoaton d'un élént d l c lc T câbl su K A ' d La vaaton d longuu d l'élént étant K c = l c l c, la défoaton du câbl lc xpé dans son pè local s'éct slon la fo quadatqu : K dk ε NL x (I-55) l On put ans défn l'éng élénta d défoaton pa : ({ }) c w d c d K c 4 v c K c NL v c K c NL v c K σ + K ε x σx ε x c σ ε NLx (I-56) S l'on chost un éctu atcll l vnt : avc t c La atc syétqu [ d c ] (sous-ntndu ds écanss). d c K [ ] { } w d d d (I-57) K c c K c c = σ t sc [ ] [ ] d c c 3 = lc sy t Id sy [ Id3] (I-58) pnd l no d atc d caactésaton éngétqu I-4-3- Cas d'un élént d ban y L vctu ds déplacnts nodaux d'un élént s'xp pa : d = d d d = d d d d d d d d d { } K T K K K3 KX KY KZ KX KY KZ K3X K3Y K3 (I-59) Z lb3 ψ θ 3 x l b X Z θ z l b Fg. I- Elént d ban 3 Y Ls vaatons d longuus ds tos côtés d l'élént s détnnt pa (fgu I-) : d K 3 l b ; d K 3 l b t d K 3 l b3 (I-6) Ls défoatons latvs d cs ês côtés ont alos pou valus ε. l b

43 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 3 Dans l pè local lé à l'élént on put éc ls coposants du tnsu ds défoatons slon l'xpsson : K { ε NLloc} ε = ε ε K NLx K NLy K NLxy b c c b 3 3 bc3 cb3 a c a c c c ab3 a3b b3 b où θ pésnt l'angl onté dct stué nt l côté t l'ax x t : a D plus avc l'angl ψ = θ θ3, on ont qu : ε ε ε 3 (I-6) = cos θ ; b = sn θ ; c = cosθ snθ (I-6) b c Nous avons ans à la fo édut : ε ε K NLx K NLy c b = snθ snθ snψ > (I-63) l b lb tgθ tgθ s tgθ s tgθ n chosssant la atc [ ] 3 3 =. 3 d d d K3 K3 K = [ ] d d d K3 K3 K (I-64) T L'éng d défoaton élénta su l'spac d ss écanss K A d'un élént d ban n état d pétnson st défn pa : 4 K K ({ }) loc { NLloc} + loc { NLloc} loc { K NLloc} w d v σ ε v σ ε v σ ε (I-65) K d K S la confguaton d'équlb st détné slon la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, nous avons { } { } loc so σ = σ = σ pa xtnson d'éctu. Il vnt alos : wd v K NL + K NL = v dk + d + σ K d K ( ε x ε y ) σ ( K ) avc l t = + = s tgψ. D plus ls latons pécédnts pttnt d véf qu : l b 3 ( ) l b ( ) + = > ; + 3 = > t s s 3 l b ( ) (I-66) + = > (I-67) s Ans, l st possbl d'éc l'éng élénta d défoaton d façon analogu à l'équaton (I-57) : [ ] { } w d d d (I-68) d K K K

44 3 Pat I avc [ ] ( + ) [ Id ] sy sy [ Id3] ( + ) [ Id3] sy 3 [ Id3] [ Id3] ( + 3 ) [ Id3] d v 3 3 σ = (I-69) qu pésnt la atc élénta d caactésaton éngétqu. I-4-4 Etud d la stablté su ls dffénts spacs Ctt étud s stu à pésnt dans l cas généal d'un pésntaton dscèt ou contnu d la stuctu. La déach tnu vs à défn ls ctès d stablté su l sous-spac vctol othogonal aux écanss I A pus su l sous-spac vctol ds écanss K A T. Pa la sut, on consdéa l'évntualté d'un déplacnt appatnant sultanént à cs dux sous-spacs vctols. I-4-4- Stablté losqu ls écanss n sont pas xctés (su I A ) Slon la décoposton { d} = { di} + { dk }, on consdè l cas où { } { } d { d} = { } d'od. d I I En néglgant ls ts { ε NLloc } S [ E loc ] d K =, c'st à d'od, l'éng d défoaton élénta st : I { Lloc} loc { I Lloc} w v σ loc ε + v σ ε I d pésnt la atc élénta ds constants élastqus du atéau, l sut { ε I Lloc } [ L ] { I = b d } t ans { σloc} [ loc I E ] { ε Lloc} [ Eloc ] [ bl ] { di } Nous avons alos ls dévloppnts : [ L ] { I } I [ L ] T [ loc ] [ L ] { I } (I-7) (I-7) w v σ loc b d + v d b E b d I (I-7) d En ntodusant la atc élénta d gdté lnéa [ k L ] équaton B-37), on obtnt : [ ] { } [ ] { } établ dans l'annx B (vo w v σ loc a d + d k d I (I-73) d Apès assblag ds latons (I-73) l vnt : T I I L I T WdI σloc [ A ] { di} + di [ KL] { di} (I-74)

45 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 33 L'équlb d la stuctu n poston d éfénc s tadusant slon (I-) pa [ A] { σ loc } = { }, l st donc : [ ] { } WdI d K d I L I (I-75) La atc d gdté lnéa généalsé [ K L ] étant défn postv apès ntoducton ds condtons d'appu d la stuctu, la fo WdI ({ di }) l'st alos égalnt. Cc nous pt d conclu : Un systè tndu st touous stabl losqu ss écanss n sont pas xctés. I-4-4- Stablté losqu sulnt ls écanss sont xctés (su K A T ) Dans l cas pésnt { d} { } = d K d'od. L'éng d défoaton élénta st défn pa : K { NLloc} loc { K NLloc} wd = v σ loc ε + v σ ε K Co { σloc} [ loc ] { ε K K = E NLloc} t qu l'éctu ds coposants d { ε NLloc } ts quadatqus d K K d'od, alos l podut σloc { ε NLloc} En s ltant à sa pat pncpal, on obtnt donc : K { NLloc} K [ ] { K } st d'od 4. (I-76) s éfè à ds w v σ loc = d d K ε d (I-77) d Sot apès assblag ds latons (I-77) : [ ] { } WdK dk D d K (I-78) Dans ctt équaton, [ D ] pésnt la atc généalsé d caactésaton éngétqu; s ll st défn postv alos Wd { d } ( ) K K l'st égalnt. L ctè d stablté put c s foul slon : Un systè tndu st stabl losqu sulnt ss écanss sont xctés s t sulnt s sa atc généalsé d caactésaton éngétqu [ D] st défn postv. Nous déontons n annx F qu ctt popété st touous véfé. d D d d K. D plus, l st onté qu K [ ] { K} pou un déplacnt { } { } Cla sgnf qu'l n'st pas nécssa d consdé ls ts d { } d K d'od supéu à un, c'st à d qu la stuctu adt sulnt ds écanss d'od un. Ctt aqu st bn ntndu valabl dans l cad d'un caactésaton d typ éngétqu ds écanss [SAL 9].

46 34 Pat I I Stablté au vosnag ds déplacnts othogonaux Apès avo défn ls ctès d stablté su ls dux sous-spacs vctols K A T t I A, étudons à pésnt lus vosnags. Il st n fft xcptonnl qu'un déplacnt s stu unqunt su l'un d cs sous-spacs. On consdè qu { d} = { d } + { d } avc { d I } d'od un t { } I I K Co { εloc} { ε Lloc} + { ε NLloc} + { ε NLloc} I K d K d'od., l'éng d défoaton élénta s'éct : d I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} w v σloc ε + v σ ε + v σ ε od od od I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} v v v + σloc ε + σ ε + σ ε od od od (I-79) En n tnant qu ls ts pncpaux los d l'assblag t d'apès (I-), l vnt : On aqu qu { } [ ] { } Wd d K d I L I Wd( d ) st touous défn postv ca la atc [ ] (I-8) K L l'st égalnt. Cla n sgnf pas pou autant qu l systè sot stabl dans l vosnag d I A. En fft, losqu'on aèn pus lâch la stuctu dans c vosnag, cll-c put "pass" dans l vosnag d'un écans t sa stablté dépnd alos d c nouvau vosnag. Pou cla, étudons à pésnt c qu'l put advn au vosnag d K A T. I Stablté au vosnag ds écanss Dans c cas { d} = { d } + { d } avc { d I } d'od t { } Slon un asonnnt sla on a: I K d K d'od un. d 3 I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} w v σloc ε + v σ ε + v σ ε od od od I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} v v v + σloc ε + σ ε + σ ε Sot, n n tnant qu ls ts pncpaux : od od 3 od + Wd di [ KL ] { di} + dk [ D] { dk} od od (I-8) (I-8)

47 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 35 Il st possbl d'obsv qu, qulqu sot l'od d { d I } alos ({ }) défn postv ca la atc [ D ] l'st égalnt (s pot à l'annx F). Wd d st touous Ctt étud nous pt ans d'about à la concluson suvant : Ls bans tndus fasant l'obt d'un Rchch d Fo slon un pésntaton lnéa (Méthod ds Dnstés d Focs) ou pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus (schéatsaton contnu) sont touous dans un poston d'équlb stabl. C ésultat n'st cts pas ds plus supnants, l conta l'ut été tout autnt, ca l paaît ntutf qu'un systè écanqu n état d pétnson t sans aucun zon n copsson sot stabl. L'étud éalsé s ustf toutfos plnnt, n sat-c qu pa la dscusson né su l'éng d défoaton d la stuctu slon ls dffénts sous-spacs consdéés ou bn la s n évdnc d l'od d ss écanss.

48 Concluson d la Pat I 37 Concluson Dédé à l'étud ds latons xstant nt ls paaèts d Fos t d Focs, ctt pè pat a été consacé aux pocédés d Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals. L'ntoducton ds atcs d'équlb du systè a ps d'ffctu n p lu un chch ds états d'autocontant d la stuctu slon un fo donné. C'st dans l cad d'un tll appoch qu'l a été possbl d tt n évdnc, dans ctans cas, l'absnc d cospondanc nt la géoét d'un ésau d câbls tndus (pésntaton lnéa) t cll d'un ban n état d pétnson (pésntaton sufacqu). Concluant alos à la nécssté d tt n plac un nouvau pocédé d Rchch d Fo fondé su un appoch contnu du doan, ct aspct a été abodé slon un volonté pè d épond aux xgncs fondantals ds concptus. La soluton st appoté pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. C pocédé s éfè à l'utlsaton d tnsus d pécontant sotops su tout la sufac t aboutt à un éctu latvnt spl ds équatons d'équlb, autosant pa là ê son ntégaton au cou d'un logcl CAO d Rchch d Fo tout n conuguant ds qualtés d apdté, d'ntactvté ans qu d spct ds dvss consdéatons écanqus. L concptu put d plus nvsag ds dstbutons d pécontants sotops dffénts, c qu lass la pot ouvt à un ga tès lag d fos. La foulaton ployé pt d plus un appoch cobné avc la Méthod ds Dnstés d Focs (gston ds coubus d câbls d alngu pa xpl) t off la possblté d détn ds stuctus d typ gonflabl. D nobuss applcatons sont pésntés afn d soulgn l popos. L'attnton s'st pa la sut poté su l'étud d la stablté ds fos ans défns. La déach tnu a d'abod conssté à décopos l'spac n un so dct d'un sous-spac lé aux écanss d la stuctu t d'un aut sous-spac othogonal à clu-c. L'applcaton du théoè d Lun-Dchlt slon ds déplacnts appatnant à cs sous-spacs ans qu'à lus vosnags spctfs a alos ps d foul ls ctès d stablté nécssas. L'ntoducton t l'étud d atcs dts d caactésaton éngétqu dans l cad d'un pésntaton lnéa pus sufacqu ontnt qu ls stuctus consdéés n'adttnt qu ds écanss du p od t, aqu pou l ons potant, qu lu stablté st touous assué.

49 Pat II Rchch d Fo d Confguatons Mnals

50 Intoducton 39 Intoducton S la pè pat a pou obt ls dvs pocédés d Rchch d Fo ds stuctus tndus, nous nous poposons à pésnt d'nvsag un étud ds latons Fos- Focs slon un déclnason patculè. En fat, cs ts dvant c s'accod au sngul ca l thè abodé concn ls Fos Mnals où, nous l vons pa la sut, l y a uncté d Focs pou un Fo alos ll auss unqu. La dénonaton d confguaton nal goup n fat ls notons d Résau d Longuu Mnal t d Sufac d'a Mnal. Cs stuctus ont cc d sngul qu, passant napçus aux yux du non-avt, lls s dévolnt alos à l'nté qu s ava d'un tll dvsté t pofuson d'xpls natuls. Au dlà d consdéatons punt géoétqus, on put ls caactés pa d'ntnsèqus popétés écanqus qu lus confènt un ntéêt édat pou tout concptu d Mban Txtl Achtctual. A ct fft, ctt duxè pat t n xgu plusus pocédés d Rchch d Fo dstnés à l'étud ds confguatons nals. Un pè appoch st fondé su ls outls déà s n plac, à savo ls dffénts Méthods d Dnstés (d Focs ou bn d Contants Sufacqus). Touous désux d'élag la paltt ds nstunts d l'ngénu concptu, un aut pocédé st pa la sut pésnté. Sa foulaton pos su la nsaton d fonctonnlls pa la Méthod du Gadnt Conugué. Un déach assocant cs dux appochs st nsut suggéé, ll pt d tt n avant la statég la plus ffcac à tn. Ctt pat st égalnt l'occason d pot un attnton tout patculè su la détnaton ds caactéstqus géoétqus ds sufacs, à savo ls valus ds coubus pncpals n un pont donné. Pou cla, nous dévloppons un éthod autosant d tls calculs pa dévaton ds fonctons d fo.

51 Natu t Fos Mnals 4 II- La Natu t ls Fos Mnals S l'on touv tac d poblès sopéétqus dans la plus haut antquté, à l'ag du poèt Vgl dans l'enéd [HIL 85], l'étud athéatqu au sns plus lag ds confguatons nals n fut ouvt qu sut à l'appaton du calcul dfféntl t vaatonnl au XVIII sècl sous l'pulson d'eul t d qulqus uns d ss contpoans. La géoét a dès los ncopoé cs notons pou donn nassanc à la géoét dfféntll qu s'ntéss à un confguaton spatal pou sa fo t non plus sulnt pa ds condtons posés aux coodonnés d ss ponts. L'obsvaton d fos natulls a égalnt ps d'obtn ds ésultats sgnfcatfs. La vson coscopqu d céatus uncllulas applés adolas t s'appuyant su ds suppots polyédqus pa d'acy Thopson, à l'occason d ss tavaux xposés dans l bllant ouvag 'On Gowth and Fo', soulgn l'xstnc on n put plus épéttv d confguatons hxagonals (fgu II-) [DAR 7]. Fg II- Squltt d adola Ctt obsvaton st nouvlé losqu l'on psonn un ésau d fls d savon nt dux las d v paallèls t pochs ou bn pa agandssnt d'un al d'nsct (fgus II- t 3). Fg II- Bulls d savon Fg II-3 Al d'nsct Ls xpls puvnt n fat s ultpl à l'nfn, tant ls sblnt pos su un pncp d'écono ds oyns, suggéant qu la natu pocèd touous d la façon la plus spl t la plus ffcac [COI 87] t [GOR 78]. Cs fos natulls, caactésés pa ds angls d o nt ls dvss banchs, touvnt n fft lu fondnt losqu'l s'agt d'abod slon un contxt plus généal ls poblès d plus couts chns, autnt dt d longuus nals. Nous passons sous slnc tout la lttéatu athéatqu consacé à c thè pou pêt attnton à ss épcussons dans l doan ds stuctus à bas d ésaux d câbls tndus. Il a n fft été onté qu'un ésau st d longuu nal s tous ss élénts possèdnt un tnson dntqu. Ctt popété écanqu s'avè ds plus attactvs losqu

52 4 Pat II l concptu nvsag l dnsonnnt ds câbls ou dés détn ds coubs géodésqus su l allag. On nota sulnt à ct égad qu'l xst égalnt ds applcatons dans d'auts sctus d'actvtés, d l'étud d l'plantaton d coposants su un cat élctonqu à la détnaton d ésaux aéns lants plusus vlls. Aut obt d sups t d fascnaton, ls sufacs d'a nal ont suscté d nobux dévloppnts. Un défnton splfé put n êt donné : l'a d'un sufac nal st plus ptt qu cll d tout aut sufac vosn s'appuyant su l ê contou. Lagang établt n 76 lu équaton caactéstqu pndant qu Musn (77) onta qu'lls s dstngunt pa un coubu oynn constant n tout pont [LAW 9]. Pa la sut, on véfa qu'un ban tndu st d'a nal s sa tnson st dntqu n tout pont t slon touts dctons. Il st possbl d vsuals apdnt d tlls fos n utlsant ds fls d savon (fgu II-4). Ctt pésntaton physqu t n luè un aut spécfcté ds sufacs nals n évélant qu'l xst n fat ctans géoéts d coubu oynn constant n pouvant êt atéalsés [ISE 78]. Dans c cas patcul, l st n fft possbl d cé un fl d savon cospondant à la fo nvsagé. Fg II-4 Sufac nal Nous dvons ans ntodu l concpt d stablté d cs géoéts d'équlb t consdé qu la condton d coubu oynn constant st nécssa as pas focént suffsant pou obtn un fo stabl, donc physqunt éalsabl. Pa opposton, la popété écanqu d tnson unfo véf touous c ctè t sa ans à nos yux la condton fondantal à spct. L'étud ds fos nals a été ntalnt condut à l'ad d aqutts t auts odèls physqus [OTT 73] avant d céd l pas à ds nvstgatons nuéqus pa odnatus. Au chapt ds pocédés fondés su la consdéaton géoétqu d coubu oynn constant, nous ctons ls tavaux lés à la ésoluton d l'équaton d Lagang (pncpalnt pa Méthods d Dfféncs Fns [MAR 93]) ou bn posant su la pésntaton athéatqu d Wstass pa l'ntéda d fonctons dts holoophs (étuds d D. Hoffan [HOF 93]). Cs appochs n'offnt cpndant pas tout satsfacton ca lls n gaantssnt pas la stablté ds confguatons ans détnés. Pa sut, d nobuss éthods utlsant la popété d tnson unfo ont été poposés. On touv ls tavaux d E. Haug potant su la Méthod ds Elénts Fns [HAU 87] ans qu cux nvsagés slon la Méthod d Rlaxaton Dynaqu (M. Bans t W. Lws [BAR 76] t [LEW 96]). L. Gündg a égalnt suggéé un pocédé d nsaton pa utlsaton d la Méthod ds Monds Caés [GRÜ 88] t K.U. Bltzng un foals dt d "contnuté nuéqu" qu pt d'obtn ctans fos nals [BLE 95]. Ls tavaux d P. Sng sont égalnt consacés à ctt théatqu t offnt d nobuss applcatons [SIN 95]. Cs dvss éthods s caactésnt cpndant pa la coplxté ds appochs ployés t la nécssté d cou à ds pocédés d ésoluton "louds", pu convvaux t éclaant ds tps d calcul élvés.

53 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 43 II- Rchch d Fos Mnals pa ls Méthods d Dnstés Pusqu not dés st c d'appéhnd la Rchch d Fo ds confguatons nals n n tnant qu ds géoéts d'équlb stabls, ls dvss consdéatons ncontés au cous d la pè pat d c éo nous ont offt un pécux outl allant dans ctt dcton t consttué pa ls dffénts Méthods d Dnstés. II-- Etud d ésaux d câbls d longuu nal L chn punté duant ctt étud ds fos na va suv plusus dctons. Nous allons n p lu nous ont vs ctt class patculè d stuctus qu consttunt ls ésaux d câbls d longuu nal. Plusus étaps sont nvsagés, d'abod fondés su la consdéaton d'égalté ds coffcnts d dnstés d focs du systè pus su cll d'un dstbuton unfo ds tnsons au sn d ésau. L'éctu splfé lé au od d schéatsaton dsct va nous ptt d tt n luè qulqus pncps dctus ans qu ls déachs à nvsag. II--- Résau avc coffcnts d dnstés d focs dntqus S l'on consdè la so ds longuus ds élénts élvés au caé, l vnt : L = C C l ck k= k= ( ) (II-) kk kk kk = X + Y + Z L st nal s l st véfé n tout noud du allag qu : Su l'ax X global on put d plus éc : L L L = = = (II-) X Y Z L X c = = X (II-3) En supposant qu l ésau fat l'obt d'un Rchch d Fo pa la Méthod ds Dnstés d Focs avc ds coffcnts d dnstés dntqus ( qlk = ql ), l sut, au gad d la laton d'équlb nodal (I-4) : c X c = X = t ans L X = c X X = Un déach équvalnt slon ls dctons Y t Z èn auss à L Y Nous véfons alos la popété suvant : c = = L Z =. (II-4) Un ésau d câbls calculé avc ds coffcnts d dnstés d focs dntqus ns la so ds longuus ds élénts au caé. Ctt aqu avat pa allus déà été foulé pa Shck dans l cad d ss tavaux d thès [SHE 76] t à l'ssu d la pésntaton d la Méthod ds Dnstés d Focs [SHE 74].

54 44 Pat II II--- Résau d longuu nal Il s'agt c d d'nvsag un confguaton avc L = l ck nal. Cla s tadut n tout noud du allag pa : L L L = = = avc, su l'ax X, X Y Z C k= L X X c = = l (II-5) Co l st possbl d'évalu ls tnsons dans chaqu élént d câbl pa (I-3), sot la laton t = l l, l sut : q k k k L X q X c = l = t (II-6) S l'on consdè l cas patcul d'un ésau d câbls possédant un tnson unfo, c'st à d qu t = t, on éct alos : k L X c = (( ql ) X ( ql X )) = t = = Nous touvons ans la popété suvant : Un ésau d câbls d longuu nal st égalnt un ésau unfoént tndu. c (II-7) Ctt aqu t n évdnc un ds poblès lés à l'utlsaton d la Méthod ds Dnstés d Foc. Bn qu l concptu at un contôl dct su ls dffénts coffcnts d dnstés, ls tnsons obtnus apès calcul dans ls élénts sont n fft dffcls à détn à l'avanc. S l'on dés obtn un dstbuton unfo d clls-c, un aut appoch st pa conséqunt à nvsag. Nous allons ans popos un pocédé téatf dans lqul ls coffcnts d dnstés d focs sont odfés usqu'à c qu la spécfcaton tk = t sot spcté (ésau nal). S l'on consdè la so ds longuus ds élénts à l'téaton (p) on a : C (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p ) (p ) (p ) ck N N N lk N N N k= ( ) ( ) L = l = L X, Y, Z = L q ( X, Y, Z ) (II-8) A l'téaton (p + ) l vnt L C (p + ) (p + ) (p + ) ( ql k ) = l ck k= t l'on chch : (p + ) L (p + ) c c (p ) + t = ( lc ) = ( ) = (p + ) X X X q S ls tnsons sont dntqus cla sgnf qu : X = = L (p + ) c (p ) = l l ( t = ) = + X q (II-9) (II-)

55 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 45 En supposant qu c (p) ( lc ) =, nous écvons alos : X = Il n découl la laton fondantal : c c t c (p) = l (p + ) c = = ql = = q (p + ) (p) lk = qlk (p) tk t (p) (p) l t q (II-) (II-) DE l : DE l : DE l 3 : Nous poposons d fat la déach téatv DE n l qu sut : Raqu : t (p Intals ls coffcnts d dnstés d focs q = ) (p ) l k ( q l k = st coandé). Calcul la confguaton d'équlb (p) t ls tnsons ésultants t (p) = q (p) (p) l l. S pou tous ls élénts on véf t (p) t k chos à l'avanc, alos l pocssus s tn. Snon, odf ls coffcnts q k C = = t (p ) C k k= = k k ck < ζ, où ζ st un valu d toléanc l slon (II-) t toun à DE l avc p put êt chos afn d ns ls tps d calcul. = p +. II---3 Applcatons -a- L p xpl llust l poblè dt d Stn à tos ponts. Il s'agt d l tos nouds donnés pa un ésau d longuu total nal. Nous allons pou cla consdé un allag plan copotant tos élénts d câbl lés à cs ponts ans qu'avc un noud lb nuéoté. d l l l l o Y X 4 3 d l 3 d 3 d( ) l 3 Fg. II-5a Résau avc L nal Fg. II-5b Résau avc L nal

56 46 Pat II S l'on ffctu un chch d la poston d'équlb avc ds coffcnts d dnstés d focs dntqus ( q = q = q, vo fgu II-5a), on obtnt : l l l l3 = d = l t t = t = t D plus L = ( ) d d t L n = d d. 3 3 L'applcaton du pocssus téatf nous condut à ds tnsons égals (t = t = t3) où 3 3 l3 = ( ) d = ( ) l avc ql = ql = ( ) ql3 ans qu : L n = ( + 3) d d t L = ( ) d d. 3 C ésau d longuu nal s caactés pa un angl d o nt ls dffénts élénts d câbl. Nous touvons à ctt occason un confguaton bn connu t pésnté au cous du chapt ntoductf. -b- L'xpl suvant soulgn l'xstnc d c typ d stuctu hxagonal avc l calcul d'un systè dt n "nd d'ablls". Fg. II-6a Mallag ntal Fg. II-6b Fo nal Fg. II-6c Stuctu n nd d'ablls Ls fgus II-6a t b pésntnt l allag d dépat t la fo d longuu nal obtnu apès calcul. On put ffctu un appochnt avc l'ag d'un stuctu n nd d'ablls obsvé dans la natu (fgu II-6c). Il st d'allus put êt tps d'ouv un panthès pou tt n avant un débat d'un tout aut od. C typ d stuctu fut n fft à la bas d nobuss dgssons, ctans voyant là un puv foll d l'nflunc d'un Et Supê su cs nscts à l'ntllgnc toutfos lté (pa copaason avc not odnatu qu a s qulqus nuts pou ffctu c calcul) t xplquant qu la natu "sat" alos ns ss contngncs (cont éals un axu d nds avc un nu d c); d'auts stnt plus sag d'n éfé à d'auts xplcatons. Sans péug d'un qulconqu épons, nous nvtons l lctu à pnd connassanc du txt stué n annx I. Il s'agt d'un xtat du aquabl ouvag d d'acy Thopson 'On Gowth and Fo' où l pnd la pnsé du natualst Buffon [DAR 7].

57 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 47 -c- Un dnè applcaton st à pésnt suggéé. L popos st d'ffctu un Rchch d Fo d'un ésau spatal à doubl coubu nvs n fo d "sll d chval". Un pè géoét st obtnu avc consdéant ds coffcnts d dnstés d focs dntqus (fgu II-7a). Nous notons au passag qu ls élénts d câbl appatnnnt à ds plans vtcaux ppndculas nt ux t éalsnt c qu F. Otto a applé un ésau othogonal. Un aut calcul slon l pocédé téatf suggéé détn un ésau d tnson unfo (t ans nal) qu n'st plus d typ othogonal (fgu II-7b). Fg. II-7a Sll avc ésau othogonal Fg. II-7b Sll d tnson unfo D façon plus généal, nous pouvons tt n xgu la popété suvant : Co un ésau d câbls églé possèd un tnson unfo, l st alos d longuu nal (attnton, cc n sgnf pas pou autant qu'un allag d longuu nal st auss églé!). Ctt aqu dssp un lu coun énnt épandu qu consst à consdé un fo églé co étant auss d sufac nal. Il st d'allus possbl d s'ntog su la psstanc d'un tll pnsé, t c d'autant plus qu Musn t Catalan avat déà déonté n 84 qu ls suls sufacs na églés sont ls hélcoïds dots à plan dctu [VAL 48]. II-- Etud ds sufacs d'a nal La déach s'nsp d cll suggéé à l'occason d l'étud ds ésaux d longuu nal. Nous allons ans nvsag dux contxts patculs t lés sot à l'hypothès d'égalté ds coffcnts d dnstés d contants du systè, sot à cll d'unfoté ds contants au sn du lu. II--- Sufac avc coffcnts d dnstés d contants dntqus M S l'on consdè la so ds as ds élénts élvés au caé on a (II-3) : M S= s k = ( Y Z3 Z Y3 ) + ( Z X3 X Z3 ) + ( X Y3 Y X3 ) ) k= k= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Ctt valu st nal s tout noud du allag véf : S S S = = = (II-4) X Y Z Su la dcton X l'équaton S = s tadut pa : X

58 48 Pat II lb 3 = = = ( ( )) ( 3 3 ) ( 3 3 ) X X X Y Y X Z Z ( Y 3 ( X3 Y X Y3 ) Z 3 ( X3 Z X Z3 )) = + = S l'on éct ls latons pou S S Y = Z =, l vnt un éctu atcll : [ M ] { } { N} (II-5) X = (II-6) l b 3 X sy sy avc [ M ] = X3 Y3 l Y sy b 3 = [ ] X Z Y Z Z lb = = 3 Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) ans qu { N} = X 3 ( X3 Y X3 Y ) + Z 3 ( Y3 Z Y Z3 ) = { n} = = X X Z X Z + Y Y Z Y Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) (II-7) (II-8) Envsagons à pésnt un stuctu calculé pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus avc ds coffcnts d dnstés dntqus ( qsk = qs ), ls latons suvants sont alos spctés : lb Qs = où l b ( X3 Y Z ) 3 3 = ( ) Nous pouvons dès los foul ls équvalncs : = + + (II-9) l X sy sy b 3 [ Id3] [ A ] = X Y Y sy [ M 3 ] 3 l b 3 = = l l b = X3 Z3 Y3 Z3 l Z b 3 b = Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) { B } = X X Y X Y Z Y Z Y Z { N} 3 ( 3 3 ) + 3 ( 3 3 ) = = X X Z X Z + Y Y Z Y Z l ( ) ( ) l b = b = (II-) (II-) L'équaton (II-6) st ans véfé t pa vo d conséqunc (II-4) égalnt. Il st possbl d tt n avant la aqu suvant : Un sufac calculé avc ds coffcnts d dnstés d contants sufacqus dntqus ns la so ds as ds élénts au caé. Nous confons à c popos la poston d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus n tant qu généalsaton d la Méthod ds Dnstés d Focs au cas bdnsonnl.

59 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 49 II--- Sufac d'a nal M Il s'agt à pésnt d'nvsag la foncton S= s k qu sa nal s tout noud spct ls condtons : k= S S S = = = (II-) X Y Z Cs latons puvnt auss s'éc sous la fo atcll : avc [ ' ] M [ ] = ( ) = s ' ' [ M ] { } { N } X = (II-3) ' ans qu { N } { n } = ( ) k Co on a σ = q s, s la sufac st unfoént tndu ( σ k = σ ), l sut : sk k [ ] { } = s { } = ( ( qs )) ( q n ) = = Ctt égalté st d tout évdnc spcté ca : s (II-4) X (II-5) [ ] = ( s l b ) [ 3] [ ] t ( qs { n }) ( ( qs b )){ B } ( qs ) ( q )( Id A ) = = = = = l (II-6) On touv ans la popété d'unfoté ds tnsons pop aux sufacs d'a nal. D façon analogu à la déach utlsé s'agssant d l'étud ds ésaux d câbls d longuu nal, nous allons tt n plac un statég téatv fondé su l'utlsaton d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus dans laqull ls coffcnts sont défns à chaqu étap slon la laton : q σ (p + ) sk q (p) = sk k(p) σ Cs aqus condusnt au pocédé DE n s dédé à l'nvstgaton d sufacs na : (II-7) DE s : DE s : DE s 3 : Intals ls coffcnts d dnstés d contants sufacqus q sk (p = ) Calcul la confguaton d'équlb (p) t ls contants ésultants σ k(p) =. k (p) q (p) sk s (p) k S pou tous ls élénts on véf σ σ < ζ, alos l pocssus s'aêt. =. (p Snon, odf ls coffcnts q + ) sk slon (II-7) t toun à DE s avc p = p +. S l'on dés édu ls tps d calcul, nous consllons d'adopt la valu oynn M k(p = σ = σ ). M k=

60 5 Pat II II---3 Applcatons -a- Un pè applcaton s popos d véf qulqus popétés géoétqus ds sufacs nals. Un cad tétaédqu st d suppot à la foaton d'un systè copnant sx fls accodés pa quat aêts lquds (fgu II-8). Ls coodonnés ds ponts stués aux xtétés d cs dnès sont founs dans l tablau c-dssous. X Y Z / / / 3 / 3 / 3 / 3 Fg. II-8 Tétaèd L calcul d la fo nal d'équlb nous donn un poston fnal avc Z 5 =. 4. A pat d là, on put détn l'angl stué nt chaqu coupl d'aêts qu st égal à. 4 acos( ) acos( ), c qu pt d véf un valu caactéstqu bn connu. 6 3 o ' ds sufacs na (angl d9 86 '' ) [HIL 85]. D plus, on ont égalnt qu ls sufacs s accodnt nt lls l long d lu aêt coun slon un angl d o. -b- L scond xpl st dû au athéatcn Ggonn (86) qu foula l poblè suvant : qull st la sufac nal patagant un cub n dux volus, sachant qu'll st fxé à dux dagonals othogonals t stués su dux facs opposés du cub [ISE 78]? Schwaz déonta n 87 qu'l xst n fat un nfnté d sufacs avc un coubu oynn null s'appuyant su c contou, as qu'un sul d'nt lls st stabl. Il s'agt d la fo pésnté fgu II-9 t calculé pa la éthod ds dnstés d contants. La sul dffculté a ésdé dans l fat qu'l a fallu consdé ds condtons d'appu xts pou ls nouds stués su ls dux facs vtcals. Fg. II-9 Sufac d Ggonn La fo obtnu nous pt auss d véf qu'un fl d savon s accod touous à angl dot su un sufac suppot lss.

61 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 5 -c- L'applcaton suvant tat un cas pa ds plus classqus où un sufac na st ngndé nt dux suppots caés paallèls t pochs (fgus II-). Fg.II-a Confguaton d dépat Fg.II-b Fo nal -d- L'ntéêt s pot à pésnt su un xpl ch n nsgnnts. Il s'agt d calcul un fl nal nt dux ccls paallèls d ayon dont l'élognnt h cat st vaabl. Ls xpéncs ontnt n fft qu'à pat d'un ctan hautu l n'st plus possbl d géné un fo nal à doubl coubu nvs nt cs suppots. cat Ctt valu d hautu axal h ax st bn connu. Pou cla, l sufft d consdé l axu d la foncton f(c) = C ach( / C ), sot l pont C avc f(c) ) C C =, t on cat put n dédu h = f(c ) 35.. Ell cospond n fat au axu d la foncton cat ax S( h ) S où S pésnt l'a d la sufac suscptbl d s fo t S= π l'a ds dux dsqus paallèls. Un p calcul éalsé avc h cat = 3. t = condut à un fo nal d'équlb pnant l no d caténoïd (fgu II-a) avc S= La valu théoqu cat cat cat cat ω h h étant S( h ) = πω ( h + sh( )) avc = ω ch( ), sot S= , l s'nsut ω ω ust un u d.%. Pa cont, s l'on pnd h cat =. 4 alos l pocssus n put convg vs un fo stabl t véf ls aqus pécédnts (fgu II-b). Fg.II-a Catnoïd Fg.II-b Calcul dvgnt

62 5 Pat II Fg.II-a Fo ntal -- Nous allons à pésnt ffctu un Rchch d Fo su un xpl d stuctu à coubu oynn constant t non null. Il s'agt n fat d'adapt l'algoth DE n s au cas ds systès gonflabls. Pou cla, l sufft d pocéd co déct au chapt I où ls ffots ntns sont détnés d'apès l'équaton (I-46), fasant ans ntvn ls coposants d psson dans l calcul d la géoét d'équlb. Fgs.II-b Influnc d la psson ntn Patant d'un allag ntal plan (fgu II-a), on constat qu la fo nal obtnu st n fat un poton d sphè dont l daèt dépnd d la valu d psson ntn spécfé (fgus II-b). -f- Un dnè applcaton llust la possblté d calcul ds confguatons xts n cobnant ls pocédus DE n l t DE n s. L'xpl chos pésnt un fl d savon céé nt un cad xtéu fx t un fl ccula ntéu d tnson c vaabl (fgus II-3a t b). S l ato α = σ / σ dnu, on constat qu l ayon du fl dnu égalnt (fgus II-3c t d). Fg.II-3a Vu n pspctv Fg.II-3b Mallag d dépat Fg.II-3c Fo avc α = Fg.II-3d Fo avc α =. 8 Ls dffénts xpls pésntés nous pttnt d soulgn la cohénc ds ésultats obtnus t légtnt ans l'usag ds pocédés d Dnstés n tant qu'nstunt d'nvstgaton ds fos na.

63 Fos Mnals t Gadnt Conugué 53 II-3 Rchch d Fos Mnals pa la Méthod du Gadnt Conugué Apès avo s n évdnc la possblté d'ffctu un Rchch d Fo ds confguatons nals au oyn ds éthods d Dnstés, l'étud st à pésnt nvsagé slon un déach fondantalnt dffént as spctant la condton d'unfoté ds tnsons, c'st à d la stablté ds systès calculés. L'appoch découl ds consdéatons décts dans l chapt suvant. II-3- Fos nals t focs ntns Pou un ésau d câbls nous allons consdé la foncton L = f ( X) où { X } st l vctu généalsé ds coodonnés ds nouds d la stuctu. En consdéant la laton d'équlb (I-) t sachant qu la épatton ds tnsons st unfo (t = t ), on a : c f ( X) X c X c f = = f = X l t t X = = Il st alos possbl d d qu ls équatons suvants sont équvalnts : k (II-8) L L L = = = t fx = fy = fz = (II-9) X Y Z Dans l cas d'un sufac d'a nal on nvsag S= sk = f ( X) s k = k k l b l h d'équlb sufacqu (I-6) : k =. S la pécontant st unfo ( σ σ ( ) f X l b lh lb = ( ) = ( X4 ) = f X l X l p σ = h = h = M k= avc ), l vnt slon la laton X (II-3) Il appaaît égalnt ls équvalncs : f ( X) f ( X) f ( X) = = = t fx = fy = fz X Y Z = (II-3) En consdéant qu ls ts constants sont ps égaux à un ( σ = t = avc p = ) t n défnssant l vctu g = { g( X )} qu cospond au vctu généalsé ds ffots ntns, nous pouvons ans foul qu g st n fat l gadnt d la foncton f ( X) = L ou S slon l cas étudé. La chch d'un fo nal d'équlb s copnd dès los co étant égalnt un poblè d nsaton d f. Co l calcul d son gadnt st possbl pa l'ntéda d l'évaluaton ds ffots ntns d la stuctu, c poblè d'optsaton put êt abodé slon la Méthod du Gadnt Conugué.

64 54 Pat II II-3- La Méthod du Gadnt Conugué II-3-- Consdéatons généals C pocédé put êt nvsagé pou ns la fonctonnll non lnéa f n consdéant son gadnt g slon un déach téatv d la fo [MAG 5] : X + = X + α d avc d p p p p p p pou p = g = gp + βp dp pou p (II-3) L factu β p st un scala t α p cospond à la longuu d pas obtnu d'apès un chch undnsonnll pou la dcton d dscnt d p t applé Rchch d Lgn xact. L vctu d p st un vctu d dscnt s g p, d p <. Ctt laton put s'éc : ' f p ( ) < (II-33) ' où f ( α ) = g ( α ), d n défnssant ls fonctons du scala α p tlls qu : p p p p p Nous notons au passag qu f f ( α ) = f ( X + α d ) t g ( α ) = g ( X + α d ) (II-34) p p p p p p p ( ) = f ans qu g ( ) = g. p p p p p p p Toutfos, la spécfcaton fp+ < fp sgnfant qu la foncton décoît à chaqu étap n'st pas coplètnt satsfasant ca ll put autos d fabls éductons d f latvnt à la éducton optal qu pouat êt obtnu pa un Rchch d Lgn xact. Ls condtons su α p véfant ctt volonté sont foulés pa ls condtons Fots d Wolf (FW) [MOR 9] : ' f ( α ) f ( ) + µ α f ( ) p p p p p p p ' ' t fp( αp) η fp( ) avc < µ < η < (II-35) Dffénts valus d β p ont été poposés pa Fltch t Rvs (FR) ans qu pa Polak t Rbè (PR); lls sont donnés pa ls fouls [FLE 7] : g, g g PR p, gp gp = t β p = g, g g, g β p FR p p p p p p (II-36) Bn qu ls pfoancs nuéqus d la éthod FR sont souvnt nféus à clls d la éthod PR, A. Baal a déonté qu s l pocédé FR plt ls condtons Fots d Wolf (II-35) alos l vnt g, d τ g, g où τ st un él postf t pa vo p p p p ' d conséqunc la contant f p ( ) < st spcté [BAA 85]. D plus, Zoutndndk a soulgné la convgnc global su ds fonctons généals d la éthod FR t pouvé qu'll n pouvat échou [ZOU 7].

65 Fos Mnals t Gadnt Conugué 55 Glbt t Nocédal ont poté un ntéêt tout patcul su la éthod PR; lus étuds ont s n évdnc dux ponts aus [GIL 9]. En p lu, la spécfcaton β PR p FR p β ntaîn la convgnc global du pocédé. Ctt déach st applé "éthod PR contant pa la éthod FR". L scond conta st latf à la condton d Dscnt Suffsant (DS) qu pos : gp, dp ω gp, gp avc < ω t gp, dp gp, gp + β PR p gp, dp (II-37) La spécfcaton gp, gp gp, gp d'apès (II-36) pndant qu ls condtons DS sont spctés condut vs un lt nféu null l g p, g p = t ans vs la convgnc global du pocssus. Ls xpls nuéqus qu nous allons pésnt vont ptt d copa cs dux appochs : la éthod FR t un vson optsé d la éthod PR dans laqull ls aqus d Glbt t Nocédal sont véfés, c'st à d : OP p + FR PR { p p } β = n β β II-3-- Ls pocédus d Rchch d Lgn nf PR PR, avc β p ax{ β p } + =, (II-38) L pncpal poblè st c d touv un longuu d pas accptabl α p qu spct ls condtons FW. Plusus éthods ont été poposés; lls posnt pncpalnt su ds algoths d Rchch d Lgn qu génènt ds séquncs d valus stés α pk t s tnnt losqu'un pont accptabl satsfat aux condtons quss. Glbt t Nocédal ont nssté su l'ffcacté d l'appoch suggéé pa Mo t Thunt [MOR 9]. Ctt éthod a pou obctf d touv un accptabl α pk dans l sns qu'l appatnt à l'nsbl T p ( µ ) défn slon : ' ' ' Tp ( µ ) = { αp > : fp( α p ) fp( ) + µ αp fp( ) t fp( α p ) µ fp( ) } (II-39) A pat d αp [ αp n, αp ax ], l'algoth d chch ngnd un séqunc d'ntvalls boîtés { I pk } t un séqunc d valus téatvs αp { Ip } [ αp n, α k k p ax ] usqu'à c qu α pk appatnn à T p ( µ ). La lt nféu α pn st donné pa l'utlsatu pndant qu la lt supéu α pax put êt évalué pa la laton : α f ( ) f = µ f ' ( ) p ax p p n p (II-4)

66 56 Pat II Ell cospond ans au pont d'ntscton nt la µ lgn d' équaton f t la lgn f pa l'utlsatu. ' ( ) = µ α f ( ) p p p ( α ) = f où f pn st la plus bass valu d f p ( α p ) égalnt spécfé p p p n L pocédé téatf écla d plus la défnton d la foncton auxla : ' Ψ p α p = f p α p f p µ α p f p ( ) ( ) ( ) ( ) ' t d sa dévé Ψ p ( α p ) (II-4) Avc α pn = t ans { I p } = [ α p α ps ] = [ α pax ] ) Chos un valu tst nt ls bons d l'ntvall α pt [ α p, α k k psk ] s α ptk véf ls condtons FW (II-35) alos α,,, l'algoth st pou k =,,.. : MT p = α ptk (aêt d la pocédu) ) Cas MT : s Ψp( αpt ) > Ψp( αp ) alos α α k k p = k p k ps = k ptk (II-4) ' Cas MT : s Ψp( αpt ) Ψp( αp ) t Ψ k k p ( α pt ) ( α p α pt ) k k k alos α = α t α = α (II-43) pk ptk psk psk ' Cas MT 3 : s Ψp( αpt ) Ψp( αp ) t Ψ k k p ( α pt ) ( α p α pt ) < k k k alos α = α t α = α pk ptk psk Ctt déach appll plusus contas : pk (II-44) - C - S la stuaton MT s ppétu, la séqunc α, α.. augnt tout autant qu l'on pt pt contnu à chos ds valus tst dans [ αp αp ax ] k,, l faut ans qu α pax puss évntullnt êt qus co valu tst; cla s'ffctu n consdéant : { } α = n α + δ ( α α ) α, avc δ [ ] ax 4 pt k p k ax pt k p k p ax ' L'algoth s tn à α pax s Ψ p ( α pax ) t Ψ p ( α pax ) <.., (II-46) - C - S l cas MT s épèt, la séqunc ds valus tst décoît t l'on put foc la pocédu à utls α pn co valu pa : [, ax { k, }] α α δ α α ptk p n n p p n avc δ n < Mo t Thunt coandnt apès plusus dévloppnts δ n = 7. ' L'algoth s'aêt à α pn s Ψ p ( α pn ) > t Ψ p ( α pn ). - C 3 - L chox d α pt [ α p α k k psk ] (II-47), put êt fat lbnt, cpndant un valu optal xst t sat tll qu'll nsat dans l'ntvall donné un foncton ' ' polynoal cubqu ntpolant f ( α ), f ( α ), f ( α ) t f ( α ). p pt k p pt k p pt k p pt k

67 Fos Mnals t Gadnt Conugué 57 Dans l'obctf d édu ls calculs, nous pndons pa la sut l pont stué au lu d l'ntvall. - C 4 - Co nous n sos pas focént n su d spécf la valu d f pn, l chox fat slon fp =. 8 f n p ( ) paaît accptabl. L'utlsaton d l'algoth d Rchch d Lgn poposé pa Mo t Thunt dans l cad d l'nvstgaton d fos nals nous a déonté ds qualtés d'ffcacté t tout confanc put êt accodé quant aux ésultats obtnus. Toutfos, l popos st à pésnt d tt n avant un appoch optsé, t c dans l'obctf d édu ls tps d calcul nécssas à la détnaton d'un valu accptabl d longuu d pas. La pè poposton s appot à la spécfcaton d α pax. ' Co ls valus d f p ( ) décossnt pndant qu p augnt, α pax st suscptbl d'attnd ds valus élvés. Pou dnu cll c, nous suggéons d pnd : f ( ) f OP p p α n p = ax ' fp( ) (II-48) Ctt valu cospond n fat au pont auqul la µ lgn avc µ = ntsct la dot ' OP d'équaton f ( α ) = f. S l'on véf qu f p ( α p ) > alos ctt valu st accpté; p p p n dans l cas conta nous consdèons α pax défn pa Mo t Thunt. La scond suggston concn la phas téatv d'ncadnt ds ntvalls { I pk } lu d cou au cas MT à MT 3, nous nvsagons : ax. Au Cas MT OP ' : s fp( αpt k ) alos αp = α k pk t α ps = α k pt (II-49) k Cas MT OP ' : s f ( α ) < alos α = α t α = α (II-5) p pt k pk ptk psk psk Ls aqus C à C 4 sont touous pss n consdéaton; la valu fnal sa alos α p OP. II-3-3 Applcatons nuéqus Plusus xpls vont êt pésntés afn d copa ls dffénts appochs qu nous avons ncontés. L calcul du scala β p sa nvsagé slon la poposton d Fltch t Rvs (β p FR à pat d II-36) ou bn n utlsant la valu optsé β p OP sugéé dans ls latons (II-38). D plus, l'évaluaton d la longuu d pas sa ffctué pa l'algoth d Mo t Thunt (α p MT ) ou slon la éthod odfé qu nous vnons d tt n xgu (α p OP ).

68 58 Pat II Tous ls tsts sont éalsés avc µ = 3 t η = s'agssant ds condtons Fots d Wolf (II-35). Nous consdéons égalnt qu la fo nal chché st obtnu s pou chaqu noud d la stuctu l st véfé qu ( f, f ) II-3-3- Pésntaton ds xpls -a- L p tst pnd l poblè d Stn xposé n II---3 as n consdéant quat ponts au lu d tos (fgu II-4a). d d o Y X Fg. II-4a Poblè d Stn à 4 ponts Fg. II-4b Résau nal La fo nal d'équlb st pésnté pa la fgu II-4b, ll fat appaaît l'angl caactéstqu d o ds ésaux d longuu nal. -b- L'applcaton suvant llust l calcul d'un aut stuctu na. Ctt confguaton pot l no d sll d Schwaz (du no du célèb athéatcn). Ell st pésnté n fgu II-5. Fg. II-5 Sll d Schwaz -c- L pochan xpl s popos d détn la fo d'un confguaton sufacqu bn connu t popnt applé Paaboloïd Hypbolqu. Fg. II-6a Confguaton d dépat Fg. II-6b Psudo PH

69 Fos Mnals t Gadnt Conugué 59 La défnton athéatqu du PH cospond n fat à cll d'un sufac églé slon Z = k XY qu n put pas êt d coubu oynn null. Nous chosons ans d déno "psudo PH" la sufac d'a nal obtnu. L allag ntal t la fo calculé appaassnt n fgus II-6. -d- Touous dans l cad d la Rchch d Fo d confguatons connus, nous poposons nsut d pocéd au calcul d la sufac dt d Schk. Ctt fo typqu (fgu II-7a) st ngndé à pat du allag spatal fgu II-7b. Fg. II-7a Sufac d Schk Fg. II-7b Mallag ntal -- L dn xpl a pou volonté d'llust un cas d non convgnc du pocédé losqu ls condtons d'appu n pttnt pas d cé un fo nal stabl. Un fl st calculé nt dux ccls paallèls d ayon t, dstants d'un hautu h = 4. Pou cs valus, patant du allag défn dans la fgu II-8a, on obtnt la fo n "chapau chnos" pésnté fgu II-8b. Pa cont, s h = 6, l pocssus dvg t nous pouvons foul ls ês aqus qu'au chapt II---3 latf à la détnaton d'un caténoïd. Fg. II-8a Fo d dépat Fg. II-8b Chapau chnos Fg. II-8c Calcul dvgnt

70 6 Pat II II-3-3- Copaason ds ésultats Nous allons pésnt dans l tablau suvant un évaluaton ds pfoancs lés aux dffénts appochs possbls à pat ds tsts pécédnt décts. Ls ésultats sont donnés sous la fo : pocédé d calcul d β p / pocédé d calcul d α p. Pa xpl OP/MT s éfè à un pocédu slon β p OP t α p MT. L ctè d pfoanc tnu cospond au tps d calcul nécssa pou attnd la fo nal d'équlb. On put n fft consdé qu plus un éthod sa apd, plus l sa possbl d dand un pécson élvé pou un tps d calcul équvalnt. Ls ésultats sont noalsés d tll sot qu l pocédé l plus apd (n fat l'appoch ffctué d'apès OP/OP) at un coffcnt d pfoanc égal à un. Pocédé β p FR OP FR OP d calcul α p MT MT OP OP Stn 4 ponts Sll d Schwaz Psudo PH Sufac d Shk Chapau chnos PERFORMANCES Tabl. II- Méthod du Gadnt Conugué : copaason ds pfoancs Cs ésultats aènnt aux contas suvants. Ls éthods posant su l'utlsaton d β p FR appaassnt clant ons ffcacs qu ls pocédus fondés su β p OP (dans un factu poch d.4). Ctt tndanc n fat qu conf ls ésultats obtnus pa xpl pa Glbt t Nocédal su un nsbl d dvs poblès tsts potant su ds fonctonnlls d dffénts natus à ns. D plus, l'utlsaton d la éthod optsé d Rchch d Lgn pt d édu d façon sgnfcatv ls tps d calcul pa copaason avc l'appoch suggéé pa Mo t Thunt (factu d'nvon.8). Ctt éducton s copnd n consdéant qu l'on spécf OP ds ntvalls d dépat plus étots (avc α au lu d α p ax p ax ) t qu ls évaluatons ds ' fonctons Ψ p ( α p ) t Ψ p ( α p ) sont évtés duant la phas d'ncadnt ds valus. Bn qu'l sot c péatué d pos ds conclusons défntvs, l st toutfos possbl d not qu ls appochs optsés s dstngunt pa un plus gand apdté t ans un bonn adaptablté dans l calcul ds fos nals.

71 Fos Mnals t Gadnt Conugué 6 II Qulqus auts confguatons Il s'agt à pésnt, à l'nsta d l'xpl d stuctu xt pésnté los d l'nvstgaton ds confguatons nals pa ls éthods d Dnstés, d'nvsag un statég xt où un systè copotant sultanént ds élénts d câbl t d ban st détné. Pou cla, nous consdéons un fo plan pésntant un fl céé nt un cad ctangula dont un côté st éalsé pa l'ntéda d'un fl unfoént tndu (fgu II- 9a). Fg. II-9a Mallag ntal Fg. II-9b Fl avc fl ccula La géoét fnal d'équlb pt d véf qu ls élénts d câbls sont dsposés slon un ac d ccl (fgu II-9b). L dn xpl d sufac nal calculé pa la éthod du Gadnt Conugué n'st c qu'à tt llustatf t soulgn la bauté ans qu la égulaté d cs fos bn patculès. Ctt confguaton pot l no d Sufac d Schwaz (fgu II-). Fg. II- Sufac d Schwaz Un apd blan ffctué à c stad d l'étud nous pt d tt n avant l'utlsaton d la éthod du Gadnt Conugué co outl d Rchch d Fo ds confguatons na. On put dès los song à copa c pocédé avc clu aupaavant s n plac t s éféant aux éthods d Dnstés. Ct aspct st n pat l'obt du pochan chapt où la possblté d cou à un foals cobnant cs dux éthodologs st égalnt suggéé.