UNIVERSITE MONTPELLIER II

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1 ACADEMIE DE MONTPELLIER UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC THESE pésnté à l'unvsté Montpll II - Scncs t Tchnqus du Langudoc pou obtn l dplô d DOCTORAT SPECIALITE : Foaton Doctoal : Ecol Doctoal : MECANIQUE, GENIE MECANIQUE, GENIE CIVIL Mécanqu ds Matéaux, Stuctus t Gén ds Pocédés SCIENCES POUR L'INGENIEUR MORPHOGENESE DES MEMBRANES TEXTILES ARCHITECTURALES pa Bnad MAURIN Soutnu l 3 Janv 998 dvant l Juy coposé d : MM. O. MAISONNEUVE Pofssu Unvsté Montpll II Pésdnt M. LEMAIRE Pofssu IFMA Aubè Rappotu K. LINKWITZ Pofssu Unvsté Stuttgat Rappotu J.M. DELARUE Pofssu Ecol d'achtctu Pas-Vlln Exanatu H. NOOSHIN Pofssu Unvsté Guldfod Exanatu R. MOTRO Pofssu Unvsté Montpll II Dctu d Thès

2 Avant-popos III Avant-Popos C taval st l'aboutssnt d tos annés d chch ffctués au Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II. En accptant d pésd l uy d soutnanc d ctt thès, Monsu Olv MAISONNEUVE, Pofssu, Dctu du Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II, fat un honnu auqul sus tès snsbl. J tns à lu xp c l'xpsson d a vv gattud. J c tès sncènt Monsu Mauc LEMAIRE, Pofssu à l'insttut Fanças d Mécanqu Avancé d Clond Fand t Monsu Klaus LINKWITZ, Pofssu à l'unvsté d Stuttgat, qu ont accpté d'êt appotus d c taval. Qu'ls touvnt c l'xpsson d a pofond connassanc. J sus tès snsbl à la pésnc dans c uy d Monsu Jan Ma DELARUE, Pofssu à l'ecol d'achtctu d Pas Vlln, t d Monsu Hoshya NOOSHIN, Pofssu à l'unvsté d Guldfod, ans qu'à l'attnton dont ls ont su fa puv à l'égad d s tavaux. Ctt étud a été éalsé sous la dcton d Monsu Rné MOTRO, Pofssu au Laboato d Mécanqu t Gén Cvl, Rsponsabl d l'équp Concpton n Stuctus. D pat la qualté t la pspcacté d ss nsgnnts, s stuant bn au-dlà d spls consdéatons scntfqus, ctt ncont sta un évènnt aquant à s yux. J tns à lu xp tout a connassanc t a sncè até. J'adss l téognag d a sypath à tous ls bs du Laboato d Mécanqu t Gén Cvl d l'unvsté Montpll II. Lu accul, lus consls t ncouagnts 'ont été d'un ad ctan.

3 IV Résué Résué L dévloppnt ds stuctus à bas d tols txtls tndus soulgn l'nsuffsanc ds appochs concptulls tadtonnlls t nécsst d nouvlls éthods. Ls tavaux pésntés dans c éo s appotnt ans à l'étud ds pocédés d chch d fo ds Mbans Txtls Achtctuals t à la découp d lazs. Nous ttons tout d'abod n évdnc l'nsuffsanc d'un pésntaton dscèt ds tols tndus (ésaux d câbls) t poposons la éthod d chch d fo ds Dnstés d Contants Sufacqus qu s'appu su un odélsaton contnu du doan. Ct aspct st coplété pa un étud d la stablté ans qu ds écanss ds stuctus tndus. L'attnton s pot nsut su ls pocédés dstnés à l'nvstgaton d fos nals : ésaux d câbls d longuu nal t sufacs d'a na. Dux éthods sont pésntés, un pè fondé su l'utlsaton ds éthods d Dnstés t un scond appoch lé à la nsaton d fonctonnlls slon la éthod du Gadnt Conugué (poblès d'optsaton). Nous poposons égalnt un outl autosant l calcul ds caactéstqus géoétqus ds sufacs (valus ds coubus oynns t gaussnns n tout pont du lu). Enfn, la éthod d Coposton ds Contants dédé à la détnaton ds fos d découp du tssu pt d pnd n consdéaton ls paaèts d géoét, état d pétnson du doan t héolog du atéau, tout n atténuant ls us nhénts à tout découp d lazs (nsaton slon ds éthods d onds caés). Cs dévloppnts vsnt à appot ds éponss concèts aux poblès posés, dctnt utlsabls pa ls concptus. Abstact Th dvlopnt of fabc stuctus ponts out th tadtonal appoachs' nadquacy and qus nw pocsss. Ths woks dal, thus, wth th study of fo-fndng thods and cuttng pattn. Fstly, w phasz on th lacks of a dsct psntaton fo tnsl bans (cabl nt) and put fowad th Sufac Stss Dnsty Mthod as a fo-fndng tool basd upon a contnuous odllng of th doan. A study of stablty and chanss fo tnsl stuctus bngs addtonal consdatons. Th attnton s thn focusd on pocsss assocatd wth th nvstgaton of nal confguatons : nal lngth cabl nts and nal aa sufacs. Two thods a poposd, latd to Dnsty thods and also to th nzaton of nonlna functons wth Conugat Gadnt thod (optzaton pobls). Sufac gotc popts (an cuvatu ad) a calculatd accodng to spcfc pocdus. Nxt, th Stss Coposton thod dvotd to th cuttng pattn allows to tak nto account th ban chaactstcs (goty and stss dstbuton, atal consttutv laws), whl ducng nhnt os (nzaton wth last squas thods).

4 Mots-clés V MOTS-CLES ARCHITECTURE TEXTILE STRUCTURES TENDUES RECHERCHE DE FORME METHODE DES DENSITES DE CONTRAINTES SURFACIQUES STABILITE COURBURES DES SURFACES RESEAUX DE CABLES DE LONGUEUR MINIMALE SURFACES D'AIRE MINIMALE DECOUPE DE LAIZES METHODE DE COMPOSITION DES CONTRAINTES KEY-WORDS FABRIC MEMBRANES TENSILE STRUCTURES FORM-FINDING SURFACE STRESS DENSITY METHOD STABILITY SURFACE CURVATURES MINIMAL LENGTH CABLE NETS MINIMAL AREA SURFACES CUTTING PATTERN STRESS COMPOSITION METHOD

5 Tabl ds atès VII Tabl ds atès Intoducton généal... Pat I : Rchch d Fo t Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals Intoducton... 7 Hypothèss fondantals... 8 I- Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo... 9 I-- Ls éalsatons aquants... 9 I-- La Méthod ds Dnstés d Focs... I- Etud ds états d'autocontant t valdté du Pncp d'equvalnc... I-- Rchch ds états d'autocontant... I-- Valdté du Pncp d'equvalnc... 3 I--3 Etud d'un systè hybd... 5 I-3 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals... 7 I-3- Qulqus éalsatons... 7 I-3- Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo... 8 I-3-3 La Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus... 9 I-3-3- Expsson ds ffots ntns dans l cas d'un pétnson sotop... 9 I-3-3- Etud d la convgnc... I Applcatons... 3 I Cobnason avc la Méthod ds Dnstés d Focs... 5 I Etud d Stuctus Gonflabls... 6 I-4 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals... 8 I-4- Rappls su la stablté ds équlbs... 8 I-4- Rchch ds écanss... 9 I-4-3 Détnaton ds éngs d défoaton éléntas su l'spac ds écanss... 9 I-4-3- Cas d'un élént d câbl... 9 I-4-3- Cas d'un élént d ban... 3 I-4-4 Etud d la stablté su ls dffénts spacs... 3 I-4-4- Stablté losqu ls écanss n sont pas xctés... 3 I-4-4- Stablté losqu sulnt ls écanss sont xctés I-4-4- Stablté au vosnag ds déplacnts othogonaux I-4-4- Stablté au vosnag ds écanss Concluson... 37

6 VIII Tabl ds atès Pat II : Rchch d Fo d Confguatons Mnals Intoducton II- La Natu t ls Fos Mnals... 4 II- Rchch d Fos Mnals pa ls Méthods d Dnstés II-- Etud d ésaux d câbls d longuu nal II--- Résau avc coffcnts d dnstés d focs dntqus II--- Résau d longuu nal II---3 Applcatons II-- Etud ds sufacs d'a nal II--- Sufac avc coffcnts d dnstés d contants dntqus II--- Sufac d'a nal II---3 Applcatons... 5 II-3 Rchch d Fos Mnals pa la Méthod du Gadnt Conugué II-3- Fos nals t focs ntns II-3- La Méthod du Gadnt Conugué II-3-- Consdéatons généals II-3-- Ls pocédus d Rchch d Lgn II-3-3 Applcatons nuéqus II-3-3- Pésntaton ds xpls II-3-3- Copaason ds ésultats... 6 II Qulqus auts confguatons... 6 II-3-4 Appoch cobné : Méthods d Dnstés t du Gadnt Conugué... 6 II-4 Détnaton ds Caactéstqus Géoétqus ds sufacs II-4- Pncp d la éthod II-4- Applcatons Concluson... 67

7 Tabl ds atès IX Pat III : Découp d Lazs t Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals Intoducton III- Découp d Lazs ds Mbans Txtls Achtctuals... 7 III-- Etud ds dffénts pocédés... 7 III--- Ls éthods d détnaton ds lsès... 7 III--- La chch ds fos plans... 7 III-- La Méthod d Coposton ds Contants III--- Obctfs t pncps généaux III--- Etud ds tansfoatons III---3 Détnaton du doan Ω III---4 Méthodolog III---5 Ms n ouv du pocédé... 8 III--3 Applcatons... 8 III- Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals III-- Modélsaton d la Ms n Pétnson III-- Applcatons... 9 Concluson Concluson généal Annxs Annx A : Méthod ds Dnstés d Focs Annx B : Pncps Vaatonnls - Dscétsaton pa Elénts Fns Annx C : Los d copotnt du atéau txtl... 5 Annx D : Intpolaton cnéatqu t ds déplacnts... 9 Annx E : Convgnc d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus... 5 Annx F : Etud d la défn-postvté ds atcs d caactésaton éngétqu... 9 Annx G : Calcul ds dévés ds fonctons d fo pou ls élénts T6 t T... Annx H : Résoluton d systès pa Méthods d Monds Caés... 5 Annx I : A popos ds ablls Bblogaph... 9

8 Notatons XI Notatons Sybols [ ] Matc { } t Vctu colonn t lgn [ ] T t [ ] Matc tansposé t nvs dt ([ ]) Détnant d'un atc [ ] n Matc caé à la pusssanc n ([ ]) vctu lgn d'un atc ([ A] ) = A T () d la atc [ A ] ({ X} ) = X coposant du vctu colonn { X } l No étqu l ( = cospond à la no ucldnn) n Matc dntté t null d'od n [ Id n ] t [ ] I A Sous-spac vctol ag d [ A ] K A Sous-spac vctol noyau d [ A ] Valu absolu u u ou u, u Podut scala Podut vctol Podut tnsol So dct Soaton Ω dv V Qul qu sot Il xst Qu appatnt Od Confguaton d'un stuctu Elnt d volu su Ω Intégal su V Egalté lté à l'od O ( cospond à ) v = X, X Dévé patll d la vaabl v pa appot à la vaabl X δu Pè vaaton d la quantté u δ u Scond vaaton d la quantté u

9 XII Notatons Notatons pou tous ls élénts (= pou ls bans t =c pou ls câbls) v ( X Y Z ) N t N { X } t { X } ( x y z ) { } { u } d t { d } [ F ] [ R ] t [ U ] [ S ] { } S t { S loc } [ σ ] { σ } t { σ loc } { σ loc } Rpè global lé à la stuctu Nob total d nouds t d dgés d lbté d la stuctu Vctu élénta t généalsé ds coodonnés nodals Rpè local lé à un élént Vctu élénta t généalsé ds déplacnts nodaux Chap d déplacnt élénta Tnsu gadnt d tansfoaton Tnsu d otaton t d'élongaton pu Tnsu élénta ds contants d Pola-Kchhoff (PK) Vctu élénta PK n pè global t local Tnsu élénta ds contants d Cauchy Vctu élénta ds contants d Cauchy n pè global t local Vctu élénta d pécontant n pè local { σ loc } Vctu généalsé d pécontant [ ε ] [ ε L ] t [ ε NL ] ε t { ε loc } { } [ ] Tnsu élénta ds défoatons d Gn-Lagang (GL) Pat lnéa t non lnéa du tnsu d Gn-Lagang Vctu élénta ds défoatons d GL n pè global t local Tnsu élénta ds défoatons d'alans-eul w t t Wt w d t Wd w t W Eng potntll total élénta t généalsé d la stuctu Eng d défoaton élénta t généalsé d la stuctu Taval élénta t généalsé ds focs xtéus d la stuctu { f } t { F nt } Vctu élénta t généalsé ds ffots ntns [ ψ nt ] { } { f υ } f t { } { f p } { } Matc élénta d caactésaton ds ffots ntns F xt Vctu élénta t généalsé ds focs xtéus t { f s } R t { R } Vctu élénta ds focs xtéus d volu t d sufac Vctu élénta ds focs xtéus ponctulls Vctu ésdu élénta t généalsé

10 Notatons XIII [ b L ] [ b NL ] [ k T ] [ k L ] [ k NL ] [ ] Matc élénta d'ntpolaton ds défoatons lnéas Matc élénta d'ntpolaton ds défoatons non lnéas t [ K T ] Matc d gdté tangnt élénta t généalsé t [ ] K L Matc d gdté lnéa élénta t généalsé t [ K NL ] Matc d gdté non lnéa élénta t généalsé kσ t [ K σ ] [ ] a t [ A ] Matc d gdté géoétqu élénta t généalsé Matc d'équlb élénta t généalsé [ E ] t [ E loc ] Matc élénta d'élastcté n pè global t local [ Tε ] Matc d passag ds défoatons du pè global au pè local [ Tσ ] [ ] T σ' ξ t η [ N ] [ J ] t [ ] Matc d passag ds contants du pè global au pè local Matc d passag ds contants du pè local au pè global Coodonnés ntnsèqus Matc ds fonctons d fo Matc acobnn t son nvs g t g vctu d la bas covaant t d la bas contavaant Notatons pou ls élénts d ban M s t p q s σ S S l b t l h [ d ] Nob total d'élénts d ban d la stuctu Nob d'élénts d ban lés avc l noud A t épassu d'un élént Coffcnt d dnsté d contant sufacqu d'un élént Pécontant So total ds as ds élénts élvés au caé So total ds as ds élénts Longuus d la bas t d la hautu d'un élént Matc élénta d caactésaton éngétqu E t t E c Moduls d Young slon la dcton d la ta t d la chaîn G ct, ν ct t ν tc Modul d Coulob t coffcnts d Posson [ E ot ] Matc élénta d'élastcté n pè d'othotop

11 XIV Notatons [ T ] θ ot ε,ot Matc d passag ds défoatons du pè d'othotop au pè local Angl onté dct nt la dcton d la ta t l vctu x Notaton pou ls élénts d câbl C c s c t v c l c q l c t c t σ L L [ d c ] E c Nob total d'élénts d câbl d la stuctu Nob d'élénts d câbl lés avc l noud Scton t volu du câbl Longuu d'un câbl dans la confguaton d'équlb Coffcnt d dnsté d foc d'un élént Pétnson t pécontant dans un élént So total ds longuus ds câbls élvés au caé So total ds longuus ds câbls Matc élénta d caactésaton éngétqu Modul d Young [ C ] t [ D ] C f Pats d la atc [ ] [ C l ] t [ ] [ Q l ] { } X l t { } Matc d connctvté t atc d connxon C lés au nouds lbs t fxs Matc ds coffcnts d dnstés d foc X f Vctu ds coodonnés ds nouds lbs t fxs slon X Abévatons CAO FLA FLT MCC MEF MMC MDCS MDF MTA NF NL Concpton Asssté pa Odnatu Foulaton Lagangnn Actualsé Foulaton Lagangnn Total Méthod d Coposton ds Contants Méthod ds Elnts fns Méthod ds Monds Caés Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus Méthod ds Dnstés d Focs Mban Txtl Achtctual Noud ntènt fx Noud ntènt lb

12 Intoducton généal

13 Intoducton généal Intoducton généal Il n'st plus nécssa d'nsst su l succès gandssant qu connassnt ls stuctus à bas d Tols Txtls dpus cs dnès annés. Ctt nouvll coposant du paysag achtctual s touv n fft n étot cospondanc avc ls bsons t ls attnts ds concptus. Toutfos, lu céatvté st dans c doan plus qu aas tbuta ds avancés tchnologqus ans qu ds pocédés d éalsaton t d calcul s à lu dsposton. C'st donc dans un optqu d'xtnson d cs oyns d'xpsson qu s stunt ls tavaux éalsés dans l cad d c éo d thès. Ls applcatons ds bans tndus ont été ultplés dpus ds tps élognés : potcton cont ls ntpés (tnts noads, foans, ltas), assvssnt d l'éng éolnn (an à vol, aéostats, als d'avons). Not lu d sècl a vu alos s dssn ls contous d'un changnt pogssf as néanons adcal. Ds bsons nouvaux appaassnt : gands sufacs couvts t as d stockag povsos ou lux d'xpostons t d anfstatons cultulls, dés d oblté d cs stuctus posant un édfcaton ans qu'un déontag apds t dvant donc all légèté avc faclté d s n plac t ésstanc. A cla s'aoutnt la chch d'un gand souplss d'utlsaton ds bâtnts pttant agandssnts ou auts odfcatons ans qu la nécssté d édu ls coûts d constucton [MAL 89]. Paallèlnt à cs nouvaux bsons, on assst égalnt à l'égnc d nouvlls appochs d la concpton achtctual t ê d la fnalté d'un ouvag. Désant op avc un ontaton vs ds édfcs à géoét assv ou pafos agssv, ctans stnt qu'l st gand tps d s toun à nouvau vs la natu t ls fos soupls t agéabls qu'll off dont l'équlb stuctul épond souvnt à ds ctès d'écono d'ffot t d atè. Pou d'auts, l st nécssa d défn la noton d dué d v d'un ouvag à la luè d son utlsaton pésnt ou à vn t pa là-ê off à lus succssus la possblté d l odf ou d l supp à onds fas. Tous cs élénts favosnt pa vo d conséqunc l dévloppnt accu d l'achtctu Txtl. Ct aspct n put êt qu nfocé pa la s au pont d nouvlls fbs synthétqus aux pfoancs élvés t donc pa l'utlsaton d'un atéau conuguant légèté t ésstanc. Toutfos, l pncp constuctf ê ds bans txtls st souc d nouvlls pobléatqus; ds dstosons appaassnt losqu l'on copa ls aspatons ds concptus avc ls connassancs actulls. L'utlsaton d la pécontant pou assu à la stuctu la gdté t stablté nécssas s tadut n fft pa un fot ntdépndanc nt sa géoét t la dstbuton ds contants au sn du doan. La détnaton d cs paaèts (fo t tnson d la tol) épond à l'appllaton d Rchch d Fo t consttu d fat l'étap pè d tout étud. La pédonanc d tlls consdéatons écanqus st c généalnt élogné d la cultu ds achtcts t nhabtull au gad ds ngénus.

14 Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo à c ou poposés posnt su ds dffénts appochs : utlsaton d odèls physqus (fls d savon), éthods géoétqus, pocédés nuéqus fondés su ds consdéatons écanqus d natus dffénts. On put néanons gtt qu'ls s tadusnt sot pa un stcton d la ga ds fos possbls, sot pa ds ncttuds top élvés ou bn pa la coplxté ds appochs écanqus utlsés, cs élénts nctant ans à popos d nouvlls éthods. Un fos qu la géoét t l'état d pétnson d la stuctu sont détnés, l concptu s'ntéss dans un scond tps à sa éalsaton. Il s'agt dans l cas pésnt d spécf ls fos d découp d la tol, c'st à d ls pècs d tssu dont l'assblag ptta d concvo au ux, apès s n tnson su l st, la ban nvsagé. Ctt étap, désgné sous l t d Découp d Lazs, dot êt condut d façon à ns ls us obtnus à ctt occason. La ptnnc t ls pfoancs ds pocédés utlsés sont ans n laton dct avc l'étndu ds possbltés offts à l'achtct. Enfn, c'st sulnt dans un dn tps qu l'attnton s pota su l'analys du copotnt d l'édfc sous à ds actons xtéus (généalnt d typ clatqu : vnt, ng...). Ctt analys écanqu st d fat ons pépondéant dans la concpton ds Stuctus Légès qu dans cll ds stuctus classqus. L'nsbl ds poblès posés put êt analysé n plaçant pa xpl l'étud ds Mbans Txtls Achtctuals dans l contxt plus généal d la concpton d systès. L schéa tnu pt d popos un od ogansatonnl posant su quat paaèts pncpaux d la concpton : Fos, Focs, Matéaux t Stuctus. L concpt d Focs s'ntpèt, au sns lag, slon ls dvss actons xtéus suscptbls d'êt ss n u ans qu slon ls caactéstqus d pétnson xstant au sn d l'ouvag. Dans l cas ds stuctus tndus, cs dnès actons ont un caactè pannt t lls suls sont pss n copt dans l cad d cs tavaux. La noton d Matéau st pou sa pat clant défn n s éféant à l'élént consttutf n tant qu'ntté écanqu, ll cospond n c sns à ss los héologqus d copotnt. Ls analyss sont plus coplxs losqu'l s'agt d'abod ls concpts d Fos t Stuctus tant cs dux élénts sont ntnt lés. Ctt théatqu touv un écho dans la Mopholog Stuctual, téognant à ctt occason d la chss du langag ds Fos. Ct aspct a été souc d ultpls dévloppnts t l popos n'st pas d s'y consac à nouvau. Nous nous ltons à un défnton où la Fo pt d caactés l'xstnc spatal d'un obt, sot ntndu co la pocton du systè étudé dans l'spac géoétqu.

15 Intoducton généal 3 La noton d Stuctu dot d son côté êt cops n tant qu Stuctu Rlatonnll ds élénts constuctfs, c qu plqu sultanént l'énoncé d lus lasons avc l'nvonnnt xtéu (condtons d'appus, éthods t tchnologs d'accochag) t clu d lus lasons t ods d schéatsaton ntns (topolog stuctual du allag) [MOT 9] t [REN 9]. Maquons c un paus afn d claf l popos t, au tavs d'un bèv étud hstoqu, d dégag c qu consttua un ds lgns dctcs d cs tavaux d thès. L dévloppnt ds stuctus légès s dstngu n fft pa qulqus dats chanès. Ells cospondnt à l'édfcaton d'ouvags aquants ou à la s au pont d nouvaux outls d calcul, élénts tous dux à l'ogn d'avancés aus. L'hsto nous appnd ans qu ls constuctons à bas d ésaux d câbls tndus ont oué un ôl au. Ctons édatnt, t à ust tt, la couvtu ds nstallatons ds Jux Olypqus d Munch éalsé dans ls annés 7. Ct ouvag, d pa son potanc t la natu ds nnovatons appotés, a sv d catalysu n déontant d façon spctacula la fasablté d tls pots t a nsct dans l'agna collctf ls Stuctus Légès n tant qu pspctv d'avn. Un aut étap, d'od nuéqu ctt fos, a été fanch duant ctt ê péod gâc à l'appot d la Méthod ds Dnstés d Focs s'agssant d l'étud t du calcul ds stuctus n ésaux d câbls tndus. Ctt éthod s'st évélé tllnt pspcac t ffcac qu ctans ont dès los nvsagé d l'étnd au calcul ds tols txtls, s fondant alos su un hypothès d'équvalnc nt un ésau d câbls t un ban tndu. Ctt appoch st d'allus touous d'actualté t d nobux outls d'analys utlsés n Achtctu Txtl s'y éfènt nco. D'auts ont cpndant souhaté abod ls poblès posés dans lu ntè coplxté n délassant c Pncp d'equvalnc. Quo qu'l n sot, cs tchnqus d'étud ds ésaux d câbls tndus pésntnt pou l concptu d bans un étap ssntll ca lls pttnt d'ntvo ls psts à suv à pat d'un éctu splfé. Pou vn au concpt ophologqu d Stuctu Rlatonnll, nous dstnguons à pésnt ls dux appochs topologqus nvsagabls : un tol tndu sa consdéé co un ésau d câbls t nous ploons l vocabl d pésntaton lnéa (ou d schéatsaton dscèt), ou bn ll consva son ntégté n tant qu ban t nous palons d pésntaton sufacqu (ou schéatsaton contnu). Ctt doubl appoch sa pésnt tout au long d ctt thès où ls dux foalss sont abodés n paallèl, non sans avo ps son d'étud lus latons t tout patculènt la éalté d'un possbl équvalnc. Apès avo xposé ls quat concpts d Fos, Focs, Matéaux t Stuctus, l'attnton s pot à pésnt su ls aspcts fondantaux qu pésntnt ls lns qu ls unssnt, s stuant bn au-dlà d spls dépndancs pou dvn consttutfs du systè n lu-ê.

16 4 La déclnason Fos-Stuctus ayant déà été évoqué, consacons nous à cll d Fos-Focs. L'Achtctu Txtl, t d façon plus généal tout typ d systè constuctf pésntant ds caactéstqus d pécontant, s caactés pa un fot coélaton nt cs dux concpts, ls latons possbls dévant nécssant d la noton d'équlb écanqu du doan. S ls Focs s'ntndnt sulnt au sns d'ffots ntns ou au cas patcul d focs xtéus svant à tt l'ouvag n pétnson (à l'ag ds Stuctus Gonflabls), l'étud d cs cospondancs put s'nsc dans l contxt plus généal d la Rchch d Fo. L couplag nt ls concpts d Fos, Focs, Stuctus t clu d Matéaux n'ntvnt qu pa la sut. Il flèt n fft l passag d'un odèl théoqu aupaavant spécfé los du pocssus d Rchch d Fo vs sa éalsaton. Il cospond n c sns à la détnaton d'un confguaton géoétqu t latonnll d dépat qu, un fos s n plac su l st slon ls ods d lasons avc l'nvonnnt xtéu énoncés pa la noton d Stuctu, dva spct l plus fdèlnt possbl cux ssus ds concpts d Fos t d Focs. Dans l cas patcul ds bans txtls, l s'agt d spécf ls élénts d tssu d fo plan (applés lazs) dont l'assblag consttu ctt confguaton d dépat. Nous avons ans vu appaaît n flgan, tout au long d ctt ntoducton, c qu va consttu l'ossatu d cs tavaux. La pè pat d c éo a n fft pou obt la Rchch d Fo t la Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals. Il s'agt d'abod la laton Fos-Focs dans l cad d'un pésntaton lnéa pus d'un appoch sufacqu, non sans avo débattu d'un possbl cospondanc. L'étud d la stablté d cs stuctus vnt nsut n coplént ndspnsabl. Ell pt d statu su l'xstnc t l'od d'évntuls écanss pou n vs l'énoncé d ctès d stablté t n t ls conclusons qu s'posnt. La scond pat s'ont vs l'étud d systès natuls avc un appoch écanqu t s touv ans consacé à la Rchch d Fo d Confguatons Mnals. Plus pécsént, l popos consst à étud cs supnants t xcptonnlls notons qu pésntnt ls Résaux d Longuu Mnal t ls Sufacs d'a Mnal pus à découv ls épcussons qu'lls puvnt avo dans l doan ds Stuctus Légès. En dn lu, la tosè pat st dédé à la Découp d Lazs t à la Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals. Fasant c ntvn l paaèt Matéau, l s'agt d détn un confguaton d dépat non tndu qu, un fos s n plac su l st, éponda au plus pès aux xgncs du concptu. L'étud d ctt coélaton s'nvsag d'apès un odélsaton du Pocssus d Déplont t pt alos d pononc un ugnt su ls pocédés d Découps d Lazs aupaavant spécfés.

17 Intoducton généal 5 Co annoncé pécédnt, l'analys statqu ou dynaqu du copotnt ds stuctus tndus sous actons xtéus n'st volontant pas abodé dans l cad d c taval. Afn d confé un axu d lsblté à c éo, ls dffénts pats s'nscvnt dans un schéa délbéént splfé : apès un chapt ntoductf t un dscpton d l'état d l'at, l txt st consacé aux nouvlls appochs t éthods poposés ans qu'aux ésultats obtnus. Ls consdéatons d'od théoqu déà connus t étayant l asonnnt sont dévloppés n annxs ou font l'obt d éféncs bblogaphqus. Il n st d ê pou ds déonstatons athéatqus qu, snon, suchagant l popos. Nous nvtons toutfos l lctu à s'y pot, t c dans l'optqu d'un llu copéhnson ds thès abodés.

18 Pat I Rchch d Fo t Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals

19 Intoducton 7 Intoducton La pè pat d c éo a pou obctf d popos un nouvll éthod d Rchch d Fo pou ls bans txtls tndus pus d'étud la Stablté écanqu ds stuctus ans éalsés. Apès avo posé ls hypothèss d'od écanqu qu nous suvont tout au long d cs tavaux, l'ntéêt s pot n p lu su l od d pésntaton lnéa qu défnssnt ls ouvags à bas d ésaux d câbls tndus. Ls éalsatons aus sont ss n avant, suvs pa la pésntaton d la Méthod ds Dnstés d Focs. Dans l cad d'un foals pttant d caactés ls sous-spacs vctols ds états d'autocontant, on ont qu l'hypothès du Pncp d'equvalnc nt un ésau d câbls t un ban tndu n'st pas touous véfé. Afn d pall ls nconvénnts d la schéatsaton dscèt, un nouvau pocssus d Rchch d Fo fondé su un appoch sufacqu st ans poposé. Répondant à l'appllaton d Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, ll appaaît co un xtnson d la Méthod ds Dnstés d Foc t, d pa son éctu, autos ds foulatons xts ans qu la Rchch d Fo d stuctus gonflabls. D nobuss applcatons sont xposés t soulgnnt sa légtté. L dn chapt tat d la Stablté ds stuctus tndus. Résaux d câbls ou tols txtls, l s'agt d véf s ctt noton fondantal st spcté. La détnaton d l'od ds écanss du systè ans qu l'énoncé d ctès d stablté pt d épond à ctt quston postvnt.

20 8 Pat I Hypothèss fondantals Avant d conc l'xposé d cs tavaux d thès, l st nécssa d pésnt ls hypothèss qu nous accopagnont duant c pacous. Hypothès H : L'étud s stu dans l cad ds ptts défoatons élastqus. Ctt consdéaton ntvnda dans la pat III dédé à la découp d Lazs ans qu'à la s n pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals. Hypothès H : Expés dans un pè local lé à un élént d ban, ls contants d Cauchy d ct élént véfnt ls latons suvants : σ << σ t σ << σ σ loc z loc xz loc x loc xy loc z loc yz << σ t σ << σ loc y loc xy Cla sgnf qu l'on s stua, pou un élént d ban, dans un contxt d Contants Plans. D plus, l cad ds défoatons sa clu ds Défoatons Plans. Pou un élént d câbl, suls ls coposants d contants t d défoatons latvs à son ax longtudnal sont non nulls. Hypothès H3 : Ls élénts d câbl t d ban suvnt un lo d copotnt héologqu d typ sold élastqu lnéa. Ctt lo n'st vald qu dans l doan ds tactons, suls sollctatons copatbls avc la gdté unlatéal ds câbls t bans. Hypothès H4 : Dans un systè constuctf copotant un sul typ d'élénts, tous ls câbls ont ê scton t tous ls élénts d ban un épassu dntqu. Cla n'st pas focént valabl dans l cas d stuctus hybds, c'st à d copnant ds élénts d natus dffénts.

21 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 9 I- Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo I-- Ls éalsatons aquants Il st touous dffcl d'xta qulqus nos dans un lst dont chacun ds coposants pésnt n so un p aouté à l'édfc achtctual ds constuctons à bas d ésaux d câbls. Cpndant, l appaaît évdnt qu'un aoté ds psonns ntogés tta n p lu l'accnt su la éalsaton d la couvtu ds nstallatons accullant ls Jux Olypqus d Munch n 97 [HOL 97]. Répondant au souhat foulé pa ls autotés d la RFA d'un soluton nnovant t légè, l chox poposé pa ls achtcts Bhnsh & Patn fut tnu. Fat au, ls poblès posés pa la éalsaton tchnqu ds couvtus funt l'occason d éun qulqu uns ds plus gand spécalsts d l'époqu : on cta volonts F. Otto (sut à son xpénc acqus los d'un pécédnt éalsaton dans l cad d l'exposton Unvsll d Montéal), F. Lonhadt t J. Schlach. Consttué pa un succsson d stuctus ndépndants fondés su l'utlsaton d ésaux d câbls à doubl coubu nvs, l'nsbl occup un sufac total d 74 t s dstngu pa ds élévatons attgnant usqu'à 8. La couvtu au sns pop du t st éalsé pa l'ntéda d pannaux plxglas dsposés nt ls élénts d câbl. Fg. I- Stad Olypqu d Munch (vu d'nsbl) Ctt éalsaton s dstngu pa l'nsbl ds nnovatons tchnqus qu ont été appotés : d façon non xhaustv, nous pouvons tt n xgu ls étuds potant su la ésstanc n fatgu ds élénts d câbl, la concpton ds nouds t auts pècs d lason n ac. La détnaton ds dnsons du allag t l calcul ds découps d câbl fut d'abod nvsagé pa utlsaton d aqutts. Ls squs d'u étant toutfos top potants, d nouvlls éthods d calcul ont été ployés (éthod ds Dnstés d Focs nt auts, K. Lnkwtz Unvsté d Stuttgat [LIN 76]). Fg. I- Détal du ésau

22 Pat I L scond chox st baucoup plus psonnl; l s'agt d la tou d la cntal nucléa d Schhausn (Allagn). D'un hautu d 46 pou un daèt à sa bas d 4, ll st conçu su l pncp ds tous d fodssnt à sc t possèd ans ds dnsons supéus à clls ds tous d fodssnt huds d ê capacté. Un éalsaton n béton aé auat été ctannt ds plus pobléatqus copt tnu d cs Fg. I-3 Tou d Schhausn caactéstqus. Un habllag n tôl d'alunu st nsut placé su la fac ntn du tlls. Constut n 974 pa J. Schlach [HOL 97], ctt tou fut cpndant déol n 99 sut à la décson d édu pus d stopp l poga nucléa alland. I-- La Méthod ds Dnstés d Focs L'étud d la géoét d'équlb ds ésaux d câbls pétndus a été nvsagé slon dvss pocédus : éalsaton d aqutts [OTT 73], Rchch d Fo pa appoch géoétqu [KNE 9] ou écanqu (Méthod ds Elénts Fns [HAU 7]-[LEO 88] ou bn Rlaxaton Dynaqu [BAR 75]). S la dffculté posé st ssntllnt d'od nuéqu (ésoluton d'équatons non lnéas), un étap potant a toutfos été fanch n 97 losqu la Méthod ds Dnstés d Focs fut poposé. D'apès un dé ognal d K. Lnkwtz [LIN 7] nsut ps pa H.J. Shck [SHE 74], ll appot un splfcaton dans l'éctu ds équatons d'équlb t pt un calcul apd d la poston ds nouds du ésau. L pncp n st l suvant. On sol un noud du allag où c élénts d câbl sont connctés, chacun étant d longuu l, sous à un tnson t t lé au noud (fgu I-4). La so ds actons xcés pa ls câbls su l noud st égal à : c c X Z Y l x c Fg. I-4 Equlb du noud f = f = c t = = La coposant d x c su l'ax global X étant x cx (avc X = X X ) l vnt : f X = c t = l X x c X = l L'équlb du noud posant f X =, on obtnt un laton non lnéa pou détn la valu d X. L'dé consst à lnéas ctt équaton n consdéant l appot : (I-) (I-) q l t = (I-3) l L t q l st applé coffcnt d dnsté d foc pou l'élént d câbl.

23 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo A pat d là, on put calcul X slon la fo spl : c c X q = ( q X ) (I-4) l = = L'xtnson d ctt déach à l'nsbl du ésau pt d'éc un laton atcll d la fo : l [ D] { X l } = { D X } (I-5) où { X l } désgn ls coodonnés n X ds nouds lbs d la confguaton d'équlb; [ D ] st foncton ds coffcnts q l, { D X } égalnt as dépnd auss ds coodonnés ds nouds fxs. Un tll éctu s touv pa analog slon ls axs Y t Z d la stuctu. La ésoluton d ctt équaton put êt ffctué pa nvson d [ D ] ou bn slon un éthod téatv. Ds latons plus détallés sont pésntés n annx A. La fo d'équlb obtnu étant dctnt n laton avc ls dffénts coffcnts d dnstés d foc choss, l concptu put ans la odf à volonté sans chang ls condtons d'appu d la stuctu. D la ê façon, l put auss gé la coubu ds câbls d alngu stués su ls côtés n fasant d'auts chox pou cs coffcnts. Fg. I-5a Mallag plan Fg. I-5b Condtons d'appu Fg. I-5c Fo calculé Ls fgus I-5 llustnt la déach suv où, à pat d'un allag ntal plan auqul sont spécfés ds condtons d'accochag, la Méthod ds Dnstés d Focs détn un possbl géoét d'équlb. Ls tnsons dans ls élénts d câbls sont nsut calculés d'apès ls latons (I-3). Ctt éthod s dstngu pa sa apdté t sa faclté d'ntégaton au sn d'un logcl CAO d Rchch d Fo [PAU 94]. Un ds épcussons édats a été d'nvsag d l'étnd à l'étud ds Mbans Txtls Achtctuals. Ctt appoch s fond dès los su un hypothès d'équvalnc nt un ésau d câbls tndus (pésntaton lnéa) t un tol tndu (pésntaton sufacqu). Dès los, un tll déach susct ls qustons suvants : - Un géoét d'équlb d'un ésau d câbls tndus put-ll auss cospond à un confguaton d'équlb d'un ban tndu? - Connassant ls tnsons xstant dans ls dffénts élénts d câbl, cont évalu la dstbuton ds contants d pétnson au sn d la tol? S cs aspcts puvnt paaît d façon topus scondas aux yux d l'achtct, ls sont podaux pou l écancn.

24 Pat I Il st n fft possbl d'agn qu, s c Pncp d'equvalnc n'st pas véfé, ds zons d la ban puvnt êt localnt détndus t ans suscptbls d posséd ds pls. Out un péudc sthétqu ctan, cs zons ctqus pésntnt un squ potntl d foaton d pochs d'au stagnant t ans pot attnt à l'ntégté d l'édfc. Cs poblès sont abodés dans l chapt suvant où l s'agt d'étud la laton Fos-Focs au sns unvoqu, c'st à d pos la quston suvant : qul état d pétnson cospond à un géoét donné? I- Etud ds états d'autocontant t valdté du Pncp d'equvalnc Avant tout chos, l convnt d pécs c qu l'on ntnd pa l vocabl "ban tndu". En consdéant ls valus pncpals σ t σ du tnsu ds contants d Cauchy défn dans l pè local d l'élént, l faut qu : c c - σ = σx > pou tout élént d câbl (appoch lnéa) (I-6a) - σ > t σ > pou tout élént d ban (appoch sufacqu) Dans c scond cas, on ont qu cs latons sont véfés s [MAU 95] : x y xy σ x >, σ y > t σ σ σ > ( ) (I-6b) I-- Rchch ds états d'autocontant En l'absnc d focs xtéus, l'équlb écanqu d'un doan Ω s tadut pa la laton : où { } F nt { } { } F nt = (I-7) pésnt l vctu généalsé ds ffots ntns su la stuctu. En dscpton ulénn su Ω, on put calcul l vctu élénta ds ffots ntns { } f d'apès la laton (B-) établ n annx B où sont s n plac ls dffénts opéatus t ls gandus écanqus utlsés. { f } [ L ] T b { } = σ dv (I-8) V S on xp l vctu pécontant d Cauchy dans l pè local d l'élént, l vnt (n consdéant la atc d passag latv aux contants défn n C-) : { f } [ L ] T = [ σ ] { σloc } b T ' dv (I-9) V

25 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 3 En consdéant pou un élént d ban { } T loc { loc} c c c c un élént d câbl { σloc} = { σ loc} { σ } σ = = { f } [ a ] { loc} où v pésnt l volu d l'élént su Ω. T σ = σ = σ x σ y σ xy t pou x, nous écvons : Apès assblag ds latons éléntas (I-), l vnt : = v σ (I-) { Fnt } [ ] { loc} = A σ (I-) La atc [ A] pnd l no d atc d'équlb du systè; ll pt d détn un bas ds vctus d'autocontant possbls, c'st à d l'nsbl ds vctus { σ loc } pou lsquls l st véfé : [ A] { σ loc } = { } (I-) Pou cla, l sufft d chch l noyau d la atc d'équlb K A. S l sous-spac vctol ans ngndé st vd, cla sgnf qu la confguaton étudé n possèd aucun état d'autocontant. Dans l cas conta, l faut véf qu'l xst au ons un vctu d'autocontant non nul copatbl, sot un cobnason lnéa ds vctus d la bas d'autocontant pou laqull tous ls élénts d la stuctu sont n état d tnson (latons I-6). S l'on consdè qu l doan Ω st pésnté d façon dscèt (ésau d câbls caactésé pa un sous-spac vctol d'autocontant K A c ) ou slon un schéatsaton contnu (élénts d ban), l Pncp d'equvalnc suppos qu : cp { σ loc} { } K A cp K A c t { σ } { } loc (I-3) Nous allons à pésnt, su un xpl conct, étud s ctt hypothès st touous véfé. I-- Valdté du Pncp d'equvalnc La confguaton poposé s copos d 9 nouds, 8 élénts d câbl n pésntaton lnéa t 8 élénts tangulas d ban n od sufacqu. L tablau c-cont donn ls caactéstqus d qulqus nouds (ls auts s'n dédusant pa syét slon ls axs X t Y, s appot à la fgu I-6a). Ls cass n gsé cospondnt à un blocag du noud slon la dcton consdéé. Nouds 3 4 X 3 Y Z

26 4 Pat I 9 4 Y Z X Fg. I-6a Résau d câbls Fg. I-6b Elénts d ban La confguaton lé à la pésntaton dscèt possèd d façon évdnt un état d'autocontant copatbl déct pa : σ cà4 c5à6 3 7 c c = t σ = σ ; σ 7 à 8 5 c = σ (I-4) On chch antnant un bas ds états d'autocontant lé à un pésntaton sufacqu d la stuctu n tnant copt d ss syéts (fgu I-6b). L'étud nuéqu d K A nous pécs un bas foé d quat vctus { } à { 4 } : K à 4 à 4 à 4 à à à A σ x σ y σ x y σ x 5 8 σ y 5 8 σ x 5 y 8 { } { } { } { } (I-5) Nous aquons qu qulqu sot la cobnason lnéa ds vctus { } à { } 4 chos, ls élénts d ban 5 à 8 n puvnt posséd un état d pécontant copatbl slon ls latons (I-6). Dans ct xpl, la condton foulé n (I-3) n'st donc pas véfé. Un tll applcaton, poutant spl d éalsaton, ont qu'l xst ds stuatons où l Pncp d'equvalnc st s n défaut. Un Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals fondé su un appoch lnéa pa ésau d câbls st nsuffsant. Il faut ans nvsag d'auts éthods utlsant un pésntaton sufacqu d la tol. Avant d'abod ctt quston d façon détallé, l pocédé d chch ds états d'autocontant dévloppé nous pt d'ouv c un bf apaté. Il s'agt d l'applqu au cas d'un systè copotant à la fos ds élénts d câbl, d ban as auss d ba.

27 Résaux d câbls tndus t Rchch d Fo 5 I--3 Etud d'un systè hybd L vocabula achtctual s'st nch ds dnès annés d'un nouvau t : ls Systès d Tnségté. Cs stuctus s caactésnt égalnt pa l'utlsaton d la pécontant n tant qu pncp constuctf. Ls confguatons ls plus couants sont fondés su l'assocaton d plusus oduls d bas, l plus spl d'nt ux étant applé Splx [VAS 97]. C systè copot 3 élénts d ba sous à d la copsson, ds napps supéu t nféu d câbls d longuus dntqus (6 élénts au total) ans qu 3 auts câbls dts "d'nttosnt". Il possèd bn ntndu un géoét d'équlb Ω avc un état d'autocontant copatbl (fgu I-7a). Fg. I-7a Splx L'dé consst à plac ls dux napps d câbls pa dux élénts d ban t à détn alos ls évntuls états d'autocontant (fgu I-7b). Afn d splf ls calculs nous allons nvsag un cas patcul où : T { loc} { so} σ = σ = σ σ = σ (sot σ = σ = σ t σ = ) (I-6) T x y Un tl vctu élénta d pétnson st dt sotop, l st auss focént copatbl s σ >. On foul à nouvau (I-9) n utlsant (C-), l sut : { f } = v [ aso ] { σ so} avc [ aso ] [ bl ] T { T so } = σ' (I-7) xy Z Fg. I-7b Stuctu hybd 3 6 Y 3 X Nouds X Y Z Ls caactéstqus ds nouds sont donnés dans l tablau c-dssus (n ). Dans l cas patcul ds stuctus hybds, on dot spécf ls dnsons ds élénts, sot un scton s c = c pou ls bas ans qu ls câbls t un épassu p = pou ls bans.

28 6 Pat I Pou l Splx avc ds napps hozontals d câbls (élénts 7 à non pésntés), la bas d'autocontant st bn connu; ll st d la fo : K A c = { } cà3 b4à6 c7à σ σ σ (I-8) Apès assblag ds latons (I-7) t n tnant copt ds élénts lnéas, on étud K A c so. La bas d'autocontant n copot qu'un vctu t on véf qu'l st copatbl avc tous ls élénts (bans t câbls tndus, bas copés). K cà3 b4à6 7à8 σ σ σ A c so = { } (I-9) Raqu : Un véfcaton put êt ffctué au gad d la laton (I-) qu pt d calcul ls ffots ntns d tnson su ls côtés d'un élént d ban à pécontant sotop. p Avc tgα = 3, l b = t t = σ lb l vnt : tgα t sc = = p (I-) 3 Bn qu'applqué c su un xpl spl, ctt appoch ont qu'l st possbl d détn nuéqunt ls états d'autocontant d stuctus hybds. On a égalnt ffctué d'auts calculs potant su ds systès plus coplxs. Ls ésultats obtnus s ésuant à l'énuéaton d valus n sont volontant pas xposés. Ds applcatons tès concèts sont dès los nvsagabls, s'agssant pa xpl d l'étud d dôs-câbl avc couvtu tol (fgu I-8) [ISH 95]. Fg. I-8 Dô-câbl avc ban txtl

29 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 7 I-3 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals I-3- Qulqus éalsatons Focé d constat, un fos d plus, qu c n sont pas focént ls édfcs ls plus dffcls à concvo qu sont auss ls plus agéabls à nos sns, t qu'l st ds ouvags bn plus spls n total haon avc lu nvonnnt t lus péatfs fonctonnls, c'st toutfos avc l gad du tchncn qu l chox s'st poté su qulqus éalsatons sgnfcatvs. Fg. I-9 Ha Tnal La pè stuctu llust, d pa ss dnsons posants, l potntl ds constuctons légès. Tous cux pnsant cantonn c typ d éalsaton dans ds ôls nus sont sups pa la couvtu n tol du Ha Tnal d l'aéopot d Dddah n Aab Saoudt (fgu I-9). Conçu n 98 pa H. Bg, ct ouvag fut l'occason d'appot d nobux élénts d épons à ds poblès d'od écanqu ou thqu [HOL 97]. La couvtu du stad d Tokyo pésnt, dans un pays où l'achtctu Txtl st lagnt planté, la fgu d pou ds éalsatons à bas d bans gonflabls. D'un sufac supéu à 8, l tot all un stuctu n câbls avc un tol d typ fb d v- Téflon; l fut conçu n 988 pa N. Skk [ISH 95]. Fg. I- Tokyo dô Fg. I- Couvtu du Zénth La Fanc, d son côté, s dstngu pa un ctan flosté n la atè. Ctt stuaton sbl néanons évolu d façon pogssv t qulqus constuctons appaassnt à nos yux, ctans gttont toutfos qu lu fnancnt pos ssntllnt su ds fonds publcs. On cta volonts la couvtu ds salls d spctacl d typ Zénth (fgu I-) [PIC 97].

30 8 Pat I I-3- Ls dffénts pocédés d Rchch d Fo Ls pès appochs qu l'on pouat qualf d vant gouuss ont fat lu appaton vs c lu d sècl. Ells étant fondés su l'étud d odèls physqus tls qu ds aqutts n vol lég ou bn ds fls d savon cnsés déc la géoét ans qu la dstbuton ds contants au sn d la tol. Mnés n au pat sous l'pulson d F. Otto, cs tavaux ont pa allus appoté bn ds éclacssnts t ps d constu avc succès d nobux ouvags [OTT 73]. Ls dévloppnts apds d l'nfoatqu ont pa la sut ntaîné la pédonanc du calcul pa l'appaton d odèls t éthods nuéqus. Nous lassons bn ntndu d côté tout ls foulatons fasant appl à un pésntaton lnéa du poblè à l'ag d la Méthod ds Dnstés d Focs [NGU 79]. E. Haug t G. Powll ont ls ps s n évdnc n 97 un pocédé d Rchch d Fo pa utlsaton d la Méthod ds Elénts Fns dans un contxt d'analys statqu non lnéa d'od géoétqu [HAU 7]. Pu d tps apès (975), M.R. Bans a défn un appoch fondé su la éthod dt d Rlaxaton Dynaqu aupaavant poposé pa A. DAY [BAR 75 t 8], [DAY 65]. Foulé d'apès l'éctu ds équatons d'équlb d la stuctu n dynaqu, ctt déach put toutfos s ésu ll auss n un analys non lnéa. Cs dux appochs pésntnt cpndant d nobux nconvénnts. Pou l'ngénu tout d'abod, ca lls n pttnt pas d contôl l'état d pétnson d la tol ans calculé t ctans zons puvnt alos s touv n copsson. La géoét d'équlb st n fft obtnu pa défoatons succssvs d'un confguaton ntal n agssant su ss condtons aux lts. L'achtct sa égalnt snsblnt déouté pa cs éthods où la fo céé n'st qu tès pu pévsbl à l'avanc. S ll n lu convnt pas, l dva alos défn un nouvau allag ntal. Il faut égalnt soulgn qu cs appochs éclant l'utlsaton d logcls souvnt coplxs t d tps d calcul élvés, sauf cous à d pussants outls nfoatqus. Cla dt, xcpté ls éthods lés à un pésntaton lnéa qu sont aotas, lls consttunt la quas totalté ds auts cods d calcul qu l'on ncont dans ls buaux d'étud ou auts cabnts d'ngén. Désant pall cs nconvénnts, R. Hab t J. Abl ont suggéé n 98 un pocédé alos éputé appot épons su d nobux ponts. La déach s vut n fft êt ndépndant du atéau t ptt au concptu d spécf la dstbuton ds contants su la ban [HAB 8]. Ls xpls pésntés pa ls autus d la éthod sblnt d'allus all dans c sns. On constat toutfos qu ls applcatons sont stés tès agnals. Baucoup plus écnts, ls tavaux nés pa K.U. Bltzng su ds éthods dts d'hootop ou d'urs (Updatd Rfnc Statgy) sont potus d baucoup d posss. Ms à pat un ctan coplxté ds calculs à ffctu, l'appoch écanqu st nnovant, audacus t ouv ans d nobuss pspctvs [BLE 97].

31 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 9 Ayant la volonté d pésnt un nouvll éthod d Rchch d Fo pou ls Mbans Txtls Achtctuals, nous avons tnus ls ctès suvants : - Il faut avo un contôl suffsant du chap d pétnson ngndé dans la tol pou évt touts zons n copsson. - La possblté d gé d façon apd t ntactv ls dffénts fos obtnus dot êt offt au concptu. Nous aquons édatnt qu l p aspct st valdé s l'on a ds vctus d pécontants copatbls pou chaqu élént d ban, t tout patculènt s l s'agt d tnsus sotops d la fo { so} T σ = σ σ avc σ >. Ctt condton st à la bas d la éthod suggéé t qu nous allons déc dans l chapt suvant. I-3-3 La Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus I-3-3- Expsson ds ffots ntns dans l cas d'un pétnson sotop -a- Equlb d'un élént d ban S l'on éct la laton (I-9) pou un élént d ban dans son pè local (fgu I-a), l sut : f p { floc} = f avc { f } = σ x3 (I-) f f 3 y f f 3 y 3 3 p x { f } = x3 y p σ t { f3 } = σ x Fg. I-a Effots ntns Il st possbl d pot ls vctus f su ls côtés du tangl (fgu I-b); on calcul ls valus ds tnsons t pa : t p = lb tgα σ (I-) En consdéant ls vctus noés n assocés aux hautus du tangl (fgu I-c) : f p = σ lb n (I-3) Raqus : - S l'on dés xp la coposant ds ffots ntns f dans l pè global lé à la stuctu, l sufft d'éc l vctu n dans clu-c. - Au cous ds pats I t II d c éo, la confguaton d'équlb sa touous Ω ; auss l t n'appaata plus n ndc ds quanttés xpés.

32 Pat I t t 3 α l b l b3 t t 3 α α 3 l 3 t b t Fg. I-b Tnsons su ls côtés l b3 n 3 l t l h n 4 n l b l b Fg. I-c Pocton othogonal 3 Avc l pont 4, ntscton d la hautu l h assocé au noud t à son côté opposé, on put éc : f p = l l p 4 b σ 4 = h σ b 4 s l (I-4) L t σ s st l appot nt la contant sotop d l'élént t son a. Ctt consdéaton st au cou d la nouvll appoch poposé où, pa xtnson d la Méthod d Dnstés d Focs, nous désgnons l appot : q s = σ (I-5) s co l coffcnt d dnsté d contant sufacqu assocé à l'élént. X Z Y f l b 4 Fg. I-3 Equlb du noud 3 t 4 3 b X = X + l X l Nous défnssons alos ls quanttés : -b- Equlb nodal S l'on étud antnant un confguaton avc élénts d ban lés au ê noud (fgu I-3), la ésultant ds ffots ntns n c pont s'ntpèt slon : p f = f = q s lb 4 (I-6) 4 = = Co l'on put calcul : où l t = l 3 (I-7) b NX = qs l b X4 t D = q l b = s = (I-8) C qu pt d'éc ls coposants d la ésultant ds ffots ntns applqués su l noud : p fx p = ( NX D X ) ; fy p = ( NY D Y ) t fz = ( NZ D Z ) (I-9) 4 4 4

33 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals La chch d la poston d'équlb du noud s'ffctu n consdéant qu'll cospond à f =, sot ls latons : X NX NY = ; Y = t Z D D NZ = (I-3) D On détn ans un nouvll poston du noud pou laqull on calcul ls coposants d f slon (I-9). La pocédu téatv st aété losqu c vctu st suffsant poch du vctu nul, c qu suppos bn ntndu un convgnc du pocssus. I-3-3- Etud d la convgnc Nous allons à pésnt établ d façon détallé ls équatons qu tadusnt l'évoluton ds paaèts tout au long du pocédé téatf. A l'téaton (p+) on put éc : En consdéant Q s qs = qs l b = X (p) q X (p) s lb 4 (p+ ) NX = = = D qs lb = l sut : (I-3) (p+ ) (p) (p) (p) XX XY XZ X X = A X + A Y + A Z + B (I-3) avc : AXX = Qs ( X3 ) = AXY = Qs ( X3 Y 3 ) = A XZ = Qs ( X3 Z 3 ) = B X = Qs Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) = ( ) (I-33) D façon dntqu, on put calcul ls auts coodonnés du noud pou l'téaton (p+) : (p+ ) (p) (p) (p) YX YY YZ Y Y = A X + A Y + A Z + B (p+ ) (p) (p) (p) Z = A X + A Y + A Z + B ZX ZY ZZ Z (I-34)

34 Pat I A A A où l'on défnt : A B B YY YZ ZZ YX Y Z = A = = = = = = = = = = Q ( Y Q ( Y Q Q ; A ( ( X X 3 3 Q ( Z XY s s s s s 3 ZX 3 3 ) 3 ) = A ( X Z ( X XZ ) ; A Y 3 Z 3 ZY X X = A 3 3 Y YZ Z ) + Z 3 ) + Y 3 ( Y 3 ( Y Z Z 3 Y Y 3 Z 3 Z ) ) ) ) (I-35) Cs équatons puvnt s tt sous la fo atcll : X Y Z (p+ ) (p+ ) (p+ ) S l vctu { X ( ) } A A A = A A A A A A XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ X Y Z (p) (p) (p) B + B B caactés la poston ntal du noud, l vnt : p (p+ ) p + ( ) k { X } = [ A ] { X } + ( [ A ] ) { B } k= X Y Z (p+ ) (p) ou { X } [ A ] { X } { B } = + (I-36) k avc [ A ] = [ Id3 ] (p+ ) (p) p ( ) { X } { X } = [ A ] ([ A ] [ Id3] ){ X } + { B } ( ) p L'annx E ont qu ls ts d [ A ] véfnt l [ A ] = [ ] p pou k = (I-37) (I-38) 3, c qu sgnf qu l pocssus convg vs la poston d'équlb du noud. Nous ploons à c popos la tnolog d convgnc local. A pat d (I-37) l vnt : (p ) p ( ) p { X } = [ ] { X } + ([ 3] [ ] ) [ 3] [ ] [ ] { } A Id A Id A B (p ) p ( ) { X } [ ] { X } [ 3] [ ] [ ] { } [[ 3] [ ]] { } + + = A ( Id A B ) + Id A B (I-39) (I-4) qu tnd à l'nfn vs : (p) { } = [ 3] [ ] [ Id A ] { B } l X p Nous avons ans la laton fondantal d'équlb nodal : [ Id A ] { B } { X } = [ 3] [ ] (I-4) (I-4)

35 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 3 Ctt équaton qu pt d détn la poston d'équlb du noud st à la bas d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. Son éctu splfé (la sul opéaton "coplx" ésd dans l'nvson d'un atc X. Dux évntualtés s pésntnt alos : 3x3) autos un calcul apd du vctu { } - Sot l concptu souhat utls la déach téatv défn n (I-3) t a ans la possblté d l'aêt losqu l vctu ds ffots ntns st nféu à un sul dandé. - Sot l dés obtn un pécson axal, c qu suppos un pousut ds téatons à l'nfn, t l put dans c cas utls la laton d'équlb à l'nfn (I-4). L chox lèv n fat d'un copos nt l tps d calcul pat t la pécson voulu. Losqu la poston d'équlb st attnt, ls as ds dffénts élénts sont évalués t pttnt d calcul ls valus ds contants sotops pa : σ q s s = (I-43) Ctt pocédu st applqué à chaqu noud lb d la stuctu usqu'à c qu la fo d l'nsbl attgn un poston d convgnc. S c'st l cas, nous palons d convgnc global du pocssus. L'équaton (I-4) ont qu ctt géoét fnal st obtnu dctnt n laton avc ls dffénts valus attbués aux coffcnts d dnstés d contants sufacqus q s pa l'ntéda ds atcs [ A ] t ds vctus { B }. Co dans la Méthod ds Dnstés d Focs, l concptu a ans la possblté d odf la fo d'équlb n agssant su ls coffcnts q s, t c sans odf ls condtons d'appu du systè. I Applcatons L p xpl llust l cas où, patant d'un allag ntal plan pou lqul on a spécfé ds condtons d'appu (fgu I- 4a), un pè Rchch d Fo st ffctué avc ds coffcnts d dnstés d contants sufacqus dntqus (fgu I- 4b). Dans un scond tps, l concptu pos q s = pou ls élénts stués au cnt d la stuctu t q s = pou ls auts (fgu I-4c). Fg. I-4a Confguaton ntal Fg. I-4b Fo fnal avc q s = Fg. I-4c Fo avc dffénts coffcnts q s

36 4 Pat I Fgs. I-5 Qulqus confguatons calculés pa la MDCS Ls fgus I-5 ttnt n évdnc d'auts applcatons où dffénts vaétés d fos sont obtnus. C'st auss l'occason d sgnal qu touts ls géoéts ntals ployés tout au long d cs tavaux d thès ont été conçus pa utlsaton d la Fox Algèb. Ct outl (copnd Algèb ds Fos) s'avè n fft pafatnt adapté à la généaton d tlls stuctus spatals, allant à la fos ds qualtés d apdté, splcté t ffcacté [NOO 93]. L pocssus d concpton pos su l'utlsaton d schéas paaétés t off un gand dvsté dans ls géoéts t Stuctus Rlatonnlls ngndés. La paol put ans êt donné n tout confanc à l'achtct, sachant qu ls confguatons qu'l va détn pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus offnt touts ls gaants souhatés n ts d écanqu. Il st d'allus possbl d'llust c popos avc un xpl spl. La fgu I-6a pésnt un tol plan fxé su ss côtés t su un noud cntal n poston haut. L calcul d la poston d'équlb du systè dans l cad d'un schéatsaton dscèt (Méthod ds Dnstés d Focs) èn à un géoét d'autocontant (fgu I-6b). Fg. I-6a Mallag ntal Fg. I-6b Rpésntaton lnéa Fg. I-6c Mod sufacqu Cpndant, c ésultat put paaît assz toublant à tout psonn ayant déà été confonté à la éalsaton d tols tndus, n sat-c qu pa l'ntéda d aqutts n tssu. Nous savons n fft qu'un tll confguaton ntaîn focént l'appaton d pls au sn d la tol. S l'on ffctu antnant un Rchch d Fo slon un pésntaton

37 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 5 contnu du lu, n l'occunc d'apès la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, nous aquons qu l pocssus n put convg globalnt vs un poston d'équlb. Cla tadut l fat qu'l n put xst un bas d'autocontant fondé su l'utlsaton d tnsus d pétnson sotops t qu'l sat alos nécssa d pnd n consdéaton ds ts d csallnt avc bn ntndu un squ potntl d zons d la ban n état d copsson. Il st ans constaté qu c spl xpl t n défaut, un fos d plus (cf I--), l Pncp d'equvalnc foulé n (I-3). La dvgnc global d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus st huusnt dans l cas pésnt d gad-baè n évtant au concptu d cott ds us péudcabls. I Cobnason avc la Méthod ds Dnstés d Focs Ctt pat tat l cas pou lqul ds câbls d alngu sont stués su ls côtés d la tol. Nous allons consdé un confguaton avc élénts d bans t c élénts d câbl lés au noud t aux nouds péés 5 (fgu I-7). X 5 Z Y c f f l b 4 Fg I-7 Elénts d câbl 3 La so ds ffots ntns xcés au noud s'éct : c p c c f = f + f s l = q b 4 + ql 5 (I-44) 4 = = = = Ls équatons d'équlb ( f = ) nous donnnt ls ês latons (I-3) as avc : c NX = qs lb X + q X l = = c NY = qs lb Y4 + q Y l 5 = = c NZ = qs lb Z4 + q Z l 5 = = 4 5 c s b = = t D = q l + q l (I-45) Dans c cas auss, on put détn la poston du noud d façon téatv ou pa ésoluton du systè (I-4). Il st n fft possbl d ont qu ls ts d la atc p [ A ] sont tls qu l [ A ] = [ ] p 3 st touous véfé (cf. annx E). Ctt appoch cobné pt au concptu d gé tout à la fos la coubu ds câbls d alngu stués n péphé (n agssant su ls coffcnts q l ) ans qu d odf localnt la fo d la tol (coffcnts q s ).

38 6 Pat I Nous allons llust ctt possblté pa l'xpl suvant. Il s'agt d'un stuctu d pa dont ls nouds postonnés su ls côtés d plus gand longuu sont fxs t décvnt un ac d ccl avc un hautu axal d 5 (nouds péés o). Ds alngus sont égalnt dsposés su ls côtés tansvsaux (nt ls nouds xtês aqués ). Fg. I-8a q s = t q l = 6 Fg. I-8b q s = t q l = 5 Fg. I-8c q s = t q l = Un pè fo st calculé avc tous ls coffcnts q s égaux à t ls coffcnts q l à 6. Dans c cas, la flèch ésultant au nvau ds câbls d alngu st d (fgu I-8a). S l'on pécs antnant qu q l = 5 ll dvnt égal à (fgu I-8b) pus chut à un valu d.5 s q l = (fgu I-8c). I Calcul d Stuctus Gonflabls L popos st à pésnt consacé au cas patcul ds stuctus pnuatqus dont la poston d'équlb dépnd d l'acton d'ffots xtéus d psson. La détnaton ds ffots ntns xcés n chaqu noud s'ffctu n aoutant à (I-6) un t supplénta dû aux coposants noals à chaqu élént d ban (ax local z ) t popotonnl à sa sufac ans qu'à la valu d la psson P. On éct alos : P s p P s f = f + = ( q s lb ) z 4 + z (I-46) = = = Nous sos toutfos confontés c à un poblè nouvau ca, s usqu'à pésnt l pocédé d Rchch d Fo nous pttat d'obtn un bas latv à un état d'autocontant (ls untés pouvant êt consdéés co "lbs"), l fat d'ntodu ds ts d psson (avc ds untés pécss) plqu un défnton gouus ds untés choss. La déach poposé st la suvant : ( ) - On st tout d'abod su l allag plan ntal la sufac oynn ds élénts s oy t, n consdéant un valu d pécontant d la tol σ, ls coffcnts d dnstés d contants sufacqus pa : ( ) q s = σ ( ) soy (I-47) - Un p calcul st éalsé; la fo obtnu pt d'avo un scond staton d la ( ) sufac oynn élénta s oy t ans d'attbu d nouvlls valus aux coffcnts ( ) q s slon (I-47).

39 Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals 7 La convgnc local du pocédé st égalnt assué ca l'ntoducton d focs d psson n fat qu'aout ds ts suppléntas aux vctus { B } xplctés dans ls équatons d'équlb (I-4). Nous allons llust ctt déach n ffctuant un Rchch d Fo su un stuctu bn connu : la couvtu ds Aèns d Nîs (fgu I-9a). La tol supéu déct su sa bas un llps d'axs 9 x 65 t la psson latv à l'ntéu d l'édfc st P =. 5 4 MPa (sot.5 bas). Son épassu st d'nvon.5. Fg. I-9a Aèns d Nîs ( ) Un p calcul ffctué avc ds coffcnts q MPa s 3 MPa. donn 6. 8 un flèch cntal égal à 7. (fgus I-9b t c). S l'on éactuals cs valus avc ( ) q s =. 5 MPa. nous obtnons alos un flèch d Fg. I-9b Vu n ppctv Fg. I-9c Vu d côté Mê s l st dffcl d'st l'état d pécontant él d la ban constut (pétnson d typ sotop?), nous aquons toutfos qu ctt valu st n adéquaton avc la flèch axal sué su l tan t égal à 8.. Ctt cohénc d ésultat pt ans d vald n pat l odèl poposé. A pésnt qu nous avons s n évdnc un pocédé d Rchch d Fo pou ls Mbans Txtls Achtctuals, l st cpndant un pont cucal su lqul l débat dot s pot. Un systè écanqu n état d'équlb n'st n fft ntéssant, au sns constuctf du t, sulnt s ct état d'équlb st ffctvnt éalsabl, c'st à d s sa stabllté st assué. Ctt noton plqu avant tout d détn d façon pécs ls dffénts écanss suscptbls d'êt s n u au sn d l'ouvag pus d'étud lus épcussons su l'équlb d l'nsbl. Tl st l'obt du chapt suvant où, d'abod dans l cad d'un pésntaton dscèt d la stuctu pus à pat d'un schéatsaton contnu, ds élénts d épons vont êt appotés.

40 8 Pat I I-4 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals I-4- Rappls su l'étud d la stablté ds équlbs L'étud d la stablté d'un systè consvatf put s'nvsag n utlsant l théoè d Lun-Dchlt où l st déonté qu, s l'éng potntll du systè adt un nu stct n un poston d'équlb, alos ctt poston d'équlb st stabl [BAM 8]. Dans l cas consdéé, ls sollctatons xtéus étant consdéés co nulls, l'éctu d l'éng potntll du systè s ésu à cll d son éng d défoaton Wd povnant ds ffots ntns. La confguaton d'équlb dont on dés tst la stablté, détné slon un pocédé d Rchch d Fo, pnd l'appllaton d poston d éfénc. Co ls déplacnts ds nouds sont nuls dans ctt poston, son éng d défoaton Wd d sot défn postv slon un déplacnt ( ) st égalnt null. Auss sufft-l qu { } { } d ps dans un vosnag d la poston d éfénc pou qu l'éng potntll du systè adtt un nu stct. D plus, l a déà été déonté qu la défnton t l'ndéfnton d'un foncton analytqu dépndat ds ts d plus bas dgé d son dévloppnt [CAP 9]. Cla sgnf ans qu s la pat pncpal d ctt foncton st un fo défn postv, alos ctt foncton st ll ê défn postv. Auss, suffa t-l pa la sut d consdé sulnt ls ts lés à la pat pncpal d l'éng d défoaton Wd, c'st à d ss ts d plus ptt od. Losqu'l st pécsé qu ls déplacnts { d } appatnnnt au vosnag d la poston d éfénc, cla plqu qu ctt étud d stablté s stu dans l cad d l'hypothès ds ptts ptubatons. D fat, l vctu déplacnt st d'od nféu ou égal à un, sot d. D façon généal l'od noté st défn slon = ζ = ζ où ζ st un él stctnt postf tès ptt dvant l'unté. S on lt l'éctu d'un quantté à son dévloppnt à l'od on utlsa l sgn (pou splf ls xpssons on ploa d péfénc au lu d ). En gus d concluson, nous pouvons d qu l ctè d stablté s ésu d la façon suvant : ( ) { d} { } avc, la stablté st assué s { } R N d ( ) Wd d >

41 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 9 I-4- Rchch ds écanss S l'on consdè un déplacnt généalsé { d } ds nouds d la stuctu, on put éc l tnsu lnéasé ds défoatons d Gn-Lagang assocé à chaqu élént slon (D-6) sous la fo : { ε L loc} [ Tε ] { ε L} [ Tε ] [ bl ] { d } = = (I-48) D'apès (C-) nous avons[ T ] [ T ] T ε σ élénta d'équlb [ a ] n (I-) : v { } v { } [ T ] T L loc L loc [ bl ] { d } v [ a ] T ε = ε σ = { d } sot apès assblag ds latons éléntas (I-49) avc { ε v L loc} v { ε L loc} { ε v } [ ] T L loc { d } = ' t ans, n utlsant la défnton d la atc ' (I-49) = : = A (I-5) L noyau d A T, sot K A T, défnt ans l sous-spac vctol ds écanss; c'st à v d l'nsbl ds vctus pou lsquls { ε } { ε } { } L loc = =. L loc Il st possbl d déont qu K A T t I A font dux sous-spacs vctols suppléntas t othogonaux dans l'spac R N, sot R K A I A. D façon généal tout vctu déplacnt put alos s décopos d façon unqu n [VAS 98] : N = T { d} = { d } + { d } où { } K A t { } I K d K T d I I A (I-5) I-4-3 Détnaton ds éngs d défoatons éléntas su l'spac ds écanss On consdè la stuaton où la stuctu possèd au ons un écans, c'st à d { d} = { d K } d'od n occultant ls déplacnts othogonaux { d I }. Il s'agt d popos un éctu atcll d l'éng d défoaton élénta w d K ({ dk }) pou chaqu élént losqu ss nouds s déplacnt slon un écans { d K }. I-4-3- Cas d'un élént d câbl L vctu élénta ds déplacnts nodaux ds nouds t xtétés du câbl consdéé s'éct : T d = d d = d d d d d d { K c } K K KX KY KZ KX KY K (I-5) Z

42 3 Pat I ' l c ' En notant dk = dk dk, la longuu apès ' d défoaton s détn pa (fgu I-) : K ' d lc = ' ' = l c+ dk + dk (I-53) K l c Z Co T d x c X Y K x c = su K A, l sut : ' dk. 5 dk l c= lc ( + ) l + (I-54) Fg. I- Défoaton d'un élént d l c lc T câbl su K A ' d La vaaton d longuu d l'élént étant K c = l c l c, la défoaton du câbl lc xpé dans son pè local s'éct slon la fo quadatqu : K dk ε NL x (I-55) l On put ans défn l'éng élénta d défoaton pa : ({ }) c w d c d K c 4 v c K c NL v c K c NL v c K σ + K ε x σx ε x c σ ε NLx (I-56) S l'on chost un éctu atcll l vnt : avc t c La atc syétqu [ d c ] (sous-ntndu ds écanss). d c K [ ] { } w d d d (I-57) K c c K c c = σ t sc [ ] [ ] d c c 3 = lc sy t Id sy [ Id3] (I-58) pnd l no d atc d caactésaton éngétqu I-4-3- Cas d'un élént d ban y L vctu ds déplacnts nodaux d'un élént s'xp pa : d = d d d = d d d d d d d d d { } K T K K K3 KX KY KZ KX KY KZ K3X K3Y K3 (I-59) Z lb3 ψ θ 3 x l b X Z θ z l b Fg. I- Elént d ban 3 Y Ls vaatons d longuus ds tos côtés d l'élént s détnnt pa (fgu I-) : d K 3 l b ; d K 3 l b t d K 3 l b3 (I-6) Ls défoatons latvs d cs ês côtés ont alos pou valus ε. l b

43 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 3 Dans l pè local lé à l'élént on put éc ls coposants du tnsu ds défoatons slon l'xpsson : K { ε NLloc} ε = ε ε K NLx K NLy K NLxy b c c b 3 3 bc3 cb3 a c a c c c ab3 a3b b3 b où θ pésnt l'angl onté dct stué nt l côté t l'ax x t : a D plus avc l'angl ψ = θ θ3, on ont qu : ε ε ε 3 (I-6) = cos θ ; b = sn θ ; c = cosθ snθ (I-6) b c Nous avons ans à la fo édut : ε ε K NLx K NLy c b = snθ snθ snψ > (I-63) l b lb tgθ tgθ s tgθ s tgθ n chosssant la atc [ ] 3 3 =. 3 d d d K3 K3 K = [ ] d d d K3 K3 K (I-64) T L'éng d défoaton élénta su l'spac d ss écanss K A d'un élént d ban n état d pétnson st défn pa : 4 K K ({ }) loc { NLloc} + loc { NLloc} loc { K NLloc} w d v σ ε v σ ε v σ ε (I-65) K d K S la confguaton d'équlb st détné slon la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus, nous avons { } { } loc so σ = σ = σ pa xtnson d'éctu. Il vnt alos : wd v K NL + K NL = v dk + d + σ K d K ( ε x ε y ) σ ( K ) avc l t = + = s tgψ. D plus ls latons pécédnts pttnt d véf qu : l b 3 ( ) l b ( ) + = > ; + 3 = > t s s 3 l b ( ) (I-66) + = > (I-67) s Ans, l st possbl d'éc l'éng élénta d défoaton d façon analogu à l'équaton (I-57) : [ ] { } w d d d (I-68) d K K K

44 3 Pat I avc [ ] ( + ) [ Id ] sy sy [ Id3] ( + ) [ Id3] sy 3 [ Id3] [ Id3] ( + 3 ) [ Id3] d v 3 3 σ = (I-69) qu pésnt la atc élénta d caactésaton éngétqu. I-4-4 Etud d la stablté su ls dffénts spacs Ctt étud s stu à pésnt dans l cas généal d'un pésntaton dscèt ou contnu d la stuctu. La déach tnu vs à défn ls ctès d stablté su l sous-spac vctol othogonal aux écanss I A pus su l sous-spac vctol ds écanss K A T. Pa la sut, on consdéa l'évntualté d'un déplacnt appatnant sultanént à cs dux sous-spacs vctols. I-4-4- Stablté losqu ls écanss n sont pas xctés (su I A ) Slon la décoposton { d} = { di} + { dk }, on consdè l cas où { } { } d { d} = { } d'od. d I I En néglgant ls ts { ε NLloc } S [ E loc ] d K =, c'st à d'od, l'éng d défoaton élénta st : I { Lloc} loc { I Lloc} w v σ loc ε + v σ ε I d pésnt la atc élénta ds constants élastqus du atéau, l sut { ε I Lloc } [ L ] { I = b d } t ans { σloc} [ loc I E ] { ε Lloc} [ Eloc ] [ bl ] { di } Nous avons alos ls dévloppnts : [ L ] { I } I [ L ] T [ loc ] [ L ] { I } (I-7) (I-7) w v σ loc b d + v d b E b d I (I-7) d En ntodusant la atc élénta d gdté lnéa [ k L ] équaton B-37), on obtnt : [ ] { } [ ] { } établ dans l'annx B (vo w v σ loc a d + d k d I (I-73) d Apès assblag ds latons (I-73) l vnt : T I I L I T WdI σloc [ A ] { di} + di [ KL] { di} (I-74)

45 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 33 L'équlb d la stuctu n poston d éfénc s tadusant slon (I-) pa [ A] { σ loc } = { }, l st donc : [ ] { } WdI d K d I L I (I-75) La atc d gdté lnéa généalsé [ K L ] étant défn postv apès ntoducton ds condtons d'appu d la stuctu, la fo WdI ({ di }) l'st alos égalnt. Cc nous pt d conclu : Un systè tndu st touous stabl losqu ss écanss n sont pas xctés. I-4-4- Stablté losqu sulnt ls écanss sont xctés (su K A T ) Dans l cas pésnt { d} { } = d K d'od. L'éng d défoaton élénta st défn pa : K { NLloc} loc { K NLloc} wd = v σ loc ε + v σ ε K Co { σloc} [ loc ] { ε K K = E NLloc} t qu l'éctu ds coposants d { ε NLloc } ts quadatqus d K K d'od, alos l podut σloc { ε NLloc} En s ltant à sa pat pncpal, on obtnt donc : K { NLloc} K [ ] { K } st d'od 4. (I-76) s éfè à ds w v σ loc = d d K ε d (I-77) d Sot apès assblag ds latons (I-77) : [ ] { } WdK dk D d K (I-78) Dans ctt équaton, [ D ] pésnt la atc généalsé d caactésaton éngétqu; s ll st défn postv alos Wd { d } ( ) K K l'st égalnt. L ctè d stablté put c s foul slon : Un systè tndu st stabl losqu sulnt ss écanss sont xctés s t sulnt s sa atc généalsé d caactésaton éngétqu [ D] st défn postv. Nous déontons n annx F qu ctt popété st touous véfé. d D d d K. D plus, l st onté qu K [ ] { K} pou un déplacnt { } { } Cla sgnf qu'l n'st pas nécssa d consdé ls ts d { } d K d'od supéu à un, c'st à d qu la stuctu adt sulnt ds écanss d'od un. Ctt aqu st bn ntndu valabl dans l cad d'un caactésaton d typ éngétqu ds écanss [SAL 9].

46 34 Pat I I Stablté au vosnag ds déplacnts othogonaux Apès avo défn ls ctès d stablté su ls dux sous-spacs vctols K A T t I A, étudons à pésnt lus vosnags. Il st n fft xcptonnl qu'un déplacnt s stu unqunt su l'un d cs sous-spacs. On consdè qu { d} = { d } + { d } avc { d I } d'od un t { } I I K Co { εloc} { ε Lloc} + { ε NLloc} + { ε NLloc} I K d K d'od., l'éng d défoaton élénta s'éct : d I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} w v σloc ε + v σ ε + v σ ε od od od I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} v v v + σloc ε + σ ε + σ ε od od od (I-79) En n tnant qu ls ts pncpaux los d l'assblag t d'apès (I-), l vnt : On aqu qu { } [ ] { } Wd d K d I L I Wd( d ) st touous défn postv ca la atc [ ] (I-8) K L l'st égalnt. Cla n sgnf pas pou autant qu l systè sot stabl dans l vosnag d I A. En fft, losqu'on aèn pus lâch la stuctu dans c vosnag, cll-c put "pass" dans l vosnag d'un écans t sa stablté dépnd alos d c nouvau vosnag. Pou cla, étudons à pésnt c qu'l put advn au vosnag d K A T. I Stablté au vosnag ds écanss Dans c cas { d} = { d } + { d } avc { d I } d'od t { } Slon un asonnnt sla on a: I K d K d'od un. d 3 I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} w v σloc ε + v σ ε + v σ ε od od od I I { Lloc} loc { NLloc} loc { K NLloc} v v v + σloc ε + σ ε + σ ε Sot, n n tnant qu ls ts pncpaux : od od 3 od + Wd di [ KL ] { di} + dk [ D] { dk} od od (I-8) (I-8)

47 Stablté ds Mbans Txtls Achtctuals 35 Il st possbl d'obsv qu, qulqu sot l'od d { d I } alos ({ }) défn postv ca la atc [ D ] l'st égalnt (s pot à l'annx F). Wd d st touous Ctt étud nous pt ans d'about à la concluson suvant : Ls bans tndus fasant l'obt d'un Rchch d Fo slon un pésntaton lnéa (Méthod ds Dnstés d Focs) ou pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus (schéatsaton contnu) sont touous dans un poston d'équlb stabl. C ésultat n'st cts pas ds plus supnants, l conta l'ut été tout autnt, ca l paaît ntutf qu'un systè écanqu n état d pétnson t sans aucun zon n copsson sot stabl. L'étud éalsé s ustf toutfos plnnt, n sat-c qu pa la dscusson né su l'éng d défoaton d la stuctu slon ls dffénts sous-spacs consdéés ou bn la s n évdnc d l'od d ss écanss.

48 Concluson d la Pat I 37 Concluson Dédé à l'étud ds latons xstant nt ls paaèts d Fos t d Focs, ctt pè pat a été consacé aux pocédés d Rchch d Fo ds Mbans Txtls Achtctuals. L'ntoducton ds atcs d'équlb du systè a ps d'ffctu n p lu un chch ds états d'autocontant d la stuctu slon un fo donné. C'st dans l cad d'un tll appoch qu'l a été possbl d tt n évdnc, dans ctans cas, l'absnc d cospondanc nt la géoét d'un ésau d câbls tndus (pésntaton lnéa) t cll d'un ban n état d pétnson (pésntaton sufacqu). Concluant alos à la nécssté d tt n plac un nouvau pocédé d Rchch d Fo fondé su un appoch contnu du doan, ct aspct a été abodé slon un volonté pè d épond aux xgncs fondantals ds concptus. La soluton st appoté pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. C pocédé s éfè à l'utlsaton d tnsus d pécontant sotops su tout la sufac t aboutt à un éctu latvnt spl ds équatons d'équlb, autosant pa là ê son ntégaton au cou d'un logcl CAO d Rchch d Fo tout n conuguant ds qualtés d apdté, d'ntactvté ans qu d spct ds dvss consdéatons écanqus. L concptu put d plus nvsag ds dstbutons d pécontants sotops dffénts, c qu lass la pot ouvt à un ga tès lag d fos. La foulaton ployé pt d plus un appoch cobné avc la Méthod ds Dnstés d Focs (gston ds coubus d câbls d alngu pa xpl) t off la possblté d détn ds stuctus d typ gonflabl. D nobuss applcatons sont pésntés afn d soulgn l popos. L'attnton s'st pa la sut poté su l'étud d la stablté ds fos ans défns. La déach tnu a d'abod conssté à décopos l'spac n un so dct d'un sous-spac lé aux écanss d la stuctu t d'un aut sous-spac othogonal à clu-c. L'applcaton du théoè d Lun-Dchlt slon ds déplacnts appatnant à cs sous-spacs ans qu'à lus vosnags spctfs a alos ps d foul ls ctès d stablté nécssas. L'ntoducton t l'étud d atcs dts d caactésaton éngétqu dans l cad d'un pésntaton lnéa pus sufacqu ontnt qu ls stuctus consdéés n'adttnt qu ds écanss du p od t, aqu pou l ons potant, qu lu stablté st touous assué.

49 Pat II Rchch d Fo d Confguatons Mnals

50 Intoducton 39 Intoducton S la pè pat a pou obt ls dvs pocédés d Rchch d Fo ds stuctus tndus, nous nous poposons à pésnt d'nvsag un étud ds latons Fos- Focs slon un déclnason patculè. En fat, cs ts dvant c s'accod au sngul ca l thè abodé concn ls Fos Mnals où, nous l vons pa la sut, l y a uncté d Focs pou un Fo alos ll auss unqu. La dénonaton d confguaton nal goup n fat ls notons d Résau d Longuu Mnal t d Sufac d'a Mnal. Cs stuctus ont cc d sngul qu, passant napçus aux yux du non-avt, lls s dévolnt alos à l'nté qu s ava d'un tll dvsté t pofuson d'xpls natuls. Au dlà d consdéatons punt géoétqus, on put ls caactés pa d'ntnsèqus popétés écanqus qu lus confènt un ntéêt édat pou tout concptu d Mban Txtl Achtctual. A ct fft, ctt duxè pat t n xgu plusus pocédés d Rchch d Fo dstnés à l'étud ds confguatons nals. Un pè appoch st fondé su ls outls déà s n plac, à savo ls dffénts Méthods d Dnstés (d Focs ou bn d Contants Sufacqus). Touous désux d'élag la paltt ds nstunts d l'ngénu concptu, un aut pocédé st pa la sut pésnté. Sa foulaton pos su la nsaton d fonctonnlls pa la Méthod du Gadnt Conugué. Un déach assocant cs dux appochs st nsut suggéé, ll pt d tt n avant la statég la plus ffcac à tn. Ctt pat st égalnt l'occason d pot un attnton tout patculè su la détnaton ds caactéstqus géoétqus ds sufacs, à savo ls valus ds coubus pncpals n un pont donné. Pou cla, nous dévloppons un éthod autosant d tls calculs pa dévaton ds fonctons d fo.

51 Natu t Fos Mnals 4 II- La Natu t ls Fos Mnals S l'on touv tac d poblès sopéétqus dans la plus haut antquté, à l'ag du poèt Vgl dans l'enéd [HIL 85], l'étud athéatqu au sns plus lag ds confguatons nals n fut ouvt qu sut à l'appaton du calcul dfféntl t vaatonnl au XVIII sècl sous l'pulson d'eul t d qulqus uns d ss contpoans. La géoét a dès los ncopoé cs notons pou donn nassanc à la géoét dfféntll qu s'ntéss à un confguaton spatal pou sa fo t non plus sulnt pa ds condtons posés aux coodonnés d ss ponts. L'obsvaton d fos natulls a égalnt ps d'obtn ds ésultats sgnfcatfs. La vson coscopqu d céatus uncllulas applés adolas t s'appuyant su ds suppots polyédqus pa d'acy Thopson, à l'occason d ss tavaux xposés dans l bllant ouvag 'On Gowth and Fo', soulgn l'xstnc on n put plus épéttv d confguatons hxagonals (fgu II-) [DAR 7]. Fg II- Squltt d adola Ctt obsvaton st nouvlé losqu l'on psonn un ésau d fls d savon nt dux las d v paallèls t pochs ou bn pa agandssnt d'un al d'nsct (fgus II- t 3). Fg II- Bulls d savon Fg II-3 Al d'nsct Ls xpls puvnt n fat s ultpl à l'nfn, tant ls sblnt pos su un pncp d'écono ds oyns, suggéant qu la natu pocèd touous d la façon la plus spl t la plus ffcac [COI 87] t [GOR 78]. Cs fos natulls, caactésés pa ds angls d o nt ls dvss banchs, touvnt n fft lu fondnt losqu'l s'agt d'abod slon un contxt plus généal ls poblès d plus couts chns, autnt dt d longuus nals. Nous passons sous slnc tout la lttéatu athéatqu consacé à c thè pou pêt attnton à ss épcussons dans l doan ds stuctus à bas d ésaux d câbls tndus. Il a n fft été onté qu'un ésau st d longuu nal s tous ss élénts possèdnt un tnson dntqu. Ctt popété écanqu s'avè ds plus attactvs losqu

52 4 Pat II l concptu nvsag l dnsonnnt ds câbls ou dés détn ds coubs géodésqus su l allag. On nota sulnt à ct égad qu'l xst égalnt ds applcatons dans d'auts sctus d'actvtés, d l'étud d l'plantaton d coposants su un cat élctonqu à la détnaton d ésaux aéns lants plusus vlls. Aut obt d sups t d fascnaton, ls sufacs d'a nal ont suscté d nobux dévloppnts. Un défnton splfé put n êt donné : l'a d'un sufac nal st plus ptt qu cll d tout aut sufac vosn s'appuyant su l ê contou. Lagang établt n 76 lu équaton caactéstqu pndant qu Musn (77) onta qu'lls s dstngunt pa un coubu oynn constant n tout pont [LAW 9]. Pa la sut, on véfa qu'un ban tndu st d'a nal s sa tnson st dntqu n tout pont t slon touts dctons. Il st possbl d vsuals apdnt d tlls fos n utlsant ds fls d savon (fgu II-4). Ctt pésntaton physqu t n luè un aut spécfcté ds sufacs nals n évélant qu'l xst n fat ctans géoéts d coubu oynn constant n pouvant êt atéalsés [ISE 78]. Dans c cas patcul, l st n fft possbl d cé un fl d savon cospondant à la fo nvsagé. Fg II-4 Sufac nal Nous dvons ans ntodu l concpt d stablté d cs géoéts d'équlb t consdé qu la condton d coubu oynn constant st nécssa as pas focént suffsant pou obtn un fo stabl, donc physqunt éalsabl. Pa opposton, la popété écanqu d tnson unfo véf touous c ctè t sa ans à nos yux la condton fondantal à spct. L'étud ds fos nals a été ntalnt condut à l'ad d aqutts t auts odèls physqus [OTT 73] avant d céd l pas à ds nvstgatons nuéqus pa odnatus. Au chapt ds pocédés fondés su la consdéaton géoétqu d coubu oynn constant, nous ctons ls tavaux lés à la ésoluton d l'équaton d Lagang (pncpalnt pa Méthods d Dfféncs Fns [MAR 93]) ou bn posant su la pésntaton athéatqu d Wstass pa l'ntéda d fonctons dts holoophs (étuds d D. Hoffan [HOF 93]). Cs appochs n'offnt cpndant pas tout satsfacton ca lls n gaantssnt pas la stablté ds confguatons ans détnés. Pa sut, d nobuss éthods utlsant la popété d tnson unfo ont été poposés. On touv ls tavaux d E. Haug potant su la Méthod ds Elénts Fns [HAU 87] ans qu cux nvsagés slon la Méthod d Rlaxaton Dynaqu (M. Bans t W. Lws [BAR 76] t [LEW 96]). L. Gündg a égalnt suggéé un pocédé d nsaton pa utlsaton d la Méthod ds Monds Caés [GRÜ 88] t K.U. Bltzng un foals dt d "contnuté nuéqu" qu pt d'obtn ctans fos nals [BLE 95]. Ls tavaux d P. Sng sont égalnt consacés à ctt théatqu t offnt d nobuss applcatons [SIN 95]. Cs dvss éthods s caactésnt cpndant pa la coplxté ds appochs ployés t la nécssté d cou à ds pocédés d ésoluton "louds", pu convvaux t éclaant ds tps d calcul élvés.

53 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 43 II- Rchch d Fos Mnals pa ls Méthods d Dnstés Pusqu not dés st c d'appéhnd la Rchch d Fo ds confguatons nals n n tnant qu ds géoéts d'équlb stabls, ls dvss consdéatons ncontés au cous d la pè pat d c éo nous ont offt un pécux outl allant dans ctt dcton t consttué pa ls dffénts Méthods d Dnstés. II-- Etud d ésaux d câbls d longuu nal L chn punté duant ctt étud ds fos na va suv plusus dctons. Nous allons n p lu nous ont vs ctt class patculè d stuctus qu consttunt ls ésaux d câbls d longuu nal. Plusus étaps sont nvsagés, d'abod fondés su la consdéaton d'égalté ds coffcnts d dnstés d focs du systè pus su cll d'un dstbuton unfo ds tnsons au sn d ésau. L'éctu splfé lé au od d schéatsaton dsct va nous ptt d tt n luè qulqus pncps dctus ans qu ls déachs à nvsag. II--- Résau avc coffcnts d dnstés d focs dntqus S l'on consdè la so ds longuus ds élénts élvés au caé, l vnt : L = C C l ck k= k= ( ) (II-) kk kk kk = X + Y + Z L st nal s l st véfé n tout noud du allag qu : Su l'ax X global on put d plus éc : L L L = = = (II-) X Y Z L X c = = X (II-3) En supposant qu l ésau fat l'obt d'un Rchch d Fo pa la Méthod ds Dnstés d Focs avc ds coffcnts d dnstés dntqus ( qlk = ql ), l sut, au gad d la laton d'équlb nodal (I-4) : c X c = X = t ans L X = c X X = Un déach équvalnt slon ls dctons Y t Z èn auss à L Y Nous véfons alos la popété suvant : c = = L Z =. (II-4) Un ésau d câbls calculé avc ds coffcnts d dnstés d focs dntqus ns la so ds longuus ds élénts au caé. Ctt aqu avat pa allus déà été foulé pa Shck dans l cad d ss tavaux d thès [SHE 76] t à l'ssu d la pésntaton d la Méthod ds Dnstés d Focs [SHE 74].

54 44 Pat II II--- Résau d longuu nal Il s'agt c d d'nvsag un confguaton avc L = l ck nal. Cla s tadut n tout noud du allag pa : L L L = = = avc, su l'ax X, X Y Z C k= L X X c = = l (II-5) Co l st possbl d'évalu ls tnsons dans chaqu élént d câbl pa (I-3), sot la laton t = l l, l sut : q k k k L X q X c = l = t (II-6) S l'on consdè l cas patcul d'un ésau d câbls possédant un tnson unfo, c'st à d qu t = t, on éct alos : k L X c = (( ql ) X ( ql X )) = t = = Nous touvons ans la popété suvant : Un ésau d câbls d longuu nal st égalnt un ésau unfoént tndu. c (II-7) Ctt aqu t n évdnc un ds poblès lés à l'utlsaton d la Méthod ds Dnstés d Foc. Bn qu l concptu at un contôl dct su ls dffénts coffcnts d dnstés, ls tnsons obtnus apès calcul dans ls élénts sont n fft dffcls à détn à l'avanc. S l'on dés obtn un dstbuton unfo d clls-c, un aut appoch st pa conséqunt à nvsag. Nous allons ans popos un pocédé téatf dans lqul ls coffcnts d dnstés d focs sont odfés usqu'à c qu la spécfcaton tk = t sot spcté (ésau nal). S l'on consdè la so ds longuus ds élénts à l'téaton (p) on a : C (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p ) (p ) (p ) ck N N N lk N N N k= ( ) ( ) L = l = L X, Y, Z = L q ( X, Y, Z ) (II-8) A l'téaton (p + ) l vnt L C (p + ) (p + ) (p + ) ( ql k ) = l ck k= t l'on chch : (p + ) L (p + ) c c (p ) + t = ( lc ) = ( ) = (p + ) X X X q S ls tnsons sont dntqus cla sgnf qu : X = = L (p + ) c (p ) = l l ( t = ) = + X q (II-9) (II-)

55 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 45 En supposant qu c (p) ( lc ) =, nous écvons alos : X = Il n découl la laton fondantal : c c t c (p) = l (p + ) c = = ql = = q (p + ) (p) lk = qlk (p) tk t (p) (p) l t q (II-) (II-) DE l : DE l : DE l 3 : Nous poposons d fat la déach téatv DE n l qu sut : Raqu : t (p Intals ls coffcnts d dnstés d focs q = ) (p ) l k ( q l k = st coandé). Calcul la confguaton d'équlb (p) t ls tnsons ésultants t (p) = q (p) (p) l l. S pou tous ls élénts on véf t (p) t k chos à l'avanc, alos l pocssus s tn. Snon, odf ls coffcnts q k C = = t (p ) C k k= = k k ck < ζ, où ζ st un valu d toléanc l slon (II-) t toun à DE l avc p put êt chos afn d ns ls tps d calcul. = p +. II---3 Applcatons -a- L p xpl llust l poblè dt d Stn à tos ponts. Il s'agt d l tos nouds donnés pa un ésau d longuu total nal. Nous allons pou cla consdé un allag plan copotant tos élénts d câbl lés à cs ponts ans qu'avc un noud lb nuéoté. d l l l l o Y X 4 3 d l 3 d 3 d( ) l 3 Fg. II-5a Résau avc L nal Fg. II-5b Résau avc L nal

56 46 Pat II S l'on ffctu un chch d la poston d'équlb avc ds coffcnts d dnstés d focs dntqus ( q = q = q, vo fgu II-5a), on obtnt : l l l l3 = d = l t t = t = t D plus L = ( ) d d t L n = d d. 3 3 L'applcaton du pocssus téatf nous condut à ds tnsons égals (t = t = t3) où 3 3 l3 = ( ) d = ( ) l avc ql = ql = ( ) ql3 ans qu : L n = ( + 3) d d t L = ( ) d d. 3 C ésau d longuu nal s caactés pa un angl d o nt ls dffénts élénts d câbl. Nous touvons à ctt occason un confguaton bn connu t pésnté au cous du chapt ntoductf. -b- L'xpl suvant soulgn l'xstnc d c typ d stuctu hxagonal avc l calcul d'un systè dt n "nd d'ablls". Fg. II-6a Mallag ntal Fg. II-6b Fo nal Fg. II-6c Stuctu n nd d'ablls Ls fgus II-6a t b pésntnt l allag d dépat t la fo d longuu nal obtnu apès calcul. On put ffctu un appochnt avc l'ag d'un stuctu n nd d'ablls obsvé dans la natu (fgu II-6c). Il st d'allus put êt tps d'ouv un panthès pou tt n avant un débat d'un tout aut od. C typ d stuctu fut n fft à la bas d nobuss dgssons, ctans voyant là un puv foll d l'nflunc d'un Et Supê su cs nscts à l'ntllgnc toutfos lté (pa copaason avc not odnatu qu a s qulqus nuts pou ffctu c calcul) t xplquant qu la natu "sat" alos ns ss contngncs (cont éals un axu d nds avc un nu d c); d'auts stnt plus sag d'n éfé à d'auts xplcatons. Sans péug d'un qulconqu épons, nous nvtons l lctu à pnd connassanc du txt stué n annx I. Il s'agt d'un xtat du aquabl ouvag d d'acy Thopson 'On Gowth and Fo' où l pnd la pnsé du natualst Buffon [DAR 7].

57 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 47 -c- Un dnè applcaton st à pésnt suggéé. L popos st d'ffctu un Rchch d Fo d'un ésau spatal à doubl coubu nvs n fo d "sll d chval". Un pè géoét st obtnu avc consdéant ds coffcnts d dnstés d focs dntqus (fgu II-7a). Nous notons au passag qu ls élénts d câbl appatnnnt à ds plans vtcaux ppndculas nt ux t éalsnt c qu F. Otto a applé un ésau othogonal. Un aut calcul slon l pocédé téatf suggéé détn un ésau d tnson unfo (t ans nal) qu n'st plus d typ othogonal (fgu II-7b). Fg. II-7a Sll avc ésau othogonal Fg. II-7b Sll d tnson unfo D façon plus généal, nous pouvons tt n xgu la popété suvant : Co un ésau d câbls églé possèd un tnson unfo, l st alos d longuu nal (attnton, cc n sgnf pas pou autant qu'un allag d longuu nal st auss églé!). Ctt aqu dssp un lu coun énnt épandu qu consst à consdé un fo églé co étant auss d sufac nal. Il st d'allus possbl d s'ntog su la psstanc d'un tll pnsé, t c d'autant plus qu Musn t Catalan avat déà déonté n 84 qu ls suls sufacs na églés sont ls hélcoïds dots à plan dctu [VAL 48]. II-- Etud ds sufacs d'a nal La déach s'nsp d cll suggéé à l'occason d l'étud ds ésaux d longuu nal. Nous allons ans nvsag dux contxts patculs t lés sot à l'hypothès d'égalté ds coffcnts d dnstés d contants du systè, sot à cll d'unfoté ds contants au sn du lu. II--- Sufac avc coffcnts d dnstés d contants dntqus M S l'on consdè la so ds as ds élénts élvés au caé on a (II-3) : M S= s k = ( Y Z3 Z Y3 ) + ( Z X3 X Z3 ) + ( X Y3 Y X3 ) ) k= k= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Ctt valu st nal s tout noud du allag véf : S S S = = = (II-4) X Y Z Su la dcton X l'équaton S = s tadut pa : X

58 48 Pat II lb 3 = = = ( ( )) ( 3 3 ) ( 3 3 ) X X X Y Y X Z Z ( Y 3 ( X3 Y X Y3 ) Z 3 ( X3 Z X Z3 )) = + = S l'on éct ls latons pou S S Y = Z =, l vnt un éctu atcll : [ M ] { } { N} (II-5) X = (II-6) l b 3 X sy sy avc [ M ] = X3 Y3 l Y sy b 3 = [ ] X Z Y Z Z lb = = 3 Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) ans qu { N} = X 3 ( X3 Y X3 Y ) + Z 3 ( Y3 Z Y Z3 ) = { n} = = X X Z X Z + Y Y Z Y Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) (II-7) (II-8) Envsagons à pésnt un stuctu calculé pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus avc ds coffcnts d dnstés dntqus ( qsk = qs ), ls latons suvants sont alos spctés : lb Qs = où l b ( X3 Y Z ) 3 3 = ( ) Nous pouvons dès los foul ls équvalncs : = + + (II-9) l X sy sy b 3 [ Id3] [ A ] = X Y Y sy [ M 3 ] 3 l b 3 = = l l b = X3 Z3 Y3 Z3 l Z b 3 b = Y X Y X Y + Z X Z X Z 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 3 ) { B } = X X Y X Y Z Y Z Y Z { N} 3 ( 3 3 ) + 3 ( 3 3 ) = = X X Z X Z + Y Y Z Y Z l ( ) ( ) l b = b = (II-) (II-) L'équaton (II-6) st ans véfé t pa vo d conséqunc (II-4) égalnt. Il st possbl d tt n avant la aqu suvant : Un sufac calculé avc ds coffcnts d dnstés d contants sufacqus dntqus ns la so ds as ds élénts au caé. Nous confons à c popos la poston d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus n tant qu généalsaton d la Méthod ds Dnstés d Focs au cas bdnsonnl.

59 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 49 II--- Sufac d'a nal M Il s'agt à pésnt d'nvsag la foncton S= s k qu sa nal s tout noud spct ls condtons : k= S S S = = = (II-) X Y Z Cs latons puvnt auss s'éc sous la fo atcll : avc [ ' ] M [ ] = ( ) = s ' ' [ M ] { } { N } X = (II-3) ' ans qu { N } { n } = ( ) k Co on a σ = q s, s la sufac st unfoént tndu ( σ k = σ ), l sut : sk k [ ] { } = s { } = ( ( qs )) ( q n ) = = Ctt égalté st d tout évdnc spcté ca : s (II-4) X (II-5) [ ] = ( s l b ) [ 3] [ ] t ( qs { n }) ( ( qs b )){ B } ( qs ) ( q )( Id A ) = = = = = l (II-6) On touv ans la popété d'unfoté ds tnsons pop aux sufacs d'a nal. D façon analogu à la déach utlsé s'agssant d l'étud ds ésaux d câbls d longuu nal, nous allons tt n plac un statég téatv fondé su l'utlsaton d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus dans laqull ls coffcnts sont défns à chaqu étap slon la laton : q σ (p + ) sk q (p) = sk k(p) σ Cs aqus condusnt au pocédé DE n s dédé à l'nvstgaton d sufacs na : (II-7) DE s : DE s : DE s 3 : Intals ls coffcnts d dnstés d contants sufacqus q sk (p = ) Calcul la confguaton d'équlb (p) t ls contants ésultants σ k(p) =. k (p) q (p) sk s (p) k S pou tous ls élénts on véf σ σ < ζ, alos l pocssus s'aêt. =. (p Snon, odf ls coffcnts q + ) sk slon (II-7) t toun à DE s avc p = p +. S l'on dés édu ls tps d calcul, nous consllons d'adopt la valu oynn M k(p = σ = σ ). M k=

60 5 Pat II II---3 Applcatons -a- Un pè applcaton s popos d véf qulqus popétés géoétqus ds sufacs nals. Un cad tétaédqu st d suppot à la foaton d'un systè copnant sx fls accodés pa quat aêts lquds (fgu II-8). Ls coodonnés ds ponts stués aux xtétés d cs dnès sont founs dans l tablau c-dssous. X Y Z / / / 3 / 3 / 3 / 3 Fg. II-8 Tétaèd L calcul d la fo nal d'équlb nous donn un poston fnal avc Z 5 =. 4. A pat d là, on put détn l'angl stué nt chaqu coupl d'aêts qu st égal à. 4 acos( ) acos( ), c qu pt d véf un valu caactéstqu bn connu. 6 3 o ' ds sufacs na (angl d9 86 '' ) [HIL 85]. D plus, on ont égalnt qu ls sufacs s accodnt nt lls l long d lu aêt coun slon un angl d o. -b- L scond xpl st dû au athéatcn Ggonn (86) qu foula l poblè suvant : qull st la sufac nal patagant un cub n dux volus, sachant qu'll st fxé à dux dagonals othogonals t stués su dux facs opposés du cub [ISE 78]? Schwaz déonta n 87 qu'l xst n fat un nfnté d sufacs avc un coubu oynn null s'appuyant su c contou, as qu'un sul d'nt lls st stabl. Il s'agt d la fo pésnté fgu II-9 t calculé pa la éthod ds dnstés d contants. La sul dffculté a ésdé dans l fat qu'l a fallu consdé ds condtons d'appu xts pou ls nouds stués su ls dux facs vtcals. Fg. II-9 Sufac d Ggonn La fo obtnu nous pt auss d véf qu'un fl d savon s accod touous à angl dot su un sufac suppot lss.

61 Fos Mnals t Méthods d Dnstés 5 -c- L'applcaton suvant tat un cas pa ds plus classqus où un sufac na st ngndé nt dux suppots caés paallèls t pochs (fgus II-). Fg.II-a Confguaton d dépat Fg.II-b Fo nal -d- L'ntéêt s pot à pésnt su un xpl ch n nsgnnts. Il s'agt d calcul un fl nal nt dux ccls paallèls d ayon dont l'élognnt h cat st vaabl. Ls xpéncs ontnt n fft qu'à pat d'un ctan hautu l n'st plus possbl d géné un fo nal à doubl coubu nvs nt cs suppots. cat Ctt valu d hautu axal h ax st bn connu. Pou cla, l sufft d consdé l axu d la foncton f(c) = C ach( / C ), sot l pont C avc f(c) ) C C =, t on cat put n dédu h = f(c ) 35.. Ell cospond n fat au axu d la foncton cat ax S( h ) S où S pésnt l'a d la sufac suscptbl d s fo t S= π l'a ds dux dsqus paallèls. Un p calcul éalsé avc h cat = 3. t = condut à un fo nal d'équlb pnant l no d caténoïd (fgu II-a) avc S= La valu théoqu cat cat cat cat ω h h étant S( h ) = πω ( h + sh( )) avc = ω ch( ), sot S= , l s'nsut ω ω ust un u d.%. Pa cont, s l'on pnd h cat =. 4 alos l pocssus n put convg vs un fo stabl t véf ls aqus pécédnts (fgu II-b). Fg.II-a Catnoïd Fg.II-b Calcul dvgnt

62 5 Pat II Fg.II-a Fo ntal -- Nous allons à pésnt ffctu un Rchch d Fo su un xpl d stuctu à coubu oynn constant t non null. Il s'agt n fat d'adapt l'algoth DE n s au cas ds systès gonflabls. Pou cla, l sufft d pocéd co déct au chapt I où ls ffots ntns sont détnés d'apès l'équaton (I-46), fasant ans ntvn ls coposants d psson dans l calcul d la géoét d'équlb. Fgs.II-b Influnc d la psson ntn Patant d'un allag ntal plan (fgu II-a), on constat qu la fo nal obtnu st n fat un poton d sphè dont l daèt dépnd d la valu d psson ntn spécfé (fgus II-b). -f- Un dnè applcaton llust la possblté d calcul ds confguatons xts n cobnant ls pocédus DE n l t DE n s. L'xpl chos pésnt un fl d savon céé nt un cad xtéu fx t un fl ccula ntéu d tnson c vaabl (fgus II-3a t b). S l ato α = σ / σ dnu, on constat qu l ayon du fl dnu égalnt (fgus II-3c t d). Fg.II-3a Vu n pspctv Fg.II-3b Mallag d dépat Fg.II-3c Fo avc α = Fg.II-3d Fo avc α =. 8 Ls dffénts xpls pésntés nous pttnt d soulgn la cohénc ds ésultats obtnus t légtnt ans l'usag ds pocédés d Dnstés n tant qu'nstunt d'nvstgaton ds fos na.

63 Fos Mnals t Gadnt Conugué 53 II-3 Rchch d Fos Mnals pa la Méthod du Gadnt Conugué Apès avo s n évdnc la possblté d'ffctu un Rchch d Fo ds confguatons nals au oyn ds éthods d Dnstés, l'étud st à pésnt nvsagé slon un déach fondantalnt dffént as spctant la condton d'unfoté ds tnsons, c'st à d la stablté ds systès calculés. L'appoch découl ds consdéatons décts dans l chapt suvant. II-3- Fos nals t focs ntns Pou un ésau d câbls nous allons consdé la foncton L = f ( X) où { X } st l vctu généalsé ds coodonnés ds nouds d la stuctu. En consdéant la laton d'équlb (I-) t sachant qu la épatton ds tnsons st unfo (t = t ), on a : c f ( X) X c X c f = = f = X l t t X = = Il st alos possbl d d qu ls équatons suvants sont équvalnts : k (II-8) L L L = = = t fx = fy = fz = (II-9) X Y Z Dans l cas d'un sufac d'a nal on nvsag S= sk = f ( X) s k = k k l b l h d'équlb sufacqu (I-6) : k =. S la pécontant st unfo ( σ σ ( ) f X l b lh lb = ( ) = ( X4 ) = f X l X l p σ = h = h = M k= avc ), l vnt slon la laton X (II-3) Il appaaît égalnt ls équvalncs : f ( X) f ( X) f ( X) = = = t fx = fy = fz X Y Z = (II-3) En consdéant qu ls ts constants sont ps égaux à un ( σ = t = avc p = ) t n défnssant l vctu g = { g( X )} qu cospond au vctu généalsé ds ffots ntns, nous pouvons ans foul qu g st n fat l gadnt d la foncton f ( X) = L ou S slon l cas étudé. La chch d'un fo nal d'équlb s copnd dès los co étant égalnt un poblè d nsaton d f. Co l calcul d son gadnt st possbl pa l'ntéda d l'évaluaton ds ffots ntns d la stuctu, c poblè d'optsaton put êt abodé slon la Méthod du Gadnt Conugué.

64 54 Pat II II-3- La Méthod du Gadnt Conugué II-3-- Consdéatons généals C pocédé put êt nvsagé pou ns la fonctonnll non lnéa f n consdéant son gadnt g slon un déach téatv d la fo [MAG 5] : X + = X + α d avc d p p p p p p pou p = g = gp + βp dp pou p (II-3) L factu β p st un scala t α p cospond à la longuu d pas obtnu d'apès un chch undnsonnll pou la dcton d dscnt d p t applé Rchch d Lgn xact. L vctu d p st un vctu d dscnt s g p, d p <. Ctt laton put s'éc : ' f p ( ) < (II-33) ' où f ( α ) = g ( α ), d n défnssant ls fonctons du scala α p tlls qu : p p p p p Nous notons au passag qu f f ( α ) = f ( X + α d ) t g ( α ) = g ( X + α d ) (II-34) p p p p p p p ( ) = f ans qu g ( ) = g. p p p p p p p Toutfos, la spécfcaton fp+ < fp sgnfant qu la foncton décoît à chaqu étap n'st pas coplètnt satsfasant ca ll put autos d fabls éductons d f latvnt à la éducton optal qu pouat êt obtnu pa un Rchch d Lgn xact. Ls condtons su α p véfant ctt volonté sont foulés pa ls condtons Fots d Wolf (FW) [MOR 9] : ' f ( α ) f ( ) + µ α f ( ) p p p p p p p ' ' t fp( αp) η fp( ) avc < µ < η < (II-35) Dffénts valus d β p ont été poposés pa Fltch t Rvs (FR) ans qu pa Polak t Rbè (PR); lls sont donnés pa ls fouls [FLE 7] : g, g g PR p, gp gp = t β p = g, g g, g β p FR p p p p p p (II-36) Bn qu ls pfoancs nuéqus d la éthod FR sont souvnt nféus à clls d la éthod PR, A. Baal a déonté qu s l pocédé FR plt ls condtons Fots d Wolf (II-35) alos l vnt g, d τ g, g où τ st un él postf t pa vo p p p p ' d conséqunc la contant f p ( ) < st spcté [BAA 85]. D plus, Zoutndndk a soulgné la convgnc global su ds fonctons généals d la éthod FR t pouvé qu'll n pouvat échou [ZOU 7].

65 Fos Mnals t Gadnt Conugué 55 Glbt t Nocédal ont poté un ntéêt tout patcul su la éthod PR; lus étuds ont s n évdnc dux ponts aus [GIL 9]. En p lu, la spécfcaton β PR p FR p β ntaîn la convgnc global du pocédé. Ctt déach st applé "éthod PR contant pa la éthod FR". L scond conta st latf à la condton d Dscnt Suffsant (DS) qu pos : gp, dp ω gp, gp avc < ω t gp, dp gp, gp + β PR p gp, dp (II-37) La spécfcaton gp, gp gp, gp d'apès (II-36) pndant qu ls condtons DS sont spctés condut vs un lt nféu null l g p, g p = t ans vs la convgnc global du pocssus. Ls xpls nuéqus qu nous allons pésnt vont ptt d copa cs dux appochs : la éthod FR t un vson optsé d la éthod PR dans laqull ls aqus d Glbt t Nocédal sont véfés, c'st à d : OP p + FR PR { p p } β = n β β II-3-- Ls pocédus d Rchch d Lgn nf PR PR, avc β p ax{ β p } + =, (II-38) L pncpal poblè st c d touv un longuu d pas accptabl α p qu spct ls condtons FW. Plusus éthods ont été poposés; lls posnt pncpalnt su ds algoths d Rchch d Lgn qu génènt ds séquncs d valus stés α pk t s tnnt losqu'un pont accptabl satsfat aux condtons quss. Glbt t Nocédal ont nssté su l'ffcacté d l'appoch suggéé pa Mo t Thunt [MOR 9]. Ctt éthod a pou obctf d touv un accptabl α pk dans l sns qu'l appatnt à l'nsbl T p ( µ ) défn slon : ' ' ' Tp ( µ ) = { αp > : fp( α p ) fp( ) + µ αp fp( ) t fp( α p ) µ fp( ) } (II-39) A pat d αp [ αp n, αp ax ], l'algoth d chch ngnd un séqunc d'ntvalls boîtés { I pk } t un séqunc d valus téatvs αp { Ip } [ αp n, α k k p ax ] usqu'à c qu α pk appatnn à T p ( µ ). La lt nféu α pn st donné pa l'utlsatu pndant qu la lt supéu α pax put êt évalué pa la laton : α f ( ) f = µ f ' ( ) p ax p p n p (II-4)

66 56 Pat II Ell cospond ans au pont d'ntscton nt la µ lgn d' équaton f t la lgn f pa l'utlsatu. ' ( ) = µ α f ( ) p p p ( α ) = f où f pn st la plus bass valu d f p ( α p ) égalnt spécfé p p p n L pocédé téatf écla d plus la défnton d la foncton auxla : ' Ψ p α p = f p α p f p µ α p f p ( ) ( ) ( ) ( ) ' t d sa dévé Ψ p ( α p ) (II-4) Avc α pn = t ans { I p } = [ α p α ps ] = [ α pax ] ) Chos un valu tst nt ls bons d l'ntvall α pt [ α p, α k k psk ] s α ptk véf ls condtons FW (II-35) alos α,,, l'algoth st pou k =,,.. : MT p = α ptk (aêt d la pocédu) ) Cas MT : s Ψp( αpt ) > Ψp( αp ) alos α α k k p = k p k ps = k ptk (II-4) ' Cas MT : s Ψp( αpt ) Ψp( αp ) t Ψ k k p ( α pt ) ( α p α pt ) k k k alos α = α t α = α (II-43) pk ptk psk psk ' Cas MT 3 : s Ψp( αpt ) Ψp( αp ) t Ψ k k p ( α pt ) ( α p α pt ) < k k k alos α = α t α = α pk ptk psk Ctt déach appll plusus contas : pk (II-44) - C - S la stuaton MT s ppétu, la séqunc α, α.. augnt tout autant qu l'on pt pt contnu à chos ds valus tst dans [ αp αp ax ] k,, l faut ans qu α pax puss évntullnt êt qus co valu tst; cla s'ffctu n consdéant : { } α = n α + δ ( α α ) α, avc δ [ ] ax 4 pt k p k ax pt k p k p ax ' L'algoth s tn à α pax s Ψ p ( α pax ) t Ψ p ( α pax ) <.., (II-46) - C - S l cas MT s épèt, la séqunc ds valus tst décoît t l'on put foc la pocédu à utls α pn co valu pa : [, ax { k, }] α α δ α α ptk p n n p p n avc δ n < Mo t Thunt coandnt apès plusus dévloppnts δ n = 7. ' L'algoth s'aêt à α pn s Ψ p ( α pn ) > t Ψ p ( α pn ). - C 3 - L chox d α pt [ α p α k k psk ] (II-47), put êt fat lbnt, cpndant un valu optal xst t sat tll qu'll nsat dans l'ntvall donné un foncton ' ' polynoal cubqu ntpolant f ( α ), f ( α ), f ( α ) t f ( α ). p pt k p pt k p pt k p pt k

67 Fos Mnals t Gadnt Conugué 57 Dans l'obctf d édu ls calculs, nous pndons pa la sut l pont stué au lu d l'ntvall. - C 4 - Co nous n sos pas focént n su d spécf la valu d f pn, l chox fat slon fp =. 8 f n p ( ) paaît accptabl. L'utlsaton d l'algoth d Rchch d Lgn poposé pa Mo t Thunt dans l cad d l'nvstgaton d fos nals nous a déonté ds qualtés d'ffcacté t tout confanc put êt accodé quant aux ésultats obtnus. Toutfos, l popos st à pésnt d tt n avant un appoch optsé, t c dans l'obctf d édu ls tps d calcul nécssas à la détnaton d'un valu accptabl d longuu d pas. La pè poposton s appot à la spécfcaton d α pax. ' Co ls valus d f p ( ) décossnt pndant qu p augnt, α pax st suscptbl d'attnd ds valus élvés. Pou dnu cll c, nous suggéons d pnd : f ( ) f OP p p α n p = ax ' fp( ) (II-48) Ctt valu cospond n fat au pont auqul la µ lgn avc µ = ntsct la dot ' OP d'équaton f ( α ) = f. S l'on véf qu f p ( α p ) > alos ctt valu st accpté; p p p n dans l cas conta nous consdèons α pax défn pa Mo t Thunt. La scond suggston concn la phas téatv d'ncadnt ds ntvalls { I pk } lu d cou au cas MT à MT 3, nous nvsagons : ax. Au Cas MT OP ' : s fp( αpt k ) alos αp = α k pk t α ps = α k pt (II-49) k Cas MT OP ' : s f ( α ) < alos α = α t α = α (II-5) p pt k pk ptk psk psk Ls aqus C à C 4 sont touous pss n consdéaton; la valu fnal sa alos α p OP. II-3-3 Applcatons nuéqus Plusus xpls vont êt pésntés afn d copa ls dffénts appochs qu nous avons ncontés. L calcul du scala β p sa nvsagé slon la poposton d Fltch t Rvs (β p FR à pat d II-36) ou bn n utlsant la valu optsé β p OP sugéé dans ls latons (II-38). D plus, l'évaluaton d la longuu d pas sa ffctué pa l'algoth d Mo t Thunt (α p MT ) ou slon la éthod odfé qu nous vnons d tt n xgu (α p OP ).

68 58 Pat II Tous ls tsts sont éalsés avc µ = 3 t η = s'agssant ds condtons Fots d Wolf (II-35). Nous consdéons égalnt qu la fo nal chché st obtnu s pou chaqu noud d la stuctu l st véfé qu ( f, f ) II-3-3- Pésntaton ds xpls -a- L p tst pnd l poblè d Stn xposé n II---3 as n consdéant quat ponts au lu d tos (fgu II-4a). d d o Y X Fg. II-4a Poblè d Stn à 4 ponts Fg. II-4b Résau nal La fo nal d'équlb st pésnté pa la fgu II-4b, ll fat appaaît l'angl caactéstqu d o ds ésaux d longuu nal. -b- L'applcaton suvant llust l calcul d'un aut stuctu na. Ctt confguaton pot l no d sll d Schwaz (du no du célèb athéatcn). Ell st pésnté n fgu II-5. Fg. II-5 Sll d Schwaz -c- L pochan xpl s popos d détn la fo d'un confguaton sufacqu bn connu t popnt applé Paaboloïd Hypbolqu. Fg. II-6a Confguaton d dépat Fg. II-6b Psudo PH

69 Fos Mnals t Gadnt Conugué 59 La défnton athéatqu du PH cospond n fat à cll d'un sufac églé slon Z = k XY qu n put pas êt d coubu oynn null. Nous chosons ans d déno "psudo PH" la sufac d'a nal obtnu. L allag ntal t la fo calculé appaassnt n fgus II-6. -d- Touous dans l cad d la Rchch d Fo d confguatons connus, nous poposons nsut d pocéd au calcul d la sufac dt d Schk. Ctt fo typqu (fgu II-7a) st ngndé à pat du allag spatal fgu II-7b. Fg. II-7a Sufac d Schk Fg. II-7b Mallag ntal -- L dn xpl a pou volonté d'llust un cas d non convgnc du pocédé losqu ls condtons d'appu n pttnt pas d cé un fo nal stabl. Un fl st calculé nt dux ccls paallèls d ayon t, dstants d'un hautu h = 4. Pou cs valus, patant du allag défn dans la fgu II-8a, on obtnt la fo n "chapau chnos" pésnté fgu II-8b. Pa cont, s h = 6, l pocssus dvg t nous pouvons foul ls ês aqus qu'au chapt II---3 latf à la détnaton d'un caténoïd. Fg. II-8a Fo d dépat Fg. II-8b Chapau chnos Fg. II-8c Calcul dvgnt

70 6 Pat II II-3-3- Copaason ds ésultats Nous allons pésnt dans l tablau suvant un évaluaton ds pfoancs lés aux dffénts appochs possbls à pat ds tsts pécédnt décts. Ls ésultats sont donnés sous la fo : pocédé d calcul d β p / pocédé d calcul d α p. Pa xpl OP/MT s éfè à un pocédu slon β p OP t α p MT. L ctè d pfoanc tnu cospond au tps d calcul nécssa pou attnd la fo nal d'équlb. On put n fft consdé qu plus un éthod sa apd, plus l sa possbl d dand un pécson élvé pou un tps d calcul équvalnt. Ls ésultats sont noalsés d tll sot qu l pocédé l plus apd (n fat l'appoch ffctué d'apès OP/OP) at un coffcnt d pfoanc égal à un. Pocédé β p FR OP FR OP d calcul α p MT MT OP OP Stn 4 ponts Sll d Schwaz Psudo PH Sufac d Shk Chapau chnos PERFORMANCES Tabl. II- Méthod du Gadnt Conugué : copaason ds pfoancs Cs ésultats aènnt aux contas suvants. Ls éthods posant su l'utlsaton d β p FR appaassnt clant ons ffcacs qu ls pocédus fondés su β p OP (dans un factu poch d.4). Ctt tndanc n fat qu conf ls ésultats obtnus pa xpl pa Glbt t Nocédal su un nsbl d dvs poblès tsts potant su ds fonctonnlls d dffénts natus à ns. D plus, l'utlsaton d la éthod optsé d Rchch d Lgn pt d édu d façon sgnfcatv ls tps d calcul pa copaason avc l'appoch suggéé pa Mo t Thunt (factu d'nvon.8). Ctt éducton s copnd n consdéant qu l'on spécf OP ds ntvalls d dépat plus étots (avc α au lu d α p ax p ax ) t qu ls évaluatons ds ' fonctons Ψ p ( α p ) t Ψ p ( α p ) sont évtés duant la phas d'ncadnt ds valus. Bn qu'l sot c péatué d pos ds conclusons défntvs, l st toutfos possbl d not qu ls appochs optsés s dstngunt pa un plus gand apdté t ans un bonn adaptablté dans l calcul ds fos nals.

71 Fos Mnals t Gadnt Conugué 6 II Qulqus auts confguatons Il s'agt à pésnt, à l'nsta d l'xpl d stuctu xt pésnté los d l'nvstgaton ds confguatons nals pa ls éthods d Dnstés, d'nvsag un statég xt où un systè copotant sultanént ds élénts d câbl t d ban st détné. Pou cla, nous consdéons un fo plan pésntant un fl céé nt un cad ctangula dont un côté st éalsé pa l'ntéda d'un fl unfoént tndu (fgu II- 9a). Fg. II-9a Mallag ntal Fg. II-9b Fl avc fl ccula La géoét fnal d'équlb pt d véf qu ls élénts d câbls sont dsposés slon un ac d ccl (fgu II-9b). L dn xpl d sufac nal calculé pa la éthod du Gadnt Conugué n'st c qu'à tt llustatf t soulgn la bauté ans qu la égulaté d cs fos bn patculès. Ctt confguaton pot l no d Sufac d Schwaz (fgu II-). Fg. II- Sufac d Schwaz Un apd blan ffctué à c stad d l'étud nous pt d tt n avant l'utlsaton d la éthod du Gadnt Conugué co outl d Rchch d Fo ds confguatons na. On put dès los song à copa c pocédé avc clu aupaavant s n plac t s éféant aux éthods d Dnstés. Ct aspct st n pat l'obt du pochan chapt où la possblté d cou à un foals cobnant cs dux éthodologs st égalnt suggéé.

72 6 Pat II II-3-4 Appoch Cobné : Méthods d Dnstés t du Gadnt Conugué L'dé dctc consst à nvsag un déach téatv assocant ls spécfctés ds éthods d Dnstés t clls du Gadnt Conugué. A ct fft, l st possbl d'agn un pocédé slon lqul ls étaps DE l t DE l 3 utlsés pa ls éthods d Dnstés sont placés pa la nsaton d la foncton f ( X) DE s à DE 3 s n consdéant f ( X) = S pou la chch ds sufacs na. = L ans qu ls étaps Pou cla, nous utlsons un appoch fondé su l'utlsaton ds foulatons optsés (c'st à d avc β p OP t α p OP ) qu sont appaus co étant ls plus apds. L'évaluaton ds pfoancs st ffctué d'apès ls xpls tsts déà consdéés los du chapt pécédnt. Ls ésultats sont pésntés dans l tablau c-dssous; ls concnnt égalnt ls tps d calcul nécssas, noalsés slon un coffcnt d un pou l'appoch xt éthods d Dnstés/ éthod du Gadnt Conugué. GC DE DE/GC Stn 4 ponts... Sll d Schwaz.8.8. Psudo PH.4.. Sufac d Shk.7.9. Chapau chnos.6.. PERFORMANCES Tabl. II- Méthods du Gadnt Conugué t d Dnstés L p conta s appot aux poblès d Stn t du Psudo PH. Ls éthods d Dnstés t ls appochs cobnés possèdnt dans c cas pécs ds pfoancs équvalnts. C ésultat put êt ntpété losqu l'on consdè qu ls fos calculés los ds étaps DE l t DE s sont géoétqunt tès pochs d la confguaton nal chché. Pou ls auts tsts, ls pfoancs ds éthods d Dnstés t cobnés appaassnt copaabls, avc toutfos un lég avantag pou ls pès. Un xplcaton put êt suggéé t concn la pt d tps lé au stockag nfoatqu ds vctus g p, g p, d p t d p alos qu ls pocédés d Dnstés n éclant qu l (p ). stockag du vctu q s,l k Ctt aqu xplqu égalnt d façon patll ls fabls pfoancs d la éthod du Gadnt conugué. En fat, ls ésultats nuéqus accntunt la nécssté d pocéd à ds nvstgatons plus poussés slon dffénts dctons tlls qu l'nflunc du allag d dépat ou la possblté d cou à ds pocédus d déaag à l'ag ds popostons ffctués pa Powll dans l cad d ss étuds su la éthod du Gadnt Conugué [POW 77] t [POW 86]. En l'absnc d tls ésultats, nous n pouvons étt d concluson défntv. Ls pès xpéncs nés sblnt toutfos ndqu qu ls appochs cobnés consttunt ls éthods ls plus pfoants.

73 Caactéstqus Géoétqus ds Sufacs 63 II-4 Détnaton ds Caactéstqus Géoétqus ds sufacs. L'obctf st d popos un éthod d allag ds sufacs qu va ptt d calcul lus pncpals caactéstqus d fo. II-4- Pncp d la éthod Pou cla, nous allons tout d'abod suppos qu la sufac déct un gaph slon la laton Z = f ( X, Y) ; c'st à d qu tout dot vtcal (X t Y = csts) coup l doan n un sul t unqu pont où l st possbl d défn ds dctons pncpals d coubu ans qu ls coubus pncpals ρ t ρ assocés à cs dctons. En consdéant ls dévés patlls : p Z = X, q Z = Y Nous pouvons calcul la coubu oynn H slon : Z, = X, s Z = Z t t = X Y Y (II-5) ( + p ) t pqs + ( + q ) H = ( ρ + ρ) = (II-5) 3/ ( + p + q ) ans qu la coubu total (ou gaussnn) G pa : t s G = ρρ = (II-53) ( + p + q ) L poblè nconté s éfè bn sû au calcul ds dffénts dévés patlls. Pou cla, on va agn qu chaqu élént tangula à tos nouds (T3) t subdvsé n un élént à sx nouds (T6, fgu II-a) ou à dx nouds (T, fgu II-b). Un tangl pa T6 (T) va alos pouvo êt consdéé co la so d quat (nuf) tangls scondas. η η ξ Fg. II-a Tangl T6 ξ Fg. II-b Tangl T Il st alos possbl d'ffctu un Rchch d Fo d la sufac n consdéant tous cs tangls scondas co nttés ndépndants. Un fos la confguaton d'équlb obtnu, nous dsposons ds coodonnés ds nouds d chaqu tangl T6 ou T t l calcul ds dévés patlls put dès los s'nvsag pa l'ntéda d lus fonctons d fo spctvs.

74 64 Pat II Un tangl T6 utlsant un ntpolaton quadatqu d sa géoét, ls ts d dévés sconds sont constants su tout sa sufac. Pa cont, l tangl T posant su un ntpolaton cubqu, l s'nsut qu, s, t dépndnt ds coodonnés ntnsèqus ξ t η choss t l'on dspos ans d'un llu pécson dans ls dfffénts calculs. Nous notons pa la sut qu dg = 6 ( dg = ) pou un élént T6 (T). En ffctuant un calcul d Z( X, Y) pa l'ntéda ds fonctons d fo d dg l'élént, sot Z = N Z, ls dévés patlls s'xpnt alos pa : dg, X = p = N Z = dg, Y =, q = N Z dg, XX =, = N Z dg, XY =, s = N Z dg, YY = t t = N Z (II-54) Ls dffénts ts N, X, N, Y tc.. sont détnés slon ls latons founs n annx G consacé à l'étud ds dévatons ds fonctons d fo (fouls G-8 t G-). La connassanc d H t d G pt égalnt d calcul ls valus ds ayons d coubu pncpaux R t R. II-4- Applcatons Afn d'llust ls dvss possbltés offts pa ctt déach, nous allons consdé un fo poch d cll d'un Psudo Paaboloïd Hypbolqu t évalu l'évoluton ds caactéstqus géoétqus su dux élénts tangulas pas. Patant d'un fo ntal plan coposé d tangls pas T3 (fgu II-a), on dvs l doan n élénts scondas T6 (fgu II-b) ou T (fgu II-c) pou lsquls sont spécfés ls condtons d'appu quss. Ls dnsons d la stuctu sont défns pa un bas caé d x avc un dffénc axal d nvau nt nouds égal à 5. Fg. II-a Mallag ntal Fg. II-b Subdvson n T6 Fg. II-c Subdvson n T Un p calcul détn la sufac d'a nal s'appuyant su l contou pécédnt défn; la fgu II-3 pésnt la géoét obtnu avc un subdvson T6. Afn d copa à nouvau ls dfféncs qu xstnt nt un appoch sufacqu t un pésntaton lnéa d'un doan, un scond calcul nvsag la stuctu n tant qu ésau

75 Caactéstqus Géoétqus ds Sufacs 65 d câbls t détn la fo d longuu nal pnant nassanc à pat d condtons d'appu équvalnts (fgu non pésnté ca tès poch d la fo II-3). Fg. II-3 Sufac nal(t6) Fg. II-4 Fo avc dffénts coffcnts d dnstés d contants sufacqus (T6) En dn lu, un tosè Rchch d Fo st ffctué pa la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. Pou cla, tous ls coffcnts d dnstés ds tangls pas sont ps égaux à un à l'xcpton ds hut élénts stués au cnt d la stuctu pou lsquls l st chos q sk =. Dux d cs élénts sont pésntés su la fgu II-3 (n gsé foncé pou clu nuéoté t gsé cla pou l nuéo ). Il faut soulgn qu dans c cas patcul, tous ls tangls scondas hétnt du ê coffcnt d dnsté qu clu d l'élént pa dont ls dévnt. La géoét d'équlb obtnu st pésnté fgu II-4 dans l cas d'un subdvson T6. Ls dux élénts pas péés t vont n fat êt ps co téons ds odfcatons ds caactéstqus géoétqus d la sufac. Raquons au passag qu ls calculs ds dffénts dévés patlls sont éalsés à lus cnts d gavté ( ξ = η = 3 ). L tablau c-dssous donn ls valus ds coubus oynn H t total G ans qu ls ayons d coubu cospondants pou ls dux tangls pas téons. Elént Elént Sn L n q sk Sn L n q sk H T (. ) T G T (. ) T R T T R T T Tabl. II-3 Evoluton ds caactéstqus géoétqus

76 66 Pat II Cs ésultats appllnt plusus contas. Tout d'abod, la ps n consdéaton d'élénts T au lu d T6 off un pécson accu dans ls calculs ffctués, on aqu pa xpl qu la coubu oynn assocé à la sufac na st quasnt null. Nous véfons égalnt qu'un géoét pésntatv d'un ésau d'élénts lnéas d longuu nal n'st pas oblgatont d'a nal. La dffénc st notabl pou ls ayons d coubu dont ls valus vant psqu du spl au doubl. Enfn, on put soulgn qu la éthod ds Dnstés d Contants Sufacqus pt ffctvnt d odf localnt ls coubus d'un sufac n chosssant ds coffcnts d dnstés adaptés. C pocédé d détnaton ds caactéstqus géoétqus consttu égalnt un outl ssntl pou l concptu d Mbans Txtls Achtctuals. Nous savons n fft qu ls nfoatons latvs aux valus ds coubus totals sont d'un ntéêt ctan ca lls sont dctnt lés aux dffcultés ncontés los du dévloppnt d la sufac su un plan, c'st à d à l'occason du pocssus d Découp d Lazs. La éthod poposé pttant d'obtn un catogaph ds coubus gaussnn d la stuctu, ll pésnt ans un ad potntll à la décson n ttant n évdnc ls zons d la sufac ls plus pobléatqus t où l concptu poua pa xpl nvsag d édu ls dnsons ds lazs cospondants. Notons au passag qu l pocédé n'st pas spécfqunt lté au cas d systès géoétqunt décts pa l'ntéda d gaphs su tout lu sufac. En fft, un spl changnt d pè où s'écvnt ls dffénts gandus pt touous d s an à l'échll d'un élént tangula T6 ou T à un tll pésntaton (n sat c qu'n consdéant l pè local lé à c dn).

77 Concluson d la Pat II 67 Concluson Not volonté état d'appéhnd la Rchch d Fo d confguatons nals slon d nouvlls appochs. L ctè tnu pou l'nvstgaton ds ésaux d câbls d longuu nal t ds sufacs na s'xp pa un tnson unfo au sn du systè, spécfcaton gaantssant la stablté écanqu ds confguatons ans détnés. En p lu, un déach fondé su l'utlsaton ds éthods d Dnstés pécédnt défns slon un pocédu téatv épond à ctt attnt. Ls consdéatons écanqus ss n u pttnt d touv ds ésultats théoqus connus t soulgnnt l'étot cospondanc xstant nt la éthod ds Dnstés d Focs t cll ds Dnstés d Contants Sufacqus. Ls xpls nuéqus tatés sont n accod avc l'obsvaton ds dvss fos nals natulls t véfnt ls pncps géoétqus fondantaux assocés à cs systès. Toutfos, dans un optqu d dvsfcaton du thè abodé, nous suggéons dans un scond tps un appoch dffént posant su l'utlsaton d la éthod du Gadnt Conugué. Ct nstunt pt n fft d ns ls fonctonnlls adéquats t d'obtn ans ls confguatons chchés. Sa s n plac écla cpndant d nobux dévloppnts à l'ag d la détnaton ds dctons d dscnt t ds longuus d pas à adopt. On popos à ct fft ds éthodologs splfés qu offnt un éducton sgnfcatv ds tps d calcul. L débat st néanons ouvt t l st possbl d'nvsag ctans étuds copléntas allant dans c sns. Nous ttons pa allus n avant la possblté d cobn ls dux appochs ctés; ctt déach sbl pottus t ét égalnt d fa l'obt d'attntons futus. L dn thè abodé st l'occason d popos un éthod autosant l calcul ds caactéstqus géoétqus d'un sufac. Ls applcatons pésntés soulgnnt sa valdté t lassnt ntvo d nobux débouchés, notant un ad à la détnaton ds lazs consttutvs d'un ban txtl.

78 Pat III Découp d Lazs t Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals

79 Intoducton 69 Intoducton A l'ag d tout pocssus d céaton, la concpton ds Mbans Txtls Achtctuals s'nvsag co un succsson d'étaps auxqulls sont attachés ds pobléatqus patculès dvant fa l'obt d éponss adaptés. L p stad d l'étud s éfè ans aux pocédés d Rchch d Fo où st abodé l'analys ds latons consttutvs assocés aux paaèts d Fos t d Focs. Ls dux pès pats d c éo sont consacés à ctt théatqu t ont ps d'appot ds solutons appopés aux dffénts poblès posés. Plusus déclnasons ont été nvsagés, s'agssant d l'nvstgaton d confguatons nals ou bn d Rchch d Fo d stuctus tndus dans un contxt plus lag. Il st à pésnt tps d'élag l doan d l'étud n ntégant au débat un nouvau paaèt, n l'occunc clu qu pésnt l concpt d Matéaux. La déach n'st n fat qu l flt d l'étap suvant du pocssus d concpton où l'attnton s pot su la éalsaton d'un tol tndu à pat d'un odèl théoqu ssu du pocédé d Rchch d Fo. Plus pécsént, l'obctf st d détn un confguaton géoétqu t latonnll ntal consttué pa un assblag d'élénts dscontnus d fo plan dénoés lazs. L'nsbl ds pocédés s n ouv à ctt occason consttu ans un pocssus dt d Découp d Lazs. Son pncp pos n p lu su la spécfcaton ds lgns d patag t donc d découp d la sufac applés lsès. Ctt opéaton put s'ffctu slon dvss consdéatons d'od géoétqu, écanqu ou sthétqu. Chaqu laz ayant été ans dntfé, l concptu dot alos détn ls fos plans assocés à chacun d'nt lls. D façon généal, ls éthods usqu'à pésnt poposés s décoposnt n dux étaps dssocés. La pè consst à pot la laz tdnsonnll consdéé su un plan; ctt phas épond couant à l'appllaton d dévloppnt. L'étap suvant vs à pnd n consdéaton ls caactéstqus d pétnson d cll-c. La déach dépnd nécssant ds popétés héologqus du atéau; ll consttu l'opéaton d éducton. S tout pocédé d Découp d Lazs st focént souc d'us, nous ontons qu'l st toutfos possbl d'atténu cs pfctons n nvsagant un déach fondantalnt dffént d cll vnant d'êt xposé. Un au pat ds us ngndés s'avéant n fft dctnt lé au découplag du pocssus n dux opéatons d dévloppnt t d éducton, cs tavaux d thès sont l'occason d popos un nouvll éthod d Découp d Lazs fondé su un suppot théoqu d natu dffént t consdéant cs étaps co ndssocabls. La épons appoté st dénoé Méthod d Coposton ds Contants. Pa la sut, l'ntéêt s pot su la odélsaton d la Ms n Pétnson d'un laz. L popos consst à vald l pocédé d découp poposé n copaant ls caactéstqus ans obtnus avc clls chchés pa l concptu.

80 Découp d Lazs ds MTA 7 III- Découp d Lazs ds Mbans Txtls Achtctuals III-- Etud ds dffénts pocédés C chapt sut l fl conductu d tout éthod d Découp d Lazs. Nous pésntons ans n p lu ls éthods lés à la détnaton ds lsès pus, dans un scond tps, cux n coélaton avc ls pocssus d chch ds fos plans. III--- Ls éthods d détnaton ds lsès Débutons l popos n notant qu c thè n fa l'obt d'aucun dévloppnt dans l cad d cs tavaux. On s lta ans à l'xposé ds pncpals consdéatons su lsqulls posnt ls dvs pocédés. C typ d pocssus s'avè n fat êt l fut d plusus copos établs nt ds xgncs d'ods vaés t pafos antagonsts. -a- Aspcts tchnologqus : Il s'agt c d pécs qu l concptu dot avant tout tn copt d'un lagu axal ds lazs n laton avc ls poduts dsponbls aupès ds fabcants d tols txtls. Généalnt, ls tssus sont founs sous fo d oulaux lags d'nvon dux èts [FER 89]. -b- Aspcts géoétqus : On put nvsag d postonn ls lgns d découp su ds coubs géodésqus d la sufac [LIN 87] t [BAR 88]. Ctt déach pt nt aut d géné ds lsès d longuu nal t ctans consdènt qu'll ont ds péoccupatons éconoqus où l concptu dés édu ls chuts d tol nhénts. L débat st toutfos ouvt. Nous savons d plus qu tout dévloppnt su un plan d sufac à doubl coubu s tadut névtablnt pa ds dstosons. Il st alos udcux d cou à lazs d fabls dnsons su un poton d la tol pésntant ds valus d coubu total élvés. Soulgnons à ct égad qu ls outls d détnaton ds caactéstqus géoétqus ds sufacs pécédnt poposés (chapt II-4) consttunt un ad potntll à la décson dans un tl cas. -c- Aspcts sthétqus : Ls cats puvnt toutfos s boull losqu la paol st donné aux achtcts. Lu céatvté touva un possbl tan d'xpsson dans la éalsaton su la tol d otfs géoétqus à pat d'échantllons aux coulus dffénts. D plus, l st anfst qu l yth vsul appoté pa l chox ds lsès consttu un coposant achtctual à pat ntè t put ans êt à l'ogn d poltqus d découp dffénts. III--- La chch ds fos plans Avant d s lv à un xposé ds dvss éthods d découp poposés à c ou, nous souhatons tout d'abod tt n luè qulqus pncps dctus assocés à ctt théatqu. Tout pocédé d découp a pou obt la détnaton d'un confguaton d dépat (laz découpé) dstné à êt s n plac su l st slon ds condtons d'appu quss.

81 7 Pat III Ctt opéaton d s n ouv s'accopagn pa un défoaton d chaqu laz qu défnt n fnal un fo d'équlb lé à un ctan état d pétnson. L concptu put dès los song à ffctu pou chacun d'nt lls un copaason d'apès ls concpts ophologqus d Fos t d Focs : - S la géoét d la laz s n ouv avosn cll théoqunt pécsé pa un éthod d Rchch d Fo, nous dons qu'l y a équvalnc géoétqu nt cs nttés. - D anè équvalnt, s l chap d pétnson céé au sn d la laz st poch d clu chché pa l concptu, l'appllaton d'équvalnc sthénqu sa tnu. Raquons ncdnt qu cla plqu un aîts total d l'état d'autocontant du lu détné los d sa Rchch d Fo (Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus pa xpl). Cs dux notons ntnt lés n tadusnt n fat qu'un éalté vtull tant l st lluso d'spé qu'lls sont pafatnt spctés sauf cas xcptonnl. Il st cpndant cla qu'un pocédé d Découp d Lazs n pnant pas n copt touts ls donnés géoétqus t sthénqus dsponbls sa dans l'possblté d'off un soluton optal au poblè posé. Il n st d ê s cs nfoatons n sont pas consdéés co ndssocabls t ans à tatés co dux opéatons sépaés (dévloppnt pus éducton). Foc st d constat, à not connassanc bn ntndu, qu ls suls éthods poposés à c ou posnt su un tl suppot théoqu. Rgadons d façon plus détallé ls dvss tchnqus d dévloppnt ncontés. (a) (b) (c) Fg. III- Tangulaton Spl L p pocédé déct st dt d Tangulaton Spl (fgu III-). Il s'agt d dvs la laz (a) n un sé d tangls s'appuyant su ss lsès (b). Cux-c sont nsut potés su un plan pa consvaton ds longuus ds côtés (c). Ctt éthod st ctannt la plus épandu d nos ous t à la bas d nobux outls d CAO. Il st cpndant évdnt qu'll occult ls donnés concnant tous ls ponts stués à l'ntéu d la laz (a) ans qu'un pat d ss ponts xtéus. Son utlsaton écla donc la gand pudnc afn d'évt d gttabls us. Désant suont ct obstacl, plusus autus ont alos suggéé ctans aéloatons. L. GRÜNDIG popos à ct fft un éthodolog qu pt d pnd n consdéaton la totalté ds ponts appatnants aux lsès [GRÜ 9]; ct obctf st égalnt tnu pa H. TSUBOTA [TSU 89]. Dans cs dux cas, l calcul d la géoét du contou d la laz poté st ffctué n fasant appl à ds pocédus d nsaton ds us. On gtta cpndant qu sont passés sous slnc touts ls nfoatons latvs aux nouds ntns. La éthod poposé pa T. Shada ([SHI 89] t [ALL 9]) appot à c popos qulqus avancés notos. Ell consst à détn un doan plan consttué d'élénts sufacqus tangulas dont l passag vs la laz tdnsonnll ntaîn un éng d défoaton nal. Ls caactéstqus héologqus du atéau ntvnnnt à c tt dans la foulaton du poblè. Ls donnés latvs à l'état d pétnson du lu n sont alhuusnt pas pss n copt. On put égalnt ct ls tavaux d N. Flgndh axés su la éthod EDV [FEL 79].

82 Découp d Lazs ds MTA 73 Dans tous ls cas, ls pocédés d dévloppnt d la laz dovnt êt suvs pa un opéaton d éducton. On ffctu généalnt un spl changnt d'échll d la fo dévloppé slon un factu chos pa l concptu. Son xpénc ou c un ôl pépondéant t la plus gand pudnc st d guu. Lassons donc d côté tout pocédé où ls paaèts géoétqus t sthénqus sont découplés. Un nouvl éclaag s'pos; un lctu du poblè à sa luè condut vs un début d épons dénoé Méthod d Coposton ds Contants. III-- La Méthod d Coposton ds Contants III--- Obctfs t pncps généaux Consdéons un Mban Txtl Achtctual ayant fat l'obt d'un Rchch d Fo slon un appoch contnu, sa géoét st alos ntènt détné ans qu l'état d pétnson d tous ss élénts sufacqus consttutfs. L concptu a déà dvsé c systè n spécfant ss lgns d découps On sol à pésnt un laz coposé d élénts défnssant un confguaton Ω L. Ls ponts stués su ss lsès sont applés nouds "fontès" (péés su la fgu III- ), ls auts nouds étant désgnés co "ntns" (nouds o). RdF Chaqu vctu élénta { σ loc } L st pécsé à l'ssu d la Rchch d Fo. L pncp d la Découp d Lazs consst à détn un fo plan Ω tll qu la tansfoaton d Ω n Ω L ndus pou chaqu élént un état d tnson poch d RdF clu chché { σ loc } L (équvalnc sthénqu). On constut tout d'abod un plan d pocton P à pat d tos ponts dstants non algnés d Ω L ; l st d suppot à un pè global ( X Y Z ). Nous défnssons nsut un confguaton Ω * dt ntéda stué su c plan. Sa géoét st dans un p tps détné n potant othogonalnt la laz Ω L su P. La tansfoaton d Ω * n Ω L s caactés pa la céaton d'un chap d contants { σ loc } L au sn du lu (fgu III-). RdF S pou tous ls élénts on véf alos { σloc} { σ loc } L =, l'obctf vsé st attnt. Dans l cas conta, nous allons nvsag la tansfoaton (éducton pa abus d langag) d Ω * n un aut doan plan Ω d tll sot qu c passag ngnd ds contants { σ th loc d} copnsant au ux la dffénc xstant nt { σ loc } t RdF { σ } * L loc On suppos d plus qu ctt défoaton s'ffctu dans l cad d l'hypothès ds Ptts Ptubatons (HPP). Raqu : nous nsstons à c nvau d l'étud su l fat qu ctt éducton st punt théoqu t à c tt dffént d cll qu sa éllnt ps n copt. L L.

83 74 Pat III { σ loc } Laz 3D L Ω L { σ RdF loc } L Plan paallèl au plan P Z Y X Ω * { σ th loc d} HPP * Ω Fg. III- Rpésntaton ds dffénts confguatons Pa xtapolaton, l st alos possbl d'assl l passag d Ω vs Ω L pa l'ntéda d Ω * co un coposton d dux tansfoatons succssvs, chacun d'nt lls ntanant un évoluton ds contants au sn du lu. Ctt déach consttu n fat un pè staton du doan plan chché Ω. Il sa n fft nécssa d'nvsag dffénts pocédus téatvs pou attnd ct obctf. L'nsbl d cs opéatons défnssnt c qu l'on dénoa Méthod d Coposton ds Contants. III--- Etud ds tansfoatons C chapt vs à défn ls dffénts quanttés ss n u à l'occason ds tansfoatons succssvs. Z Y X { σ loc } { d L }* L Ω * Ω L * L Fg. III-3 Tansfoaton Ω Ω -a- Passag Ω * Ω L : calcul d { σ loc } S l'on suppos qu Ω * s tansfo n Ω L slon un contxt d ptts défoatons (cf hypothès H) as d gands déplacnts, chaqu tnsu élénta d Gn-Lagang put êt détné slon la laton (D-4) : { ε } [ L ] [ NL ( b b ] ) { d } L L L = + * * * * L (III-)

84 Découp d Lazs ds MTA 75 En consdéant la atc d'élastcté [ E ot ] défn dans l pè d'othotop assocé à * chaqu élént d Ω *, on éct dans l pè global ( X Y Z ) n s éféant à (C- t 5) : [ E ] [ T ] T [ T ] T [ E ] [ T ] [ T ] ot,ot,ot = ε ε ε ε (III-) * * * * * * Nous pouvons ans calcul ls tnsu élénta PK pa (C-7) : L { S } [ E ] { } L = ε (III-3) * * * Ls tnsus éléntas gadnts d tansfoaton [ F L ] nt Ω * t Ω L s'xpnt * d'apès ls pès covaants t contavaants assocés à cs confguatons (pécsés n D-3 t D-5) slon l podut tnsol : L [ F ] = gl g* (III-4) * Il st alos possbl d détn l tnsu ds contants d Cauchy su l'élént pa (B-4): [ ] = ( dt( [ F ] )) [ F ] [ S ] [ F ] σ L L L L T L * * * * Sot, dans l pè local d l'élént t sous fo vctoll (C-8) : { σloc} [ Tσ ] { σ } L L L (III-5) = (III-6) Ctt déach pt d calcul ls vctus d pétnson éléntas { σ loc } L nduts pa la tansfoaton d Ω * n Ω L ; on ls assbl pou fo l vctu généalsé { σ loc }. L Z Y X Ω * Ω * Fg. III-4 Tansfoaton Ω Ω -b- Passag Ω * Ω : laton nt { } d l * t { } df * L passag d Ω * à Ω s'ffctu n agssant su ls condtons aux lts ds nouds fontès d Ω *. Pou évt tout ouvnt d sold gd, un noud fontè st totalnt fx slon ls axs X t Y (noud d Ω * péé su la fgu III-4) t un aut astnt à st su l'ax Y =. Bn ntndu, tous ls nouds sont bloqués slon l'ax Z. C systè copnd alos n l dgés d "lbté" (nouds ntns d Ω * ) t n f auts dgés assocés aux nouds fontès non fxés. L vctu { d } * st ans décoposé n : { d } = { d } { d } * * * l f (III-7)

85 76 Pat III { } d f * Nous ffctuons la tansfoaton d Ω * vs Ω n consdéant un déplacnt ds nouds fontès d Ω *. La poston ds nouds lbs dans Ω dépnd alos d clu-c; l st possbl d détn { } d l * slon l asonnnt suvant. Ls atcs éléntas d gdté lnéa [ k L ] défns su * Ω* (latons B-37) puvnt êt assblés pou fo la atc d gdté généalsé du systè [ ] K L *. On la décopos alos n consdéant ss ts latfs aux n l dgés d lbté t cux assocés aux n f auts dgés : [ K ] L * = [ KL l ] [ KL lf ] [ KL fl] [ KL f ] * avc [ K L l] * ( nl. nl ) t [ K L lf ] * ( nl. nf ) (III-8) L vctu déplacnt généalsé assocé aux nouds ntns dépnd alos ds déplacnts ds nouds fontès slon : Nous avons ans la laton : l * L l * L l * * * * { d } = [ K ] [ K ] { d } = [ K ] { d } { d } * { d } = l { d } = f * ~ [ Kf ] [ Idn f ] ~ f f f f (III-9) * { d } = [ M ] { d } f * f * f * (III-) Dans l cad d l'hpp, la tansfoaton d Ω * n Ω éléntas d contants d Cauchy : { σloc } = [ Tσ ] [ E ] [ bl ] { d } = [ nσ ] { d } d * * * * * * * Cs latons s'assblnt pou about à l'éctu généalsé : { σloc } = [ Nσ ] { d} d * * * s tadut pa ls vctus (III-) (III-) D fat, l vctu généalsé d éducton ds contants povnant du passag d Ω * à Ω st égal à : { σloc d} = [ Nσ ] [ Mf ] { df } = [ Aσ ] { df } * * * * * * (III-3) III---3 Détnaton du doan Ω Nous pouvons à pésnt calcul l'état d pétnson { σ loc } généé dans l lu L losqu Ω * s défo n Ω L. Il st ans possbl d l copa avc clu spécfé à l'ssu RdF du pocédé d Rchch d Fo { σ loc } L df RdF { σloc} { σloc} { σ loc } L t évalu la dffénc : = (III-4) L L

86 Découp d Lazs ds MTA 77 L'dé consst à agn qu l passag d Ω * à Ω dans l cad d l'hypothès ds Ptts th Ptubatons cospond à la céaton d'un chap d contants { σ loc d } th df { σloc d} { σloc} th Nous chchons alos un vctu déplacnt noté { d f } th assu la laton { σloc d} = { σloc d}. * * La notaton { σ th loc d } * * caactésé pa : = (III-5) * L ds nouds fontès d Ω * qu * s copnd co s éféant à un vaaton théoqu ds contants d tll sot qu la tansfoaton d Ω n Ω L pa l'ntéda d Ω * RdF ngnd un contant vosn d { σ loc } L th RdF { σloc ( Ω Ω )} = { σloc} { σloc d} { σ loc }. L Ctt déach pnd ans l no d Coposton ds Contants. En consdéant l vctu généalsé { B σ } * défn pa : * { B } { th RdF σ = σ d} = { σ } { σ } L L, c'st à d n fnal qu * loc * loc L loc (III-6) L Il vnt la laton fondantal (sot un systè à 3 équatons t n f nconnus) : [ Aσ ] { df th } { Bσ} = (III-7) * * * Co su tout laz on a 3 > n f, c systè st nconsstant t n'adt pas, n généal, d soluton. Sa ésoluton st ans nvsagé pa un éthod d Monds Caés qu pt d détn l vctu généalsé { d f }* fonctonnll Θ( { d } ) = [ A ] { d } { B } f * σ * f * σ. * qu éals l nu d la S plusus solutons véfnt ctt condton, ls éthods d Monds Caés consdéés cal dntfnt cll d plus ptt no ucldnn, sot { d f } Not attnton s'st poté su dux pocédés nuéqus : la ésoluton pa Factosaton d Houshold t cll pa Invss Généalsés. Ds contas t xplcatons plus détallés sont dsponbls n annx H. Apès avo s n évdnc l vctu généalsé ds déplacnts ds nouds, l st possbl d pécs la vaaton calculé (t non fontès d Ω * vs Ω cal, sot { d f } plus théoqu) du vctu généalsé d éducton ds contants avc : * cal cal { σloc d} = [ Aσ ] { d f } * * *. * (III-8)

87 78 Pat III On put alos défn un taux d'u ntal σ L tadusant l passag d Ω * à Ω L pa : L σ = RdF { σ loc } { σ } L loc RdF { σ loc } L L (III-9) ans qu'un taux d'u fnal σ L llustant la tansfoaton d Ω n Ω L pa l'ntéda d Ω * slon la laton : σ L = RdF { σ loc } { σ } { cal } L loc + σ L loc d RdF { σ loc } L * (III-) Cs dux quanttés téognnt d l'potanc d la défoaton du doan ayant u lu los du passag d Ω * vs Ω. En fft, s σ L st tès gand dvant σ L cla sgnf cal qu { σ loc d } st potant t pa vo d conséqunc l tnsu généalsé cal { ε d } * égalnt. L'hypothès ntal d ptts ptubatons nt Ω * t Ω és dans ctt stuaton. * n put plus êt A ct fft, nous poposons d odf (édu) l vctu généalsé ds déplacnts cal d f slon la cocton : { } * od L σ { d f } = L { d cal f } σ * * (III-) L Il convnt nsut d pnd ls calculs d { σ loc d } pa (III-8) ans qu cux d σ * t σ L od n consdéant à pésnt { d f } afn d'évalu s un aut éducton s'pos. Ctt déach s pousut usqu'à obtn un appot : * σ σ L L τ (III-) Ls dffénts tsts ntps ont s n évdnc la cohénc ds ésultats obtnus n chosssant un valu τ =. 8. Un fos qu l vctu { } d f * st détné, on calcul { d } avc la laton (III-); la * géoét d la confguaton Ω st alos ntènt pécsé.

88 Découp d Lazs ds MTA 79 III---3 Méthodolog Ls chapts pécédnts llustnt un déach où, patant d'un p doan ntéda Ω * ( ) (sot Ω * ) on a détné un pè confguaton Ω (c'st à d un ( ) évaluaton noté Ω ) latv à la laz tdnsonnll Ω L. Nous voyons dès los s dssn l schéa dctu du pocédé d Découp d Lazs poposé t dénoé Méthod d Coposton ds Contants. La éthod consst à été l pocédé n consdéant un scond confguaton *( ) ( ) ntéda défn pa Ω = Ω. ( ) On obtnt alos un aut staton du doan plan Ω à pat d laqull l st *( 3) ( ) possbl d spécf Ω = Ω t ans d sut (fgu III-5). Ω L pocton othogonal ( ) Ω * ( ) Ω ( ) Ω * Ω ( ) convgnc Ω Fg. III-5 Méthod d Coposton ds Contants Plus généalnt, l pocédé s épèt d façon téatv t tos stuatons dstncts puvnt s pésnt à l'téaton p : L(p) -a- Ls taux succssfs d'us ntals σ n cssnt d'augnt ou bn stnt pochs d'un valu élvé. Dans c cas là, on consdè qu l pocssus st dvgnt t l'on conclu à l'possblté d détn la laz plan assocé au doan Ω L pa ctt éthod. -b- On obsv qu la sut ds σ L(p) décot t convg vs zéo. L(p) Dans ctt stuaton, l pocédé st aété losqu σ < ζ avc ζ ptt dvant l'unté (nous pndons ζ = ). -c- Ls valus σ L(p) dnunt as convgnt vs un valu σ On aèt l pocssus à l'téaton p s σ L(p) σ L(p ) L(p) σ < ζ. L( ). L Il faut c spécf un taux d'u axal accptabl σ ax. S la confguaton Ω *(p) L(p) L véf σ < σ ax, ll st dénoé laz optal. Dans l cas conta, nous stons qu l pocédé a échoué t n pt pas d détn la fo plan assocé à Ω L. L La valu d σ ax fa l'obt d'un dscusson à l'occason ds xpls pésntés.

89 8 Pat III La éthod d Coposton ds Contants (MCC) put êt déct d'apès l'algoth téatf suvant : MCC : MCC : Spécf un confguaton ntéda d dépat Ω *(p = ). Calcul l taux d'u ntal σ L(p). L(p) S σ < ζ ou σ L(p) σ L(p ) L(p) σ Snon, pass à l'étap suvant MCC 3. < ζ, all à l'étap MCC 4. MCC 3 : Détn l doan plan Ω (p). Rtoun à MCC n posant Ω *(p + ) (p) = Ω pus p = p +. MCC 4 L(p) S σ < σ L ax on a obtnu la géoét plan chché slon Ω = Ω *(p). Dans l cas conta l pocédé n pt pas d détn Ω. III---4 Ms n ouv du pocédé Il s'agt d pécs tout d'abod ls dvss odaltés qu sont suvs à l'occason ds xpls pésntés. Ls caactéstqus héologqus du atéau nvsagé sont clls d'un coplx cocalsé [FER 89] t sués pa dffénts ssas d caactésaton [TRO 9] : E c = 3 dan / ; E t = 49 dan / t ν ct =. 97. On calcul ν tc slon la laton d syét (C-), sot ν tc =. 9. Nous aquons qu ls valus d oduls d'élastcté font dctnt ntvn l'épassu d la tol. Il suffa alos d n pas pnd n copt c t los d l'ntégaton ds dffénts quanttés (atcs d gdté pa xpl) su ls volus éléntas. L'ontaton ds pès d'othotop du atéau st lassé au lb chox du concptu. Cpndant, ll s'ffctu habtullnt n dsposant la dcton d la chaîn du tssu slon ls côtés d plus gand longuu d la laz. Ctt su tnt au pocédé d fabcaton d la tol ans qu'à son condtonnnt. Nous ontons donc la ta du tssu su l'ax X du plan d pocton t la chaîn su l'ax Y. III---5 Applcatons L'obctf n'st pas d tat xhaustvnt l sut as plutôt d'nt la éflxon à pat d qulqus xpls spls. A ct fft, ls lazs étudés sont ssus d fos nals; c'st à d caactésés pa RdF loc un état d pétnson unfo t sotop d la fo σ = σ σ. La valu d σ st lé aux caactéstqus écanqus du atéau utlsé t fat l'obt d'ndcatons d la pat du fabcant. Dans l cas pésnt, nous pndons σ = 5 dan /. L L

90 Découp d Lazs ds MTA 8 - Psudo PH - L p xpl poposé llust l calcul d'un laz Ω L n fo d psudo paaboloïd hypbolqu. Il s'agt d'un sufac d'a nal dscétsé pa 4 élénts tangulas t copotant 33 nouds (dont 9 nouds ntns, vo fgu III-6). Ls dnsons choss cospondnt à un bas du psudo PH d (ax X ) pa 5 (ax Y ). L pont d'élévaton axal st fxé slon un hautu d (ax Z ). Fg. III-6 Psudo PH L calcul pa la éthod d Coposton ds Contants convg n spt téatons t s tadut pa un taux d'u ntal L(p = 7) slon σ = 3. 7 %. La laz plan ans détné st pésnté su la fgu III-7. Nous dvons à pésnt évalu s ctt valu put êt copatbl L avc un taux d'u axal accptabl σ ax. Pou cla, on s popos d calcul ls valus ds contants pncpals d Cauchy { σ loc } 7 L obtnus los d la tansfoaton d Ω = Ω *( ) n Ω L. L tablau c-dssous pésnt ls valus d σ t σ pou chacun ds 4 élénts. La soluton "déal" st fgué pa la dot hozontal σ = σ = σ = 5 dan / (tablau III-). Nous obsvons un dstbuton ds contants égulè su tout la sufac t la épons appoté sbl êt ds plus satsfasants. Fg. III-7 Laz MCC Contants pncpals (dan/) σ σ Elénts Tabl. III- Psudo PH : Contants pncpals obtnus pa Méthod d Coposton ds Contants

91 8 Pat III A tt d copaason, nous allons nvsag à pésnt un od d calcul dffént pou la ê laz. La éthod consst à dvs l doan pa un pocédé d Tangulaton Spl (TS) tl qu clu pésnté au chapt II---. Ls donnés géoétqus latvs aux nouds ntns n sont alos plus pss n copt pa l concptu. L allag ffctué défnt un confguaton Ω L TS n copotant plus qu élénts (fgu III-8). RdF loc Nous supposons qu la spécfcaton σ = σ σ st touous spcté. L L Fg. III-8 Tangulaton Spl du psudo PH Fg. III-9 Laz TS L La laz plan assocé à Ω TS st calculé pa la éthod d Coposton ds Contants. L pocssus convg apdnt vs un u null, l st aêté au bout d L(p = 4) ( 4) quat téatons avc σ =. 6 % ; la fo obtnu Ω = Ω * st pésnté TS fgu III-9. L'dé consst à all c doan plan n 4 élénts tangulas pa addton d nouds ntns sans odf la géoét du contou. On constut ans un *( ) confguaton d dépat Ω od ; l st alos possbl d calcul ls contants ngndés pa l passag d cll-c vs l doan él Ω L. Nous obtnons un taux d'u ntal élvé L ( ) od ca σ = 6. 6 %. Ls valus ds contants pncpals nduts sont ls suvants : TS TS Contants pncpals (dan/) σ σ Elénts Tabl. III- Psudo PH : Contants pncpals obtnus pa décoposton slon un spl tangulaton

92 Découp d Lazs ds MTA 83 Ctt xpénc appll plusus contas. Nous aquons qu la non ps n consdéaton d la géoét total du doan éalsé à l'occason du allag pa spl tangulaton condut à ds us baucoup plus potants. C ésultat n consttu cpndant pas un sups n so. La nuéotaton ds élénts tangulas a été ffctué d la gauch vs la dot (ax X ) t du bas vs l haut (ax Y ). Ls nuéos d ang plus élvé sont pa conséqunt attbués aux élénts pochs du pont d hautu axal. Un lctu plus détallé du gaph III- nous pt ans d'obsv qu l'écat nt ls contants pncpals augnt sgnfcatvnt slon la poston d l'élént. Plus ls sont élognés du pont ogn (nuéos cossants), plus ct écat s'accot. On put appot un ébauch d épons n aquant qu cs élénts sont égalnt cux qu subssnt ls taux d défoaton ls plus élvés. Cla sbl s tadu pa l'appaton d ts d csallnt t donc d dfféncs nt σ t σ. Il faut néanons tpé l popos n sgnalant qu d ultpls possbltés sont nvsagabls los du allag du doan plan Ω TS (postons attbués aux nouds ntns). Nous nsstons tout d ê su la cohénc t la bonn adéquaton ds ésultats obtnus pa la éthod d Coposton ds Contants. Ct aspct dot êt confé à l'occason d'auts applcatons. - Chapau chnos - Fg. III- Laz su chapau chnos L'xpl suvant s popos d détn un laz Ω L stué su un fo nal d typ Chapau chnos (fgu III- ). Ctt sufac st calculé nt dux ccls paallèls d daèts t 4 élognés d'un hautu d 4. La laz st dsposé co ndqué fgu III-a, ls tats fots désgnant ls axs X t Y. L pocédé convg n nufs téatons avc un taux L( 9) d'u ntal σ =. 48 %. La laz obtnu st pésnté fgu III-b. Y X Fg. III-a Dsposton d pocton Fg. III-b Laz MCC

93 84 Pat III Y X Fg. III-a Tangulaton spl d la laz Ω L TS Un scond calcul éalsé n consdéant un allag du doan pa spl tangulaton détn un L(p 5) TS laz plan n cnq téatons où σ = =. 9 %. Fg. III-b Laz TS S ctt confguaton (fgu III-b) st allé n tnant copt d nouds ntns, on *( ) défnt d façon analogu à l'xpl pécédnt un géoét Ω od alos caactésé pa un L ( ) od taux d'u ntal σ = 45. %. Ls aqus aupaavant foulés s'applqunt touous dans l cas pésnt. On put toutfos s'ntog su la valu d l'u obtnu (.48 %); cla vnt à défn plus pécsént l sul d'accptablté σ L ax. Foc st d constat qu ctt donné lèv n au pat d l'xpénc ds concptus, concpt délcat à appéhnd dans l contxt d tavaux d thès ssntllnt théoqus. Nous souhatons cpndant n pas élud la quston t avanc, sous ésv d'analyss t dscussons copléntas, qu'un tl taux d'u st accptabl. S tl n'état pas l cas, ctt ntps a l fabl ét d'ouv l débat. Un aut conta s'pos à c nvau d l'étud. Ctt applcaton a été n fat l'occason d pécs qulqus élénts d'od nuéqu. Nous avons n fft constaté un poblè d dvgnc du pocédé losqu la ésoluton ds équatons (III-7) s éféat à la éthod ds Invss Généalsés (vo annx H). L'utlsaton du pocssus pa factosaton d Houshold s'st avéé plus appopé aux A Q R calculs qus. Il a cpndant fallu nvsag la décoposton ds atcs [ ] [ ] [ ] σ * = pa putatons d lgns t d colonns, tchnqu pttant d'augnt la stablté du pocédé dans l cad d'un auvas condtonnnt d [ A σ ] *. Nous allons antnant pésnt un xpl d natu dffént pttant d'évalu ls possbltés d la éthod losqu ds dffcultés appaassnt.

94 Découp d Lazs ds MTA 85 - Laz à coubu total postv - Fg. III-3 Laz avc G> La fo nal consdéé s'nsp d l'applcaton pésnté n pat II (pag 5) où un géoét à coubu total G postv st détné pa ps n copt d ts d psson à l'ntéu du systè (stuctu gonflabl). Dans l'xpl nvsagé c, l ayon d coubu st snsblnt constant su tout la sufac t égal à nvon 8. Un laz Ω L st dsposé su l doan slon la pésntaton c-cont (fgu III-3). Y X Fg. III-4a Ms n plac pou pocton La éthod d Coposton ds Contants attnt un sul d convgnc à pat d hut téatons; l taux d'u ntal L( 8) st alos σ = 3. 9 % (fgu III-4b). Fg. III-4b Laz MCC La pè aqu vnant à l'spt s appot au nvau élvé d coubu total péconsé qu, s n paallèl avc ls dnsons d la laz, n put êt qu'à l'ogn d fots dstosons losqu cll-c st poté su un sufac plan. Nous sos néanons dans l'oblgaton d connaît qu l pocédé évèl ss lts dans l cas pésnt. La stuaton n'st pas pou autant fgé t plusus psts d éflxon s pésntnt. Il st tout d'abod ctan qu la nsaton ds écats d contants chché st fondé su ds consdéatons établs au sns d la no ucldnn (éthods d Monds Caés). Rn n suppos qu ctt atttud sot totalnt fondé, on pouat psqu suppos l conta. D'auts nos vctolls sont pa conséqunt à nvsag. D plus, ls pocédés d Monds Caés utlsés dntfnt, dans l cas d solutons nsants ultpls, cll d no nal. Là auss, on n put ctf qu'l s'agt d la épons la ux appopé à not poblè. En gus d concluson (tpoa), nous nsstons su ls pfoancs potntlls d la éthod poposé tout n gadant à l'spt ls dévloppnts ultéus à pévo.

95 86 Pat III III - Ms n Pétnson ds Mbans Txtls Achtctuals L chapt pécédnt nous a ps d tt n évdnc un éthod d Découp d Lazs t d l'llust au tavs d qulqus applcatons. Patant d'un laz tdnsonnll Ω L dont ls caactéstqus (géoét t état d pétnson) ont été pécsés à l'ssu d'un pocédé d Rchch d Fo, nous avons ans pu détn un doan plan Ω qu épond au ux ds xgncs théoqus consdéés. L'obctf consst à pésnt à coplét la déach n nvsagant un cnéatqu nvs, c'st à d l passag d Ω vs un confguaton tndu n posant ds déplacnts à ss condtons aux lts (nouds fontès). C pocssus d s n tnson pt d'obtn un doan Ω P qu dva êt n adéquaton avc Ω L, cc tout autant au nvau d sa fo (équvalnc géoétqu) qu s'agssant d son état d pétnson (équvalnc sthénqu). S un tll cospondanc st véfé, nous pouons n conclu su la bonn adaptablté du doan plan Ω dans l cas du poblè consdéé. Découp d laz t s n pétnson consttunt ans un ouvnt "d'all-tou"; l téogna d la ptnnc d la éthod d s à plat utlsé. Apès avo pécsé ls odélsatons écanqu t nuéqu lés au pocssus d déplont, nous llustons l popos slon l suppot foun pa ls xpls pécédnt nvsagés. III-- Modélsaton d la Ms n Pétnson Nous avons défn dans l cad d l'annx A l'ncént d la pè vaaton d l'éng potntll total δw t d'un stuctu losqu'un ncént ds déplacnts nodaux { } d l ds confguatons Ω t Ω supposés tès pochs (fgu III-5). En foulaton lagangnn total (FLT) t pa appot à un confguaton d éfénc Ω l vnt : t [ T ] { } [ T ] { } δw = δd K d = δd k d (III-3) Ls atcs d gdté tangnt éléntas [ k T ] [ k ] [ k ] [ k ] [ k ] T L NL l s décoposnt slon (B-4) : = + + σ (III-4) S nous supposons qu la confguaton Ω st n équlb t l'on souhat apès cocton du vctu généalsé ds déplacnts nodaux pa { d } qu l doan Ω sot égalnt n équlb, cc plqu (théoè ds Tavaux Vtuls) : δw t t = δw = (III-5)

96 Ms n Pétnson ds MTA 87 L caactè non lnéa d c poblè s tadut généalnt pa l'possblté d détn un soluton tll qu la laton δw t = sot satsfat. Il sa donc nécssa d cou à un pocédé téatf pou touv la confguaton d'équlb Ω ; on pocéda dans l cad d ctt étud pa utlsaton d la éthod d Nwton-Raphson (NR). L doan d éfénc consdéé st clu assocé à la laz plan Ω détné slon un pocédé d Découp d Laz (Méthod d Coposton ds Contants dans l cas pésnt). Nous allons tt cll-c n état d pétnson n posant ds déplacnts à ss nouds fontès usqu'à c qu'ls coïncdnt pafatnt avc cux d la laz théoqu Ω L calculé pa Rchch d Fo. Ls vctus généalsés ds déplacnts nodaux { d } sont décoposés n un pat latv aux nouds fontès { } d f nouds lbs du doan { } d l (ts posés) t n un scond b assocé aux (nouds ntns); sot la laton : { d } = { d } + { d } f l (III-6) Ω Ω Ω P Ω Z Y X Ω p Ω p P { d f } Fg. III-5 Ms n pétnson d la laz Ω Afn d'assu la poxté ds confguatons d'équlb calculés, on va d façon usull pocéd pa "pas" succssfs d déplacnts posés. Il y aua au total P "pas" péés "p". On xp alos l vctu déplacnt généalsé ds nouds fontès nt Ω t Ω L : P { d f } = L { f } { f } X X (III-7) La confguaton d'équlb détné au pas p sa noté Ω p ; c doan cospond à un p déplacnt posé { d } = λ { d } f P p f.

97 88 Pat III d p f p Ent dux pas consécutfs p- t p, nous posons un ncént { } P d déplacnt λ p dans la dcton d { d f } : p { d } { d } f p P En fnal, l dot êt véfé qu { d } = { d } = λ P p f avc λ p = λ P p f f p= p Slon la décoposton (III-6), nous avons au pas p : S l vctu { } p = (c'st à d λ p = ). P p= p p p { d} = { df} + { dl} = { d } + { dl} d f p téatons (péés ) pou détn { } doans ntédas notés Ω p. p p f = = slon l factu (III-8) (III-9) st connu, l st pa cont nécssa d pocéd à plusus p d l p p t ans { d l }. Ells défnssnt ds Chaqu téaton pt d'ffctu un cocton ds déplacnts { δd } nouds lbs. On éactuals la so d cs ncénts à l'téaton pa : { ~ } { ~ dl = dl} + { dl} p p p l p assocés aux δ (III-3) Losqu la convgnc st assué (doan Ω p n équlb), nous posons alos : p { l} { p l} d d = ~ (III-3) p La détnaton du vctu { δd } l p pos su l asonnnt suvant. On s plac au pas p t à l'téaton où ls équatons d'équlb n sont pas véfés. Cla p R. sgnf qu l vctu ésdu généalsé st dffént d zéo, sot { } { } Il faut qu l déplacnt { δd } p l p sot tl qu { R } { } l =. Ent cs dux téatons, la vaaton du vctu ésdu put s'éc : p { R } { R } p l l { Rl} { d } = + l p { d } l p l δ (III-3) Pa défnton d la atc généalsé d gdté tangnt (B-) nous avons ans: p [ KTl ] { dl} = { Rl } p p Ctt laton pt d calcul l'ncént chché { δd } δ (III-33) l p.

98 Ms n Pétnson ds MTA 89 En l'absnc d focs xtéus, l vctu ésdu cospond c au vctu ds ffots p ntns; sot pou chaqu élént { l } { fl } R p =. Il st détné n consdéant la atc généalsé d caactésaton ds ffots ntns [ ] p Ψ ntl défn n annx B (B-). Dans la stuaton pésnt, on éct : p p p { Rl } = ~ Fnt { df} + { dl} + { dl} p ( ) p p p ~ [ Ψnt l ] { df} { dl} { d l} p p ( ) = + + Raqu : Il n'st pafos pas nécssa d calcul la atc tangnt [ K T ] (III-34) p l chaqu téaton d'un ê pas. On put pa xpl la détn un sul t unqu fos n début du pas d'ncéntaton t consdé qu'll va pu nsut; cla vnt à p p K = K qull qu sot la valu d (éthod d Nwton- consdé qu [ Tl ] [ Tl ] Raphson odfé ou NRM). Ctt tchnqu put s tadu pa un gan notabl au nvau ds tps d calcul t n'affct pas la convgnc vs la soluton sous ésv d'ffctu ds pas d'ncéntaton odéés. Losqu la convgnc st attnt au dn pas, nous pouvons pécs la géoét d la laz Ω P ans s n tnson n consdéant ls déplacnts : { d } = { d } + { d } P P P f l (III-35) Il st alos possbl d ls copa avc cux cospondants au passag du doan d dépat Ω vs la laz théoqu Ω L : L L { d l } = { l } { l } X X (III-36) On défnt ans un taux d'u géoétqu g L P lé aux postons ds nouds lbs (ntns) du doan : g P L = L { d } { d } P l l L { dl} à (III-37) L'état d pétnson d la confguaton Ω P put égalnt êt détné n calculant ls tnsus éléntas { σ loc } P --); l pt d pécs un taux d'u sthénqu σ L P : (l sufft d pnd ls pocédus xplctés au chapt III- P σ L = RdF { σ loc } { σ } L loc RdF { σ loc } L P (III-38)

99 9 Pat III Cs dux taux ndqunt s ls consdéatons d'équvalnc géoétqu t d'équvalnc sthénqu nt la confguaton théoqu Ω L t l doan s n pétnson Ω P à pat d Ω sont spctés. III-- Applcatons Ls xpls tatés s'nscvnt dans la contnuté d dux applcatons pésntés los d l'étud d la Découp d Lazs pa la éthod d Coposton ds Contants. Ls caactéstqus du atéau sont dntqus à clls aupaavant tnus (c'st à d E c = 3 dan /, E t = 4 9 dan /, ν ct =. 97, Ω L ν tc =. 9 ) t l'état d RdF loc pétnson du doan Ω L cospond à σ = σ σ où σ = 5 dan /. La dcton d la chaîn du tssu st touous onté slon l'ax X t la ta su l'ax Y. Raqus : - Ls confguatons d dépat Ω étant plans, la atc généalsé d gdté tangnt pésnt ds sngulatés (s calculé au p pas t à la pè téaton [ ] K Tl défn postv donc non nvsbl). Afn d pall ctt stuaton, nous consdéons qu { ~ dl} = λ { dl} L. Pou ls auts étaps, on aua pa cont { ~ } d { } l =. p> - On st qu l'équlb du doan st véfé au pas p t à l'téaton s pou tous ls nouds lbs { fl } p. dan. L L - Psudo PH - Fg. III-6 Psudo PH : s n pétnson La fgu III-6 pésnt la laz tdnsonll Ω L (sufac nal n fo d psudo PH) t l doan plan assocé Ω détné pa la Méthod d Coposton d Contants. Sa s n pétnson s'ffctu n dx pas d'ncéntaton ( P = ). ( ) Nous obtnons ans un confguaton Ω P = Ω possèdant un fo tès poch d cll d Ω L, l st n ( ) fft véfé g L =. %. La dffénc nt ls contants théoqus t ( ) détnés s tadut pa σ L = 3. 8%. On aqu d plus qu la dstbuton ds contants pncpals su Ω P st sla à cll xposé dans l tablau III- (pag 8).

100 Ms n Pétnson ds MTA 9 Fg. III-7 Chapau chnos : s n pétnson - Chapau chnos - La ê déach st à pésnt applqué au cas d la laz Ω L appatnant à la fo nal d typ Chapau chnos. L déplont st éalsé n qunz pas d'ncéntaton t l'on aboutt aux valus : ( ) g L 5 =. 9 % ans qu ( ) σ L 5 =. 47 %. Il st possbl d foul dffénts contas à pat d cs dux ésultats. La s n pétnson du doan plan Ω détn un fo d'équlb caactésé pa un géoét vosn d cll spécfé pa Rchch d Fo. Nous pouvons ans consdé qu'l y a équvalnc géoétqu nt cs dux confguatons; la fo d dépat paassant alos épond favoablnt au poblè posé ( g L P fabl). L'u latv nt l'état d pétnson chché t clu obtnu apès déplont st n coélaton avc l taux d'u nal détné los du pocssus d s à plat d la laz tdnsonnll. La noton d'équvalnc sthénqu s touv d fat lé au ctè d'acccptablté défn pa σ L ax à ctt occason. Ls taux d'u obtnus (supéu à % pou la scond applcaton) accntunt n fat la nécssté d'and l pocédé d Découp d Laz utlsé slon ls dctons déà nvsagés (nsaton slon d'auts nos).

101 Concluson d la pat III 93 Concluson Etap ssntll d la éalsaton ds Mbans Txtls Achtctuals, l'opéaton d Découp d Lazs dot êt né n spctant l plus fdèlnt possbl ls xgncs du concptu. Ctt stcton n fat qu tadu l'possblté d détn un soluton xact pou l poblè posé, ls dvss éthods utlsés s dvant alos d'dntf cll qu condut à ds us nals. A ct fft, l'obctf d ctt tosè pat état d tt n avant un pocédé d Découp d Lazs fondé su un déach dffént d clls usqu'alos suggéés. La Méthod d Coposton ds Contants s popos n fft d n à bn ctt opéaton n pnant n consdéaton d façon cobné touts ls donnés latvs à la géoét du doan ans qu'à son état d pétnson. Un fos l cad théoqu s n plac, plusus applcatons vnnnt llust l popos tout n évélant ls possbltés t ls lts d la éthod. Nous ttons ans n évdnc la cohénc ds ésultats obtnus los d l'étud d'xpls féqunt ncontés. Il appaaît toutfos qu d nobuss aéloatons pouant êt appotés à l'occason d'un éflxon appofond né su c thè. On n put cpndant abod la pobléatqu lé à la Découp d Lazs sans n consdé un vson plus étndu. La odélsaton d la Ms n Pétnson s'nsct dans un tll logqu n autosant un déach d'all-tou nt un confguaton chché t un aut détné pa tansfoatons succssvs d s à plat pus d déplont. L cad d l'étud s stu dans un contxt d gands déplacnts t l suppot théoqu tnu pos su un odélsaton du pocssus n dscpton lagangnn total. Ls xpls tatés ontnt ans la cospondanc géoétqu xstant nt la laz s n pétnson t la confguaton chché. S l'attnton s pot su ls contants ngndés au sn du lu, ls ésultats obtnus flètnt toutfos ls us ncontés los du pocédé d Découp d Lazs. Ct aspct n fat qu'appuy ls aqus aupaavant foulés t lass l chap lb à d futus chchs.

102 Concluson généal

103 Concluson généal 95 Concluson généal Il n'st plus nécssa d soulgn la pat gandssant qu'occupnt ls stuctus à bas d Mbans Txtls pétndus dans l'achtctu contpoan. Ct sso t cpndant n lf d nobux t dvs aspcts pobléatqus, ls aspatons ds concptus évèlnt ls lts ds appochs concptulls tadtonnlls qu s dovnt d'êt alos dépassés, vo défns à la luè d nouvlls consdéatons. La Mopholog Stuctual nous pt c d décln un épons slon tos ods pncpaux : Fos, Focs t Matéaux. L p thè abodé dév ans d l'étud ds latons assocant ls concpts d Fos t d Focs, analys goupé sous l t généqu d Rchch d Fo. Nous avons tout d'abod s n évdnc l'nsuffsanc ds solutons appotés pa un odélsaton lnéa (ésau d câbls) ds Mbans Txtls Achtctuals t ans la nécssté d cou à un pésntaton sufacqu d cs systès. La épons tnu à ct fft consttu la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus. Fondé su un foulaton allant ls xgncs du écancn t du concptu, ll autos un gston ffcac d la géoét t d l'état d pétnson du lu ans détné. Ls possbltés offts s'étndnt su plusus doans : calcul d stuctus gonflabls, ps n copt d câbls d alngu. On s'st pa allus assué d la stablté écanqu ds systès calculés slon ctt éthod. C fut égalnt l'occason d pécs l'od d lus écanss. Nous avons nsut poté not attnton su un typ bn patcul d confguatons dts nals : ls ésaux d câbls d longuu nal t ls sufacs d'a na. Dux pocédés d'nvstgaton sont s n avant. L p pos su l'utlsaton ds Méthods d Dnstés slon un schéa téatf. Ds odfcatons appopés ds coffcnts d dnstés pttnt au pocssus d convg vs la confguaton chché. L scond pocédé s éfè à la nsaton d fonctonnlls slon la éthod du Gadnt Conugué. Nous poposons à ct égad d'ffctu l'évaluaton ds dctons t longuus d dscnt slon ds appochs optsés. Dans cs dux cas, d nobux xpls vnnnt llust l popos t soulgnnt la cohénc ds ésultats obtnus. Néanons la pot st ouvt à d ultpls pspctvs : aéloaton ds pfoancs nuéqus, défnton d'appochs cobnés.

104 96 Concluson généal Ctt pat st pa allus l'occason d popos un éthodolog d allag qu pt d détn ls caactéstqus géoétqus pncpals ds sufacs. La déach s'appu su la dévaton ds fonctons d fo assocés aux élénts du doan. La éflxon st élag à c stad d l'étud n y ntégant la noton d Matéaux. Patant d'un confguaton détné slon un pocédé d Rchch d Fo, l s'agt d'nvsag à pésnt sa éalsaton. L'opéaton s n u à c nvau épond à l'appllaton d Découp d Lazs. L'obctf tnu dans l cad d cs tavaux consst à popos un nouvll éthodolog à pat d'un suppot théoqu qu assoc ds étaps usqu'alos consdéés co dstncts (dévloppnt pus éducton). La Méthod d Coposton ds Contants appot à c tt d nobux élénts d épons; ls applcatons pésntés tadusnt n fft la ptnnc d la foulaton utlsé tout n ttant n lf ss lts t pa là-ê ls futus dévloppnts à nvsag. La odélsaton d la Ms n Pétnson pt pa la sut d coplét l popos n véfant la cospondanc ds fos d découp spécfés avc ls xgncs du concptu. Nous obsvons à ct égad qu ls confguatons ss n état d pétnson ont un géoét vosn d cll chché. Ls consdéatons latvs aux chaps d pétnson confnt ls aqus pécédnt éss.

105 ANNEXES

106 Annx A 97 Annx A Méthod ds Dnstés d Focs Ctt scton coplèt la dscpton d la Méthod ds Dnstés d Focs ffctué au chapt I-- (pag ). A- Défnton ds opéatus Consdéons un confguaton Ω avc C élénts d câbl, N nouds s épatssant n n l nouds lbs (NL) slon ls axs X, Y, Z t n f nouds totalnt fxs (NF). Ctt confguaton st n état d'équlb autocontant n l'absnc d focs xtéus s l'on véf ls équatons suvants : [ D] { X l } = { D X }, [ D] { Y l } = { D Y }, [ D] { Z } { D Z } où { X l }, { Y l } t { } D plus la atc [ D] ( n l X n l ) dt d conncton st défn pa : l = (A-) Z l sont ls vctus coodonnés ds nouds lbs slon X, Y t Z. [ D] [ C ] T [ Q ] [ C ] = l l l (A-) [ C l ] povnt d la décoposton d la atc d connctvté [ C ] slon : [ ] [ C] = [ C ] [ C ] l f avc [ C ] l ( C n ) X l C t [ ] ( C n ) f X f (A-3) On a d plus C = sauf s l xst un élént d câbl n laton avc l NL t l noud k alos : C = t C k = (A-4) On défnt auss la atc [ l ] ( C X C) Q ds coffcnts d dnstés d foc pa : Q l = ql t Q l ( ) = (A-5) Il sut la décoposton d [ D ] slon : D = ql pou ls élénts k connctés au NL D k k = ql pou ls élénts connctés au NL t au NL (A-6) En consdéant l vctu { X f } ds coodonnés ds nouds fxs slon { } ( ) X on éct D X n l X d'apès : T { D } [ C ] [ Q ] [ C ] { X } X = l l f f (A-7) avc la décoposton : D X = sauf D = ql Xf pou ls élénts t lés avc l NL t l NF u (A-8) X t u t

107 98 Méthod ds Dnstés d Focs A- Résoluton d l'équaton [ D] { X l } = { D X } La détnaton d la poston d'équlb Ω s'ffctu pa ésoluton ds équatons lnéas (A-). Il s'agt du pncp fondantal d la Méthod ds Dnstés d Focs. Plusus appochs sont nvsagabls : un ésoluton dct pa calcul d la atc nvs [ D] ou un ésoluton d typ téatv. Dans ctt scond stuaton, la éthod d Gauss-Sdl applqué au systè [ A] { X} = { B} sut la pocédu : Dans l cas pésnt on a : où : X () l X B N A = A A X (A-9) (p+ ) (p) = nl (p+ ) () (p) l l l = X = X + D X (A-) DX = = D t q k lt q X lk fu t D = k q q l lk (A-) Sot, à la scond téaton, la coodonné du NL slon X s'éct : X q X nl lt fu ( ) t = l = + qlk k () (( ql ) X l ) ( ) q L nuéatu du scond t d (A-) étant focént égal à q X (), l vnt : X ( l ) = t k lk () lt fu l l q X + q X k q lk l l (A-) (A-3) En xtapolant la pocédu à l'étap p, nous obtnons la laton suvant : X (p) l = t (p ) lt fu l l q X + q X k q lk (A-4)

108 Annx B 99 Annx B Pncps Vaatonnls n Mécanqu ds Solds Dscétsaton pa Elénts Fns B- Mécanqu ds solds défoabls, généaltés On consdè un confguaton d éfénc Ω à l'nstant t (n notant la confguaton d'équlb d'un sold Ω à l'nstant t slon Ω ) qu s défo n Ω. Un élént dfféntl d longuu dr d Ω s tansfo n dr dans Ω. On a la laton : dr = F dr (B-) [ ] où [ F] st l tnsu gadnt d tansfoaton nt Ω t Ω. On put dès los défn ls tnsus d défoatons d Gn-Lagang [ ε] d'alans-eul [ ] pa : [ ε] [ ] T = F [ F] [ Id3] ( 3 ) [ ] [ Id ] [ F T ] [ F ] ( ) ( ) = avc [ F] = [ F] t (B-) (B-3) D ê, l st possbl d'éc la laton xstant nt ls tnsus d contants d S slon : Cauchy [ σ] t d Pola-Kchhoff d scond spèc [ ] B- Pncp ds tavaux vtuls [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] S = dt F F σ F T (B-4) Il s'agt d tt n plac la foulaton vaatonnll assocé aux équatons d'équlb du sold latvnt aux confguatons Ω t Ω. La pè vaaton d l'éng potntll total d la stuctu δwt st égal à la dffénc nt la pè vaaton d son éng d défoaton δwd (sot l taval vtul ds ffots ntns) t d la pè vaaton du taval ds focs xtéus applqués à la stuctu δw (ou nco taval vtul ds focs xtéus). Sot la laton : δwt = δwd δw (B-5) L pncp ds tavaux vtuls stpul qu l'éng potntll total d la stuctu st nal dans sa confguaton d'équlb éll Ω.

109 Pncps Vaatonnls - Dcétsaton pa Elénts Fns Pa tous ls déplacnts cnéatqunt adssbls, ls déplacnts éls ndnt W t xtéal. D plus, l pncp d l'xtu plqu qu : { δ } d δwt = (B-6) B-- Calcul d δwd : La pè vaaton d l'éng d défoaton élénta δw d st défn slon (foulaton ulénn ou lagangnn) : d V { } { } δw = δ σ dv = δε S dv V Sot apès soaton su tous ls élénts d la stuctu : (B-7) { } { } δwd = δ σ dv = δε S dv (B-8) l V l V B-- Calcul ds ffots ntns : On a pa défnton du vctu élénta ds ffots ntns { f } : { } δwd = δd f (B-9) D'apès l'xpsson d la pè vaaton du vctu ds défoatons s n évdnc n annx D (laton D-7), on put éc : T [ ] [ ] { } d L T NL V ( ) (B-) δw = δd b + b S dv Sot pa dntfcaton t avc la lo d copotnt du atéau pécsé n annx C (C-7): { f } ([ L ] T T [ NL ] ) [ ] ([ L = + ] + [ NL ] ) { } b b E b b d dv (B-) V Ctt éctu s splf n consdéant la atc élénta d caactésaton ds ffots ntns [ ψ nt ] n foulaton lagangnn : { f } [ ] { d } = ψ nt (B-) B--3 Calcul d δw : Slon ls dffénts typs d chagnts, on éct n foulaton ulénn : { υ} { s} { p } l V l V δw = δu f dv + δu f dv + δu f (B-3) l

110 Annx B avc { f υ }, { f s } t { f p } ponctulls (focs concntés aux ponts atéls ). On put tansc sous la fo édut : pésntant ls vctus ds focs voluqus, sufacqus t { } δw = δu f dd (B-4) l D D la ê façon, n foulaton lagangnn : { } δw = δu f dd (B-5) l D B--4 Calcul d la pè vaaton d l'éng potntll total δwt : D'apès (B-5) t ls équatons (B-8) t (B-4) on obtnt : { } { } δwt = δ σ dv δu f dd (B-6-a) l V l D { } { } δwt = δε S dv δu f dd (B-6-b) l V l D B-3 Foulaton ncéntal t atc d gdté tangnt En consdéant l'éctu : D'apès (B-6) l'équaton d'équlb dvnt : ({ xt} { } ) δwt = δd F F nt (B-7) { δd} δwt = (B-8) Sot n défnssant l vctu ésdu ds ffots généalsés d la stuctu : { R} = { F } { F } = { } xt La atc tangnt élénta [ k T ] nodaux à l'ncént cospondant du vctu ésdu. En utlsant un déplacnt dfféntl élénta { δd } { δ d } [ kt ] { δ d } = { δ R } avc la laton : nt (B-9) l un ncént du vctu ds déplacnts { δ R } = { δ } { δ } on éct : (B-) f f (B-)

111 Pncps Vaatonnls - Dcétsaton pa Elénts Fns Sot nco l'xpsson : [ kt ] = { R } { d } (B-) En dfféntant l'xpsson d la pè vaaton d l'éng potntll élénta (B-5) l vnt n consdéant { δ } { } { δd } : δ wt = δ wd δ w = δd { δ } δd { δ } D'où la laton : d = pa défnton d'un déplacnt dfféntl f f (B-3) [ ] { } δ w = δd k δd (B-4) t T Consdéons à pésnt un ncént d déplacnt { u} n un pont d'un élént fn nt ls confguatons Ω t Ω supposés tès pochs t dû à un ncént ds. A ct ncént st assocé un ncént d la pè déplacnts nodaux { } d vaaton d l'éng potntll total δw t ncént s défn slon : t t t s l'on s éfè à la confguaton Ω. Ct δw = δw δw (B-5) S Ω t Ω sont tès pochs, ct ncént d la pè vaaton d δw t égal à δw t put êt copaé à sa duxè vaaton s n plac n (B-4) : [ T ] { } [ T ] { } δw = δd K d = δd k d (B-6) t l En foulaton lagangnn total (FLT) éféé à Ω on obtnt : { } { } { } t l V l D ( ) f (B-7) δw = δε S + δε S dv δu dd Avc la laton (D-7) t slon : l s'nsut qu : { δε } { δε } { δε } [ L = + = b ] + [ bnl ] { δd } { δε } { δε NL} [ bnl ] { δd } ( ) (B-8) = = (B-9) D plus, n utlsant ls popétés d fo quadatqus d chacun ds coposants d { ε NL } (cf D-) : { ε } [ L ] [ NL = b + b ] { d } ( ) (B-3)

112 Annx B 3 D'apès la lo d copotnt tnu (C-7) l vnt : Cc condut à l'xpsson (B-3) : { S } [ E ] { } = ε (B-3) { } δ [ L ] T [ NL ] T [ ] [ L ] [ NL = ( + ) + ] { } δε l V l V S dv d b b E b b d dv δε S l'on s éfè à (D-3), la coposant d { } D'où la laton (B-34) : st égal à : { δε } δ [ q, = d b ] { d } ( ) (B-33) { S 6 } dv d { S } [ b ] T [ b ] T [ F ][ b ] [ b ] dv = ( ) ( ) { d } l V l V = δε δ ξ ξ ξ ξ ξ Sot n éctu splfé : avc : { S } dv d [ b ] T [ b ] T [ F S ] [ b ] [ b ] dv { d } l V l V δε = δ ξ ξ ξ ξ ξ (B-35) 6 [ Fξ ] { S } [ F ] S = ξ = ( ) (B-36) L scond t d l'équaton (B-7) cospond à la vaaton d l'éng potntll vtull total losqu l chagnt va au cous d la défoaton (cas d focs suvuss pa xpl). Dans l cad d ctt étud un tl copotnt n sa pas nvsagé t l t cospondant sa ans consdéé co nul. En dntfant (B-6) avc ls auts bs d (B-7) t d'apès ls latons (B-3) t (B-35) nous défnssons ls atcs éléntas d gdté suvants : dt atc d gdté lnéa. [ L ] [ L ] T [ ] [ L ] k = b E b dv (B-37) V T [ NL ] [ NL ] [ ] [ L ] [ NL ] [ L ] T = + + [ ] [ NL ] k b E b b dv b E b dv V V ( ) (B-38) applé atc d gdté non lnéa (ou nco ds déplacnts ntaux). [ ] [ ] T [ ] T σ = ξ ξ [ ξs ] [ ξ ] [ ξ ] k b q F q b dv (B-39) l V dt atc d gdté géoétqu.

113 4 Pncps Vaatonnls - Dcétsaton pa Elénts Fns On aqu qu [ k σ ] n dépnd qu ds confguatons Ω t Ω n FLT; cla tadut l fat qu ls contants n s'xpnt pas dans ls ês éféntls nt cs dux k T n systès. Ctt atc pt n fat d cog la atc d gdté tangnt [ ] éféant ls contats à la confguaton Ω sans avo pou autant éactualsé la géoét nt Ω t Ω ; on poua ans not ndffént [ k σ ] ou [ ] La atc d gdté tangnt élénta s'éct n fnal : [ k ] [ k ] [ k ] [ k ] T L NL k σ. = + + σ (B-4) Raqu : Ds consdéatons plus détallés sont xposés dans ls éféncs suvants : [BAT 8], [BAT 9], [CIA 78], [DRO 96], [GER 86], [IMB 84], [ZIE 79].

114 Annx C 5 Annx C Los d copotnt du atéau txtl C- Contxt d l'étud Dans l cad d l'hypothès H (ptts défoatons élastqus), l théoè d décoposton pola du tnsu gadnt d tansfoaton [ F] nt ls confguatons Ω t Ω pt d'éc : [ R] [ F] [ R] [ U] [ R] = (C-) st l tnsu othogonal d otaton pu avc dans l cas généal d ptts défoatons : D'apès (B-4) on put ans pécs : [ U] [ Id3] ( ) t [ ] dt F [ S] [ R] T [ ] [ R] (C-) = σ (C-3) Cla sgnf qu l tnsu PK [ S] sué dans Ω latvnt à Ω st dntqu au tnsu d Cauchy sué dans Ω t xpé dans un pè cospondant à la confguaton Ω (pè cootatonnl), sot : [ S] [ loc ] = σ,ω (C-4) Ctt égalté, n gad d l'hypothès H d ban pt ans d'obtn ls ês latons pou ls contants PK qu pou ls contants d Cauchy : S S loc z loc xz loc x loc z loc y << S t S << S (C-5-a) loc xy loc yz loc xy << S t S << S (C-5-b) C- L atéau tol txtl L atéau ployé n achtctu txtl st un copost ultcouch othotop éalsé d'un tssé othogonal d fbs synthétqus (fb d v, polyst, nylon...) t d'un nducton plastqu (PVC, PTFE...). Ls dctons d la ta t d la chaîn du tssu défnssnt un pè othogonal local dt d'othotop. Ls ssas éalsés su dffénts atéaux ont né aux conclusons suvants [TRO 9] : - L p cycl d chagnt/déchagnt ntaîn un défoaton ésdull pannt d la tol; cc st applé phénoèn d'buvag. - Ls cycls suvants décvnt un copotnt d typ hystéétqu stabl pouvant s'ntpét n pè appoxaton co un copotnt psudo élastqu lnéa.

115 6 Los d copotnt - Ls ssas baxaux ttnt n évdnc ls dfféncs d copotnt d la tol slon l appot xstant nt sa tnson n ta t sa tnson n chaîn. - Su un oyn t, l atéau pésnt ds phénoèns d laxaton ds contants. Su un plus long t, ss caactéstqus écanqus sont snsbls au vllssnt. La duxè aqu st à la bas d l'hypothès H3 d sold élastqu lnéa. On ont qu'l st possbl dans l cad d l'hypothès H d généals la lo d Hook n ε. un lo lnéa généal lant ls tnsus [ S] t [ ] Ell fat ntvn l tnsu d'élastcté [ E ] t, n l'absnc d contants t défoatons ntals : S = E kl ε kl (C-6) Sot, pou un élént, sous fo atcll n foulaton lagangnn pa appot à Ω : { S } [ E ] { } = ε (C-7) C-3 Ms n plac ds opéatus atcls Nous écvons la laton (C-7) dans l pè d'othotop ta-chaîn d'un élént d ban; d'apès ls latons (C-5) t s'agssant ans d'un pè local, l vnt [GAY 9]: avc ls quanttés : { Sot } S = S S t c ct, { εot} { Sot } [ Eot ] { ot } ε = ε ε t c ct = ε (C-8) t [ Eot ] [ E ot ] st syétqu s : υ υ E tc t ct c Et υtc Et υtc υct υtc υ υct Ec Ec = υtc υct υtc υ ct ct G ct (C-9) = E (C-) L pè local d l'élént st calculé d'apès sa bas covaant assocé (cf D-3) pa : x = g, z g v = g 3 t y = x z v (C-)

116 Annx C 7 On put éc la atc d'élastcté [ E loc ] où [ Tε,ot ] local : pa la laton : [ E ] [ T ] [ E ] [ T ] loc T = ε ot ε,ot,ot (C-) désgn la atc d passag ds défoatons du pè d'othotop au pè { εot} [ Tε ] { εloc} =,ot (C-3) [ Tε,ot ] C S CS = S C CS CS CS C S C = cos θ, S = sn θ avc θ ot angl onté dct nt la dcton d la ta d l'élént t x. ot ot (C-4) D plus, on put xp [ E ] n pè global pa : [ E ] [ T ] T [ E ] [ T ] loc [ T ] ε = ε ε (C-5) désgnant la atc d passag ds défoatons du pè global au pè local : { εloc} [ Tε ] { ε } = (C-6) [ Tε ] a a a3 aa aa3 aa3 b b b3 = bb bb3 bb 3 a b a b a b a b + a b a b + a b a b + a b avc x = a a a3 t y = b b b3 xpés dans l pè global. (C-7) Nous défnssons la atc d passag ds contants du pè global au pè local pa : { Sloc} = [ T σ ] { S } t { σloc} [ Tσ ] { σ } = (C-8) ans qu : avc la laton : D plus, s { σ loc } st sotop, on éct : { σ } = [ T ] { σloc} ' σ [ T ] [ T σ ε ] T ' { σ } = { T } (C-9) = (C-) σ so ' σ (C-)

117 8 Los d copotnt C-4 Cas ds élénts d câbl c Dans l cas d'un élént d câbl, on consdè qu suls σ loc c ans qu ε loc avc g x c = = g x, l sut : c [ Eloc ] c [ ] x t S c loc x sont non nuls = E c (C) T = a a a a a a a a a (C3) ε a a a3 n pè global. (C4)

118 Annx D 9 Annx D Intpolaton cnéatqu t ds défoatons Ctt pat vs à tt n plac ls opéatus nécssas [ b L ] t [ b NL ]. Nous tatons plus patculènt l cas ds élénts d bans T3 (=); ls ésultats concnant ls élénts d câbl (=c) sont égalnt donnés. D- Intpolaton cnéatqu S l'on consdè un déplacnt ds nouds d'un élént { d } latvnt à un confguaton Ω, l chap d déplacnt { u } sa obtnu n tout pont d ct élént; l st lé à { d } pa l'ntéda d la atc ds fonctons d fo [ N ] pa : La atc [ N ] coodonnés ntnsèqus ξ t η : { u } [ N ] { d } = (D-) dépnd ds fonctons d fo su l'élént T3 défns slon ls [ ] [ N ] N [ Id3] N [ Id3] N3 [ Id3] = (D--a) avc N N N 3 = ξ η = ξ = η (D--b) En consdéant l vctu R X Y Z assocé à l'élént n calculant sa bas covaant g slon : R g o = ξ, R g o = η t g g g3 = g g =, on put défn la atc acobnn [ ] [ J ] g = g g 3 L'nvs d la atc acobnn st lé à la bas contavaant g assocé à l'élént : [ ] = [ J ] = [ g g g ] 3 J (D-3) (D-4) (D-5)

119 Intpolaton cnéatqu t ds défoatons D- Intpolaton ds défoatons lnéas (atc [ b L ] ) La atc d'ntpolaton ds défoatons lnéas [ b L ] { ε L } [ bl ] { d } st défn pa : = (D-6) { ε L } st l vctu colonn ds défoatons lnéas n pè global ( ) { ε L } ε ε ε = ε ε ε X Y Z XY XY XZ = u v w u, X v w, Y, Z + v, Y, X + w, Z, Y + u, X, Z Avc { d } vctu ds déplacnts nodaux nt Ω t Ω. d = d d d = d d d d d d d d d 3 On put éc l vctu { ε ξ } ntnsèqus du chap d déplacnt { u } pus : { ε L } [ aξ ] { εξ } où ls ts d [ a ξ ] dépndnt ds valus d [ ] : [ a ] ξ X Y Z X Y Z 3X 3Y 3Z X Y Z : (D-7) (D-8) ds dévés patlls pa appot aux coodonnés = (D-9) 3 3 = D plus, d'apès l'ntpolaton cnéatqu chos on a : { ε ξ } [ b ξ ] { d } (D-) = (D-)

120 Annx D avc [ b ξ ] d la fo : Il sut donc : [ bξ ] N, ξ N, η N ξ =, N, η N, N, ξ η [ b ] [ a ] [ b ] L Id Id N N N N 3 (D-) = ξ ξ (D-3) D-3 Intpolaton ds défoatons non lnéas (atc [ b NL ] { ε NL } La atc d'ntpolaton ds défoatons non lnéas st défn slon : { ε NL } [ NL b ] { d } ) = (D-4) st l vctu colonn ds défoatons non lnéas n pè global : { ε NL } ( u, X + v, X + w, X ) ( u, Y + v, Y + w, Y ) ( u, Z + v, Z + w, Z ) = u u + v v + w w u u + v v + w w u u + v v + w w, X, Y, X, Y, X, Y, Z, Z, Y, Z, Y, Z, X, Z, X, Z, X, Z Chaqu coposant st un fo quadatqu foncton d { } u Pou la coposant l sut : avc ls latons : { ε NL} u X [ F ξ ] { u X} ( ). (D-5) =,, (D-6) { u, X} = [ q ] { ξ ξ } [ Fξ ] = ε (D-7) [ fξ ] [ 3] [ 3] [ 3] [ fξ ] [ 3] [ 3] [ 3] [ fξ ] (D-8)

121 Intpolaton cnéatqu t ds défoatons [ f ξ ] 4 [ f ξ ] = =, [ f ξ ], [ 5 f ξ ] = = En écvant { u, X } slon (D-) l vnt : { u, X} [ q ] [ b ], [ 3 f ξ ], [ 6 f ξ ] = = (D-9) = ξ ξ (D-) { ε } [ ] T ξ [ ξ ] T NL d b q [ Fξ ][ qξ ] [ bξ ] { d } ( ) Sot la défnton d la lgn d [ b NL ] = (D-) : [ b ] d [ b ] T [ q ] T NL [ F ][ q ] [ b ] ( ) = ξ ξ ξ ξ ξ (D-) [ bnl ] d [ bq, = ] ( ) avc [, b q ] syétqu (D-3) D-4 Expsson d la pè vaaton du vctu ds défoatons On consdè un confguaton Ω qu s défo n Ω. { ε } { ε L } { ε NL} [ L ] [ NL = + = b + b ] { d } ( ) (D-4) S on nvsag un déplacnt dfféntl vtul nodal { δd } ntanant ds déplacnts t ds défoatons vtulls dans la stuctu, n dfféntant l'xpsson d { } ε obtnt la défoaton vtull { δε } : { δε } δ[ L ] { } [ L ] { δ b d b d } δ[ bnl ] { d } [ bnl ] { δd } on = (D-5) La coposant d δ[ bnl ] { d } s'éct pa syét (cf D-3) : [ bnl ] { d } d [ bq, ] { d } d [ bq, ] { d = = } = [ bnl ] { d } ( ) ( ) δ δ δ δ Co [ b L ] d n dépnd pas d { } l sut : { δε } [ L ] [ NL = b + b ] { δd } (D-6) ( ) (D-7)

122 Annx D 3 D-5 Résultats su ls élénts d câbl Dans l cas d'un élént d câbl (=c), la déach st la ê avc : g [ ] c c c [ N ] N [ Id3 ] N[ Id3] = où N N c d = d d = d d d d d d R = ξ, g g = avc c [ a ] ξ c c = ξ = ξ X Y Z X Y Z g = t 3 = 3 3 g 3 = g g g g (D-8) (D-9) (D-3) (D-3) c [ bξ ] N, ξ N ξ =, N, ξ Id N N (D-3)

123 Annx E 5 Annx E Convgnc d la Méthod ds Dnstés d Contants Sufacqus l p p Nous allons ont qu l [ A ] = [ ] (p+ ) (p) { X } { X } = { } ( ) p 3, c qu sgnf égalnt qu ; c'st à d qu l pocssus convg vs la poston d'équlb du noud (convgnc local) [MAU 98]. Cc st véfé s un ds popétés suvants st satsfat : A sont postvs t stctnt nféus à. - (P) Touts ls valus pops d [ ] - (P) Tous ls ts d [ A ] sont postfs t nféus à avc, copaés un à un, tous ls coffcnts d [ A ] nféus à cux d [ A ]. En notant pou splf X = X 3, Y = Y 3 t Z = Z 3, l vnt : A XX q s X qs X = = Qs X = = = = q l b q + q ( + ) k= sk k = s X s Y Z = (E-) On a ans < A XX < (égalnt < A YY < ; < A ZZ < ) avc A + A + A =. XX YY ZZ D plus nous pouvons éc : A XY = = Q s ( ) X Y = q = q s ( ) X ( + ) + Y s X Y = = Co pou tout noud l st véfé qu q ( ) q ( + ) s X Y s X q s Y Z, l sut : A XY < ( t auss A XZ < ; A YZ < ) (E-) (E-3) En patant ds latons suvants : ( ) s sk ( X Xk Y Yk ) qs X Y = qs X Y + q q, k( k) = = ( ) ( ) ( ) qs X qs Y = qs X Y + q q +, k( k) s sk X Yk Xk Y = = = (E-4) (E-5)

124 6 Convgnc d la MDCS Il ésult : ( ) ( ) ( ) ( ) qs X qs Y qs X Y = qs qsk X Yk Xk Y >, k ( k) = = = Nous ontons ans qu : XY XX YY XZ XX ZZ YZ YY ZZ (E-6) A < A A (t A < A A ; A < A A ) (E-7) L'néquaton suvant st alos satsfat : ( ) XX XY XZ XX XX YY ZZ XX A + A + A < A + A A + A = A (E-8) C qu ont qu l p t dagonal d [ A ] st nféu au p t dagonal d [ A ]. En suvant un déach dntqu, ctt consdéaton s'applqu égalnt aux auts ts dagonaux. Sot : Ls latons pécédnts pttnt d pos : C qu aboutt à : AXY AXZ AYZ < AXX AYY AZZ (t A A < A A ) (E-9) ( ) XZ YZ XY ZZ A A + A A < A (E-) XY ZZ XZ YZ XY ( ) A A + A + A A < A (E-) XY XX YY XZ YZ XY Ctt néquaton déont qu l p t non dagonal XY d [ A ] st nféu à sa valu dans la atc [ A ]. p Nous voyons c qu ls condtons (P) sont satsfats t dès los l [ ] = [ ] p A 3. Dans l cas où l xst ds élénts d câbls (alngu), on éct à l'téaton p+ : (p+ ) c (p) sc b 4 = = X = Q l X + Q X (E-) cs (p) 5 avc Q sc q = q l k= s c sk bk + qlk k= t Q cs = k= q q l c sk l b k + qlk k= (E-3)

125 Annx E 7 D'où la laton : A XX = = qs X = c s X s ( Y Z ) l = = q + q + + q < (E-4) l vnt auss : < A YY < ; < A ZZ < t A + A + A < (E-5) XX YY ZZ Un asonnnt dntqu à clu dévloppé c-dssus pt d déont qu tous p ls ts d [ A ] tndnt vs zéo losqu p tnd vs l'nfn.

126 Annx F 9 Annx F Etud d la défn-postvté ds atcs d caactésaton éngétqu Il s'agt d déont qu ls atcs généalsés d caactésaton éngétqu sont défns postvs, condton nécssa à la stablté écanqu ds stuctus calculés. F- Cas d'un stuctu à bas d câbls [ D ] st défn postv su K A T T s l st véfé qu { d K } ( { }) { } = > ( ) [ ] { } Wd d d D d K K K K Pou un ésau d câbls, nous avons D K A alos * = D < pa syét t D = D + D >. N = ( ) Ls ts D * > povnnnt d l'élnaton ds lgns t colonns d [ D ] pa assblag ds atcs éléntas [ d c ] En notant pou splf d suvant ls condtons aux lts quss. = d t n dévloppant l vnt : K N N N N N * K = = ( ) = = ( ) = ( ) ( ) ( ) Wd = d D + d ( d D ) = d D + d ( d D ) + d D (F-) N N avc ( d D ) = ( ( D ( d d ))) = = ( ) = = + N N (F-) D'où la laton : Nous n dédusons : N N t ( d ( ( d D ))) = ( ( dd D )) = = ( ) = = + N N ca D N N K * = = + ( ) Wd = ( D ( d + d d d )) + d D N N * K = = + ( ) Wd = ( D ( d d ) ) + d D = D (F-3) (F-4) > (F-5) La atc généalsé d caactésaton éngétqu [ D ] st pa conséqunt défn postv. Ctt étud pt d plus d véf qu dk [ D]{ dk} pou un déplacnt { } { } d K. On put donc n dédu qu ls écanss d'un stuctu tndu sont d'un od égal à un.

127 Défn-postvté d [D] Raqu : S ls condtons d'appu n sont pas pss n consdéaton los d l'assblag (sot D * = ), on véf WdK ({ dk }) = pou d = d (ouvnt d sold gd) t [ D ] dvnt alos sulnt s défn postv. F- Cas d'un stuctu à bas d bans L'étud st c abodé dffént t utls la aqu qu nous vnons d foul s'agssant ds systès d câbls tndus. Un analys ds déplacnts su un élént d ban pt d'éc qu : dk3 = dk3 + dk dk3 dk dk3 = dk3 + dk dk3 dk dk = dk3 + dk3 dk3 d K3 (F-6) La dscusson pot su ls valus possbls d la atc [ ] défn pag 3 (laton I-64). S > t 3 <, l'éng d défoaton élénta s t sous la fo : wd v + dk + + dk σ d K d K (( ) 3 ( 3 ) 3 K ) Slon ls latons (I-67), l st alos évdnt qu w d K D ê s < t 3 >, on a : wd v + dk + + dk σ d K d K (( ) 3 ( 3 ) 3 K ) (F-7) (F-8) Dans tous ls cas, l st possbl d ont d façon sla qu w d K conséqunt qu ls atcs éléntas d caactésaton éngétqu [ d ] défns postvs. En s éféant à la aqu pécédnt, l'assblag ds atcs [ d ] t pa sont s pa ps n copt ds condtons aux lts d la stuctu condut alos vs un atc généalsé d caactésaton éngétqu [ D ] égalnt défn postv.

128 Annx G Annx G Calcul ds dévés ds fonctons d fo pou ls élénts T6 t T Ctt scton appot ls élénts nécssas à la détnaton ds caactéstqus géoétqus ds sufacs. G- Défnton ds fonctons d fo Pou l Tangl T6 (dg=6) on a : η 5(, ) avc λ = ξ η 6 4 ξ (, ) 3(, ) N N N 3 ( λ ) = λ = 4 ξλ = ξ ( ξ ) N N 4, N = η( η ) 5 6 = 4 ξη = 4 ηλ (G-) Pou l Tangl T (dg=) l vnt : η 8 9 (, ) 3(, ) ξ (, ) N N N N N = λ λ + λ = ξ ξ + ξ = η η + η 7 9 = ξλ ξλ 7 9 = λξ ξλ, N N N N N = ηξ ξη 7 9 = ξη ξη 7 9 = λη λη 7 9 = ηλ λη = 7 λξη (G-) G- Dévés ds fonctons d fo pa appot aux coodonnés ntnsèqus Pou l Tangl T6 : N N N N N N N N N N N N , ξ, η, ξξ, ξη, ηη 4 λ 4 λ ( λ ξ) 4 ξ ξ 4 4 η 4 ξ 4 4 η 4 4 η 4 ξ η 4 8 ( ) (G-3)

129 Dévaton ds fonctons d fo Pou l Tangl T (G-4) : N N N N N N N N N N N N, ξ 7 λ + 9λ 7 ξ 9ξ λ 7ξλ λ + ξ ξ + 7ξλ λ + ξ 9 7ξη η 7 9 η η 7 9 η + η 9 7λη + η 7ηλ 7ηξ N, η 7 λ + 9λ 7 η 9η + 9 7ξλ + ξ 7 9 ξ + ξ 7 9 ξ ξ 9 7ξη ξ η 7ηλ λ + η η + 7ηλ λ + η 7λξ 7ηξ N, ξξ 7λ 9 7ξ 9 54λ + 7ξ ξ + 7λ + 9 7η 7η 54η N, ξη 7λ 9 9 7λ + 7ξ + 9 7ξ + 9 7ξ 9 7η 9 7η + 9 7λ + 7η + 7λ 7η 7ξ N, ηη 7λ 9 7η 9 7ξ 7ξ 54η + 7λ λ + 7η ξ G-3 Calcul du acobn t d ss dévés On calcul l détnant du acobn D ξ slon : Pus ss dévés : dg dg ξ, ξ, η, = D = N N ( X Y X Y ) (G-5) Dξ, ξ = ( N, ξξ N, η + N, ξ N, ηξ ) ( XY X Y ), = dg Dξ, η = ( N, ξη N, η + N, ξ N, ηη ) ( XY X Y ), = t D D ξ, ξ ξ, η D = D D = D ξ, ξ ξ ξ, η ξ (G-6)

130 Annx G 3 G-4 Calcul ds dévés ds fonctons d fo G-4- Calcul ds dévés pès : En consdéant ls élénts d l'nvs d la atc acobnn : a ξ ξ =, b X On put calcul ls dévés patlls : ξ η =, c X ξ ξ = t d Y ξ η = (G-7) Y avc : N N N N ξ N η = = + = X X X a N + ξ η b N (G-8) N N ξ N η = = + = c N + d N ξ ξ ξ η Y ξ Y η Y X, ξ, ξ ξ, η Y,,, dg a D N ξ = ξ, η Y = bξ = Dξ N, ξ Y = dg t dg c D N ξ = ξ, η X = dg (G-9) dξ = Dξ N, ξ X = G-4- Calcul ds dévés sconds : Avc ls coffcnts (G-) : dg dg a D N ξ, ξ = ξ, ξ, η Y + Dξ N, ηξ Y = = dg a D N dg Y D N ξ, η = ξ, η, η + ξ, ηη Y = = dg dg bξ, ξ = Dξ, ξ N, ξ Y Dξ N, ξξ Y = = dg dg bξ, η = Dξ, η N, ξ Y Dξ N, ξη Y = = t dg dg c D N ξ, ξ = ξ, ξ, η X Dξ N, ηξ X = = dg c D N dg X D N ξ, η = ξ, η, η ξ, ηη X = = dg dg dξ, ξ = Dξ, ξ N, ξ X + Dξ N, ξξ X = = dg dg dξ, η = Dξ, η N, ξ X + Dξ N, ξη X = = Il vnt ls latons (G-) : N XX a N b N, = a b N a a b a N a b b b N ξ, ξξ + ξ, ηη + ξ ξ, ξη + ( ξ ξ, ξ + ξ ξ, η ), ξ + ( ξ ξ, ξ + ξ ξ, η ), η N XY a c N b d N = + + ( c b + a d ) N + ( c a + d a ) N + ( c b + d b ) N N, YY = cξ N, ξξ + dξ N, ηη + cξ dξ N, ξη + ( cξ cξ, ξ + dξ cξ, η ) N, ξ + ( cξ dξ, ξ + dξ dξ, η ) N, η, ξ ξ, ξξ ξ ξ, ηη ξ ξ ξ ξ, ξη ξ ξ, ξ ξ ξ, η, ξ ξ ξ, ξ ξ ξ, η, η

131 Annx H 5 Annx H Résoluton d systès pa éthods d Monds Caés On chch l vctu ds déplacnts { d th f } [ A ] { th σ d f } { Bσ} * * * ( 3. nf ) ( nf. ) ( 3. ) tl qu : * = (H-) S 3 > n f c systè n possèd pas n généal d soluton, c qu condut à chch l cal vctu { d f } qu éals l nu d Θ( { d } ) = [ A ] { d } { B } * f * σ * f * σ. * H- Résoluton pa Factosaton d Houshold On utls la factosaton d [ A σ ] * slon [THE 86] : [ A ] = [ Q] [ R] σ * ( 3. 3) ( 3. nf ) avc [ ] [ R] R = [ ] où [ R] ( A. n f ) [ R ] st un atc tangula supéu t [ Q ] un atc othogonal. (H-) Il faut d plus défn l vctu { C } pa : T { C} [ Q] { B } { C} { C } = = σ * où { } C ( A.) (H-3) Dux cas puvnt s pésnt slon la valu du ang A d la atc [ A σ ] *. Cas : on a A = n f cal Dans ctt stuaton, la soluton { d f } [ R ] pa : st unqu t s détn avc la atc tangula * [ R] { d cal f } { C} = (H-4) Cas : on a A < n f Il xst c un nfnté d solutons. La éthod suvant pt d détn cll d no ucldnn nal. Il faut constu la atc othogonal [ P ] tll qu : * [ R] = [ V][ P] (H-5)

132 6 Méthods d Monds Caés La atc [ V ] st calculé pa tansfoatons succssvs d Gvns [LAW 9]. Pou cla, on consdè la pocédu suvant : [ ~ 3 V ] [ G ] [ ~ (, ) V A + ] ( A ) = (H-6) = A + où tous ls coffcnts d la atc d Gvns [ G, A + ] ([ G, A + ]) k k = pou k avc l'angl ϑ défn pa : En fnal, on obtnt : [, ] [, ] ( ) ( ) sont nuls sauf : t k A + (H-7) G = G = cosϑ (H-8) A + A + A + A + [, ] [, ] ( ) ( ) G + + = G + + = snϑ (H-9) A A A A [ ] = [ ] tgϑ ( V ~ ) ( V ~ + + ) + (H-) T [ V] [ V A ] A A A = ~ avc l'éctu [ V] = [[ S] [ ]] où [ S] La ésoluton s'ffctu n consdéant l vctu { $U f } tl qu : { $ } { U$ U } f = { } où { $ U } = [ S] { C } ( n f. ) cal L vctu déplacnt { d f } * ( A. ) st nsut calculé slon : cal { d f } = [ P ] { U$ f } * ( A. A ) (H-) (H-) (H-3) H- Résoluton pa Invss Généalsés + On consdè la atc nvs généalsé (ou psudo-nvs) [ A σ ] * d [ A σ ] *. cal Pou ls systès nconsstants, on dntf la soluton { d f } ucldnn pa l'équaton [CIA 8] : cal + { d f } = [ A ] { B } * * * d (H-) d plus ptt no * σ σ (H-4)

133 Annx I 7 Annx I A popos ds ablls... "Da- nco un ot: cs clluls ds ablls, tant vantés, tant adés, founssnt: un puv d plus cont l'nthousas t l'adaton; ctt fgu, tout géoétqu t tout égulè qu'll nous paaît, t qu'll st n fft dans la spéculaton, n'st c qu'un ésultat écanqu t assz pafat qu s touv souvnt dans la natu, t qu l'on aqu ê dans ls poductons ls plus buts, ls cstaux t plusus auts ps, qulqus sls, tc., pnnnt constant ctt fgu dans lu foaton. Qu'on obsv ls ptts écalls d la pau d'un ousstt, on va qu'lls sont hxagons, pac qu chaqu écall cossant n ê tps s fat obstacl t tnd à occup l plus d'spac qu'l st possbl dans un spac donné: on vot cs ês hxagons dans l scond stoac ds anaux unants, on ls touv dans ls gans, dans lus capsuls, dans ctans flus, tc. Qu'on plss un vassau d pos, ou plutôt d qulqu aut gan cylndqu, t qu'on l f xactnt apès y avo vsé autant d'au qu ls ntvalls qu stnt nt cs gans puvnt n cvo, qu'on fass boull ctt au, tous cs cylnds dvndont d colonns à sx pans. On y vot clant la ason, qu st punt écanqu; chaqu gan, dont la fgu st cylndqu, tnd pa son nflnt à occup l plus d'spac possbl dans un spac donné, lls dvnnnt donc touts nécssant hxagons pa la copsson écpoqu. Chaqu abll chch à occup d ê l plus d'spac possbl dans un spac donné, l st donc nécssa auss, pusqu l cops ds ablls st cylndqu, qu lus clluls sont hxagon pa la ê ason ds obstacls écpoqus. On donn plus d'spt aux ouchs dont ls ouvags sont ls plus éguls; ls ablls sont, dt-on, plus ngénuss qu ls guêps, qu ls flons, tc., qu savnt auss l'achtctu, as dont ls constucton sont plus gossès t plus égulès qu clls ds ablls: on n vut pas vo, ou l'on n s dout pas, qu ctt égulaté, plus ou ons gand, dépnd unqunt du nob t d la fgu, t nullnt d l'ntllgnc d cs ptts bêts; plus lls sont nobuss, plus l y a ds focs qu agssnt égalnt t s'opposnt d ê, plus l y a pa conséqunt d contant écanqu, d égulaté focé, t d pfcton appant dans lus poductons." G.L. Buffon, Hsto Natull, IV, p.99, Pas 753.

134 BIBLIOGRAPHIE

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139 No : MAURIN MORPHOGENESE DES MEMBRANES TEXTILES ARCHITECTURALES Thès pésnté à l'unvsté d Montpll II - Scncs t Tchnqus - pou obtn l dplô d Doctoat, nton Scncs, Spécalté : Mécanqu, Gén Mécanqu, Gén Cvl Péno : Bnad N o d'od : N o CNU : 6 Résué : L dévloppnt ds stuctus à bas d tols txtls tndus soulgn l'nsuffsanc ds appochs concptulls tadtonnlls t nécsst d nouvlls éthods. Ls tavaux pésntés dans c éo s appotnt ans à l'étud ds pocédés d chch d fo ds Mbans Txtls Achtctuals t à la découp d lazs. Nous ttons dans la pè pat n évdnc l'nsuffsanc d'un pésntaton dscèt ds tols tndus (ésaux d câbls) t poposons la éthod d chch d fo ds Dnstés d Contants Sufacqus qu s'appu su un odélsaton contnu du doan. Ct aspct st coplété pa un étud d la stablté ans qu ds écanss ds stuctus tndus. La duxè pat st consacé à l'nvstgaton d fos nals : ésaux d câbls d longuu nal t sufacs d'a na. Dux éthods sont pésntés, un pè fondé su l'utlsaton ds éthods d Dnstés t un scond appoch lé à la nsaton d fonctonnlls slon la éthod du Gadnt Conugué (poblès d'optsaton). Nous poposons égalnt un outl autosant l calcul ds caactéstqus géoétqus ds sufacs (valus ds coubus oynns t gaussnns n tout pont du lu). La éthod d Coposton ds Contants dédé à la détnaton ds fos d découp du tssu st pésnté n tosè pat. Ell pt d pnd n consdéaton ls paaèts d géoét, état d pétnson du doan t héolog du atéau, tout n atténuant ls us nhénts à tout découp d lazs (nsaton slon ds éthods d onds caés). Mots-clés : Achtctu txtl - Stuctus tndus - Rchch d fo - Méthod ds dnstés d contants sufacqus - Stablté - Coubu ds sufacs - Résaux d longuu nal - Sufacs d'a nal - Découp d lazs - Méthod d coposton ds contants - Dat t lu d soutnanc : l 3 anv 998 à l'unvsté Montpll II Juy : MM. O. MAISONNEUVE Pésdnt M. LEMAIRE Rappotu K. LINKWITZ Rappotu J.M. DELARUE Exanatu H. NOOSHIN Exanatu R. MOTRO Dctu d Thès Thès pépaé au Laboato d Mécanqu t Gén Cvl, Unvsté Montpll II cc. 34, plac Eugèn Batallon, 3495 Montpll Cdx 5