Chapitre 1.7 Les oscillations amorties et forcées
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- Géraldine Forget
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1 Chpir.7 Ls oscillions moris forcés L équion différnill d l oscillur hrmoniqu simpl mori L oscillur hrmoniqu simpl mori OHS s un équion différnill don l consrucion provin d un oscillur hrmoniqu simpl MHS où l on jou un résisnc proporionnll à l viss. Pr mpl, l pplicion d l ièm loi d Nwon à un sysèm mss-rssor oscilln dns un liquid génèr un équion différnill d l form d un OHS : d d d d où : Posiion d l obj slon l ( ( : Tmps écoulé durn l mouvmn (s : Fcur d énuion proporionnl à l viss (s - : Fréqunc ngulir nurll (rd/s Pruv : (mpl du sysèm mss-rssor oscilln dns un liquid Considérons un sysèm mss-rssor oscilln grâc à l forc du rssor F r k rlni pr un forc d visié proporionnll à l viss Fv bv. ppliquons l ièm loi d Nwon slon l fin d formr un équion différnill : F m F r Fv m (ppliqur du forcs : F r F v k bv m (Rmplcr F r k Fv bv k b v (Divisr pr m m m v (Rmplcr k b m m v (Mr équion égl à zéro d v v (Rmplcr d d v d d d d (Rmplcr v d d d No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg
2 L soluion générl d l oscillur hrmoniqu mori L oscillur hrmoniqu mori possèd un soluion générl d form ponnill. Lorsqu on l propos à l équion différnill, cll-ci génèr un conrin sur l nsmbl ds soluions possibl pr l nrmis d un polynôm du ièm dgré : d d Pruv : Équion différnill Soluion générl Tl qu ( d c c ( d Posons l form d un soluion générl ccpbl l équion différnill du OHS : Soi : c c c c ppliquons c soluion à d d (Équion du OHS d d d d c c d (Rmplcr d ( ( c ( c c c ( c ( c c (ppliqur l dérivé : c c (Simplifir c d d ± 4 c (Résoudr polynôm du ièm dgré ± c 4 (Fcorisr l rm 4 hors d l rcin crré c ± (Rmplcr c c (Du soluions u polynôm du ièm dgré c Puisqu il y du soluions possibl à un polynôm du ièm dgré, l soluion à l équion différnill l plus générl complè s doi d inclur ls du soluions du polynôm. c c insi : ( No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg
3 Ls rois soluions priculièrs d l oscillur mori L form générl d l soluion à l oscillur mori pu prndr rois forms complèmn différns slon ls prmèrs physiqus / d l siuion. En rison d l résoluion précédn d un polynôm du ièm dgré ( c c, ls soluions dmissibls impliqun l ppriion d l rcin crré d un rdicl provnn d l soluion du polynôm du ièm dgré. C clcul pu voir rois soluions disincs slon ls vlurs : réll, imginir nul. Rdicl posiif (du soluions rélls < Rdicl négif (du soluions imginirs Rdicl nul (soluion uniqu > c ± c ± i c Pruv du rdicl négif : Modifions l form du rdicl fin d l rndr posiif à prir d l form générl d l soluion c. C opérion fr pprir l nombr imginir i : c ± c ± (Fcorisr l sign négif c ± i (Rmplcr i L rprésnion grphiqu ds rois soluions priculièrs Ls rois soluions priculièrs proposn rois yps d oscillions : morissmn surcriiqu ( < Mouvmn hrmoniqu mori ( > 3 morissmn criiqu ( L mouvmn hrmoniqu simpl mori L mouvmn hrmoniqu simpl mori MHS s l soluion priculièr d l oscillur mori lorsqu l vlur du rdil dm du soluions imginirs ( >. À prir d l formul d Eulr, on pu rprésnr un somm d foncion ponnil imginir à l id d l foncion inus. L rdicl dns l résoluion d un polynôm du ièm dgré s égl à b 4c No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg 3
4 L MHS rprésn un oscillion à un fréqunc ngulir légèrmn infériur à l fréqunc nurll d oscillur don l mpliud diminu à un ryhm ponnil : d d d d Équion différnill OHS : Soluion MHS : ( ( φ Condiion : > où ( : Posiion d l obj slon l (m : mpliud du mouvmn à (m : Consn d résisnc u mouvmn (s - : Fréqunc ngulir nurll (rd/s : Fréqunc ngulir mori (rd/s : Tmps écoulé durn l mouvmn (s φ : Consn d phs (rd : Posiion d l obj à (m v : Viss d l obj à (m < > - L sysèm mss-rssor oscilln dns l u s un OHS, l mouvmn s donc un MHS dns crins condiions. l qu (Fréqunc ngulir mori Pruv : ( v (mpliud ds oscillions à ( / φ (Consn d phs À prir d l soluion générl d l oscillur hrmoniqu mori, ppliquons l condiion > dévloppons l soluion sous l form d un foncion inus fin d obnir l MHS. Débuons vc l prssion priculièr ds soluions du polynôm du ièm dgré c obnu précédmmn : c ± i c ± i (Rmplcr À prir d nor soluion générl pour (, rmplçons ls prssions d c c : c c (Soluion générl ( i ( i (Rmplcr c c ( i i (Fcorisr No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg 4
5 L présnc d un ponnill compl nous prm d ffirmr qu nous pouvons rnsformr l prssion précédn sous l form d un foncion inus grâc à l formul d Eulr : i i ( sin( i i cr i ( i sin( i ( i sin( Puisqu nous vons du consns à définir n foncion ds condiions iniils v, nous pouvons ls rformulr sous l form suivn fin d ppliqur plus isémn l formul d Eulr : iφ iφ C choi s suciu, cr il nous prmr d inroduir dns nor soluion finl ( un rm d mpliud iniil à un rm d phs φ pr nlogi vc l MHS. Dévloppons nor équion précédn vc cs nouvu élémns : ( i i (Équion précédn iφ i iφ i iφ i iφ i ( i (Rmplcr (Fcorisr i( φ i( φ ( (Disribur iφ iφ iφ ( φ (Formul d Eulr : ( i i Nous pouvons minnn pssr à l évluion d l mpliud l consn d phs φ n foncion ds condiions iniils v. Pour rélisr c âch, évluons l prssion d l viss ( v à prir d s définiion : d ( v (Définiion d l viss ( v v d d ( ( φ d d ( ( φ d (Rmplcr ( (Fcorisr v Ls foncions rigonomériqus son bsés sur l rlion suivn : ( sin ( No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg 5
6 v d ( ( φ d d ( ( d ( φ v ( d fg φ ( d d d v [ ( φ( ( ( φ d ( d sin v [ ( φ ( φ sin (Lign précédn ( d g d f f g d d, (Fcorisr d d ( ( sin Pour évlur l prssion d nos consns φ, nous dvons posr nos condiions iniils à nos équions d posiion d viss : Posiion iniil : ( (Posiion à ( ( ( φ (Rmplcr ( φ (Simplifir ( φ (Isolr ( φ φ (Isolr φ Viss iniil : ( v v (Viss à ( [ ( ( φ sin( ( φ v (Rmplcr [ ( φ sin( φ v (Simplifir v (Divisr pr ( φ sin( φ sin( φ sin( φ v sin φ ( v ( φ (Isolr sin ( φ dns ( dns ( v ( / (Rmplcr ( (Réécriur φ v No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg 6
7 fin d isolr l mpliud, ppliquons l idnié rigonomériqu suivn : ( sin ( φ φ (Idnié rigonomériqu v ( v (ppliqur l crré ( v (Isolr ( v v (Rmplcr ( φ ( sin φ (Isolr L morissmn surcriiqu (régim périodiqu En consrucion L morissmn criiqu En consrucion urs formulions ds soluions d l oscillur hrmoniqu mori En consrucion Oscillion mori ( > morissmn surcriiqu ( < morissmn Criiqu ( v ( sin( v h σ ( σ sinh( σ σ ( ( v No d cours rédigé pr : Simon Vézin Pg 7
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