MTS1 A 2014 Etude de fonctions Aleth Chevalley

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1 MTS A Etud d fonctions Alth Chvally. appls.. Plan d étud d un fonction f : E E f ( ) = y... Ensmbl d définition L nsmbl d définition ou domain d définition d un fonction corrspond à l nsmbl ds valurs d la variabl pour lsqulls la fonction f() st défini : - pas d division par - pas d valur négativ sous un racin carré - pas d valur négativ ou null dans un logarithm - pas d valurs égals à π / + kπ (k Z ) pour un tangnt Empls : a) f ( ) = b) f ( ) = ln ( ) D f = c) f ( ) = D f = [ ; ] D f = \ { }... Fonction pair ou impair Définition : Soit f un fonction, D f son nsmbl d définition. On dit qu f st un fonction pair si pour tout rél appartnant à D f, appartnant à D f, f ( ) = f ( ) nombrs opposés qulconqus d D f, ont la mêm imag par f. Soit C f la courb rprésntativ d f, C f st symétriqu par rapport à l a ds ordonnés. Soit f un fonction, D f son nsmbl d définition. On dit qu f st un fonction impair si pour tout rél appartnant à D f, appartnant à D f, f ( ) = f ( ) nombrs opposés qulconqus d D f, ont ds imags opposés par f. Soit C f la courb rprésntativ d f, C f st symétriqu par rapport à l origin O du rpèr. La parité d un fonction prmt d réduir l intrvall d'étud ds variations d'un fonction. Empl : Un fonction défini sur sra étudié sur +, si ll pair ou impair. Un fonction put êtr ni pair ni impair. Pour l prouvr il suffit d trouvr un contr mpl. Empls :a) f ( ) = donc f st pair. 3 + défini sur - { ; } st-ll pair ou impair? b) f ( ) = 3 défini sur st-ll pair ou impair? f ( ) = ( ) 3 ( ) = 3 + = f ( ) donc f st impair. c) f ( ) = 3 + défini sur st-ll pair ou impair? f ( ) = ( ) 3 + ( ) = 3 + f ( ) f ( ) t f ( ) f ( ) donc f n st ni pair ni impair. Etud d fonctions / 3 A Chvally

2 5 MTS (3²+)/(²-) ^ ^3+^ Fonction périodiqu Définition : Un fonction st périodiqu d périod T ssi pour tout rél, f( + T ) = f ( ) La périodicité prmt d réduir l'étud ds variations d'un fonction à un intrvall d longuur égal à la périod. Empls : Ls fonctions sinus t cosinus sont périodiqus d périod π. La fonction tangnt st périodiqu d périod π.... Tablau d variation Pour drssr l tablau d variation d un fonction, il faut connaîtr l sns d variation d la fonction qu l on déduit d l étud d la dérivé. Un fonction croissant ou décroissant sur un intrvall st monoton sur ct intrvall. Etud d fonctions / 3 A Chvally

3 ..5. Calcul d valurs particulièrs MTS On calcul ds valurs particulièrs d la fonction pour crtains valurs d apparaissant dans l tablau. On calcul ls its d la fonction n + tc Asymptots On chrch ls asymptots à la courb t la f() = a asymptot horizontal y = a ( // a ds abscisss) + f() = ± asymptot vrtical = b ( // a ds ordonnés) b f() = a + b ou f() ( a + b ) = asymptot obliqu y = a + b + + Pour obtnir la position d la courb par rapport à l asymptot, on calcul l sign d f ( ) a b On chrch l équation d la droit tangnt n un point y = f ( ) ( - ) + f ( ) On calcul ls points d inflion : f ( ) = avc changmnt d sign. La courb «travrs» sa tangnt...6. présntation graphiqu d la fonction.. Dérivés L tau d accroissmnt d un fonction st défini par : f (b) f (a) b a La dérivé d un fonction st défini par la it d son tau d accroissmnt. Un fonction f défini sur un intrvall I st dérivabl au point a, a I, si t sulmnt si il ist un nombr f () f (a) rél l tl qu : = a a l L nombr l st applé nombr dérivé d f au point a, c qui corrspond à la vitss instantané d f n a. f (a+ h) f (a) C qui rvint à écrir = h l quand h tnd vrs. h Etud d fonctions 3 / 3 A Chvally

4 ... Fonctions usulls MTS f( ) f ( ) Intrvall d définition k n ( n N, n ) n ln n n- - n * - * n + * + * + sin cos cos - sin tan + tan² = cos π π ] + kπ ; + kπ[ k Z... Composés d fonctions Soint fonctions u t v tlls qu u : E F t v : F G y = u ( ) t y z = v ( y ) v o u : E G z = ( v o u )() = v o u () = v [ u ( ) ] Attntion : v o u () u o v () pour tout E Empl : v : t u : sin = v ( ) t ² = u ( ) Calculr v o u t u o v..3. Opérations t dérivés ( u + v ) = u + v ( k.u ) = k.u ( u. v ) = u. v + u. v (vou()) = (v [ u ( ) ]) = v [ u ( ) ]. u ( ) ( u n ) = n. u n-. u ( ln ( u ) ) = u ' u = u ' u ' u u = v ( u ) = u. u ( u ) = Etud d fonctions / 3 A Chvally ' u '. v u. v ' v u ' u ' n. u ' n = n u u + avc n N* (sin u ) = u. cos u

5 . Fonction réciproqu MTS Définition Un fonction f : I J admt un fonction réciproqu s il ist g : J I tll qu f o g = g o f = Id g st la fonction réciproqu d f t on not g = f - f o f - = f - o f = Id appl : fonction idntité Id : Id() = f g I J I f() = y g(y) = f : I J f() = y I J : g = g(y) y Proposition : Un fonction f : I J admt un fonction réciproqu si t sulmnt si tout valur d a un t un sul imag y=f(). Si f - ist, si l imag d par f st y, alors l imag d y par f - st y = f() = f - (y) Ls rprésntations graphiqus d fonctions réciproqus sont symétriqus par rapport à la bissctric. Empls : Trouvr ls fonctions réciproqus ds fonctions suivants : fonctions logarithm népérin, ², t f() = a + b 3. Fonctions classiqus 3.. Fonctions trigonométriqus Ls fonctions cosinus t sinus sont définis, continus t dérivabls sur cos ( ) t sin ( ) Ells sont périodiqus, d périod π cos ² + sin ² = cos st pair t sin st impair. On définit la fonction tangnt comm l quotint d la fonction sin par la fonction cos. Ell st défini sur ] - π/ ; π/ [ par : sin tan = cos 3... Propriétés algébriqus (voir fuill) sin = Etud d fonctions 5 / 3 A Chvally

6 3... Dérivés MTS ( cos ) = - sin ( sin ) = cos ( tan ) = ' sin cos + sin = tan = = + cos cos cos présntation graphiqu,5 5,5 3 tan , ,5 sin cos ésolution d équations cos = cos θ = ± θ + k π sin = sin θ = θ + k π ou = π - θ + k π 3.. Fonctions logarithm t ponntill La fonction ponntill srt à modélisr tout un variété d situations d croissanc ou d décroissanc : - Economi, statistiqu : évolution d population, dnsité urbain - Biologi : évolution d population - Chimi : concntration d produits, désintégration radioactiv - Médcin : évolution d bactéris, microbs ou maladis - Financs : placmnts à intérêts fis - Thrmiqu : évolution d tmpératurs 3... Définition La fonction logarithm népérin st la primitiv sur ] ; + [ d la fonction invrs / qui prnd la valur pour = ln : ] ; + [ ln D f = ] ; + [ Etud d fonctions 6 / 3 A Chvally

7 La fonction ponntill st sa fonction réciproqu : MTS p : ] ; + [ D f =. p ( ) = y = = ln y 3... Propriétés algébriqus > t y > ln = = ln = = =, 7 ln = - ln = = = + ln (.y) = ln + ln y + y =. y ln = ln - = ln y = ln ln y - y = ln p = p ln ( ) p = p Logarithm décimal : ln log ( ) = ln y Dérivés t tablau d variation ] ; + [ ( ln ) =, ( ) = ln présntation graphiqu p ( ) y = ln ( ) Etud d fonctions 7 / 3 A Chvally

8 3.3. Fonctions puissancs MTS Puissancs rélls Définition Si n N, la fonction puissanc vaut n st défini sur Si p Z, la fonction puissanc vaut p st défini sur * Si α, la fonction puissanc vaut α st défini sur ] ; + [ ] ; + [ α D f = ] ; + [ Empl : pour α = ½ ½ = t D f = ] ; + [ ( ) = ½ /- = ½ ½ = Dérivr 3/ = puis /3 ( ² ) 3/ Propriétés algébriqus > t y > t α, β α = (.y ) α = α. y α ( α ) β = α β α. β = α + β α = y y α α marqu : Si Si α = n N * n p α = n N *, p Z n α = n = n p = n = ( ) p Dérivés t tablau d variation pour tout ]; + [ ( α ) = α. α Si u st un fonction d, dérivabl t strictmnt positiv sur un intrvall d pour tout ]; + [ ( u α ) = α. u. u α Etud d fonctions 8 / 3 A Chvally

9 On suppos α MTS + + α α > + α α < présntation graphiqu,5 3,5 3,5,5 ²,5 racin (),5,5,5 3 3,5, Puissanc avc fonctions Définition ] ; + [ v D f = ] ; + [ v = v ln Généralisation : Soint fonctions u t v ; u st un fonction d, dérivabl t strictmnt positiv sur un intrvall d, v st un fonction dérivabl sur un intrvall d Pour tout u( ) > u v = v ln u Dérivé pour tout u( ) > ( u v ) = ( v ln u ) = ( v. ln u + Empl : Calcul d t d sa dérivé. v. u ' u ). u v Etud d fonctions 9 / 3 A Chvally

10 3.. Croissancs comparés d fonctions MTS Au voisinag d + ln ² n ln + = ln + = + = + Au voisinag d : Au voisinag d - :.ln =. = ln( + ) = = = 3.5. Fonctions hyprboliqus Définition On appll fonction cosinus hyprboliqu t sinus hyprboliqu, ls fonctions notés ch t sh, définis sur par : ch = + t sh = On utilis aussi ch = + t sh = La courb d ch st applé chaîntt (n mécaniqu, position pris par un fil soupl t intnsibl suspndu ntr points y = a ch ( / a ) ). ch + sh = ch - sh = - par conséqunt ch ² - sh ² = Ls fonctions ch t sh sont définis, continus t dérivabls sur (étud d la fonction ponntill) ch st pair. On l étudi donc sur [ ; + [ t pour tout ch > sh st impair. On définit la fonction tangnt hyprboliqu comm l quotint d la fonction sh par la fonction ch. Ell st défini sur par : th = sh = = ch + + Etud d fonctions / 3 A Chvally

11 Il n résult qu, pour tout : ch = th² MTS Comm ch >, pour tout, la fonction th st défini, continu t dérivabl sur t sh étant impair t ch pair, th st impair t sra étudié sur [ ; + [ Propriétés algébriqus ch ( - ) = ch ( ) sh ( - ) = - sh ( ) ch ( A + B ) = ch ( A ). ch ( B ) + sh ( A ). sh ( B ) ch ( A - B ) = ch ( A ). ch ( B ) - sh ( A ). sh ( B ) sh ( A + B ) = sh ( A ). ch ( B ) + sh ( B ). ch ( A ) sh ( A - B ) = sh ( A ). ch ( B ) - sh ( B ). ch ( A ) ch ( ) = ch ² ( ) + sh ² ( ) sh ( ) = sh (). ch () Dérivés t tablau d variation pour tout ( ch ) = sh ( sh ) = ch Fonction ch : Or pour >, > donc - = < t ch ()>, la fonction ch st monoton croissant sur + Fonction sh : d ch >, nous déduisons qu sh st monoton croissant sur + + ( ch) () + ( sh) () + ch + sh + ( th ) = ' sh ch sh = = = ch ch ch th cos = ch ( i ) sin = - i sh ( i ) ch = cos ( i ) sh = - i sin ( i ) Etud d fonctions / 3 A Chvally

12 3.5.. présntation graphiqu MTS 3,5 3 sh ch p()/,5,5,5 - -,5 - -,5 -,5,5,5 - -,5,,8,6,, - -,5 - -,5 -,,5,5 -, th -,6 = -,8 = - - -, Etud ds branchs infinis Définition : La courb rprésntativ C d la fonction f présnt un branch infini si au moins un ds coordonnés tnd vrs l infini. si f ( ) = ± alors C admt un asymptot vrtical d équation = si f ( ) = y alors C admt un asymptot horizontal d équation y = y ± si f ( ) ± o o o si = ± alors on étudi ± f ( ) asymptotiqu Oy ± f ( ) = ± alors C admt un branch paraboliqu d dirction f ( ) si = alors C admt un branch paraboliqu d dirction ± asymptotiqu O f ( ) si = a alors on étudi la fonction f() a ± si f ( ) a = b (b ) alors C admt un asymptot obliqu ± d équation y = a + b comm t la position d la courb par rapport à l asymptot dépnd du sign d f() a b si f ( ) a = ± alors C admt un branch paraboliqu d ± dirction asymptotiqu y = a si f() a n admt pas d it alors C admt un branch infini d dirction asymptotiqu y = a o si f ( ) n admt pas d it alors on n put pas conclur Etud d fonctions / 3 A Chvally

13 Etud pour ch : ch( ) = + + ch( ) + = + + MTS = + La courb rprésntativ d la fonction ch admt donc un branch paraboliqu d dirction asymptotiqu Oy. Par aillurs on put écrir : ch( ) = ( + ) qui montr qu ch( ), quand + La différnc ch( ) = tnd vrs par valurs positivs lorsqu +, c qui prmt d tracr l graph d la fonction ch asymptotiqu d clui d Etud pour sh : sh( ) = + + sh( ) = + + = + La courb rprésntativ d la fonction sh admt donc un branch paraboliqu d dirction asymptotiqu Oy. Par aillurs on put écrir : sh( ) = ( ) qui montr qu sh( ), quand + La différnc sh( ) = tnd vrs par valurs négativs lorsqu +, c qui prmt d tracr l graph d la fonction sh asymptotiqu d clui d. L origin st cntr d symétri d la rprésntation graphiqu d la fonction sh, qui admt n c point un tangnt d pnt égal à. f ( ) f () sh = = Etud pour th : + th = = + + th = = + La courb rprésntativ d la fonction th admt un asymptot horizontal y = quand tnd vrs t un asymptot horizontal y = quand tnd vrs Etud ds dérivés n Etud pour ch : f ( ) f () = ch = f '() = sh() = Etud pour sh : Etud pour th : f ( ) f () sh = = f '() = ch() = f ( ) f () th sh = = =. ch Cs dérivés rprésntnt ls cofficints dircturs ds tangnts au courbs au point. Etud d fonctions 3 / 3 A Chvally