CONTINUITE, DERIVATION et ETUDE DE FONCTIONS.

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1 CONTINUITE, DERIVTION et ETUDE DE FONCTIONS. 1 ) Etude de l fnctin prtie entière. 3 3,4 < 4 n dit que 3 est l prtie entière de 3,4, n écrit E3,4) ,9 < -3 n écrit E-3,9) < 6 n écrit E5) 5. Déf : Pur tut réel, il eiste un unique entier n de Z tel que n < n +1, n est le plus grnd entier reltif inférieur u égl à ; cet entier n est ppelé prtie entière de et est nté E). représenttin grpique : j E1) 1 se lit u pint 1;1) E2) se lit u pint 2,2), dnc le pint 2,1) n'pprtient ps à l représenttin grpique. i Sur l'intervlle [1 ; 2[, l fnctin est cnstnte. L fnctin prtie entière est crissnte. 2 ) Cntinuité. Pur dessiner l représenttin grpique, "il fut lever le cryn" u pints d'bscisse entière. lim E) 2 mis lim E) 1 E2). 2, > 2 2, < 2 ) Définitins. Déf : Sit l fnctin définie sur une fnctin définie dns un intervlle I et un pint de I. On dit que l fnctin définie sur I est cntinue en si et seulement si lim fi f ) f ). Sinn n dit que f est discntinue en. eemple : l fnctin prtie entière est cntinue en tus les pints d'bscisse nn entière et discntinue u pints d'bscisse entière. l fnctin est cntinue sur IR. remrque : f est cntinue en si et seulement si en psnt + ) lim f + ) f ). 0 Déf : f est cntinue sur l'intervlle I si et seulement si f est cntinue en tut pint de l'intervlle I. On peut lrs trcer l représenttin grpique de f sur I "sns lever le cryn". b) Cntinuité et pértins T : f et g snt deu fnctins définies dns un intervlle I et un pint de I. Si f et g snt cntinues en, lrs : f + g est cntinue en ; pur tut réel k, k f est cntinue en ; f g est cntinue en ; si g) 0, f g est cntinue en. Crllires : Si f et g snt cntinues sur un intervlle I, lrs f + g, k f k réel), f g snt cntinues sur I ; si g ne s'nnule ps sur I, f est cntinue sur I. g fi n n IN * ) est cntinue sur IR. Les fnctins plynômes snt cntinues sur IR Les fnctins rtinnelles snt cntinues sur tut intervlle ù elles snt définies.

2 Prp : l fnctin fi est cntinue sur IR. l fnctin fi est cntinue sur [0 ; + [. 1 l fnctin fi n est cntinue sur]- ; 0[ et sur ]0 ; + [. les fnctins fi cs et fi sin snt cntinues sur IR. T de cmpsitin: Sit f une fnctin définie dns un intervlle I cntennt et g une fnctin définie dns un intervlle J cntennt f ). Si f est cntinue en et g est cntinue en f ), lrs g f est cntinue en. Crllire : Si f est cntinue sur un intervlle I à vleurs dns un intervlle J ù g est cntinue, lrs g f est cntinue sur I. cs3 + 5) eemple f ) est définie sur ]0 ; + [ est cntinue sur ]0 ; + [, dnc est cntinue sur ]0 ; + [. l fnctin cs est cntinue sur IR, dnc l fnctin cmpsée cs 3 + 5) est cntinue sur [0 ; + [. l fnctin est cntinue et ne s'nnule ps sur IR+, dnc l fnctin f est cntinue sur IR+. T : Si lim fi f ) l et si g est cntinue en l,lrs lim fi g f ) ) gl). T : Si une suite u n ) cnverge vers une limite l et si f est une fnctin cntinue sur un intervlle I cntennt l, lrs l suite f u n )) cnverge vers f l). c)réslutin de l'équtin f ) k. fb) B k f) f est une fnctin cntinue sur I. k est un réel cmpris entre f ) et f b). il y u mins un pint de l curbe d'rdnnée k ici, u mimum 3 ) c 1 c2 c3 b Térème des vleurs intermédiires : Sit f une fnctin cntinue sur un intervlle I cntennt deu réels et b. Pur tut réel k cmpris entre f ) et f b), il eiste u mins un réel c de [, b] tel que f c) k. crllire 1 : Si f est une fnctin cntinue et strictement mntne sur [ ; b], lrs pur tut réel k cmpris entre f ) et f b), l'équtin f ) k dmet une slutin unique dns [ ; b]. fb) k f) B c 1 b Crllire : Sit f une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervlle I cntennt deu réels et b. Si f ) f b) < 0, lrs l'équtin f ) 0 dmet une slutin unique dns ] ; b[.

3 crllire dmis) : Si f est une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervlle I, l, m les limites de f u brnes de I l et m désignnt des réels, + u ), lrs pur tut réel k strictement cmpris entre l et m, l'équtin f ) k dmet une slutin unique dns I. -5 c 1 2 c 2 + f) l'équtin f ) 4 dmet une slutin unique dns ]-5 ; 2] et une dns [2 ; + [ T :Si f est une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervlle ] ;b[ et b étnt des réels u + u ), lrs pur tut réel k cmpris entre lim f ) et lim f ), l'équtin f ) k dmet une slutin unique fi fi b dns ] ; b[. 3 ) Dérivtin. )Fnctin dérivble. Nmbre dérivé. Déf : Sit f une fnctin définie sur un intervlle I cntennt le réel. f + ) f ) L fnctin f est dérivble en si et seulement si une limite finie L qund tend vers 0 ce qui f ) f ) revient à dire pur limite L qund tend vers. Le nmbre L est lrs ppelé nmbre dérivé de f en et est nté f ' ). T : Si f est une fnctin dérivble en, lrs elle est cntinue en. Interpréttin cinémtique Si l psitin d'un mbile sur une drite est dnnée en fnctin du temps pr y f t), lrs f ' ) est l vitesse instntnée du mbile à l'instnt. f + ) f ) est l distnce prcurue entre les instnts et +, c'est-à-dire pendnt une durée. f + ) f ) f + ) f ) est dnc l vitesse myenne entre ces instnts. lim est l vitesse instntnée du mbile 0 à l'instnt. b) Tngente à une curbe. le cefficient directeur de l drite M) est y M y, M f + ) f ) c'est-à-dire. Si f est dérivble en, ce cefficient directeur une limite finie L qund tend vers, c'est-à-dire qund M se rpprce de. L drite de cefficient directeur L et pssnt pr est ppelée tngente à l curbe en. M m + T : si f est dérivble en, n ppelle tngente à l curbe u pint ; f )), l drite pssnt pr et de cefficient directeur f ' ). Une équtin de cette tngente est lrs y f ' ) ) + f ). Si f n'est ps dérivble en, mis est dérivble à drite en respectivement à guce), n dit que l curbe dmet une demi-tngente à drite respectivement à guce) en. pr eemple f ) + cs en 0 dessin ci-cntre) pr eemple g).

4 f + ) f ) Déf : Si f n'est ps dérivble en mis si lim fi 0 n dit que l curbe dmet une tngente verticle en. Sit f ) sur [0 ; + [ f ) f 0) 0 0 lim 0 0 et >0 dnc lim 0 )² 1. f ) f 0) 0 + u + : l curbe dmet une demi- tngente verticle en O. f ) f ) peut n'vir ucune limite en : il n'y ps de tngente pr eemple f ) sin 1 ) c) dévelppement limité u pprimtin ffine lcle). T : Sit f une fnctin définie sur un intervlle I cntennt le réel. L fnctin f est dérivble en si et seulement si il eiste une fnctin e telle que f + ) f ) + f ' ) + e ) vec lim fi 0 e) 0. f ) + f ' ) + e ) vec lim fi 0 e) 0 est ppelé le dévelppement limité d'rdre 1 de f en. f ) + f ' ) est ppelé pprimtin ffine de f + ) pur visin de 0. f ) + f ' ) est l'rdnnée du pint de l tngente, d'bscisse +. n pprcé l'rdnnée de M pr celle de T, et plus ser visin de 0, meilleure ser l'pprimtin. M En sciences pysiques, n écrit +. f f + ) f ) f ' ) + ε ) f ' ) + ε ). et f f ' ) pur visin de 0. T f ') m + d) Fnctin dérivée. Déf : Sit E un intervlle u une réunin d'intervlles. L fnctin f est dérivble sur E si et seulement si f est dérivble en tut réel de E. L fnctin ntée f ' u df définie sur E pr fi f ') est ppelée l fnctin dérivée de f. d f ) f ') ensemble de dérivbilité k 0 IR 1 IR n, n IN n n 1 IR 1 1 ] ; 0 [ ]0 ; + [ ² n 1 n n, n IN n n n -1 ] ; 0 [ ]0 ; + [ 1 ]0 ; + [ 2 sin cs IR cs sin IR tn 1 cs ² 1 + tn² IR { π 2 + k π } pur l dérivée de n vec n Z, n n n 1 vec cmme dmine de dérivbilité IR si n > 0 et IR* si n < 0.

5 Déf : Sit une fnctin f dérivble sur un ensemble E. Si l fnctin f ' est elle-même dérivble sur E, s fnctin dérivée est ppelée dérivée secnde de f et est ntée f '' u f 2). e) Dérivées et pértins. T : si u et v snt des fnctins dérivbles sur un intervlle I: l fnctin u + v est dérivble sur I et u + v) ' u ' + v ' l fnctin k u est dérivble sur I et k u )' k. u ', k étnt une cnstnte réelle l fnctin u v est dérivble sur I et u. v ) ' u '. v + u. v ' l fnctin 1 u est dérivble sur I si u ne s'nnule ps sur I et 1 ' u ' l fnctin u v u est dérivble sur I si v ne s'nnule ps sur I et u v u ² ' u' v u v ' v² Crllire : Les fnctins plynômes et rtinnelles snt dérivbles sur tut intervlle ù elles snt définies. eemple f ) 3 4 ² 9 si 3 et -3 c'est de l frme u vec u 3 4 dnc u' 3 v v ² 9 dnc v' 2 u'v u v' 3 ² 9) 3 4) 2-3 ² f ') v ² ² 9) ² ² 9) ² si 3 et -3 T : Si u est une fnctin dérivble sur un intervlle I et v une fnctin dérivble sur un intervlle J vec ui) J. lrs f v u est dérivble sur I et, pur tut de I : f ') v' u)) u'). Crllire : Sit u une fnctin dérivble sur un intervlle I. pur tut n de IN, u n )' n u n 1 u' pur tut entier négtif et si u ne s'nnule ps sur I, u n )' n u n 1 u' sin u) ' cs u u' cs u) ' - sin u u' u' si u est strictement psitive lrs u est dérivble et u) ' 2 u. eemple f ) 2 ² 8 f u vec u 2 ² 8. u est dérivble sur IR et u' 4 et l fnctin rcine crrée est dérivble sur ]0 ; + [. u est psitif si 2 ² 4) > 0 c'est-à-dire si ² > 4 dnc si ]- ; -2[ ]2 ; + [. u' si ]- ; -2[ ]2 ; + [, f ' ) 2 u ² ² 8 ttentin f est définie en +2 et en 2, mis elle n'y est ps dérivble. 4 ) Etude du sens de vritin. T : Sit f une fnctin dérivble sur un intervlle I. Si f est crissnte sur I, lrs, pur tut de I, f ' ) 0. Si f est décrissnte sur I, lrs, pur tut de I, f ' ) 0. Si f est cnstnte sur I, lrs, pur tut de I, f ' ) 0. T : Sit f une fnctin dérivble sur un intervlle I. Si pur tut de I, f ') 0, lrs f est cnstnte sur I. Si pur tut de I, f ') 0, lrs f est crissnte sur I. Si pur tut de I, f ') 0, lrs f est décrissnte sur I.

6 T : Sit f une fnctin dérivble sur un intervlle I. Si pur tut de I, f ') > 0, suf peut-être en un nmbre fini de réels ù f ' s'nnulerit, lrs f est strictement crissnte sur I. Si pur tut de I, f ') < 0, suf peut-être en un nmbre fini de réels ù f ' s'nnulerit, lrs f est strictement décrissnte sur I. Crllire : Sit f une fnctin cntinue sur [ ; b] et dérivble sur ] ; b[ elle n'est ps frcément dérivble en et b). Si pur tut de ] ; b[, f ') > 0, lrs f est strictement crissnte sur [ ; b]. Si pur tut de ] ; b[, f ') < 0, lrs f est strictement décrissnte sur [ ; b]. Pur étudier les vritins d'une fnctin dérivble sur sn ensemble de définitin : n détermine l dérivée f ' de f. On étudie le signe de f ' sur d. On en déduit le sens de vritin de f sur ccun des intervlles ù le signe de f ' est cnstnt. T : Sit f une fnctin dérivble sur un intervlle uvert I cntennt un réel. Si f un mimum u un minimum en, lrs f ') 0. Si l dérivée f ' de f s'nnule en en cngent de signe, lrs f dmet un etremum lcl un mimum u un minimum) en. Eercice Etudier l dérivbilité de l fnctin f définie pr f ) ² définie sur ]- ; 2]. D'près le dessin, il semble que nus yns une tngente rizntle u blique en tus les pints suf les pints d'bscisse 0 u 2. f ) u vec u ² et u' - 3 ² + 4. u' f ser dnc dérivble qund u > 0 et n ur f ' ) 2 u u ² ² - + 2) > 0 0 et + 2 > 0) 0 et < 2) f est dnc déjà dérivble sur ]- ; 0[ ]0 ; 2[, mis n ne sit ps si elle est dérivble en 0 et en ² + 4 sur ]- ; 0[ ]0 ; 2 f ' ) ² Pur étudier l dérivbilité en 0 et en 2, il fut revenir à l définitin du nmbre dérivé. dérivbilité en 0 f 0 + ) f 0) ² - + 2) pur tut de ]- ;2] différent de 0 : pur simplifier l vleur bslue, nus devns étudier deu cs: f 0 + ) f 0) si > 0 et lrs f 0 + ) f 0) et lrs lim 2 f est dnc dérivble à drite en si < 0 - et lrs f 0 + ) f 0) f 0 + ) f 0) et lrs lim 2 f est dnc dérivble à guce en les deu limites à drite et à guce snt différentes, f n'est ps dérivble en 0 et nus vns deu demi-tngentes. f 2 + ) f 2) -2 + ) ) ² 2 + ) ² dérivbilité en 2. pur visin de 2, 2 + > 0 r 2 + < 2 dnc < 0 f 2 + ) f 2) 2 + ) f 2 + ) f 2) n ur dnc lim - - ) ² - 0 f n'est dnc ps dérivble à guce en 2, mis l curbe y dmet une demi-tngente verticle