I) A quoi sert la géométrie vectorielle?

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1 FIHE METHOE sr la GEOMETRIE VETORIELLE I) qoi sert la géométrie ectorielle? Exemples : 1La itesse d corant est représentée par le ecter V,celle d nager par rapport à l ea V. R 2 V V R 1 En qel point de la rie R 2 le nager a t-il arrier? 2 3 cordes sont liées a point M. 2 tirers T1 et T2 exercent les forces représentées par F 1 et F 2. Représenter la force F 3 qe doit exercer Le 3 ème tirer T3 por «éqilibrer» les 2 atres. M F 2 F 1 3 et EF sont des parallélogrammes! Qe semble t-il por EF? F E 4 Le qadrillage ci contre est réglier! Qe semble t-il por les points Les points, et?

2 b) Remarqes : e nombrex phénomènes natrels sont caractérisés par la combinaison de trois choses, qi sont ne «direction», n «sens» selon cette direction et ne «intensité». Par exemple, n train qi role selon la direction «Paris-Lille», dans le sens «Lille ers Paris», à la itesse de 3 km.h -1. Une gotte d ea qi tombe selon la direction «erticale» dans le sens «hat-bas» à la itesse de 1 m.s -1. Une force d attraction exercée par le soleil sr la terre selon la direction de la droite joignant le centre de la terre et celi d soleil, dans le sens «terre ers soleil» et aec l intensité F = 6, masse terre masse soleil ( loi de Newton ). ( distance terre soleil)² hacn de ces phénomènes pet être représenté par ne «flèche» appelée «ecter». e ecter ayant ne certaine direction, n certain sens, et ne certaine longer ( représentant l intensité d phénomène ). On pet ainsi énoncer beacop de loi natrelles en tilisant la notion de ecters. Les mathématiciens tilisent assi les ecters, car ils permettent de raccorcir la longer des démonstrations, en effet, dire de dex ecters q ils sont égax, c est dire 3 choses en ne sele ( même direction, même sens et même longer ). Les ecters permettent assi de transformer des problèmes de raisonnement de géométrie en des problèmes de calcls aec des ecters ce qi parfois simplifie la tache. Finalement, les ecters permettent de conceoir les repères dans lesqels ont pet associer des coordonnées à chaqe point et ainsi ramener n problème de géométrie à n problème de calcl sr des nombres! insi, les ecters serent assi bien ax physiciens à exprimer des lois natrelles q ax Mathématiciens à exprimer des propriétés, des théorèmes et à faire des démonstration. Les ecters permettent de résodre des problèmes de géométrie par des calcls aec des ecters o aec des nombres. Il fat alors apprendre qelqes définitions et propriétés por tiliser cet otil. II) Q est ce qe la géométrie ectorielle? éfinition 1 : ( EGLITE E 2 VETEURS U PLN ) Soient,, et qatre points distincts d plan. Les ecters et sont égax éqiat à ( 3 choses ) _ et ont même direction ( les droites () et () sont parallèles ). et ont même sens. et ont même longer. ( = ) On note = = et on dit qe et sont dex représentants d ecter. est le représentant d origine et d extrémité. éfinition 2 : ( VETEUR NUL ) Soit n ecter de représentant. Si et sont confonds ( = ) alors on dit qe est le ecter nl et on note =. trement dit : = éqiat à =. Exemples : 1 = 2 MM =

3 éfinition 3 : ( NORME UN VETEUR ) Soit n ecter et n représentant de. La norme d ecter est notée ( «norme de» ) et est égale à la longer. éfinition 4 : ( SOMME E EUX VETEURS ) Soient et dex ecters d plan. On appelle somme des ecters et le ecter noté + et tel qe : étant n point d plan. et étant dex points tels qe : = et = + On a : + =. On a donc por tos les points, et d plan ( appelée relation de hasles ) + = Propriété 1 : ( OMMUTTIVITE E L ITION ). Soient et dex ecters d plan. On a : + = + Pree : Soient, et tels qe =, = et + = et tels qe =, = et + = Montrons qe =. On a : = = onc : = et les segments [] et [] sont parallèles. onc est n parallélogramme. e même on montre qe est n parallèlogramme onclsion : = et + = +. Remarqe : ans le parallélogramme on a : + = + =. Propriété 2 : ( VETEUR ET PRLLELOGRMME ). Les cinq phrases siantes sont éqialentes : 1) =. 2) est n parallélogramme. 3) [] et [] ont même milie. 4) est l image de par la translation de ecter. 5) + =. Pree : ( admis ) I éfinition 4 : ( OPPOSE UN VETEUR ) Soit n ecter et n représentant de. L opposé d ecter est noté - et dont n représentant est le ecter. - - Remarqe : et - ont même direction, même norme, mais ont des sens opposés.

4 Propriété 3 : ( SOMME E VETEURS OPPOSES ). Qel qe soit le ecter on a : Pree : Soit n représentant de, on a + (- ) = + (- ) = + = =.Q.F.. éfinition 5 : ( IFFERENE E EUX VETEURS ) Soient et dex ecters d plan. On appelle différence des ecters et le ecter noté tel qe : = + ( - ) - éfinition 6 : ( MULTIPLITION UN VETEUR PR UNNOMRE ) Soient n ecter et k n nombre réel. On appelle prodit d ecter par le nombre k, le ecter noté k et défini par : Si = lors k = Si et k > lors k a : _Por direction : la direction de _Por sens : le sens de _Por norme : le prodit k. Si et k < lors k a : _Por direction : la direction de _Por sens : le sens opposé à celi de _Por norme : le prodit k. k ( k < ) k ( k > ) Remarqes : On a : 1 = ; (-1) = - ; k = k. Propriété 4 : ( LUL VETORIEL ). Qel qe soit les ecter et et les réels k et k on a : 1) k ( + ) = k + k. 2) ( k + k ) = k + k. 3) k( k ) = kk 4) k = k = o = Pree : ( admis ) Exemples : = 3( + ) = = (3 +5 ) = ( 2 3 ) = (2 2 3 ) = 4. 3

5 éfinition 6 : ( VETEURS OLINEIRES ) Soient et dex ecters d plan. On dit qe et sont colinéaires si et selement si : O bien l n des dex ecters est nl O bien ni, ni n est nl et il existe n nombre réel k tel qe = k. Propriété 5 : ( PRLLELISME E EUX ROITES ). Soient,, et qatre points aec et. Soient les dex droites () et ().. () et () sont parallèles éqiat à et sont colinéaires. Pree : Spposons et colinéaires. et ne sont pas nl car et donc Il existe n réel k tel qe = k donc et ont même direction, donc () et () sont parallèles. Réciproqement : Spposons qe () et () soient parallèles..les ecters et ont donc même direction..istingons 2 cas : as 1 : Si et ont même sens : Posons le nombre k = donc et considérons le ecter a même direction qe, même sens qe = k. et il a por norme = a même direction, même sens et même norme qe donc il est égal à = = k ( il existe bien n nombre k tel qe = k ) as 2 : Si et ont des sens contraires : Posons le nombre k = et considérons le ecter - = k. a même direction qe donc même direction qe. a n sens contraire à celi de donc même sens qe a por norme = a même direction, même sens et même norme qe donc il est égal à donc = - = k ( il existe bien n nombre k tel qe = k ). ans les dex cas il existe n réel k tel qe = k, donc et sont colinéaires..q.f..

6 Propriété 6 : ( LIGNEMENT E TROIS POINTS ). Soient, et trois points aec et., et sont alignés éqiat à et sont colinéaires. Pree : Spposons et colinéaires. et ne sont pas nl car et donc Il existe n réel k tel qe = k donc et ont même direction, donc () et () sont parallèles or appartient ax dex droites donc les dex droites sont confondes et, et sont bien alignées. Réciproqement : Spposons qe, et soient alignées. Les droite () et () sont donc confondes donc parallèles. onc, d après la propriété 5, il existe n réel k tel qe = k donc et sont colinéaires..q.f..