Programmation dynamique

Transcription

1 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Ié s Progrmmtion ynmiqu Déomposition 'un prolèm n sousprolèms Suvgrr ls résultts prtils Exmpl simpl: Clul réursif u nomr Fioni fontion f(n) si n = rnvoi sinon si n = rnvoi sinon rnvoi f(n-) + f(n-) Exmpl simpl: Clul réursif u nomr Fioni L tmps lul vérifi l réurrn T(n) = T(n-) + T(n-) C qui onn T(n) = O( n ). L'pproh st on muvis Exmpl simpl: Clul réursif u nomr Fioni f(5) f(4) f() f() f() f() f() Clul s nomrs Fioni pr progrmmtion ynmiqu Prtir s ptits vlurs pour rrivr à l vlur finl Stokr hqu vlur pour pouvoir ls utilisr plusiurs fois Evitr ls luls répétitifs f() f() C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"

2 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Clul s nomrs Fioni pr progrmmtion ynmiqu Plus longu sous-séqun ommun f tlu longuur n f[] = f[] = pour i = à n fir f[i] = f[i-] + f[i-] rnvoi f[n] L'ntré u prolèm onsist n ux hîns rtèrs. x: S= n S=. Il fut trouvr l plus longu séqun rtèrs qui st à l fois un sousséqun S t S. L istn 'éition ntr S t S st éfini omm l nomr miniml rtèrs à nlvr S puis à lui rjoutr pour otnir S. Plus longu sous-séqun ommun S: S: Sous-séqun longuur 4 On put otnir S n nlvnt rtèrs S puis n lui n rjoutnt utrs. Distn 'éition infériur à 6. Plus longu sous-séqun ommun Théorèm Soit n l longuur S t n l longuur S. L istn 'éition ntr S t S st égl à n + n L, où L st l longuur l plus longu sous séqun ommun. Pruv S'il y un sous séqun ommun longuur L, on otint S à prtir S n nlvnt ls n -L rtèrs S qui n sont ps ns l sous-séqun ommun puis n rjoutnt ls n -L rtèrs S qui n sont ps ns tt sous-séqun. Pruv (réiproqu) On onsièr l suit trnsformtion qui prmt pssr S à S. Un rtèr qui st jouté n'st jmis supprimé (sinon, l'éition n srit ps miniml). On put réorgnisr ls trnsformtions fçon à fir touts ls supprssions puis touts ls insrtions. A l fin l phs s supprssions, on in sûr un sousséqun ommun longuur L. Si on S supprssions t I insrtions, on n - S = L t L + I = n L longuur 'éition st S + I = (n -L) + n L Sous prolèm pour l progrmmtion ynmiqu S[] S[] S[] S[i] S[n ] S[] S[] S[] S[j] S[n ] Prolèm P(i,j) éfini pr - l sous-hîn s i prmirs rtèrs S - l sous-hîn s j prmirs rtèrs S C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"

3 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Résolution : réurrn Exmpl résolution Si S[i] = S[j] P(i,j) = + P(i-, j-) Sinon P(i,j) = mx { P(i,j-), P(i-, j) } L s (i,j) ontint l solution u prolèm P(i,j) L rnièr s l mtri ontint l solution u prolèm Complxité O(mn) n tmps O(mn) n sp 0 4 Ltur 'un sous-séqun mximl Vision grphiqu Rtrouvr ls éisions qui ont prmis 'outir à l rnièr s Complxité O(m+n) n tmps Vision grphiqu Plus ourts hmins t progrmmtion ynmiqu Plus long hlin ns un grph sns iruit Coût nul pour ls rs horizontux t vrtiux Coût unitir pour ls rs igonux,,, 4, 5, 6, 7,, 7,, 7,,4 7,4,5 7,5,6 7,6,7 7,7 Ls lgorithms lul s plus ourts hmins sont s lgorithms progrmmtion ynmiqu. Pour lulr l plus ourt hmin ntr s t x ns un grph sns iruit, on utilis ls plus ourts hmins ntr s t tous ls prééssurs x. Dns l'lgorithm For-Bllmn, on utilis ls plus ourts hmins à k- rs pour lulr ls plus ourts hmins à k rs. C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"

4 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Grph 'étts Ls sous-prolèms sont ssimilés à s étts. Algorithm A* Aélérr l rhrh 'un plus ourt hmin ntr un sommt initil t trminl. Crtins rnhs l'rr Dijkstr prtnt ns l muvis irtion. Dstintion Algorithm A* Au liu 'utilisr l'évlution à l Dijkstr pour ls sommts l orur, utilisr un huristiqu qui stim l istn à l stintion. Exmpl: istn uliinn à l stintion pour un grph routir L'rorsn s évlopp prioritirmnt n irtion l stintion. Algorithm A* Il s'git 'un huristiqu L'lgorithm n'st ps ssuré trouvr l'optimum. L'lgorithm trouv un solution s'il fit un prours omplt l omposnt onnx. Dstintion Algorithm A* L'évlution put êtr utilisé ns l s 'un lgorithm xt. h t (x) st un orn infériur l istn à l stintion t on onnît un orn supériur UB l istn s (t) ntr s t t (onné pr l'pproh huristiqu) si s (x) + h t (x) UB lors l sommt x put êtr supprimé l orur x UB Dstintion Prolèm u s à os Un s pité C n ojts Pois i Vlur v i Séltionnr un sousnsml A 'ojts pour mximisr l vlur mporté mx i A v i s.. i A i C C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"

5 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Prolèm u s à os: Réurrn Sous-prolèm P(i,K) pour i n t K C. Suls ls i prmirs ojts sont onsiérés. L s st pité K. P(i,K) orrspon à l vlur mximl Réurrn Si l'ojt i st ns l s P(i,K) = v i + P(i-, K - i ) Sinon, P(i,K) = P(i-, K) P(i,K) = mx { v i + P(i-, K i ), P(i-, K) } Conitions limits P(0, K) = 0 P(i,0) = 0 t P(i,K)= si K < 0 Prolèm u s à os: Complxité L tlu possè n x C ss. Chqu vlur st lulé n O(). (?) Complxité O(nC) n tmps O(nC) n sp Cog l'instn Instn onné pr (C,,v,,v,... n,v n ) Till l'instn n O(log(C) + n log(mx {v i, i }) En O(n) si on suppos l till s ntirs fixs L'lgorithm n'st ps polynomil! Algorithm psuopolynomil Un lgorithm st psuopolynomil s'il st polynomil lorsqu l'ntré st oé mnièr unir Co unir = IIIIIIIIIII Co inir = 00 Autrmnt it, un lgorithm psuopolynomil oit voir un tmps 'xéution orné pr un polynôm n l till l'instn t n l vlur s prmètrs numériqus Algorithm psuopolynomil L prolèm u s à os st on psuopolynomil Il n'xist ps (à jour) 'lgorithm polynomil pour prolèm. Il st onjturé qu'il n'n xist ps (P =? NP) Prolèm u lot ynmiqu (TD) Plnifition l proution Division l'horizon n T périos Un pério rprésnt un smin ou un mois Pour hqu pério t, on oit étrminr l quntité x t à prouir. Pour hqu pério t, on onnît L oût proution vut K t + t x t si x t > 0 t st nul si rin n'st prouit. L oût stokg h t (invntir n fin pério) Prolèm u lot ynmiqu (TD) A l fin hqu pério, on msur l quntité y t prouit qui n' ps été onsommé. L oût stokg st stimé à y t h t Erir l loi onsrvtion l mtièr ntr ux périos onséutivs. L mn stimé t C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"

6 Eol Ntionl Supériur Thniqus Avnés (ENSTA) - Prolèm u lot ynmiqu (TD) Prolèm u lot ynmiqu (TD) Montrr qu si touts ls vlurs K t sont nulls, l prolèm s moélis omm un prolèm flot à oût miniml. On onsièr qu'il xist K t >0. Montrr qu ns un solution optiml, on y t- x t = 0 Prolèm u lot ynmiqu (TD) Form u flot ns l grph Prolèm u lot ynmiqu (TD) En éuir un lgorithm. C oumnt st mis à votr isposition pr l'ensta sous ouvrt l lin "Crtiv Commons"