Chapitre 6: Graphes eulériens et hamiltoniens

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1 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 36 Cpitr 6: Grps ulérins t miltonins 6.1 Introution t ls prmièrs éinitions Introution L t nissn l téori s rps put êtr ixé à l'nné L'istoir ront qu ls itnts Könisr n Pruss (mintnnt C Klininr n Russi) souitint svoir s'il xistit un moyn prtir z soi, mpruntr tous ls 7 ponts, un ois t un sul, t rvnir ns s mur. A D Lonr Eulr, mtémtiin âlois, montr qu 'étit impossil t ut mné B pour l à introuir ls prmirs ruimnts téori s rps, ont ll yl ulérin qui v êtr éini i-ssous. Rppls Un min st un suit sommts rliés pr s rêts. Un yl st un min rmé. Déinitions Un min ulérin st un min ns l rp qui pss pr touts ls rêts just un sul ois. Si min st rmé, on prlr yl ulérin. Un min miltonin st un min ns l rp qui pss pr tous ls sommts un t un sul ois. Si min st rmé (i.. il xist un rêt rlint l sommt éprt u sommt 'rrivé), on prlr yl miltonin. Un rp st it miltonin s'il possè un yl miltonin. Un rp st it ulérin s'il possè un yl ulérin. Exmpl: min ulérin: ps yl ulérin min miltonin: ---- yl miltonin: ---- Exri 70 À Klininr, il y ujour'ui ux ponts plus qu ls spt qui ont été onstruits u XVIII sièl. Cs ux nouvux ponts ont l jontion rsptivmnt ntr ls réions B t C t ls réions B t D. Est-il possil à un promnur trvrsr ls nu ponts Klininr un ois sulmnt t rvnir à son point éprt? Option spéiiqu JtJ 2012

2 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 37 Exri 71 Prmi ls rps suivnts, lsquls ontinnnt un min ulérin ou min miltonin? Prmi ux-i, lsquls sont s rps ulérins ou rps miltonins. ) ) ) Exri 72 On ispos 'un il r 120 m. ) Est- possil préprr un rss u 10 m ôté sns oupr l il? ) Si non, omin oups isux ut-il ir u minimum? Exri 73 On onsièr s ominos ont ls s sont numérotés à l i ux irs oisis ntr 1 t 6. On préis qu il n y jmis ux ominos intiqus. ) En xlunt ls ominos ouls (2 ois l mêm ir), omin ominos ispos-t-on? ) Put-on rrnr s ominos çon à ormr un oul rmé (n utilisnt l rèl itull ontt ntr ls ominos). ) Si l'on prn mintnnt s ominos ont ls s sont numérotés 1 à n, st-il toujours possil ls rrnr çon à ormr un oul rmé? ) Pourquoi n'st-il ps néssir onsiérr ls ominos ouls? L jun ill ux ominos 'Alrt Ankr Ls ominos sont à l'oriin un moiition inois u ju és inin. L é inin st onnu n Europ omm é à six s ; il étit utilisé n In notmmnt pour l Cturn, l'un s nêtrs u ju 'é. Ls Cinois ont trnsormé s és n piès plts révrsils rprésntnt s points. En énérl, l nomr points v 0 à 6, mis on trouv s vrints llnt 0 à 9, 0 à 12, 0 à 15 t 0 à 18. L mot «omino» provinrit l similitu ntr ls piès u ju (rto ln, vrso noir) t l'it s rliiux ominiins (lqul st ln, mis put êtr rouvrt 'un p noir srvnt mntu). Option spéiiqu JtJ 2012

3 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS Conitions néssirs t suisnts pour l'xistn yls ulérins Qu put-on ir 'un multirp onnté qui urit un yl ulérin? Il xist s ritèrs s qui prmttnt étrminr si un multirp ontint un yl ulérin (ou un min ulérin). Eulr éouvrit s ritèrs lorsqu'il résolut l mux prolèm s ponts Könisr. On supposr qu tous ls rps tt stion ont un nomr ini sommts t 'rêts. Conition néssir : Un rp ontnnt un yl ulérin mt pour qu sommt un ré pir. Pour l émontrr, on not 'or qu'un yl ulérin ommn v un sommt, pss pr un rêt inint à, isons { ; }. Ctt rêt ontriu pour 1 à (). Cqu ois qu'un yl pss pr un sommt, il ontriu pour 2 u ré sommt, puisqu l yl rriv pr un rêt inint à sommt t rprt pr un utr rêt inint. Finlmnt, l yl s trmin u point où il ommné, ontriunt nor un ois pour 1 u (). Pr suit, () oit êtr pir, puisqu l yl ontriu pour 1 qun il ommn, pour 1 qun il s trmin t pour 2 qu ois qu'il pss pr (si 'st l s). Un sommt utr qu mt un ré pir pr qu l yl ontriur pour 2 à son ré qu ois qu'il pssr pr sommt. On onlut qu si un rp onnté omprn un yl ulérin, lors tous ls sommts oivnt voir s rés pirs. Est- qu'un yl ulérin xist toujours ns un multirp onnté si tous ss sommts sont ré pir? Aloritm pour onstruir un yl ulérin G Conition suisnt : Si tous ls sommts 'un rp sont ré pir, lors rp ontint un yl ulérin On suppos qu G st un multirp onnx t qu l ré qu sommt G st pir. On ormr un yl qui ommn à un sommt ritrir G. Soit x 0 =. D'or, on oisit ritrirmnt un rêt {x 0 ; x 1 } inint u sommt. On ontinu n onstruisnt un min {x 0 ; x 1 }, {x 1 ; x 2 },, {x n-1 ; x n } ussi lon qu possil. Pr xmpl, ns l rp G l iur i-ontr, on prt u sommt t on oisit un sussion 'rêts { ; }, { ; }, { ; } t { ; }. L min un in puisqu l rp un nomr ini 'rêts. Il ommn u sommt v un rêt l orm { ; x} t s trmin u sommt v un rêt l orm {y ; }. Ctt propriété vint u it qu qu ois qu l min pss pr un sommt ré pir, il utilis sulmnt un rêt pour prvnir à sommt, tll çon qu'il rst un rêt pour rprtir sommt. C min pourr prourir ou non touts ls rêts u rp. On ur onstruit un yl ulérin si touts ls rêts sont utilisés. Dns l s invrs, on onsièr l sous-rp H otnu à prtir G n éliminnt ls rêts éjà utilisés t ls sommts qui n sont Option spéiiqu JtJ 2012

4 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 39 inints à uun s rêts rstnts. Lorsqu'on supprim l yl,,,, à prtir u rp G, on otint l sous-rp H rprésnté sur l iur i-ontr. Puisqu G st onnx, H u moins un sommt n ommun v l yl qui été supprimé. Soit x j un tl sommt. (Dns t xmpl, st l sommt.) H Cqu sommt H un ré pir (pr qu tous ls sommts G ont un ré pir t qu, pour qu sommt, ls pirs 'rêts inints à sommt ont été supprimés pour ormr H). À notr qu H put êtr ou n ps êtr onnx. En ommnçnt u sommt x j, on onstruit mintnnt un min ns H n oisissnt ls rêts néssirs, omm l été it ns G. C min oit s trminr u sommt x j. Pr xmpl, ns l iur,,, st un min H. Ensuit, on orm un yl ns G n outnt l yl ns H v son yl oriinl ns G (tt onstrution st rélisl puisqu x j st l'un s sommts yl). On otint l yl,,,,,,,. I On ontinu prossus sur ls nouvux sous-rps jusqu'à qu touts ls rêts soint utilisés. (L prossus vr s trminr puisqu'il y un nomr ini 'rêts ns rp.) On otint insi un yl ulérin. Ct loritm montr qu si s sommts 'un multirp onnx ont tous un ré pir, lors rp ontint un yl ulérin. Cs résultts sont résumés ns l téorèm 1. Téorèm 1: Un multirp onnx mt un yl ulérin si t sulmnt si un ss sommts st ré pir. Option spéiiqu JtJ 2012

5 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 40 Exri 74 Dns qu rp suivnt, étrminr s'il ontint un yl ulérin Si oui, onstruir un tl yl n utilisnt l'loritm présnté issus. Si non, étrminr s'il ontint un min ulérin t onstruir un tl min s'il xist. i ) ) i ) Exri 75 D nomrux jux mnnt trr, sns lvr l ryon, un lin ontinu qui n rpss jmis pr l mêm min. On put résour s sss-têts n utilisnt ls yls ou ls mins ulérins. ) Montrr qu l ssin i-ssous put êtr tré ntièrmnt sns lvr l ryon. i j k ) En utilisnt l'loritm, présnté ns l pruv i-ssus, proposr un yl ulérin. ) Qu rprésnt ssin t qull n st s siniition? Exri 76 En ptnt ls ux étps (onitions néssirs t suisnts) l pruv u téorèm 1, émontrr l téorèm suivnt : Téorèm 2: Un multirp onnx mt un min ulérin t non un yl ulérin si t sulmnt s'il xtmnt ux sommts ré impir. Option spéiiqu JtJ 2012

6 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 41 Exri 77 L téorèm préént put-il s'ppliqur à un rp n ontnnt qu'un sul sommt ré impir? Exri 78 Un tur ésir ir s tourné sns pssr ux ois ns l mêm ru. Est- possil si s tourné ls proils suivnts (où qu ru st rprésnté pr un rêt): ) ) Exri 79 Un villur nuit, qui ispos 'un outt n D, oit visitr touts ls slls t vériir qu port, un t un sul ois puis rvnir n D. Qul prours lui proposz-vous? D B F C A Exri 80 Est-il possil trr un our, sns lvr l ryon, qui oup un s 16 smnts l iur suivnt? Exri 81 Quls sont ls rps omplts K n qui mttnt un yl ulérin? Option spéiiqu JtJ 2012

7 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS Cyl t mins miltonins On émontré ls onitions néssirs t suisnts pour l'xistn mins t yls ontnnt touts ls rêts 'un rp un ois sulmnt. Est-il possil 'étlir ls mêms onstts pour s yls ou s mins, mis qui omprnrint tt ois tous ls sommts 'un rp un ois sulmnt? Il s'ir on rrr s yls ou mins miltonins Willim Rown Hmilton ( ) Ctt trminoloi provint u ss-têt u «Tour u mon» invnté n 1857 pr l mtémtiin irlnis Sir Willim Rown Hmilton. L ju s présntit sous l orm 'un oéèr ois, 'st-à-ir un polyèr à 12 s n orm pnton réulir, omm ns l iur i-ssous. Ls 20 sommts oéèr portint ls noms s iérnts vills u mon. L ju onsistit à prtir 'un vill qulonqu t à voyr l lon s rêts u oéèr mnièr à pssr un ois sulmnt pr ls 19 utrs vills, puis rvnir u point éprt. On onsièr l qustion équivlnt suivnt: xist-t-il un yl ns l rp plnir u oéèr qui pss pr tous ls sommts un ois sulmnt? L répons st positiv, j vous liss n trouvr un ns l iur. Exist-t-il un çon simpl étrminr si un rp ontint un yl miltonin ou un min miltonin? À prmièr vu, il smlrit qu oui, puisqu'on put réponr simplmnt à l qustion similir svoir si un rp possè un yl ulérin. Cpnnt, il n'xist ps ritèrs néssirs t suisnts pour émontrr l'xistn yls miltonins, mêm si nomrux téorèms onnnt s onitions suisnts pour l'xistn tls yls. Nous n mntionnrons qu l téorèm suivnt (sns pruv). Téorèm Dir: 1952 Soit G un rp simpl v n 3 sommts. si (x) n/2 pour qu sommt, lors il st miltonin. Exri 82 Démontrr qu'un rp v un sommt ré 1 n put ontnir yl miltonin. Option spéiiqu JtJ 2012

8 CHAPITRE 6 GRAPHES EULERIENS ET HAMILTONIENS 43 Exri 83 Soit un rp iprti omplt K n,m Donnr t justiir ls onitions pour qu rp soit miltonin. Exri 84 Un mss inosti oit êtr nvoyé sur un résu inormtiqu in 'tur ls tsts tous ls trminux pr l iis 'un résu intrnt. Qull sort rp oit rprésntr l résu pour tstr tous ls lins intrnt? t pour tstr tous ls trminux? Exri 85 L prolèm u voyur ommr. V Étnt onnés 13 vills rliés pr s routs, un voyur ommr itnt l vill V put-il pssr pr qu vill un ois t un sul, n rntrnt z lui à l in son iruit? Not Bn : prolèm st onnu sous l nom u prolèm u voyur ommr. Et ujour'ui nor, on n onnît ps s solution énérl! Exri 86 Donnr un xmpl rp omportnt u moins six sommts tl qu: ) il st miltonin mis ps ulérin ; ) il st ulérin mis ps miltonin. Exri 87 L prolèm suivnt été étuié pr Eulr n 1759 : Pr s suts sussis sur un éiquir, l vlir oit pssr un t un sul ois pr touts ls ss t évntullmnt rvnir à son point éprt. Est- possil, t si oui, proposr l yl ou min orrsponnt (inition: l prmir sut st éjà proposé i-ssous). Option spéiiqu JtJ 2012