Chap.4 Aspects énergétiques de la dynamique (Part. 2) Energies potentielle et mécanique ; Stabilité d un équilibre

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1 Cha.4 Asects énergétiques de la dynamique (Part. 2) Energies otentielle et mécanique ; Stabilité d un équilibre 1. Forces conservatives - Energie otentielle 1.1. Forces conservatives - Forces non conservatives 1.2. Définition de l énergie otentielle du oint M soumis à une force conservative 1.3. Une force conservative dérive d une énergie otentielle 1.4. Energie otentielle de esanteur 1.5. Energie otentielle élastique 1.6. Energie otentielle totale du système 1.7. Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical 2. Théorème de l énergie mécanique 2.1. Interrétation hysique de l énergie otentielle 2.2. Définition de l énergie mécanique du oint M 2.3. Théorème de l énergie mécanique 2.4. Système en évolution conservative - Intégrale remière de l énergie 2.5. Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical 2.6. Exemle : endule simle 3. Evolution conservative : discussion grahique du mouvement 3.1. L énergie mécanique est toujours suérieure à l énergie otentielle 3.2. Discussion grahique de la nature du mouvement 3.3. Exemle : bille se délaçant sur un sol accidenté (creux et bosses) 3.4. Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical 3.5. Exemle : mouvement d un endule à tige rigide 4. Positions d équilibre du oint M - Stabilité, instabilité 4.1. Extremum d énergie otentielle : un critère d équilibre du oint M 4.2. Minimum ou maximum d énergie otentielle : un critère de stabilité de l équilibre 4.3. Retour sur les trois exemles 5. Portrait de hase : une nouvelle aroche grahique du mouvement 5.1. Etat mécanique du oint M : osition et vitesse 5.2. Intérêt du ortrait de hase 5.3. Proriétés du ortrait de hase 5.4. Exemle : mouvement du endule à tige rigide 1

2 Intro : Au chaitre récédent, on a défini l énergie cinétique d un oint matériel, la uissance et le travail d une force. Ces notions ont ermis de reformuler la RFD en termes de transfert et de variation d énergie (TPC et TEC). Cette nouvelle formulation des lois de la mécanique est articulièrement utile dans les roblèmes à un degré de liberté. De manière générale, le travail d une force (entre deux ositions, entre deux instants) est une quantité qui déend du chemin suivi ar le système. Certaines forces se distinguent ourtant des autres. Pour ces forces, dites conservatives, le travail ne déend as du chemin suivi, mais seulement des ositions initiale et finale du système. Dans le cas très articulier des forces conservatives, on va introduire dans ce chaitre deux nouvelles grandeurs énergétiques : l énergie otentielle et l énergie mécanique. Elles vont ermettre d établir un nouveau théorème : le Théorème de l Energie Mécanique. Equivalent au TEC, ce nouveau théorème ermet de discuter encore lus simlement la nature du mouvement. A l aide de ces nouveaux outils, on ourra discuter de la stabilité des ositions d équilibre accessibles au système. On terminera ar une nouvelle aroche grahique du mouvement : le ortrait de hase. On a vu que l alication du TPC est articulièrement utile our résoudre des roblèmes à un degré de liberté. Tout ce chaitre est limité aux roblèmes où seule une coordonnée ermet de reérer la osition du oint M. 1. Forces conservatives - Energie otentielle 1.1. Forces conservatives - Forces non conservatives La question de savoir si une force est ou non conservative est imortante. On remarquera que cette question n a un sens que si la force travaille. Les forces qui ne travaillent as ne sont jamais imliquées dans les raisonnements énergétiques. Quelques forces qui ne travaillent jamais : o la réaction normale du suort o la tension d un fil idéal o (la force magnétique) On a montré que le oids et la force de rael élastique sont des forces conservatives. Dans un remier tems, en exercice, on ne rencontrera que ces deux forces conservatives. Mais il en existe d autres : o la gravitation o la force de Coulomb (entre articules chargées) o les interactions nucléaires A notre niveau, les forces non conservatives sont les forces de frottements (fluide et solide) Définition de l énergie otentielle du oint M soumis à une force conservative On raelle que le travail est une quantité d énergie reçue ar le oint M sous l action d une force. Sur un trajet élémentaire, le travail élémentaire est une quantité élémentaire d énergie reçue ar le oint M. On a lourdement insisté au chaitre récédent sur la distinction entre : o quantité d énergie reçue ar le oint M (notations W et W) o et variation d énergie du oint M (notations dec et E c ) On considère à résent un oint matériel M soumis à une seule force, une force conservative. C est un roblème à un degré de liberté, on suose que la osition du oint est reérée ar la coordonnée x (cela ourrait être ou ). La force étant conservative, le travail entre deux ositions M 1 et M 2 rises ar le oint M au cours de son mouvement ne déend que des ositions M 1 et M 2. On eut alors considérer le travail d une force conservative comme la variation d une fonction de la osition : «f(x)». Au signe rès, cette fonction de la osition définit l énergie otentielle. 2

3 On définit l énergie otentielle E (x) du oint M à artir de la relation suivante : Sur un trajet élémentaire, la variation élémentaire de l énergie otentielle du oint M est égale à l oosé du travail élémentaire de la force conservative associée. Remarques : En intégrant sur un trajet fini, entre M 1 et M 2, on obtient la relation sous forme intégrale : W1 2 E avec E E x2 E x 1 On notera que l énergie otentielle étant définie à artir du travail, elle déend du référentiel. Ces relations ne sont généralement as utiles en exo. On ne calcule as le travail à artir de la variation d énergie otentielle, l intérêt rinciale de l énergie otentielle étant de ne lus s embêter à calculer le travail des forces conservatives. Quant à la définition, elle sert à démontrer les formules qui suivent Une force conservative dérive d une énergie otentielle Le but est ici d établir une formule reliant directement l énergie otentielle à la force associée. La formule générale utilise l oérateur «gradient», hors rogramme en ce début de su. Pour les mouvements à un degré de liberté, on eut heureusement s en asser. Les formules suivantes se démontrent à artir de la définition de l énergie otentielle. Elles sont données dans les cas où la osition de M est reérée ar une seule coordonnée (resectivement, ou, ou ). Relation «force rojeteé» - énergie otentielle C est ourquoi on dit d une force conservative «qu elle dérive d une énergie otentielle». Méthode our établir l exression mathématique de 1. Définir un reère, et identifier la coordonnée «qui fait travailler» la force 2. Utiliser une des formules ci-dessus, et la rimitiver 3. Déterminer la constante d intégration en fixant arbitrairement un oint de l esace à Cette dernière étae consiste à «définir l origine de l énergie otentielle» Il aaraît donc clairement que l énergie otentielle est une fonction de la osition qui n est définie qu à une constante rès. Cette constante n a aucune signification hysique, et eut-être choisie arbitrairement. On remarquera que l énergie otentielle étant une fonction uniquement de la osition, une force ne eut être conservative que si c est une fonction de la osition uniquement. On comrend mieux ici ourquoi les forces de frottements ne sont as des forces conservatives Energie otentielle de esanteur Etablir l exression de l énergie otentielle de esanteur en coordonnées cartésiennes. On la retiendra ar cœur, sans la redémontrer en exercice (sauf si exlicitement demandé) : E z mgz On retiendra aussi les conditions de validité de cette exression : o z est la coordonnée qui reère la osition du oint M selon la verticale o o l axe e z du reère cartésien est dirigé vers le haut l origine de l énergie otentielle est fixée à l origine du reère cartésien 3

4 1.5. Energie otentielle élastique On retiendra l exression de l énergie otentielle en fonction de la longueur du ressort : 1 E 2 k 0 2 On artira toujours de cette formule our exrimer ensuite l énergie otentielle en fonction de la coordonnée de osition utilisée dans le roblème. On retiendra aussi que : o Cette exression ne déend as du reère cartésien choisi (origine et direction des axes) o Elle est valable our une direction quelconque de l axe du ressort (horizontal, vertical ou autre) o Cette exression est établie en fixant l énergie otentielle nulle quand l allongement est nul 1.6. Energie otentielle totale du système Le travail de la somme des forces étant égal à la somme des travaux de chaque force, il en est de même our l énergie otentielle : l énergie otentielle totale du oint M est égale à la somme des énergies otentielles de chacune des forces conservatives Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical On considère un oint matériel M susendu à un ressort vertical dont une extrémité est fixée au lafond. Choisir l origine du reère de manière à simlifier les calculs qui suivent Etablir l exression de l énergie otentielle totale du oint M. 2. Théorème de l énergie mécanique 2.1. Interrétation hysique de l énergie otentielle Pour synthétiser ce que l on sait sur les trois formes d énergie que l on a introduites jusqu à résent (travail, énergie cinétique et énergie otentielle), on fait une analogie avec une cuve remlie d eau. On retiendra que : o Le oint M eut emmagasiner de l énergie sous deux formes : cinétique et otentielle o On arle donc de l énergie cinétique du oint M, de l énergie otentielle du oint M o Les forces conservatives ont our effet de convertir l énergie du oint M d une forme sous une autre forme au cours du mouvement. o On arle d énergie «otentielle» car c est une forme d énergie qui eut être otentiellement convertie en énergie cinétique sous l action des forces conservatives Définition de l énergie mécanique du oint M On définit l énergie totale du oint M, aelée énergie mécanique de l énergie otentielle :, comme la somme de l énergie cinétique et Les énergies cinétique et otentielle déendent du référentiel, donc l énergie mécanique déend du référentiel. 4

5 2.3. Théorème de l énergie mécanique Le TEM (res. TPM) découle directement du TEC (res. TPC) et de la définition de l énergie otentielle. Théorème de l énergie mécanique (forme instantanée) Dans un référentiel galiléen, la variation ar unité de tems de l énergie mécanique du oint M est égale à la uissance des forces non conservatives : Utilité : De la même manière que le TPC, le TPM ermet d obtenir l équation différentielle du mouvement. L avantage du TPM est qu il nous évite de calculer la uissance des forces conservatives, calcul remlacé ar celui des énergies otentielles associées (calcul lus simle, car des formules toutes rêtes). Remarque : On eut résenter le TPM sous une forme équivalente, inutile our les calculs de su, mais intéressante our l interrétation hysique en terme d échange d énergie. En introduisant les notations différentielles, on eut écrire que : La variation élémentaire de l énergie mécanique du oint M est égale au travail élémentaire des forces non-conservatives reçu ar le oint M endant une durée élémentaire. L énergie fournie ar les forces non conservatives, et reçue ar le oint M, est emmagasinée ar le oint M sous forme mécanique. Comme our le TEC, on eut exrimer ce théorème sur une durée finie, un trajet fini : Théorème de l énergie mécanique (forme intégrée dans le tems) Dans un référentiel galiléen, la variation de l énergie mécanique du oint M est égale au travail des forces non conservatives : Utilité : Sous cette forme intégrée dans le tems, le TEM n aorte as grand-chose ar raort au TEC. Il est ar contre très utile dans le cas des systèmes en évolution conservative Système en évolution conservative - Intégrale remière de l énergie On dit qu un oint matériel M est en évolution conservative lorsqu il n est soumis qu à des forces conservatives. Dans ce cas, l énergie mécanique du oint M se conserve : te E E E C La constante est fixée ar les conditions initiales. m c Cette équation simle est une intégrale remière du mouvement. On l aelle aussi une intégrale remière de l énergie. Exliquons ce que cela signifie. L énergie cinétique est fonction de la vitesse, et l énergie otentielle est fonction de la osition. Si l on aelle x la coordonnée qui ermet de reérer la osition du oint M, «E m = C te» est une équation différentielle du remier ordre où n aaraissent que x et x. Or cette relation a été démontrée à artir de la RFD, qui est une équation différentielle du second ordre. On comrend donc que cette relation est issue de la RFD arès avoir intégré une fois ar raort au tems. D où le nom d intégrale remière. Il existe d autres intégrales remières du mouvement. On aelle ainsi toute quantité qui est conservée au cours du mouvement, et qui n imlique que la osition et sa dérivée d ordre un ar raort au tems. 5

6 2.5. Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical On rerend l exemle du oint matériel susendu à un ressort vertical. Initialement, l allongement du ressort est égal à a. Etablir l exression de l énergie mécanique, et déterminer sa valeur au cours du mouvement. Retrouver l équation du mouvement (récédemment établie au cha.2 avec la RFD) Exemle : endule simle Etablir l exression de l énergie mécanique, et déterminer sa valeur au cours du mouvement, sachant qu initialement le endule est ositionné à = 0 avec une vitesse nulle. Retrouver l équation du mouvement (récédemment établie au cha.2 avec la RFD). 3. Evolution conservative : discussion grahique du mouvement Dans cette artie, on s intéresse à un oint matériel en évolution conservative. On va voir que l intégrale remière de l énergie ermet de discuter qualitativement du mouvement de manière très simle et intéressante L énergie mécanique est toujours suérieure à l énergie otentielle L énergie cinétique ne ouvant être que ositive ou nulle, l énergie mécanique est toujours suérieure ou égale à l énergie otentielle : Em E La discussion grahique du mouvement reose sur cette simle constatation Discussion grahique de la nature du mouvement La conservation de l énergie mécanique ermet de déterminer si le mouvement est borné ou non. On arle : o d état lié (mouvement borné) o d état libre ou d état de diffusion (mouvement non borné) La conservation de l énergie mécanique ermet aussi de discuter des évolutions conjointes de la osition et de la vitesse du oint M. Cette rerésentation grahique ermet enfin de reérer les ositions d équilibre accessibles au oint M. En conclusion, sans résoudre d équations on est caable de dégager certaines caractéristiques du mouvement. C est l intérêt des concets d énergie otentielle et d énergie mécanique aliqués aux systèmes en évolution conservative Exemle : bille se délaçant sur un sol accidenté (creux et bosses) On considère une bille roulant sur le un sol lat où aaraît successivement un creux uis une bosse. On suose qu au cours du mouvement la bille ne décolle as du sol. Discuter des mouvements ossibles de la bille en fonction des conditions initiales, de la rofondeur du creux et de la hauteur de la bosse Exemle : oint matériel susendu à un ressort vertical On rerend l exemle du ressort vertical. Tracer à la calculette la courbe d énergie otentielle (m = 1 kg et k = 100 N/m). Discuter la nature du mouvement. 6

7 3.5. Exemle : mouvement d un endule à tige rigide On considère à nouveau le mouvement du endule. On ne limite as l étude aux etits angles et la tige du endule est rigide. On considère toujours que la tension de la tige est colinéaire à la tige. Tracer à la calculette la courbe d énergie otentielle (m = 1 kg et L = 1m) et discuter de la nature du mouvement en fonction des conditions initiales. 4. Positions d équilibre du oint M - Stabilité, instabilité Les ositions d équilibre accessibles au oint M sont des cas articuliers qu il est intéressant d étudier. Les courbes d énergie otentielle ermettent de les reérer très facilement. Elles ermettent aussi de savoir si l équilibre est stable ou instable Extremum d énergie otentielle : un critère d équilibre du oint M Définition d une osition d équilibre On aelle osition d équilibre toute osition du oint M our laquelle la somme des forces qui lui sont aliquées est nulle. Si le oint M est initialement lacé dans cette osition sans vitesse initiale, il y demeure. D arès la relation entre la somme des forces conservatives et l énergie otentielle totale, une somme des forces nulle corresond à une dérivée nulle de l énergie otentielle. Proriété Une osition d équilibre corresond à un extremum d énergie otentielle Minimum ou maximum d énergie otentielle : un critère de stabilité de l équilibre Définition équilibre stable Une osition d équilibre est stable lorsque sous l effet d une etite erturbation les forces qui aaraissent tendent à ramener le oint M vers sa osition d équilibre. Définition équilibre instable Une osition d équilibre est instable lorsque sous l effet d une etite erturbation les forces qui aaraissent tendent à écarter le oint M de sa osition d équilibre. Proriétés Une osition d équilibre stable corresond à un minimum d énergie otentielle. Une osition d équilibre instable corresond à un maximum d énergie otentielle Retour sur les trois exemles Déterminer les ositions d équilibre et discuter de leur stabilité our les trois exemles de mouvement résentés récédemment. 7

8 5. Portrait de hase : une nouvelle aroche grahique du mouvement On se lace ici encore dans le cas d un mouvement à un degré de liberté. On note x la coordonnée reérant sa osition. L aroche grahique du mouvement ar le ortrait de hase n est as restreinte aux évolutions conservatives. On verra d ailleurs au chaitre suivant le ortrait de hase d un oscillateur harmonique amorti Etat mécanique du oint M : osition et vitesse Connaître la osition du oint M à l instant t n est as suffisant our déterminer la suite du mouvement, même si l on connaît les forces qui sont aliquées au oint M. On a vu qu il fallait connaître la osition et la vitesse du oint M à un instant initial our déterminer comlètement la trajectoire ultérieure. C est ourquoi on définit l état mécanique d un oint matériel ar le coule x, x dans les roblèmes à un degré de liberté. En connaissant l état du oint M à un instant t, tous les états ultérieurs du oint M sont déterminés si les forces aliquées au cours du mouvement sont connues. C est ce qu on a aelé au chaitre 4 le déterminisme mécanique Intérêt du ortrait de hase On comrend alors qu un grahique rerésentant tous les états mécaniques ris ar le oint M au cours du tems est riche d information. Un tel grahique, rerésentant la vitesse en fonction de la osition x f x, s aelle trajectoire de hase. Elle rerésente l ensemble des états du oint M au cours du tems. On sait que le mouvement du oint M déend des conditions initiales, de l état initial. On eut tracer sur une même figure lusieurs trajectoires de hase, chacune corresondant à des conditions initiales articulières. L ensemble de ces courbes s aelle le ortrait de hase. En définitive, sur une seule figure, on eut rerésenter tous les tyes de mouvements accessibles au oint M comte tenu des forces qui lui sont aliquées. C est tout l intérêt du ortrait de hase : synthétiser tout ce que l on eut savoir sur le mouvement du oint M Proriétés du ortrait de hase A notre niveau, il nous faut juste savoir lire un ortrait de hase, savoir l interréter. On retiendra les définitions et roriétés suivantes, valables our tous les ortraits de hase. Dans le demi-esace suérieur, la trajectoire de hase est arcourue de gauche à droite. Dans le demi-esace inférieur, la trajectoire de hase est arcourue de droite à gauche. Les oints singuliers sont les oints our lesquels x 0 et x 0. Ce sont les ositions d équilibre. L intersection de la trajectoire de hase avec l axe des abscisses corresond à un oint de rebroussement. En-dehors des oints singuliers, l intersection de la trajectoire de hase avec l axe des abscisses résente une tangente verticale. En-dehors des oints singuliers, deux trajectoires de hase ne euvent as se croiser. Un ortrait de hase symétrique ar raort à l axe des abscisses traduit la réversibilité du mouvement. Une osition d équilibre stable est une trajectoire de hase réduite à un oint sur l axe des abscisses. Un mouvement ériodique corresond à une trajectoire de hase fermée. Lors d un mouvement ériodique, la trajectoire de hase est toujours arcourue dans le sens horaire. Un mouvement d oscillations ériodiques autour d une osition d équilibre stable corresond à une trajectoire de hase fermée centrée sur la osition d équilibre. La trajectoire de hase séarant les mouvements bornés des mouvements non bornés est une séaratrice. Elle relie entre elles les ositions d équilibre instables. 8

9 5.4. Exemle : mouvement du endule à tige rigide La figure rerésente le ortrait de hase du endule (en haut), mis en arallèle avec le diagramme d énergie otentielle (en bas). On raelle que le endule est en évolution conservative, donc une trajectoire de hase corresond à une valeur fixée de l énergie mécanique. On notera que la vitesse angulaire (en ordonnée) a été multiliée ar une constante. Cela ne change rien aux roriétés du ortrait de hase énoncées récédemment. Reérer sur cet exemle les différentes roriétés du ortrait de hase, et discuter de la nature du mouvement en fonction des différentes conditions initiales (courbes numérotées de 1 à 4). Notions clefs Savoirs : Définitions de E et E m (+ interrétation hysique) Relation entre la rojection de la force et l énergie otentielle Exression de E our le oids et le ressort + conditions de validité des exressions Enoncés du TEM (formulation instantanée, et intégrale + interrétation hysique) Cas d une évolution conservative : E m se conserve Définitions ositions d équilibre, stabilité / instabilité Définitions et roriétés du ortrait de hase Savoirs faire : Redémontrer l exression de E our le oids et le ressort Etablir l exression de E m selon la situation étudiée + déterminer la constante (cas conservatif) Déterminer ositions d équilibre et étudier leur stabilité, ar le calcul Lire et interréter un diagramme d énergie otentielle (cas conservatif) Lire et interréter un ortrait de hase 9