Dénombrement. I Ensemble fini et cardinal. Plan de cours. A Cardinal d un ensemble fini

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1 A Dénombrement Plan de cours «Il n y a rien de lus triste qu une vie sans hasard.» Honoré de Balzac I Ensemble fini et cardinal A Cardinal d un ensemble fini B Proriétés C Cardinal et alications D Cardinal de l ensemble des arties II Dénombrement A Modélisation B Arrangements C Permutations D Combinaisons III Proosition d exercices I Ensemble fini et cardinal A Cardinal d un ensemble fini Définition A.1 On dit qu un ensemble E est un ensemble fini s il est vide ou s il existe un entier naturel n non nul et une bijection de E dans 1, n. L entier n est alors aelé cardinal de E et noté (au choix) : card(e), E ou bien #E. Par convention, card( ) = 0. Le cardinal d un ensemble fini corresond intuitivement à son nombre d éléments. Exemle Si E = {a, b, c} avec a, b et c distincts, card(e) = 3. En effet, on eut considérer la bijection suivante : f : {a, b, c} {1, 2, 3} avec f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3 Il eut exister lusieurs bijections (il y en a exactement n! comme nous le verrons lus tard) mais l entier n est unique. Donner une telle bijection revient à énumérer (comter) les éléments de E. Si E contient n éléments, on ourra oser : E = {x 1,..., x n } En ratique, on donnera rarement une telle bijection our déterminer le cardinal d un ensemble fini mais cette idée est à garder en tête our le cours de deuxième année. Exercice 1 Déterminer le cardinal de E dans les trois cas suivants our n et, q : E = 1, n; E = n, n; E =, q avec q Théorème A.2 Deux ensembles finis E et F ont même cardinal si et seulement s il existe une bijection de E dans F. 1

2 ANNEXE A. DÉNOMBREMENT = Soient ϕ : E 0, n et ψ : F 0, n deux bijections. L alication ψ 1 ϕ : E F est bijective comme comosée de bijections. = E est un ensemble fini donc il existe ϕ : E 1, n bijective avec n = card(e). Notons θ une bijection de E dans F. ϕ θ 1 : F 1, n est une bijection donc F est de cardinal n. B Proriétés Théorème A.3 Soient E et F deux ensembles finis disjoints (c est-à-dire E F = ). E F est alors un ensemble fini et card(e F) = card(e) + card(f). On en déduit ar récurrence le corollaire suivant : Corollaire A.4 n Si E 1,..., E n sont n ensembles deux à deux disjoints, alors E 1... E n = E k est un ensemble fini et : n n card E k = card(e k ) k=1 k=1 k=1 Proosition A.5 Soit F E avec E est un ensemble fini. Alors F est un ensemble fini et card(f) card(e). De lus, card(f) = card(e) si et seulement si F = E. S en suivent un certain nombre de roriétés. Proosition A.6 Soient A, B et C trois arties d un ensemble fini E. On a alors : (i) card A = card(e) card(a) ; (ii) card(a \ B) = card(a) card(a B) ; (iii) card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) ; (iv) card(a B C) = card(a) + card(b) + card(c) card(a B) card(a C) card(b C) + card(a B C). Des dessins sont souvent lus utiles que des formules comliquées! (i) A et A sont disjoints et on a E = A A, donc card(e) = card(a) + card(a) ; (ii) A = (A \ B) (A B) et l union est disjointe (là encore, faire un dessin) ; (iii) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) et l union est disjointe. On a donc card(a B) = card(a \ B) + card(a B) + card(b \ A) (iv) Le rincie est identique. = card(a) + card(b) card(a B); Exemles Dans une classe, 25 élèves suivent des cours d anglais, 12 des cours d esagnols et 8 les deux cours de langues. Combien y a-t-il d élèves dans la classe? Il y a 29 élèves. Dans une classe de 36 élèves, 22 élèves ratiquent l anglais, 18 l esagnol, 22 l allemand, 10 suivent les cours d anglais/allemand, 9 d allemand/esagnol et enfin 11 d anglais/esagnol. Combien d élèves ratiquent trois langues vivantes? Il y a 4 élèves réellement motivés ar les langues

3 Mickaël PROST Lycée Chatal PT* Définition A.7 : Partition d un ensemble Soit n. On aelle artition d un ensemble E la donnée de n arties A 1,..., A n de E telles que : n (i) E = A i i=1 (ii) i, j 1, n i j = A i A j = A 0 A 1... A 2 A 3 Rerésentation d une artition Lemme A.8 : Princie des bergers Soit A 1,..., A n une artition d un ensemble fini E. On suose que tous ces ensembles ont même cardinal k. On a alors card(e) = nk. Exemle Un berger eut connaître le nombre de attes dans son troueau en comtant le nombre de moutons, cette formule ne dit rien de lus. Réciroquement, il «suffit» de comter le nombre de attes dans le troueau our connaître le nombre de moutons! Proosition A.9 On considère deux ensembles finis E et F. Le roduit cartésien E F est un ensemble fini et card(e F) = card(e) card(f). Par définition, E F = {(x, y) x E, y F}. Notons n le cardinal de E et m celui de F. On eut alors écrire : E = {x 1,..., x n } et F = {y 1,..., y m } {x i } F = {(x i, y) y F} donc card({x i } F) = card(f) = m. n n Comme E F = {x i } F = {x i } F, on trouve : i=1 i=1 card(e F) = n card({x i } F) = i=1 n card(f) = card(e) card(f) i=1 Corollaire A.10 n n n Si E 1,..., E n sont n ensembles fini, alors E 1... E n = E k est un ensemble fini et card E k = card(e k ). k=1 k=1 k=1 En articulier, card(e ) = card(e). Un élément de E, donc de la forme (x 1,..., x ), est aelé -ulet ou -liste

4 ANNEXE A. DÉNOMBREMENT Exemles On tire successivement avec remise des cartes dans un jeu de 32 cartes. 1. Quel est le nombre de ossibilités de tirer un roi uis une dame lors de deux tirages? Ce sont tous les coules de la forme (R, D) soit 16 ossibilités. 2. Quel est le nombre de ossibilités de tirer un roi uis une dame uis un ique lors de trois tirages? De même, les tirages s effectuant avec remise, il y a 128 ossibilités. C Cardinal et alications Théorème A.11 Soient E et F deux ensembles finis. (a) S il existe une injection de E dans F alors card(e) card(f). (b) S il existe une surjection de E dans F alors card(e) card(f). (c) S il existe une bijection de E dans F alors card(e) = card(f). Le dernier résultat a déjà été démontré. (a) Soit f : E F une injection. f (E) F donc card(f (E)) card(f). De lus, f : E f (E) est bijective donc card(e) = card(f (E)) et on a bien card(e) card(f). (b) Soit f : E F une surjection. On a f (E) = F donc card(f (E)) = card(f). Comme on a toujours card(f (E)) card(e), card(e) card(f). On notera que les réciroques des trois énoncés sont également vraies. D Cardinal de l ensemble des arties Proosition A.12 : Cardinal de l ensemble des arties Si E est un ensemble fini de cardinal n, card( (E)) = 2 n. (à bien comrendre, à l aide d un dessin) Procédons ar récurrence sur le cardinal de E. Initialisation : Pour n = 0, E = et (E) = { } donc card( (E)) = 1 = 2 0. De même, our n = 1, (E) = {, E} donc card( (E)) = 2 = 2 1. Hérédité : Suosons le résultat vrai à un rang n donné. Soit E un ensemble de cardinal n + 1 et x E. On eut écrire E = (E \ {x}) {x}. Les arties de E sont de deux tyes : il y a les arties de E \ {x} (2 n en tout ar hyothèse de récurrence) et les arties de E \ {x} auxquelles on ajoute x (2 n également). Ainsi, card( (E)) = 2 n + 2 n = 2 n+1. D arès le rincie de récurrence, le résultat est donc vrai our tout n. II Dénombrement A Modélisation Dénombrer, c est calculer le cardinal d un ensemble. Pour effectuer un dénombrement, on ourra associer à une situation donnée (à un événement) un mot, c est-à-dire une suite de symboles ou un -ulet, ou bien un sous-ensemble donné. Cette étae de modélisation est essentielle dans le calcul de robabilités

5 Mickaël PROST Lycée Chatal PT* Exemles Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Le tirage successif d une boule blanche, uis d une boule noire et enfin d une boule blanche eut être rerésenté ar le mot BN B. L ensemble des tirages ossibles de trois boules est alors : {BBB, N BB, BN B, N N B, N BN, BBN, BN N, N N N}. On constate qu il y a 8 = ossibilités. On ioche cinq cartes simultanément armi un jeu de 32 cartes. Une «main» ossible est : {As, R, 8, D, 9 }. Noter que contrairement au cas récédent, l ordre n a as d imortance et la main {R, As, D, 8, 9 } est identique. Une fois le roblème correctement osé, la résolution se ramènera au calcul du cardinal d un ensemble bien identifié. On disose à ce stade du cours de formules liées à l union ou le roduit de deux ensembles ; voici d autres résultats forts utiles. B Arrangements On considère désormais un ensemble fini E à n éléments et un entier naturel. Définition A.13 : Arrangement On aelle arrangement de éléments de E un -ulet (x 1,..., x ) constitué d éléments de E deux à deux distincts, c est-à-dire vérifiant la condition : i, j 1, i j = x i x j. Exemle Si E = {1, 2, 3}, les arrangement de 2 élements de E sont (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) et (3, 2). Théorème A.14 : Nombre d arrangements On suose que 1 n. Le nombre d arrangements de éléments de E vaut n! = n (n 1)... (n + 1). (n )! C est le nombre de façons de choisir éléments ordonnés armi n. On eut rocéder ar récurrence ou, lus simlement de la façon suivante. Choisir un arrangement (x 1,..., x ) de E revient à choisir x 1 armi n éléments, uis x 2 armi n 1 éléments,..., jusqu à choisir x armi les n + 1 éléments restants. Au final, n (n 1)... (n + 1) ossibilités. Exemle Une association comortant 27 membres doit élire un résident, un secrétaire et un trésorier. Quel est le nombre de ossibilités? Tout simlement C Permutations Définition A.15 : Permutation On aelle ermutation de E un arrangement de E à n éléments. Exemle Si E = {1, 2, 3}, les ermutations de E sont (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) et (3, 2, 1). Théorème A.16 : Nombre de ermutations Le nombre de ermutations de l ensemble E est n!

6 ANNEXE A. DÉNOMBREMENT Cela revient à choisir n éléments armi n, et ceci de façon ordonnée. À chaque ermutation (x 1,..., x n ) de E, on eut associer de manière unique l alication f : 1, n E définie ar f (i) = x i. L alication étant injective, elle est bijective ; d où le résultat suivant. Proosition A.17 Il y a n! bijections de E dans E. Exercice 2 Combien existe-t-il d anagrammes du mot MER? du mot AMANDE? Il y a 3! = 6 anagrammes our le mot MER. Pour AMANDE, les choses sont lus comlexes uisque la lettre A se réète et que ermuter les deux A dans un anagramme donné nous redonne le même mot. Finalement, autant comter le nombre de ositions ossibles des lettres A dans un mot de 6 lettres : 15 ossibilités, c est-à-dire 6 2 en anticiant un eu. Reste à comléter ce mot avec les 4 lettres distinctes restantes, soit 4! ossibilités. On trouve donc = 360 ossibilités. D Combinaisons E est toujours un ensemble fini à n éléments et un entier naturel. Définition A.18 : Combinaison On aelle combinaison de éléments de E un sous-ensemble de E contenant éléments. Dans une combinaison, il n y a as d ordre des éléments contrairement aux -ulets. Exemle Si E = {1, 2, 3}, les combinaisons de E à deux éléments sont : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Théorème A.19 : Nombre de combinaisons On suose que 1 n. Le nombre de combinaisons de éléments de E vaut n n! =!(n )!. Pour construire une combinaison {x 1,..., x }, on eut choisir x 1 armi n éléments, uis x 2 armi n 1 éléments, n!..., jusqu à x armi les n + 1 éléments restants soit (n )! ossibilités. Seulement, contrairement à un arrangement, l ordre ne comte as. La combinaison {x 1,..., x } a donc été comtée lusieurs fois, autant de fois qu il y a de ermutations de l ensemble {x 1,..., x }, soit! fois. n! On a donc combinaisons ossibles.!(n )! Proosition A.20 : Proriétés des coefficients binomiaux Soit n et un entier 1, n. n n n (i) = = 1, = n (ii) 0 n 1 n n 1 (iii) = n (iv) 1 n n (v) = 2 n k k=0 n n 1 1 = n n n 1 + = n - 6 -

7 Mickaël PROST Lycée Chatal PT* Il s agit ici de résenter une reuve combinatoire de résultats que l on eut établir de façon calculatoire. n (i) Il y a un choix ossible quand on tire 0 bille armi n (ne rien faire), = 1. 0 n Il y a n choix ossibles quand on tire 1 élément armi n donc = n. 1 (ii) Choisir éléments armi n revient à choisir de laisser de côté les n autres donc on a n = n n n (iii) Il y a façon de choisir éléments armi n uis un élément armi ceux-là. Cela revient exactement à choisir un élement armi les n uis à «comléter» en choisissant 1 éléments armi les n 1 restants. Ce qui nous donne bien la formule annoncée! (iv) Soient E un ensemble à n éléments et x E. Les arties de E à éléments sont de deux tyes : celles qui contiennent x et sont constituées de 1 autres éléments choisis armi les n 1 restants ; celles qui ne contiennent as x et qui sont constituées de éléments choisis armi les n 1 restants. Elles forment deux ensembles disjoints donc n 1 1 n 1 + = n. (v) Toute artie de E étant une combinaison de E, les ensembles de combinaisons de éléments de E constituent n une artition de (E), ce qu on eut écrire sous la forme (E) = (E) où (E) désigne l ensemble des combinaisons de éléments. En assant au cardinal, on obtient l égalité demandée. Dans le dernier oint, la notation est une façon d indiquer que l on considère la réunion d ensembles disjoints. n On remarquera que our > n, = 0. En effet, on ne eut as construire d ensemble à éléments avec seulement n éléments. Exemle 1 On disose d un jeu classique de 32 cartes et on en distribue 8 à 4 joueurs. Combien y a-t-il de jeux ossibles ar un joueur? 32 Cela revient à choisir 8 cartes armi 32, soit = ossibilités. 8 Combien y a-t-il de jeux contenant 6 cartes rouges? Cela revient à choisir 6 cartes rouges armi les 16 contenues dans le jeu uis à choisir 2 cartes noires armi les contenues dans le jeu, soit = ossibilités. 6 2 Exemle 2 Démontrer la formule de Vandermonde : k=0 Si > n + m alors l égalité 0 = 0 est bien vérifiée. n m = k k n + m. Si n + m, on considère deux ensembles disjoints E et F de cardinal n et m. Choisir éléments armi les n + m éléments de E F revient à choisir k éléments armi les n éléments de E uis comléter ar k éléments de F, et ceci, our n imorte quelle valeur de k comrise entre 1 et. On eut également donner une reuve non combinatoire de ce résultat. Posons our cela P = (X + 1) n et Q = (X + 1) m. n + m Le terme de degré du olynôme PQ = (X + 1) n+m a our exression X. En utilisant la formule du roduit de deux olynômes, on trouve également : D où l égalité ar identification. n m X i+ j = i j i+ j= k=0 =1 n m X k k

8 ANNEXE A. DÉNOMBREMENT III Proosition d exercices Exercice 1 Combien existe-t-il de coules (x, y) : 1. dans l ensemble 1, n 2 avec x y? 2. dans l ensemble 1, n 2 avec x < y? 3. dans l ensemble 1, n 1, 2n avec x < y? Exercice 2 À artir d un alhabet de lettres, combien de mots de n lettres eut-on former qui ne contiennent jamais deux lettres identiques consécutives? Exercice 3 Combien existe-t-il de mots de 7 lettres contenant le mot «OUPS»? Par exemle : «BOUPSA», «QIOUPS»... Exercice 4 De combien de façons eut-on asseoir n ersonnes : 1. sur un banc? 2. autour d une table? Exercice 5 Pour n 3, combien existe-t-il de ermutations de 1, n qui envoient 1 sur 2 et 2 sur 3? Exercice 6 Un jeu de tarot contient 78 cartes : 21 atouts, la carte qu on aelle l excuse et 14 cartes our chacune des 4 couleurs,,,. Combien de tirages simultanés de 6 cartes d un tel jeu eut-on obtenir contenant : 1. 2 atouts et 4? 2. 6 ; ou bien 3, 2 et l excuse? 3. exactement un atout et au moins 3 as? Exercice 7 On aelle anagramme d un mot tout autre mot qui est comosé des mêmes lettres avec multilicité mais dans un ordre quelconque. Les mots «NOSMAI» et «SIONAM» sont ar exemle deux anagrammes du mot «MAISON». Combien le mot «BOROROS» ossède-t-il d anagrammes? Pour information, les Bororos sont un eule amérindien du Brésil. Exercice 8 Dans une association de 18 ersonnes, on organise l élection d un comité de 4 membres, mais les satuts de l association interdisent qu on élise deux conjoints or justement il y a un coule et un seul dans l association, M. et Mme X. 1. Combien de comités différents eut-on former dans ces conditions? 2. De combien de comités M. X eut-il être membre? Exercice 9 À l issue d un concours, 160 candidats sont admis dont 70 garçons. Déterminer le nombre de classements ossibles des 10 remiers admis qui contiennent autant de filles que de garçons. Exercice 10 Une joyeuse troue de n filles et n garçons fait une romenade chamêtre. 1. Pour le déjeuner, ils décident de ique-niquer sur un tronc d arbre. De combien de manières eut-on les asseoir avec une alternance arfaite fille-garçon? 2. Pour le goûter, ils trouvent une table ronde dans une clairière. De combien de manières eut-on les asseoir avec une alternance arfaite fille-garçon? Réonse (Ex. 1) 1. Pour construire un coule (x, y) 1, n 2 quelconque our lequel x y, on eut d abord choisir x (n ossibilités), uis choisir y (n 1 ossiblités our chaque choix ossible de x) ; d où un total de n(n 1) coules. 2. Pour construire un coule (x, y) 1, n 2 quelconque our lequel x < y, on eut d abord choisir y (n ossibilités), uis choisir x (y 1 ossiblités dans 1, y 1 our chaque choix ossible de y) d où un total de : n n 1 (y 1) = k = y=1 k=0 n(n 1) 2 coules - 8 -

9 Mickaël PROST Lycée Chatal PT* 3. Pour construire un coule (x, y) 1, n 1, 2n quelconque our lequel x < y, on eut d abord choisir x (n ossibilités), uis choisir y (2n x ossiblités dans x + 1, 2n our chaque choix ossible de x) d où un n total de (2n x) = 2n 2 n(n + 1) n(3n 1) = coules. 2 2 x=1 Réonse (Ex. 2) Pour la remière lettre, on eut choisir n imorte quelle lettre de l alhabet ( ossibilités), mais our chacune des suivantes, on n a lus que 1 ossibilités de choix car on n a as le droit de rééter la lettre récédente d où un total de ( 1) n 1 mots. Réonse (Ex. 3) Quand le mot «OUPS» aaraît dans un mot de 7 lettres, il n y aaraît qu une fois. Pour construire un mot quelonque de 7 lettres contenant le sous-mot «OUPS», on eut donc : d abord choisir la osition du mot «OUPS» (4 ossibilités car le «O» initial ne eut occuer que les ositions 1, 2, 3 et 4), uis choisir arbitrairement les autres lettres, i.e. choisir une 3-liste de l alhabet (26 3 ossibilités), D où un total de = mots. Réonse (Ex. 4) 1. On eut considérer que les ersonnes à asseoir sont numérotées de 1 à n. Les ositions sur le banc sont quant à elles également numérotées naturellement de 1 à n, de la gauche vers la droite ar exemle. Asseoir n ersonnes sur un banc revient alors à se donner un n-arrangement quelconque de 1, n d où un total de n! configurations ossibles. 2. La différence avec la question 1. consiste en ceci qu il n y a as de remière lace autour d une table ronde ar exemle, on ne change as la configuration des laces assises quand on demande à chaque convive de se délacer d une lace sur sa droite. Pour asseoir n ersonnes autour d une table ronde : on eut ainsi commencer ar asseoir arbitrairement la ersonne numérotée n ; uis lui donner des voisins de roche en roche ar la droite en se donnant un (n 1)-arrangement quelconque de 1, n 1, soit (n 1)! ossibilités. D où un total de (n 1)! configurations ossibles. Réonse (Ex. 5) Pour construire une telle ermutation, on eut d abord choisir l image de 3 (n 2 ossibilités), uis celle de 4 (n 3 ossibilités)... et enfin celle de n (1 ossibilité) d où un total de (n 2) (n 3)... 1 = (n 2)! ermutations. Réonse (Ex. 6) Il s agit de choisir 2 atouts soit ossibilités, uis 4 trèfles soit ossibilités D où un total de tirages ossibles Au total + tirages ossibles les deux alternatives étant disjointes On eut construire tirages contenant exactement un atout et exactement 3 as, et ar ailleurs tirages contenant exactement un atout et les 4 as D où un total de : tirages ossibles les deux alternatives étant disjointes. Réonse (Ex. 7) On s intéresse à l ensemble des mots de 7 lettres que l on eut former avec 3 O, 2 R, 1 B et 1 S. Pour construire un tel mot quelconque, on eut choisir : 7 d abord la osition des O, soit = 35 ossibilités ; uis la osition des R, soit = 6 ossibilités ; 2 2 uis la osition du B, soit = 2 ossibilités ; 1-9 -

10 ANNEXE A. DÉNOMBREMENT et enfin la osition du S, soit 1 = 1 ossibilité. 1 D où un total de = 420 anagrammes ossibles. REMARQUE : On aurait u choisir la osition des lettres dans un ordre différent ar exemle d abord le «S», uis les «R», uis le «B», uis les «O». On obtient bien sûr le même résultat, mais résenté différemment : = = 420 anagrammes ossibles Réonse (Ex. 8) 1. On eut former en tout 18 4 comités ossibles si on ne tient as comte des statuts sécifiques de l association, mais combien de comités se trouvent en réalité interdits ar ces statuts? Former un comité interdit, c est choisir 4 ersonnes dans l association dont M. et Mme X, c est donc choisir simlement 2 ersonnes armi les 16 membres de l association qui ne sont ni M. X ni Mme X, soit 16 2 ossibilités. Au total = comités euvent être formés. 2. Former un comité qui contient M. X, c est choisir 3 ersonnes autres que M. X et Mme X dans l association d où un total de 16 3 = 560 comités ossibles. Réonse (Ex. 9) Pour construire un classement quelconque des 10 remiers admis avec autant de filles que de garçons, on eut choisir indéendamment : les 5 ositions qu occueront les filles armi les 10 ossibles, soit 10 5 ossibilités ; un 5-arrangement des 90 filles admises, soit 90! 85! ossibilités ; un 5-arrangement des 70 garçons admis, soit 70! 65! ossibilités. D où un total de ! 85! 70! 65! classements. Réonse (Ex. 10) 1. On eut considérer ar exemle qu on asseoit les 2n individus les uns arès les autres de la gauche vers la droite. Pour construire une configuration quelconque conforme à l énoncé, on eut choisir : d abord si on asseoit en remier une fille ou un garçon (2 ossibilités), ensuite un n-arrangement de l ensemble des n garçons (n! ossibilités), enfin un n-arrangement de l ensemble des n filles (n! ossibilités), D où un total de 2 n! 2 réartitions ossibles. 2. On eut considérer que l un des garçons, fixé, est ris comme oint de déart du lan de table et que les individus sont ensuite lacés les uns arès les autres dans l ordre des aiguilles d une montre on le eut arce que la table est ronde. Pour construire une configuration quelconque conforme à l énoncé, on eut choisir : d abord un (n 1)-arrangement de l ensemble des n 1 garçons autres que le garçon «oint de déart» ((n 1)! ossibilités), ensuite un n-arrangement de l ensemble des n filles (n! ossibilités), D où un total de (n 1)! n! réartitions ossibles