5 Coloriage des arêtes

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1 5 Colorige des rêtes Dns cette prtie, tous les grphes seront supposés simples. Dénition 5.1 Soit G = (V, E) un grphe sns oucles. Soit Σ un ensemle ni. On ppelle colorige des rêtes une ppliction c : E Σ. On dit qu'un colororige d'rêtes c : E Σ est propre si pour deux rêtes incidentes e et f (qui ont une extrémité commune), c(e) c(f). On ppelle indice chromtique de G le plus petit nomre de couleurs nécessire à un colorige propre de ses rêtes. On le note χ (G). Dns un colorige propre, toutes les rêtes incidentes à un même sommet sont de couleurs diérentes. Donc, si (G) est le degré mximum des sommets de G, on (G) χ (G). Théorème 5.1 (Vizing, 1964) Pour tout grphe simple G, on : χ (G) (G) + 1 Mlheureusement, il est ssez compliqué en générl pour un grphe G de svoir si χ (G) = (G) ou à (G) + 1. C'est un prolème N P -dicile, c'est-à-dire, qu'il n'existe ps à l'heure ctuelle d'lgorithme donnnt un colorige optiml d'un grphe quelconque en temps risonnle. Dns les deux cs prticuliers suivnts, le résultt est connu. Proposition 5.2 On considère le grphe cyclique C n, pour n 3. Alors, χ (C n ) = Proposition 5.3 Pour le grphe complet K n, χ (K n ) = { 2 si n est pir, 3 si n est impir { n 1 si n est pir, n si n est impir Théorème 5.4 (König, 1916) Soit G = (V, E) un grphe iprti, lors, χ (G) = (G). L'lgorithme de colorige glouton existe ussi pour les rêtes. Cf TD. 6 Grphes plnires 6.1 Dénition et crctéristion des grphes plnires Dénition 6.1 Un grphe est dit plnire s'il dmet une représenttion dns le pln telle que si deux rêtes ont un point commun, celui-ci est une extrémité de chcune des deux rêtes. Une telle représenttion est ppelé une représenttion plnire (ou plne) de G. d d c c 1

2 2 représenttions du même grphe, l 1ère n'est ps plnire, l 2e est plnire. Une représenttion plnire divise le pln en plusieurs régions délimitée pr des rêtes formnt un cycle (chîne fermée dont rêtes sont toutes distinctes), on ppelle ces régions les fces de G. Prmi ces fces une seule d'entre elles n'est ps ornée, on l'ppelle fce extérieure. Les utres fces ont une ire nie. Un grphe est plnire ssi ses composntes connexes le sont. Dns l'étude de l plnrité des grphes, on se rmène donc à l'étude de grphes connexes. De plus, on peut ussi se rmener ux cs des grphes simples. Si un grphe des rêtes multiples ou des oucles, on remplce pr des rêtes simples en on supprime les oucles. Après voir trouvé une représenttion plnire du grphe simple otenu, on peut toujours lui rjouter les rêtes multiples et les oucles. Théorème 6.1 (Euler) L formule suivnte relie le nomre de sommets s, le nomre d'rêtes et le nomre de fces f d'un grphe plnire connexe : s + f = 2 L formule d'euler montre en prticulier que toutes les représenttions plnires d'un grphe plnire ont le même nomre de fces. Dénition 6.2 On considère un grphe plnire connexe. Le degré d'une fce f, noté d(f), est le nomre d'rêtes qui l ordent en comptnt 2 fois les rêtes qui ne sont ps dns un cycle. Lemme 6.2 L somme des degrés des fces d'un grphe plnire connexe est égle à deux fois le nomre d'rêtes. Remrque 1 Si G est un grphe simple connexe qui u moins 3 sommets. Le degré d'une fce est supérieur ou égl à 3. Corollire 6.3 Soit G un grphe plnire simple et connexe. Alors G contient un sommet de degré u plus 5. Proposition 6.4 Le grphe complet K n est plnire pour n 4 et non plnire pour n > 4. Proposition 6.5 Le grphe iprti complet K p,q est plnire pour p 2 ou q 2 et non plnire pour p > 2 et q > 2. Un théorème de Kurtowski de 1930 montre qu'un grphe simple connexe est plnire ssi il ne contient ps de sudivisions de K 5 ou de K 3,3 (une sudivision du grphe simple G étnt un grphe simple otenu à prtir de G en joutnt des sommets sur les rêtes de G). 6.2 Le théorème des qutre couleurs Le théorème très celère suivnt montre qu'il est possile de n'utiliser que 4 couleurs pour colorier une crte de fçon à ce que 2 pys voisins n'ient ps l même couleur. Théorème 6.6 (Théorème des 4 couleurs, K. Appel, W. Hken (1976)) Le nomre chromtique d'un grphe plnire simple est u plus 4. 2

3 L preuve nécessite l'usge d'un ordinteur. Exemple d'un grphe pour lequel 4 couleurs sont nécessires : d c Théorème 6.7 (Théorème des 6 couleurs) Le nomre chromtique d'un grphe plnire simple est u plus 6. 7 Grphes orientés Dénition 7.1 Un grphe orienté G est déni pr deux ensemles nis : un ensemle V non vide de sommets, un ensemle A d'rcs ou d'rêtes orientées, vec ssocié à chque rc un couple (x, y) (l'ordre est importnt) de sommets qui sont les extrémités de. Le sommet x est l'origine de et le sommet y est le ut de. z d Exemple : e c x y x y G H G est un grphe orienté : à l'rc est ssocié le couple (x, z), etc.. H est le grphe non orienté ssocié à G, ie, le grphe otenu en oulint l'orienttion des rcs de G. Lorque est un rc de G ssocié à un couple de sommets (x, y), on dit que v de x à y, que sort de x et entre dns y, que est incident à x et à y. Une oucle est un rc ssocié à un couple de l forme (x, x). Un rc est dit multiple dns le cs où il existe plusieurs rcs ssocié u même couple (x, y). Les rcs ssociés respectivement ux couples (x, y) et (y, x) sont dits opposés. Un rc est dit strict s'il n' ni oucles, ni rcs multiples (il peut voir des rcs opposés). Dns ce cs on peut écrire = (x, y) pour un rc de G, cel ne prête ps à confusion. Les notions d'isomorphisme de grphes et de sous-grphes se trnsposent de fçon évidente ux grphes orientés. Dénition 7.2 Le degré intérieur, respectivement le degré extérieur, d'un sommet x d'un grphe orienté G est le nomre d'rcs entrnt dns x, respectivement le nomre d'rcs sortnt de x. Théorème 7.1 (Lemme des poignées de mins) Dns un grphe orienté, l somme des degrés extérieurs et l somme des degrés intérieurs sont toutes deux égles u nomre d'rcs. z 3

4 Dénition 7.3 Un chemin de longueur k dns un grphe orienté G = (V, A), est une suite de l forme (x 0, 1, x 1, 2,..., k, x k ), où k 0 est un entier, les x i sont des sommets de G pour i = 0,..., k et pour tout i = 1,..., k, i est une rête ssociée u couple (x i 1, x i ). Un chemin est dit simple si ses rcs i, pour i = 1,...k, sont deux à deux distincts. Un chemin est dit élémentire si des sommets x i, pour i = 0,..., k, sont deux à deux distincts. Un circuit est un chemin de longueur k 1 simple et fermé : (x 0, 1, x 1, 2,..., k, x 0 ) Un circuit est élémentire si ses sommets, x i, pour i = 0,..., k 1 sont deux à deux distincts. Lemme 7.2 Si dns un grphe orienté deux sommets sont reliés pr un chemin lors, ils sont reliés pr un chemin élémentire. Dénition 7.4 Un grphe orienté est connexe son grphe non orienté sous-jcent est connexe. Un grphe G est fortement connexe si il existe un chemin qui joint deux sommets quelconques de G. 7.1 Orienttion d'un grphe non orienté Dénition 7.5 Soit G un grphe non orienté connexe. Une rête e de G est ppelée rête de coupure si le grphe G otenu en supprimnt e dns G n'est plus connexe. e c d f Pr exemple {c, d} est une rête de coupure du grphe ci-dessus. Proposition 7.3 Soit G un grphe non orienté. Une rête e de G est une rête de coupure ssi e n'pprtient à ucun cycle élémentire de G. Appliction : Soit G un grphe simple non orienté connexe. On voudrit orienter les rêtes de G de mnière à otenir un grphe orienté fortement connexe D. Il sut de remplcer les rêtes de coupure de G pr deux rcs opposés. Pr contre, les utres rêtes pprtiennent toutes à cycle élémentire (chîne fermée dont tous les sommets sont distincts) qu'il est fcile d'orienter (on oriente toutes les rêtes dns le même sens). Exemple d'ppliction prtique : Suite à des prolèmes de circultion, des responsles communux désirent plcer les rues d'un qurtier en sens unique. Si un grphe non orienté modélise les rues et leurs croisements, l question qui se pose est donc d'orienter les rcs de ce grphe de mnière telle qu'il existe un chemin orienté entre toute pire de sommets. 7.2 Théorème de Cyley Théorème 7.4 (Cyley) Il y n n 2 rres étiquetés à n sommets. 4

5 Dénition 7.6 Un rre enrciné est un rre dns lequel on choisit un sommet que l'on ppelle rcine. Une forêt enrcinée sur l'ensemle {1,..., n} est une forêt dont les sommets sont étiquetés de 1 à n et dont chque composnte connexe est un rre enrciné. On note F n,k l'ensemle des forêts enrcinées, qui contiennent n sommets et k rres enrcinés. En prticulier F n,1 est l'ensemle des rres enrcinés à n sommets. Remrque 2 1. Pour tout n N, on note T n le nomre d'rres étiquetés à n sommets. On lors F n,1 = n T n, cr dns chque rre étiqueté à n sommets, il y n choix de rcine possiles. 2. Soit T un rre étiqueté. On choisit une rcine r de T, lors, pour tout sommet v de T, il existe une unique chîne élémentire qui v de r à v. On peut lors orienter les rêtes de l'rre T de f çon à ce que toutes ces chînes deviennent des chemins qui prtent de r. On peut donc regrder une forêt enrcinée F n,k F n,k comme un grphe orienté dont tous les rcs prtent des rcines. 3. On dir qu'une forêt F contient une utre forêt F si F contient F comme grphe orienté. si F et F ont le même nomre de sommets et si F F, lors il est clir que F plus de composntes connexes que F (fire un dessin). Dénition 7.7 On ppelle suite de forêts F 1,..., F k suite rnnte si pour tout i {1,..., k}, F i F n,i et F i contient F i Grphes orientés eulériens Dénition 7.8 Un grphe orienté connexe D est eulérien si il contient un circuit qui contient tous les rcs de D. Théorème 7.5 Un grphe orienté fortement connexe D est eulérien si et seulement si pour tout sommet x de D, on deg ext (x) = deg int (x) 7.4 grphes orientés hmiltoniens Dénition 7.9 Un grphe orienté connexe D est hmiltonien si il contient un circuit élémentire qui contient tous les sommets de D. Dénition 7.10 On ppelle tournoi un grphe complet orienté. Dns un tournoi, deux sommets sont reliés pr un rc et un seul. c c Les deux tournois ci-dessus sont otenus en orientnt K 3 de deux fçons diérentes. Pourquoi ppelle-t-on ces grphes orientés des tournois? On imgine un ensemle d'équipes ou de joueurs dns une compétition où chque joueur ronte tout utre joueur exctement une fois. Le seul résultt possile est l victoire ou l 5

6 défite. On peut lors considérer un grphe dont les sommets sont les joueurs et un rc relie le joueur i u joueur j si i ttu j lors de leur confronttion directe. On otient un tournoi. On vu qu'un grphe non orienté complet est hmiltonien. Que peut-on dire des tournois? Remrque 3 Un grphe hmiltonien est fortement connexe. Le théorème suivnt que l'on dmettr implique qu'un tournoi fortement connexe est hmiltonien. Théorème 7.6 (théorème de Moon) Si D est un tournoi fortement connexe à n sommets, où n 3, lors pour tout k {3,..., n}, et pour tout sommet v de D il existe un circuit de longueur k qui contient v. Preuve : Admis. On v démontrer le résultt suivnt qui concerne tous les tournois. Dénition 7.11 Soit D un grphe orienté. Un chemin de D est un chemin hmiltonien si c'est un chemin élémentire qui contient tous les sommets de G. Théorème 7.7 (Rédei) Un tournoi contient un chemin Hmiltonien. 7.5 Mtrices d'djcence d'un grphe orienté Dénition 7.12 Soit D un grphe orienté vec n sommets étiquetés 1,2,...,n. L mtrice d'djcence A(D) = ( ij ) de D est l mtrice n n dns lquelle le coecient ij est égl u nomre d'rcs llnt du sommet i u sommet j. Cette mtrice n'est ps symétrique en générl. Si le grphe n' ps de oucles, les coecients digonux sont nuls. L somme des coecients de l ligne i ést égl u degré extérieur (somme des rcs sortnt) du sommet i. L somme des coecients de l colonne j ést égl u degré intérieur (somme des rcs entrnt) du sommet i. Considérons le grphe orienté suivnt : S mtrice d'djcence est : Théorème 7.8 Soit D un grphe orienté vec n sommets étiquetés 1,2,...,n. Soit A l mtrice d'djcence de D et soit k N. Alors le nomre de chemins de longueur k llnt du sommet i u sommet j est égl u coecient de l ligne i et de l colonne j de l mtrice A k (puissnce k-ième de A). 6

7 Théorème 7.9 Soit D un grphe orienté vec n sommets étiquetés 1,2,...,n. Soit A s mtrice d'djcence. On pose B = A + A A n 1. Alors, D est fortement connexe ssi tous les coecients non digonux de B sont strictement positifs. Théorème ) Soit A l mtrice d'djcence d'un grphe orienté D. D est sns circuit ssi l mtrice A est nilpotente. 2) Soit A l mtrice d'djcence d'un grphe non orienté ynt u moins une rête, lors, A n'est ps nilpotente. 7.6 Clsser les prticipnts d'un tournoi Comment clsser les prticipnts d'un tournoi (de tennis, de crtes, d'échec, principe de Google : clssement des pges we). On vu qu'on pouvit représenter les résultts d'un tournoi pr un grphe orienté que l'on ppelle tournoi (grphe complet orienté) L mtrice d'djcence de ce tournoi est A = Une des fçons d'order le prolème serit de les clsser suivnt un chemin hmiltonien, mis ce n'est ps ecce, cr il y, en générl, plusieurs chemins hmiltoniens dns un tournoi (dns notre exemple : (312456) et (146325) sont des chemins hmiltoniens). Une utre pproche serit de clculer les scores (nomres de prties remportées pr un prticipnt) et de les comprer, voici le vecteur des scores qui correspond à notre exemple : s 1 = (4, 3, 3, 2, 2, 1). On ne peut ps diérencier les joueurs 2 et 3. On considère lors un vecteur s 2 qui pour i-ème coordonnée l somme des scores des joueurs ttus pr le joueur i : s 2 = (8 = , 5, 9, 3, 4, 3). Le joueur 3 est lors clssé premier. Si on continue cette procédure, on otient les vecteurs de scores suivnts : s 3 = (15 = , 10, 16, 7, 12, 9) s 4 = (38, 28, 32, 21, 25, 16) s 5 = (90, 62, 87, 41, 48, 32) s 6 = (183, 121, 193, 80, 119, 87) En fit, on peut remrquer que l'on s n+1 = As n, pour n = 2,..., 6 Le clssement des joueurs uctue un peu : le joueur 3 rivlise vec le 1 pour l 1ère plce. Nous llons voir que cette procédure converge vers un clssement xe qund le tournoi est fortement convexe et u moins 4 sommets. 7

8 Dénition 7.13 Dns un grphe orienté, l longueur du plus court chemin entre deux sommets u et v est ppelée l distnce de u à v (s'il n'y ps de chemins entre u et v, d(u, v) = + ). Le dimètre d'un grphe orienté D est l distnce mximle entre deux sommets de D. Remrque 4 Si D est un grphe orienté fortement connexe, le dimètre de D est inférieur ou égl à n 1. Proposition 7.11 Soit D un tournoi fortement connexe qui n 5 sommets numérotés de 1 à n et soit A s mtrice d'djcence. Alors, si on note d le dimètre de D, l mtrice A d+3 tous ses coecients strictement positifs. Dénition 7.14 Une mtrice A crrée à coecients réels est dite primitive, s'il existe un entier k > 0 tel que tous les coecients de A k soient strictement positifs. L proposition précédente montre donc que si D est un tournoi fortement connexe à n 5 sommets, lors, s mtrice d'djcence est primitive. C'est encore vri si D 4 sommets (cr à isomorphisme près, il n'existe qu'un seul tournoi à 4 sommets qui soit fortement connexe). Remrque 5 Le i-ème vecteur score d'un tournoi D de mtrice d'djcence A est donné pr l formule : 1 s i = A i. 1 Théorème 7.12 (Perron-Froenius) Si A est une mtrice primitive, lors l vleur propre de A qui le plus grnd module est un nomre réel positif r et ( ) A n 1 lim n + r. = s 1 où s est un vecteur propre de A ssocié à l vleur propre r et dont les coecients dont tous positifs. Ainsi, si D est un tournoi fortement connexe qui 4 sommets ou plus, un vecteur propre ssocié à l vleur propre r, peut être utilisé pour clsser les prticipnts du tournoi modélisé pr D. Dns l'exemple précédent, on otient : r = 2, 232, et s = (0, 238; 0, 164; 0, 231; 0, 113; 0, 150; 0, 104), et on otient le clssement : 1,3,2,5,4,6. Si le tournoi n'est ps fortement connexe, c'est plus compliqué. C'est sur ce principe que mrche Google pour le clssement des pges we. 8 Clcul de distnces 8.1 Plus courte distnce Dénition 8.1 On ppelle distnce entre deux sommets d'un grphe (resp. grphe orienté) connexe l longueur minimle d'une chîne (resp. d'un chemin) de ce grphe dmettnt ces 8

9 deux sommets comme extrémités. L distnce entre deux sommets x et y d'un grphe G ser notée d(x, y). On ppelle dimètre d'un grphe l vleur de l plus grnde distnce séprnt deux de ses sommets. On étend l notion de distnce entre sommets d'un grphe (resp. grphe orienté) non nécessirement connexe (resp ; fortement connexe) : deux sommets qui ne sont ps dns l même composnte connexe (resp. fortement connexe) sont à une distnce innie l'un de l'utre. L'lgorithme suivnt permet de clculer l distnce à prtir d'un sommet xé. Algorithme 1 Donnée : un grphe G = (V, E) et un sommet de G. Résultt : une fonction d telle que pour tout sommet x de G, on it d(x) = d(x, ). Initilistion : Pour tout sommet x de G, fire d(x) =, d() = 0, Tnt que : il existe des sommets t non mrqués tels que d(t) = Fire prmi les sommets non mrqués, choisir un sommet x qui minimise d Pour tout voisin y de x vérint d(y) = fire d(y) = d(x) + 1 mrquer le sommet x Fin de tnt que. Retourner l fonction d. 8.2 Distnces sur un grphe vlué Dénition 8.2 Un grphe est dit vlué (ou pondéré) lorsqu'on ttriue à chque rête e du grphe une vleur v(e) N. On ppelle vlution d'une chîne C l somme des vlutions de chcune de ses rêtes. On ppelle distnce entre deux sommets d'un grphe vlué, l vlution minimum d'une chîne du grphe ynt ces deux sommets comme extrémités, soit : d v (x, y) = min{v(c) C est une chîne de G d'extrémités x et y} L'lgorithme de Dijkstr clcule les distnces à un sommet xé des utres sommets d'un grphe G vlué. Algorithme 2 (Dijkstr) Donnée : un grphe G = (V, E) dont les rêtes sont vluées pr une fonction v, et un sommet de G. Résultt : une fonction d telle que pour tout sommet x de G, on it d(x) = d v (, x). Initilistion : Pour tout sommet x de G fire d(x) =, d() = 0 Tnt que : il reste des sommets t non mrqués tels que d(t) fire prmi les sommets non mrqués choisir un sommet x qui minimise d Pour tout voisin non mrqué y du sommet x, fire d(y) := min(d(y), d(x) + v({x, y})) 9

10 mrquer x Fin tnt que Retourner d Remrque 6 l'lgorithme de Dijkstr s'pplique ussi à un grphe orienté, Il sut de remplcer voisin pr successeur dns l'lgorithme. 10