Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 05 mai 2015 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. correction SÉRIE S

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1 Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 5 mai 15 BACCALAUÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉIE S Durée de l épreuve : 4 HEUES Les calculatrices sont AUTOISÉES correction Coefficient : 7 ou 9 Le candidat doit traiter trois exercices plus un exercice suivant sa spécialité. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : mathématique, physique ou SVT. tournez la page s.v.p.

2 Exercice 1 (4 points) Partie A 1) On dérive comme ( ) 1 = u u u : f (x)= ( e x ) (1+e x ) = 6e x (1+e x ) x, e x > et (1+e x ) > donc f (x)>, f est donc croissante sur ) On calcule la limite de f en+ lim x= x + Par composition Par somme et quotient lim x ex = lim x + e x = donc la droite :y= est asymptote à C en+ lim f (x)= x + ) La fonction f est continue (car dérivable) et monotone (croissante) sur. De plus, 999 f ()=] ; [, donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un uniqueαtel que f (α)=, 999. On peut vérifier lim x=+ x Par composition Par somme et quotient lim lim x + ex =+ lim x e x =+ f (x)= x Pour déterminer un encadrement de α avec le programme par dichotomie, on rentre la fonction g(x)= f (x), 999 et l on cherche quand la fonction g s annule. On peut calculer g()= 1, 499 et g(5)=8, 6 1 4, doncα ] ; 5[. On trouve alors : 4, α 4, 1 pour 9 itérations. Partie B Soit h la fonction définie surpar h(x)= f (x). 1) D après la question précédente, f ()=] ; [ donc x, f (x)< f (x)> ) On simplifie h : h(x)= ) a) On dérive H comme (ln u) = u u : 1+e x= +e x 1+e x = e x 1+e x H (x)= e x 1+e La fonction H est donc une primitive de h sur. a h(x) dx représente : e x x= x= h(x) 1+e l aire entre la droite et la courbe C en u.a. entre les abscisses x= et x=a. a [ b) h(x) dx= ] a ln(1+e x = ln(1+e a )+ ln = ( ln ln(1+e a ) ) = ( ) ln 1+e a c) Il s agit de l aire entre et la courbe C entre les abscisses et, donc A = h(x) dx= ln 1+e 6 1, 6 Paul Milan tournez la page s.v.p.

3 Exercice (5 points) Partie A 1) On a : P(V)=, 7 P V ()=, 994 et P B ()=, 5, donc ) P(V )=P(V) P V ()=, 7, 6=,4,7, V B,994,6,95,5 ) P()=P( V)+ P( B)=,4 +,, 5=,4 +,15=,19 4) P (B)= P( B) P() =, 15 =,781 5,19 Partie B : le vélo 1) P(15 T )=normalfrép(15,, 17, 1.)=,946 ) P(T> )=normalfrép(, 1E99, 17, 1.)=,6 ) On cherche la durée maximale de son temps de parcours T (en minutes) tel que : P(T T )=, 9 T = normalfrac(.9, 17, 1.)=18,57 9 T 17 On peut revenir à la loi normale centrée réduite en posant Z=, on a alors : ( 1, P(T T )=P Z T ) 17 =, 9 T 17 =Φ 1 (, 9) 1, 1. T = 1, Φ 1 (, 9)+17=18,57 9 L élève doit partir 18, 54 minutes au maximum avant 8 h pour arriver à l heure au lycée avec une probabilité de,9. Il devra partir au maximum à 7 h 41 à la minute près. Partie C : le bus 1) Z suit une loi normale centrée réduite. ) On doit avoir P(T )=, 5 P(T )=1, 5=, 95, on a alors : ( P Z 15 ) σ =, 95 5 σ =Φ 1 (, 95) σ 5 = Φ 1 =, 4 (, 95) Exercice (5 points) 1) Affirmation 1 : Vraie On calcule v n+1 en fonction de v n v n+1 = u n+1 b 1 a = au n+b b 1 a = au n+ b ab b = au n ab ( 1 a 1 a = a u n b ) = av n 1 a n N, v n+1 v n = a, la suite (v n ) est donc géométrique de raison a. Paul Milan tournez la page s.v.p.

4 ) Affirmation : Fausse Soit z= x+iy avec x et y réels. On a alors : z z=iy l équation devient alors : ) Affirmation : vraie ln ( e 7) + ln( e 9) ln ( e )=7 eln +ln 4=eln 6 e ln ln e ln 4 iy+ 4i= y= +4i y= 1+i impossible car y = 6 4 4) Affirmation 4 : vraie e x e x + est de la forme : u ln ln e+ 9 ln e ln e = = 8 = 6 4 = 8 e x [ e x + dx= ln e x + u ln u ] ln = ln 5 = ln ( 5 = ) [ ] ln ln(e x + ) = ln(e ln + ) ln(e + )=ln 5 ln car ln 1 a = ln a et 5 est l inverse de 5 5) Affirmation 5 : fausse x 1> Conditions : x+> x>1 x> x>1 D f=]1 ;+ [ Comme la fonction ln est croissante sur ] ;+ [, x D f, ln(x 1) ln(x+)=ln 4 x 1=4x+8 x= D f Il n y a aucune solution à l équation. ln x 1 x 1 = ln 4 x+ x+ = 4 Exercice 4 ( points) 1) P(X )=, 15 1 e λ =, 15 e λ =, 85 λ=ln, 85 ln, 85 λ=, 81 ) a) P X t (X t+h)= P (X t et X t+h) P (X t) = e λ(t+h) e λt = P(X t+h) P(X t) = e λt e λh e λt = e λh = P(X h). b) P X (X +)=P(X )=1 P(X )=1, 15=, 85 c) E(X)= 1 λ = ln, 85 1, Le temps moyen de durée de vie de ce moteur est de 1, ans. Paul Milan 4 tournez la page s.v.p.

5 Exercice 5 (4 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 1) =16 64= 48=(4i ) donc <, l équation a deux racines complexes conjugués : Z 1 = 4+4i = +i et Z = 4 4i Forme exponentielle de Z 1 : Z 1 = 4+1=4 Z 1 = 4e i π donc Z = 4e i π (conjugué de Z 1 ) ) a = ( ( e ) iπ = 4 e i π = 4 cos π + i sin π ) = 4 et 1 + Donc z = a z 1 = a ou z = a ( z 1 = e iπ = cos π ) + i sinπ = 1 + i =1+i z = z 1 = 1 i = i cosθ= 1 sinθ= θ= π = +i =Z 1 ) z est une solution de l équation (E) donc z 4 + 4z + 16= en prenant le conjugué de l égalité z 4 + 4z + 16= z 4 + 4z + 16= z 4 + 4z + 16= Donc si z est solution de (E) alors z est aussi solution de (E). Les quatre solutions de (E) sont : z 1, z, z 1 et z, soit : S= { 1 i ; 1+i ; 1 i ; 1+i } Exercice 5 (5 points) Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 1) On exprime x n+1 et y n+1 en fonction de x n et y n pour interpréter le rôle des coefficients demandés. ( )( ) () ( ), 6, 15 xn 1, 6xn +, 15y U n+1 = AU n + B= + = n + 1,, 4, x n +, 4y n + y n Le coefficient,6 signifie que 6 % des fonds de l agence X est conservé d une année à l autre. Le coefficient signifie que millions d euros sont transférés du siège vers l agence Y chaque année. ( ) ( )( ) () ( ) ( ) 5, 6, , 5+1, 5 ) U =, on a donc : U 1 1 = + = =,, L agence X possède,5 millions d euros et l agence Y possède 17 millions d euros en 15. ( ), 6, 15 ) a) En rentrant dans la calculatrice les matrice P, D et Q, on a : PDQ= = A,, 4 Si on effectue le calcul, on a : ( )( )( ) ( )( ) 1,, 5, 75,, 1, 5, 75 PDQ= =, 7, 5, 15, 6 1, 4, 5, 15 ( ) ( ), 75+, 55, 115+, 65, 6, 15 = = = A, 15+, 5, 5+, 175,, 4 Paul Milan 5 tournez la page s.v.p.

6 b) QP= ( )( ),5 -,75 1., 5, 15 La coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne est égal à :, 5, 75 =, 75, 75= 5 5, 6x n +, 15y n + 1 5, 6x n +, 15y n 4 4) a) V n+1 = U n+1 = AU n B =, x n +, 4y n + =, x n +, 4y n 11 5 ( ) (, 6, 15 x n 5, 6(x n 5)+, 15 y n ) AV n = A U n =,, 4 y n = (, (x n 5)+, 4 y n ), 6x n 1+, 15y n 1, 6x n +, 15y n 4 =, x n 1+, 4y n 8 =, x n +, 4y n 11 On a donc : V n+1 = AV n b) V = 1 = 1 On a alors V 1 = AV, V = AV 1 = A V, de proche en proche, on obtient V n = A n V, 5, n +, 75, 7 n, 75 (, n +, 7 n ) 45 5) a) V n = A n V =, 5 (, n +, 7 n ), 75, n +, 5, 7 n 1 Le coefficient a n de la première ligne est donc : a n = 45 (, 5, n +, 75, 7 n) + 1, 75(, n +, 7 n) = 11, 5, n +, 75, 7 n 1, 5, n + 1, 5, 7 n = 1, n + 5, 7 n 5 b) On a : U n = V n + On a donc : x n = a n + 5=1, n + 5, 7 n + 5 c) lim, n + n = lim, n + 7n = car 1<, <, 7<1 Par produit et somme lim x n= 5 n + La quantité de fonds disponibles dans l agence X va tendre vers 5 millions d euros. Paul Milan 6 fin