CHAPITRE III. Tests de Racine Unitaire

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1 CHAPITRE III Tests de Racine Unitaire Michel LUBRANO Septembre 28 Contents 1 Introduction 2 2 Formalisation du Problème Composante déterministe et composante stochastique Un modèle général pour les tests Tests de Dickey-Fuller Deux statistiques de test La distribution des tests est fonction de TD Régression en une ou deux étapes Tests séquentiels de la présence de plusieurs racines unitaires Tests avec erreurs auto-corrélées Test de Dickey-Fuller augmenté Sélection des retards dans un test ADF Distribution de ˆρ T dans le cas non IID Test non-paramétrique de Phillips-Perron Tests de l hypothèse de stationarité 17 6 Ruptures de Trend et Tests de Perron Modélisation d une rupture de trend Motivation empirique Expérience de Monte Carlo Test avec trend segmenté Application sur données françaises

2 1 INTRODUCTION 2 7 Saisonnalité et Racines Unitaires Modélisation de la saisonnalité Test de la présence d une seule racine Test de la présence de deux racines Décomposition de la racine saisonnière selon ses fréquences Influence de la périodicité sur les tests ADF Questions Diverses Autres tests Construction des tables Intégration fractionnaire Tests Bayésiens Conclusion 4 1 Lectures additionnelles Exercices Processus I(1) Simulation d un processus I(1) Processus ARIMA(,1,1) Test ADF Les composantes déterministes Introduction Il y a plusieurs raisons, tant statistiques qu économiques pour s intéresser à la présence d une racine dans une série économique et nous allons essayer de les résumer dans cette introduction. On a pu voir au cours du chapitre précédent que la présence d une racine unitaire dans les données avait des conséquences très importantes sur le plan statistique. Premièrement les propriétés asymptotiques générales des estimateurs (vitesse de convergence, normalité asymptotique) ne tiennent plus. Il faut avoir recours à une théorie asymptotique spéciale. Ensuite la présence de régresseurs comportant une racine unitaire dans une régression peut conduire à estimer des régressions apparemment très bonnes entre des variables qui sont totalement indépendantes entre elles. C est le problème des régressions factices. Enfin, une série trend stationnaire et une série stationnaire en différence se comportent de manière radicalement opposée dans le long terme. Une série trend stationnaire a tendance à se repositionner autour de son trend déterministe après un choc aléatoire. C est ce que l on appelle la propriété de mean reversion. Une série stationnaire en différence ne revient pas autour de sa tendance après un choc, puisque le choc affecte aussi la tendance stochastique de la série.

3 2 FORMALISATION DU PROBLÈME 3 La présence ou l absence de la propriété de mean reversion a conduit une partie des macroéconomistes à s intéresser de très près à la question des racines unitaires. On peut présenter trois domaines que nous allons ensuite un peu détailler: - la théorie du cycle conjoncturel et la théorie de la croissance endogène avec la variable production - la théorie du revenu permanent avec la variable consommation - la théorie de l hystérésis avec la variable chômage La théorie du cycle conjoncturel implique une composante tendancielle déterministe dans l évolution de la production. Les fluctuations cycliques n affectent pas la tendance et la politique conjoncturelle parvient à stabiliser les fluctuations sans changer la tendance profonde. Au contraire avec la théorie de la croissance endogène, la tendance est stochastique et les chocs (réels ou monétaires) ont un impact permanent sur celle-ci. Voir par exemple King, Plosser, and Rebelo (1988). La consommation peut être déterminée par le revenu courant comme chez Keynes, ou par le revenu permanent comme chez Friedman. Dans ce dernier cas, la consommation ne réagit pas à des changements transitoires du revenu, mais seulement par rapport à des changements du revenu anticipés de manière rationnelle. C est le point de vue défendu et illustré dans Hall (1978). En conséquence, il n est pas possible de prévoir les changements dans la consommation et celle-ci suit une marche aléatoire. Blanchard and Summers (1986) ont introduit une théorie du marché du travail selon laquelle le salaire est déterminé de manière à conserver un même niveau d emploi pour les insiders de la firme. Il en résulte un comportement particulier de la série d emploi qui au temps t est égale à sa valeur au temps t 1 à un terme d erreur près. L emploi suit donc une marche aléatoire et si l offre de travail est constante, le taux de chômage suit également une marche aléatoire. Il y a donc persistance du chômage d où le terme d hystérésis employé par les auteurs. Il existe donc une ensemble de raisons variées, tant statistiques qu économiques pour s intéresser à la présence d une racine unitaire dans une série. Pour mettre en évidence cette présence (ou son absence) les économètres se sont attachés à mettre au point différents tests que nous allons examiner dans ce chapitre. Ces tests ne sont pas très puissants et dépendent fort de conditions annexes qui tiennent à la forme de la composante déterministe de la série et éventuellement à la présence de saisonnalité. 2 Formalisation du Problème 2.1 Composante déterministe et composante stochastique Pour poser le problème du test de la présence d une racine unitaire, il est utile de décomposer une série en deux types de composantes: une composante déterministe TD t et une composante stochastique u t : y t = TD t + u t (1)

4 2 FORMALISATION DU PROBLÈME 4 L hypothèse de racine unitaire concerne la partie stochastique u t, mais la spécification correcte de la partie déterministe est cruciale pour l établissement des tests. En fait ce qui importe principalement, c est l ordre de cette partie déterministe. On a l habitude de distinguer trois cas: - TD t = ou pas de partie déterministe (la partie déterministe est o(1)). - TD t = µ ou seulement un terme constant. On peut également ajouter des constantes saisonnières qui sont de même ordre, c est à dire O(1). - TD t = µ + δ t ou cette fois-ci une constante et un trend. TD t est alors O(T). On peut compliquer la description du trend en considérant des trends non-linéaires qui vont changer dans le temps de manière à modéliser un changement structurel exogène. Perron (1989) montre que dans ce cas les résultats des tests précédents peuvent être inversés. L étude de ce cas est donc extrêmement importante et la section 6 y sera entièrement consacrée. C est dans la partie stochastique u t que va pouvoir se trouver la racine unitaire. On va modéliser cette partie stochastique au moyen d un processus ARMA: Ã(L) u t = B(L) ǫ t (2) A cause de la présence du terme TD t, on peut supposer que la moyenne de u t est nulle, la moyenne du processus étant contenue dans TD t. On va supposer que la partie moyenne mobile est inversible, c est à dire que toutes les racines de B(L) sont en dehors du cercle unité. De plus dans les cas que l on va envisager par la suite, on va supposer que le polynôme rationnel infini B 1 (L) Ã(L) peut s approximer par un polynôme A(L) de degré fini et que donc il suffit de considérer un processus auto-régressif pour la partie stochastique donné par: A(L) u t = ǫ t (3) On peut maintenant distinguer deux modèles alternatifs pour y t. - dans le premier cas y t est trend stationnaire, toutes les racines de l équation caractéristique A(z) = sont en dehors du cercle unité. Le processus de u t est donc stationnaire et celui de y t est stationnaire autour d un trend. - dans le deuxième cas où y t est stationnaire en différence, A(z) = comporte une racine sur le cercle unité et toutes les autres racines sont en dehors du cercle unité. On a donc la factorisation: A(L) = (1 L) A (L) (4) et (1 L) u t est stationnaire. Dans ce cas, (1 L) y t est stationnaire autour d une moyenne fixe.

5 2 FORMALISATION DU PROBLÈME Un modèle général pour les tests Le but des tests de racine unitaire est donc de tester la présence d une racine unitaire dans la partie auto-régressive de la partie stochastique du processus de y t. Pour faire ce test il est nécessaire de trouver un modèle qui contienne à la fois les deux modèles représentatifs que l on a dégagé, trend stationnaire et stationnaire en différence de manière à ce qu une hypothèse puisse apparaître comme une restriction paramétrique dans le modèle général. Le modèle que l on a adopté peut se réécrire après substitution: A(L) (y t TD t ) = ǫ t (5) Il est très intéressant de développer cette écriture dans un cas simple, celui où A(L) = (1 ρl). On examinera par la suite le cas où A(L) est un polynôme de degré supérieur. Prenons ensuite le cas général TD t = µ + δ t. Il vient: (1 ρl) (y t µ δ t) = ǫ t y t = ρy t 1 + (1 ρ) (µ + δ t) + ρ δ + ǫ t Cette écriture conduit à formuler plusieurs observations. - Elle montre tout d abord comment les deux modèles sont emboîtés. Pour ρ = 1 on retrouve le modèle de marche aléatoire. Par contre, on ne retrouve le modèle trend stationnaire que pour ρ =, ce qui fait que le test de ρ = 1 contre ρ < 1 n est à proprement parler qu un test de la présence d une racine unitaire contre une alternative qui inclut l autre modèle, mais pas que celui-ci. - Ensuite cette écriture permet de voir les particularités du modèle de marche aléatoire. Pour ρ = 1 on constate que le terme constant µ n est plus identifié. Une marche aléatoire n a pas de moyenne constante au cours du temps. Deuxièmement le régresseur t disparaît, mais pas son coefficient δ qui vient prendre la place du terme constant. Ce coefficient δ conserve la même interprétation. Il représente la dérive du processus, ou drift. Si la série étudiée est en logarithme, alors le modèle y t = δ+ǫ t indique de façon claire que le taux de croissance de y t est égal à δ augmenté d un terme aléatoire de moyenne nulle. - Enfin il est habituel de considérer un modèle plus simple pour le test qui est: avec: y t = ρy t 1 + β + β 1 t + ǫ t (6) β β 1 = (1 ρ) µ + ρ δ = (1 ρ) δ Il est facile de voir que l estimateur des moindres carrés de ρ a la même valeur et le même écart-type quelle que soit la paramétrisation employée. Toutefois ce modèle cache le fait qu à ρ = 1 correspond β 1 =. C est pourtant cette écriture qui est généralement employée pour les tests car l estimateur de ρ dans les deux cas est numériquement le même. Seuls changent les estimateurs des coefficients de TD t. (7)

6 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 6 3 Tests de Dickey-Fuller Le modèle de régression que l on a mis en avant: y t = ρy t 1 + β + β 1 t + ǫ t (8) est appelée régression de Dickey-Fuller à la suite de leur papier de L idée d un test de racine unitaire est très simple. Il suffit d estimer cette régression par moindres carrés et de tester ensuite ρ = 1 au moyen de la statistique de Student. Retirons maintenant y t 1 des deux côtés de la régression (8): y t = (ρ 1) y t 1 + β + β 1 t + ǫ t (9) L interprétation de la statistique de Student devient directe étant donné qu il suffit maintenant de tester la nullité du coefficient de y t 1, en se souvenant que la distribution de cette statistique n est pas asymptotiquement normale. Enfin pour certains calculs, il sera utile d avoir présent à l esprit la décomposition suivante de y t en fonction des conditions initiales en se servant de la relation: ce qui donne: (1 ρl) 1 = ρ i L i t 1 = ρ i L i + ρ t L t ρ i L i (1) i= i= i= y t = i= ρ i L i (β + β 1 t + ǫ t ) = ρ t y + β t 1 i= ρi + β t 1 1 i= ρi (t i) + (11) t 1 i= ρi ǫ t i Quand ρ = 1, cette écriture permet de voir que le modèle comporte un trend au carré quand on n impose pas que β 1 = sous l hypothèse nulle : car t 1 i=1(t i) = t(t + 1)/ Deux statistiques de test y t = y + β t +.5β 1 (t + t 2 ) + t 1 ǫ t i i= En partant de la régression de test (9), on va pouvoir employer deux statistiques de test. La première est la statistique de Student usuelle, que l on va noter τ, pour bien souligner le fait qu elle a une distribution asymptotique qui n est pas normale : τ = ˆρ T 1 ˆσ ρt. (12) La seconde statistique est basée sur le fait que T(ˆρ T 1) converge en distribution vers une fonctionnelle de Browniens qui ne dépend pas du paramètre de nuisance σ 2. On a

7 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 7 déterminé cette distribution dans le chapitre précédent. On peut utiliser directement cette statistique pour tester H : ρ = 1. Ces deux statsitiques ont des distributions asymptotiques qui sont très liées. Commençons par la statistique z qui est la plus simple. On a vu que z = T (ˆρ T 1) = T 1 y t 1 ǫ t T 2 y 2 t 1 L.5(W 2 (1) 1) 1 W 2 (r) dr, (13) ce qui a permit de montrer que ˆρ T est un estimateur super consistant de ρ. On sait également que T(ˆρ T 1) converge en probabilité vers zéro. En effet, la variance du numéraeur est d ordre T, alors que le dénominateur converge vers une quané positive. Passons maintenant à la statistique τ. Sa distribution sous H peut facilement se déduire de la distribution de la statistique z. En effet: τ = T(ˆρ T 1) (ˆσ 2 ǫ ) 1/2 ( T 2 y 2 t 1) 1/2 = T 1 y t 1 ǫ t T 2. yt 1 2 ( T 2 y 2 t 1) 1/2 (ˆσ 2 ǫ ) 1/2 = T 1 y t 1 ǫ t ( T 2 y 2 t 1) 1/2 (ˆσ 2 ǫ ) 1/2. Comme on a montré que ˆρ T était un estimateur super consistant de ρ, alors ˆσ ǫ 2 converge en probabilité vers σǫ 2. D autre part, les résultats de convergence obtenus dans le chapitre 2 permettent d écrire pour T : τ L.5 σ2 (W 2 (1) 1) ( σ 2 1 W 2 (r) dr ) = 1/2 σ.5 (W 2 (1) 1) ( 1 W 2 (r) dr ) 1/2. (14) La seule difference, c est que le dénominateur de la distribution de τ est équal la racine carrée du dénominateur de la distribution de z. Ces deux statistiques auront donc des comportements similaires, mais des valeurs critiques différentes. La statistique τ est la plus utilisée. Mais la statistique z va servir de base au test de Philipps-Perron. 3.2 La distribution des tests est fonction de TD Plusieurs modèles sont à distinguer en fonction de la partie déterministe TD t introduite dans la régression de test. - Cas sans terme déterministe: si TD t = alors le modèle s écrit: L hypothèse nulle et l hypothèse alternative sont: H : ρ = 1 H 1 : ρ < 1. y t = (ρ 1) y t 1 + ǫ t. (15) (16)

8 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 8 Il s agit donc d un test unilatéral puisque l hypothèse alternative est ρ < 1 et non ρ 1. On vérifie au moyen de (11) que sous l hypothèse alternative de stationnarité y t = O P (1) et qu il en est bien sûr de même sous l hypothèse nulle. Le test se fait soit en calculant la statistique de Student: τ = ˆρ T 1 ˆσ ρt (17) qui a la distribution limite (14), soit en calculant l autre statistique z = T(ˆρ T 1) dont on a donné la distribution limite en (13). - Cas avec constante: si TD t = µ le modèle se complique un peu. On a: y t = (ρ 1)y t 1 + β + ǫ t (18) L hypothèse nulle n est plus la même que précédemment. On veut toujours tester ρ = 1 contre ρ < 1 mais l autre paramètre doit bouger aussi. On a: H : ρ = 1, β = H 1 : ρ < 1 Ceci est bien visible si l on remarque qu en fait β = (1 ρ) µ. Mais aussi si l on veut que y t ait le même ordre sous l hypothèse nulle et sous l alternative de stationnarité, il faut que sous l hypothèse nulle la dérive de la marche aléatoire disparaisse, car sinon y t serait O P (T) alors que l hypothèse alternative de stationnarité implique y t = O P (1). Ceci peut aisément se vérifier au moyen de (11). Les deux tests sont basés sur les mêmes statistiques que précédemment. Il est cependant utile d en modifier légèrement les notations avec τ µ pour la statistique de Student et z µ pour l autre statistique. En effet, les distributions asymptotiques sont légèrement différentes. On peut les trouver dans Phillips and Perron (1988) avec: et τ µ L z µ L 1 { W (r) dw(r) (19) W 2 (r) dr } 1/2, (2) W (r) dw(r) W 2 (r) dr. (21) Les formules sont identiques aux précédentes, sauf que le processus W (r) est en quelque sorte pris en déviation par rapport à sa moyenne et est défini par: W (r) = W(r) 1 W(r) dr. (22)

9 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 9 - Cas avec trend: si enfin TD t = µ + δt le modèle est le suivant: y t = (ρ 1)y t 1 + β + β 1 t + ǫ t (23) L hypothèse nulle a encore un peu changé. Cette fois-ci on a: H : ρ = 1, β 1 = H 1 : ρ < 1 (24) Ceci se justifie encore en explicitant la reparamétrisation car maintenant β = (1 ρ) µ+ρ δ et β 1 = (1 ρ) δ. Mais de même y t doit être encore une fois du même ordre sous les deux hypothèses. Si H 1 signifie que y t est stationnaire autour d un trend, cela signifie cette fois-ci que y t = O P (T). Sous H le même résultat implique que l on ait une dérive et rien d autre. Le test de Student se note dans ce cas τ τ et l autre test z τ. les distributions sont encore un peu différentes que précédemment et sont données encore dans Phillips and Perron (1988): τ L τ H + H τ (K + K τ ) 1/2 z τ L H + H τ K + K τ où H et K correspondent aux termes de la distribution du simple test τ (14): H =.5 (W(1) 2 1) K = 1 W 2 (r) dr et les termes supplémentaires répondent à la définition suivante: [ 1 H τ = 12 K τ = 12 [ 1 r W(r) dr r W(r) dr] ] [ 1 W(r) dr. 1 W(r) dr 1 W(r) dr 1 ] 1 2 W(1) W(1) [ 1 2 r W(r) dr 4 W(r) dr]. W(r) dr Il est alors intéressant de montrer au moyen d une écriture utilisée par exemple dans Boswijk (1992) comment les distributions asymptotiques de ces tests s emboîtent les unes dans les autres. Considérons la fonction particulière g(w, U) suivante: g(w, U) = 1 { 1 U(r) dw(r) } 1/2 (25) U 2 (r) dr où W(r) et U(r) sont deux processus de Wiener sur [, 1]. Définissons ensuite la procédure qui permet de prendre un processus de Wiener en déviation par rapport à sa moyenne, quand celle-ci a une expression un peu générale. On connaît la formule standard qui au

10 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 1 moyen de la matrice de projection M X permet de retirer de la variable Y l influence de X en calculant M X Y comme les résidus de la régression de Y sur X. Si X(r) et Y (r) sont deux processus stochastiques vectoriels en temps continu, on définit l équivalent des résidus M X Y par: M X Y (r) = Y (r) 1 [ 1 1 Y (r) X(r) dr X(r) X(r) dr] X(r). (26) Pour le cas avec constante, on définit M [1] W(r) avec X(r) = 1 et pour le cas avec constante et trend, on définit M [1,r] W(r) avec X(r) = [1, r]. Ce qui fait que: τ L g(w, W) (27) τ µ L g(w, M [1] W) = g(w, W ) (28) τ τ L g(w, M [1,r] W). (29) Les résultats analytiques sur la distribution asymptotique de la statistique de Student ne sont en général que de peu d utilité pratique, car on ne connaît pas d expression paramétrique pour un processus de Wiener. Tout ce que l on puisse faire, c est le simuler par une procédure de Monte Carlo pour donner des tables. On peut trouver des tables dans Fuller (1976), Dickey and Fuller (1981) ou MacKinnon (1991). Dans le cas asymptotique, les résultats s accommodent de conditions très peu restrictives sur les erreurs qui n ont besoin que d être non auto-corrélées. Les erreurs peuvent en particulier être non normales et hétéroscédastiques. Les simulations des valeurs critiques en petit échantillon ne sont en revanche valides que sous l hypothèse de normalité des erreurs. Une grande prudence est donc requise pour leur utilisation. La Table 1 donne les valeurs critiques du test en τ. Elles Table 1: Distribution de τ sous H : y t N(, 1) statistique τ τ µ τ τ probabilité dans la queue de gauche T 1% 5% 1% 1% 5% 1% 1% 5% 1% sont calculées à partir de MacKinnon (1991). La Table 2 donne les valeurs critiques asymptotiques pour le test en z. Comme MacKinnon (1991) ne permet pas de calculer les valeurs critiques du test z, nous avons utilisé les résultats de Fuller (1976) en ne donnant que les

11 3 TESTS DE DICKEY-FULLER 11 valeurs critiques asymptotiques. On peut tirer plusieurs conclusions de l examen de ces tables 1. Premièrement on voit bien que ces valeurs critiques du test en τ sont très différentes de la Normale où les valeurs équivalentes seraient de à 5% et à 1%. Ensuite, la valeur critique dépend de TD t. Elle croit en valeur absolue avec le nombre de régresseurs contenus dans TD t. Enfin on peut montrer [voir Schwert (1989)] que la puissance de ces tests contre une alternative stationnaire diminue avec le nombre de composantes de TD t. Table 2: Distribution de z sous H : y t N(, 1) statistique z z µ z τ probabilité dans la queue de gauche T 1% 5% 1% 1% 5% 1% 1% 5% 1% Régression en une ou deux étapes Jusqu à présent on a calculé les tests de DF et ADF au moyen d une régression en une seule étape. Mais on peut également imaginer, comme cela est fait par exemple dans Campbell and Perron (1991) de séparer la régression en deux. On commencera par estimer une régression de y t sur les régresseurs déterministes contenus dans TD t pour en tirer les résidus. Cette décomposition peut se noter: û t = y t ˆ TD t (3) où donc û t représente les résidus estimés. Puis ensuite on fera les tests habituels sur les résidus. Ceci revient à décomposer la série en sa partie déterministe et sa partie stochastique, seule la dernière nous intéressant pour effectuer les tests. On peut montrer que tant que le modèle complet est linéaire, les tests basés sur la régression en une étape et ceux basés sur la régression en deux étapes sont asymptotiquement équivalents. 3.4 Tests séquentiels de la présence de plusieurs racines unitaires On a supposé jusqu à présent que les séries examinées présentaient au maximum une racine unitaire, c est à dire que le polynôme A(L) avait toutes ses racines endehors du cercle unité, sauf une qui était sur le cercle. Sous l hypothèse alternative, la série est stationnaire, ou stationnaire autour d un trend. Dans le cas de la présence de deux racines unitaires, on aura non-stationnarité à la fois sous l hypothèse nulle, mais également sous l hypothèse alternative, ce qui fait que le test précédent ne fonctionne plus. On va alors mettre en place, à la suite de Dickey and Pantula (1987), une procédure séquentielle. On va par exemple 1 Les premières tables furent publiées dans Fuller (1976). Mais elles sont moins précises que celle-ci.

12 4 TESTS AVEC ERREURS AUTO-CORRÉLÉES 12 différencier deux fois la série et tester la présence d une racine unitaire. Si cette présence est rejetée, on passe à une seule différentiation pour se retrouver dans le cadre usuel. Ce qui fait que l on sera sûr à chaque étape que la série sera stationnaire sous l hypothèse alternative. En d autres termes, on va factoriser (ou imposer) k 1 racines unitaires pour tester la présence d une k ième racine. On se ramène donc toujours au test de la présence d une seule racine. Prenons l exemple simple où l on a factorisé deux racines unitaires dans A(L), ce qui fait que le modèle se note maintenant: (1 ρl)(1 φl) (y t µ) = ǫ t. (31) On ne modifie pas le produit en considérant ((1 L) (ρ 1)L)((1 L) (φ 1)L), ce qui fait que la régression de test s écrit: 2 y t = β + (ρ + φ 2) y t 1 (ρ 1)(φ 1) y t 2 + ǫ t. (32) Alors pour φ = 1, on voit que l on a une première régression de test qui est : 2 y t = β + β 1 y t 1 + ǫ t (33) Le test τ µ sur β 1 teste l hypothèse nulle de deux racines unitaires (une que l on a imposé et l autre que l on teste). Si cette hypothèse est rejetée en utilisant les tables standards données dans le texte, on passe à la régression augmentée suivante : 2 y t = β + β 1 y t 1 + β 2 y t 1 + ǫ t. (34) Le test τ µ sur β 2 teste l hypothèse nulle d une seule racine unitaire. Dans cet exemple, nous n avons pas détaillé la forme de β. Il faut en fait adapter le terme déterministe en fonction du nombre de racines unitaires que l on teste. Si le modèle initial comporte une constante, la régression la plus contrainte n en comporte pas. Plus précisément, développons l expression générale (1 ρl)(1 φl)(µ + δt) = (1 ρ)(1 φ)µ + (φ + ρ 2ρφ)δ + (1 ρ φ + ρφ)δt. Dans le premier cas où l on impose φ = 1 pour tester ρ = 1, le trend disparait et il ne reste que (1 ρ)δ comme terme constant. 4 Tests avec erreurs auto-corrélées Les tests développés jusqu à présent ne reposent pas sur l hypothèse de Normalité des erreurs. Ils sont valides, du moins asymptotiquement, sous des hypothèses relativement générales concernant les erreurs. Mais ils ne sont plus valables dès que les erreurs sont autocorrélées. On a imaginé dans la littérature deux types de corrections. La première revient, dans une approche paramétrique, à modifier la régression de test. La seconde consiste à modifier la statistique de test proprement dite.

13 4 TESTS AVEC ERREURS AUTO-CORRÉLÉES Test de Dickey-Fuller augmenté Il est relativement facile de modifier la régression de test pour tenir compte de l autocorrélation. Le modèle autorégressif de base sur lequel on s est basé était le suivant: A(L) (y t TD t ) = ǫ t. (35) Nous nous sommes limités pour l instant au cas où A(L) était un polynôme de degré un. On va maintenant simplement autoriser A(L) à être de degré p 1. Factorisons ce polynôme A(L) selon la formule explicitée dans le chapitre 1: A(L) = (1 ρl) (1 L) A (L) où A (L) est un polynôme de degré p 1 sans terme constant: A (L) = α 1 L + α 2 L2 + + α p 1 Lp 1 et ρ = 1 A(1). On va supposer que le polynôme A (L) a toutes ses racines en dehors du cercle unité et s intéresser à tester l hypothèse nulle d une seule racine unitaire ρ = 1. Effectuons la multiplication entre la factorisation de A(L) et (y t TD t ): (1 ρl) (y t TD t ) = A (L)( y t TD t ) + ǫ t (36) ce qui montre que l on obtient le même type de modèle que précédemment, mais que cette fois-ci on a simplement rajouté les différences premières retardées de y t. Pour le cas simple où p = 2 et TD t = (µ + δ t) on a A (L) = α 1 L et: y t = ρy t 1 + (1 ρ)(µ + δt) + (ρ + α 1 )δ + α 1 y t 1 + ǫ t. (37) Sous l hypothèse nulle ρ = 1, on retrouve les mêmes propriétés de la régression à savoir que le trend disparaît, que le terme constant initial disparaît et est remplacé par une fonction du paramètre du trend. Le test de l hypothèse nulle s effectue de la même manière que précédemment au moyen d une statistique de Student que l on va noter τ, τ µ, τ τ par analogie avec le cas précédent. Ce type de correction paramétrique a été proposée initialement par Dickey and Fuller (1979), d où l appellation de test de Dickey-Fuller augmenté ou ADF (augmentation de la régression initiale des retards de y t ). Le résultat remarquable, c est que τ et τ ont la même distribution asymptotique sous des conditions très peu restrictives comme l ont montré entre autres Phillips and Perron (1988) sans que l on ait besoin de connaître la valeur de p comme l avaient supposé Dickey and Fuller (1979). 4.2 Sélection des retards dans un test ADF La taille et la puissance du test ADF dépendent fortement du nombre de retards. Si celui-ci est trop faible, il y aura une distortion de taille et si celui-ci est trop grand, il y aura une perte de puissance. On trouvera dans Ng and Perron (1995) une étude comparative des différentes méthodes de choix.

14 4 TESTS AVEC ERREURS AUTO-CORRÉLÉES 14 - Dans un modèle dynamique ajusté sur des séries stationnarisées, le nombre maximum de retards peut être choisi au moyen d un critère d information d Akaike I AIC = log ˆσ 2 + p 2 T, ou de Schwarz I SC = log ˆσ 2 + p log T T. Ici on peut également utiliser ce type de critère car ce sont les retards d une variable stationnarisée y t que l on doit sélectionner. En effet Sims, Stock, and Watson (199) ont montré que l on peut traiter de manière indépendante les régresseurs I() et les régresseurs I(1) et utiliser les tests usuels pour les coefficients des régresseurs I(). On part donc d une régression de test avec suffisamment de retards et on sélectionne le modèle parcimonieux qui minimise le critère d information. Ng and Perron (1995) montrent cependant dans une expérience de Monte Carlo que ces deux critères d information ont tendance à choisir des valeurs trop petites de p, ce qui a pour conséquence de distordre la taille du test. - Un autre façon de choisir les retards dans un modèle AR consiste aussi à partir d un modèle avec un grand nombre de retards et à éliminer au fur et à mesure les retards qui ont un t de Student non significatif. Ng and Perron (1995) montrent toujours dans une expérience de Monte Carlo que cette procédure conduit à choisir un nombre de retards plus important que dans le cas précédent. Le test ADF perd en puissance, mais la distorsion de taille diminue. La présence d une composante MA dans le processus peut poser des problèmes particuliers. On sait que l on peut approximer un processus MA par un processus AR d ordre supérieur. Donc, il devrait suffire de choisir un nombre de retards suffisants pour résoudre le problème. Pourtant, Schwert (1989) a montré que les tests ADF présentaient de grandes distortions de taille en présence de composante MA négative. Dans leur expérience de Monte Carlo, Ng and Perron (1995) montrent que l ajout de retards supplémentaires a du mal à réduire la distorsion de taille dans le cas d une forte composante MA négative. 4.3 Distribution de ˆρ T dans le cas non IID Nous avons donné en (13) la distribution asymptotique de T(ˆρ 1) pour le modèle y t = ρy t 1 + ǫ t en supposant que les erreurs ǫ t étaient IID. Nous allons maintenant relâcher cette hypothèse et voir comment se transforme cette distribution quand ρ est estimé dans un modèle de regression sans correction paramétrique, alors que celle-ci serait nécessaire pour tenir compte de l auto-corrélation du terme d erreur. On a montré que dans le cas IID T 1 y t 1 ǫ t (W 2 (1) 1)σ 2 /2. Ce résultat ne tient plus dans le cas non IID. Dans le cas non IID, la variance d une somme n est plus égale à la somme des variances, il faut rajouter les covariances. On doit alors distinguer entre ce que l on appelle la variance de long terme σ 2 = lim T 1 E[( ǫ j ) 2 ]

15 4 TESTS AVEC ERREURS AUTO-CORRÉLÉES 15 et σ 2 ǫ la variance des erreurs Calculons la variance de long terme: Si les γ ǫ (i) sont nuls, alors σ 2 = σ2 ǫ. σ 2 ǫ = lim T 1 E[ǫ 2 j ] E[( ǫ j ) 2 ] = E[ T i=1 ǫ 2 i + 2 T 1 Tj=i+1 i=1 ǫ i ǫ j ] = Tσǫ T 1 Tj=i+1 i=1 γ ǫ (j i) = Tσ 2 ǫ + 2T T 1 i=1 (1 i/t)γ ǫ(i). Repartons maintenant de l expression de l estimateur des moindres carrés. On a toujours la décomposition suivante pour le numérateur: yt 1 e t =.5(y 2 T ǫ 2 t ). Le comportement limite du premier terme Quant au deuxième terme y 2 T T = 1 T (ǫ ǫ T ) 2 L σ 2 W 2 (1). plim 1 T En regroupant ces résultats partiels, on obtient 1 T yt 1 e t L 1 2 σ2 ( ǫ t T ) 2 = σ 2 ǫ. [ W(1) 2 σ2 ǫ σ 2 qui est donc une généralisation du cas IID que l on retrouve comme cas particulier quand σǫ 2 = σ. 2 Il est facile de voir que la distribution du dénominateur de l estimateur des moindres carrés est 1 1 y 2 L T 2 t 1 σ 2 W(r) 2 dr. En regroupant ces résultats, on arrive au résultat final T(ˆρ 1) L 1 W 2 (1) σǫ/σ W 2 (r) dr ] 4.4 Test non-paramétrique de Phillips-Perron Phillips (1987) et Phillips and Perron (1988) ont utilisé ce résultat pour proposer un test alternatif au test ADF. En réarrangeant les termes de la dernière expression, on trouve T(ˆρ 1) L.5(W 2 (1) 1) λ/σ 2 1 W 2 (r) dr

16 4 TESTS AVEC ERREURS AUTO-CORRÉLÉES 16 avec λ = (σ 2 σ 2 ǫ)/2. On peut alors définir la statistique de test suivante Z PP = T(ˆρ 1) λt 2 / y 2 t 1. où l on a remplacé 1 W 2 (r) dr par son estimateur yt 1 2 /T 2. On peut facilement montrer que la statistique Z PP a la même distribution asymptotique que statistique z de Dickey et Fuller. Il s agit maintenant d estimer les deux variances. Pour σǫ 2, les choses sont simples. L estimateur s 2 ǫ = T 1 ǫ 2 t est consistant. Par contre, il est plus difficile de trouver un estimateur consistant de la variance de long terme. Phillips (1987) a montré que l estimateur s 2 = 1 T ǫ 2 t + 2 T l T ǫ t ǫ t j j=1 t=j+1 était un estimateur consistant de σ 2 où l est la troncature. Mais il est d usage de préférer l estimateur de Newey and West (1987) qui introduit une fenêtre de Barlett pour pondérer les autocovariances. On peut déterminer la valeur de l en regardant la graphique des autocorrélations de e t = y t ou bien en utilisant les techniques liées à l estimation de la densité spectrale. On a considéré jusqu à présent le cas le plus simple. Quand le processus comporte un terme constant ou un trend, il faut modifier ces statistiques. On aura alors les statistiques Zµ PP et Zτ PP par analogie avec les statistiques de Dickey et Fuller Z PP = T(ˆρ 1) T 2 Z PP µ = T(ˆρ 1) T s 2 s 2 ǫ y 2 t 1 s 2 s 2 ǫ (yt 1 ȳ) 2 Zτ PP = T(ˆρ 1) T 6 s 2 s2 ǫ 24 X X où X est la matrice d observations [1, t, y t 1 ]. Ces tests sont plus puissants que le test ADF car ils ne nécessitent pas l ajout de régresseurs supplémentaires en grand nombre quand les résidus ont une composante MA. Cependant, ils souffrent d une distortion de taille si les résidus ont une composante MA négative. Perron and Ng (1996) ont suggéré de modifier ces tests en utilisant MZ PP = Z PP + T 2 (ˆρ 1)2. Ils montrent également que ces tests peuvent être améliorés en utilisant un estimateur paramétrique de la densité spectrale en zéro à la place de l estimateur non-paramétrique de Newey and West (1987). Plus précisément, considérons la régression l y t = ρy t 1 + b j y t j + ǫ t j=1

17 5 TESTS DE L HYPOTHÈSE DE STATIONARITÉ 17 et extrayons les estimations des b j. Un estimateur paramétrique de la densité spectrale en zéro est donnée par: s 2 = s 2 ǫ (1 ˆbj ) 2. 5 Tests de l hypothèse de stationarité On a considéré jusqu ici des tests où l hypothèse nulle était la racine unitaire et la nonstationnarité. Dans le modèle y t = ρy t 1 + ǫ t, on testait H : ρ = 1. L alternative était la stationnarité. Supposons maintenant que l on parte du modèle y t = µ + u t où u t est un processus stationnaire. y t est donc I(). Si l on différencie le processus, on obtiendra y t = u t θu t 1 avec θ = 1. Dans ce modèle ci, l hypothèse nulle devient θ = 1 et elle est équivalente à la stationnarité. Par contre si θ 1, alors ǫ t = u t θu t 1 est stationnaire, et par conséquence le niveau de y t s obtient par une accumulation de bruits blancs statonnaires, y t = ǫ t, ce qui est la définition d une série intégrée d ordre 1. Le test de l hypothèse nulle H : θ = 1 contre l alternative H 1 : θ 1 permettra de tester cette fois-ci la stationnarité de la série. Il y a donc une symétrie entre d un côté racine unité dans la partie AR et non stationnarité et de l autre côté racine unité dans la partie MA et stationnarité. Il n est toutefois pas commode de tester directement la présence d une racine unité dans un processus MA. En effet, même si la vrai valeur de θ n est pas 1, l estimateur du maximum de vraisemblance aura tendance à être proche de 1 par un effet dit de pileup. Ceci vient du fait que les deux MA(1) suivants ont les mêmes autocorrélation : y t = u t + θu t 1 et x t = u t + 1/θu t 1. Il faut donc trouver une autre formulation du problème. Considérons le modèle suivant: y t = µ + δt + z t + u t Var(u t ) = σ 2 u z t = x t 1 + v t Var(v t ) = σ 2 v. La variable y t y est décrite sous la forme de la somme d une composante déterministe comportant un trend δt et d une composante stochastique z t qui est un trend stochastique avec comme valeur initiale z =. Si dans ce modèle on pose σv 2 =, alors le trend stochastique se réduit à sa valeur initiale qui est zéro. Ce modèle adment comme forme réduite un processus MA(1). Effet, appliquons l opérateur aux deux membres de la première équation et remplaçons z t par sa valeur. Il vient: y t = δ + u t u t 1 + v t = δ + ǫ t + θǫ t 1 Tester que θ = 1 est équivalent à tester σv 2 =. On va donc chercher une statistique de test où sous H on aura σv/σ 2 u. 2 On va utiliser ce rapport pour éliminer le paramètre de nuisance σu 2.

18 5 TESTS DE L HYPOTHÈSE DE STATIONARITÉ 18 Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin (1992) ont proposé une statistique de test particulière pour tester H : σv 2 = contre H 1 : σv 2 >. C est un test unilatéral. Considérons tout d abord la régression auxiliaire y t = µ + δt + e t dont on va tirer les résidus estimés ê t. On retire donc les composantes déterministes du processus. Si y t ne comporte pas de trend stochastique, les ê t seront stationnaires. Par contre si y t n est pas stationnaire, il y aura une racine unité dans les ê t. Définissons les sommes partielles t S t = ê j. j=1 Si les ê j sont stationnaires, alors S t est par définition un processus I(1). On sait du chapitre précédent que 1 1 S 2 L T 2 t σ 2 W 2 (r) dr dans le cas simplifié où y t = e t, c est à dire sans terme déterministe. Par contre si les ê j étaient I(1), alors 1 T S 2 2 t divergerait. On a donc ici une statistique intéressante dans la mesure où son comportement diffère complètement sous H et H 1. Il suffit de se débarasser du paramètre de nuisance σ 2 en la normalisant correctement. Une première statistique de test est donc 1 S 2 t T 2 ˆσ 2 où ˆσ 2 est un estimateur de la variance des résidus e t. La distribution asymptotique de ce test repose sur le fait que les e t sont IID. S il sont dépendants, il suffit de remplacer ˆσ 2 par un estimateur de la variance de long terme et l on a alors la statistique proposé par KPPS: KPSS = 1 S 2 t. T 2 ˆσ 2 La variance de long terme peut être estimée en utilisant l estimateur non-paramétrique de Newey-West: s 2 = 1 l ê2 T t + 2 (1 j l + 1 ) 1 T ê t ê t j. T j=1 t=j+1 La distribution de la statistique KPPS sous H dépend de la présence de termes déterministes dans la régression initiale. Les valeurs critiques sont données dans la Table 3. Il est intéressant de remarquer que le test KPSS est un cas particulier d un test proposé antérieurement par Nabeya and Tanaka (1988). Ces auteurs cherchaient à déterminer si une régression linéaire a ses coefficients constants (H ) contre l alternative que ces coefficients suivent une marche aléatoire (H 1 ) dans le modèle y t β t = β t x t + u t = β t 1 + v t

19 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 19 Table 3: Valeurs critique pour le test KPPS Niveau Constante Constante et trend On a la constance de β t si la variance de v t est nulle. Le test de Nabeya and Tanaka (1988) était basé sur une estimation simple de la variance de u t et donc ne tenait pas compte d une possible auto-corrélation des erreurs. 6 Ruptures de Trend et Tests de Perron La littérature empirique sur les tests de racine unitaire est devenue assez importante au fil des années. Elle est principalement d origine américaine. On a vu la préoccupation de pouvoir séparer entre trend déterministe et trend stochastique et l intérêt que cela pouvait avoir pour l analyse conjoncturelle (business cycle). Le papier au retentissement important de Nelson and Plosser (1982) a montré que la plupart des séries macro-économiques américaines avaient une racine unitaire. L hypothèse de racine unitaire disqualifie le point de vue selon lequel les fluctuations conjoncturelles sont de nature transitoire autour d un tendance plus ou moins stable. Le papier de Perron (1989) va à l encontre de cette littérature dans la mesure où il montre que la plupart des séries macro-économiques américaines ne présentent pas de racine unitaire et que les fluctuations y sont de nature transitoire. Seuls deux événements ont une influence permanente sur les différentes séries et ce sont la crise de 1929 et le choc pétrolier de Le postulat sur lequel repose cette conclusion, c est que ces deux chocs sont exogènes. Cette hypothèse sert à retirer l influence de ces deux chocs de la partie aléatoire des séries. Encore une fois, nous verrons que la distribution des tests DF et ADF varie en fonction des éléments constituant le trend déterministe. 6.1 Modélisation d une rupture de trend Rappelons encore une fois que le modèle qu il est très commode de considérer pour comprendre le fonctionnement des tests de racine unitaire est le suivant: y t = µ + δt + u t A(L)u t = ǫ t (38) En factorisant le polynôme A(L) comme à l acoutumée et en regroupant les deux équations du système on obtient une équation réduite dans laquelle il suffit de poser ρ = 1 pour

20 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 2 obtenir une caractérisation de y t sous l hypothèse nulle. On cherche à enrichir ce modèle de manière à pouvoir considérer des ruptures exogènes dans la partie déterministe de la série à partir d une date inconnue que l on appelera ζ. Trois possiblités s offrent à nous qui correspondent à trois cas empiriques précis. Une rupture dans le terme constant µ va permettre de représenter un crash dans la série. On pense à la crise de 1929 au moins pour les Etat-Unis. Une rupture dans le trend va permettre de représenter un changement dans le taux de croissance de la série, ce qui est caractéristique de beaucoup de de séries après le premier choc pétrolier de Enfin le dernier modèle possible combine ces deux possiblités. Introduisons donc pour commencer la fonction indicatrice ID(ζ): ID(ζ) = 1 si t > ζ (39) ID(ζ) = autrement Les trois modèles que l on veut considérer correspondent alors aux équations statiques suivantes: y t = µ 1 + (µ 2 µ 1 )ID(ζ) + δt + u t (4) y t = µ + δ 1 t + (δ 2 δ 1 )(t ζ)id(ζ) + u t (41) y t = µ 1 + δ 1 t + [(µ 2 µ 1 ) + (δ 2 δ 1 )(t ζ)]id(ζ) + u t (42) Il faut maintenant combiner ces trois modèles qui correspondent à l hypothèse alternative avec le polynôme A(L) factorisé. Pour simplifier l exposé, on prendra ce polynôme de degré 1 et égal à (1 ρl). Nous allons effectuer ce calcul pour chacun des trois modèles. Mais tout d abord, il est utile de remarquer quelques particularités de la fonction indicatrice ID(ζ). On a en premier lieu que L ID(ζ) = ID(ζ + 1) ID(ζ) = ID(ζ) ID(ζ + 1) On remarque ensuite que ID(ζ) correspond à une nouvelle fonction indicatrice ID(ζ) = 1 si t = ζ + 1 ID(ζ) = autrement (43) qui modélise donc l équivalent d une variable dummy ponctuelle à la date t = ζ + 1. Ce petit détour fait, on arrive au résultat (1 ρl)id(ζ) = (1 ρ) ID(ζ), ce qui nous permet d obtenir nos trois régressions de test: y t ρy t 1 = (1 ρ)(µ 1 + (µ 2 µ 1 )ID(ζ) + δt) + ρ(δ + (µ 2 µ 1 ) ID(ζ)) + ǫ t (44)

21 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 21 pour le modèle crash, y t ρy t 1 = (1 ρ)(µ + δ 1 t + (δ 2 δ 1 )(t ζ)id(ζ)) + ρ(δ 1 + (δ 2 δ 1 )ID(ζ)) + ǫ t (45) pour le modèle à taux de croissance variable, y t ρy t 1 = (1 ρ)(µ 1 + δ 1 t + ((µ 2 µ 1 ) + (δ 2 δ 1 )(t ζ))id(ζ)) + ρ(δ 1 + (δ 2 δ 1 )ID(ζ) + (µ 2 µ 1 ) ID(ζ)) + ǫ t (46) pour le modèle combiné. En posant dans chacun de ces modèles ρ = 1, on trouve naturellement la forme de l hypothèse nulle correspondante, qui autrement n est pas évidente à expliquer: y t = δ + (µ 2 µ 1 ) ID(ζ) + ǫ t (47) y t = δ 1 + (δ 2 δ 1 )ID(ζ) + ǫ t (48) y t = δ 1 + (δ 2 δ 1 )ID(ζ) + (µ 2 µ 1 ) ID(ζ) + ǫ t (49) Sous l hypothèse nulle, y t suit une marche aléatoire avec dérive. Cette dérive peut changer de trois façons différentes. Dans le premier modèle, la dérive fait un saut sur une seule observation correspondant à la date ζ + 1 et ce saut est mesuré par (µ 2 µ 1 ). Dans le deuxième modèle, la dérive change de façon permanente après la date ζ et ce changement permanent est mesuré par (δ 2 δ 1 ). Dans le troisième modèle, nous avons un effet combiné de changement permanent dans la dérive après la date ζ et d une pointe transitoire à la date ζ+1. Quand le polynôme A(L) est de degré supérieur à 1, il suffit de rajouter à la régression de test un terme qui au maximum a la forme: A (L)( y t δ 1 (δ 2 δ 1 )ID(ζ)) (5) 6.2 Motivation empirique On ne s intéressera ici qu au deuxième modèle qui nous servira in fine à traiter une application sur données françaises trimestrielles. Perron (1989) motive son analyse de trend segmenté sur l exemple du PIB réel américain sur la période 1947:1-1986:3. Celui-ci marque une rupture de tendance en 1973:1 (observation 15 de l échantillon) quand on ajuste un modèle avec constante, trend et une variable dummy DT73 qui vaut zéro avant cette date et ensuite (t 15). La régression est la suivante: log Y USAt = 6.98 [1149] +.87 [96.7] t.3dt73 + u t [ 11.5] R 2 =.992 DW =.12 ˆσ =.322 La série détrendée de cette façon présente une structure d autocorrélation qui décroît très rapidement (voir la Table 1). Ce comportement n est certainement pas celui associé avec

22 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 22 une marche aléatoire ou une marche aléatoire à laquelle on a retiré un trend. Il est par contre typique du comportement d une série stationnaire. Mais d autre part un test de Dickey-Fuller avec trend non segmenté ne permet pas de rejeter l hypothèse nulle d une racine unitaire, même au seuil de 1%, ce qui bien sûr pose un sérieux problème et motive l article de Perron. Nous allons refaire ce petit exercice sur le logarithme du PIB français pour la même période et les comparer aux calculs de Perron. On peut rapidement se rendre compte au USA FRA dates Figure 1: Logarithmes du PIB français et du GNP américain Les échelles ont été ajustées moyen d un graphique que le choc pétrolier de 1973 s est traduit par une rupture de trend au premier trimestre de Par contre sur les données américaines la rupture s est produite au premier trimestre de 1973, donc un an avant. Le modèle avec trend segmenté donne: log Y FRt = [2826.5] +.14 [249.] t.9dt74 + u t [ 48.4] R 2 =.999 DW =.26 ˆσ =.21 On peut constater sur la Table 4 les similitudes entre les auto-corrélations des résidus de cette régression et les autocorrélation des résidus d une régression effectuée sur le PIB américain. Un test de Dickey-Fuller augmenté traditionnel ne permet pas pourtant dans un cas comme dans l autre de rejeter l hypothèse nulle de racine unitaire: log Y FRt =.386 [.38] log Y USAt =.386 [2.9].138t log Y FRt 1 [ 1.64] [.453] ˆσ =.11 τ τ = t.54 log Y USAt 1 [2.71] [ 2.54] ˆσ =.1 τ τ = 2.54

23 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 23 Table 4: Autocorrélation des PIB stationnarisés γ(h) û FR û USA car les valeurs critiques asymptotiques pour le test ADF sont 3.41 à 5% et 3.12 à 1%. La prise en compte de la rupture du trend peut être déterminante. 6.3 Expérience de Monte Carlo Pour bien voir ce qu il se passe quand on autorise un changement dans la dérive d une marche aléatoire, Perron fait une petite expérience de Monte Carlo qui consiste à générer 1. échantillons de 1 observations selon le modèle: y t = µ + β 1 t + (β 2 β 1 )(t ζ)id(ζ) + ǫ t (51) Les paramètres ont été fixés à µ =, β 1 = 1, ζ = 5 et ǫ t N(, 1). On va ensuite ignorer la rupture de trend et estimer l équation d un test DF: y t = µ + βt + ρy t 1 + ǫ t (52) L expérience de Monte Carlo sera conduite en faisant varier β 2, c est à dire l importance de la rupture dans le trend. Quand β 2 = 1, il n y a pas de rupture de trend. La distribution empirique cumulée de ˆρ est centrée autour de. Les données sont générées par un modèle trend stationnaire pur et les résultats empiriques reproduisent bien cela. Quand on baisse la valeur de β 2 vers zéro, on augmente la différence de pente dans le trend entre les deux sous périodes. La distribution empirique cumulée de ˆρ se concentre alors de plus en plus vers un, ce qui veut dire qu empiriquement on se dirige vers un modèle de marche aléatoire. Ceci peut se voir dans la Table 5. Perron (1989) donne en outre le théorème suivant qui Table 5: Comportement de ˆρ en présence d une rupture de trend β 1 = 1, µ = β 2 = 1. β 2 =.9 β 2 =.7 β 2 =.4 β 2 =. moyenne écart-type complète bien ces résultats empiriques :

24 6 RUPTURES DE TREND ET TESTS DE PERRON 24 Théorème 1 : Soit un échantillon de taille T + 1 de la variable y t générée par un modèle auto-régressif stationnaire avec un trend comportant une rupture et des erreurs indépendantes normales. Soit ζ = λt avec λ [, 1]. Alors ˆρ estimé dans un modèle auto-régressif avec trend sans rupture converge en probabilité vers 1 et: T(ˆρ 1) p 3( 1 + 4λ 5λ2 + 2λ 3 ) 2( 3 + 4λ 3λ 2 + 3λ 3 4λ 4 ) Ce théorème est établit dans Perron (1989) sous des conditions relativement faibles de mélange portant sur les ǫ t. La normalité et l indépendance sont des conditions plus fortes, mais plus simples à énoncer. Ce théorème montre que ˆρ converge vers 1 asymptotiquement, et que cela ne dépend pas de β 2. Le second résultat de convergence montre que le biais normalisé T(ˆρ 1) converge vers une quantité finie qui varie entre zéro et 1/2 en fonction de λ. T(ˆρ 1) représente aussi la statistique de test z. Sa valeur critique asymptotique est de 21.8 à 5%, ce qui fait qu avec une valeur limite comprise entre et 1/2 ce test ne rejettera jamais l hypothèse nulle de racine unitaire. On peut donc conclure que le fait de négliger une rupture dans le trend va conduire à ne jamais rejeter l hypothèse nulle de racine unitaire. Il faut donc proposer un nouveau type de test qui tienne compte de cette possibilité. 6.4 Test avec trend segmenté On va conduire ce test un peu comme l on avait conduit les précédents. Il suffit d enrichir de manière adéquate la composante déterministe TD t. On a vu qu il existait deux façons équivalentes de calculer un test DF ou ADF. Soit on utilise une régression en une étape, soit on retire tout d abord le trend et on fait le test sur les résidus estimés, utilisant de ce fait une régression en deux étapes. Ces deux procédures sont asymptotiquement équivalentes tant que le trend est linéaire. Ici ce n est plus le cas. Perron (1989) ne détaille qu une méthode en deux étapes. Il calcule donc: û t = y t T ˆD t avec T ˆD t = ˆµ + ˆδ t + ˆδ 1 (t ζ)id(ζ) (53) estimé par moindres carrés. Sur ces résidus estimés, il calcule un test DF ou ADF selon la nécessité: û t = (ρ 1)û t 1 + A (L) û t + ǫ t (54) Les deux tests DF et ADF ont encore une fois la même distribution asymptotique sous des conditions pas très restrictives. Notons τ π ce nouveau test (statistique de Student associée au coefficient de û t 1 ). Sous l hypothèse que les erreurs ǫ t soient IID (hypothèse plus restrictive que celles données dans l article de Perron), on obtient la distribution asymptotique de ce nouveau test: Théorème 2 : Soit la série {y t } générée sous l hypothèse nulle d une marche aléatoire d innovations indépendantes identiquement distribuées, avec une dérive qui change au point ζ = λ T. Alors pour T la statistique τ π converge en distribution vers une fonctionnelle de processus de Wiener normalisés avec: τ π L H π (λ)/ [ 3λ 3 K π (λ) ] 1/2