Exercices corrigés sur les séries de Fourier

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1 Exercices corrigés sur les séries de Fourier Enoncés Exercice Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonctio-périodique f : R R telle que fx = x sur ], ]. La série converge-t-elle vers f? Exercice Calculer la série de Fourier, sous forme trigonométrique, de la fonctio-périodique f : R R telle que fx = x sur [, [. La série converge-t-elle vers f? Exercice 3 Soit f : R R la fonctio-périodique, impaire, telle que { si x ], [ fx = si x =. Calculer les coecients de Fourier trigonométriques de f. étudier la convergence simple, uniforme de la série de Fourier de f. 3 En déduire les valeurs des sommes k= k k +, k= k +,, n. Exercice 4 Soit f : R R la fonctio-périodique telle que fx = e x pour tout x ], ]. Calculer les coecients de Fourier exponentiels de la fonction f. étudier la convergence simple, uniforme de la série de Fourier de f. 3 En déduire les valeurs des sommes n +, +. Exercice 5 Soit f : R R la fonctio-périodique dénie par fx = x, x [, [. Calculer les coecients de Fourier trigonométriques de f. Étudier la convergence de la série de Fourier de f. 3 En déduire les sommes des séries n,.

2 Exercice 6 Soit f : R R une fonctio-périodique continûment diérentiable, et soit α un réel non nul. On considère l'équation diérentielle x t + αxt = ft. Trouver une solutio-périodique de cette équation en écrivant xt et ft sous la forme de séries de Fourier trigonométrique. Appliquer ce résultat au cas où α = et ft = t si t [, [, t 3 + si t [, [. Exercice 7 Théorème de Féjer On note C R/Z l'ensemble des fonctions continues de R dans C et -périodiques. On dénit le produit de convolution de deux fonctions f, f C R/Z par f f x = f x yf y dy. Pour tout k N, soit φ k : R C la fonction dénie par φ k x = k k l= m= l e imx. Montrer que φ k x = cos kx k cos x k si x Z, si x Z. Montrer que φ k satisfait les propriétés suivantes : a pour tout k, φ kx dx = ; b pour tout ε ], [, x [ε,] φ kx dx lorsque k. En déduire que, si f C R/Z, alors f φ k converge vers f uniformément sur R. 3 Calculer f φ k. Conclure.

3 Solutions Solution de l'exercice Il est facile de voir que la fonction f est paire, de sorte que les coecients b n sont tous nuls, et que a n f = ft cosnt = cosnt { n t cosnt = n si n, si n =. On a donc : SF ft = + k 4 k + cos k + t. Puisque la fonction f est continue sur R, le théorème de Dirichlet montre que la série converge vers f en tout point de R. Solution de l'exercice La fonction f n'est ni paire ni impaire. Calculons ses coecients de Fourier trigonométriques. D'une part, a f = ft = t = [ ] t 3 = 8 3 3, et d'autre part, pour n, a n f = t cosnt { [ = t sinnt ] n { [ = t cosnt = = 4 { + t sinnt n ] [ sinnt n 3 ] + cosnt et b n f = t sinnt { [ = t cosnt n { = 4 n + ] [ t sinnt [ cosnt + t cosnt n ] ] sinnt = 4 n + = 4 n. n 3 On a donc : SF ft = cosnt sinnt. n n 3

4 La fonction f satisfait les hypothèses du théorème de Dirichlet, et la série SF f converge en tout t vers { ft+ + ft ft si t Z, = si t Z. Solution de l'exercice 3 La fonction f étant impaire, a n = pour tout n N. Pour n, b n f = [ sinnt = cosnt ] = n 4 si n est impair, = n n n si n est pair. La série de Fourier trigonométrique de f est donc donnée par SF ft = k= 4 k + sin k + t. La fonction f satisfait les hypothèses du théorème de Dirichlet, et la série SF f converge en tout t vers ft+ + ft = ft. La convergence ne peut être uniforme car la limite f n'est pas continue. 3 Pour t = /, on a : sin k + t = sin + k = k, donc k= k k + = 4 f = 4. Puisque f est impaire, l'égalité de Parseval donne ft = b n f = 8 k +, donc k= k= k + = 8. Ensuite, on a : Enn, = k= k + + k= k = 8 + 4, donc = = 6. n + k= k = k + = 8, donc k= n = =. 4

5 Solution de l'exercice 4 On a : c n f = = = = = [ = sh e t e int e int ] e int in e in e in in n e e n in. in On vérie facilement que les hypothèses du théorème de Dirichlet sont satisfaites. Il s'ensuit que SF ft = c f + n cn fe int + c n fe int converge vers ft si t ], [ et vers f+ + f / = ch si t =. Autrement dit, { sh n e t si t ], [ in eint = ch si t =. n Z La fonction somme n'étant pas continue, la convergence ne peut pas être uniforme. 3 Pour t =, on obtient : soit d'où l'on tire que Pour t =, on obtient : soit d'où l'on tire que = sh n Z n in, sh = + n in + = + + in n= th = n Z n= n + = sh +. ch = sh n Z in, in = + +, n= + = th +. n= n +, 5

6 Solution de l'exercice 5 : On remarque que f est paire, de sorte que b n f = pour tout n. Par ailleurs, et, pour tout n, a f = x dx = a n f = = = n = n = 4, y dy = [ y 3 3 x cosnx dx y cosny + n dy y cosny dy 4 n ] = 3, où l'on a eectué deux intégrations par parties. La série de Fourier de f s'écrit donc SF fx = cos nx La fonction f est de classe C R. Le théorème de Dirichlet permet donc de conclure que, pour tout x R, SF fx = fx. 3 D'après la question précédente, = f = et = f = n. On en déduit que = 6 et n =. Solution de l'exercice 6 : On écrit : ft = a + a n cos nt + b n sin nt et xt = A + A n cos nt + B n sin nt et, en dérivant terme à terme, x t = nb n cos nt na n sin nt. On a alors x t + αxt = αa + [ nbn + αa n cos nt + αb n na n sin nt ]. 6

7 En identiant les coecients, on obtient : a = αa, a n = nb n + αa n, b n = αb n na n, i.e. A = a α, A n = αa n nb n + α, B n = na n + αb n + α. La fonction f proposée est continûment dérivable sur R. Calculons ses coecients de Fourier. On a : a f = t [ + t 3 ] + =. Par ailleurs, on remarque que la fonction f a f/ est impaire, de sorte que a n f = pour n. Enn, b n f = t [ sin nt + t 3 ] + sin nt = n t sin nt + sin nt = n I + I, avec I = t sin nt [ = t ] cos nt + t cos nt n n = 4 n + t cos nt n = 4 n + [ t ] sin nt sin nt n n = n + [ ] cos nt 4n n = n + n 4n n 3 = n [ 4n ] n 3 et Donc I = sin nt = [ ] cos nt = n n n. b n f = 4 n n 3. On obtient A = / et, pour tout k N, A k = B k =, A k = et B k = 8 k k + 8 k 3 k +. 7

8 Finalement, il est facile de voir que la série nb n cos nt na n sin nt est uniformément convergente, et que par conséquent la série A + A n cos nt + B n sin nt, qui est aussi uniformément convergente, a pour somme une fonction xt continûment dérivable sur R, qui est solution de l'équation diérentielle donnée. Solution de l'exercice 7 : Il est facile de voir que, pour tout l N et tout x Z, de sorte que m= l e imx = e imx + m= k l= m= l e imx = m= e imx = cos kx cos x. cos lx cosl + x, cos x La valeur de φ k en tout x Z s'obtient aisément par un argument de continuité, ou par un calcul direct. Comme eimx dx est nulle pour m et vaut pour m =, nous obtenons φ k x dx = k k l= m= l e imx dx =. Fixons maintenant ε ], [, et posons K ε := cos ε. Il est clair que, pour tout x [, ε] [ε, ] et tout k N, φ k x = cos kx k cos x K ε k. Donc, pour k susamment grand, φ k x ε, de sorte que φ k x dx x [ε,] ε, et le point b s'ensuit. Puisque f est continue et -périodique, elle est uniformément continue. Etant donné ε > xé, il existe η ], [ tel que y, y R, y y < η = fy fy ε <. Nous avons alors : f φ k fx = fx y fx φk y dy = I + I, fx y fx φ k y dy 8

9 où et I := y [η,] La propriété b montre que I := y <η fx y fx φ k y dy ε, fx y fx φ k y dy f φ k y dy. y [η,] f y [η,] pour k susamment grand, et le résultat s'ensuit. 3 Nous avons : φ k y dy ε/ f φ k x = fx yφ k y dy = k fx ye imy dy k = k k l= m= l l= m= l x+ e imx fy e imy dy, où l'on a eectué le changement de variable y = x y. En notant c m f le coecient de Fourier complexe de f d'ordre m et S l fx la somme partielle d'ordre l de la série de Fourier de f, c'est à dire, nous voyons que x c m f := fye imy dy et S l fx := f φ k x = k k l= m= l m= l c m fe imx, c m fe imx = k S l fx. k Nous avons donc montré le théorème de Féjer : si f C R/Z, la série de Fourier de f converge uniformément vers f au sens de Césaro. l= 9