Cours MF206 : Ecoulements rampants et laminaires. Peinture de tubes horizontaux

Transcription

1 Cous MF206 : Ecoulements ampants et laminaies Petite classe n 2 ( ) Ecoulements de lubification à suface libe Peintue de tubes hoiontaux Dans les opéations de evêtement de tubes hoiontaux pa une couche de potection (pa exemple de peintue), l écoulement dû à la gavité peut cée, avant séchage, une inhomogénéité d épaisseu dommageable. Pou étudie ce poblème, on pend un tube cylindique hoiontal de ayon R; on suppose que la peintue est un fluide newtonien de viscosité ν (supposée dans un pemie temps constante) et que l écoulement est invaiant dans la diection de l axe. Nous supposons qu au temps initial (t = 0), l épaisseu h(θ,t) du film de peintue a une valeu constante h 0 tout autou du tube (indépendante de l angle polaie θ pis nul à la veticale de l axe du tube). On néglige également les effets de la tension supeficielle et de la viscosité de l ai ambiant supposé de pession constante p at.. Ecie la fome simplifiée de l équation du mouvement suivant e θ et e (utilise le fomulaie des équations de mouvement en coodonnées cylindiques, ajoute le teme de gavité et suppose l appoximation de lubification valable). Calcule la pession dans le film fluide en fonction de et θ. Le gadient de pession dans le film est-il suffisant pou influence l écoulement? On poua pose y = R. 2. Détemine la composante de vitesse othoadiale v θ (y) dans la couche mince de fluide pou un angle θ quelconque en pécisant les conditions aux limites. Quelle est l allue du pofil de vitesse à θ donné? Calcule le débit local Q dans la couche mince (pa unité de longueu suivant O). 3. Monte qu on a dans le égime généal faiblement instationnaie : h 2 t = gh 3νR 3 h sinθ + hcosθ. () θ 4. Monte que l évolution tempoelle h(t) de l épaisseu h de la couche en haut du tube (θ = 0) peut s écie h = h 0 f(t/τ e ). Que vaut τ e pou une peintue 000 fois plus visqueuse que l eau avec une épaisseu initiale h 0 = mm su un tube de ayon R = 0 cm? Que devient l expession aux temps longs? 5. Faie les mêmes calculs pou le bas du tube (θ = π). Que se passe-t-il au bout du temps τ e? Les conditions d'application de l'appoximation de lubification sont-elles encoe véifiées?

2 ENSTA Enseignement de 2 ème année Cous MF206 : Ecoulements ampants et laminaies Petite classe n 2 6. On suppose que la viscosité cinématique v de la peintue augmente exponentiellement en fonction du temps, avec un temps caactéistique de séchage τ s : ν = ν 0 exp(t /τ s ). Ecie la nouvelle fome que de l'équation (). Monte que la vaiation de l'épaisseu h(t) en haut et en bas du tube pend maintenant la fome (indique à quelle expession coespond chaque cas) : h = ± τ /2 s e t / τ ( s ) (2) h 0 τ e 7. Quelle fome pend la vaiation de l'épaisseu aux temps couts (t << τ s ) en haut et en bas du tube? 8. Quelle est l'épaisseu finale aux temps longs (t >> τ s )? Expessions en coodonnées cylindiques (,θ,) Equation de continuité pou un fluide incompessible Equation de Navie-Stokes dans le teme de gavité v vθ v v = 0 θ v v v v v v p v v v v 2 v v t θ ρ θ θ θ θ θ + - =- + ν v v v v v v v p v v v v v v t θ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 θ + + =- + ν v v vθ v v p v v v v + = - + ν t θ ρ θ

3 ENSTA Enseignement de 2 ème année Cous MF206 : Ecoulements ampants et laminaies Petite classe n 2 Ascension d un film fluide su une plaque pésentant un gadient de tempéatue Figue (gauche) : vue de face de l ascension d un film fluide su une plaque veticale sous l effet d un gadient de tempéatue vetical à deux instants difféents. Les lignes noies coespondent à des fanges d intéféence. Les défomations eflètent l appaition d instabilités qui ne seont pas étudiées dans le pésent execice (Document A.M. Caabat, Pais). - (à doite) Schéma de l ascension du film fluide su la plaque. On s intéesse à l ascension d un film liquide pa effet Maangoni su une plaque veticale su laquelle on a établi un gadient de tempéatue. Le film est en contact avec de l ai à la pession atmosphéique p at. On appelle γ ο la tension supeficielle moyenne ente le liquide et l'ai. On ne se péoccupe pas de la façon dont le film fluide se accode avec la suface liquide hoiontale ni de la fome de l'inteface et de l'équilibe des foces pès de la ligne de contact supéieue. On supposea que l appoximation de lubification est valable (film de faible épaisseu et ascension lente). On suppose l écoulement bidimensionnel et invaiant dans la diection Oy et que la coubue locale du film est faible dans toutes les diections. On suppose que la densité ρ et la viscosité μ du fluide sont constantes. ) On établit su la paoi un gadient de tempéatue dt/d supposé indépendant de la pésence du film de fluide. On suppose que celui-ci est suffisamment mince pou que la tempéatue de l'inteface liquide-ai coesponde exactement à la tempéatue locale de la suface solide. On suppose que la déivée dγ/dt (supposée constante) de la tension supeficielle liquide-ga pa appot à la tempéatue est < 0. Dans quel sens deva ête oienté le gadient themique pou que ce gadient de tension supeficielle puisse induie une ascension du liquide. On appelle τ = dγ/d (=dγ/dt dτ/d) la déivée spatiale coespondante de la tension supeficielle. Quelle est la condition aux limites coespondante su la vitesse du fluide? 2) Quel est le gadient de pession dans le film? Calcule en fonction de τ, h(), ρ, μ et g la vitesse v (x,) du fluide à l intéieu du film liquide et calcule ensuite le débit coespondant Q à taves la section = cst du film en fonction des mêmes vaiables. 3) Ecie l équation de consevation de la masse eliant le débit Q à la vaiation tempoelle de h. Monte que la composante veticale V(h) de la vitesse de déplacement du point où le film a une épaisseu donnée h véifie : V(h) = dq (2) dh

4 ENSTA Enseignement de 2 ème année Cous MF206 : Ecoulements ampants et laminaies Petite classe n 2 En déduie que les pofils des films à difféents instants se déduisent pa une affinité. En déduie aussi qu'il existe une épaisseu maximale h o du film pou laquelle V(h) s'annule et calcule h o numéiquement pou τ = 0,02 Pascal et ρ = 0 3 kg/m 3. 4) On suppose dans la suite que h o epésente l'épaisseu du film au point de accodement avec la suface liquide hoiontale et que l'épaisseu décoît de manièe monotone à pati de h o avec. Monte que V(h) pésente un maximum V m pou une cetaine valeu h m : calcule numéiquement V m et h m (on penda μ = 0, Pa.s). Monte intuitivement qu'un tel compotement pose des poblèmes physiques pou l'évolution du pofil du film avec le temps et la hauteu. Quel phénomène cela vous appelle-t-il? 5) On admet pou ésoude ce poblème que l'épaisseu du film tombe busquement à 0 au dessous d'une cetaine valeu citique h c telle que, pou assue la consevation de la masse, le débit Q(h c ) véifie Q(h c ) = V(h c ) h c. Comment peut-on justifie cette hypothèse? Calcule h c et V(h c ) analytiquement et numéiquement.

5 ENSTA Enseignement de 2 ème année Cous MF206 : Ecoulements ampants et laminaies Petite classe n 2 Spin coating La technique du "spin coating" consiste à dépose su un disque une couche d'un liquide visqueux et à mette ensuite le disque en otation avec une vitesse angulaie ω autou d'un axe =0. On néglige les foces de gavité et de capillaité et on suppose enfin l'écoulement quasistationnaie. On suppose qu'on peut caactéise l'écoulement pa une composante adiale de vitesse v (,,t) et une composante othoadiale v θ () égale à la vitesse locale de la suface du disque à la même distance de l'axe de otation. On suppose la pente h/ de la suface de la couche faible ou nulle et une symétie de évolution autou de l'axe = 0. On appelle p at la pession atmosphéique. On suppose le fluide newtonien, incompessible, de masse volumique ρ et de viscosité dynamique μ (cinématique ν) et sans évapoation. On appliquea l appoximation de lubification. h(,t) p at v (,,t) ) a) Quelle est la distibution de pession à l'intéieu de la goutte? b) Ecie dans le éféentiel fixe du laboatoie la composante adiale de l'équation de mouvement en coodonnées cylindiques en tenant compte des appoximations indiquées plus haut. Quelles sont les conditions aux limites véifiées pa la vitesse v? A quoi se éduisent les autes composantes de l'équation de mouvement? Utilise le fomulaie de l execice c) Monte que le débit q(,t) à taves un cylinde de ayon et d axe O véifie : q = 2 πω h(, t) ν () h q 2 ) a) Démonte que : = - (2) t 2 π Ecie la elation ente la déivée h/ t et, h/, ω et ν. b) On suppose qu à un instant donné, la couche a une épaisseu h constante avec la distance. Monte qu elle estea ensuite d épaisseu constante avec (analyse pou cela la vaiation de h/ t en fonction de ). Quelle est alos la vaiation du débit q(,t) avec? c) Supposons l'épaisseu h constante avec et égale à une valeu h o à l'instant initial t = 0. Que devient l'équation difféentielle véifiée pa h/ t. Monte qu'on obtient alos : /2 h = ho t + τ Quelle est l'expession de τ? Quelle fome pend la vaiation de h avec t pou t >> τ. d) On suppose une vitesse de otation de 30 tous/s et un fluide de viscosité 0-2 Pa.s et de masse volumique 0 3 kg m -3 avec une épaisseu initiale de 0,5 mm. Quelle est la valeu du temps τ? Quelle sea la valeu de l'épaisseu h du film au bout de 0 s et 00 s de otation? (3)