Droites, plans et vecteurs dans l espace

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1 0 Doites, plans et vectes dans l espace Ouvete Une constuction en dimension 4 cela paait difficile à concevoi mais potant on pale déjà de la dimension 4 po le cinéma. Il s agit de salles de cinéma D (haute, lage et pofonde) que l on équipe d effets sensoiels qui pemettent de simule le temps, les buits, les mouvements à l aide de sièges qui bougent aussi, etc. e chapite epend les bases du chapite de seconde s les positions elatives de doites et de plans auxquelles on ajoute l othogonalité, les vectes et le epéage dans l espace. Le but étant de compléte la epésentation dans l espace pa des calculs. Les tavaux patiques de ce chapite sont tous issus de sujets de l épeuve patique. Réponse à la question Pon tesseact, on peut touve pas moins de 6 patons! Véifie ses acquis. c.. a.. a 4. b.. a.. a.. a. 4. a.. a.. c.. c. 4. a. 4. b.. b.. c. 4. b. 5. b.. c.. a. 4. b. (F) et (PM) sont coplanaies et non paallèles donc elles sont sécantes. (GH) et (QR) sont coplanaies dans le plan (EFG) et ne sont pas paallèles donc elles sont sécantes. 4 Le point N est s la doite (GH) donc il appatient au plan (DH) et pa conséquent les doites (DH) et (PN) sont coplanaies et non paallèles donc elles sont sécantes. 5 La section du plan (PQR) s le cube est donc le polygone RQJPI. 6 Les côtés [RI] et [PJ] sont paallèles ca ils appatiennent à deux faces opposées du cube. De même les côtés [PI] et [QJ] sont paallèles. 7 Po touve la doite d intesection des plans () et (PQR) il suffit de emaque que les doites (PI) et () sont sécantes ca coplanaies dans le plan (F). De même les doites (PJ) et (D) sont sécantes dans le plan (DH). Les deux points obtenus appatiennent aux deux plans () et (PQR) donc le doite est la doite d intesection chechée. E M R Q N H F I G J ctivités d intoduction P D ctivité Dans cette activité, l objectif est de constuie la section du cube pa un plan chechant les intesections avec chacune des faces du cube. (FG) et (QR) sont coplanaies dans le plan (EFG) et ne sont pas paallèles donc elles sont sécantes. Le point M est s la doite (FG) donc il appatient au plan (F) et pa conséquent les doites ctivité Dans cette activité, l objectif est de découvi la notion d othogonalité. a. () et (D) sont paallèles b. (D) et (G) pependiculaies ca coplanaies c. () et (G) othogonales ca non coplanaies Les autes aêtes othogonales à l aête () sont : (DH), (FG) et (EH). hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 5 éditions elin, 0.

2 On a () paallèle à (EF) et (EF) pependiculaie à (FG) et (EH) dans le caé EFGH, donc () est othogonale à (FG) et (EH). De même () est paallèle à (D) et (D) est pependiculaie à (DH). 4 La doite () et le plan (G) sont othogonaux. 5 La doite () est pependiculaie avec les doites () et (F) qui sont toutes les deux sécantes et incluses dans le plan (G) donc () est othogonale au plan (G). 6 a. La doite (O) est pependiculaie aux doites (O) et (O) sécantes et incluses dans le plan (O) donc (O) est othogonale au plan (O). b. La doite (O) est donc othogonale à toute doite du plan (O) donc à la doite (). c. La doite () est othogonale à la doite (O) et pependiculaie à la doite (OH) en tant que haute, o ces deux doites sont sécantes en O et pa conséquent la doite () est othogonale au plan (OH). d. La doite () est donc othogonale à toute doite du plan (OH) donc à la doite (OH). e. La doite (OH) est othogonale aux doites () et () sécantes en donc elle est othogonale au plan (). ctivité Dans cette activité on cheche à evoi les calculs s les vectes. F L E K N G P H a. u et v sont indépendants u et v ne sont pas colinéaies il n existe pas de éel k tel que v ku si a et b sont deux éels tels que au bv 0 alos a b 0. b. u et v sont dépendants les points O, et sont alignés. a. u, v etw sont indépendants u, v etw ne sont pas coplanaies il n existe pas de éels a et b tels que w au bv si a, b et g sont tois éels tels que aubv gw 0 alos a b g 0. b. uv, et w sont dépendants les points O,, et sont coplanaies. ctivité 5 Dans cette activité on cheche à découvi les coodonnées dans l espace. a. On a : O(0 ; 0), I( ; 0), J(0 ; ), ( ; ), E( ; 0), F(0 ; 4) et H( ; 4). b. los : OH i 4j, OE i et OF 4j. u a. OM OH HM i 4j 5k. b. On a : K(0 ; 0 ; ), ( ; 0 ; ), ( ; ; ), D(0 ; ; ), P(0 ; 0 ; 5), N( ; 0 ; 5) et L(0 ; 4 ; 5). F(0 ; 4 ; 0), G( ; 4 ; 0), H( ; 0 ; 0), U(0 ; 0 ; 5), R(0 ; 4 ; 5), S( ; 4 ; 5), T( ; 0 ; 5) et P( ; 0 ; 0), V( ; ; 0), W(0 ; ; 0), M(0 ; 0 ; ), N( ; 0 ; ), Q( ; ; ), L(0 ; ; ). ctivité 6 Dans cette activité on cheche à découvi la epésentation paamétique d une doite de l espace. D M u 4 L F L F E donc L est le milieu de [E]. 5 Les points P, K et L sont coplanaies ca ils ne sont pas alignés. 6 Le sommet u est le point H ca F D F H. ctivité 4 L objectif est d appofondi la colinéaité et la coplanaité des vectes en intoduisant les notions de dépendance et d indépendance. 54 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace a. M 0 = ( ; ; 0) et M = ( ; ; ). b. M ( ; 4 ; 6) et M (4 ; ; 9) appatiennent à la doite () ca le vecte ; - ; est colinéaie au vecte M-( -; ; -6), ainsi qu au vecte M( ; - ; 9). c. De même ( ; - ; 6) et D( - ; ;-) sont colinéaies au vecte donc les points et D appatiennent à la doite (). Ils appatiennent aussi à l ensemble D ca = M et D = M. d. On conjecte que l ensemble D est la doite (). u a. On a : M t ( t ;- t ; t) donc on déduit que Mt t et que D est bien la doite (). b. L abscisse du point M t s la doite () munie du epèe ; est t. éditions elin, 0.

3 c. Po t Œ[ 0; ] l ensemble coespondant est le segment [] ; po t Œ[ 0 ; + [ on obtient la demi-doite [) ; po t Œ] ; 0 ], la demidoite [D) et po t Œ- [ ; ] le segment [D]. On conjecte que l aie est maximale quand M est au milieu de [O]. Le théoème de Thalès donne : OM MN, O soit : z MN et donc MN 5 z. De même : Tavaux patiques TP TIE Etude de deux lieux géométiques onstuction avec un logiciel. H K G I M MQ, soit : 8 - z MQ et donc : O O 8 6 MQ - 4 ( 8 z ). 4 insi l aie du ectangle est : 5 ˆ 8 6 z( - z). ette aie atteint son maximum po z 4 ce qui donne une aie de 5 cm. TP TIE Distance ente deux doites dans l espace On constuit la fige avec un logiciel. N cm 6, cm J D On conjecte que H est situé sn ac de cecle et G sn segment. O M On affiche la longue MN. On conjecte que la longue minimum est et quelle coespond au moment où M est en O et N en. 4 Les doites sont othogonales deux à deux. Le tiangle H est ectangle avec et fixes donc le point H décit un ac de cecle de diamète [] qui va du point s le plan (D) jusqu au point s le segment []. D apès le théoème de Thalès on a : G I O où O est le cente de gavité du tiangle D. Donc comme seule la longue I vaie, on en déduit que le point G est s le segment [O]. TP TIE Optimisation dans l espace onstuction avec un logiciel. 5,0 cm N P O M Q 5 M(k ; k ; 0) et N(t ; t ; ) donnent : MN ( k - t) ( k t) k t. 6 ette vale est minimum quand k = t = 0. 7 Dans ce cas M est en O, N est en et la distance minimum est. 4TP TIE 4 Intesection d une doite et d un tétaède Patie (démonstation) : 5 5 L K K 5 D - D u et JL J L - - D - D. 6 hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 55 éditions elin, 0.

4 et ˆ M J JM k - D 6 kˆ k - kd 6 4 M appatient au plan (D) si le uu vecte M ne dépend que des vectes et D. 5 On obtient alos : k. 4 a. La doite (S). b. La doite (SO). c. Non coplanaies. d. Une doite paallèle à () passant pa S. 5 a. Faux. b. Faux. c. Vai. d. Vai. e. Vai. 6 a. Non coplanaies. b. Non coplanaies. c. Sécants. d. Sécants. e. Sécants. f. Sécants. 7 a. Oui. b. Oui. c. Oui. d. Non. Execices Maitise le cos a. Faux. b. Vai. c. Vai. d. Faux. e. Vai.. d. a. b 4. c a. Faux. b. Vai. c. Faux. d. Faux. e. Faux. 4 a. Faux. b. Vai. c. Faux. d. Faux. e. Faux. f. Vai. 5 a. Faux. b. Vai. c. Faux. d. Faux. 6. a.. c.. c. 7 a. Faux. b. Vai. c. Faux. d. Vai. e. Faux. f. Faux. 8. b.. c.. d. 9 a. Vai. b. Faux. c. Faux. d. Vai. e. Faux. f. Faux. g. Vai. pplique les capacités attendues a. Paallèles. b. Pependiculaies. c. Pependiculaies. d. Sécants. e. Paallèles. f. Incluse. a. Paallèles. b. Pependiculaies. c. Sécants. d. Paallèles. e. Sécants. a. Non coplanaies. b. Sécants. c. Sécants. d. Non coplanaies. 56 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace 9 a. () est othogonale à () et (F). b. (DG) est othogonale à (H) et (). c. (EG) est othogonale à (FH) et (F). d. (F) est othogonale à (E) et (). 0 a. Faux. b. Vai. c. Vai. a. () est paallèle à (D) qui est pependiculaie à (MQ). b. (NQ) est othogonale à (FH) et (DH). c. (MQ) et (NQ) sont othogonales à (D) et (D). d. (NQ) est paallèle à (EG) qui est pependiculaie à (E). e. (NQ) est othogonale à (MQ) et (MP). a. () est othogonale à () et (D). b. D apès a. on déduit que () est othogonale à (D). c. De même () est othogonale au plan (D) donc à la doite (D). u 4 D D D. 5 a. D D - et E E - -. b. On en déduit que : E - D donc que, D et E sont alignés. 6 a. I I et DE D E - b. On en déduit que : DE 4 I donc que les doites (DE) et (I) sont paallèles. 7 On doit avoi les vectes D et E colinéaies donc : a a. Oui. b. Les vectes sont coplanaies ca EG et,,, D coplanaies. éditions elin, 0.

5 c. Les vectes sont coplanaies ca ils sont coplanaies deux à deux seulement. 9 a. u et v ne sont pas colinéaies ca v ne dépend pas de i. b. xu yv ( x y) i - yj ( x yk ) est égal à w y si on a : Ì-y - qui n a pas de solution. Óx y 0 c. On peut concle que ces vectes ne sont pas coplanaies. 0 E F D donne tois paallélogammes ED, FD et EF ce qui donne les elations : DE et DF d où : DG DE DF donc les vectes sont coplanaies. a. M, P et Q sont coplanaies ca (MQ) est paallèle à (F) qui passe pa P. uuuu b. On a : P QM et EG NQ d où : u MN MQ QN -P -. u NP NE EF FP GF -D F -D - G. a. Les plans (S) et (SD) contiennent deux doites paallèles () et (D) donc d apès le théoème du toit le intesection est une doite paallèle et elle passe pa S. b. L intesection de (MNP) et (S) est la doite (MN). Le théoème du toit donne que l intesection de (MNP) et (SD) est la paallèle à (MN) passant pa P. c. M D S N P 5 a. F( ; 0 ; ) b. Q(0,5 ; ; 0,5) c. PM( 0,5 ; ; 0,5) d. N( ; 0,5 ; ) e. ME( 0,5 ; ; ). 6 a. u(4 ; ; ). b. v ( 7 ; 4 ; 4). c. w( ; 7 ; 9). d. t ( ; 9 ; 4). 7 a. ( ; ; 0), E( ; 0 ; ), F( ; ; ) et G(0 ; ; ). b. -0 ; ;, G-; 0;, E( ; ), ; H( -;-; ). c. ( ; 0,5 ; 0,5). d. Ω(0,5 ; 0,5 ; 0,5). 9 a. ette doite passe pa le point (0 ; ; ) et a po vecte diecte ( ; ; 4). b. ette doite passe pa le point ( ; 0 ; 4) et a po vecte diecte ( ; ; ). c. ette doite passe pa le point ( ; ; 0) et a po vecte diecte ( ; ; ). -t -t 40 a. Ìy t. b. Ìy -t. -t t - t c. Ìy t. t 4 a. n appatient pas à cette doite. b. coespond à t =. c. n appatient pas à cette doite. d. D coespond à t = -. 4 a. Un vecte diecte de (d) est ( ; ; ) et un vecte diecte de (d ) est ( ; ; ). Ils ne sont pas colinéaies donc les doites ne sont pas paallèles. b. ( ; ; 0) et ( ; ; ). c. ( ; 0 ; ) et D( ; ; 0). d. ( - ; ;-), ( -;-;-) et D( -4;-; 0 ) sont coplanaies si D a b c est-à-die si -4 -a-b le système Ì- a- b possède une solution Ó0 -a-b unique ce qui n est pas le cas. e. On en déduit que les deux doites ne sont pas sécantes. hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 57 éditions elin, 0.

6 S entaine 4 a. I Œ (). b. œ (DI). c. (I) à (). d. D œ (I). e. () à (). f. (DI) À (I). g. Œ (DI). h. Œ (I). 44. a. (E). b.. c. Doite passant pa les centes des faces D et EFGH. d. (EH).. a. (E) paallèle à (H) qui est pependiculaie à (DG). b. (HF) paallèle à (D) qui est pependiculaie à (). c. (E) paallèle à (F) qui est pependiculaie à (FH). d. (H) est othogonale à (DG) et (D) donc au plan (DG) qui contient la doite (G).. (HF) est othogonale à (EG) et à (E), ca (E) est paallèle à (HD), donc elle est othogonale au plan (G). 45 a. a (E) est paallèle à (F). b. a (EH) est paallèle à (). c. a (E) est paallèle à (H). d. Dans le ectangle FHD, O et O sont des milieux. 46 Les tiangles D et D sont isocèles donc les doites (I) et (I) sont pependiculaies à la doite (D). Pa conséquent la doite (D) est othogonale au plan (I) et donc à toute doite de ce plan comme (). 47 a. (EG) est paallèle à () et (DE) est paallèle à (F). b. (F) est paallèle à (IK) et () est paallèle à (IJ). c. Les plans (IJK) et (DEG) sont paallèles. 48 a. IL est un ectangle. b. est le théoème des milieux. c. (LI) est paallèle à () comme côtés du ectangle donc (JK) et (LI) sont paallèles. d. (IJ) et (KL) sont coplanaies ca (JK) et (LI) sont paallèles. e. De plus elles ne sont pas paallèles donc elles se coupent. f. es plans sont sécants selon (F). g. Le point M appatient au plan (F) ca il est s (IJ) et au plan (F) ca il est s (KL). Donc M est s l intesection de ces deux plans soit (F). est même le symétique de F pa appot à. 58 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace 49 Le théoème des milieux donne que (IJ) est paallèle à (), (IK) à (D) et (JK) à (D). Donc les plans sont paallèles. 50 a. Les doites (IJ) et () sont coplanaies et non paallèles donc elles se coupent en un point H qui est l intesection chechée. b. es deux plans ont deux points communs D et H donc la doite (DH) est le intesection. c. Dans ce cas l intesection est une doite paallèle à (IJ) passant pa D. 5 Le plan (IJK) coupe le plan (D) selon une doite qui passe pa les points M, N et P. 5 Les plans (IJK) et (D) contiennent deux doites paallèles (IJ) et () donc d apès le théoème du toit le intesection est aussi paallèle (IJ) et (). O cette intesection est la doite (LK). 5 a. M et N appatiennent au plan (N) ca M est s () et ils appatiennent au plan (GM) ca N est s (G) b. La doite (MN) est donc l intesection des deux plans. 54 Les plans () et (EFG) sont paallèles donc le plan (FHM) coupe ces deux plans selon deux doites paallèles ente elles. L une est (FH) et l aute est justement (MN). 55 a. (D) est paallèle à () qui est paallèle à (IJ) donc (IJ) et (D) sont paallèles. b. K est s les doites (J) et (DI) donc il appatient aux plans (S) et (SD). c. L intesection des plans (S) et (SD) est donc la doite (SK). d. omme les plans (S) et (SD) contiennent les doites () et (D) paallèles, le intesection (SK) est aussi paallèle d apès le théoème du toit. 56 a. (SO) est la haute de la pyamide donc elle est othogonale au plan (), et en paticulie elle est othogonale à la doite (). b. Le tiangle S est isocèle en S donc (SI) est pependiculaie à (). Donc () est othogonale à deux doites sécantes (SI) et (SO) donc elle est othogonale au plan (SOI). 57 a. Faux. b. Faux. c. Vai. d. Faux. e. Vai. f. Vai. g. Vai. x t 58 a. G ; ; 0 ˆ. b. Ì y 5 t. t éditions elin, 0.

7 c. a po paamète t = 0, M a po paamète t - et S a po paamète t. 59 a. Vai. b. Faux. c. Faux. d. Faux. e. Vai. t - s 60 a. Ìy t. b. Ìy s. t s c. appatient à (d ) mais pas à (d). d. Elles sont sécantes en ca appatient à (d). --t 6 a. Ìy t. t b. M est s (d) po t = 5 et N est s (d ) po t =. --t c. Ìy t. t 6 t - s 6 a. Ìy t. b. Ìy - s. - t -6s c. I a po coodonnées en fonction de t et de s : 9 t - s -t s -5- t sˆ ; ; ce qui donne 9 t - s t - s -7 le système : Ì-t s -4 ou Ìt s - qui Ó-5- t s 6 Ó-t s a po solutions s = 4 et t =. On obtient les points ( ; 5 ; 4) et D( ; ; ). 6 Les doites (d ) et (d ) sont paallèles ca elles ont le même vecte diecte ( ; ; ). Mais aucune d ente elles n est sécante avec (d ). 64 a. L intesection des tois doites donne le point (0 ; ; ). b. Les doites (d ) et (d ) sont confondues donc comme les doites sont sécantes alos elles sont coplanaies. 65 a. es deux doites ne sont pas paallèles ca les vectes diectes ne sont pas colinéaies. De plus elles ne sont pas sécantes ca le système des 6 équations n a pas de solution. b. Un point ( ; ; ) et un vecte diecte ( ; ; ). t c. Ìy - t. t 66 Elles sont paallèles ca les vectes diectes sont colinéaies. Elles passent toutes les deux pa le point ( ; ; 0). 67 Elles sont paallèles ca les vectes diectes sont colinéaies. Mais le système - t s Ì t 4 s n a pas de solution donc elles Ó4 t 6s sont stictement paallèles. 68 Les vectes diectes ne sont pas colinéaies donc les doites ne sont pas paallèles. Et le système Ì - t -s a une solution qui donne le -t s Ó t 4s point d intesection ( ; 0 ; ). 69 Elles ne sont pas paallèles ca les vectes diectes ne sont pas colinéaies. Et le système : - t s Ì t -s n a pas de solution donc elles ne Ó4 t 8 s sont pas coplanaies. 70 a. D EH. b. F G E. u uuuu c. P M KH. d. JK NP MQ. u e. OJ I PG. 7 a. L D. b. K - KD. u c. L. d. HG - I. u 7 a. G F. b. H D F. c. E DH. d. M K DH. 7 a. N DH. b. L. c. N D F -. d. P F. e. LM HG - D P. 74 a. D - D, H - D E, P D E -, Q - E D. b. JG D E, M E, P D E et E D - E. hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 59 éditions elin, 0.

8 u 75 a. JK u D. b. MQ FH. uuuu c. omme D FH, on en déduit que JK MQ et que JKQM est un paallélogamme. 76 a. u IE I E D - D IG I G - J - D - D b. IG I G I D u I D I E IE c. On en déduit que les points sont alignés. 77 a. On a : E IJ donc EIJ est un paallélogamme comme DEF. b. DJ -DF D J -D DE D - D - -E JI. c. ette elation s écit aussi : DJ-DF JD DI c est-à-die : DJ-DF DI qui pouve que les vectes sont coplanaies. d. On en déduit que les points le sont aussi. 78 a. Oui. b. Oui. c. Non. d. Non. 79 a. u v ( ; 7 ; 0), u - v ( 5 ; ; ), u v (5 ; 7 ; ) et -uv (0 ; ; 5). b. u v ( ; ; 7), u - v ( ; ; ), u v ( ; 7 ; 8) et -uv ( ; ; 6). c. u v (8 ; ; ), u - v ( ; 6 ; ), u v( ; ; ) et -uv(9 ; 4 ; 7). d. u v ( ; ; ), u - v ( ; 0 ; ), u v( ; 5 ; ) et -uv( ; ; ). 80 a. ( ; 6 ; ) et ( ; 8 ; 6) sont colinéaies. b. (4 ; ; ) et (5; ; ) ne sont pas colinéaies. c. ( ; ; 5) et ( ; 4 ; ) ne sont pas colinéaies. 8 On ente les 9 coodonnées, puis on calcule les tois quotients espectifs des coodonnées des vectes et, et on les compae tous les tois. 60 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace 8 a. I ˆ ; ;, J-; -;- et K ˆ ; ;. b. I, J et K sont donc alignés s la doite d équation x = y = z. x - ˆ 0 ˆ 0 ˆ 8 a. y , d où M( ; 4 ; 7). z xˆ -- xˆ 9 ˆ b. -y -- y -, d où M ˆ - z 4 - z ; 0;. 84 a. On a : (4 ; ; 4) et (0 ; ; ) qui ne sont pas colinéaies donc les tois points définissent un plan. b. DE( ; ; ), - - ( 4 ; 6 ; 6). c. es vectes sont colinéaies. d. On en déduit que la doite (DE) est paallèle au plan (). 85 a. ( ; 0 ; 5), ( ; ; ) et DE( 4 ; ; 8). b. On a : DE. c. On en déduit que la doite (DE) est paallèle au plan (). 86 a. On a : ( ; ; ) et (0 ; ; ) qui ne sont pas colinéaies donc les tois points définissent un plan. b. u ( ; ; 0). c. DE( ; ; 0) et u sont colinéaies. d. La doite (DE) est donc paallèle au plan (). 87 a. O O - O(0 ; 0 ; 0). b. On en déduit l égalité : O O O qui monte que les vectes sont coplanaies et donc les points aussi. 88 a. On a : ( ; 0 ; ) et ( ; ; ) qui ne sont pas colinéaies donc les tois points définissent un plan. b. - - D(0 ; 0 ; 0). c. On en déduit l égalité : - D qui monte que les vectes sont coplanaies et donc les points aussi. 89 a. ela evient à ésoude le système : 4 -ab Ì- a- b qui a po solution a = et b = 8. Ó-8 -a-b éditions elin, 0.

9 - -a b b. ela donne ici : Ì a- b qui n a pas de solution. Ó- -a-b 90 a. La méthode de Gaëlle est fausse ca les calculs s les coodonnées des vectes se font dans n impote quel ode. elle de Nathan est meillee mais il faut véifie si les solutions données pa les deux pemièes équations véifient aussi la toisième. b. Les solutions ne véifient pas la toisième équation donc les vectes ne sont pas coplanaies. 9 a. On calcule : ( 7 ; 6 ; 5), (5 ; 0 ; 5), D( ; ; ), puis on cheche à ésoude le -7 5a- b système : Ì-6 -b qui n a pas de solution Ó5-5a-b donc les points ne sont pas coplanaies. b. On calcule : ( ; ; ), ( ; ; 0), D( 5 ; 5 ; ), puis on cheche à ésoude le - -a-5b système : Ì a5b qui n a pas de solution Ó- -b donc les points ne sont pas coplanaies. c. On calcule : (0 ; ; ), ( ; ; 0), D( ; ; ), puis on cheche à ésoude le 0 a b a - système : Ì -ab qui a po solution Ì Ó- -b b Ó donc les points sont coplanaies. 9 a. D( ; ; ) et ( ; ; ) sont colinéaies. b. ( ; ; ) et D( ; 0 ; ) ne sont uu pas colinéaies mais on a : D D donc les vectes sont coplanaies et les doites sécantes. 9 (8 ; ; 0) et uu D( ; ; ) ne sont pas colinéaies mais uu (4 ; ; ) et on démonte que D donc que les vectes sont coplanaies et les doites sécantes. 94 a. MN M N k k k donc les doites (MN) et () sont paallèles. b. On a : MN k, M a et N b ce qui donne : M N k k -a b d où on déduit bien que : k = a = b. 95 a. On a : E D et u F D - - D donc les vectes ne sont pas colinéaies et les points non alignés. b. Les vectes E et F sont paallèles à deux vectes non paallèles du plan (D) donc les plans (EF) et (D) sont paallèles ente eux. u 96 a. On a : G E F u I IG 4I I IE IF, d où : IG IE IF donc les points sont coplanaies. b. D apès le théoème de Thalès dans le tiangle, les doites (H) et (IE) sont paallèles et dans le tiangle D, les doites (IF) et (DH) sont paallèles. Donc les plans (IEF) et (DH) sont paallèles. 97 a. On a : ( ; ; ) et ( ; 0 ; ) qui ne sont pas colinéaies donc les tois points définissent un plan. b. De plus : DE( ; ; 0) n est pas coplanaie u avec ces deux vectes ca l équation DE a b n a pas de solution. Donc la doite (DE) coupe le plan () en un point unique. Pépae le Execices guidés 06 Patie. a. Les longues FI et FJ se calculent de la même façon avec le théoème de Pythagoe dans un tiangle ectangle dont les côtés adjacents à l angle doit sont de et /. b. K est le milieu de [IJ] donc le tiangle FIJ étant isocèle, la doite (FK) est la médiatice de [IJ].. (IJ) est othogonale à deux doites (FK) et (GK) sécantes donc elle est othogonale au plan (FGK).. (IJ) est othogonale à (FG) ca (FG) est paallèle à (EH) qui est pependiculaie à (IJ). P est le pojeté de G s (FIJ) donc (GP) est othogonale au plan (FIJ) et en paticulie à la doite (IJ). Donc (IJ) est othogonale au plan (FGP). 4. a. La doite (IJ) est othogonale aux plans (FGK) et (FGP) donc ils sont confondus et les points sont coplanaies. hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 6 éditions elin, 0.

10 b. P est le pojeté de G, mais comme les tiangles GIJ et FIJ sont isocèles alos le plan (FGK) est le plan médiate de [IJ] et pa conséquent P appatient à (FK). Patie. Le plan (FIJ) coupe le segment [DH] en un point M tel que les doites (FI) et (JM) soient paallèles. La doite (JM) coupe alos la doite (D) en un point S E J H Execice 09 Patie a. Dans le caé D les doites (MN) et (D) ne sont pas paallèles donc elles sont sécantes. b. Le théoème de Thalès donne que DL D. 4 c. Les points P et L sont communs aux deux plans donc la doite (PL) est l intesection des deux plans. d. L intesection (d) des plans (MNP) et (EFG) est une doite paallèle à (MN) passant pa P ca les plans (EFG) et () sont paallèles. e. M, N, H et F sont coplanaies mais pas avec D. f. E P H F G M F G D S D L N N M I 07. La condition est que : M t avec t éel.. Ici il faut que t appatienne à l intevalle [0 ; ].. Un vecte diecte est (x x ; y y ; z z ). 4. los les coodonnées de M sont : x tx ( - x) Ìy y ty ( - y). z tz ( - z) - 4t 5. Ìy -t avec t dans [0 ; ]. -t QM Vai ou faux 08 a. Faux, ils peuvent ête paallèles. b. Faux, ils peuvent fome un «toit». c. Vai, c est le théoème du toit. d. Vai, sauf si la doite est incluse dans le plan. 6 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace Patie a. M( ; 0,5 ; 0), N ; ; 0 ˆ et P 0 ; 4 ; ˆ. tel que DS et donc M est le milieu de [DH].. De même le plan (FIJ) coupe le segment [D] en un point N tel que les doites (FJ) et (IN) soient paallèles et de plus cette doite (IN) coupe aussi la doite (D) en S donc N est le milieu de [D].. La section du cube est le pentagone FINMJ cidessous. x - t 0 Ì b. (D) Ìy t et (MN) y t c. L 0 ; 5 4 ; 0 ˆ. d. (PL) Ìy t. 4 z - t Ó 0 e. omme (DH) est Ìy alos K 0 ˆ ; ; 4. t x - t Ì f. (d) y t. 4 éditions elin, 0.

11 ˆ g. HM ; - ;-, HN ; 0;- ˆ et DF( ; - ; ) ne sont pas coplanaies, ca le système a b Ì - -b n a pas de solution. Ó- -a b Po alle plus loin 0 a. Les points O et D sont communs aux deux plans donc la doite (DO) est l intesection. b. tanhdo HO et tandh DH HD D. c. On en déduit que ces deux angles sont égaux, puis que DH OD qui sont complémentaies des pécédents et pa conséquent les doites (DO) et (H) sont pependiculaies. d. (HD) est paallèle à (E) qui est pependiculaie à (EG). e. De plus (EG) est othogonale à (HF) qui est sécante à (HD) donc elle est othogonale au plan (HF). Pa conséquent elle est othogonale à toute doite de ce plan donc à (H). f. (H) est othogonale à (EG) et (DO) donc elle est othogonale au plan (DEG).. a. (S) est othogonale au plan () donc elle est othogonale à toute doite de ce plan, pa exemple (). b. los () est othogonale à (S) et à () donc au plan (S) et pa conséquent à la doite (S).. a. (HI) et () sont paallèles ca pependiculaies à la même doite (). b. On utilise le théoème du toit. c. (HK) et (S) sont pependiculaies à (). d. On utilise à nouveau le théoème du toit. e. HIJK est un paallélogamme avec un angle doit en H donc c est un ectangle.. a. Le théoème de Thalès donne HI = x. b. De même po HK = ( x). c. (x) = 4x( x). 4. a. est un tinôme maximal po x = 0,5. b. H est alos le milieu de []. c. Et HIJK est alos un caé. t a. Le système Ì-- 4t s admet une Ó 4 s seule solution po t s - qui coespond au point ( ; ; ). b. On cheche si ( ; ; ) est coplanaie avec les vectes diectes des deux doites ( ; 4 ; 0) et (0 ; ; ). e qui evient au système : - a Ì-4ab qui n a pas de solution, donc n est Ó b pas dans ce plan. c. ft () ( t ) ( -5-4t) 4 7t 46t 8 qui est minimale po t 0 -. Le point coespondant est celui de la plus cote distance de à 7 (d), c est donc le pojeté othogonale de s (d). a. Les coodonnées sont (0 ; 4 ; ) et ( ; 0 ; 4) donc une epésentation paamétique t de la doite () est : Ìy 4-4t qui coupe le t plan (OIJ) po t - au point M( ; 8 ; 0). b. Le plan (N) passe pa les points M, P et Q et son intesection avec le plan (OIJ) existe et est une doite donc il s agit de la doite passant pa ces tois points. 4 a. Le théoème du toit nous dit que l intesection des plans (IJ) et () est la doite (D) et que celle des plans (IJ) et (SD) est (DI). b. Les points S, D, M et K appatiennent au plan (SD) et les doites (MK) et (SD) ne sont pas paallèles donc elles sont sécantes. c. Le plan (IK) contient la paallèle à () passant pa ca les doites () et (IK) sont paallèles. Donc ce plan passe pa M et pa conséquent l intesection avec (SD) est le point de la question pécédente. 5 a. La doite (H) du plan (E) est othogonale à la doite (DG) du plan (G). La doite (D) est othogonale au plan (EG) ca elle est othogonale à () et à (E) donc elle est othogonale à toute doite de ce plan donc à (E). On a ainsi deux doites (H) et (E) du plan (E) qui sont othogonales à deux doites (DG) et (D) du plan (DG), donc les deux plans sont othogonaux. b. Non, ca seule la doite (D) est othogonale au plan (EG). hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 6 éditions elin, 0.

12 6 a. Le plan (P) est paallèle à (D) donc son intesection avec (D) est l intesection de (D) avec la paallèle à (D) passant pa M. De même l intesection de (P) avec () est l intesection de () avec la paallèle à () passant pa M. b. La section avec le tétaède est donc un paallélogamme mais comme le tétaède est égulie cela donne un ectangle. c. Le tétaède étant égulie avec le théoème de Thalès on obtient que ce ectangle a po côtés x et 6 x, donc son aie vaut bien : -x 6 x. d. ette aie est maximale po x =, ce qui coespond au milieu de []. u 7. a. IJ I J -. 6 u u b. IL I L - D. c. IK I D DK - D D - D. d. IK IJ IL 4 4. e. Donc les points I, J, K et L sont coplanaies.. b. Le point L est au deux ties s la médiane issue de dans le tiangle M c est donc le cente de gavité de ce tiangle. c. Dans ce tiangle la doite (IL) est donc une aute médiane et elle passe pa le sommet M. e. L énoncé des milieux dans le tiangle DN monte que (JK) et (DN) sont paallèles. Et dans le tiangle JM que (DN) et (JM) sont paallèles. f. On en déduit que les points J, K et M sont alignés. g. Les doites (IL) et (JK) se coupent en M, elles sont donc coplanaies et les points également. b. es quadilatèes sont des losanges dont les diagonales valent le côté du cube et les côtés la moitié de la diagonale des caés donc ce sont des caés. c. L othogonalité vient du fait que ce sont des caés.. a. I(0,5a ; 0,5a ; 0), J(0,5a ; a ; 0,5a), K(0,5a ; 0,5a ; a), L(0,5a ; 0 ; 0,5a), M(a ; 0,5a ; 0,5a) et N(0 ; 0,5a ; 0,5a). b. L aête vaut : IJ = a. c. Et son volume : a 6. 0 a. u ( ; ; 0) et u ( ; ; ). b. Les deux vectes ne sont pas colinéaies donc les doites ne sont pas paallèles. Et le système : t 0, 5 s Ì9t 4 s n a pas de solution donc elles ne Ó 4 - s sont pas coplanaies. c. d est sécante à (P ) ca elle n est pas paallèle à d. d. De même po d avec (P ). Les plans (P ) et (P ) se coupent selon une doite qui passe pa S et qui coupe chacune des doites d et d dans chacun de ces deux plans ca sinon les tois doites seaient paallèles ente elles. ccompagnement pesonnalisé 8 a. Le quadilatèe MKH est un ectangle dans ce cube donc le tiangle MHK est ectangle en M. b. Le théoème de Pythagoe dans HM, HMK et H donne : HK HMMK M-HH M a c. On obtient : M l- a qui est fixée donc M est sne sphèe de cente et de ayon l- a. 9. On utilise l énoncé des milieux dans le tiangle FH.. a. De même toutes les longues LN, LM, MJ et JN sont égales à la moitié de la diagonale de chaque face du cube. Mais dans FH on aait le même ésultat et ainsi toutes les aêtes de l octaède sont de même longue. P 64 n hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace. Dans le epèe donné, le point epésente l oigine, les doites oientées pa les vectes epésentent les axes des abscisses, odonnées et cote dans cet ode. Les unités s ces axes sont données pa ces mêmes vectes. a. On décompose selon l oigine et les tois vectes du epèe. b. L existence du éel t vient de l alignement des tois points et son intevalle de définition du fait que l on s intéesse seulement au segment [E].. On pense à des calculs de longues avec les coodonnées. a. Le plan médiate est l ensemble des points équidistants de I et de J. éditions elin, 0.

13 b. «En déduie» signifie que la question pécédente doit suffie po éponde à celle-ci. c. On utilise la fomule de la distance.. On pense à une étude de fonction avec déivée, vaiations, extemum. L enchaînement des questions pemet de véifie au f et à mese les ees possibles. a. Une méthode liée aux vaiations et à la distance IM. b. Il faut faie le lien ente longue et angle. c. On peut utilise la déivation ou le second degé. d. Gaphiquement on voudait alignés les points M, I et J. e. On cheche le plus cot chemin avec des pojetés, cela semble donc logique. P 4. a. La section est un disque d aie pr. b. Il n y a que la haute qui vaie donc : h h V Ú pr dz pr Ú dz pr[] z h prh De même pon cône, la section pa un plan à la haute z est un disque de ayon tel que d apès le théoème de Thalès on ait : z. R h R ette section a donc po aie : pr p h z ˆ. los le volume donne : V d h Rˆ h Ú pr z p d h Ú z z 0 0 h Rˆ Èz p Rˆ h p h ÎÍ p Rh. h 0. a. D apès le théoème de Pythagoe on a : R = (z) + z. b. los l aie de la section est : p(z) = p(r z ) et le volume donne : R R V Ú prz () dz pú ( R- z) dz R R R p R È Î z - È R z ˆ R ÍÎ R R ˆ pr 4 R- pr. hapite 0 n Doites, plans et vectes dans l espace n 65 éditions elin, 0.