Contribution à la modélisation dynamique des systèmes articulés. Bases mathématiques et outils informatiques

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1 Contribution à la modélisation dynamique des systèmes artiulés. Bases mathématiques et outils informatiques Ali Hamlili To ite this version: Ali Hamlili. Contribution à la modélisation dynamique des systèmes artiulés. Bases mathématiques et outils informatiques. Modeling and Simulation. Eole Nationale des Ponts et Chaussées, Frenh. <tel > HAL Id: tel Submitted on 4 Ot 2010 HAL is a multi-disiplinary open aess arhive for the deposit and dissemination of sientifi researh douments, whether they are published or not. The douments may ome from teahing and researh institutions in Frane or abroad, or from publi or private researh enters. L arhive ouverte pluridisiplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de douments sientifiques de niveau reherhe, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de reherhe français ou étrangers, des laboratoires publis ou privés.

2 A S. OD33 /y 3 DES PONTS ht CHAUSSEES THESE DE DOCTORAT présentée à L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES Spéialité MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE CONTRIBUTION A LA MODELISATION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ARTICULES (BASES MATHEMATIQUES ET OUTILS INFORMATIQUES) par ALI HAMULI Soutenue le 17 Septendne 1093, devant- le Jiny d'examen omposé de: Mme PASCAL Madeleine Président Rappoiteur MM. LAZARD Daniel Rapporteur CHEVALLIER Dominique Direteur de thèse LALEMENT René Examinateur LERBET Jean Examinateur RIGOLOT Alain Examinateur t E.N.P.C. i mini min il nun um NV03768

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4 ABSTRACT During the last years, mehanial artiulated systems have beome inreasingly important in the field of automation. This work makes two important ontributions towards a better utilization of mathematial abstration: The first ontribution onerns the dynami modélisation of artiulated systems like mehanial manipulators and omplex open kinemati hains. The mathematial abstration by the Lie groups and Lie algebras theory offers an exellent means for simplifying the syntatial form of expressions of models. New methods for desribing (by fundamental families) onfigurations of mehanial systems and an original effiient reursive omputational sheme of Newton-Euler dynamis are developed. With this formulation, it should be possible to ompute a near-optimal Newton-Euler dynamis in real time. The seond ontribution onerns algebrai typing, term rewriting theory and automati generation of odes. These problems lead to new omputer algebra system arhitetures based on artifiial intelligene methods and representations in multi-equational speifiations. In this order of ideas, a prototype of omputer algebra system (SURVEYOR) and an extension (MEDUSA MF77) of Maple system, based on objet oriented programming and artifiial intelligene ontrol, are realized. A software tool for generating Fortran and Maple iterative symboli optimized odes of our dynami formulation is developed with MEDUSA MF77system. Keywords: Kinematis, Dynamis, Simple and Complex Open Kinemati Chains, Differential Geometry, Lie Groups and Lie Algebras, Artifiial Intelligene, Objet Oriented Programming, Automati Generation of Codes.

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6 REMERCIEMENTS II m'est agréable d'exprimer dans es quelques lignes ma reonnaissane et ma gratitude aux personnes qui ont ontribué à la réussite de e travail: Monsieur Dominique CHEVALLIER, Direteur-adjoint du CERMA, a dirigé ette thèse. Il m'a prodigué onseils onstrutifs et remarques pertinentes tout au long de es années de reherhe à ses otés. Qu'il me permette de lui témoigner ma profonde reonnaissane. Madame Madeleine PASCAL, Professeur de l'université d'evry Val. d'essonne, a aepté d'être président rapporteur du jury. Je lui exprime tout mon respet et ma gratitude. Monsieur Daniel LAZARD, Professeur de l'université Pierre et Marie Curie, a aepté d'être rapporteur de e travail. Je le remerie vivement pour l'intérêt qu'il a manifesté à l'égard de mes travaux et pour l'enthousiasme ave lequel il a lu e doument. Monsieur René LALEMENT, Professeur à l'enpc et Direteur-adjoint du CERMICS, je le remerie sinèrement pour ses remarques valeureuses onernant la partie informatique de e travail. Monsieur Jean LERBET, Maître de onférene à l'université de Tours, aeptera que j'évoque ii l'aide amiale qu'il m'a apporté dans la hâte des derniers jours. Je l'en remerie ordialement. Monsieur Alain RIGOLOT, Professeur des universités, m'a fait l'honneur d'examiner mes travaux et de partiiper au jury de thèse. Je le remerie pour l'enthousiasme haleureux ave lequel il m'a fait part de ses remarques. J'adresse mes sinères remeriements à la diretion de l'éole nationale des ponts et haussés et aux membres du entre d'enseignement et de reherhe en mathématiques appliquées qui m'ont aueilli aux seins de leur entre pour toute la période de ma thèse. Ils ont su éouter mes exposés, leurs remarques et leurs questions m'ont été préieuses. Je n'oublie pas de remerier Madame Véronique SERRE serétaire du CERMA pour sa gentillesse et ses ompétenes multiples, ainsi qu'à tous mes amarades du entre pour leur amitié. Enfin, je dédie e travail à mes parents et ma famille. Je leur serai éternellement reonnaissant pour leur soutien et leur amour.

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8 TABLE DES MATIERES INTRODUCTION Contexte de notre travail Fondements et buts de la thèse Etat de la question de dynamique Formalisme de Lagrange Formalisme de Gibbs-Appel Formalisme de Newton-Euler Pian et apports de la thèse La partie La partie La partie Les annexes 10 Partiel ASPECTS MATHEMATIQUES 11 1 ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE Introdution Nombres duaux Définition struturelle Parties réelle et partie duale d'un nombre dual Nombres duaux inversibles - Quotient Fontion d'une variable duale Définition - Exemples Limite et ontinuité de fontions de variable duale A-difFérentiabilité - Dérivée d'une fontion de variable duale Conditions de A-diffêrentiabilité Prolongement anonique dual d'une fontion de variable réelle Veteurs duaux Constrution des veteurs duaux - Définitions Opérations élémentaires sur les veteurs duaux Matries duales 26 v

9 Partie 0 TABLE DES MATIERES Constrution Inversion de matries arrées duales Matrie duale orthogonale Conlusion 29 2 CONCEPTS ET OUTILS PRELIMINAIRES DE MODELISATION Introdution Notion du groupe des déplaements eulidiens Notion de onfiguration d'un orps rigide Algèbre de Lie des torseurs Rappels - Définitions - Notations Struture d'algèbre de Lie de l'espae vetoriel des torseurs Multipliation des torseurs par les nombres duaux Représentation duale des torseurs Opérateur de rédution d'un torseur en un point Produit salaire dual sur le A-module des torseurs Pseudo-norme sur le A-module des torseurs Produit mixte dual de torseurs Torseurs unitaires et torseurs orthogonaux Famille fondamentale de l'algèbre de Lie des torseurs Groupe orthogonal de D - Déplaements eulidiens Ation du groupe des déplaements à gauhe sur $ Isomorphie de (S, D, ) et (,D,o) Notion de mouvement de solide rigide - Familles mobiles Exponentielle de torseurs - Générateur infinitésimal d'un déplaement Calul de la représentation adjointe d'un déplaement Déplaements élémentaires - Déomposition anonique des déplaements Changement de oordonnées relatif à un hangement de onfigurations Conlusion 51 Partie 2 MODELISATION DES SYSTEMES ARTICULES 53 3 MODELE GEOMETRIQUE DES SYSTEMES ARTICULES Introdution Liaison - Paire inématique - Degrés de liberté Classifiation des paires inématiques par sous-groupes de3d) Chaîne inématique Struture topologique des méanismes Graphe des méanismes à topologie arboresente Parours en largeur de l'arbre topologique 70

10 TABLE DES MATIERES Partie Exemple de struture arboresente Variétés d'étude des systèmes artiulés Espae opérationnel Espae artiulaire Cosinus direteurs duaux Systèmes de oordonnées Angles de Brian t duaux: Roulis, Tangage et Laet duaux Angles d'euler duaux: Préession - Nutation et Rotation propre duales Modèle géométrique des méanismes à struture ouverte simple Déplaements de passage entre éléments adjaents du robot Modèle géométrique en terme de déplaements de passage Conventions de Denavit-Hartenberg Algorithme pour les systèmes en haîne ouverte simple Commentaires et preuve de l'algorithme Modèle géométrique d'un manipulateur à struture arboresente Formulation itérative du modèle géométrique Généralisation de l'algorithme par les onventions de Denavit-Hartenberg aux systèmes arboresents Conlusion 97 MODELE DYNAMIQUE DES SYSTEMES ARTICULES Introdution Desriptions du hamp des vitesses Dérivée temporelle d'un hamp Desriptions euierienne et lagrangienne des vitesses Aélérations d'un orps rigide - Lois de omposition de mouvements Résultats préliminaires Vitesses et aélérations dar s une paire inématique Cinétique du orps solide Desription de la masse inerte Desription du entre de masse Tenseur d'inertie d'ordre deux Torseur inétique - Opérateur généralisé d'inertie Torseur dynamique - Loi de Newton-Euler Modèle dynamique des robots à haîne ouverte simple...,,., Algorithmes réurrents pour le alul des vitesses et aélérations Appliation des lois de Newton-Euler Efforts des ationneurs au niveau des artiulations Algorithme de "propagation" des fores et ouples artiulaires Efforts généralisés - Coeffiient aratéristique 123

11 Partie 0 TABLE DES MATIERES Algorithme itératif du modèle dynamique Initialisation des réurrenes Complexité du alul algorithmique Modèle dynamique des méanismes à struture arboresente Equations du mouvement d'une struture d'arbre topologique Initialisation de l'algorithme itératif Conlusion 132 Partie 3 REALISATIONS INFORMATIQUES LE PROTOTYPE: SURVEYOR Introdution Coneption et prototypage Choix du langage de programmation Modèles de représentation des onnaissanes Programmation traditionnelle Réériture Termes Arbre étiqueté - Sous-terme Substitution - Filtrage - Unifiation Systèmes de réériture Terminaison et onfluene d'un système de réériture Ordre de rédution Réériture typée Arbres - Représentation des termes dans SURVEYOR Formalisation de l'affetation forestière Règles de prodution, Arhiteture du système SURVEYOR Base des faits Base de onnaissane Codage interne des règles Moteur d'inférene pour la réériture typée Exemple Observations Conlusion LE SYSTEME SYMBOLIQUE: MEDUSA MF Introdution Le système de alul formel Maple Le ode Fortran Ol

12 TABLE DES MATIERES Partie Diffiultés de générer des shémas optimisés par les SCF Première ritique 17G Seonde ritique Troisième ritique Quatrième ritique Création dynamique d'objets dans le système MEDUSA MF Construteur de lasses make_objet Construteurs opératoires Abstration symbolique des objets par "masquage" Module de saisie des données dans MED USA MF Prinipe de la desription paramétrée Langage de desription - Règles syntaxiques Calul du modèle dynamique optimisé variables relatives aux déplaements de passage entre orps adjaents Autres variables intermédiaire Conlusions MODULE DU CALCUL DUAL Introdution Présentation des onstruteurs duaux Construteur de lasses Opérateur ad d'un torseur Déplaements autour des axes d'un repère Simplifiateurs Fontions Fontions parties réelle et duale Prolongement anonique Fontions spéiales Angles d'euler duaux assoiés à un déplaement Angles de Briant duaux assoiés à un déplaement Conlusion. 207 Partie 4 ANNEXES 209 A NOTIONS DE LA THEORIE DES GROUPES ET ALGEBRES DE LIE 211 A.l Introdution 211 A.1.1 Variété différentielle - Carte 211 A.1.2 Changement de artes 212 A.2 Groupe de Lie 213 A.2.1 Sous-groupes immergés d'un groupe de Lie 214

13 Partie 0 TABLE DES MATIERES A.3 Groupe opérant dans un ensemble 214 A.4 Ation d'un groupe sur un ensemble 214 A.4.1 Fidélité 214 A.4.2 Transitivité 214 A.4.3 Homogénéité 215 A.4.4 Ations d'un groupe de Lie sur lui même 215 A.5 Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. 216 A.5.1 Crohet de Lie 218 A.5.2 Sous-groupe à un paramètre 219 A.5.3 Appliation exponentielle 219 A.5.4 Homomorphismes de groupes et d'algèbres de Lie 220 A.5.5 Coordonnées anoniques. 220 A.5.6 Représentation adjointe 221 B MODELE GEOMETRIQUE DU ROBOT ACMA-H B.l Desription du robot ACMA-H B.2 Modèle géométrique 225 B.3 Configuration de l'organe terminal dans l'espae opérationnel 228 B.3.1 Calul formel 228 B.3.2 Appliation numérique 232 C SCHEMAS OPTIMAUX DU CALCUL DES ANGLES D'EULER ET DE BRIANT DU- AUX 233 Cl Introdution 233 C.2 Position du problème 233 C.3 Shéma de alul des paramètres assoiés aux angles d'euler duaux 234 C.4 Shéma de alul des paramètres assoiés aux angles de Briant duaux 235 C.5 Appliation 236 C.5.1 Desription des trajetoires - Loi Bang-Bang 237 C.5.2 Simulation des onfigurations de l'effeteur du robot ACMA-H8Û 237 D LE ROBOT PUMA D.l Introdution 243 D.2 Caratéristiques 243 D.3 Desription paramétrée grâe au module DATASEIZE 243 D.4 Base de onnaissane en ode maple générée par MEDUSA MF D.5 Code Fortran généré par MEDUSA MF E COMPLEXITES EFFECTIVES APRES COMPILATION DU CODE EN LIGNE 273 E.l Introdution 273 E.2 Code assembleur de l'implémentation initiale. 273 E.3 Code assembleur de l'implémentation transformée 276

14 TABLE DES MATIERES Partie Ü E.4 Conlusion.,, 279 REFERENCES ET BIBLIOGRAPHIE 281, EVI H.M'îùïB

15 Partie 0 TABLE DES MATIERES

16 LISTE DES FIGURES 0.1 Champs de reherhe onernés par notre travail Session de travail sur Maple ave le module dualstru.map Ation du groupe O sur l'ensemble des onfigurations S Famille fondamentale Installation robotisée Liaison entre deux orps Matérialisation d'une paire inématique Interprétation géométrique Paires inématiques réalisées par ontat entre surfaes externes Paires inématiques réalisées par ontat interne-externe Degrés de liberté Exemples de méanismes et de paires inématiques Graphe assoié à une struture arboresente (graphe orienté) Graphe assoié à une struture arboresente (graphe ordonné) Ordre réursivement reonnaissable sur un arbre topologique Positionnement de l'organe terminal Angles d'euler lassiques Angles de Briant duaux Paramétrage par des angles d'euler duaux Configuration artiulaire Repérage des éléments du robot Familles fondamentales assoiées aux notations de Denavit-Hartenberg Paramètres assoiés au notations de Denavit-Hartenberg Paramètres inématiques pour un système arboresent Distribution de masse dans un solide â une onfiguration donnée Shématisation des grandeurs inématiques Résultantes des efforts agissant sur un élément Corretion assoiée au déplaement d'une fore Satellite géostationnaire Anik E 121 XI11

17 4.6 Bilan des efforts exerés par les orps adjaents à un élément Comparaison des omportements asymptotiques des modèles Bilan des efforts entre orps adjaents dans une struture arboresente Constrution des termes Représentations d'une expression mathématique Affetation forestière L'objet: Règle de réériture Modèle oneptuel de SURVEYOR Session de travail sur SURVEYOR Robot intelligent autonome dans un environnement variable Modèle oneptuel de MEDUSA MF Session de travail sur Axiom Niveaux d'abstration des données Interprétation des opérations Tradution de la règle objet en règles hamps 187 7,1 Session de travail sur Maple 196 A.l Carte différentielle 212 A.2 Changement de artes 213 A-3 Un hamp de veteurs dans le fibre tangent du groupe G 217 B.l Shématisation du robot ACMA-H Cl Loi Bang-Bang 238 C.2 Simulation numérique de la loi Bang-Bang 239 C.3 Simulation numérique de la preession duale de l'organe terminal du robot ÂCMA-H C.4 Simulation numérique de la nutation duale de l'organe terminal du robot ACMA-H C.5 Simulation numérique de la rotation propre duale de l'organe terminal du robot ACMA-H8024Q C.6 Simulation numérique du roulis dual de l'organe terminal du robot ACMA-H C.7 Simulation numérique du tangage dual de l'organe terminai du robot ACMA-H C.8 Simulation numérique du laet duale de 'organe terminal du robot ACMA-H D.l Le robot PUMA

18 INTRODUCTION 0.1 Contexte de notre travail L'un des objetifs de la reherhe en méanique est l'analyse mathématique du omportement des systèmes artiulés (massivement utilisés par la tehnologie moderne), d'expliquer e omportement par des modélisations et e afin de faire des prévisions ou de le reproduire par la ommande. L'entrelaement entre différentes disiplines des sienes appliquées et la diffiulté roissante des systèmes font de l'informatique, oordonnée ave l'étude mathématique des modèles, un outil indispensable à ette analyse. Ainsi, la omplexité roissante des systèmes méaniques, le progrès des automates programmables et la variété des domaines des appliations méaniques des systèmes artiulés (industries manufaturières, spatiales, sous-marines, nuléaires, transports,... et) exigent une adaptation permanente de la formalisation mathématiques et la oneption de nouveaux modèles et algorithmes performants pour le alul du omportement de tels systèmes. Cette oopération des mathématiques et de l'informatique a ouvert un important domaine de reherhe où la oneption et la réalisation des systèmes d'aide à la modélisation et à la génération des shémas de alul assistées par ordinateur sont des outils indispensables. De nombreux systèmes informatiques ont été onsarés à une partie ou une autre de es questions [R. Sturges[STUR-73], W. Khalil [KHAL-78], J.Y.S. Luh [LUH 81], M.G. Aîdon [ALDO-82], J. Wittenburg & U. Woltz [WITT-85], Ch. Garnier [GARN-90]]. Les multiples faes des problèmes que nous venons de soulever peuvent être lassées en deux atégories: Les problèmes de modélisation d'ordre mathématique: Un modèle est une représentation simplifiée de la réalité. Il repose sur un ensemble d'hypothèses simplifiatries dérivant une partie du modèle réel et de son fontionnement. Pour tous les systèmes artiulés, qu'ils soient motorisés ou non, il existe plusieurs modes de fontionnement (ou de ommande): par 1

19 Partie 0 Chapitre 0. INTRODUCTION apprentissage, en position, en vitesse et dynamique. L'intérêt de la desription basée sur le modèle dynamique est de permettre notamment: o de prendre en ompte les termes: d'inertie, des fores entrifuges et de Coriolis, éventuellement, de frottement, de déformation,... et. o d'évaluer les fores et ouples transitoires des ationneurs: pour dimensionner les efforts, pour déterminer au mieux les rapports des transmetteurs. Les objetifs tehnologiques et industriels qui motivent le hoix d'un tel modèle sont essentiellement liés à la préision et la répétabiîité de la tâhe d'une part et 'aélération du rythme de travail et de prodution d'autre part. En effet, une ommande dynamique permet notamment d'aroître la vitesse de travail en gardant: o la même préision que pour la ommande en position, o la même répétabiîité qu'en ommande par apprentissage. Cependant, les diffiultés dues à la omplexité du modèle dynamique résident essentiellement dans le volume du alul matriiel et les inidenes qu'il peut induire sur le fateur temps réel lorsque ette omplexité n'est pas maîtrisées. Les problèmes d'ordre informatique liés à la oneption et la réalisation d'un système d'aide à la modélisation et à la génération de odes répondant aux "fateurs de qualité". Ces fateurs de qualité doivent reouvrir deux aspets: o Les qualités générales du logiiel d'aide à la modélisation: onvivialité, ergonomie, rapidité, fiabilité, modularité, souplesse, adaptabiîité,... et. o Les qualités spéifiques liées à la ohéiene, la modularité et la orapréhensibilité du ode soure généré par le système logiiel: déomposition modulaire: le système logiiel doit réduire la omplexité apparente des équations générées en mettant en fateur les aluls ommuns afin d'optimiser le ode soure, preedene modulaire: les sous-modules du ode soure doivent être disposés selon l'ordre de preedene des aluls; 'est à dire, de telle manière qu'à l'exéution des programmes, les variables figurant lans le sous-module en ours de traitement doivent être évaluées à des étapes antérieures, ompréhension modulaire: d'une part, les sous-modules doivent avoir un sens (dans le as qui nous intéresse, ils doivent avoir un sens méanique) de façon à e que

20 0.2. Fondements et buts de la thèse Partie 0 l'utilisateur puisse omprendre les étapes du alul. D'autre part, le système logiiel doit être apable de délarer automatiquement dans les "zones de délaration" du ode soure: le type, la dimension et la préision de alul des différentes variables. Le as éhéant, le système doit pouvoir ommenter automatiquement les sous-modules du ode soure pour aider les utilisateur à mieux omprendre le déroulement du proessus de alul des programmes. Les solutions, proposées par la résolution informatique, à es problèmes relèvent de deux atégories: o La première atégorie, dite algorithmique, orrespond aux as où l'on dispose de modèles mathématiques ('est le as du problème de alul du modèle dynamique). La solution onsiste alors à hoisir les mathématiques omme langage de programmation: pour ela, on dispose entre autres d'un large hoix de systèmes de alul formel permettant une bonne représentation du ontexte mathématique du problème. o La seonde atégorie de solutions orrespond aux as où l'on dispose de onnaissanes et d'heuristiques générales 1 ('est le as des problèmes d'obtention des fateurs de qualités du ode généré). L'intelligene artifiielle propose, dans de tels as, des systèmes basés sur des règles de prodution (i.e. des modules de la forme: ondition => ation), des règles de réériture, des stratégies de résolution, des heuristiques,... et. Cette démarhe ambitieuse herhe à ombiner la simulation du raisonnement mental humain aux performanes de rapidité de l'ordinateur. L'intérêt d'un approhe hybride (Aîgorithmique-I.A.) dans le problème qui nous préoupe vient du fait que des algorithmes, des onepts, des axiomes, des lois,... et même des jugements de bon sens ou intuitifs oopéreront ensemble pour atteindre la solution finale. C'est le type de solution que nous préonisons dans ette thèse. 0.2 Fondements et buts de la thèse Le but prinipal de ette thèse est don le développement des outils néessaires à l'élaboration d'un algorithme performant pour le alul du modèle dynamique en temps réel, sa généralisation à une large atégorie des systèmes artiulés -arboresents- et enfin la oneption et la réalisation des outils informatiques basés sur des systèmes de alul formel, pour la génération automatique: d'un shéma de alul symbolique itératif optimisé en nombre d'opérations élémentaires du modèle dynamique dans le langage Fortran; 'Notons que dans nombre de as, es onnaissanes et heuristiques peuvent se ramener à des desriptions par des modèles mathématiques. Mais, pas dans le sens de la modélisation mathématique invoquée au paragraphe préédent. Dans e as, il s'agit surtout de problèmes de gestion d'hypothèses, de gestion arboresente, de planifiation,... et. On peut don reourir selon les as à divers types de représentations: bases de règles, logique, probabilités, reherhe opérationnelle,... et.

21 Partie 0 Chapitre 0. INTRODUCTION des équations formelles expliites du modèle dynamique dans le langage du alul formel. Dans et esprit, la partie mathématique de notre thèse poursuit les travaux de D. Chevallier sur la modélisation des systèmes artiulés à l'aide de la théorie des groupes et algebres de Lie [CHEV-86]. L'auteur a exposé, dans et artile, les aspets algébriques du groupe D) des déplaements et la struture de variété différentielle de l'espae S des onfigurations d'un solide rigide. L'existene d'un produit intérieur "[.[.]", qui munit S d'une struture rimannienne invariante par permet d'exposer la théorie newtonnienne de l'inertie d'un solide rigide et d'aboutir à ertaines propriétés partiulières de l'opérateur d'inertie. Une desription axiomatique des liaisons et la relation entre vitesses des orps en liaison permettent d'aboutir à une formulation analytique des équations expliites de la dynamique à partir du prinipe des puissanes virtuelles. Nous nous somme inspirés également des travaux de J-M. Hervé [HERV-78] sur la représentation formelle des liaisons dans les paires inématiques par des sous-groupes de déplaements. Mais, notre approhe est différente dans la mesure où elle se base sur la aratérisation de tels sous-groupes par les générateurs infinitésimaux de leurs déompositions relatives à des familles fondamentales 2. En effet, afin d'atteindre la rigueur du raisonnement analytique de la représentation formelle, nous avons ru néessaire de faire ressortir l'aspet infinitésimal de ette modélisation. Nous nous sommes attahé dans les différents points traités dans e mémoire à mettre de l'ordre dans les idées pratiques et de la rigueur mathématique dans les fondements théoriques. Nous avons d'ailleurs obtenu, indépendamment des travaux préédents et onformément aux ambitions exprimés au début de ette introdution, nombre de résultats nouveaux. Nous avons herhé à exprimer un formalisme ou n'interviennent que des strutures (algébriques) et des opérations (propies aux traitement informatique); pour ela il était néessaire de substituer à la notion de repères affines orthonormés direts la notion intrinsèque de familles fondamentales. 0.3 Etat de la question de dynamique Aujourd'hui, toutes les méthodes de génération des équations du mouvement résultent de Tune des deux approhes de base, à savoir: Première approhe: il s'agit de la tradution du mouvement par un ensemble d'équations algébro-différentielîes déduites des théorèmes généraux de la méanique lassique. Dans ette lasse se retrouvent toutes les formulations qui sont basées sur le formalisme de Newton-Euler. Seonde approhe: dans ette approhe, on exprime les équations de la dynamique d'un système artiulé holonome à l'aide d'un système différentiel du seond ordre sur la variété différentielle représentant l'espae des onfigurations. Les équations sont généralement "C'est une notion que nous proposons omme alternative à la notion lassique de repères affines orthonormés direts et dont nous exposerons l'intérêt et les avantages plus loin dans e texte. m

22 0.3. Etat de a question de dynamique Partie O exprimées dans des systèmes de oordonnées et/ou quasi-oordonnées et peuvent revêtir diverses formes lassiques: équations de Lagrange, équations de Gibbs-Appel, formalisme de Hamilton, formalisme de Kane; traduisant ainsi une des multiples formes du prinipe des puissanes virtuelles. La reherhe ontemporaine dans e domaine onerne deux grandes atégories de problèmes de dynamique: (a) Modèle dynamique inverse : ou tout simplement modèle dynamique; est le problème qui onsiste à herher les efforts (i.e. fores/ouples) qu'il faut appliquer aux ationneurs pour produire ou reproduire un mouvement aratérisé par la donnée des positions, vitesses et aélérations artiulaires du système artiulé. Les méthodes exposées dans la littérature revêtent deux formes: La forme expliite où le veteur des efforts artiulaires sont déterminés par des équation de la forme: Q= A(q)q + b(q,q) où: Q q q q A(q) veteur d'ordre N (où N est le nombre de degrés de liberté de la struture artiulée) des ouples/fores des ationneurs, selon la nature des artiulations (rotoïde ou prismatique), veteur des N positions artiulaires, veteur des vitesses artiulaires, veteur des aélérations artiulaires, matrie d'ordre N x N, généralement appelée matrie de l'énergie inétique ou KQI Q) veteur des termes de Coriolis et des fores entrifuges, non-linéaires en fontion de q et q, et des tenues des fores de gravité. Forme reursive (impliite) où l'on ne peut séparer les différentes variables artiulaires, mais qui présente de nombreux avantages omme nous le montrerons dans ette thèse. (b) Modèle dynamique direte : dans e problème, il s'agit d'exprimer les aélérations artiulaires en fontion des positions, vitesses et efforts des ationneurs. Ainsi, plusieurs formalismes ont été utilisés pour obtenir les équations du mouvement des systèmes méaniques artiulés [E.T. Whitteker [WHIT-04], W. Hooker k. G. Margulies [HOOK-65], V.l. Arnold [ARNO-66], R. Roberson & J. Wittenburg [ROBE-66], J. Wittenburg [WITT-77], J.Y.S. Luh, M.W. Walker & R.P.C. Paul [LUH 80], T.R. Kane & D.A. Levinson [KANE-80], J.M. Hollerbah [HOLL-80], M. Renaud [RENA-SO], P. Coiffet [COIF-81], D. Chevallier & Helmer [CHEV-84], M. Vukobratovi [VUKO-85], D. Chevallier [CHEV-86], M. Valàsek [VALA-91]].

23 Partie 0 Chapitre 0. INTRODUCTION Formalisme de Lagrange Le formalisme des équations de Lagrange onsiste à exprimer des équations différentielles du seond ordre à l'aide de Vénergie inétique. La formulation standard du modèle dynamique basée sur e formalisme pour des systèmes artiulés à struture quelonque déoule des travaux de J.J. Uiker [UICK-65]. Cette méthode générale est basée sur le alul de la trae de matries et représente ainsi un puissant outil de alul. Mais, son défaut majeur est qu'elle présente trop de aluls redondants. Plusieurs auteurs ont utilisé ette méthode [Kahn [KAHN-69J, Kahn & B. Roth [KAHN-71], J.M. Haollerbah [HOLL-80], M. Renaud [RENA-80]] Formalisme de Gibbs-Appel Les travaux de bases qui sont à l'origine de e formalisme remontent à la fin du XIX e sièle [J.W. Gibbs [GIBB-879], P. Appell [APPE-OOj & [APPE-11]]. Les équations sont exprimées à l'aide de l'énergie d'aélération et de la dérivation a"appell. S'appuyant sur e prinipe, A.F. Vereshagin [VERE-74] a proposé un modèle dynamique expliite pour les méanismes à struture de haîne dont les artiulations sont de type prismatique ou pivot. Plus réemment, T.R. Kane et D.A. Levinson [T.R. Kane & D.A. Levinson [KANE-80], [KANE-83] & [KANE-85]] ont formulé sur es bases e qu'on appelle les équations de Kane, utilisées depuis par plusieurs auteurs [E.A. Deslge [DESL-87], J.E. Keat [KEAT-87], D.E. Rosenthal [ROSE-87]] Formalisme de Newton Euler Ce formalisme déoule des théorèmes généraux de la méanique. Il est fréquemment utilisé dans la ommande dynamique des systèmes artiulés. L'étude faite par Hooker et G. Margulies [HOOK-65] présente l'une des premières tentatives de systématisation du modèle dynamique pour des systèmes méaniques à strutures arboresentes. Cette formulation a été améliorée par R. Roberson et J. Wittenburg en introduisant la théorie des graphes [R. Roberson & J. Wittenburg [ROBE-66J]. Cependant, l'inonvénient de es méthodes est qu'il est souvent diffiile de prévoir l'élimination des efforts intérieurs à la struture artiulée. P.W. Likins a apporté une solution à e problème en ramenant toutes les artiulations à un seul degré de liberté donnant forme ainsi à la première méthode expliite de la formation du modèle dynamique [P.W. Likins [LIKI-71J & [LIKI-74]]. C'est dans ette même période, que les équations de Newton-Euler ont été utilisées pour la première fois dans la modélisation des strutures bioméanique telles que le orps Immain [R.L. Huston & C. E. Passerello [HUST-71], Stepanenko & Vukobratovi [STEP-76], Orin & al. [ORIN-79]]. En 1979, J.Y.S. Luh, M.W. Walker et R.P.C. Paul ont proposé une méthode itérative très adaptée à la ommande dynamique en temps réel des robots à haîne inématique simple [LUH 80]. Depuis, ette méthode a été utilisée sous diverses formes par de nombreux auteurs [J.M. Hollerbah [HOLL-80], E. Dombre & W. Khalil [DOMB-88]]. Par ailleurs, plusieurs auteurs ont développé des

24 0.4. Plan et apports de a thèse Partie 0 méthodes d'analyse topologique pour les formulations réursives de la dynamique des méanismes [J. Wittenburg [WITT-77], R.S. Hwang & E.J. Haug [HWAN-89]]. En 1966, V.l. Arnold a publié un artile [ARNO-66] onsaré à l'étude du mouvement d'euler- Poinsot par la théorie des groupes et algebres de Lie où il exprime notamment les équations d'euler à partir de l'étude des géodésiques du groupe lassique 50(3). Sur les mêmes bases théoriques, dans les aimées 80, D. Chevallier a proposé une méthode analytique expliite permettant de formuler les équations de la dynamique de façon intrinsèque dans l'algèbre de Lie assoiée au groupe des déplaements à partir du prinipe des puissanes virtuels pour des systèmes rrraîtiorps ave des artiulations quelonques [D. Chevallier [CHEV-86]]. En utilisant la notion des nombres duaux, déouverte par le mathématiien W.K. Clifford [CLI-873] & [CLI-878] et utilisée depuis en inématique par de nombreux auteurs [A.T. Yang [YAN-64a], A.T. Yang and F. Freudenstein [YAN-64b], F.M. Dimentberg [DIME-65], G.R. Veldkamp [VELD-82], D. Chevallier [CHEV-91]], nous avons développé une formulation itérative du modèle dynamique des robots manipulateurs [A. Hamlili [HAML-91]]. En 1992, nous avons amélioré ette formulation [HAML-92] pour donner forme à un algorithme basé sur une double réurrene, d'une effiaité quasi-optimale, très adapté au alul du modèle dynamique des strutures artiulés en temps réel. 0.4 Plan et apports de la thèse Ainsi, omme on peut le voir après es quelques lignes, le but pratique de notre travail dans le domaine de la dynamique ne peut être atteint qu'au prix de développements théoriques et trouve sa onfirmation par omparaison ave les résultats lassiques de la méanique des systèmes artiulés de orps rigides. Ce mémoire de thèse omporte quatre parties. 0.4,1 La partie 1 Il est souvent intéressant et parfois néessaire de hanger la représentation d'un problème afin de se ramener à un problème pour lequel on dispose d'outils d'analyse plus naturels permettant d'exprimer les idées très lairement et ave moins d'efforts. La première partie à pour objet de définir les bases théoriques préliminaires aux théories abordées pour établir nos modèles. Elle omporte des développements et outils mathématiques fondamentaux. Ainsi, elle est essentielle à la ompréhension des raisons qui ont motivé nos hoix autant dans la, modélisation géométrique que dynamique du omportement des systèmes artiulés. Le hapitre 1 s'attahe aux éléments de la théorie des nombres duaux et les méthodes de base permettant leur implementation en alul symbolique. Les raisons qui nous ont amenés à étudier les extensions sur l'anneau des nombres duaux et à dégager nombre de résultats qui semblent ne F]

25 Partie 0 Chapitre 0, INTRODUCTION pas être étudiés ailleurs sont au nombre de deux: la première raison et la plus importante se rattahe à l'implantation de telles strutures dans des proessus de alul formel; la seonde raison est l'absene, dans la littérature, d'un travail rigoureux qui puisse servir de référene de base sur e point partiulier. Le hapitre 2 est onsaré à la présentation de l'ensemble des outils mathématiques que nous allons adopter pour a modélisation des aspets géométriques et dynamiques des systèmes artiulés dans le adre de la théorie des groupes et algèbre de Lie. Dans e hapitre, nous proposons les notions des familles fondamentales et familles mobiles omme une alternative aux notions lassiques de repères affines orthonormés direts et repères mobiles de l'espae géométrique affine eulidien. En substane, es deux notions ne traduisent auune autre prétention que elle "d'algêbriser" totalement la notion de repère affine orthonormé diret. Ainsi, elle apporte une larifiation formelle des aluls (ette façon de voire les hoses est étroitement liée à la représentation des onfigurations d'un solide par elles d'un trièdre orthonormé diret). Les idées que nous proposerons, seront méthodiquement développées par des séries de théorèmes et de propositions donnant ainsi un orpus mathématique à es aspets théoriques de la modélisation La partie 2 La deuxième partie se ompose également de deux hapitres. Elle présente les modèles de omportement des systèmes artiulés à struture de haîne inématique ouverte simple ou arboresente dans le ontexte théorique défini dans la première partie. Le hapitre 3 est onsaré à l'étude du modèle géométrique des systèmes artiulés à haînes inématiques ouvertes simples et arboresentes. Les aspets développés dans le hapitre 2 nous ont onduit naturellement à proposer la généralisation des définitions des angles d'euler et des angles de B riant permettant ainsi la desription des déplaements et des mouvements de 1 à 6 degrés de liberté. Grâe à l'outil de alul formel et ompte tenu des résultats démontrés au hapitre 1 sur l'inversibilité des prolongements anoniques duaux, nous exprimerons les onditions d'appliation de telles onventions généralisées. L'identifiation des paramètres de desription du mouvement va permettre, entre autres, de déterminer le modèle géométrique inverse et les onfigurations singulières pour de tels paramétrages du groupe des déplaements. Enfin, e hapitre se termine en établissant des modèles géométriques itératifs pour les méanismes à struture de haîne inématique ouverte simple ou arboresente. La tradution des onventions de Denavit-Hartenberg dans e langage mathématique permettra de mettre en évidene un algorithme itératif simple pour exprimer une méthode aiialytipue pour déterminer tels paramètres à partir de la donnée des familles fondamentales assoiées aux élément de la haîne inématique.

26 0.4. Pian et apports de!a thèse Partie 0 Muite'it au muele Cette figure shématise les hamps de la reherhe en dynamique des systèmes multiorps suivant trois axes ardinaux. La région olorée situe les hamps de d'ation de ette thèse dans le vaste domaine de la reherhe en dynamique des systèmes artiulés. Fig. 0.1: Champs de reherhe onernés par notre travail Le hapitre 4 porte entièrement sur la modélisation dynamique des méanismes à struture de haîne inématique ouverte simple ou arboresente. Nous définissons notamment dans e hapitre la notion de pseudo-aélération, le proédé de alul d'un tel hamp de veteurs et sa relation ave les notions lassiques d'aélérations angulaire et linéaire en un point du solide. L'expression, dans e formalisme, des lois fondamentales de la dynamique et du bilan des efforts agissant sur haque orps d'un système artiulé permettent alors de déduire un algorithme performant poulie alul du modèle dynamique (appliable au alul en temps réel). Nous proposerons alors une omparaison, basée sur le oût de alul, de et algorithme ave sept autres algorithmes de référene. Enfin, e hapitre se termine par la généralisation de et algorithme au as des systèmes artiulés arboresents. Dans e ontexte, les modèles que nous allons proposer présenteront un intérêt double: simpliité syntaxique des modèles d'une part et desription de la réalité dans des as omplexes d'autre part.

27 Partie 0 Ch&pitre 0, INTRODUCTION La partie 3 Dans ette troisième partie, nous onsidérons les problèmes relatifs à la génération d'un ode optimisé du modèle dynamique itératif. Nous présenterons le prototype SUREVEYOR et le logiiel MEDUSA MF77 que nous avons développés à et effet. Sur un exemple simple, nous montrons que les fontionnalités atuelles des systèmes de alul formel lassiques ne permettent pas enore la prodution de odes qui requièrent les fateurs souhaités de qualité. Nous exposerons ensuite les solutions que nous apportons à es problèmes par la réériture dans des algebres libres (abstrations algébriques) de termes du premier ordre (i.e. ontenant des variables) au moyen des tehniques de l'intelligene artifiielle. Enfin, ette partie se termine par l'exposé, sur des exemples, des prinipales fontions du module dualstru. map de alul formel sur les objets duaux. Ce module définit de puissants outils informatiques de alul et de manipulation formelle des objets duaux pour le mathématiien, d'autant plus ertains d'entre eux sont même spéialiser en méanique. Le but de leur oneption est de permettre d'érire et manipuler des expressions mathématiques formelles à partir d'objets duaux. L'ensemble de es outils permet d'exprimer dans une syntaxe simple des modèles de réalités matérielles et physiques très omplexes Les annexes La première annexe propose un rappel suint des différents résultats de la théorie générale des groupes et algebres de Lie. Elle pourrait ainsi servir de référene rapide aux leteurs. Les autres annexes proposent des appliations variées des différentes méthodes proposées dans ette thèse à des problèmes d'ingénierie. 10 \

28 Partie 1: ASPECTS MATHEMATIQUES 11

29

30 - Résumé de la partie 1 - PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES ET BASES DE LA MODELISATION II est souvent intéressant et parfois néessaire de hanger a représentation d'un problème afin de se ramener à un problème pour lequel on dispose d'outils d'analyse plus naturels qui permettent d'exprimer les idées très lairement et ave moins d'efforts. Dans ette première partie, nous nous fixons pour objet de définir les bases théoriques et les fondements mathématiques préliminaires aux thèmes abordés pour établir nos modèles. Ainsi, elle essentielle à la ompréhension des raisons qui ont motivé nos hoix autant sur le plan de la modélisation géométrique que dynamique du omportement des systèmes artiulés. Enfin, nous verrons omment es méthodes exates peuvent servir pour l'algébrisation de notions physiques dont l'utilisation sous la forme lassique, dans des développements formels, est souvent responsable à la ompliation des aluls et des modèles. Nous montrerons, plus loin dans e mémoire, que l'ensemble des moyens que nous proposons font de nos méthodes des outils indispensables à une détermination systématique de modèles généraux des systèmes artiulés. Les modèles s'exprimeront alors dans e langage mathématique sous des formes syntaxiques relativement simples.

31 Partie 1 14 OilfinKliKr IHl'isöa

32 Chapitre 1 ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE 1.1 Introdution Le mathématiien William Kingdon Clifford (1845-1S79) a introduit une idée très originale sur la théorie des "moteurs" 1 qui réside dans l'utilisation d'un ertain opérateur t qui permet d'exprimer symboliquement un "moteur" (M, Mo) sous forme d'un veteur spéial 2 : M + e MQ OÙ est un opérateur nilpotent du seond ordre. C'est ainsi, à la suite des travaux de W.K. Clifford [[CLI-873] & [CLI-878]], que l'existene d'un tel opérateur a été impliitement aeptée. Plus tard, en se basant sur les travaux de Bail et Zanhevskiy sur la théorie des vis et de eux de Kotelñikov sur l'appliation des nombres duaux à la théorie des veteurs, F.M. Dimentberg a proposé une large appliation du alul dual sur les vis pour le traitement des problèmes de inématique [F.M, Dimentberg [DIME-65]]. Dans de réents travaux, plusieurs auteurs [K. Sugimoto & J. Duffy [SUG-82aj, G.R. Veldkamp [VELD-82], A.K. Pradeep, P.J. Yoder & R. Mukundan [PRAD-89], D. Chevallier [CHEV-91]] ont proposé des présentations modernes des appliations de tels nombres en inématique. Dans le hapitre présent, nous allons introduire la notion de nombres duaux omme un outil mathématique. Nous nous attaherons à mettre de la rigueur mathématique dans notre exposé afin de ressortir les idées réelles qui existent derrière l'utilisation des nombres duaux. Ave et outil, nous allons onstruire un ertain nombre de strutures algébriques adjaentes et établir nombre s Nous avons utilisé ii la tradution du mot anglais: Motor. 2 L'mtrodution de e type de veteurs qui résulte d'une telle onstrution formelle a onduit Clliford à des résultats intéressants [DIME-65]: Les opérations sur les moteurs sont indépendantes du point de l'espae géométrique où ils sont réduits. La partie vetorielle d'un moteur apparaît omme le résultat de l'opération par e du même moteur. 15

33 Partie 1 Chapitre 1. ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE de résultats analytiques et algébriques afin de mettre en évidene les propriétés aratéristiques qui nous permettrons d'envisager un alul symbolique diret (et systématique) sur ette notion. Contrairement à e que l'on pourrait roire, travailler sur des strutures algébriques et des outils basés sur les nombres duaux n'est pas une simple généralisation 3 du alul sur es mêmes notions dans R. Il s'agit en fait de travailler dans de nouvelles strutures algébriques qui n'ont plus les mêmes propriétés que les strutures algébriques orrespondantes sur R. En effet, même si les axiomes d'un module sont identiques à eux d'un espae vetoriel, au hangement près du orps de base en un anneau, et même si les prinipales définitions d'algèbre linéaire sont valables dans les modules, les propriétés algébriques d'un module peuvent différer substantiellement de elles d'un espae vetoriel. En partiulier, des propriétés intuitives de la géométrie ou de l'existene d'une norme peuvent être en défaut dans un module. Et manque d'une justifiation mathématique rigoureuse des résultats, on ne peut affirmer ave ertitude la validité des modèles généralisés. 1.2 Nombres duaux Dans e paragraphe nous allons définir les éléments de base du alul sur les nombres duaux. Les éléments de e langage sont indispensables pour aborder des strutures algébriques duales plus omplexes Définition struturelle En un ertain sens, les nombres duaux peuvent être onçus omme des doublets 4 réels munis de ertaines lois de omposition interne. de nombres Définition 1.1 On appellera ensemble des nombres duaux et on va noter A, l'ensemble R muni des lois d'addition et de multipliation, sur des ouples de nombres réels, définies respetivement par: et {xi,x 2 ) +(2/1,2/2) = (xi+y\,x2+y 2 ) (Eq.1.1) (xi,x 2 )(yi,y 2 ) - (xi:yi,xiy-2+x 2 yl) (Eq.1.2) Dès à présent un nombre de remarques immédiates peuvent être faites sur la struture algébrique de A: D'abord, l'ensemble A a une struture d'anneau unitaire ommutatif pour les lois d'addition et de multipliation définies i-dessus. Son élément unité est: 1& = (1,0). Cependant, il est vrai que a restrition des résultats qu'on peut établir sur les A-modules, aux strutures réelles orrespondent aux résultats lassiques sur les iî-espaes vetoriels à des isomorphismes près. D'autres définitions peuvent être envisagés. A titre d'exemple, l'ensemble des nombre duaux peut être Considéré omme étant une algèbre quadratique de type (0,0) [N. Bourbakî [BOUR-70]], ou enore la struture R[X]/[X 2 ).

34 1.2. Nombres duaux Partie 1 De plus l'élément e = (0,1) est nilpotent d'ordre deux; 'est à dire: 2 = 0 A (Eq.1.3) L'ensemble A n'est don pas un anneau intègre, puisqu'il ontient des diviseurs de zéro. Par ailleurs, l'ensemble {(a, 0)/a 6 R} est un sous-anneau de A isomorphe à JR, Ainsi, dans la suite, nous pourrons identifier et ensemble à Jfî. L'ensemble A peut être muni d'une struture d'espae vetoriel de dimension deux sur R, dont une base anonique est donnée par la famille {IAI e}, de sorte que l'on peut désormais identifier A à R e R. On s'aordera don d'érire, de façon symbolique, pour tout nombre dual x = (xi,x2)'- x= a;ila+ X2= x\ + a?2 ; ave x\, Xi R (Eq.1.4) Parties réelle et partie duale d'un nombre dual Définition 1.2 Nous appellerons parties réelle ei duale d'un nombre dual, les fontions Re et Du à arguments dans A et à valeurs dans R qui à tout nombre dual x xi + e x% de l'ensemble A, assoient respetivement les omposantes réelles: Re(x) x\ et Du(x) = X2 On a l'habitude d'utiliser un support géométrique pour représenter intuitivement la notion de produit artésien. Cependant, bien que et approhe soit assez ommode pour se faire une idée intuitive, il ne faut pas trop s'y fier pour les démonstrations mathématiques. Ainsi, il peut arriver que l'on renontre dans la littérature le terme de points du plan A. A haque point sont assoiées deux oordonnées et, de e point de vue, les parties réelle et duale d'un nombre dual sont respetivement les projetions sur les axes de la première et la seonde oordonnée du point du plan qui représente e nombre Nombres duaux inversibles Quotient D'après la relation (Eq.1.2) qui définit la multipliation sur les nombres duaux, les éléments inversibles de A sont les nombres duaux x = x\ + ex-, ave X\ ^ 0, tels que: x- 1 = -e^r (Eq.1.5) :ti a-i" Corollaire 1.1 Soient deux nombres duaux x et y, ave Re (y) ^ 0. Si ' désigne le quotient de x par y, alors: y x Re {x) x Re (y) Du (x) - Re (x) Du (y) Re y = ReTy-) et DU V = Rel^r (Eq - L6)

35 Partie 1 Chapitre 1. ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE 1.3 Fontion d'une variable duale Définition - Exemples Définir une fontion /, d'une variable duale x = x\ + ex2, revient à définir une appliation d'un domaine D Ç R 2 dans R 2, telle que: f(x) = /i(2:1,3:2) + fi{ x i-, x 2), où /1 et/2 peuvent être onsidérées omme deux fontions de deux variables réelles et à valeurs dans R. Exemples A titre d'exemples, on peut définir des fontions sinus et osinus duales, pour tout nombre dual x = x\ + s X2, par: sinx = sinxi + e x 2 osxi et osx = os X\ s x-i sin x\ (Eq.1.7) Si auune onfusion n'est à raindre, on peut noter tout simplement sin et os au lieu de sin et as, es fontions sinus et osinus duales. Lemme 1.2 Soit n un nombre entier naturel quelonque. Alors, pour tout nombre dual x: Preuve : de e 2 x n = R,e(x) n + endu(x)re{x) n - 1 (Eq.1.8) A étant un anneau ommutatif, on peut appliquer la formule du binôme en tenant ompte = 0. Ainsi, si x x\ + X2, alors: n X n = Y^C^ X n l - k e k k X 2 f=0 = ir + K2ll" _1 Ce qu'il fallait démontrer. Proposition 1.3 Soit x un nombre dual arbitraire, alors, les séries formelles suivantes sont onvergentes dans A et on a: et Preuve : E ~Vo M = l - COiiX i^- 1 " 9 ) t 1 [2n)\ 03 ( *[\ n r Ew = sinx (Eq 2n+1 - L10) n=0 v ' La démonstration est immédiate, elle déoule du lemme 1.2, de la définition des fontions sinus et osinus duales et du développement en série des fontions sinus et osinus de variable réelle. Plus généralement, toutes les identités établies pour la trigonométrie réelle, peuvent être étendues, quand elles sont définies, à la trigonométrie duale en tenant ompte des propriétés d'inversibilité 5 des nombres duaux. Je fait allusion ii aux formules où pourrait intervenir un quotient dual.