Proposition 1. La probabilité de A est égale à 3 7. Proposition 3 P(B) = 7. Proposition 5. Si P(X = 1) = 8 P(X = 0) alors p = 2 3.

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1 Polynési sptmbr 009 EXERCICE points Commun à tous ls candidats On considèr l cub OABCDEFG d'arêt d longuur rprésnté ci-dssous. Il n'st pas dmandé d rndr l graphiqu complété avc la copi. Soint ls points P t Q tls qu OP OA t t OQ OC. On appll R l barycntr ds points pondéréss L'spac st muni du rpèr orthonormal (O ; (B, ) t (F, ). OA, OC, OD ).. a. Démontrr qu l point R a pour coordonnés ( ; ; ). b. Démontrr qu ls points P, Q t R n sont pas alignés. c. Qull st la natur du triangl PQR?. a. Démontrr qu'un équation du plan (PQR) st x + y + z 8 0. b. Vérifir qu l point D n'appartint pas au plan (PQR). 3. On appll H l projté orthogonal du point D sur l plan (PQR). a. Détrminr un systèm d'équations paramétriqus d la droit (DH). b. Détrminr ls coordonnés du point H. c. Démontrr qu l point H appartint à la droit (PR). EXERCICE points Commun à tous ls candidats Pour chaqu qustion, dux propositions sont énoncés. Il s'agit d dir, sans l justifir, si chacun d'lls st vrai ou fauss. L candidat indiqura sur sa copi l numéro d la proposition t la mntion VRAIE ou FAUSSE.. Pour chaqu qustion, il st compté point si ls dux réponss sont xacts, 0,5 point pour un répons xact t un absnc d répons t 0 point sinon. Qustion a Un urn contint bouls noirs t 3 bouls rougs indiscrnabls au touchr. On tir dux bouls au hasard simultanémnt. On considèr ls évènmnts : A : «ls dux bouls tirés sont d la mêm coulur» ; B : «un sul ds dux bouls tirés st roug». Qustion B Soint A, B t C trois évènmnts d'un mêm muni d'un probabilité P. On sait qu : A t B sont indépndants ; P(A) 5 ; P(A B) 3 ; univrs Ω Proposition La probabilité d A st égal à 3 7. P(B) 7 Proposition 3 La probabilité d B st égal à 7. P( A C ) A C désign l'évènmnt contrair d A C. 5. Proposition Proposition P(C) ; P(A C) 0. Qustion C Un variabl aléatoir X suit un loi binomial d paramètrs n t p où n st égal à t p appartint à ]0 ; [. Qustion D La duré d vi, xprimé n annés, d'un apparil st modélisé par un variabl aléatoir X qui suit la loi xponntill d paramètr λ 0,07 sur [0 ; + [. On rappll qu pour tout t > 0, la probabilité d l'évènmnt (X t ) st donné par : t λ x P(X t ) λ d x (avc λ 0,07). 0 Proposition 5 Si P(X ) 8 P(X 0) alors p 3 Proposition 7 La probabilité qu l'apparil ait un duré d vi supériur à 0 ans st égal à 0,5 à 0 près. Proposition 6 Si p 5 alors : P(X ) P(X 0). Proposition 8 Sachant qu l'apparil a fonctionné 0 ans, la probabilité qu'il fonctionn ncor 0 ans st égal à 0,5 à 0 près. Polynési sptmbr 009

2 EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l'nsignmnt obligatoir L plan complx P st muni d'un rpèr orthonormal dirct (O ; u, v ), unité graphiqu : cm. On appll (Γ) l crcl d cntr O t d rayon. On fra un figur qu l'on complétra tout au long d l'xrcic. On appll F l'application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différnt d O, d'affix z, associ l point M F(M) d'affix z défini par : z z + i z.. On considèr ls points A t B d'affixs rspctivs a i t b a. Calculr a t b. b. Placr ls points A, A', B t B'. π i 6 t lurs imags A t B par F d'affixs rspctivs a t b. c. b 3 Démontrr qu i. En déduir la natur du triangl OBB. b ' b 3. On rchrch l'nsmbl (E) ds points du plan P privé du point O qui ont pour imag par F, l point O. a. Démontrr qu, pour tout nombr complx z, z i z z + + i z + i b. En déduir ls affixs ds points d l'nsmbl (E). c. Démontrr qu ls points d (E) appartinnnt à (Γ). 3. Soit θ un rél. a. Démontrr qu si z i θ alors z' ( sin θ + )i. b. En déduir qu si M appartint au crcl (Γ) alors M appartint au sgmnt [A C] où C a pour affix i. EXERCICE 7 points Pour tout ntir naturl n, on considèr la fonction f n défini sur ] 0 ; + [par : f n (x) n x x ln x. On not (C n ) la courb rprésntativ d la fonction f n, dans un rpèr orthonormal (O ; i, j ). Ls courbs (C 0), (C ) t (C ) rprésntativs ds fonctions f 0, f t f sont donnés n annx. On rappll qu lim x ln x 0. x 0 Parti A : Étud d la fonction f 0 défini sur ] 0 ; + [ par f 0 (x) x ln x.. Détrminr la limit d f 0 n +.. Étudir ls variations d la fonction f 0 sur ] 0 ; + [. Parti B : Étud d crtains propriétés d la fonction f n, n ntir naturl. Soit n un ntir naturl.. Démontrr qu pour x ] 0 ; + [, f ' n (x) n ln x où f ' n désign la fonction dérivé d f n.. a. Démontrr qu la courb (C n ) admt n un uniqu point A n d'absciss n un tangnt parallèl à l'ax ds abscisss. b. Prouvr qu l point A n appartint à la droit d'équation y x. c. Placr sur la figur n annx ls points A 0, A, A. 3. a. Démontrr qu la courb (C n) coup l'ax ds abscisss n un uniqu point, noté B n, dont l'absciss st n. b. Démontrr qu la tangnt à (C n ) au point B n a un cofficint dirctur indépndant d l'ntir n. c. Placr sur la figur n annx ls points B 0, B, B. Parti C : Calculs d'airs Pour tout ntir naturl n, on considèr l domain du plan D n délimité par l'ax ds abscisss, la courb (C n ) t ls droits d'équation x n t x n. On not I n l'air n unités d'airs du domain D n.. Hachurr, sur la figur donné n annx, ls domains D 0, D, D.. a. À l'aid d'un intégration par partis, calculr x ln x d x. 3 b. En déduir qu I 0. c. On admt qu l domain D n + st l'imag du domain D n par l'homothéti d cntr O t d rapport. Exprimr I t I n fonction d I 0. Polynési sptmbr 009

3 Polynési sptmbr 009 3

4 CORRECTION EXERCICE ( points). a. R st l barycntr ds points pondérés (B, ) t (F, ) donc ( + ) OR OB + OF donc x R x B + x F d mêm y R y B + y F t z R z B + z F donc l point R a pour coordonnés ( ; ; ). b. PR a pour coordonnés ( ; ; ) soit ( ; ; ) PQ a pour coordonnés ( ; ; 0) soit PQ t PR n sont pas colinéairs donc ls points P, Q t R n sont pas alignés. c. PR ( ) ; PQ ( ) t QR + ( ) + donc PQ PR + QR L triangl PQR st rctangl n R.. a. Soit n l vctur d coordonnés ( ; ; 8) alors n. PR ( ) t n. PQ ( ) PR t PQ sont non colinéairs t tous dux orthogonaux à n donc n st un vctur normal au plan (PQR). (PQR) a un équation d la form x + y + z + d 0, P appartint à c plan donc d 0 donc d 8. Un équation du plan (PQR) st x + y + z 8 0. b. D a pour coordonnés (0 ; 0 ; ) donc donc l point D n'appartint pas au plan (PQR). 3. a. DH st colinéair à n donc pour tout point M d (DH), il xist un rél k tl qu DM k n donc un systèm d'équations x k paramétriqus d la droit (DH) st y k z k + b. H a pour coordonnés ( k ; k ; k + ) H appartint au plan (PQR) donc ( k) + ( k) + (k + ) 8 0 donc k 7 0 soit k 3. Ls coordonnés du point H sont ; ; c. PH a pour coordonnés ; ; soit ; ; PR L point H appartint à la droit (PR). a pour coordonnés ( ; ; ) donc PH 3 PR Polynési sptmbr 009

5 EXERCICE ( points) Commun à tous ls candidats Qustion A Proposition 7 On st n situation d'équiprobabilité, l nombr d cas possibls st ( ) 3 Si ls dux bouls tirés sont d la mêm coulur, c'st qu ls dux bouls choisis sont noirs ( ( ) possibilités) ou rougs ( ( ) 3 possibilités) donc l nombr d cas favorabls st ( ) + ( ) donc p(a) 9 3 Proposition VRAIE 7 Proposition Si un sul ds dux bouls tirés st roug, c'st qu'un ds dux bouls choisi st roug t l'autr noir donc l nombr d cas favorabls st 3 donc p(b) Proposition FAUSSE. 7 Qustion B Proposition 3 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) or A t B sont indépndants donc P(A B) P(A) P(B) donc P(B) 5 P(B) soit P(B) donc P(B) Proposition 3 VRAIE 5 Proposition P(A C) P(A) + P(C) P(A C) P( A C ) P(A C) 5. Proposition FAUSSE. 5 Qustion C Proposition 5 P(X ) ( ) p ( p) 3 8 ( p) donc p 8 ( p) donc p Proposition 6 Si p 5 alors P(X ) ( ) P(X 0) ( p) P(X ) donc Proposition 6 VRAIE Proposition 5 FAUSSE. Qustion D La duré d vi, xprimé n annés, d'un apparil st modélisé par un variabl aléatoir X qui suit la loi xponntill d paramètr λ 0,07 sur [0 ; + [. On rappll qu pour tout t > 0, la probabilité d l'évènmnt (X t ) st donné par : P(X t ) λ t t λ x λ d x (avc λ 0,07). 0 Proposition 7 P(X t ) λ t donc P(X > t) λ t donc P(X > 0) 0,07 0 0,966 donc la probabilité qu l'apparil ait un duré d vi supériur à 0 ans st égal à 0,5 à 0 près. Proposition 7 VRAIE Proposition 8 La loi xponntill st un loi à duré d vi sans viillissmnt donc P(X > 0 / X > 0) P(X > 0 0) soit 0,5 à 0 près. Proposition 8 VRAIE Polynési sptmbr 009 5

6 EXERCICE 3 (5 points) Candidats ayant suivi l'nsignmnt obligatoir. a. a i + i i b. 3 i t b π i 6 + i π i i + i 3 i i. A' c. b b ' b ( BB', OB ) arg 3 i i 3 i ( 3 + i) ( 3 + i) 3 ( 3 3 i) 3 ( 3 i) 3 i. b π donc ( BB', OB ) + k π donc l triangl OBB' st rctangl n B b ' b C qui pouvait aussi s démontrr n appliquant la réciproqu du théorèm d Pythagor, OB b ; OB' b' t BB' b' b 3 donc BB' + OB OB' donc d'après la réciproqu du théorèm d Pythagor, l triangl OBB' st rctangl n B. M B' M' A B. a. 3 3 z + + i z + i 3 z + i 3 3 z + i + z + i M o M 3 3 z + + i z + i z + i z 3 z + i z Pour tout nombr complx z, z i z z + + i z + i b. M st un point du plan P privé du point O ayant pour imag par F, l point O si t sulmnt si z' 0 soit z + i z 0 soit 3 3 z + + i z + i 0 3 z + + i 0 ou 3 z + i 0 donc ls affixs ds points M t M d l'nsmbl (E) sont z 3 i t z 3 i c. z z donc ls points d (E) appartinnnt à (Γ). 3. a. si z i θ alors z i θ donc z z i θ i θ i sin θ donc z' ( sin θ + )i. b. Si M appartint au crcl (Γ) alors il xist un rél θ tl qu z i θ donc z' ( sin θ + )i. z' st un imaginair pur t comm sin θ alors sin θ + 3 donc M appartint au sgmnt [A C] où C a pour affix i. Polynési sptmbr 009 6

7 EXERCICE (7 points) Parti A : Étud d la fonction f 0 défini sur ]0 ; + [ par f 0 (x) x ln x.. lim ln x + donc lim f 0 (x) x + x +. f ' 0 (x) ln x x x (ln x + ) or ln x + 0 ln x x d'où l sns d variation d f ' 0 Sur Sur 0 ; ;, f ' 0 (x) 0 donc f 0 st croissant sur 0 ;. +, f ' 0 (x) 0 donc f 0 st décroissant sur ; +. Parti B : Étud d crtains propriétés d la fonction f n, n ntir naturl.. pour x ] 0 ; + [, f n (x) n x x ln x donc f ' n (x) n (ln x + x x ) soit f ' n (x) n ln x.. a. la courb (C n ) admt n un point un tangnt parallèl à l'ax ds abscisss si t sulmnt si f ' n (x) 0 f ' n (x) n ln x 0 ln x n x n la courb (C n ) admt n un uniqu point A n d'absciss n un tangnt parallèl à l'ax ds abscisss. b. L'ordonné d A n st y n f n ( n ) donc y n n n n ln( n ) n n n ( n ) y n n n + n n + n soit y n n x n donc l point A n appartint à la droit d'équation y x. c. Il suffit d tracr la droit d'équation y x, ls points d'intrsction avc ls courbs C 0, C t C sont ls points A 0, A t A 3. a. la courb (C n) coup l'ax ds abscisss n point d'absciss x tll qu f n (x) 0 f n (x) 0 n x x ln x 0 t x ] 0 ; + [ x (n + ln x) 0 t x ] 0 ; + [ ln x n x n la courb (C n) coup l'ax ds abscisss n un uniqu point, noté B n d'absciss n. b. la tangnt à (C n ) au point B n a pour cofficint dirctur f ' n ( n ) or f ' n ( n ) n ln n n ( n) la tangnt à (C n ) au point B n a un cofficint dirctur indépndant d l'ntir n. c. Polynési sptmbr 009 7

8 Parti C : Calculs d'airs. x. a. Soit u'(x) x alors u(x) ; soit v'(x) ln x alors v'(x) x x ln x d x x x ln x d x x x x ln x d x b. Sur ] 0 ; ]; f 0 (x) > 0 donc I 0 ln d x x or ln ln x ln x d x. c. l domain D n + st l'imag du domain D n par l'homothéti d cntr O t d rapport donc I n + I n I I 0 t I I I 0. Polynési sptmbr 009 8