CHAPITRE II : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ET ÉTUDE DE FONCTIONS

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1 CHAPITRE II : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ET ÉTUDE DE FONCTIONS Premières fonctions de référence Les fonctions linéaires, qui traduisent la proportionnalité des grandeurs, et les fonctions affines, qui traduisent la proportionnalité des accroissements de ces grandeurs, sont connues depuis le collège. On découvre ici la fonction carré et la fonction inverse. Deux nombres sont-ils toujours dans le même ordre que leurs carrés? Dans le même ordre que leurs inverses? L étude de la fonction carré et de la fonction inverse permet de connaître sur quel intervalle l ordre est conservé et sur quel intervalle l ordre est inversé. En composant ces fonctions de base, on peut en construire beaucoup d autres. 1. Quelles sont les caractéristiques de la fonction carré? La fonction carré est définie sur. Elle est décroissante sur D où son tableau de variation : et croissante sur. On dresse un tableau de valeurs : x ,5 0 0, ,25 0 0, Puis on trace la parabole ci-dessous qui représente la fonction : Remarque Deux nombres opposés ont la même image, donc la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 2. Quelles sont les caractéristiques de la fonction inverse?

2 La fonction inverse Elles est décroissante sur D où son tableau de variation : n est par définie pour x = 0 : elle est définie sur. et sur sur. On dresse un tableau de valeurs : X ,5 0,25 0 0,25 0, ,25 0, ,5 0,25 Puis on trace les deux branches de l hyperbole qui représentent la fonction : Remarque Deux nombres opposés ont des images opposées, donc la courbe est symétrique par rapport à l origine. 3. Comment étudier le sens de variation d une fonction résultant de l enchaînement d opérateurs? Un opérateur est une fonction qui commande une seule opération : Par exemple : ajouter 2 : ; prendre la racine carrée : prendre l opposé :. Lorsque l on connaît l enchaînement des opérateurs, on peut facilement déterminer le sens de variation de la fonction obtenue. Exemple ;

3 Si l on applique successivement les opérateurs «ajouter 2», «élever au carré», «prendre l opposé», on obtient la fonction. On traduit cette décomposition par le schéma :. Soit deux nombres a et b quelconques de l intervalle [0 ; 5], tels que a < b, on peut écrire : 0 < a < b < 5. On ajoute 2 à chaque membre : 2 < a + 2 < b + 2 < 7. On élève au carré des nombres positifs, l ordre est inchangé :. On prend les opposés, l ordre est inversé :. L ordre des images de a et b par la fonction décroissante. est inversé, la fonction est donc 4. Comment comparer un nombre positif, son carré, son cube, son inverse et sa racine carrée? On utilise la représentation graphique sur des cinq fonctions : ; ; ; et. On obtient le dessin suivant : Sur ce graphique on peut vérifier les encadrements suivants : si 0 < x < 1, alors ; si x > 1, alors. 5. Quelles sont les caractéristiques des fonctions trigonométriques? Le cercle trigonométrique d un repère orthonormé est centré sur l origine du repère, son rayon est égal à 1, son sens de parcourt est le sens inverse des aiguilles d une montre. Pour tout point M de ce cercle, si on appelle x la mesure de l angle au centre formé par la demi-droite issue de l origine et passant par M et par l axe des abscisses, les coordonnées de M sont cos x et sin x.

4 La fonction, définie sur, est représentée par une sinusoïde symétrique par rapport à l axe des ordonnées. La fonction, définie sur, est représentée par une sinusoïde symétrique par rapport à l origine du repère. À retenir

5 La fonction carré, qui à tout nombre réel associe son carré, est décroissante pour les valeurs négatives de la variable et croissante pour les valeurs positives. Le passage au carré inverse l ordre si les nombres sont négatifs et conserve l ordre si les nombres sont positifs. La fonction carré se représente par une parabole. La fonction inverse, qui à tout nombre réel non nul associe son inverse, est décroissante pour les valeurs négatives et les valeurs positives de la variable. Le passage à l inverse inverse l ordre, que ce soit pour deux nombres positifs ou pour deux nombres négatifs (non nuls). La fonction inverse se représente par deux branches d une hyperbole. En décomposant une fonction en une chaîne d opérateurs, on peut déterminer le senss de variation d une fonction sur un intervalle donné. Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré et inférieur à sa racine carrée. Un nombre supérieur à 1 est supérieur à sa racine carrée et inférieur à son carré. Fonctions polynômes du second degré et homographiques Une fonction comportant un termee où la variable est au carré ou une fonction quotientt de deux fonctions affines peuvent toujours s écrire sous une forme, dite canonique, permettant de définir l enchaînement des opérateurs et de déduire les intervalles sur lesquels ces fonctions sont croissantes ou décroissantes. Chercher un antécédent par l une de ces fonctions amène à résoudre des équations ou des inéquations comportant l inconnue au carré ou l inconnue au dénominateur. 1. Comment étudier une fonctionn fonction polynôme de degré 2? Si l écriture d une fonction comporte des carrés on la présente sous la forme canonique. Cette forme permet d écrire la fonction sous forme d une chaîne d opérateurs et de déterminer son sens de variation. Exemple Pour montrer que le trinôme du second degré défini par f(x) = 2x 2 + 6x + 1 a pour forme canoniquef(x) = 2(x + 1,5) 2 3,5, on développe le carré, puis on multiplie par le coefficient 2 et on soustrait 3,5. On obtient f(x) = 2(x ,,5 x + 2,25) 3,5 Soit f(x) = 2x 2 + 6x + 4,5 3,,5 D où f(x) = 2x 2 + 6x + 1 On vérifie ainsi que la fonction f,, définie sur [-5 ; 2], par minimum 3,5 lorsque le carré est nul, c est-à-dire pour x = 1,5. D où le tableau de variation : atteint son On dresse ensuite un tableau de valeurs pour tracer la courbe :

6 x Comment étudier une fonction homographique? Si une fonction se présente comme le quotient de deux fonctions affines, on l écrit sous la forme canonique. Cette forme permet d écrire la fonction sous forme d une chaîne d opérateurs et de déterminer son sens de variation. Exemple Pour montrer que la fonction f, définie sur [1,5 ; 6] par canonique :, a pour forme, on réduit au même dénominateur (x 1). On obtient. Soit D où. À partir d un tableau de valeurs, on trace la courbe : 3. Comment déterminer par dichotomie une solution de l équationf(x) = 0?

7 f est une fonction strictement monotone (c est à dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle [A ; B]. On suppose que sa courbe représentative coupe une fois l axe des abscisses. Donc les imagesf(a) et f(b) sont opposées. Ce qui équivaut à dire que f(a) f(b) < 0. On envisage une précision à 1O -N. L équation f(x) = 0 admet donc une et une seule solution x 0 sur cet intervalle. Le calcul de x 0 par dichotomie consiste à partager en deux l intervalle contenant x 0. Plus le nombre de sections est grand, plus l amplitude de cet intervalle est petit. Algorithme Variables A et B (Bornes de l intervalle) N (Exposant de la précision) C, X et Y f la fonction à étudier Entrée? A? B? N f(a) C Traitement Tant que B A > 10 -N (A + B) 2 X f(x) Y Si Y C < 0 Alors X B Sinon X A Fin Si Fin Tant Sortie Afficher A Afficher B On traduit sur la calculatrice : Texas Instrument Casio Input A? Input B? A B

8 Input N? N Y1 (A) C A X While (B A) > 10^ N Y1 C (B + A) 2 X While B A > 10^ N Y1(X) Y (B + A) 2 X If C Y < 0 Y1 D Then If C D < 0 X B Then X B Else Else X A X A IfEnd End WhileEnd End «PAR DEFAUT» «PAR DEFAUT» A Disp A «PAR DEFAUT» «PAR EXCES» B Disp B Stop 4. Comment déterminer par dichotomie la solution de l équation f(x) = k? Sur un intervalle [A ; B], la fonction f est strictement monotone et sa courbe représentative coupe une et seule fois la droite d équation y=k. Algorithme Dans l algorithme précédent, il faut entrer la valeur K et remplacer Y C < 0 par (K Y) (K C) < 0. À retenir Le tableau de variation d une fonction f comportant l inconnue au carré s établit à partir de l écriture canoniquef(x) =. Si le coefficient du terme au carré est négatif, alors γ est un maximum ; il est atteint pour. Si est positif, alors γ est un minimum ; il est aussi atteint pour. Une fonction homographique f, définie pour, a une écriture canonique de la forme g(x) =. Si β est positif la fonction f est croissante. Si β est négatif, elle est décroissante. Ces nouvelles fonctions conduisent à résoudre des équations qui ne sont plus du premier degré. Pour les résoudre, on peut utiliser un algorihtme de dichotomie et localiser les solutions cherchées sur des intervalles dont l amplitude sera rendue aussi petite que possible. Sources : tions-de-reference- 2_m205

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