AN 1 FONCTIONS USUELLES et RÉCIPROQUES

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1 Analyse /0 AN FONCTIONS USUELLES et ÉCIPOQUES Les notions de limites, dérivées, primitives, continuité sont supposées connues, elles seront revues ultérieurement THEOEMES FONDAMENTAUX D ANALYSE Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I ; a et b des réels appartenant à I Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k Corollaire : Théorème de bijection Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I alors tout réel y de f(i), admet un et un seul antécédent par f On dit que f établit une bijection de I sur f(i) La fonction g définie sur f(i), qui à chaque élément y de f(i) associe son unique antécédent par f est appelée bijection réciproque de f Théorème : Soient g une fonction dérivable sur I, et f une fonction dérivable sur J tel que g(i) J Alors f o g est dérivable sur I, et ( f o g ) = ( f o g ) g FONCTIONS LOGAITHMES, EXPONENTIELLES, PUISSANCES (rappels) Fonctions logarithmes Définition : On appelle fonction logarithme toute fonction f non identiquement nulle, définie et dérivable sur, vérifiant pour tous les réels a et b strictement positifs : f(ab) = f(a) f(b) Propriétés : Si f est une fonction logarithme, alors : f() = 0 > 0, y > 0, f = - f(), f = f() f(y) y n Z, > 0, f( n ) = n f() Proposition : Soit f une fonction logarithme, f () = f '() Définition : On appelle fonction logarithme népérien, et on note ln, la fonction logarithme dont la dérivée en vaut I

2 Analyse /0 emarque : la fonction ln est la primitive sur de la fonction qui s annule en :, ln = dt t Propriétés : ln est strictement croissante sur lim ln = ln = - ln( ) lim lim 0 0 = Courbe représentative de ln : Propriété : u étant une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s annulant pas sur I, ln u est dérivable sur I et (ln u ) = u ' u Proposition : Une fonction f est une fonction logarithme si et seulement si il eiste a \ {} tel que pour tout réel de : f() = ( ) ( ) ln ln a Définition 3 : Soit a \ {} On appelle logarithme de base a et on note log a la fonction définie ln sur par :, log a () = ( ) ( ) ln a emarques : On déduit les propriétés de log a de ce qui précède, en particulier : (i) log a est dérivable sur et log a () = ln(a) (ii) si a > alors log a est strictement croissante sur (iii) si 0 < a < alors log a est strictement décroissante sur Cas particulier : On note log = log 0 et on a : n Z, log(0 n ) = n (très utilisé en physique et en chimie!) Eemples : Courbes représentatives de log et log : log log I

3 Analyse 3/0 Fonctions eponentielles Définition 4 : Les fonctions logarithmes sont continues et strictement monotones de sur donc d après le théorème de bijection elles admettent des bijections réciproques définies de sur appelées fonctions eponentielles y = ep() La bijection réciproque de la fonction ln est notée ep : = ln(y) y Pour a \ {}, la bijection réciproque de la fonction log a s appelle eponentielle de base a et on note ep a : y = ep a () = log a (y) y Propriétés :, y, ep( y) = ep() ep(y) ep(), y, ep(-) =, ep( y) = ep() ep(y) et n Z, ep(n) = (ep()) n Notation : On note e = ep() ( e,78) On a : n Z, ep(n) = e n Par etension et par convention on note :, ep() = e a \ {}, ep a () = e ln(a) On note : ep a () = a emarque : la fonction ep est la fonction eponentielle de base e (appelée simplement fonction eponentielle) Proposition 3 : ep est dérivable sur et ep () = ep() On en déduit que la fonction ep est strictement croissante sur emarques : Les propriétés de ep a se déduisent de celles de la fonction ep, en particulier : (i) ep a est dérivable sur et ep a () = ln(a) ep a () = ln(a) e lna = ln(a) a ; (ii) si a > alors ep a est strictement croissante sur ; (iii) si 0 < a < alors ep a est strictement décroissante sur ; (iv) On retrouve les règles usuelles des eposants entiers : ( ; y), a y = a a y, etc Propriétés : lim e = ; lim e = 0 ; e lim = 0 Eemples : C f représente la fonction f définie par f() = 0,5 C g représente la fonction g définie par g() = 0, C h représente la fonction h définie par h() = C t représente la fonction t définie par t() = 0 I

4 Analyse 4/0 3 Fonctions puissances, racines n ièmes Pour α, soit f α la fonction définie sur par f α () = α = e αln Proposition 4 : f α est dérivable sur et, f α () = α α- On en déduit : - pour α > 0 f α est strictement croissante sur - pour α = 0 f α est constante - pour α < 0 f α est strictement décroissante sur emarques : (i) Pour α > 0 f α peut être prolongée par continuité en 0 en posant f α (0) = 0 (ii) Si α N, alors f α est définie sur (si α Z - alors f α est définie sur ) Eemples : C f représente la fonction f définie par f() = - 3 C g représente la fonction g définie par g() = Cas particulier : fonctions racines n ièmes Soit n N, n, la fonction f n définie sur par f n () = n établit une bijection de sur et admet donc une bijection réciproque appelée racine n ième notée n = Eemples : n y = = y y n n définie de sur 4 Croissances comparées ln Proposition 5 : lim = 0 On en déduit, pour α > 0 et β > 0 : (ln ) α lim = 0 β et e lim = lim β ln α = 0 0 lim = β α e et lim β e -α = 0 I

5 Analyse 5/0 FONCTIONS CICULAIES Fonctions sinus, cosinus Définition 5 : Soient (O, i, j ) un repère orthonormé direct du plan orienté usuel et C le cercle de centre O et de rayon (cercle trigonométrique) Soient M un point de C et tels que est une mesure en radians de l angle orienté ( i, OM ) On appelle cosinus du réel l abscisse de M dans (O, i, j ) et sinus de ce réel l ordonnée de M On définit ainsi deu fonctions π-périodiques sur notées cos et sin Propriétés :, sin²() cos²() = La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire, y, cos( y) = cos() cos(y) sin() sin(y) cos( y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( y) = sin() cos(y) cos() sin(y) sin( y) = sin() cos(y) cos() sin(y) lim 0 sin = Proposition 6 : Les fonctions sin et cos sont continues et dérivables sur et : π π sin () = cos() = sin et cos () = - sin() = cos Courbes représentatives de cos et sin : cos sin Fonction tangente π Définition 6 : La fonction tangente notée tan est définie sur \ { k π, k Z } par tan = sin cos Propriétés : La fonction tan est impaire, π-périodique Proposition 7 : La fonction tangente est continue et dérivable sur tout intervalle où elle est définie, π \ { k π, k Z } tan () = tan = cos I

6 Analyse 6/0 Courbe représentative de tan : emarque : Soient OAB un triangle rectangle en A et α= AOB Soit M(, y) sur C(O, ) tel que = cos α et y = sin α OA = cosα = OB Le théorème de Thalès donne : OA OB AB = y = sinα = OM OB sinα AB tanα = = cosα OA On retrouve les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle 3 FONCTIONS CICULAIES ECIPOQUES 3 Fonction Arcsinus π π Définition 7 : La fonction sinus est continue et strictement croissante de - ; sur [- ; ] π π Elle admet donc une bijection réciproque de [- ; ] sur - ; continue et strictement croissante = sin y y = Arcsin appelée Arcsinus notée Arcsin: π π [-;] y - ; emarques : (i) - π ; π Arcsin(sin()) = et [- ; ] sin(arcsin()) = (ii) La fonction Arcsinus est impaire (iii) [- ; ] cos (Arcsin()) = Courbes représentatives de Arcsin sur [- ; ] et sin sur π π - ; : I

7 Analyse 7/0 Proposition 8 : la fonction Arcsinus est dérivable sur ]- ; [ et ]- ; [ (Arcsin) () = Arcsin emarque : On en déduit que lim = 0 3 Fonction Arccosinus Définition 8 : La fonction cosinus est continue et strictement décroissante de [0 ; π] sur [- ; ] Elle admet une bijection réciproque de [- ; ] sur [0 ; π] continue et strictement décroissante appelée y = Arccos = cos y Arccosinus notée Arccos : [-;] y [0; π] Courbes représentatives de Arccos sur [- ; ] et cos sur [0 ; π] : emarques: (i) [ 0;π ] Arccos(cos()) = et [- ; ] cos(arccos()) = (ii) [- ; ] sin (Arccos()) = Proposition 9 : La fonction Arccos est dérivable sur ]- ; [ et ]- ; [, (Arccos) () = Propriété: [- ; ] Arcsin Arccos = π 33 Fonction Arctangente π π Définition 9 : La fonction tangente est continue et strictement croissante de ; sur π π Elle admet donc une bijection réciproque de sur ; continue et strictement croissante = tan y y = Arctan appelée Arctangente, notée Arctan : π π y -, emarques : π π (i), tan(arctan()) = et ;, Arctan(tan()) = (ii) La fonction Arctan est impaire I

8 Analyse 8/0 Proposition 0 : la fonction Arctangente est dérivable sur et, (Arctan) () = Arc tan emarque : On en déduit que lim = 0 Propriété : Arctan Arctan = π si > 0 et Arctan Arctan = - π si < 0 π π Courbes représentatives de Arctan sur et tan sur ; : 4 FONCTIONS HYPEBOLIQUES 4 Etude des fonctions hyperboliques directes Définition 0 : On appelle fonction sinus hyperbolique, notée sh, l application de vers telle e e que pour tout réel : sh() = On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée ch, l application de vers telle que pour e e tout réel : ch() = On appelle fonction tangente hyperbolique, notée th, l application de vers telle que pour sh() e tout réel : th() = = ch() e emarque : sh(i) = isin et ch(i) = cos Proposition : Les fonctions sh, ch, th sont dérivables sur et : sh () = ch() ch () = sh() th () = th () = ch () emarques : (i) Les fonctions sh et th sont impaires ; ch est paire (ii), ch() > 0 (iii) sh(0) = 0 et ch(0) = (iv) sh (0) = = lim (v) lim 0 th = 0 sh I

9 Analyse 9/0 On en déduit : - La fonction sh est strictement croissante sur - La fonction ch est strictement décroissante sur ]- ;0] et strictement croissante sur [ 0; [ - La fonction th est strictement croissante sur Courbes représentatives des fonctions ch, sh et th : ch th sh 4 Trigonométrie hyperbolique Propriétés : = = ch() sh() e ch() sh() e ch () sh () = Proposition : pour tous réels a et b : ch(a b) = cha chb sha shb ch(a b) = cha chb sha shb sh(a b) = sha chb cha shb sh(a b) = sha chb cha shb ch(a) = ch²a sh²a = ch²a = sh²a sh(a) = sha cha th(a) th(b) th(a b) = th(a) th(b) 5 FONCTIONS HYPEBOLIQUES ECIPOQUES 5 Fonction Argsh Définition : La fonction sinus hyperbolique est continue et strictement croissante de sur Elle admet une bijection réciproque de sur continue, strictement croissante notée Argsh Proposition 3 : Argsh est dérivable sur et Argsh'() = ² Courbes représentatives de sh et Argsh : I

10 Analyse 0/0 5 Fonction Argch Définition : La fonction cosinus hyperbolique est continue et strictement croissante de [0 ; [ sur [ ; [ Elle admet une bijection réciproque de [ ; [ sur [ 0 ; [ continue, strictement croissante notée Argch Proposition 4 : Argch est dérivable sur ] ; [ et ] ; [ : Argch'() = ² - Courbes représentatives de ch sur [0 ; [ et Argsh sur [ ; [ : 53 Fonction Argth Définition 3 : La fonction tangente hyperbolique est continue et strictement croissante de sur ] - ; [ Elle admet une bijection réciproque de ] - ; [ sur continue, strictement croissante notée Argth Proposition 5 : Argth est dérivable sur ] - ; [ et ] - ; [ : Argth'() = - ² Courbes représentatives de th sur et Argth sur ]- ; [ : I