CHAPITRE III CALCUL VECTORIEL DANS L ESPACE

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1 CHAPITRE III CALCUL VECTORIEL DANS L ESPACE A) VECTEURS DANS L ESPACE. p 2 1) Exemple : force exercée par n aimant.. p 2 2) Définitions et notations.. p 3 3) Egalité de dex vecters. p 5 4) Mltiplication d n vecter par n nombre réel. p 6 5) Addition et sostraction des vecters. p 8 6) Propriétés d calcl vectoriel. p 12 7) Forme vectorielle d théorème de Thalès.. p 15 8) Eqation vectorielle d ne droite p 15 9) Eqation vectorielle d n plan p 17 10) Milie d n segment... p 18 11) Centre de gravité d n triangle... p 19 B) VECTEURS ET COORDONNEES p 21 1) Repères p 21 2) Coordonnées d n vecter et calcl vectoriel... p 25 C) PRODUIT SCALAIRE p 29 1) Définitions. p 29 2) Interprétation géométriqe p 30 3) Expression analytiqe p 32 4) Propriétés p 34 5) Vecter normal et éqations d n plan p 35 6) Eqations d ne sphère.. p 38 D) EQUATIONS D UN PLAN ET D UNE DROITE. p 39 1) Eqations d n plan p 39 2) Systèmes d éqations d ne droite. P 41 EXERCICES.. p

2 A) VECTEURS DANS L ESPACE D ne manière générale les vecters sont définis exactement de la même manière dans le plan et dans l espace et ont les mêmes propriétés. Cette première partie d cors pet donc être considérée comme ne révision de notions déjà traitées les années précédentes. Nos noterons E l ensemble des points de l espace. 1) Exemple : force exercée par n aimant Tot le monde sait q en plaçant des billes en fer a voisinage d n aimant (Magnet), celles-ci sont soit attirées, soit repossées par celi-ci. En physiqe on parle d ne force (d attraction o de réplsion), notée F, exercée par l aimant sr ces billes et celle-ci est représentée par des flèches partant de chacne de ces billes. Voici l exemple d n aimant (rectangle roge) qi attire les billes (points noirs) : et l exemple d n aimant qi les reposse : - 2 -

3 On constate qe sr chacne de ces dex figres totes les flèches ont : la même longer : celle-ci caractérise en effet l intensité de la force (ainsi les flèches de la 1 re figre sont moins longes qe celles la 2 e figre : c est qe la force d attraction de la 1 re figre est moins importante qe la force de réplsion de la 2 e figre) la même direction (les flèches sont totes parallèles) : celle qi est perpendiclaire à la srface de l aimant tornée vers les billes et qi indiqe la direction dans laqelle celles-ci vont se déplacer sos l implsion de la force F le même sens : sr la 1 re figre les flèches sont tornées vers l aimant por signifier qe les billes sont attirées par l aimant et vont donc se déplacer vers celi-ci, alors qe sr la 2 e figre les flèches sont orientées dans le sens opposé por signifier qe les billes sont a contraire repossées par l aimant et vont s éloigner de li. La notion de «force» mathématiqes. 2) Définitions et notations Définitions en physiqe correspond à la notion de «vecter» en Un vecter est n ensemble infini de flèches qi ont totes : même direction même sens même longer appelée norme d vecter Chacne de ces flèches est n représentant d vecter. Notations o n vecter pet être noté de dex manières : - ne lettre minscle srmontée d ne flèche, p. ex. :, v, w, a, b, - 3 -

4 - dex lettres majscles, désignant l origine et l extrémité d n représentant particlier d vecter, srmontées d ne flèche, p. ex. : AB o la norme d n vecter est notée o l ensemble de tos les vecters de l espace est noté V Remarqes por connaître n vecter il sffit de connaître n sel représentant d vecter! la norme d vecter AB n est rien d atre qe la distance de A à B : AB = AB la norme d n vecter est n nombre réel positif o nl : V R + En 5 e vos avez v q ne translation qi transforme A en B est notée t : on dit AB qe c est la translation de vecter AB! Cas particliers Le vecter AA est le sel vecter de norme nlle. En effet : AB= 0 AB= 0 A= B De pls ce vecter n a pas de direction (o totes les directions, ce qi revient a même ) donc pas de sens non pls! Ce vecter est appelé vecter nl et il est noté 0 : Un vecter tel qe = 1 0= AA= BB= CC= et 0= 0 est appelé vecter nitaire. Soient A et B dex points distincts, alors les vecters AB et BA ont même direction (car ( AB) ( BA) = ), même norme (car AB= BA ), mais des sens opposés : on dit qe BA est le vecter opposé de AB (o qe les vecters AB et BA sont des vecters opposés) et on note : BA= AB De manière générale, dex vecters opposés et sont dex vecters qi ont même direction, même norme et des sens opposés

5 (c est- Propriété Soit n vecter et n point A, alors il existe n sel point B tel qe = AB à-dire q il existe n représentant niqe de qi admet A comme origine). V A E!B E = AB 3) Egalité de dex vecters D après la définition d n vecter, dex vecters sont égax si et selement s ils ont même direction, même sens et même norme. Soient A, B, C et D qatre points non alignés d plan. Por qe les vecters AB et CD soient égax il fat donc qe ( AB) ( CD) (même direction!) et qe AB = CD (même norme!), ce qi est vérifié ssi les qatre points forment n parallélogramme. Dex cas de figre pevent alors se présenter : 1 er cas : (ABCD) = # 2 e cas: (ABDC) = # AB CD AB= CD ABDC = #. Ainsi on a: ( ) AB= CD - 5 -

6 Soient A, B, C et D qatre points alignés d plan. Comme AB = CD, les vecters AB et CD sont égax ssi AB = CD et AB et CD ont même sens : o Sr ces dex figres on a : AB= CD et M milie de[ AD] milie de[ BC] = = donc on pet considérer (ABDC) comme ne sorte de «parallélogramme aplati», ce qi nos amène à poser la définition sivante : Définition Soient A, B, C et D qatre points qelconqes de l espace E, alors : (ABDC) = # si et selement si milie de[ AD] = milie de[ BC] Nos avons alors montré qe : A, B, C, D AB= CD ABDC = # Remarqe : Sr ne figre on voit facilement qe : ( ABDC ) = # AB= CD BA= DC AC= BD CA= DB ( ) 4) Mltiplication d n vecter par n nombre réel Exemple des aimants : En replaçant n aimant par n aimant 2, 3, k fois ( * k + R ) pls fort, la force exercée sr les billes gardera la même direction et le même sens mais son intensité (c est-à-dire la longer des flèches) sera «mltipliée» par 2, 3, k. La novelle force sera alors notée 2 F, 3 F, k F, ce qi définit ne mltiplication d ne force (donc d n vecter) par n réel positif. Il semble alors natrel de définir 2 F, 3 F,, k F - 6 -

7 comme les forces (o vecters) opposées ax forces 2 F, k F et 0 F = k 0= 0, ce qi nos amène à poser la définition sivante : Définition Soit V et k R, alors k est le vecter défini par : o si = 0 o si 0 o si 0 o k= 0 alors : 0 = k 0= 0 et k > 0alors : - k a même direction qe - k a même sens qe - k = k = k et k < 0 alors : - k a même direction qe - k a le sens opposé de - k = k = k Remarqe : Dans tos les cas on a : - k = k Exemples - k et ont même direction (en posant qe le vecter nl a la même direction qe n importe qel vecter ) On voit qe totes ces flèches, c est-à-dire tos les représentants de et de k, sont parallèles. On exprime ceci en disant qe et k sont colinéaires

8 Définition On dit qe dex vecters et v sont colinéaires ssi il existe n nombre réel k tel qe = k v o v= k Propriétés o 0 est colinéaire à tot vecter car 0= 0 o si on convient qe 0 a totes les directions, alors on pet dire dex vecters sont colinéaires ssi ils ont même direction o En observant les dex figres sivantes : figre 1 figre 2 A, B, C sont alignés et AB et AC sont colinéaires A, B, C ne sont pas alignés et AB et AC ne sont pas colinéaires on voit qe : A, B, C A, B, C sont alignés AB et AC sont colinéaires 5) Addition et sostraction des vecters Exemple Reprenons l exemple des billes somises à la force d attraction F 1 d n aimant (roge sr la figre) et rajotons n dexième aimant (ble) qi attire les billes avec la force F 2 dans ne atre direction : - 8 -

9 Alors l expérience montre qe tot se passe comme si les billes étaient attirées par n troisième aimant (invisible) dans ne direction «intermédiaire» avec ne force F r représentée par les flèches vertes : - 9 -

10 De pls cette force F r, appelée force résltante en physiqe, est telle qe ses représentants forment la diagonale d n parallélogramme dont les côtés sont formés par les forces F 1 et F 2 : Si F1= AB et F2= AC alors Fr= AD avec (ABDC) = # (*) Regardons ce qi se passe si les dex forces F 1 et F 2 ont même direction et même sens : o encore même direction et sens opposés : On constate qe (*) reste valable pisqe (ABDC) est n parallélogramme aplati! Qe pet-on dire de la norme de AD? Qe se passe-t-il si F2= F 1?

11 Définition Soient et v dex vecters, alors on appelle somme de ces dex vecters le vecter, noté + v, dont n représentant est constrit selon l ne des dex règles (éqivalentes) sivantes : Règle d parallélogramme : On choisit n point qelconqe A, pis on constrit le point B tel qe = AB, le point C tel qe v= AC, pis le point D tel qe (ABDC) = # (éventellement aplati, si les dex vecters sont colinéaires, voir figres page 10). Alors + v= AD : Règle simplifiée : Sr la figre précédente AC= BD pisqe (ABDC) = #, donc il sffit de constrire le représentant de v d origine B, c est-à-dire le point C tel qe v= BC et on a directement + v= AC, sans passer par le # : Remarqe La règle d parallélogramme consiste à choisir dex représentants de même origine ( AB et AC ), alors q avec la règle simplifiée on choisit dex représentants conséctifs ( AB et BC ). Il est facile de voir sr ces figres qe por tos, v V on a : + v + v (inégalité trianglaire) * + v = + v k + v = k o = k v R ( et v ont même sens)

12 La règle simplifiée montre qe : A B C AB + BC = AC Cette formle, très importante por le calcl vectoriel, est appelé relation de Chasles. Sostraction dans V Nos savons q on pet définir la sostraction de dex nombres a et b à partir de l addition en posant : a b= a+ ( b), c est-à-dire qe por retrancher n nombre b d n nombre a, on ajote son opposé. On fait de même por définir la sostraction dans V :, v V v = + v déf ( ) Constrction de v : On choisit n point qelconqe A, pis on constrit le point B tel qe = AB, le point C tel qe v= AC, pis le point D tel qe (ABDC) = #. Comme v= AC= CA, on a v= AB+ CA= CB d après la relation de Chasles : 6) Propriétés d calcl vectoriel Soient, v et w trois vecters qelconqes et a, b dex nombres réels. L addition des vecters est commtative : + v= v+ En effet soient A, B, C trois points tels qe = AB et v= BC et D le point tel qe v= AD et = DC, alors d après la relation de Chasles on a : + v= AB+ BC= AC et v+ = AD+ DC= AC

13 L addition des vecters est associative : ( + v) + w= + ( v+ w) En effet soient A, B, C, D qatre points tels qe = AB, v= BC et w= CD, alors + v+ w= AB+ BC+ CD= AC+ CD= AD d après la relation de Chasles et on ( ) ( ) + v+ w = AB+ BC+ CD = AB+ BD= AD. a de même : ( ) ( ) Comme l addition des vecters est commtative et associative, on pet écrire ne somme de plsiers vecters sans parenthèses et dans l ordre q on vet : + v + w = v + + w = w + + v = 0 est l élément netre de l addition des vecters : + 0= 0+ = En effet soient A, B dex points tels qe = AB, alors comme 0= AA= BB on a : + 0= AB+ BB= AB= et 0+ = AA+ AB= AB= d après la relation de Chasles. + = + = 0 ( ) ( ) En effet soient A, B dex points tels qe = AB, alors comme = BA on a : + = AB+ BA= AA= 0 + = BA+ AB= BB= 0 d après la relation ( ) de Chasles. et ( )

14 1 = et 1 = et 0 = 0 ( ) (évident!) ( ab) = a ( b ) et on écrit simplement : ab p. ex. a= 2 et b= 3 a+ b = a + b ( ) p. ex. a= 2 et b= 3 a + v = a + a v ( ) p. ex. a= 2 Remarqes o Ces propriétés montrent qe les règles de calcl sr les vecters «fonctionnent» de la même manière qe celles sr les nombres réels, saf q on ne pet PAS mltiplier o diviser dex vecters entre ex!

15 o Les dex dernières propriétés montrent q il y a ne sorte de «distribtivité» por le calcl vectoriel : la différence avec la vraie distribtivité est q ici on mltiplie des objets de natre différente : des nombres et des vecters! o L ensemble V mni de l addition des vecters (opération interne!) est n grope (l addition des vecters est associative, possède n élément netre, le vecter nl et tot vecter a n symétriqe, le vecter opposé) commtatif (l addition est en pls commtative). o L ensemble V mni de l addition (interne) des vecters et de la mltiplication (externe) des vecters par les réels est appelé espace vectoriel. 7) Forme vectorielle d théorème de Thalès Le théorème de Thalès et sa réciproqe, qe vos avez vs en 4 e, pet être formlé dans le langage vectoriel de la manière sivante : Théorème de Thalès Soit n triangle ABC, D ( AB), E ( AC) et ( BC) ( DE) qe : Soit n triangle ABC, D ( AB), E ( AC) AD = k AB et AE = k AC et DE = k BC. Alors il existe n réel k tel Réciproqe d théorème de Thalès et n réel k tel qe AD = k AB et AE = k AC. Alors ( BC) ( DE). 8) Eqation vectorielle d ne droite Soit n point P et ne droite a, alors il existe exactement ne sele droite d qi passe par A et qi est parallèle à a comme le montre la figre sivante : La droite d est donc entièrement déterminée si on connaît n point de d et ne droite qi li est parallèle, c est-à-dire qi indiqe sa direction! Or por indiqer ne direction on pet également tiliser n vecter : la direction de la droite d est conne si on connaît n importe qel vecter AB 0 où A d et B d :

16 Un tel vecter est appelé vecter directer de d. Une droite admet ne infinité de vecters directers qi sont tos.. Soient dex droites a et b de vecters directers et v respectivement. Alors on a : a b et v sont colinéaires Soit d ne droite définie par n point P et n vecter directer et M n point qelconqe d plan. Dex cas pevent se présenter : 1 er cas : M d 2 e cas : M d et PM sont colinéaires et PM ne sont pas colinéaires D où : M M d PM et sont colinéaires k R PM = k En d atres termes d = { M / PM = k, k } éqation vectorielle de d. R et l éqation PM = k est appelée Définition On dit qe dex vecters de l espace et v sont orthogonax, et on note v, si et selement si l ne des dex conditions sivantes est vérifiée : = 0 o v = 0 0 o v 0 et a b où a et b sont dex droites de vecters directers et v respectivement

17 9) Eqation vectorielle d n plan Définition Soient et v dex vecters de l espace, on appelle combinaison linéaire de et v tot vecter de la forme p + q v avec p,q R. Théorème Soient A, B, C trois points non alignés de E et M n point qelconqe de E, alors : M ABC AM est ne combinaison linéaire de AB et AC ( ) démonstration Spposons d abord qe M ( ABC), plsiers cas pevent se présenter : o si M = A alors AM = AA = 0 = 0 AB + 0 AC o si M = B alors AM = AB = 1 AB + 0 AC o si M = C alors AM = AC = 0 AB + 1 AC, alors il existe D ( AB) tel qe ( DM) ( AC) o si M A et M B et M C et E ( AC) tel qe ( EM) ( AB). Alors ( ADME ) = # donc AM = AD + AE. Or D ( AB) donc p R tel qe AD = p AB et E ( AC) donc q R tel qe AE = q AC et par conséqent AM = p AB + q AC. Dans tos les cas AM est ne combinaison linéaire de AB et de AC. Réciproqement spposons qe AM = p AB + q AC où p et q sont dex réels. o si p = 0 alors AM = q AC o si q = 0 alors AM p AB et A, M, C sont alignés donc M ( ABC) = et A, M, B sont alignés donc M ( ABC)

18 o si p q 0 alors :!D AB tel qe D A et AD = p AB et ( )!E AC tel qe E A et AE = q AC ( ) donc ( AB) = ( AD) et ( AC) = ( AE) et par conséqent ( ABC) ( ADE) De pls ( ADME ) = # pisqe AM = AD + AE, donc M ( ADE) montre qe M ( ABC) Dans tos les cas on a montré qe M ( ABC) Conséqence, cqfd. =., ce qi Soit n plan α et A, B, C trois points non alignés de α. Alors α = ( ABC) et M α AM = combinaison linéaire de AB et de AC c est-à-dire : α = = + { M E / AM p AB q AC avec p, q R} On dit qe AB et AC sont dex vecters directers (non colinéaires) de α et qe AM = p AB + q AC est ne éqation vectorielle de α. 10) Milie d n segment Soit M le milie de [ AB ] : On voit facilement qe : A B M M = milie de AB MA + MB = 0 [ ] Interprétation physiqe : Plaçons n bâton [AB] sr la pointe d n cône en position parfaitement horizontale, pis lâchons-le : si le bâton repose en son milie M sr la pointe d cône, le bâton reste en éqilibre, si par contre il repose sr n point C différent d milie, il y a déséqilibre et il va tomber. (éqilibre) (déséqilibre)

19 Le vecter MA (respectivement MB ) représente la force exercée par l extrémité A (resp. B) d bâton sr le point M et l égalité MA+ MB= 0 exprime le fait qe la force résltante est la force nlle : il ne se passe rien, le bâton reste en éqilibre! Par contre la force résltante CA+ CB 0 n étant pas nlle, elle va entraîner le bâton vers le bas (il tombe) Conclsion : Le milie est le point d éqilibre appelé centre de gravité d segment (d bâton). 11) Centre de gravité d n triangle Interprétation physiqe : Soit ABC n triangle (décopé dans ne plaqe homogène, p. ex. ne plaqe en bois). Nos allons chercher «le point d éqilibre» de ce triangle, c est-à-dire le point G tel qe le triangle posé horizontalement sr ce point reste en éqilibre : (éqilibre) (déséqilibre) Comme por le bâton, les vecters GA, GB et GC représentent les forces exercées respectivement par les sommets A, B et C sr le point G. Le point d éqilibre est alors caractérisé par l égalité GA + GB + GC = 0, alors qe MA + MB + MC 0. Définition On appelle centre de gravité d n triangle ( ABC) le point G tel qe : GA + GB + GC =

20 Propriétés de G Soient n triangle ( ABC), A, B, C les miliex respectifs des côtés [ BC ], [ AC ], [ AB ] et G le centre de gravité, alors : o AG = AA ', BG = BB', CG = CC', démonstration : GA + GB + GC = 0 GA + GA + AB + GA + AC = 0 Chasles 3 GA + AB + AC = 0 AB + AC = 3 GA AB + AC = 3 AG 2 AA ' = 3 AG ( voir exercice 19) 2 AG = AA ' 3 ( ) Les dex atres égalités se démontrent de façon analoge (exercice!) o G ( AA ') ( BB' ) ( CC' ) démonstration : Nos venons de montrer qe les dex vecters AA ' et AG sont colinéaires, donc les points A, A et G sont alignés (propriété p. 8) et par conséqent G ( AA ') montre de même qe G ( BB' ) et G ( CC ') Remarqe :, d où le résltat.. On Comme les droites (AA ), (BB ) et (CC ) sont les trois médianes d triangle, nos venons de montrer qe G est le point d intersection de ces médianes! Exercices 1 à

21 B) VECTEURS ET COORDONNEES 1) Repères a) Repères d ne droite Soit d ne droite et O, I d avec O I, alors : M E M d k R OM = k OI (*) De pls ce réel k est niqe. En effet s il existait k et k tel qe OM = k OI et OM = k ' OI alors : k OI = k ' OI ( k k ') OI = 0 k = k ' o OI = 0, or OI 0, donc k = k '. Définition L niqe réel k tel qe OM = k OI est appelé l abscisse d point M dans le repère de d d origine O. On note M(k). ( O,OI) M k dans O, OI OM = k OI Ainsi : ( ) ( ) b) Repères d n plan Soit α n plan et O, I, J trois points non alignés de α, alors on a d après le théorème page 17 : M ( OIJ) = α OM est ne combinaison linéaire de OI et OJ p,q R tel qe OM = p OI + q OJ De pls le cople ( p,q ) est niqe. En effet si OM = p OI + q OJ et OM = p' OI + q ' OJ alors : p OI + q OJ = p' OI + q ' OJ p p ' OI = q ' q OJ (*). Mais alors p p' = 0 car sinon on arait ( ) ( ) q ' q OI = OJ et O, I, J seraient alignés p p' (pisqe OI et OJ colinéaires) ce qi est contraire à l hypothèse. Par conséqent p = p' et (*) devient :

22 0 OI = ( q ' q) OJ 0 = ( q ' q) OJ q ' q = 0 o OJ = 0 donc q ' q = 0 pisqe OI 0 et on a également q = q ', cqfd. Définition L niqe cople de réels ( ) p, q tel qe OM = p OI + q OJ est appelé le cople des coordonnées d point M dans le repère ( O,OI,OJ) M(p,q), p est appelé l abscisse et q l ordonnée de M. Ainsi : Cas particliers Si OI OJ M p,q dans O,OI,OJ OM = p OI + q OJ ( ) ( ) on dit qe ( O,OI,OJ) de α d origine O. On note est n repère orthogonal et si de pls les dex vecters sont nitaires, c est-à-dire si OI = OJ = 1, on dit q on a n repère orthonormé : on note R.O.N. c) Repères de l espace Soient O, I, J, K qatre points non coplanaires (OIJK = tétraèdre) et M n point qelconqe dans l espace. Alors il existe ne droite d niqe qi passe par M et qi est parallèle à OK : cette droite cope le plan OIJ en M et on a : OM = OM ' + M 'M (1). M ' p,q donc OM ' = p OI + q OJ (2). Dans le repère ( O,OI,OJ) d plan OIJ : ( ) D atre part M 'M et OK sont colinéaires (pisqe M 'M = d OK ) donc il existe n réel r niqe tel qe M 'M = r OK (3). En remplaçant (2) et (3) dans (1) il vient : OM = p OI + q OJ + r OK

23 Définition L niqe triplet de réels ( ) p,q,r tel qe OM = p OI + q OJ + r OK est appelé le triplet des coordonnées d point M dans le repère ( O,OI,OJ,OK) de l espace d origine O. On note M(p,q, r), p est appelé l abscisse, q l ordonnée et r la cote de M. Ainsi : M p, q, r dans O, OI, OJ,OK OM = p OI + q OJ + r OK ( ) ( ) Les trois vecters d repère sont sovent notés i, j et k. Cas particliers Si les vecters OI, OJ et OK sont dex à dex orthogonax on dit qe est n repère orthogonal et si de pls les trois vecters sont ( O,OI,OJ,OK) nitaires, c est-à-dire si OI = OJ = OK = 1, on dit q on a n repère orthonormé : on note R.O.N. Conclsion Un repère est tojors constité d n point fixe appelé origine d repère et : o d n vecter directer OI dans le cas d ne droite o de dex vecters directers non colinéaires dans le cas d n plan o de trois vecters dont acn n est ne combinaison linéaire des dex atres (ce q on exprime en disant q ils sont linéairement indépendants) dans le cas de l espace

24 Por repérer n point M il fat donc o 1 abscisse si M d : M ( p ) o 2 coordonnées si M α : M ( p,q ) o 3 coordonnées si M E : M ( p,q, r ) On dit q ne droite est de dimension 1, n plan de dimension 2 et l espace de dimension 3. Exemples Soit ABCDEFGH n cbe : Dans le repère ( H,AB,GF, FB) : A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ), E ( ; ; ), F ( ; ; ), G ( ; ; ), H ( ; ; ) Dans le repère ( B, HD,DC,GF) : A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ), E ( ; ; ), F ( ; ; ), G ( ; ; ), H ( ; ; ) 1 Dans le repère A,2 AB, AD,3 AE : 2 A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ), E ( ; ; ), F ( ; ; ), G ( ; ; ), H ( ; ; )

25 2) Coordonnées d n vecter et calcl vectoriel. E est mni d n repère ( O, i, j, k) a) Définition Soit V M p,q, r E le point de E qi vérifie = OM, alors : et ( ) On dit qe ( ) = OM= pi+ qj+ rk p,q, r est le triplet des coordonnées de dans ( O, i, j, k) et on note : ( p,q,r) o p q r p q dans O, i, j, k = pi+ qj+ rk r Ainsi : ( ) Remarqes : Prendre les mêmes coordonnées por le point M et por le vecter se jstifie par le fait q n vecter est entièrement déterminé qand on connaît n de ses représentants OM. La notation «verticale» des coordonnées est tilisée exclsivement por les vecters et servira sovent à remplacer n «calcl vectoriel» par n «calcl matriciel» sr des matrices ni-colonnes. Il réslte de ce qi précède qe dex vecters (o dex points) sont égax si et selement s ils ont les mêmes coordonnées dans n repère donné. b) Formles valables dans n importe qel repère Soient A( x A, y A, za) E et ( B B B) B x, y, z E, alors : AB= AO+ OB = OB OA = = x x i+ y y j+ z z k ( x Bi ybj zbk) ( x Ai ya j zak) ( ) ( ) ( ) B A B A B A D où : x AB y z B A B B x y z A A

26 Exemple : A( 5; 3;7), B( 1;0;9), alors 6 AB 3 2 et 6 BA 3 2 x x v Soient y, v y v et α R, alors : z z ( ) v α =α x i+ y j+ z k =α x i+α y j+αz k, d où : αx α y α α z + v= x i+ y j+ zk+ x v i+ yv j+ zvk = x + x i+ y + y j+ z + z k ( ) ( ) ( ) v v v d où : x + x v + v y y + v z + z v Exemples : 4 5, 7 8 v 11, alors : , 7v 77, v 6, 4 Milie d n segment [ AB ] : v= = + = M= milie de AB MA+ MB= 0 [ ] x A x M x B x M ya y M yb y + M = 0 z z z z A M B M x A x B 2x + M 0 ya yb 2y M 0 + = z z 2z 0 + A B M xa+ x B 2x M= 0 ya+ yb 2yM= 0 za+ zb 2zM=

27 x A+ x x M= 2 ya+ y ym= 2 za+ z zm= 2 D où : [ ] A B A B A B B B B x + x y + y z + z M= milie de AB M ; ; Centre de gravité d n triangle ( ABC) x A x G x B x G x C x G GA + GB + GC = 0 y y + y y + y y = 0 D où : A G B G C G za z G zb z G zc z G x A + x B + xc 3x G 0 ya + yb + yc 3yG = 0 za zb zc 3z G xa + x B + x C = 3x G ya + yb + yc = 3yG za + zb + zc = 3z G x A+ x B+ xc ya+ yb+ yc za+ zb+ z C G= centre de gravité de ( ABC) G ; ; Exemples : A( 17;8; 9), B( 23;0; 11), C( 2;15; 24) alors : milie de [ AB ] : M( 3; 4; 10) et centre de gravité de ( ABC) : G ; ; c) Formles valables niqement dans n R.O.N. est n R.O.N.. On sppose maintenant qe ( O, i, j, k) Norme d n vecter x Soit y et les points ( ) z Alors = OA= OB+ BA= OC+ CB+ BA A x ; y ;z, B( x ; y ;0) et ( ) o le triangle ( OCB) est rectangle en C donc C x ;0;0 (voir figre). et comme ( O, i, j, k) est n R.O.N : OB = OC + CB (Pythagore)

28 o le triangle ( OAB) est rectangle en B donc o D où OA = OC + CB + BA (1) OA = OB + BA (Pythagore) Or : OC= OC= x i = x i = x 1= x CA= CA= y j = y j= y 1= y AB= AB= z k = z k = z 1= z (2), (3), (4). En remplaçant (2), (3), (4) dans (1) il vient : = OA = OA = x + y + z = x + y + z d où : = x + y + z Exemple : = = = 8 2, ( ) Distance de dex points Soient A( x A, y A,z A) et ( B B B) Exercices 14 à 22 B x, y, z, alors : x B x A AB= AB= y y = x x + y y + z z z z ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A

29 C) PRODUIT SCALAIRE 1) Définitions a) Angle formé par dex vecters non nls Soient et v dex vecters non nls et A, B, C trois points (non alignés) de l espace tels qe = AB et v= AC : L angle θ= BAC, indépendant des représentants de et v choisis (expliqez porqoi!), est appelé angle formé par les vecters et v. et est noté parfois (, v) En fait et v forment dex angles : θ et 2π θ, dont l n est saillant (c est-à-dire de mesre comprise entre 0 et π radians), l atre rentrant (c est-à-dire de mesre strictement comprise entre π et 2π radians). Or comme on va le voir tot de site, nos ne nos intéresserons q a cosins de cet angle et comme cos( 2π θ ) = cos( θ ) = cosθ, nos choisirons tojors celi des dex angles qi est saillant : 0 θ π. b) Prodit scalaire de dex vecters Soient, v V, on appelle prodit scalaire de par v le nombre réel, noté v (on lit : «scalaire v»), défini par : où θ= (, v ) 0 si = 0 o v= 0 v= v cosθ si 0 et v 0 étant l angle (saillant) formé par les dex vecters. Exercices 23 et

30 2) Interprétation géométriqe Soient = AB 0, v= AC 0 et θ= (, v ). 1 er cas : θ= 0 Alors et v ont même sens et v= v cos0= v 1= v= AB AC> 0. 2 e cas : π θ= 2 π Alors v et v = v cos = v 0 = e cas : θ=π Alors et v ont même direction, des sens opposés et v= v cosπ= v 1= v= AB AC< 0. ( ) 4 e π cas : 0<θ< 2 Soit H la projection orthogonale de C sr AB, alors ( AHC) est rectangle en H donc AH cosθ= et par conséqent : AC AH v= v cosθ= AB AC = AB AH> 0. AC

31 5 e cas : 2 π <θ<π Soit H la projection orthogonale de C sr AB, alors ( AHC) est rectangle en H donc AH AH AH cos( π θ ) = cosθ= cosθ= et par conséqent : AC AC AC AH v= v cosθ= AB AC = AB AH 0 AC <. Conclsion En remarqant qe dans le 1 er et le 3 e cas H π si 0 θ < alors v= AB AH> 0 2 π si < θ π alors v= AB AH< 0 2 π si θ = alors v= 0 2 = C, on voit qe :

32 3) Expression analytiqe Soit ( O, i, j, k) v= AC n R.O.N., x y, z x v v y v z v, A, B, C trois points tels qe = AB et θ= (, v ). Nos spposerons d abord qe les dex vecters sont non nls, alors trois cas pevent se présenter : et 1 er cas : θ= 0 Alors il existe n réel strictement positif k tel qe v= v cos 0 = k 1 = k car k> 0 2 = k ( ) ( ) = k x + y + z = kx + ky + kz = x kx + y ky + z kz = x x + y y + z z v v v x v= k x v= k yv= k y zv= k z et on a : 2 e cas : θ=π Alors il existe n réel strictement négatif k tel qe v = k et on a : v= v cosπ = k ( 1) = ( k) ( 1) ( car k= k pisqe k< 0) 2 = k = er ( voir 1 cas) = x x + y y + z z v v v 3 e cas : 0<θ<π

33 Alors ABC est n triangle et d après le théorème d cosins on a : BC = AB + AC 2 AB AC cosθ 2 AB AC cosθ= AB + AC BC. Or AB AC cosθ= v cosθ= v, AB x y z = = + + AC v x y z, = = v+ v+ v, BC = BC = BA+ AC = v = ( x v x) + ( yv y) + ( zv z) d 'où : 2 v= x + y + z + x + y + z x x y y z z ( ) ( ) ( ) v v v v v v 2 v= 2x x v+ 2yyv+ 2zzv v= x x v+ yyv+ zzv Nos avons donc montré qe si et v sont dex vecters non nls on a : v= x x + y y + z z * Si = 0 alors v= 0 v v v () (par définition) et d atre part x= y= z= 0 donc =. 0 xv+ 0 yv+ 0 zv= 0, ce qi montre bien qe la formle (*) reste valable por 0 D où : Théorème x x v Por tos vecters y et v y v dans n R.O.N. on a : z z Remarqe L expression analytiqe de v Si 1 2, 3 3 v 4 0 v v= x x + y y + z z v v v permet de calcler (, v) dans n R.O.N. alors ( ) ( ) θ=. Exemple : v= = 11 et d atre part v= v cosθ= cosθ= 5 14 cosθ, d où 11= 5 14 cosθ et par conséqent θ 126, 01. Exercice 25,

34 4) Propriétés a), v V v= 0 v En effet : v= 0 = 0 o v= 0 o cosθ= 0 π = 0 o v= 0 oθ= 2 v π π b), v V (non nls) v> 0 0 θ< et v< 0 <θ π 2 2 En effet le signe de v est le même qe celi de cosθ pisqe > 0 et v> 0. c), v V v= v (le prodit scalaire est symétriqe) En effet en se plaçant dans n R.O.N. on a : v= x x v+ yyv+ zzv= x vx+ yvy+ zvz= v d), v, w V α R v+ w = v+ w α v =α v=α v ( ) ( ) ( ) ( ) Remarqe (on dit qe le prodit scalaire est linéaire) On ne dit pas qe le prodit scalaire est «commtatif», «associatif» o «distribtif par rapport à l addition» car ces termes sont réservés ax opérations internes dans n ensemble (comme par exemple l addition et la mltiplication dans R ) et le prodit scalaire est ne opération externe : le prodit de dex vecters n est pas n vecter mais n nombre réel! A, B,C, D E AB CD = AB C'D ' avec C' = p C et D ' = p D e) ( ) ( ) ( ) ( ) En effet : AB CD = AB ( CC' + C'D' + D'D) = AB CC' + AB C'D ' + AB D 'D = 0 + AB C'D' + 0 car AB CC' et AB D 'D = AB C'D ' f) V 0 et = En effet 2 2 = cos 0= 1= 0. AB AB

35 Définition Le nombre réel positif est appelé carré scalaire d vecter et il est noté 2. Remarqes Ainsi on a : = = V On ne parle pas de «cbe scalaire» o de «n» où n> 2! Exercices 26 à 38 5) Vecter normal et éqations d n plan Nos avons v en A9) qe por connaître n plan α il sffit de connaître n point A α et dex vecters directers et v non colinéaires de ce plan. En fait n point A et ne droite d α sffisent pisq il n existe q n sel plan passant par A et qi est orthogonal à d! Or por connaître ne telle droite il sffit de connaître n vecter directer n de cette droite qi sera alors orthogonal à tos les vecters directers d plan α! Ceci nos amène à poser la définition sivante : Définition Soit n plan α et n vecter n dans l espace. On dit qe n est n vecter normal à α si et selement si n est n vecter directer d ne droite d α. Remarqe Si n est n vecter normal à α, alors l ensemble des vecters normax à α est égal à l ensemble des vecters non nls colinéaires à n!

36 Propriété 1 Soit n plan α de vecter normal n et A α, alors : M E M α AM n Démonstration : Soit d la droite de vecter directer n passant par A. Alors d α et por tot M α : ( ) ( α) d ( AM) ( car α est l'niqe plan passant par A et orthogonal à d) M α AM α car A Propriété 2 n AM Soit n plan α de l espace mni d n R.O.N., A( x A, y A, za) α, alors : a n b c n vecter normal à α et ( ) E ( ) () M x, y,z M x, y, z α ax+ by+ cz+ d= 0 * où d= ax by cz A A A Définition : On dit qe (*) est ne éqation cartésienne d plan α. Démonstration : M x, y, z AM n d'après propriété 2 AM n= 0 d'après C4a ( ) α ( ) A ( ) x x A a y y A b = 0 d'après B2b z z c ( ) ( x x ) a ( y y ) b ( z z ) c 0 ( d'après C3) + + = A A A ax ax + by by + cz cz = 0 A A A ( ) ax+ by+ cz+ d= 0 en posant: d = ax by cz A A A Exemple Soit α le plan passant par A( 2, 3,5) et de vecter normal 7 n 4, alors :

37 M x, y,z α AM n= 0 ( ) x y 3 4 = 0 z 5 6 II e B math I chapitre III Calcl vectoriel dans l espace ( )( ) ( ) ( )( ) x y 3 4+ z 5 6= 0 7x 14+ 4y 12 6z+ 30= 0 7x+ 4y 6z+ 4= 0 On note : α 7x+ 4y 6z+ 4= 0. Cette éqation permet de vérifier facilement si le plan passe par n point donné o non : ( ) ( ) et C( 5,3,0 ) α car = 6 0. Propriété 3 (réciproqe de la propriété 2) B 2,1, 1 α car = 0 Soient a, b,c,d R tel qe ( a,b,c) ( 0,0,0), alors l ensemble : = { ( ) = } est n plan de vecter normal n( a, b,c) E M x, y, z / ax by cz d 0 Démonstration : Comme ( a, b,c) ( 0,0,0) l n a moins des nombres a, b, c est différent de 0, par exemple a 0, d où d A,0,0 E a Appelons α le plan passant par A de vecter normal n( a, b,c) M x, y, z α AM n= 0 ( ) d x+ a a y b = 0 z c ax+ d+ by+ cz= 0 ( ) M x, y, z E Par conséqent E=α, c.q.f.d. car! d a + b 0+ c 0+ d= d+ d= 0 a., alors :.! Exercices 39, 40,

38 6) Eqations d ne sphère Définition Soit A n point de l espace et r n nombre réel strictement positif, alors on appelle sphère de centre A et de rayon r le lie des points M tel qe AM Notation : ( A,r) = { M / AM= r} Propriété 1 S E. Soit A( x A, y A,z A) n point de l espace mni d n R.O.N. et Démonstration : ( ) S( ) = r. * r R +, alors : ( ) S ( ) ( ) ( ) ( ) A A A M x, y, z A, r x x + y y + z z = r M x, y, z A, r AM= r Propriété ( x x ) ( y y ) ( z z ) r ( d'après B2c) + + = A A A ( x x ) ( y y ) ( z z ) r ( éqation de S( A, r) ) + + = A A A Soient A et B dex points de l espace mni d n R.O.N., alors le lie des points M E est la sphère de diamètre [ ] tel qe MA MB [ ] I= milie de AB et de rayon r= AI= BI. Démonstration : Soient M E et I le milie de [ AB ], alors : MA MB MA MB= 0 d 'après C4a + + = ( ) ( MI IA)( MI IB) 0 ( relation de Chasles) ( ) AB, c est-à-dire la sphère de centre 2 MI + MI IB+ IA MI+ IA IB= 0 ( d 'après C4d) 2 MI + MI IB+ MI IA+ IA IA = 0 d 'après C4c et I = milie de AB 2 2 MI + MI IA+ IB IA = 0 d 'après C4d 2 2 ( I,IA) ( ) ( ) ( [ ]) 2 2 MI + MI 0= IA car I = milie de AB et d 'après C4e MI + 0= IA MI= IA M S ( [ ] ) Exercices 42 et

39 D) EQUATIONS D UN PLAN ET D UNE DROITE 1) Eqations d n plan Nos venons de voir (C5, pages 35 37) q n plan π est entièrement défini par la donnée d n point A π et d n vecter normal n a plan et qe ces données permettent de déterminer ne éqation cartésienne d plan π. Par aillers nos avons v également (A 9, pages 17 18) q n plan π est entièrement défini par la donnée d n point A π et de dex vecters directers non colinéaires et v (o par trois points non alignés A,B,C π ce qi revient a même pisq alors AB et AC sont bien dex vecters directers non colinéaires de π ). De manière pls précise nos avons v q n point M est dans le plan si et selement si AM est ne combinaison linéaire des vecters et v, ce qi va nos permettre de déterminer des éqations d plan π d ne atre façon. a) Système d éqations paramétriqes d n plan Soit π n plan donné par n point A ( x A, y A, z A ) et dex vecters directers non x x v colinéaires y et v y v et M(x, y,z) n point qelconqe, alors : z z v M x, y, z π α, β R AM = α + β v ( ) D où : x x A x x v α, β R y y = α y + β y A v z z A z z v x x A α x + β x v α, β R y y = α y + β y A v z z A z z α + β v x = x A + α x + β x v M ( x, y, z ) π α, β R y = ya + α y + β yv z = za + α z + β zv Ce système est appelé système d éqations paramétriqes de π de paramètres α et β

40 Exemples 4 0 A ( 7; 3; 2) π de vecters directers 9 et v 5 alors 11 1 x = 7 + 4α π y = 3 9α + 5 β ( α, β R ) z = α β x = 5 + 3α 6β z = 23 α + 7 β et de 3 6 vecters directers 8 et v Por obtenir d atres points de π on choisit n importe qelles valers por α et β : si π y = 1+ 8 α ( α, β R ) alors π est le plan passant par A ( 5; 1; 0) α = 1, β = 3 : B( ; 1+ 8; ) = B( 10; 7; 2) π, α = 2, β = 0 : C( 5 6; 1 16; 46) = C( 1; 17; 46) π, etc. b) Eqation cartésienne d n plan Reprenons les notations precedents. on appelle déterminant des vecters, v et w le déterminant : x x x det, v, w = y y y ( ) v w v w z z z v w Nos admettrons sans demonstration la propriété sivante: det, v, w = 0 w est ne combinaison linéaire de et v ssi ( ) En tilisant cette propriété on obtient: M ( x, y, z) π AM est ne combinaison linéaire de et v det AM,, v = 0 ( ) x x x x A v y y y y = 0 A v z z z z A v En calclant ce déterminant on obtient ne éqation de la forme : ax + by + cz + d = 0 avec ( a, b, c) ( 0, 0, 0) c est-à-dire ne éqation cartésienne de π

41 Exemple 2 π défini par : A ( 3, 5,1), 7 et 9 M x, y,z π det AM,, v = 0 ( ) ( ) Remarqes x y = 0 z v 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 28 x 3 2 z y z 1 8 y x 3 = 0 37x + 37y 37z = 0 x + y z + 9 = 0 π La donnée d n système d éqations paramétrées nos donne immédiatement dex vecters directers de π alors q ne eqation cartésienne nos fornit le vecter normal a n b c! Dex plans sont parallèles ssi ils ont les mêmes vecters directers et les memes vecters normax. Dex plans sont orthogonax ssi lers vecters normax sont orthogonax. Exercices ) Systèmes d éqations d ne droite Il y a dex façons de déterminer ne droite d dans l espace : d est donnée par n point A ( x A, y A, z A ) et n vecter directer M ( x, y, z) d AM et sont colinéaires k R AM = k x x A x k R y y = k y A z z A z x y. z et on obtient n système d éqations paramétriqes de paramètre k de d :

42 x = x A + k x M ( x, y, z) d k R y = ya + k y z = za + k z Exemple x = 17 6k d y = 37k k z = k ( R ) est la droite passant par A ( 17,0, 5) 6 de v.d d est donnée comme intersection de dex plans π1 et π 2, chaqe plan étant défini par ne éqation cartésienne. La droite d est alors déterminée par n système linéaire de dex éqations à trois inconnes appelé système d éqations cartésiennes : Exemple ( ) ( ) x y + 3z = 2 1 d 2x + 4y z = 1 2 ax + by + cz + d = 0 d a 'x + b ' y + c'z + d ' = 0 Por chercher des points de d il fat résodre ce système : ( 1) x = 2 + y 3z 7 1 dans ( 2 ) : 4 + 2y 6z + 4y z = 1 6y 7z = 3 y = z dans ( 1 ) : x = 2 + z 3z x = z Ainsi z R M z + ; z ; z d, par exemple por z = 0 on obtient A ; ;0 d, por z Exercices = on obtient B( 7; 4; 3) d, etc

43 EXERCICES A) VECTEURS DANS L ESPACE 1) Soient A, B et M trois points, montrez qe : a) M = milie de [ AB] AM = MB AB AB = 2 AM b) M = milie de [ ] 2) Soit n triangle qelconqe ABC et I le milie de [BC]. Montrez qe AB+ AC= 2AI. 3) Soit ABCD n tétraèdre et I, J, K, L, M, N les miliex de [ DB ], [ DC ], [ DA ], [ AB ], [ BC ] et [ AC ] respectivement (figre!). a) Montrez qe IJNL = # et qe MLKJ = #. b) Dédisez-en qe tos les segments ayant por extrémités les miliex de dex arêtes opposées (càd qi ne se tochent pas) sont concorants en n point qi est ler milie commn. 4) Soit ABCDEFGH n cbe et I, J, K, L qatre points définis par : AI = AB, AJ = AE, HK = HG et LC = 2 GL 3 3 Montrez qe ( IJKL ) = #

44 5) Définition : Un parallélépipède est n solide à 8 sommets dont les 6 faces sont des #. Si les faces sont des rectangles on dit qe c est n parallélépipède rectangle o pavé et si les faces sont des carrés c est n cbe! Soit ABCDEFGH n parallélépipède et I, J, K, L les points d intersection des diagonales de ABFE, BCGF, CDHG et ADHE respectivement. Montrez qe IJKL = #. 6) Soit ABCD n tétraèdre, et I, J les miliex de [ AB ] et [ ] CD respectivement. Montrez qe IJ est ne combinaison linéaire de AD et CB. 7) Soit ABCD n tétraèdre et R, S, T, U les points définis par 1 3 AR = AC, SD = AD, BT = BD et 4 BU = BC. a) Montrez qe( RSTU ) = #. b) Soient I le point d intersection de ( CS ) et ( RD ) et J le point d intersection de ( DU ) et ( CT ). Montrez qe ( IJ) ( RST). 8) Soient d 1, d 2, d 3 trois droites parallèles et non coplanaires, A 1, B 1, C 1 trois points sr d 1, A 2 B 2, C 2 trois points sr d 2, A 3, B 3, C 3 trois points sr d 3, F, G, H les centres de gravités des triangles ( A A A ), ( B B B ), ( C C C ) Démontrez qe : 3FG = A B + A B + A B a) b) F, G, H sont alignés respectivement ) Soient A, B, C, D qatre points de l espace et M, N, P, Q les miliex de [ AB ], [ BC ], [ CD ] et [ DA ] respectivement. Démontrez qe : ( ) 2 MP + NQ = AC + BD

45 10) Soient ABC n triangle qelconqe et les points D, F, G définis par : 2 1 AD= AB AF= BA GC= 5 GA. 3 4 a) Figre! b) Soit E ( AC) tel qe ( DE) ( BC) CE= a AC DE= b CB c) Démontrez qe ( GF) ( DE)., trovez a, b R tel qe : 11) Soit ABCD n qadrilatère convexe qelconqe (A, B, C, D coplanaires). On appelle centre de gravité de ABCD l niqe point G qi vérifie l éqation : GA+ GB+ GC+ GD= 0 a) Constrisez n qadrilatère qelconqe ABCD et son centre de gravité G après avoir. 4 démontré qe AG= 1 ( AB+ AC+ AD) b) Soient M le milie de [ AB ] et P celi de [ ] dédisez-en ne constrction pls simple de G. CD. Montrez qe GM+ GP= 0 et c) Soient N le milie de [ BC ] et Q celi de [ AD ]. Etdiez la natre d qadrilatère ( MNPQ ) et sa relation avec le point G. 12) Soient ABC n triangle qelconqe, G son centre de gravité, O le centre de son cercle circonscrit C, A, B et C les miliex respectifs de [ BC ],[ AC ] et [ AB ] et H le point défini par la relation vectorielle : OH= OA+ OB+ OC. a) Montrez qe AH= 2 OA ' et dédisez-en qe H appartient à ne droite remarqable d triangle ( ABC). b) Qe pet-on dire d point H? c) Enoncez le théorème qe vos venez de démontrer et rappelez le nom d point H. d) Montrez qe les points O, G et H appartiennent à ne même droite appelée droite d Eler. e) Montrez qe les symétriqes H = s ( H), H = s ( H) et H s ( H) 1 A' 2 B' rapport ax miliex A, B et C appartiennent à C. = d point H par 3 C'

46 13) Soit ABCDE n pentagone réglier de centre O : a) Montrez qe : a R OA+ OB= a OD b R OC+ OE= b OD b) Dédisez-en qe : c R OA+ OB+ OC+ OD+ OE= c OD c) Dédisez-en qe O est le centre de gravité d pentagone. d) Calclez : AC+ BD+ CE+ DA+ EB AD+ BE+ CA+ DB+ EC B) VECTEURS ET COORDONNEES 14) Soit n triangle ABC, D ( BC) de D dans le repère ( A, AB, AC) et α R tel qe BD = α BC. Exprimez les coordonnées en fonction de α. 15) Soient ABEFGHKL et BCDEHIJK dex cbes dont les arêtes mesrent ne nité :

47 Por chacn des repères sivants, déterminez s il s agit d n repère orthogonal o orthonormé pis donnez les coordonnées des points A, B, C,.., L dans ce repère : a) ( E, FA, BC, DJ) b) ( A, LJ, DC, IC) c) 1 B, HB, AB, 4 AF 2 Por les exercices sivants, si le repère n est pas spécifié il s agit d n repère qelconqe 16) Dans n repère de l espace on donne A ( 5;1; 4), B( 2; 3; 6) et ( ) a) Trovez D tel qe ( ABCD ) = #. b) Trovez E tel qe ( AECB ) = #. 17) Déterminez les réels a et b por qe : C 0;1;7. 2 a a + 4 a) les vecters 1 et v a 2 + soient égax. 2a + 3 a + 2 a + 2 b + 3 b) les vecters 2a b et v 3 soient égax. b + 3 a c) les vecters a 1 et v 4 soient colinéaires a 3 d) les vecters 5a 2 et v 7 soient colinéaires. b 5 b + 2a + 3 2a 1 3+ a e) les vecters 4 3a et v 5 2a soient colinéaires. 7 a a 18) Examinez si les vecters sivants sont colinéaires : v 9 w ) Dans n R.O.N de l espace on donne A ( 3; 2; 4), B( 4; 0; 2), C( 3; 1;2 ) D( 3; 5; 1). Calclez la norme des vecters sivants : et

48 1 a) w = DC 3 b) = AB + CD c) v = AC + 2 AD 20) Soient A ( 3; 1; 2), B( 1; 2; 3), C( 0; 3; 1). a) Trovez n point E différent de A, de B et d milie de [ AB ] tel qe E ( AB) b) Montrez qe A, B et C ne sont pas alignés.. c) Trovez n point D n appartenant à acne des droites ( AB ), ( AC ), ( ) d centre de gravité d ( ABC) qi appartient a plan (ABC). 1 21) Soient les vecters 2, 3 2 v 1, 3 1 w 1 1 et 2 λ t 1 où λ R. λ a) Analysez si w pet s écrire comme combinaison linéaire de et de v. b) Déterminez λ por qe t soit combinaison linéaire de et de w. 22) Reprenez les exercices 3) à 6) et résolvez-les en tilisant des repères appropriés. BC et différent C) PRODUIT SCALAIRE 23) Sachant qe = 3, v = 4 et v = 6 calclez (, θ = v). 24) Sachant qe = 5, (, π θ = v) = 6 et v = 10 3 calclez v. 25) Dans n R.O.N. de l espace on donne A ( 3; 4;5), B( 0;7; 1) et C( 2; 1; 0) angles d triangle ( ABC). 26) Soient A, B dex points d plan.. Calclez les a) Déterminez le lie des points M d plan tel qe 2 AM AB = AB. b) Comment fat-il choisir les points M et N por qe 2 NM AB = AB? c) Mêmes qestions si A et B sont dex points de l espace. 27) Soient A,B E avec AB = 2. Déterminez les ensembles sivants : a) H = { M E / AM AB = 0} b) I = { M E / AM AB = 4}

49 c) J = { M E / AM AB = 2} d) K = { M E / AM AB = 1} 2 e) L = { M E / AM = 9} f) M = { M E / AM AB = 6 et AM = 4} g) N = { M E / BM AB = 3 et BM = 5} II e B math I chapitre III Calcl vectoriel dans l espace 28) Soient ABEFGHKL et BCDEHIJK dex cbes dont les arêtes ont ne longer de 2 nités ( AF = AG = AB = BC = 2) : Calclez : a) AK LC b) FD BL c) LAJ d) CBL e) HCK 29) Soit ( ABC) n triangle rectangle en A tel qe AB = 2 et AC = 1. Déterminez le lie des points M d plan ( ABC ) tel qe : a) AB CM = 0 b) AB AM = 3 c) AM BC = 0 d) AC AM = 2 e) AC BM = 1 f) AB MC = 2 g) 1 CA MB =

50 30) Mêmes qestions q à l exercice 29 en prenant M dans l espace E. 31) Soit ABC n triangle rectangle en B avec AB = 4 et BC = 3. Déterminez les ensembles sivants (dans l espace, M E) : 3 = + = 2 B = M E / AC BM = 5 a) A M E / CB ( AM AB) b) { } 32) Soit ABCDEFGH n cbe d arête c : a) Montrez qe ( EC) ( HF) et ( EC) ( AF) b) Calclez l amplitde de l angle AHC.. c) Calclez l amplitde de l angle formé par les droites ( AG ) et ( BH ). 33) Soit ABCD n carré et M [ BD]. 2 2 a) Démontrez analytiqement et vectoriellement qe AM AB = BM DM. b) Dédisez-en qe 2 2 MB MD = AB AM. 34) a) Montrez l égalité sivante appelée égalité d EULER : A, B,C,D E AB DC + AC BD + AD CB = 0 b) Application 1 : Dans n tétraèdre ABCD il y a trois paires d arêtes opposées : [ AB] et[ CD ], [ AC] et[ BD ], [ AD] et[ BC ]. Montrez qe si dex de ces paires sont formées de segments orthogonax, alors la troisième l est assi. c) Application 2: Montrez qe les trois haters d n triangle sont concorantes (théorème de l orthocentre)

51 35) Soit ABCD n # et O le point d intersection de ses diagonales. a) Montrez qe AC BD AB = AD. b) Enoncez la propriété ainsi démontrée. 36) Soit ABCD n tétraèdre réglier d arête c et I le milie de [ AB ]. Calclez le prodit scalaire IC ID. 37) Soient ABC n triangle, P et Q les pieds des haters isses de A et de B et M le point d intersection des haters. Démontrez qe 2 AB = AP AM + BQ BM. 38) Montrez qe dans n # la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés. 39) Dans n R.O.N. de l espace on donne A ( 4; 3;1) et plan passant par A de vecter normal n. 2 n 7. Déterminez ne éqation d 5 40) Dans n R.O.N. de l espace on donne l éqation d n plan π : 3x 4y + z 2 = 0. a) Est-ce qe les points A( 2,5, 3), B( 4, 3, 2) appartiennent à π? b) Qel est l ensemble de tos les vecters normax à ce plan? c) Trovez dex points de π. 41) Soit le cbe ABCDEFG :

52 Dans le R.O.N. ( A, AB, AD,AE ) trovez ne éqation de chacn des plans sivants : a) ( ABC ) b) ( EFG ) c) ( ADE ) d) ( BCG ) e) ( ABF ) f) ( CDG ) 42) Dans n R.O.N. de l espace on donne A ( 3; 2; 4) et B( 1;1; 4). g) ( ACG ) h) ( BCH ) i) ( EBG ) a) Déterminez l éqation de la sphère de centre A et de rayon 7. b) Déterminez l éqation de la sphère de diamètre [AB]. J = M x, y, z / MA MB = 2. c) Déterminez l ensemble ( ) { } 43) Déterminez les ensembles sivants définis dans n R.O.N. de l espace : { M ( x, y, z ) / x 6x y 14y z 2z 55 0} M ( x, y, z ) / 3x 6x 3y 3z 30z 30 0 P = = { } Q = = 2 8 R = ( ) = M x, y, z / x x y y z 2z { M ( x, y, z ) / x 7x y 8y z z 47 0} ( ) T = = { M x, y, z / 4x 24x 4y 4y 4z 8z 41 0} U = = D) EQUATIONS D UN PLAN ET D UNE DROITE 44) Déterminez ne éqation cartésienne et n système d éqations paramétriqes d plan passant par le point A( 3;1; 2) et de vecters directers et 1 v ) Déterminez ne éqation cartésienne et n système d éqations paramétriqes d plan passant par les points P ( 5; 3; 7), Q( 0; 2; 9) et R ( 5;0;0) ) 46) Soient (Ox), (Oy) et (Oz) les trois axes d n R.O.N. d origine O, a, b et c les bissectrices des angles yoz, xoz et xoy respectivement. Déterminez les éqations cartésiennes : a) des plans (xoy), (yoz) et (xoz). b) d plan π 1 contenant a et (Ox). c) d plan π 2 contenant b et (Oy) d) d plan π 3 contenant c et (Oz)

53 47) Dans n repère de l espace on donne les points A ( 3; 1; 2), B( 1;2; 3), C( 0; 3; 1) D( 7;10;13) et E ( 4; 5;1). a) Vérifiez qe A, B et C ne sont pas alignés. b) Les points D et E appartiennent-ils a plan (ABC)? 48) Les points K ( 2;1;0 ), L( 1; 2; 1), M ( 0;1; 2) et P ( 2; 5; 4) sont-ils coplanaires? 49) Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 3; 4;1) et parallèle a plan π donné par le système d éqations paramétriqes : x = 1+ α β π y = α + β z = 2 + α 50) Trovez n système d éqations paramétriqes d plan d éqation cartésienne : π x 2y + z = 1. 51) Trovez ne éqation cartésienne d plan donné par le système d éqations paramétriqes : x = 3+ 2α + β π y = 1 α + 3β. z = 5 3α 52) Analysez si parmi les plans sivants donnés par lers éqations cartésiennes il y en a qi sont orthogonax : π1 2x 7y 2z + 1 = 0 π2 4x 2y + 11z 5 = 0 π3 x + 13y + 2z + 37 = 0 53) Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 2; 5; 7) et parallèle a plan π 3x 5y + 7z 4 = 0. 54) Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 2; 5; 7) et parallèle a plan (ABC) avec A ( 2;1; 3), B( 1; 2; 4) et ( ) C 1;0;1. 55) Déterminez n système d éqations paramétriqes et n système d éqations cartésiennes : 3 a) de la droite passant par A ( 5; 2; 3) et de vecter directer 1. 8 b) de la droite passant par A ( 1; 4;3) et par B( 0;1; 2) c) des axes (Ox), (Oy) et (Oz)..,

54 56) Déterminez n système d éqations paramétriqes de la droite d orthogonale a plan π x 2y + z = 1 et passant par le point P ( 2;1; 1). 57) Analysez si les droites d et d sont parallèles avec : x = 2k + 1 d y = k 1 z = 3k + 2 et 6 x = k d ' y = k 7 9 z = k ) Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 1; 2;3) et contenant la droite x = 3 + k d y = 2 k. z = 1 + 2k 59) Déterminez n système d éqations cartésiennes de la droite d passant par le point P ( 3; 1; 4) et parallèle à la droite x = α 1 d ' y = 2α + 2. z = α ) On donne les points A ( 3; 2; 1), B( 1; 2;1), C( 5; 6; 3) et ( ) a) Les points C et D appartiennent-ils à la droite (AB)? D 6;8; 4. b) Le point T appartient à la droite (AB) et son abscisse vat 4. Calclez ses atres coordonnées. 61) On donne la droite 2x 3y + 5z = 7 d x + 2y 7z = 0 et le plan π x y + z = 5. La droite d perce-telle le plan π? Si oi en qel point? 62) Déterminez l intersection des droites x = k 1 x + y z = 6 d et d ' y = 2k. 2x y + 6 = 0 z = 2 x = k 1 x = 1+ α + β 63) Déterminez l intersection de la droite d y = 3 + 2k et d plan π y = 2 + 3α. z = k z = 3 α β