OSCILLATEURS MÉCANIQUES

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1 OSCILLATEURS MÉCANIQUES I ) Etude du pendue sipe ) Définition Un pendue pesant est constitué d'une asse suspendu à un fi inextensibe ou une tige. ) Eongation et vitesse Lors des osciations d'un pendue, a position est repérée par 'écart anguaire θ avec a position d'équiibre. Pour de tes ouveent, on utiise a vitesse anguaire θ dθ ou v 3) Loi horaire du ouveent Dans e cas d'osciations non aorties et pour une apitude pas trop iportante (θ < 6 ) on observe des osciations sinusoïdaes. L'éongation anguaire est de a fore : θ t ) θ cos ( t + ) ( Avec θ : apitude anguaire du ouveent (vaeur axiae de 'éongation anguaire) : phase à 'origine : Pusation des ouveents La période et a pusation sont iés par a reation π T

2 4) Période des osciations On observe que a période des petites osciations est indépendantes de a asse du pendue. T π ainsi g g Ee ne dépend que de a ongueur du pendue. 5) Aspect énergétique a) Energie cinétique L'énergie cinétique d'un pendue est donnée par a reation : E C v θ dθ b) Energie potentiee Lors des osciations d'un pendue, i y a variation de 'énergie potentiee de pesanteur. Si 'on choisit E P ors du passage à a position d'équiibre, 'énergie potentiee de pesanteur du pendue est donnée par : θ E P gh g ( - cos θ) h E P c) Energie écanique L'énergie écanique du pendue est égae à a soe de 'énergie cinétique et de 'énergie potentiee. E E P + E C E θ + g ( - cos θ) S'i n'y a pas de frotteents, 'énergie écanique du pendue se conserve

3 II ) Etude des osciations ibres du pendue éastique horizonta ) Dispositif On dispose d un soide S fixé sur une tige rigide à un ressort de raideur k. A a position d équiibre e ressort n est pas tendu, e soide est écarté de cette position d une distance A. I se et à oscier, on pare aors d'osciations ibres car aucun opérateur extérieur n'intervient sur e soide. A instant t, a position du soide est repéré par son abscisse x ) Equation différentiee du ouveent Dans e référentie terrestre supposé gaiéen, e systèe {soide} est souis à 3 forces : e poids, a réaction du support et a tension du ressort. La tension du ressort est donnée par : T - k x i ( i étant un vecteur unitaire) D après e théorèe du centre d inertie, on a : P + R + T a En projetant sur axe x x, on obtient : - k x a or a d²x ² ainsi : - kx d²x ² ou d²x ² - k x Ceci constitue équation différentiee du ouveent. Cette équation différentiee est de a fore d²x ² - ² x avec k est appeé pusation propre du ouveent.

4 3) Equation horaire du ouveent Cette équation différentiee caractérise un osciateur haronique de pusation et de période propre T tee que : π T La soution de cette équation différentiee est de a fore x X cos ( t + ) π k Vérification dx si x X cos ( t + ), on aura - X sin ( t + ) et d²x - X ² cos ( t + ) - ² x Déterination de X et X et sont déterinés seon es conditions initiaes (position et vitesse à a date t ) er cas : Si 'on choisit t orsque 'on âche e soide à t, on aura : x x A v ainsi : A X - X cos sin Si A > on aura cos > et sin d'où et A X L'équation horaire est donc de a fore x A cos t èe cas : Si 'on choisit t ors du preier passage à a position d'équiibre. à t, on aura : x x v avec v ainsi : X - X cos sin < < Si A > on aura cos et sin > d'où (e passage se fait en sens contraire du sens positif ) π v et X - A L'équation horaire est donc de a fore x A cos t + π

5 4) Expressions de a vitesse et de accéération si x X cos ( t + ) L expression de a vitesse est donc v dx - X sin ( t + ) Rearque : 'éongation x et a vitesse v varient toujours en sens contraire, quand 'une croît 'autre décroît et inverseent. Ces deux fonctions sont décaées d'un quart de période, on dit qu'ees sont en quadrature de phase. dv d²x Pour accéération, on obtient : a - X ² cos ( t + ) ² 5) Etude énergétique a) Energie potentiee éastique Le ressort restant horizonta durant tout e dépaceent, i n'y a pas de variation de 'énergie potentiee de pesanteur, e niveau de référence sera choisi de anière à ce que cette énergie potentiee de pesanteur soit nue durant toute 'expérience. L'énergie potentiee du systèe {ressort + soide} sera égae à 'énergie potentiee éastique du ressort donnée par a reation : Ep k x² k X ² cos ² ( t + ) b) Energie cinétique du soide Ee est donnée par : Ec v² X ² ² sin ² ( t + ) c) Energie écanique L'énergie écanique du systèe {ressort + soide} sera donnée par : E E p + Ec k X² cos ² ( t + ) + X² ² sin ² ( donc E k X² cos ² ( t + ) + k X² sin ² ( t + ) car t + ) k et E k X² ( cos ² ( t + ) + sin ² ( t + ) ) E E P + E c k X ²

6 L énergie écanique est constante, e systèe conserve donc énergie écanique. 6) Autre déonstration de 'équation différentiee Dans un systèe conservatif, i y a conservation de 'énergie écanique Donc E E P + E C Constante de de p dec D'où + de E P kx donc P dx k x E C v donc de C dv v d x dx dx d x dx On obtient aors : k x + dx d x Et k x + dx n'est pas nu à tout instant (i n'y aurait pas de ouveent si a vitesse était nue à tout instant) d x d x k donc k x + et - x III ) Etude d un osciateur écanique aorti. ) Définition On pare d'osciateur aorti orsqu'i y a perte d'énergie du systèe en osciations. Cette perte d'énergie est due à des frotteents. ) Equation différentiee On considère e êe dispositif ais sur eque s exerce une force de frotteent f tee que f - λ v λ est appeé coefficient de frotteent D après e théorèe du centre d inertie, on a : P + R + T + f a En projetant sur axe x x, on obtient : - d où d²x ² + λ dx λ + k x dx - k x d²x ²

7 Cette équation différentiee ne caractérise pas un osciateur haronique, seon iportance des frotteents, deux cas sont possibes. er cas : frotteents faibes ee cas : frotteents iportants On observe un phénoène pseudopériodique On observe un phénoène apériodique IV) Entretien des osciations On peut entretenir un osciateur aorti en ui fournissant continueeent de 'énergie. Exepes : - réguation des horoges - ontres à quartz

8 V) Osciations forcées - Résonance ) Régie forcé Un osciateur écanique est en régie forcé si un excitateur ui ipose une fréquence f de vibration (qui ne coïncide pas en généra avec sa fréquence propre f ) ) Résonance Lors d'osciations forcées, on dit qu'i y a résonance orsque a puissance transise par 'excitateur est axiae. Cea se produit orsque a fréquence f des osciations forcées coïncide avec a fréquence f de 'osciateur écanique ibre. L'apitude du dépaceent de 'osciateur écanique est aors axiae. x L'aure de a courbe donnant es variations de 'apitude en fonction de a fréquence excitatrice est a suivante : x R 3) Bande passante - Facteur de quaité O f R f f On appee bande passante à 3 db, a argeur de 'intervae de fréquences pour esquees x R x > x R x La bande passante est : f f - f x R La bande passante se déterine souvent graphiqueent. O f f R f f Le facteur de quaité Q est donné par a reation Q Le facteur de quaité traduit 'acuité de a résonance. f f