THESE MODELISATION ET OPTIMISATION DU COMPORTEMENT SOUS CHARGE DES ENGRENAGES FACE

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1 N d ordre 0 ISAL 0045 Année 00 THESE Préentée devant L INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR Formation doctorale : Génie Mécanique Ecole doctorale : Ecole doctorale de mécanique, énergétique, génie civil et acoutique (MEGA) de Lyon Par Colin-Yann JACQUIN Ingénieur INSA de Lyon MODELISATION ET OPTIMISATION DU COMPORTEMENT SOUS CHARGE DES ENGRENAGES FACE Soutenue le 6 octobre 00 devant la Commiion d examen Jury Mme M. GUINGAND Maître de conférence (INSA de Lyon) MM. G. DEGALLAIX Profeeur (Ecole Centrale de Lille) Préident J.P. De VAUJANY Maître de conférence (INSA de Lyon) J.P. LALLEMAND Profeeur (Faculté de Poitier) Rapporteur P. MARET Ingénieur (Eurocopter) D. PLAY Profeeur (INSA de Lyon) A. POTIRON Profeeur (ENSAM d Anger) Rapporteur M. SARTOR Profeeur (INSA de Touloue) Cette thèe a été réaliée au Laboratoire de Conception et Analye de Sytème Mécanique de l INSA de Lyon

2 Avant propo Cette étude a été effectuée au Laboratoire de Conception et Analye de Sytème Mécanique (CASM) de l Intitut National de Science Appliquée de Lyon, ou la direction de Monieur le Profeeur D. PLAY, que je tien à remercier pour m avoir accueilli dan on laboratoire et fait confiance pour mener à bien ce travaux de recherche. Je tien à exprimer ma plu incère reconnaiance à Michèle GUINGAND et Jean-Pierre de VAUJANY, Maître de Conférence à l INSA de Lyon qui m ont guidé et outenu tout au long de ce travail. Cette thèe incrivant dan le cadre du contrat de recherche européen Brite-Euram FACET, je ouhaite remercier tou le partenaire de ce projet, et particulièrement Monieur R. RUHLAND, Ingénieur à ZF Friedrichhafen, pour a précieue collaboration. Je ui honoré de l attention que Meieur le Profeeur J.P. LALLEMAND, de la Faculté de Poitier, et A. POTIRON, de l ENSAM d Anger, ont porté à mon travail en tant que rapporteur et membre du jury. Je remercie également Meieur le Profeeur G. DAGALLAIX, de l Ecole Centrale de Lille, et M. SARTOR, de l INSA de Touloue, aini que Monieur P. MARET, Ingénieur à EUROCOPTER, d avoir accepté d être membre du jury. Enfin, j adree me remerciement à toute le peronne, qui de manière directe ou indirecte, ont contribué à l aboutiement de ce travail. Parmi eux, un remerciement particulier à l enemble de membre du laboratoire CASM, Damien, Concetta, Sandrine, Adeline, Jarir, Lionel, Didier, Chritophe, Jean, Yvan, pour leur ympathie, leur aide et leur outien. Merci à Anne.

3 Introduction générale Dan le domaine aéronautique, et notamment au niveau de rotor d'hélicoptère, le engrenage utilié ont de géométrie complexe, pouvant être compoée de jante et de voile ouvent mince et ouple. Il doivent en plu upporter de charge importante. Aini le déformation ubie par le différent compoant ont importante et le comportement ou charge diffère ouvent du comportement à vide ou à faible puiance. En l abence de tout modèle numérique, la conception et la mie au point de rotor d'hélicoptère néceitent la fabrication de pluieur prototype teté enuite dan le condition de fonctionnement. La modéliation du comportement ou charge de engrenage et le développement de logiciel de imulation, deviennent alor eentiel pour le phae de conception. Cette modéliation doit allier rapidité de calcul et préciion de réultat, tout en permettant la prie en compte de la géométrie complexe mai réelle de engrenage. Différent type d'engrenage ont été étudié depui de nombreue année. Le approche et méthodologie utiliée ont variée, mai claiquement le étude ont effectuée en troi étape ditincte : - Définition de la géométrie, - Cinématique à vide, - Comportement ou charge. Bien que le logiciel de imulation actuel, notamment le modéliation par élément fini, oient trè performant, il ne atifont pa pleinement le critère de rapidité et de préciion exigé en aéronautique pour le rotor d'hélicoptère, et ne ont généralement pa adapté à l étude de engrenage. Aini, comme il n'exite pa à l'heure actuelle de modéliation complète et précie connue de engrenage face, elle a dû être totalement développée dan le cadre de cette thèe. Son utiliation a enuite permi différente exploitation cientifique qui ont abouti à un gain de compréhenion au niveau du comportement de engrenage face et à la mie au point d un proceu de conception optimal. 3

4 Introduction générale Un engrenage face (Fig. ) et compoé d'un pignon cylindrique droit ou hélicoïdal à profil en développante de cercle engrenant avec une roue plate. Cette roue plate et généralement taillée par un outil pignon également à développante de cercle. Figure : Engrenage face hélicoïdal (Facet) Un engrenage face et caractérié par on pignon, a roue et leur poitionnement relatif. Le pignon cylindrique et défini d'une manière claique [8], la roue face et caractériée notamment par on nombre de dent, on rayon intérieur L et on rayon extérieur L (Fig. ). Le axe du pignon et de la roue peuvent être concourant ou décalé d'un offet et l'angle de tête γ qu'il définient peut prendre différente valeur (Fig. et 3). L L γ Figure : Engrenage face vue de face 4

5 Introduction générale L ω L Offet ω Figure 3 : Engrenage face vue de deu La particularité de roue face provient de leur mode de production. Le taillage de roue (Fig. 4) et effectué avec un outil pignon dont la géométrie et imilaire à celle du pignon qui era utilié enuite lor de l'engrènement. Figure 4 : Viualiation du taillage d'une roue face (Facet) L'outil de taillage peut avoir le même nombre de dent que le pignon ou un nombre de dent upérieur (en général de à 3 dent en plu). Cette particularité de taillage a de conéquence directe, à la foi ur la géométrie et la cinématique de engrenage face. 5

6 Introduction générale La géométrie et limitée par deux phénomène géométrique ditinct aux rayon intérieur et extérieur (Fig. 5) : - Le "pointing" ou pointe au rayon extérieur : l'épaieur en tête de dent de la roue face devient nulle, - L'"undercutting" ou interférence de taillage au rayon intérieur : le urface active et trochoïde ne ont plu tangente et une dicontinuité apparaît ur la urface de denture. Pointing Undercutting Figure 5 : Viualiation du Pointing et de l'undercutting Au niveau de la cinématique, deux ca de contact ont claiquement ditingué en fonction du nombre de dent relatif de l'outil et du pignon (Fig. 6) : - Ligne de contact lorque le pignon et l'outil ont le même nombre de dent, - Point de contact lorque l'outil a un nombre de dent upérieur à celui du pignon. Figure 6 : Viualiation de point ou ligne de contact ucceif au cour de l'engrènement 6

7 Introduction générale Le engrenage face ont utilié depui un certain temp dan de application plu ou moin optimiée (cf. Annexe I). Il permettent d'imaginer pluieur architecture de mécanime, notamment pour le partage et la tranmiion de couple mécanique. Mai aujourd'hui, le problème conite à formalier la définition de tel engrenage elon le proceu déjà mentionné : - Définition de la géométrie initiale iue de condition de fabrication, un modèle numérique proche de la réalité peut aini être propoé. Il 'agit de mettre en place de méthode géométrique adaptée à la foi au problème technologique poé et aux condition de imulation numérique et informatique actuelle. - Cinématique à vide correpondant à la imulation du fonctionnement an aucune charge appliquée. Il 'agit d'expliciter dan le détail de fonctionnement de cinématique complexe. - Comportement ou charge dont l'objet et de déterminer le partage de charge entre le denture en contact. Il 'agit de faire une étude de multi contact où le apect micro géométrique de zone de contact et macro géométrique de volume de pièce doivent être relié. Aini cette thèe, aprè un chapitre de bibliographie, préentera au chapitre le modèle de imulation développé, au chapitre 3 a validation et aux chapitre 4 et 5 on exploitation cientifique. Le travail qui et préenté ici 'intègre dan un programme de recherche européen Brite Euram FACET. Ce programme et réalié avec 9 partenaire européen (6 indutriel : GKN Wetland Helicopter Ltd, Aguta SpA, Eurocopter (France), ZF Luftfahrttechnik GMBH, ZF Friedrichhafen AG, Reihauer AG et 3 univeritaire : Politecnico di Milano Werkzeugmachinenlabor RWTH Aachen, INSA de Lyon). Il a été initié par le laboratoire CASM et Eurocopter à partir de travaux préliminaire de thèe de C. Toma fait au laboratoire. 7

8 Chapitre Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Etude théorique. Premier travaux Le première étude ur le engrenage face ont été effectuée par B. Bloomfield [39] à partir de année 950. Il a donné la première définition de engrenage face : "c'et une roue dont le dent ont dan un plan normal à on axe qui engrène ur un pignon droit en développante de cercle; le axe de la roue face et du pignon ont perpendiculaire". L'engrenage et dit "centré" i le axe du pignon et de la roue ont concourant ou "avec offet" dan le ca contraire. Bloomfield fait le première obervation de propriété importante de engrenage face : - Le déplacement du pignon le long de on axe n'a pa d'influence ur l'engrènement, - Le point de contact ur le pignon varie du diamètre intérieur au diamètre extérieur de la roue face, - La roue face a un angle de preion variable du diamètre intérieur au diamètre extérieur. Afin d'étudier le fonctionnement d'un engrenage face, Bloomfield l'a modélié comme une ucceion de roue de friction de largeur étroite, ayant de rayon égaux aux rayon primitif de la roue et du pignon repectivement (Fig..). 8

9 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Figure.: Roue de friction modéliant l'engrenage face [39] Buckingham [0] a enuite propoé une méthode d'approximation analytique de la géométrie de engrenage face. Le urface primitive étant de cône, il traite le engrenage face comme le engrenage conique. Pour développer de équation analytique permettant d'obtenir la géométrie de la roue face, Buckingham procède en deux étape ditincte. Dan un premier temp, il fait une approximation de la géométrie en modéliant la roue par une crémaillère dont l'angle de preion et le rayon primitif ont variable en fonction de la ditance au centre de la roue face. Il obtient aini de équation analytique pour la partie active et pour la trochoïde. En faiant varier la valeur de rayon primitif, il obtient une approximation de profil de dent de roue face (Fig..). Figure.: Profil de dent obtenu avec la méthode d'approximation de Buckingham [0] 9

10 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face La deuxième étape de cette méthode conite a définir le profil exact de la dent de la roue face. Buckingham utilie la même méthode que précédemment en remplaçant la crémaillère par un pignon cylindrique droit. Il obtient aini de contour qui lui permettent de déduire graphiquement le profil de dent (Fig..3). Figure.3: Profil de dent obtenu avec la méthode exacte [0] Franci [59] définit alor de nombreue géométrie de roue face et fournit alor de abaque pour déterminer le rayon d'interférence de taillage et de pointe en fonction de l'angle de preion et du module de taillage pour de engrenage face droit. Ce abaque ont encore approximatif et limité à de ca préci, mai elle permettent déjà de concevoir rapidement de couple d'engrenage face. Figure.4: Abaque de Franci [59] En Europe, d'important travaux ont été mené à ELASIS Aeronautical Centre (Brindii, Italie) par Schip [03] pour valider l'introduction de ce type d'engrenage dan le tranmiion d'hélicoptère et de étude théorique et expérimentale ont été effectuée à UCN Aeropace (Almelo, Hollande) par Hermen [67]. En Aie, Ihii [68] 'et intéreé à la poibilité de tailler de engrenage face avec de machine CNC. L'utiliation de méthode de taillage utiliée habituellement pour tailler de engrenage roue et vi permet de diminuer la rugoité de urface et le temp néceaire pour tailler une roue face. Enfin aux Etat-Uni ce ont urtout le premier travaux de Litvin [80] [86] ur le ujet qui ervent de référence aux étude actuellement entreprie. 0

11 & & Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face. Etude théorique fondamentale Ce n'et qu'à partir de année 90 que de étude plu approfondie ur le engrenage face ont débuté. Le premier travaux le plu important on été effectuée en Hollande par Crown Gear aini qu'aux Etat-Uni par Litvin et la NASA à traver le programme de recherche Advanced Rotorcraft Technology (ART)... Théorie de Litvin Litvin et l'un de premier à avoir vraiment poué l'étude théorique de engrenage face. Il traite le problème de manière complètement analytique [] [83]. A partir de équation paramétrique qui définient l'outil de taillage de la roue face, Litvin imule l'engrènement entre cet outil et la roue. En recherchant tou le point de contact de cet engrènement, il obtient de équation paramétrique qui définient analytiquement la roue face. Cette méthode repoe eentiellement ur l'utiliation de l'équation d'engrènement : n. V = 0 & où V et la vitee relative entre le urface de l'outil et de la roue face au point de contact au moment du taillage et n le vecteur unitaire normal à ce urface. Cette équation era utiliée par la uite et décrite en détail au chapitre. Litvin a également développé de équation qui permettent d'obtenir le diamètre intérieur minimum théorique, à avoir la limite d'interférence de taillage, aini que le diamètre extérieur maximum théorique, à avoir la pointe de la dent. Il a également développé de abaque et de formule imple qui permettent de déterminer rapidement le diamètre de la roue face à partir de caractéritique du pignon et du rapport de tranmiion (Fig..5) [87]. Figure.5: Exemple d'abaque pour déterminer le rayon minimum [87]

12 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Litvin étudie enuite la cinématique à vide de engrenage face en imulant toujour de manière analytique l'engrènement de la roue face et du pignon. Dan e première publication ur le engrenage face, Litvin préconiait plutôt l'emploi d'un outil de taillage avec un nombre de dent upérieur à celui du pignon afin d'obtenir un contact ponctuel à vide et donc localié ou charge. Il a même développé de formule analytique permettant de déterminer la taille de l'ellipe de contact ou charge à partir de rayon de courbure et de déformation élatique uppoée connue. Ce n'et que récemment [83] qu'il a étudié plu en détail la poibilité d'utilier un outil de taillage ayant le même nombre de dent que le pignon. Dernièrement [], il préconie même ce ca en le couplant à une correction de bombé effectuée ur le pignon. Aini le contact et toujour localié et le fait de partir ur une bae de contact linéaire permet d'obtenir de ellipe de contact plu grande. Cette méthode, à la bae du travail préenté dan ce mémoire, et développée plu en détail dan le chapitre. Cette méthode et trè théorique, en conidérant par exemple toujour le pignon cylindrique comme une développante de cercle imple, an prendre en compte toute le modification poible (déport, correction de profil,..)... Approche de Crown Gear Le travaux de recherche ont débuté chez Crown Gear en Hollande dè 990. Batein et Sijttra [3] font le point ur leur réultat aprè troi année de recherche. Crown Gear modélie le engrenage face en conidérant la roue imilaire à une crémaillère (comme Buckingham [0]) dont l'angle de preion erait variable en fonction du rayon conidéré (Fig..6). Figure.6: Modéliation d'une roue face par une crémaillère [3] L'utiliation de valeur extrême de angle de preion du pignon permettent de définir le limitation géométrique de la roue face (Fig..7), aini que la cinématique à vide de engrenage face. La géométrie précie de la roue face et toutefoi définie à l'aide de méthode développée par Litvin.

13 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Figure.7: Limitation géométrique d'une dent de roue face [3] Crown Gear conidère toujour de ca de contact linéaire entre le pignon et la roue (outil et pignon avec le même nombre de dent). Cela leur permet de définir un rapport de conduite variable elon la largeur de denture. En effet ur la figure.8, le ligne de contact ont été repréentée avec un intervalle de temp tel que 0 ligne de contact repréentent un rapport de conduite de. Il uffit enuite pour chaque rayon de la roue de compter le nombre de ligne pour connaître le rapport de conduite local. Le rapport de conduite global correpond au nombre total de ligne de contact. Aini ur la figure.8, le rapport de conduite local varie de 0.9 à. du rayon intérieur ver le rayon extérieur, et le rapport total et de.9. Figure.8 : Ligne de contact ur une roue face et un pignon [3] Le contact décrit précédemment ont de contact linéaire et ont en théorie trè enible aux déalignement. Pour obtenir un contact localié, deux méthode ont poible : oit il faut utilier un outil de taillage ayant un nombre de dent upérieur au pignon, oit il faut effectuer de correction de bombé ur le pignon. Crown Gear préconie la econde méthode, car elle 'adapterait mieux aux condition d'engrènement [3]. Crown Gear détermine enuite le contrainte en pied de dent aini que le contrainte due au contact hertzien à l'aide de la norme DIN 3990 relative aux engrenage cylindrique adaptée aux engrenage face en corrigeant certain facteur grâce a une modéliation par élément fini. Pour finir, le champ de preion ur le ligne de contact et calculé numériquement en tenant compte de la raideur de dent, de la torion du pignon, de déformation de Hertz, de la flexion de arbre, d'éventuelle erreur de taillage ou de montage, aini que de correction de bombé ur le pignon. Aucune préciion n'et apportée ur la méthode utiliée ni ur le réultat obtenu, mai ce réultat ont apparemment utilié pour optimier le capacité de charge et réduire le bruit d'engrènement [3]. 3

14 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Le réultat iu de ce travaux de recherche ont difficilement exploitable puique le publication et explication ont aez rare. Crown Gear affirme maîtrier tou le paramètre de conception et fabrication de engrenage face, mai ou couvert de brevet et ecret commerciaux, aucune préciion n'et diponible. Le communication le plu récente de Crown Gear faite par Baatein [3] ne montrent pa de nouveaux réultat théorique, et ne donnent pa de détail upplémentaire. La technologie de fabrication de engrenage face développée par Crown Gear et indéniable, mai il et difficile de avoir i le méthode de conception ont totalement baée ur de théorie précie où i il rete encore quelque paramètre déterminé empiriquement et baé ur l'expérience que Crown Gear 'et forgée durant ce 0 dernière année...3 Autre contribution Le méthode développée par Litvin ont été utiliée dan différent travaux ur le engrenage face. Zhang et Wu [] [3] le ont étendue au ca de engrenage face droit avec offet. Le profil de dent obtenu avec un offet ont aymétrique (Fig..9). Zhang et Wu ont étudié l'influence de l'offet ur la géométrie de dent de la roue face. Le phénomène de pointe et d'interférence de taillage ont déplacé ver de rayon plu grand avec une augmentation de l'offet. Le diamètre intérieur et extérieur augmentent tou le deux, mai l'augmentation du diamètre intérieur et plu rapide que celle du diamètre extérieur, et la largeur de denture diminue donc. Zhang et Wu ont également développé de abaque pour un dimenionnement rapide de roue face avec offet à partir de caractéritique du pignon. Figure.9: Profil de dent pour différent offet [] 4

15 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Chakraborty et Bhadoria [43] ont développé de formule empirique de conception pour le dimenion extrême de roue face à partir de la méthode analytique et de abaque de Litvin [87]. Pour le engrenage face dont le axe ont perpendiculaire et pour le pignon cylindrique droit, il et alor poible d'obtenir le rayon intérieur minimal aini que la largeur de denture maximale uniquement à partir du nombre de dent du pignon et du rapport de tranmiion. Chang et Chung ont utilié la géométrie développée par Litvin pour étudier le phénomène d'interférence de taillage et de pointe [49], aini que la cinématique à vide [45] pour étudier l'erreur de tranmiion à vide [44], [50] (Fig..0), et l'influence de quelque erreur de montage. Figure.0 : Erreur de tranmiion à vide [45] Roth [5] propoe également une méthode analytique baée ur de conidération géométrique et l'utiliation de la norme DIN 867 pour définir la géométrie de roue face. L'utiliation de norme relative aux engrenage cylindrique ne permet toutefoi pa d'obtenir de réultat trè préci. Une norme relative aux engrenage face droit engrenant avec de pignon d'angle de preion égal à 0 a été propoée (AGMA 03.03). Suite aux récent travaux effectué ur le engrenage face, cette norme 'et avérée dépaée et a pour l'intant été retirée. Toma [7] [] a défini numériquement de profil de dent de roue face. Elle a développé une méthode d'approximation de l'enveloppe de la trajectoire de l'outil en pline cubique (Fig.. et.) qui lui permet d'obtenir de profil de dent pour de roue générée avec de outil cylindrique droit, avec et an offet. 5

16 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face [m] Z f" [m] Z f" point outil-pignon (poition initiale) X f" Figure. : Enveloppe de la trajectoire de l'outil [7] [m] X f" Figure. : Proceu de taillage d'une dent de roue face [7] [m] Suite à tou ce travaux ur la géométrie et la cinématique à vide, Barone [34] emble être l'un de premier à 'intéreer à la modéliation ou charge de engrenage face. Il a utilié une modéliation par élément fini couplée à un logiciel de CAO. L'utiliation d'élément de contact entre le deux olide, pui une réolution non-linéaire par élément fini permet de déterminer le contrainte due aux preion de contact. Cette technique n'et pour l'intant pa encore trè concluante, dan le en où elle requiert une définition trè précie de la géométrie, pécialement au niveau de la zone de contact, ce qui emble difficile à obtenir avec le logiciel par élément fini actuel (l'approximation de la géométrie par le élément fini ne permet pa de modélier aez préciément la zone de contact), ou alor il faudrait appliquer une finee de maillage qui induirait de temp de calcul prohibitif. 6

17 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Etude expérimentale Depui 990, le étude théorique effectuée ur le engrenage face ont ouvent été couplée avec de étude expérimentale. Par exemple, différente méthode de taillage de engrenage face ont été étudiée chez Crown Gear afin d'optimier le taillage de roue face [3]. Le taillage à la fraie mère emble être pour eux la meilleure olution à l'heure actuelle car le proceu de taillage et continu et offre une meilleur qualité de urface. Un proceu de taillage à l'outil-pignon uivi d'une rectification et actuellement en cour d'étude. Le campagne d'eai le plu pouée ont été effectuée à la NASA à traver le programme de recherche Advanced Rotorcraft Technology (ART) et d'autre ont actuellement en cour en Europe à traver le programme de recherche Facet. Le programme de recherche Américain ART et un vate programme de recherche mené par la NASA en collaboration avec Boeing Helicopter Company, Sikorky, Mc Donnel Dougla Helicopter et Bell Helicopter Textron. Au ein du programme ART, l'un de objectif annoncé et de réduire de 5% le poid de tranmiion par engrenage de hélicoptère (Handhuh [66]) et de 0 db leur niveau de bruit tout en atteignant un minimum de 5000 heure de MTBR (Mean Time Before Removal). Dan le cadre de ce programme, Mc Donnel Dougla Helicopter a choii d'étudier une configuration de partage de couple incluant de engrenage face (Fig..3). Figure.3 : Tranmiion planétaire imple avec deux étage de diviion de couple [66] La partie d'analye et de conception a été baée ur le travaux de Litvin [9], [0], [], et effectuée en collaboration avec lui [8], [8], [84], [85]. Différent eai ont enuite été entrepri par la Naa à partir de 99 ur le engrenage face (Boler [4]). Le banc d'eai utilié par la NASA [66] pour étudier expérimentalement le engrenage face, fonctionne en boucle fermée de puiance avec une utiliation du moteur uniquement pour compener le perte du ytème. La figure.4 préente cette configuration d'eai. 7

18 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Figure.4 : Banc d'eai pour le engrenage face [66] Le couple tranmi peut être ajuté en jouant ur le déplacement axial du couple d'engrenage hélicoïdaux. Deux enemble d'engrenage face ont teté imultanément. La partie gauche (ection active d'eai) fonctionne en réducteur et imule le condition de fonctionnement ur la tranmiion de l'arbre principal. La partie droite (ection eclave d'eai) permet de fermer la boucle de puiance grâce aux deux pignon monté ur un arbre commun. Dix enemble roue face-pignon (rapport de réduction 3,8) ont été teté ur 30 million de cycle du pignon avec une vitee de rotation (00%) de 900 tr/min et un couple (00%) de 67,8 N.m. Neuf roue face ur dix ont upporté le tet à 00% de charge et de vitee. Quatre enemble ont upporté 00% de charge aprè avoir atteint 30 million de cycle à 00%. Un enemble de roue nitrurée a même accumulé 68 million de cycle à 00% de charge pui plu de 30 million à 00% an atteindre la limite de rupture. Ce eai ont donc démontré la capacité de engrenage face à travailler dan de bonne condition à grande vitee tout en tranmettant une forte puiance. Ce premier réultat (Handhuh [66]) ont démontré la capacité de engrenage face à aurer un rôle identique à celui de piro-conique dan le tranmiion de grande puiance à grande vitee. Lor de ce eai, une étude ur le mécanime de rupture de engrenage face a également été menée. Le réultat ont montré la néceité d'une rectification car la qualité de urface due au proceu de fabrication et un de principaux défaut de engrenage face. Une deuxième campagne d'eai a été effectuée afin de mettre au point le technique de rectification de engrenage face (Chen [47]) et de démontrer le réelle capacité de engrenage face lorque le proceu de fabrication et de rectification et complètement maîtrié (Lewicki [77]). 8

19 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face 3 Modéliation du comportement ou charge de engrenage Bien qu'étudié expérimentalement, le comportement ou charge de engrenage face n'a quant à lui pa encore vraiment été modélié de façon précie, ni publié. Il et donc néceaire dan un premier temp, de faire un bilan de différente méthode utiliée pour étudier le comportement ou charge de différent type d'engrenage. Ceci permettra de déterminer la meilleure approche pour développer la modéliation ou charge de engrenage face. L'étude de la modéliation numérique du comportement ou charge de engrenage fait apparaître troi apect complémentaire : le modèle doivent prendre en compte le comportement élatique de couple d engrenage, le contact entre le pignon et la roue, et le partage de la charge entre le différente dent en prie imultanément. Le étude effectuée dan ce domaine ur différent type d'engrenage montrent une grande diverité de méthode utiliée pour modélier le comportement. Notamment, certaine modéliation découplent le différent effet, d'autre modélient le comportement dan a globalité. Il convient donc d'étudier d'abord dan un premier temp le méthode 'intéreant à un eul effet, pui le méthode globale. Le différente méthode, ouvent complexe, ne eront décrite ici que brièvement. 3. Modéliation du comportement élatique 3.. Méthode de Elément Frontière Celik [4] modélie le comportement élatique de engrenage cylindrique droit en utiliant la méthode de élément frontière. Il utilie deux modèle ditinct : le premier ne modélie que troi dent de l'engrenage, le econd l'engrenage complet (Fig..5). (a) : Modèle à troi dent (b) : Modèle complet de l engrenage Figure.5 : Modèle utilié avec la méthode de Elément Frontière [4] 9

20 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Pour le deux modèle utilié, la déflection et le répartition de contrainte de Von Mie dan le dent ont été comparée avec de réultat expérimentaux. La différence entre le réultat expérimentaux et imulé et comprie entre.5 % et 5 %, ce qui montre la trè grande préciion de cette modéliation. Par contre cette méthode demande de temp de calcul trè important pour converger, et et aez lourde car il faut faire autant de calcul qu il y a de poition cinématique voulue. 3.. Méthode de Prime Fini De Vaujany [], Kim [8] et Olakorédé [3] utilient la méthode de Prime Fini (Fig..6) pour étudier le comportement élatique de engrenage cylindrique droit et hélicoïdaux. Cette méthode et employée par le logiciel "PRINCE", développé au laboratoire CASM pour étudier le comportement ou charge de engrenage cylindrique. L'intérêt de cette modéliation vient du fait que la formulation générale en 3 dimenion e réduit à une réolution du problème en dimenion. Aini le déplacement ne ont pa modélié de la même manière dan toute le direction : la fonction de déplacement et obtenue à partir de deux fonction polynomiale dan le deux direction du plan apparent et de fonction érie dan la troiième direction (largeur de denture). Figure.6 : Méthode de Prime Fini [] Cette méthode et trè intéreante au niveau du temp de calcul qui et beaucoup plu faible que celui d une méthode claique par Elément Fini 3D et au niveau de la mémoire néceaire qui et également plu faible (repectivement 80 foi plu rapide et 6 foi moin de mémoire néceaire). L'inconvénient majeur vient par contre du fait que la géométrie de l'engrenage ne doit pa varier elon une direction, ce qui n'et pa le ca de engrenage face. 0

21 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face 3..3 Méthode de Elément Quai-Prime Vijayakar [4] utilie la méthode de Elément Quai-Prime pour étudier le comportement élatique de tructure dont la ection rete contante ou quai-contante elon une direction. Ce type de modéliation et applicable pour de tructure comme le dent d engrenage, le aube de turbine, le arbre de tranmiion, etc. La figure.7 montre un élément quaiprime dan le repère local et global aini que l utiliation de ce type d élément pour modélier le comportement élatique d une aube de turbine. Cette méthode et trè intéreante car uivant la direction où la tructure poède une ection quai-contante, elle permet de diminuer le nombre total d élément néceaire pour obtenir une bonne préciion. Cela e traduit donc par une diminution du temp de calcul par rapport à une modéliation claique par Elément Fini 3 D. (a) : Elément Quai-Prime dan le repère local et global (b) : Modéliation d une aube de turbine avec de Elément Quai-Prime Figure.7 : Méthode de Elément Quai-Prime [4] Par contre, cette méthode et limitée à de géométrie quai-primatique et la préciion finale du réultat dépend du degré d interpolation de fonction de forme (polynôme de Chebyhev) uivant la direction de la ection quai-contante. Cette méthode pourrait éventuellement être adaptée au ca de engrenage face ou certaine condition, mai elle interdirait par la uite la prie en compte de jante ou de voile ayant de forme particulière non primatique.

22 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face 3..4 Méthode de Bande Finie Gagnon et Goelin [], [6] et [6] utilient la méthode de Bande Finie (Fig..8) pour étudier le comportement élatique de engrenage piro-conique. L'engrenage modélié et découpé en bande dont la particularité et d'avoir de matrice de rigidité variable pour tenir compte de la largeur variable de dent d engrenage piroconique (Fig..8). Le déplacement d une bande finie ont calculé en utiliant la théorie de plaque en flexion. Cette modéliation offre de temp de calcul trè inférieur à ceux d une méthode claique par Elément Fini. Par contre, cette méthode et approximative en ce qui concerne le calcul du comportement élatique car elle ne prend en compte que la flexion et car la théorie utiliée (théorie de plaque) modélie difficilement le encatrement. De plu, le upport éventuel de dent (jante et voile) n et pa modélié. (a) : Bande Finie circulaire pour une plaque de hauteur et de rayon variable (b): Modèle claique de Bande Finie Figure.8 : Méthode de Bande Finie utiliée pour un couple d engrenage piro-conique [6] 3..5 Méthode de Tranformation de Domaine Baronet [35] utilie la méthode de tranformation de domaine pour calculer la répartition de contrainte pour une dent d un engrenage cylindrique droit oumi à une charge ponctuelle de direction et de norme connue (Fig..9). La réolution du problème effectue dan le domaine tranformé, c et-à-dire dan un domaine géométrique plu imple, mai la groe difficulté de cette méthode et la mie en place de la tranformation bi-univoque permettant de paer du domaine phyique au domaine tranformé et réciproquement. L utiliation de ce type de méthode par Baronet [35] et baée ur la implicité de réolution du problème de comportement élatique de dent d engrenage en dimenion, mai pour une géométrie comme celle de engrenage face en 3 dimenion, la mie en place de la tranformation emble quaiment impoible.

23 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face (a) : Domaine phyique Ω (b) : Domaine tranformé Ω * Figure.9 : Sytème de coordonnée utilié pour le calcul de la répartition de contrainte [35] 3. Modéliation du contact entre le dent Le modèle généraux de contact entre le dent d engrenage e décompoent en troi type : de modèle analytique de contact, de méthode divere de réolution du problème de contact et le algorithme de contact de Kalker. La plupart de modéliation de contact ont baée ur tout ou partie de la théorie de Hertz. Avant d'utilier cette théorie, il convient toujour de vérifier e condition d'utiliation. 3.. Rappel ur le condition d utiliation de la théorie de Hertz Le principale condition d'application de la théorie de Hertz [6] ont au nombre de troi et devront être vérifiée pour une éventuelle application aux engrenage face : - Maif emi-infini, - Contact non-conforme entre le deux olide et an friction, - Largeur (a) du contact entre le deux olide trè petite devant le autre dimenion (rayon de courbure, etc. ). Figure.0 : Théorie de Hertz : contact uni-dimenionnel aprè déformation [6] 3

24 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face 3.. Modèle analytique de contact Altidi [8], Savage [99] et Simon [07] pour le engrenage piro-conique et hypoïde, et Zhang [9] pour le engrenage à double arc circulaire, ont développé de méthode analytique pour déterminer le point potentiel de contact à partir de la géométrie de engrenage et de force appliquée ur ceux-ci. Tou ce modèle analytique de contact ont préenté de façon trè implifiée et ne permettent d obtenir qu une etimation plu ou moin précie de zone de contact. Comme ce modèle ne fournient ni la ditribution de preion, ni le rapprochement de urface, il ne era pa donné trop de détail à propo de ce modèle Divere méthode de réolution du problème de contact Dan la plupart de problème de contact, la réolution conite à déterminer une olution qui vérifie : - Le équation de compatibilité, - Le condition d équilibre, - Le critère de contact, - Le équation de l élaticité. Conry [5], Marhek [89] et Wrigger [7] utilient la méthode "PENALTY" ou "SIMPLEX" avec une formulation Lagrangienne augmentée pour réoudre le problème de contact : c et-à-dire garantir le différente équation préentée ci-deu. Ce méthode ne eront pa détaillée, car apparemment de problème important de convergence exitent. Krihna [76] utilie deux méthode pour la réolution d un contact non-hertzien, appelée RFP (Redundant Field Point) et FR (Functional Regularization). Ce méthode emblent trè efficace et permettent d'obtenir de bon réultat mai trop peu de détail ont fourni par l auteur pour pouvoir approfondir l'étude Algorithme de contact de Kalker Le travaux de Kalker [7], [54], [69], [70], [7] et [7] ont une référence en ce qui concerne la réolution de problème de contact tridimenionnel, élatique, platique, roulant et gliant. Kalker a développé de nombreux algorithme trè efficace permettant le calcul du contact élatique et platique entre deux olide quelconque oumi à un chargement quelconque aui bien en tatique qu en dynamique. Il a développé de modèle bidimenionnel et tridimenionnel de contact pour de chargement normal, tangentiel et mixte : poibilité de dépendance entre le chargement normal et tangentiel. A partir de la théorie de milieux continu, Kalker définit la réolution du problème qui et applicable à de olide en contact avec la poibilité d avoir de la friction entre ceux-ci. 4

25 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Tou le modèle de Kalker utilient le équation, le relation et le définition uivante : - Le équation d équilibre, - Le relation de l élaticité, ou de la vicoélaticité, ou de la platicité, - Le équation de compatibilité, - Le condition de non-pénétration, - La définition du gliement, - La définition de zone d adhérence et de gliement. Kalker propoe quatre algorithme pour réoudre le différent problème de contact : - L algorithme "NORM" : réolution du problème de contact pour un chargement normal, - L algorithme "TANG" : réolution du problème de contact pour un chargement tangentiel, - Le algorithme "KOMBI" et "PANA" : réolution du problème de contact mixte avec friction. Le principaux avantage de algorithme de contact de Kalker ont la trè grande rapidité de convergence, et une intégration poible avec d autre modèle comme de modèle de comportement élatique, par exemple avec un modèle Elément Fini. L'inconvénient majeur provient de la néceité de connaître le champ de contrainte à chaque itération du calcul. Dan le ca d'un couplage avec une méthode par Elément Fini par exemple pour le calcul de contrainte, le temp de calcul deviennent trè important. 3.3 Modéliation du partage de charge Börner [40], Conry [5] et Savage [00] pour le engrenage cylindrique droit et hélicoïdaux, Elkholy [56] et Sentoku [04] pour le engrenage conique, Goelin [60] et Simon [07] pour le engrenage piro-conique et hypoïde, et enfin Simon [05], [06] et Sudoh [0] pour le engrenage roue et vi préentent de modèle pour le calcul du partage de charge entre le dent. Toute ce modéliation utilient de équation approchée avec de coefficient iu d eai ou de modèle approché (par exemple, la flexion d une dent et modéliée par la flexion d une poutre), pour modélier le comportement en flexion et le partage de charge. La théorie de Hertz et utiliée pour calculer la preion de contact entre le dent. La figure. préente un exemple de modèle utilié pour calculer le partage de charge entre le différent point de contact dan le ca de deux dent en prie. Ce modèle utilie une décompoition de la force totale en force élémentaire, et de la rigidité de dent en rigidité élémentaire. 5

26 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Figure. : Modèle de partage de la charge entre deux dent en prie [56] L avantage de tou ce modèle et la rapidité d obtention de réultat. Par contre, la qualité de réultat et fonction de modèle d approximation et aui fonction de l utiliation de la théorie de Hertz dan de ca non conventionnel. 3.4 Modéliation de la répartition de contrainte Pour calculer la répartition de contrainte dan le ca de engrenage cylindrique droit et hélicoïdaux, Bibel [38], Chang [46], Gulliot [65], Oda et Sayama [9], [9], [93], [0], [0], Rao [98], Somprakit [08] et Von Eiff [6] utilient la méthode de Elément Fini. De Vaujany [55], Kim [73], [74], [75] et Olakorédé [95] utilient quant à eux la méthode de Prime Fini. Pour calculer la répartition de contrainte pour de engrenage conique Nalluveettil [90] utilie la méthode de Elément Fini et Vaidyanathan [] la méthode de la flexion d une plaque à rigidité variable. Globalement le méthode ont équivalente et dérivent de la modéliation du comportement élatique utiliée. Le problème ne conitera donc pa à déterminer le champ de contrainte qui et calculé de manière imilaire par tou, mai à définir le chargement adéquat relatant préciément la répartition de preion réelle. L influence de dimenion de voile et de jante ur la répartition de contrainte et aui mie en évidence dan tou ce travaux. 3.5 Modéliation globale 3.5. Modéliation complète par Elément Fini Deux type de modéliation complète par Elément Fini, incluant à la foi le modèle élatique et le modèle de contact, peuvent être utilié pour réoudre le comportement ou charge de différent type d engrenage. La première modéliation et baée ur le calcul de la matrice de rigidité intantanée aini que ur celui de la matrice de rigidité et de flexibilité normale le long du contact. Ce matrice ont enuite utiliée pour modifier le matrice du modèle Elément Fini pour le comportement élatique de couple d engrenage et aini prendre en compte le contact. 6

27 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Cette modéliation et utiliée pour l étude du comportement ou charge de engrenage cylindrique droit, de engrenage conique (Li [78] et [79]) et de engrenage roue et vi (Qin [97]). La figure. donne une repréentation du modèle Elément Fini de deux dent en contact dan le ca d un engrenage conique. Figure. : Modèle EF pour un engrenage conique [79] La deuxième modéliation et baée ur un maillage Elément Fini claique du pignon et de la roue aini que ur l utiliation d élément de contact ("GAP ELEMENT"). Le élément de contact modifient la urface du maillage (Fig..3) du pignon et de la roue afin de garantir la même normale extérieure pour le Elément Fini dan la zone de contact. Il garantient également le condition de non-pénétration pour deux corp flexible en contact, c'et-à-dire empêchent l'interpénétration de maillage de deux corp par l'introduction de poutre rigide entre le nœud de deux maillage en contact (Fig..4). Cette modéliation et utiliée pour l étude du comportement ou charge de engrenage cylindrique hélicoïdaux (Ambruoi [9]) et de engrenage piro-conique (Bibel [36] et [37]). Figure.3 : Maillage EF ditordu pour une orientation correcte de "GAP ELEMENT" [36] 7

28 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Figure.4 : Condition de non-pénétration pour deux corp en contact [36] Ce modéliation complète ont trè intéreante car le calcul et automatique à partir de la géométrie, et car le réultat ont trè préci et en accord avec le réultat expérimentaux. L'inconvénient majeur et que ce modéliation ont trè lourde et néceitent de temp de calcul trè important (de l'ordre de la dizaine de jour) pour obtenir une préciion acceptable Modéliation par Elément Fini Polynomiaux Baret [33], Curti [53] et Piazza [96] utilient une modéliation par Elément Fini Polynomiaux pour étudier le comportement ou charge de engrenage cylindrique droit et hélicoïdaux. Cette modéliation utilie un maillage Elément Fini claique (Fig..5a) mai le fonction de forme de Elément Fini utilié ont de polynôme dont le degré varie en fonction de la zone du maillage et de la préciion déirée (Fig..5b) : - Dan la zone de contact entre le deux dent d engrenage, le degré du polynôme et élevé, - Dan la zone de flexion de dent, le degré du polynôme et faible, - Dan la zone du pied de denture, le degré du polynôme et élevé. De exemple de fonction de forme de différent degré pour un nœud, pour une arête et pour une face d un Elément Fini ont préenté ur la figure.6. (b) : Variation du degré de polynôme en (a) : Maillage EF claique [33] fonction de la zone [53] Figure.5 : Exemple de modéliation par Elément Fini Polynomiaux. 8

29 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face (a) : Fonction de forme de degré pour un nœud. (b) : Fonction de forme de degré 6 pour une arête. (c) : Fonction de forme de degré 3 pour une face. Figure.6 : Exemple de fonction de forme polynomiale [53] Le maillage Elément Fini et effectué une eule foi et i la préciion du calcul veut être augmentée, il uffit d augmenter le degré de polynôme d interpolation. Le réultat emblent préci et en accord avec le réultat expérimentaux. L'inconvénient majeur de cette modéliation et le temp de calcul qui et important en fonction du nombre de poition cinématique voulue. Par contre, cette modéliation et plu rapide que le modéliation complète par Elément Fini mai moin que le modéliation mixte par Elément Fini préentée dan le paragraphe uivant Modéliation Mixte par Elément Fini Méthode baée ur TCA/LTCA Deux type de modéliation mixte par Elément Fini ont utiliée. Le modèle de comportement élatique utilié et toujour un modèle par Elément Fini, mai le modèle de contact utilié et baé oit ur la méthode TCA/LTCA développée par GLEASON et Litvin, oit ur la méthode de Bouineq. Pour ce deux modéliation mixte, étant donné que le modèle de comportement élatique de couple d engrenage et un modèle claique par Elément Fini, il ne era pa détaillé. Le chargement et le condition limite en déplacement de ce modèle Elément Fini ont déterminé par le différent modèle de contact en fonction de différente poition cinématique. Fang [57] et [58], Yongping [8] et Zhang [0], [] utilient le modèle de contact baé ur la méthode TCA/LTCA développée par GLEASON et Litvin pour étudier le comportement ou charge de engrenage cylindrique hélicoïdaux, conique et hypoïde. La méthode TCA/LTCA prend en compte la friction oppoant au gliement relatif entre le dent d engrenage. La méthode TCA/LTCA et baée ur le calcul de matrice de flexibilité dan la direction normale, dan la direction tangentielle et dan le direction croiée pour le point de contact. La flexibilité ( pq ) & & & & & & fij ( p= n, t; q = n, t) exprime le déplacement au point i dan la direction p & dû au chargement unitaire au point j dan la direction q &. 9

30 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Le problème de contact élatique avec friction entre le dent d engrenage peut-être enuite linéarié et réolu de façon conventionnelle par l algorithme SIMPLEX Modifié. L inconvénient majeur de cette méthode et le problème de convergence de l algorithme SIMPLEX Modifié qui dépend eentiellement de valeur initiale donnée aux différente variable Méthode baée ur la théorie de Bouineq Cheng [48], Hiltcher [4] et Vijayakar [3] et [5] utilient un modèle de contact baé ur la théorie de Bouineq pour étudier le comportement ou charge de engrenage cylindrique droit et hélicoïdaux. Cette méthode repoe la réolution de l'équation de compatibilité de déplacement, dit problème aux condition de Signorini (Kalker [7]). L'équation de compatibilité de déplacement et une condition géométrique de non pénétration de deux corp en contact, dan laquelle interviennent de terme lié aux déformation de flexion de deux corp et de terme liée aux déformation de urface au niveau de la zone de contact. Ce terme peuvent être exprimé ou la forme de coefficient, dit "coefficient d influence". La théorie de Bouineq permet de calculer le coefficient d'influence de urface et le coefficient d'influence de flexion ont calculé par la méthode de Elément Fini. Point de contact théorique Zone de contact elliptique N Hertz Maillage X N Y Figure.7 : Maillage de la zone potentielle de contact dan le plan tangent A partir de la imulation cinématique à vide, le différent point de contact ont déterminé. Enuite, la taille de la zone de contact potentielle et etimée en utiliant la théorie de Hertz pui maillée dan le plan tangent aux deux dent (Fig..7). Le coefficient de urface de Bouineq C kj repréentent le déplacement au point j pour une charge unitaire appliquée au point k (Fig..8) et ont connu analytiquement. P P k a Z X k j b W j Figure.8 : Calcul de coefficient de urface de Bouineq 30

31 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face Le coefficient de flexion ont calculé d'une manière imilaire grâce à un calcul par Elément Fini à partir de chargement unitaire en chaque point du maillage. L'équation de compatibilité de déplacement peut être réolue par une méthode de point fixe qui ne poe aucun problème de convergence. Le calcul par Elément Fini et effectué une eule foi afin de calculer le coefficient de flexion pour toute le poition cinématique. Le réultat ont trè préci et en accord avec le réultat expérimentaux. Ce modéliation mixte ont le plu rapide de toute le modéliation globale et l'utiliation de Elément Fini permet de modélier de tructure ayant quaiment n'importe quelle géométrie. Le inconvénient de ce modéliation ont pour la méthode TCA/LTCA, le problème de convergence et pour la méthode de Bouineq, le fait que le contact e trouve dan un plan. 3

32 Chapitre : Modéliation numérique du fonctionnement de engrenage Application aux engrenage face 4 Concluion Depui quelque année, divere étude ont déjà été effectuée ur le engrenage face. Elle concernent eentiellement la géométrie et la cinématique à vide. Comme pour l'étude de tou le type d'engrenage, certaine méthode utiliée ont numérique, d'autre analytique. Le approche numérique ont plu générale, mai leur principal défaut rete le temp de calcul et la préciion de réultat. Le méthode analytique ont plu complexe à mettre en œuvre, mai elle ont trè rapide et trè précie, mai ne 'adaptent pa facilement à de géométrie complexe. Le travail préenté ici 'incrivant dan un cadre indutriel aéronautique, où la préciion et la modéliation du comportement réel ont de priorité eentielle, l'utiliation d'une méthode analytique emble la plu adaptée. Pour la définition de la géométrie et de la cinématique à vide, le théorie de Litvin ont incontournable. Elle ont cientifiquement trè rigoureue et permettent la modéliation précie de nombreux type d'engrenage. Mai elle néceitent de adaptation et développement upplémentaire pour pouvoir être appliquée à de ca concret d'engrenage face utilié dan le rotor d'hélicoptère. Au niveau de la géométrie de la roue face, Litvin conidère toujour la urface mathématique de l'outil de taillage comme une développante de cercle imple. En pratique, le outil de taillage peuvent être déporté, le creux et la aillie ne ont pa néceairement normalié, la tête de l'outil peut être pointue ou arrondie,, autant de caractéritique qui e doivent d être inclue dan une modéliation detinée à réoudre de ca indutriel. De même, pour la cinématique à vide, le pignon utilié aura de caractéritique imilaire à l'outil de taillage et pourra de urcroît être corrigé, par un bombé ou par de correction ur le profil en tête et en pied de dent. Il et également important de pouvoir concevoir de engrenage face hélicoïdaux. En ce qui concerne la modéliation du comportement ou charge, le méthode hybride utiliant une modéliation par Elément Fini pour prendre en compte la flexion de dent et le théorie de Bouineq pour prendre en compte le déformation de contact, emblent un excellent compromi entre préciion et temp de calcul. Le condition d'utiliation de la théorie de Bouineq devront être préalablement bien déterminée et le ca d'application bien défini. De plu, pour atteindre une efficacité optimale, le équation analytique caractériant la géométrie et la cinématique à vide de engrenage face pourront être intégrée directement dan le modèle de contact ou charge. Le développement complet de cette modéliation ou charge de engrenage face fait l'objet du chapitre uivant. 3

33 Chapitre Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Introduction La modéliation du comportement ou charge de engrenage face peut être effectuée elon un proceu général divié en troi étape principale ditincte. Ce proceu général a déjà été utilié et validé pour l'étude de engrenage cylindrique [], [8]. Le proceu global de la modéliation du comportement ou charge et chématié ur la figure.. La première étape conite à imuler le taillage de la roue face afin d'obtenir le profil de denture. Enuite, la imulation de la cinématique à vide permet de définir de zone de contact potentiel, aini que l'erreur cinématique à vide. Le réultat de ce deux première étape peuvent déjà être utilié pour étudier l'influence de différent paramètre de taillage et d'aemblage. La répartition de charge va enuite être déterminée par la réolution d'une équation de compatibilité de déplacement. Cette réolution permet d'obtenir outre la répartition de charge, le preion intantanée de contact, l'erreur de tranmiion ou charge aini que la raideur d'engrènement. L'équation de compatibilité de déplacement prend en compte à la foi le déformation globale de flexion et le déformation locale de contact caractériée par de coefficient d'influence. Ce coefficient ont obtenu par une modéliation du comportement élatique et un modèle de contact. Le réultat iu de cette dernière étape permettent enuite de nombreue exploitation, notamment de étude paramétrique qui aboutient à de loi de conception. 33

34 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Simulation du taillage Simulation de la cinématique à vide Profil de denture Zone de contact potentiel Erreur cinématique à vide Influence de paramètre de taillage et d aemblage Répartition de charge Comportement élatique Modèle de contact Équation de compatibilité de déplacement Coefficient d influence Preion intantanée de contact Raideur d engrènement Erreur de tranmiion Contrainte en pied de dent Etude paramétrique Loi de conception Figure. : Modéliation complète du comportement ou charge de engrenage face La imulation du taillage et de la cinématique à vide eront baée ur le théorie de Litvin, et la répartition de charge ur une méthode hybride utiliant une modéliation par Elément Fini pour prendre en compte la flexion de dent et le théorie de Bouineq pour prendre en compte le déformation de contact. 34

35 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Simulation du taillage de la roue face La génération de denture de engrenage face et baée ur la imulation de l'engrènement entre la roue face et l'outil qui a ervi à la tailler. Cette imulation repoe ur le méthode développée par Litvin et utiliée plu généralement pour tou le type d engrenage [0]. La urface de denture de la roue face et générée par le mouvement de la urface de l'outil définie analytiquement. La rotation de cette urface dan un ytème lié à l'outil génère une famille de courbe dan un ytème lié à la roue face. L'utiliation d'une équation d'engrènement permet enuite de déterminer le point exact contituant la géométrie de la roue face. Cette méthode rete néanmoin théorique et trè retrictive en modéliant notamment l outil de taillage uniquement par une développante de cercle. Pour être appliquée à de tranmiion plu complexe, cette méthode a du être étendue afin de prendre en compte toute le caractéritique réelle de engrenage et particulièrement de l'outil, aini que le engrenage face hélicoïdaux. La modéliation développée ici permet également de prendre en compte de erreur de taillage et de montage. De plu, afin de permettre une définition de la géométrie conforme à la réalité et totalement maîtriée, le équation de bae de Litvin ont été inverée de façon à obtenir le paramètre de définition comme olution du problème et non pa comme variable d entrée. Aini il era poible de déterminer n importe quel point ur la urface de denture, indépendamment de bouclage ucceif ur le équation qu il faudrait faire en le utiliant de manière directe. Cette particularité prendra toute on utilité lor de la imulation de la cinématique à vide et urtout de la répartition de charge où il era important de pouvoir connaître préciément de point de définition de la géométrie de la roue à de localiation trè précie ur la urface de denture.. Génération de la géométrie de la roue face.. Poitionnement relatif de l outil et de la roue... Sytème de coordonnée de bae Le poitionnement théorique de la roue face et de on outil de taillage ont d'abord été définie par Litvin [80]. Zhang [] y ajouta la prie en compte d'un offet. Lor du proceu de taillage de la roue face, le urface de l'outil Σ et de la roue Σ ont lié à deux repère S (O,X,Y,Z ) et S (O,X,Y,Z ). Ce ytème ont en rotation autour de leur axe repectif Z et Z avec le vitee angulaire ω et ω. Il ont défini par rapport à un ytème fixe S f (O f,x f,y f,z f ) lié à la machine-outil. Le rotation de S et S ont définie par le angle φ et φ. Le axe de l'outil et de la roue ont décalé d'une ditance C correpondant à l'offet et forment un angle de tête γ (Fig.. et.3). 35

36 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face La matrice de paage du repère S au repère S exprime : [ M ] coφ coφ + coγ inφ inφ = coφ inφ + coγ inφ coφ inγ inφ 0 inφ coφ + coγ + coγ coφ inφ inφ inφ coφ coφ inγ coφ 0 inγ inφ inγ coφ coγ 0 C coφ C inφ 0 (.) Le angle de rotation φ et φ ont lié par le rapport de réduction du proceu de taillage R : ω φ = φ = Rφ (.) ω Z Y ω γ O f,, Y ω Z f, Figure. : Sytème de coordonnée utilié lor de la imulation du taillage () X X f φ O f, ω Z f, C O Y ω Figure. 3 : Sytème de coordonnée utilié lor de la imulation du taillage () 36

37 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Afin de relater fidèlement un proceu de taillage indutriel, il convient d'ajouter au poitionnement relatif de la roue et de on outil, divere erreur de taillage qui pourraient urvenir lor de la fabrication de roue.... Erreur de taillage prie en compte Lor du proceu de taillage, quatre erreur de taillage peuvent être prie en compte (Fig..4 et.5) : - Déplacement radial de l outil : δe - Déplacement angulaire de l outil : δα - Déplacement axial de la roue face : δq - Déplacement angulaire de la roue face : δγ Z Y δγ ω γ O f,, δq Y ω Z f, Figure.4 : Erreur de taillage prie en compte () X X f φ O f, δε ω Z f, C δα O Y ω Figure.5 : Erreur de taillage prie en compte () 37

38 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le erreur de taillage ont prie en compte oit directement dan la valeur de certain paramètre, oit dan la matrice de paage du repère S au repère S (Eq..5) : C = C + δe γ = γ + δγ (.3) (.4) [ M ] coφ coφ coδα + coγ inφ inφ + inγ coφ coφ inδα coφ inφ coδα = + coγ inφ coφ + inγ coφ coφ inδα inγ inφ coγ coφ inδα 0 inφ coφ coδα + coγ coφ inφ inγ inφ inδα inφ inφ coδα + coγ coφ coφ inγ coφ coφ inδα inγ coφ + coγ inφ inδα 0 inγ inφ coδα + coφ inδα inφ inδα inγ coφ coγ coδα 0 C coφ C inφ δq (.5).. Définition de ection conique La roue face et caractériée par e rayon intérieur L et extérieur L. La géométrie de la dent de la roue face et définie dan de ection conique perpendiculaire aux rayon de la roue. Chaque ection et repérée par un rayon R défini en tête de dent de la roue face. Dan chaque ection, le point de tête de dent de la roue face où et défini le rayon era caractérié par une valeur connue de la coordonnée uivant Z égale Z a. Dan ce ection conique, le point de la roue ont repéré par deux angle de poition α et α (Fig..6 et.7). Z L L Y O ection conique Z a R α M Figure.6 : Repérage d'un point par α 38

39 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face O X R L L α M ection conique Y Figure.7 : Repérage d'un point par α Enfin, un point de définition de la roue dan le ection conique vérifiera le équation paramétrique du cône, oit : X Y Z R( + α )inα = R( + α )coα π Rα tan( γ ) + Z a (.6)..3 Equation d engrènement Pour obtenir un point de la roue face, il faut et il uffit de avoir par quel point de l'outil et dan quelle poition de l'outil il a été taillé, pui d'effectuer le changement de repère défini précédemment. Lorqu un point de la roue et taillé par un point de l outil, il atifait à cet intant l équation d'engrènement (Litvin []) : n &. & = 0 V où V & et la vitee relative entre le urface de l'outil et de la roue face au point de contact au moment du taillage et n le vecteur unitaire normal à ce urface. La vitee relative de urface et le normale unitaire de l'outil ont développée en annexe A.. et A... La combinaion de l équation d engrènement, de la matrice de paage de S ver S et de la définition de ection conique permet alor, en connaiant la géométrie exacte de l outil, de déterminer préciément le point de définition de la roue face. (.7) 39

40 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face. Définition de l outil de taillage.. Surface de l outil L'outil utilié pour tailler le roue face et un outil-pignon cylindrique, droit ou hélicoïdal. Le profil théorique de l outil en projection dan on plan apparent étant une développante de cercle, l'outil et défini claiquement à partir de équation paramétrique de la développante de cercle (Litvin []). Le point M de cet outil (urface Σ ) ont défini dan S avec Y comme axe de ymétrie entre deux dent (Fig..8). Pour un outil hélicoïdal, cette ymétrie d'entre dent et fixée arbitrairement ur une ection, par exemple à Z = 0, mai n'a aucune influence ur la géométrie finale de la roue face. Y Y f X O,f φ X f r b ψ θ 0 θ M Figure.8 : Définition de la urface de l'outil La urface de génération Σ et formée par la rotation de l'outil autour de on axe Z et peut être repréentée dan le repère S par le vecteur uivant : & r X rb = = Y r Z [ in( θ0 + θ + ψ ) θ co( θ0 + θ + ψ )] [ co( θ + θ + ψ ) + θ in( θ + θ + ψ )] b 0 Z 0 (.8) où r b et le rayon de bae de l'outil, r le rayon primitif et θ l'angle de poition du point ur la développante (Fig..8). 40

41 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face L'angle θ 0 et lié à l'épaieur de bae de la dent de l'outil et et déterminé par l'équation uivante (cf. Annexe A..3) : θ 0 π = N invα t x tanα N 0 (.9) où N et le nombre de dent, α 0 l'angle de preion réel, α t l'angle de preion apparent et x le coefficient de déport de l'outil. L angle ψ et lié au pa d hélice H et à Z (Fig..9) : π ψ = Z H π r avec H = tan β p (.0) (.) β p étant l angle d hélice au primitif. Z r β p H H ψ πr NB : Règle de définition de l outil : X Figure.9 : Définition du pa d'hélice - Pour un outil cylindrique droit, l angle ψ et nul. - Le profil gauche de l outil (le profil droit d'une dent de la roue face) et obtenu avec de valeur poitive pour θ, θ 0 et ψ, le profil droit avec de valeur négative. - Avec β p poitif, l'hélice de l outil et définie à droite et avec β p négatif, à gauche. 4

42 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face.. Tête de l outil Lor du proceu de taillage, la tête de l outil va générer la trochoïde de la dent de la roue face. Il et donc néceaire de la définir également préciément. Le première modéliation d'engrenage face [8] ne définient que de outil pointu, et donc de roue face dont la trochoïde et générée par un point unique. En pratique, la tête de l'outil peu être arrondie, et la trochoïde de la roue era alor générée par un arc de cercle. Le ca d arrondi d outil n a été développé ici que pour de outil cylindrique droit.... Outil pointu Dan le ca d un outil pointu, la tête de l outil et définie par un point unique, repéré par une valeur fixe θ m du paramètre de développante θ (Fig..0) : θ m = ± r a r b r b (.) où r a et le rayon de tête de l'outil et r b le rayon de bae. Y Y f X O,f φ X f θ m r b r a ψ θ 0 M Figure.0: Définition de la tête d un outil pointu 4

43 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face... Outil arrondi Dan le ca d'un outil arrondi, la tête de l outil et définie par un arc de cercle qui et tangent à la développante et au cercle de tête (Fig..). L arrondi d outil étant invariable uivant l axe de l outil et perpendiculaire à l axe de l outil, il convient de le définir dan une ection quelconque de l outil. Y Y f X Y c O,f φ ρ X f O c A P ν X c θ m r b r a θ 0 Y c O c A X c Figure. : Définition de la tête d un outil arrondi Pour définir un point P de l'arrondi d'outil, un nouveau repère S c (O c, X c, Y c ) et utilié. Ce repère et centré ur O c qui et le centre du cercle d arrondi d'outil, l'axe X c formant un angle ρ avec X (Fig..). Un point P era défini dan S c par : & r c X r c = = Yc r p p coν inν (.3) où r p et le rayon de pointe (ou rayon d'outil, r p = O P ) et ν l'angle de poition de P ur c l'arrondi. Le coordonnée de P peuvent 'exprimer dan S, par le changement de repère uivant : & r X = Y co ρ = in ρ 0 in ρ co ρ 0 X oc X c Y oc Yc (.4) où X oc et Y oc ont le coordonnée de O c dan S (cf. Annexe A..4). 43

44 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face.3 Réolution du problème.3. Définition du profil de la roue face Le point de définition de la roue face ont obtenu dan chaque ection conique de rayon R, à intervalle régulier par bouclage ur de valeur fixée de α. Le flanc actif et la trochoïde de la roue face ont défini éparément. Afin d obtenir une définition complète d une roue face, il faut au préalable définir le valeur de α correpondante à la tête (α t ) et au pied (α p ) de la roue face aini qu à l interection trochoïde-développante (α int )..3.. Génération du flanc actif La combinaion de équation de changement de repère de S ver S et le équation de définition de ection conique aini que l équation d engrènement, permet d obtenir un ytème non linéaire de 4 équation à 4 inconnue : R( + α )inα R( + α ) coα = π Rα tan( γ ) + Z a & & n. V = 0 [ M ] X Y Z (.5) avec φ, θ, Z et α comme inconnue. La réolution de ce ytème par la méthode de Newton-Raphon (cf. Annexe A3.) permet d obtenir la définition d un point du flanc actif de la roue face. Le bouclage ur α entre α t et α int permet d obtenir la définition complète du flanc actif d une ection de la roue face. 44

45 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face.3.. Génération de la trochoïde Pour la génération de la trochoïde, dan le ca d'un outil pointu, l équation d engrènement n et plu vérifiée mai la valeur de θ et connue, c et donc un ytème non linéaire de 3 équation à 3 inconnue qu il faut réoudre : R( + α ) inα R( + α ) coα π Rα tan( γ ) + Z a = [ M ] X Y Z (.6) avec φ, Z et α comme inconnue. Dan le ca d'un outil arrondi, la valeur de θ et toujour connue, mai l'équation d'engrènement et à nouveau atifaite par le point de l'arrondi d'outil. Le ytème à réoudre et donc identique à celui du flanc actif (Eq..5), mai le point de l'outil ont maintenant défini par l'équation.4. La réolution de ce ytème par la méthode de Newton-Raphon (cf. Annexe A3.) permet d obtenir la définition d un point de la trochoïde de la roue face. Le bouclage ur α entre α int et α p permet d obtenir la définition complète de la trochoïde d une ection de la roue face..3. Définition de borne de réolution.3.. Tête de dent de la roue face La tête de dent de la roue face et taillée par le premier point "utile" de développante en pied de l'outil, repéré par on rayon r dev. Ce point peut être oit le point d interection trochoïdedéveloppante de l outil, oit un point itué légèrement au-deu. Ce point et alor fonction du réglage de la machine de taillage et era conidéré comme connu. La valeur Z a de Z correpondante à la tête de dent de la roue face peut alor être déterminée analytiquement : Z a R rdev = tan( π γ ) in( π γ ) (.7) Si Z Z a =, alor la valeur de α et nulle (cf. Eq..6). 45

46 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le ytème non linéaire de 4 équation à 4 inconnue à réoudre et donc ici : Rinα R coα = Z a & & n. V [ M ] = 0 X Y Z (.8) avec φ, θ, Z et α comme inconnue. La réolution de ce ytème permet de définir dan chaque ection le point de tête de la roue face et également d obtenir la valeur α t de α correpondante à la tête de dent de la roue face..3.. Pied de dent de la roue face Le pied de dent de la roue face et taillé par le point de tête de l outil dan une poition particulière de celui-ci. La poition de l outil correpond à l enfoncement extrême du point de tête. Cette poition et caractériée par l équation uivante : Y = r a coφ (.9) En tête de dent de l outil, la valeur de θ et connue, le ytème non linéaire de 4 équation à 4 inconnue à réoudre et donc ici : R( + α )inα R( + α ) coα = π Rα tan( γ ) + Za Y = ra coφ [ M ] X Y Z (.0) avec φ, Z, α et α comme inconnue. La réolution de ce ytème permet de définir dan chaque ection le point de pied de la roue face et également d obtenir la valeur α p de α correpondante au pied de dent de la roue face. 46

47 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face.3..3 Interection trochoïde-développante de la roue face Le point d interection trochoïde-développante de la roue face e caractérie par le fait qu il appartient à la foi au flanc actif et à la trochoïde. La valeur de θ en ce point et donc connue. De plu l équation d engrènement doit être vérifiée. Le ytème non linéaire de 4 équation à 4 inconnue à réoudre et donc ici : R( + α )inα R( + α ) coα = π Rα tan( γ ) + Z a & & n. V = 0 [ M ] X Y Z (.) avec φ, Z, α et α comme inconnue. La réolution de ce ytème permet de définir dan chaque ection le point d interection trochoïde-développante de la roue face et également d obtenir la valeur α int de α correpondante à l'interection trochoïde-développante de la roue face..4 Prie en compte de phénomène de pointe et d interférence de taillage La largeur de denture théorique de engrenage face et limitée phyiquement au rayon extérieur et au rayon intérieur par deux phénomène ditinct : la pointe en tête de dent et le interférence de taillage en pied de dent..4. Pointe Le phénomène de pointe apparaît lorque l épaieur en tête de dent de la roue face devient nulle au rayon extérieur. Le rayon de pointe et déterminé numériquement en comparant le coordonnée X g et X d de point de tête gauche et droite de la roue face. En pratique, de engrenage face dont la largeur de denture e termine au rayon de pointe ne eront pa conçu car le rique de rupture à cet endroit et évidemment trop important. Il peut par contre être utile de déterminer le rayon pour lequel une épaieur de tête minimale era atteinte. Ce rayon e détermine aiément en recherchant le point de la roue qui vérifient : X X a (.) g d = où a et l épaieur minimale de tête requie. 47

48 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face.4. Interférence de taillage Au rayon intérieur de la roue, peut apparaître le phénomène d'interférence de taillage. Lorqu'il y a interférence de taillage, le flanc actif et la trochoïde ne ont plu tangent au point d'interection. Une dicontinuité apparaît alor ur la urface de la dent. Le pied de dent et aini "creué". D'ordinaire, le concepteur d'engrenage eaie d'éviter ce phénomène, mai il peut arriver que certaine contrainte extérieure à l'engrenage lui-même (diamètre d'arbre, carter,.) oblige à concevoir un engrenage face avec un rayon intérieur inférieur au rayon théorique d'interférence de taillage. Il devient alor néceaire de connaître ce rayon théorique d'interférence de taillage. L interection trochoïde-développante vérifiant le équation. et ituée au point A (Fig.. a). Dan le ca d'interférence de taillage, l'interection réelle et ituée en B (Fig.. b), plu haut ur la dent. Flanc actif de la roue face A Interection théorique et réelle B A Interection réelle Interection théorique Trochoïde (trajectoire de la tête de l outil) a) Interection an interférence de taillage b) Interection avec interférence de taillage Figure. : Interection trochoïde-développante, avec et an interférence de taillage Litvin propoe une méthode analytique [84] pour déterminer le rayon théorique d'interférence de taillage dan le ca d'engrenage face "imple". Ici, avec le différent paramètre pri en compte, notamment le erreur de taillage, le développement de équation analytique devient quaiment impoible. Une détermination numérique du rayon d'interférence de taillage et utiliée ici. En pratique, le rayon théorique de début d'interférence de taillage ne peut donc pa être déterminé facilement directement. Par contre il et poible de avoir i dan une ection ituée à un rayon donné, il y a ou pa interférence de taillage. Il et enuite facile de déterminer à partir de quel rayon le phénomène d'interférence de taillage apparaît. Pour avoir i une ection conidérée et ituée avant ou aprè le rayon d'interférence de taillage, il uffit de déterminer le point A en utiliant uniquement le équation caractériant le flanc actif de la roue face (ytème.5), pui de vérifier 'il a été effectivement taillé par la tête de l'outil (θ = θ m ). 48

49 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 3 Simulation de la cinématique à vide La imulation de la cinématique à vide permet de déterminer à vide le zone de contact lor d'un engrènement entre une roue face et un pignon cylindrique. Cette imulation et baée ur le propriété du contact entre deux urface définie analytiquement. Comme la imulation du taillage de la roue face, cette imulation repoe ur le méthode développée par Litvin [9]. Le propriété mathématique du contact entre le deux urface de la roue et du pignon, aini que le caractéritique de leur poitionnement relatif permettent de définir le point ou ligne de contact entre le pignon et la roue elon la configuration. En effet, i le pignon utilié a un nombre de dent inférieur à celui de l outil de taillage de la roue face, le type de contact à vide era ponctuel. Par contre i le pignon et l outil ont le même nombre de dent, le type de contact à vide era linéaire. Bien que baé ur la même théorie, deux modèle ditinct ont dû être développé pour chaque type de contact. 3. Définition de l engrènement La imulation de la cinématique à vide et effectuée ur un engrènement complet d une dent, oit entre l intant où elle entre dan le contact juqu'à l intant où elle en ort. Le imulation exitante (Litvin [83]) ne prennent en compte qu'une eule paire de dent en contact. Pour pouvoir étudier par la uite la répartition de charge ur pluieur dent potentiellement en contact imultanément, il et néceaire d'effectuer la imulation de la cinématique à vide ur pluieur dent imultanément. Le rapport de conduite de engrenage face étant généralement inférieur à 3, la imulation de la cinématique à vide prend en compte deux dent précédant et deux dent uivant la dent étudiée. La imulation et donc effectuée ur 5 dent pouvant être en contact imultanément. La cinématique à vide et étudiée en quai-tatique, il et donc néceaire de définir de poition cinématique repérée par l angle de rotation de la roue face φ entre le début et la fin de l engrènement de la dent centrale. Le début de l engrènement et repéré par l angle φ i et la fin de l engrènement par l angle φ f (Fig..3 et.4). 49

50 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 5 4 X f Y f Y φ i Figure.3 : Définition de la première poition cinématique X f Y Y f φ f Figure.4 : Définition de la dernière poition cinématique Pour N poition cinématique à étudier le pa d engrènement et défini par : φ' f φ ' N i (.3) NB : Dan cette imulation, le pignon cylindrique et toujour conidéré comme organe moteur. 3. Définition de zone de contact 3.. Poitionnement relatif du pignon et de la roue Le paramètre utilié pour la imulation de la cinématique à vide ont de paramètre géométrique qui définient le poition relative du pignon et de la roue. Le paramètre de bae ont, comme pour la imulation du taillage, été défini par Litvin [83]. 50

51 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 3... Sytème de coordonnée de bae Lor de l engrènement, le urface du pignon Σ et de la roue Σ ont liée à deux repère S (O,X,Y,Z ) et S (O,X,Y,Z ). Ce ytème ont en rotation autour de leur axe repectif Z et Z avec le vitee angulaire ω et ω. Il ont défini par rapport au ytème fixe S f (O f, X f, Y f, Z f ) défini pour la imulation du taillage et lié à la machine-outil. La roue face étant toujour définie par on outil de taillage, le repère S et également identique à celui utilié pour générer la géométrie de la roue face. Le rotation de S et S ont définie par le angle φ et φ. Le axe du pignon et de la roue ont décalé d'une ditance C correpondant à l'offet et forment un angle de tête γ (Fig..5 et.6). Z Y ω γ O f,, Y ω Z f, Figure.5 : Sytème de coordonnée utilié lor de l'aemblage () X X f φ O f, ω Z f, C O Y L L ω Figure.6 : Sytème de coordonnée utilié lor de l'aemblage () 5

52 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face La imulation cinématique étant effectuée ur 5 dent, il faut également définir le rotation pour paer de la dent de définition aux autre dent. Pour la roue cette rotation et définie par l angle : ρ 4π =, N ρ π =, N π ρ = et N 4π ρ = repectivement pour le dent,, 4 et 5, N N étant le nombre de dent de la roue face. Pour le pignon cette rotation et définie par l angle : 4π ρ =, N π ρ =, N π ρ = et N 4π ρ = repectivement pour le dent,, 4 et 5. N Où N et le nombre de dent du pignon. La matrice de paage du repère S au repère S f exprime alor : [ ] M f ' coφ co ρ ' + coγ inφ in ρ ' coφ in ρ = ' + coγ inφ co ρ ' inγ inφ 0 ' inφ co ρ ' + coγ inφ in ρ ' inφ in ρ ' + coγ inφ co ρ ' inγ coφ 0 0 inγ coγ 0 C A A tanγ (.4) Et la matrice de paage du repère S au repère S f : [ M ] f ' ' coφ co ρ + inφ in ρ ' ' coφ in ρ + inφ co ρ = 0 0 ' ' inφ co ρ + coφ in ρ ' ' inφ in ρ + coφ co ρ (.5) Pour pouvoir définir complètement le poition relative du pignon et de la roue face il devient alor néceaire de définir la poition relative du pignon et de l outil (Fig..7). La poition radiale relative du pignon et de la roue et définie par défaut comme la différence A de rayon primitif du pignon et de l outil de taillage. Lorque le nombre de dent du pignon et de l outil et le même, A = 0, dan le autre ca, A = r (Litvin []), où r et r ont le rayon primitif de l'outil et du pignon. r En ce qui concerne la poition axiale, le imulation exitante (Litvin [83]) conidèrent un pignon de longueur infinie. Ici, le pignon a une largeur de denture donnée et il et uppoé que le milieu d une dent du pignon correpond au milieu d une dent de la roue face. 5

53 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le valeur extrême de Z eront alor définie par : Z et Z min max ( L + L ) ( rdev + A) b = inγ tanγ ( L + L ) ( r + A) = inγ tanγ dev + b (.6) (.7) avec L rayon intérieur, L rayon extérieur de la roue face et b largeur de denture du pignon Outil b Pignon L L A r r Roue face Z min Cercle primitif Z max Figure.7 : Poition relative du pignon et de l'outil... Erreur de montage prie en compte Lor de la imulation de l engrènement, 5 erreur de montage peuvent être prie en compte (Fig..8 et.9) : - Déplacement radial du pignon : δe - Déplacement angulaire du pignon : δα - Déplacement axial du pignon : δr - Déplacement axial de la roue face : δq - Déplacement angulaire de la roue face :δγ Z Y δγ ω γ O f,, δq Y ω Z f, Figure.8 : Erreur de montage prie en compte () 53

54 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face X X f φ O f, δε ω Z f, C δα O Y ω Figure.9 : Erreur de montage prie en compte () Le erreur de montage ont prie en compte de différente façon : Soit directement dan la valeur de certain paramètre : C δ γ = γ + δγ = C + E (.8) (.9) Soit dan la matrice de paage du repère S au repère S f : [ M ] f ' ' (coφ co ρ + inφ in ρ)coδα ' ' coφ in ρ + inφ co ρ = ' ' (coφ co ρ + inφ in ρ)inδα 0 ' ' ( inφ co ρ + coφ in ρ )coδα ' ' inφ in ρ + coφ co ρ ' ' ( inφ co ρ + coφ in ρ )inδα 0 inδα 0 coδα (.30) Soit dan la matrice de paage du repère S au repère S f qui exprime alor : [ ] M f ' coφ co ρ ' + coγ inφ in ρ ' coφ in ρ = ' + coγ inφ co ρ ' inγ inφ 0 ' inφ co ρ ' + coγ inφ in ρ ' inφ in ρ ' + coγ inφ co ρ ' inγ coφ 0 0 inγ coγ 0 C A δq inγ A tanγ δq coγ (.3) 54

55 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Soit dan le valeur extrême de Z qui deviennent : Z et Z min max ( L + L ) ( rdev + A) b = + δr inγ tanγ ( L + L ) ( rdev + A) b = + + δr inγ tanγ (.3) (.33) Deux erreur peuvent également être prie en compte pour le pignon : - Erreur d angle d hélice (micron) : δβ - Erreur de pa individuelle ur chaque dent (micron) : δp i Ce deux erreur ont définie claiquement relativement au rayon primitif du pignon et ont rajoutée directement dan la valeur de l angle d hélice et de l angle de rotation pour paer d une dent à l autre : β β δβ = + r δp i i = ρi r ρ + (.34) (.35) Il et conidéré ici que la roue face n a pa d erreur d hélice ni d erreur de pa individuelle. 3.. Définition mathématique du contact Quel que oit le type de contact (ponctuel ou linéaire), il faut conidérer deux ca de contact entre le pignon et la roue : - Contact entre deux urface lorque le deux urface ont tangente au contact (Fig..0 a), - Contact entre une urface et une courbe lorque le deux urface ne ont pa forcément tangente, lorque le contact et itué par exemple en tête ou en bord de dent (Fig..0 b). Pignon Pignon Roue face a) Contact entre deux urface Roue face b) Contact entre une urface et une courbe Figure.0 : Différent ca de contact 55

56 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 3... Contact entre deux urface Lorque deux urface ont en contact, celle-ci ont tangente au point de contact. Le point de contact doit donc avoir le même coordonnée et le même normale unitaire dan le ytème de coordonnée repectif de deux urface (Litvin []), oit : X X = Y Y Z Z et nx nx = ny ny n z nz (.36) (.37) Le vecteur normal unitaire étant défini pour la roue face ou le pignon par : n n n xi yi zi N N = N xi yi zi N N N i i i (.38) Le vecteur unitaire étant normé, l'équation (.37) ne traduit que relation indépendante. Le contact entre deux urface tangente et alor défini par 5 relation indépendante Contact entre une urface et une courbe Lor d'un contact entre une urface et une courbe, un point de contact doit toujour avoir le même coordonnée dan le ytème de coordonnée repectif de deux urface. L'équation (.36) doit donc toujour être vérifiée en un point de contact. Par contre, il et impoible de définir une normale unique à une courbe, l'équation (.37) n'a donc plu raion d'être. La urface du pignon dépendant de paramètre θ et Z (ou u et v, cf. 3.3.), le bord et la tête de dent du pignon ont caractérié par une valeur contante de l'un de ce paramètre : - θ (ou u ) et contant en tête de dent, - Z (ou v ) et contant en bord de dent. 56

57 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Au point de contact entre un bord ou la tête du pignon et la urface de la roue, le vecteur unitaire normal de la urface et le dérivée de la courbe (elon le paramètre non contant) vérifient alor le relation uivante : (Litvin []). Contact en bord de dent du pignon : Z et contant X θ n Y n Z x + y + z = θ θ n 0 (.39) Contact en tête de dent du pignon : θ et contant X Z n Y n Z x + y + z = Z Z n 0 (.40) Pour un contact en bord ou en tête de dent de la roue face, il et poible d'obtenir le même type de relation en conidérant un contact fictif entre le urface du pignon et de l'outil de taillage de la roue face. Contact en bord de dent de l'outil (bord dent de la roue ) : Z et contant X θ n Y n Z x + y + z = θ θ n 0 (.4) Contact en pied de dent de l'outil (tête la roue) : θ et contant X Z n Y n Z x + y + z = Z Z n 0 (.4) Le contact entre une urface et une courbe et donc globalement défini par 4 relation indépendante. 3.3 Définition du pignon Lor de l'engrènement avec la roue face, eule la urface active du pignon participe au contact. Il n'et donc pa néceaire de définir ici la trochoïde du pignon. Seul le flanc actif era généré Pignon non corrigé San correction de denture, le pignon et un pignon cylindrique, droit ou hélicoïdal, défini claiquement à partir de équation paramétrique de la développante de cercle (Litvin []). Sa définition étant imilaire à la définition de l'outil de taillage de la roue face (Cf..), uniquement le réultat principaux ont rappelé ici. 57

58 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le profil du pignon projeté dan on plan apparent et une développante de cercle. Le point M du pignon (urface Σ ) ont défini dan S avec Y comme axe de ymétrie entre deux dent (Fig..). La urface du pignon Σ et formée par la rotation du pignon autour de on axe Z et peut être repréentée dan le repère S par le vecteur uivant : X rb & r = = Y r Z [ in( θ 0 + θ + ψ) θ co( θ 0 + θ + ψ) ] [ co( θ + θ + ψ ) + θ in( θ + θ + ψ ] b 0 0 ) Z (.43) où r b et le rayon de bae du pignon, r le rayon primitif et θ l'angle de poition du point ur la développante. L'angle θ 0 et défini de manière identique à l'outil de taillage et et déterminé par l'équation uivante (cf. Annexe A..3) : θ 0 = π x tanα invα t N N 0 (.44) où N et le nombre de dent, α 0 l'angle de preion réel, α t l'angle de preion apparent et x le coefficient de déport du pignon. Y Y f X O,f Φ X f r b θ 0 θ ψ M Figure. : Définition de la urface du pignon 58

59 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face L angle ψ et lié au pa d hélice H et à Z : π ψ = Z H avec H π r =, p tan β p (.45) β étant l angle d hélice au primitif. (.46) Le vecteur unitaire normal du pignon et défini de manière identique à celui de l'outil (cf. Annexe A..). La tête de dent du pignon et définie par un point unique, repéré par une valeur fixe θ m du paramètre de développante θ : θ m = ± r r a r b b (.47) L'interection trochoïde-développante et caractériée par un rayon r dev, qui et ici une donnée d'entrée. Mai elle peut également être définie par une valeur particulière θ min de θ : θ min = ± r r dev r b b (.48) NB : Le règle de définition du pignon ont identique à celle de l'outil : - Pour un pignon cylindrique droit, l angle ψ et nul. - Le profil gauche du pignon et obtenu avec de valeur poitive pour θ, θ 0 et ψ, le profil droit avec de valeur négative. - Avec β p poitif, l'hélice du pignon et définie à droite et avec β p négatif, à gauche Pignon corrigé Pour compener le déformation due aux effort aini que le poible erreur de montage et obtenir un meilleur engrènement, il et ouvent utile de corriger la urface de denture du pignon. Le correction de denture ont une définition particulière et ne ont appliquée que ur de partie précie de la urface de denture. Il 'avère donc impoible d'obtenir directement une équation imple de la urface d'un pignon corrigé. La urface d'un pignon corrigé ne peut être définie implement que numériquement. Néanmoin, il et néceaire d'avoir une repréentation paramétrique de cette urface afin de pouvoir appliquer la méthode définie précédemment et imuler l'engrènement d'un pignon corrigé avec une roue face. Il faudra donc générer la géométrie du pignon dan de ection définie, pui interpoler cette urface de façon à en obtenir une repréentation paramétrique à paramètre. 59

60 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face La génération d'un pignon corrigé hélicoïdal et baée ur celle d'un pignon corrigé droit. En effet, le profil hélicoïdal étant un profil droit dan le plan apparent et le correction de denture étant également définie dan le plan apparent, il uffit de définir un pignon droit, pui d'appliquer une rotation fonction du pa d'hélice au profil afin d'obtenir un pignon hélicoïdal Type de correction prie en compte Le correction effectuée ur la urface de denture du pignon correpondent à une déviation du profil de la dent par rapport au profil théorique et peuvent être appliquée en pied de dent, en tête de dent, ur toute ou ur une partie eulement de la largeur denture. Le correction ont claée en deux catégorie principale (Fig..) : - Correction de profil : le profil elon la hauteur de dent et dévié du profil théorique en développante de cercle. - Correction de bombé : le profil elon la largeur de dent théoriquement rectiligne et remplacé par un profil circulaire. Correction de profil Correction de bombé Figure. : Correction de profil et de bombé Définition de la droite d'action Pour de engrenage cylindrique, le correction de denture e définient claiquement de manière différente : oit directement ur le profil, oit ur la droite d'action. Lor de l'engrènement d'un pignon cylindrique avec une roue face, il n'exite pa de droite d'action. Il et donc préférable de définir le correction directement ur le profil du pignon. Néanmoin, le calcul préci de profondeur de correction à prendre en compte aux différent point de définition du profil du pignon néceite obligatoirement la définition d'une droite d'action, puique l'équation de la droite ou de la parabole définiant la correction n'exite que ur une droite d'action (cf ). 60

61 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Il faut donc définir une droite d'action propre au pignon. Pour définir le correction de denture, eule le longueur iue de la droite d'action ont néceaire. Son orientation n'a pa d'importance, il et donc poible de contruire cette droite d'action en e baant ur la définition claique d'une droite d'action d'un engrenage cylindrique (Fig..3). A A I r a r E r dev r a r T T O r b r dev E r b Figure.3 : Droite d'action du pignon Cette droite d'action et tangente au cercle de bae du pignon en T et pae par le point I au primitif. Le point permettant de définir le correction de denture ont le point A et E. Le point A et l'interection de la droite d'action avec le cercle de tête, et le point E et l'interection trochoïde-développante. Le longueur utile de la droite d'action eront alor définie par : T E = r dev r b T I = r r b T A = r a r b (.49) (.50) (.5) où r b et le rayon de bae du pignon, r le rayon primitif, r a le rayon de tête et r dev le rayon d'interection trochoïde-développante Paramétrage de correction de denture Correction de profil Le correction de profil ont définie en général par une profondeur de correction normale au profil et une longueur de correction. La profondeur et la longueur de correction peuvent varier linéairement elon la largeur de denture et ne couvrent pa forcément toute la largeur de denture. Le correction ont ici définie à partir de la face "avant" du pignon qui correpond au rayon intérieur de la roue face. Le correction ont définie à partir d'une ditance Dk ur une largeur Ek inférieure ou égale à la largeur de denture (Fig..4). Aini, chaque correction néceite un paramètre de profondeur et un paramètre de longueur, en Dk et en Ek. 6

62 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le correction eront donc définie par le paramètre uivant (Fig..4) : - Dka : début de la correction en tête ur la largeur de denture - Eka : largeur de la correction en tête - lca (LCA ) : longueur de la correction de tête en Dka - ca (CA ) : profondeur de la correction de tête en Dka - lca (LCA ) : longueur de la correction de tête en Eka - ca (CA ) : profondeur de la correction de tête en Eka - Dkf : début de la correction en pied ur la largeur de denture - Ekf : largeur de la correction en pied - lcf (LCF ): longueur de la correction de pied en Dkf - cf (CF ) : profondeur de la correction de pied en Dkf - lcf (LCF ) : longueur de la correction de pied en Ekf - cf (CF ) : profondeur de la correction de pied en Ekf NB : le notation de profondeur et longueur de correction en minucule correpondent aux correction donnée ur la peudo droite d'action, en majucule ur le profil. NB : lorque la correction de profil couvre toute la large de denture, le paramètre Dka (ou Dkf) et néceairement nul, et le paramètre Eka (ou Ekf) era alor égal à la largeur de denture du pignon. Lorque la correction ne couvre pa toute la largeur de denture, le début ou la fin de la correction doit être tangent au profil initial, et certain paramètre de définition ont alor néceairement nul. La forme de correction aini définie pourra être de deux type (Fig..5) : - Linéaire : la déviation du profil par rapport au profil théorique évolue de façon linéaire par rapport à la peudo droite d'action. - Parabolique : la déviation du profil par rapport au profil théorique évolue de façon parabolique par rapport à la peudo droite d'action. Sur le figure.4 et.5, différente poibilité de correction ont repréentée. Sur la figure.4, la correction de tête commence en Dka et e termine ur la face arrière du pignon (LCA et CA ont alor nul). La correction de pied couvre toute la largeur de denture (Dkf et alor nul). Sur la figure.5, la correction de tête et parabolique et couvre toute la largeur de denture (Dka et alor nul). La correction de pied et linéaire, commence ur la face avant et e termine en Ekf (Dkf, lcf et cf ont alor nul). 6

63 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Ek a CA LCA Dk a Face arrière LCF CF LCF Ek f Face avant CF Figure.4 : Correction définie ur le profil. lca Face arrière Ek a ca Largeur de denture A E T ca Face avant cf Ek f Cercle de bae lcf lca Correction parabolique Correction linéaire Correction de bombé Figure.5 : Correction définie ur la droite d'action. Le correction de bombé ont définie au rayon primitif du pignon. Le bombé défini ici couvrent toute la largeur de denture et ont dit "en bateau". Il peuvent être ymétrique ou diymétrique. Un bombé et défini par deux longueur Cbl et Cbl par rapport à la face avant et deux profondeur Cb et Cb (Fig..6). La profondeur de bombé définit la profondeur maximum de matière à enlever ur la largeur de denture. Le bombé et tangent au profil théorique en e deux point de définition repéré par Cbl et Cbl. La profondeur de correction de bombé et contante dan une ection du pignon. 63

64 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Profil théorique Profil bombé C b C b Face avant C bl Face arrière C bl Largeur de denture Figure.6 : Définition d'une correction de bombé Correction d'hélice De correction d'hélice peuvent également être prie en compte dan le modèle. Elle ont définie par une variation C β de l'angle d'hélice théorique au primitif β p. La valeur β + p C remplace implement β β p dan la définition du profil du pignon Génération du pignon corrigé La géométrie du pignon corrigé et générée dan de ection perpendiculaire à on axe. Le profil défini et donc un profil plan. Pour chaque point de définition du profil du pignon, il faut d'abord calculer le point théorique du profil en développante, pui l'épaieur à enlever au profil théorique en fonction de divere correction (Fig..7). M (profil corrigé) Y p M (profil théorique) Correction c T φ b invϕ ϕ r b O p X p Figure.7 : Définition de la géométrie du pignon corrigé 64

65 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le repère de définition du pignon corrigé S p (Fig.7) préente une ymétrie au milieu de la dent du pignon, de façon à pouvoir définir le pa de calcul ur la droite d'action. L'origine du repère S p et fixée ur la face avant du pignon (correpondant au rayon intérieur de la roue). Le coordonnée d'un point M' du profil corrigé ont définie à partir de coordonnée d'un point M du profil théorique : & X' X r' = = M ' M Y' Y avec rb in( φb invϕ) X coϕ ( ) = Y rb co φb invϕ coϕ (.5) (.53) où ϕ peut être défini aui bien ur le profil que ur la droite d'action (propriété de la développante) et et donné par : ϕ = tan T M r b (.54) L'épaieur à enlever due aux divere correction et calculée implement à partir de la valeur de la correction ur la droite d'action c (cf. Annexe A..) et du point T (Fig..7). X X T c T M M ' M = (.55) Y YT c T M Le vecteur M ' M ervira de upport au vecteur unitaire normal à la urface : n n x y = M ' M M ' M (.56) Dan le ca d'un pignon hélicoïdal, il faut enuite appliquer une rotation à chaque profil due à l'angle d'hélice. La correction d'hélice et également prie en compte ici. La rotation pour un profil d'abcie z, era (± en fonction du en de l'hélice) : β i z C β = ± tan β + p tan (.57) r bp 65

66 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le point du profil du pignon corrigé eront alor défini dan le repère S p par (± en fonction du coté du profil) : X Y p co βi = in βi p in βi X ' ± co β i Y' (.58) et le vecteur unitaire normaux pour le deux première coordonnée par : n n xp yp co βi = in βi in β n i ± co βi n x y (.59) La troiième coordonnée du vecteur unitaire normal qui et nulle pour un pignon droit, et contante et fonction de l'angle d'hélice de bae β b pour un pignon hélicoïdal : nzp = ±in β b (.60) Interpolation de la urface du pignon corrigé Le profil du pignon corrigé étant défini numériquement dan on repère propre, il faut interpoler la urface de façon à obtenir une équation de la urface du pignon corrigé à deux paramètre. Pour que le équation d'interpolation puient être utiliée directement dan la méthode développée au 3., le point du pignon corrigé aini que le normale unitaire définie dan le repère S p ont préalablement projeté dan le repère S par la tranformation uivante : X Y Z coλ = in λ 0 in λ coλ L + L X Y b Z p p p (.6) et n n n x y z co λ = in λ 0 in λ co λ 0 0 n 0 n n xp yp zp (.6) π où λ = ± elon le coté de la dent à interpoler. N Pour une préciion optimale, la urface du pignon, aini que le normale unitaire ont enuite interpolée individuellement grâce aux carreaux de Coon (cf. Annexe A3.). La urface obtenue et alor une urface à deux paramètre u et v qui ont alor utilié à la place de θ et Z dan le différente équation du 3.. Il en et de même pour le normale unitaire. 66

67 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 3.4 Réolution du problème 3.4. Différente zone de contact Le urface active de la roue et du pignon étant phyiquement limitée, le deux type de contact défini au 3.. (qui conidèrent de urface mathématiquement infinie) aboutient en pratique à de nombreux ca de contact. En effet, que le contact oit un contact entre deux urface ou un contact entre une urface et une courbe, il pourra être itué phyiquement ur l'une de limite de partie active de la roue ou du pignon. En plu d'un contact quelconque défini au 3.. il faut donc conidérer le zone uivante : - contact en tête de dent de la roue face, - contact en tête de dent du pignon, - contact en bord de dent de la roue face, - contact en bord de dent du pignon, - contact ur le dernier point du flanc actif de la roue, - contact ur le dernier point du flanc actif du pignon. Chacune de ce zone et régie par une relation géométrique. Contact en tête de dent de la roue face En tête de dent de la roue face, la valeur Z a de Z et connue. Z a R rdev = tan( π γ ) in( π γ ) (.63) Contact en bord de dent de la roue face Le point en bord de dent de la roue face ont itué ur le cône de rayon R = L ou R = L elon le bord conidéré. Il vérifient la relation uivante : X Z Z = a + Y + R tan( π γ ) (.64) Contact ur le dernier point du flanc actif de la roue face : Le dernier point du flanc actif de la roue face a été taillé par la tête de l'outil dont la valeur de θ et connue : θ = θ m (.65) 67

68 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Contact en tête de dent du pignon En tête de dent du pignon la valeur de l'un de paramètre du pignon et connu : θ = θ m pour un pignon non corrigé (.66) u = pour un pignon corrigé (.67) Contact en bord de dent du pignon En bord de dent du pignon, la valeur de l'un de paramètre du pignon et connue : Z = Z min ou Z = Z max elon le bord conidéré pour un pignon non corrigé (.68) v = 0 ou v = elon le bord conidéré pour un pignon corrigé (.69) Contact ur le dernier point du flanc actif du pignon : Sur le dernier point du flanc actif du pignon, la valeur de l'un de paramètre du pignon et connue : θ = θ min pour un pignon non corrigé (.70) u = 0 pour un pignon corrigé (.7) 3.4. Détermination de la zone de contact Le point de contact entre le pignon et la roue face dépendent toujour de 7 paramètre : - 3 paramètre pour définir un point de la roue face : o paramètre pour définir un point ur l outil : θ, Z, o paramètre pour définir la poition de l outil lor du taillage : φ, - paramètre pour définir un point du pignon: θ, Z (ou u et v), - paramètre pour poitionner repectivement la roue face et le pignon, leur angle de rotation : φ' et φ'. Dan le ca général (contact de tangence entre le deux urface), aucun de paramètre n et connu et la définition du contact n et régie que par 5 équation indépendante. Lor d'un contact en bord, la définition du contact et régie par 4 équation indépendante auxquelle il et toujour poible de rajouter une relation géométrique (cf. 3.4.). Enfin tou le point du flanc actif de la roue face doivent toujour vérifier l'équation d'engrènement (cf...4). Dan tou le ca, ce ne eront donc que 6 équation qui eront diponible pour définir 7 paramètre. Le problème et iotatique, il et donc néceaire de fixer un paramètre pour pouvoir réoudre. La cinématique étant étudiée en quai-tatique, la poition angulaire de la roue (paramètre φ' ) et choiie comme paramètre d'entrée, le problème devient alor oluble. 68

69 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Pour chaque poition cinématique, le point ou ligne de contact ont alor recherché ur 5 dent imultanément. Lorque le contact entre la roue face et le pignon et ponctuel, le deux urface ne ont tangente qu'en un eul point unique, une utiliation adaptée de toute le équation diponible permet alor de déterminer le point de contact quelle que oit la configuration. Lorque le contact et linéaire, une indétermination urvient car le équation propoée admettent alor une infinité de olution (une infinité de point de contact contituant la ligne de contact). Le problème n'et donc pa oluble directement. Afin de pouvoir réoudre le problème, la urface de dent de la roue face et conidérée comme une ucceion de ection conique (puique a géométrie et de bae conique). La urface aini dicrétiée, un point de contact et recherché dan chaque ection comme 'il 'agiait d'un contact en bord de dent. Le ytème d'équation défini au 3... et réolu dan chaque ection conique de rayon R avec la relation géométrique upplémentaire uivante, correpondante à la définition analytique d'un cône : X Z Z = a + Y + R tan( π γ ) (.7) Pour qu'un point de contact oit validé, il faut en plu 'aurer qu'il vérifie bien l'équation (.5), c'et-à-dire que le deux urface ont bien tangente en ce point, puique phyiquement il ne 'agit pa d'un contact en bord. Enfin, comme pour le ca de contact ponctuel, une utiliation enuite adaptée de toute le équation diponible permet de déterminer le zone de contact quelle que oit la configuration Ca particulier du premier et dernier point d engrènement La détermination de point de contact étant effectuée ur de valeur fixe du paramètre de rotation de la roue face, il faut en premier lieu déterminer e borne, c'et-à-dire la poition exacte de la roue lor du premier et dernier point d'engrènement, oit le valeur φ' i et φ' f du paramètre φ'. Le problème poède donc ici effectivement 7 inconnue. Il faudra alor rechercher un point de contact de tangence entre le deux urface (6 relation) dan de zone bien définie de la roue et du pignon ( relation géométrique upplémentaire). 69

70 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Premier point d'engrènement Le pignon étant toujour conidéré comme moteur, le premier point d'engrènement et recherché dan le zone uivante : - En tête de dent de la roue, - Sur le dernier point du flanc actif du pignon. Dernier point d'engrènement De même, le dernier point d'engrènement et recherché dan le zone uivante : - En tête de dent du pignon, - Sur le dernier point du flanc actif de la roue. De même que pour la détermination de la zone de contact, le premier et dernier point d'engrènement peuvent également être trouvé en bord de dent, grâce à l'utiliation conjointe de relation géométrique (exemple : tête de dent du pignon + bord de dent de la roue). Dan le ca d'un contact linéaire, la méthode décrite ci-deu pour trouver le premier et dernier point d'engrènement 'avère inefficace. En effet, lor de l'engrènement, pour le poition cinématique où la ligne de contact ne couvre pa toute la largeur de denture, celle-ci 'arrêtent oit en tête de dent, oit à l'interection flanc actif-trochoïde. La recherche d'un point dan ce zone aboutira à un nombre infini de olution. La eule olution pour trouver ce premier et dernier point d'engrènement et donc l'utiliation d'une méthode itérative. Une boucle et effectuée ur le paramètre φ'. Pour chaque valeur de φ' au moin un point de contact ur la dent et recherché de la méthode du Comme précédemment le premier et dernier point d'engrènement eront bien ûr toujour recherché dan le zone particulière de la tête de dent ou de l'interection flanc actiftrochoïde. La valeur de φ' i recherchée era déterminée de la manière uivante : - la dent 3 et en contact à la poition cinématique φ ' = φ' i - la dent 3 n'et pa en contact à la poition cinématique φ' = φ' i ε, ε étant la préciion avec laquelle φ' i et recherchée. φ' f era recherché de la même façon en conidérant que la dent ne doit plu être en contact à la poition cinématique φ ' = φ' f + ε 70

71 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 3.5 Rapport de conduite et erreur cinématique à vide Rapport de conduite Lor de la imulation de la cinématique, il et difficile de définir un rapport de conduite pour la roue face. En effet, le zone de contact n'étant pa régulière ur la largeur de denture, le rapport de conduite réel varie d'un côté à l'autre de la roue. L'utiliation d'une valeur moyenne et préférable, urtout dan l'optique d'effectuer de comparaion avec d'autre type d'engrenage. Cette valeur moyenne et définie comme le nombre moyen de dent en prie durant un engrènement total de la dent centrale. Ce rapport de conduite moyen peut être défini à partir de angle de rotation de premier et dernier point d'engrènement, φ' i et φ' f, rapporté au nombre de dent total de la roue face N, oit : ε α = N π ( φ' φ ) f ' i (.73) Erreur cinématique à vide L'erreur cinématique à vide et définie à partir d'une poition arbitraire calculée an erreur de taillage ou d'aemblage. La poition choiie et celle pour laquelle le paramètre φ' et nul, mai cela aurait pu être n'importe quelle autre puique l'erreur cinématique théorique à vide et toujour nulle an erreur. A cette valeur nulle du paramètre φ', correpond une valeur φ' (φ' = 0) du paramètre φ'. L'erreur cinématique à vide peut alor être définie grâce à la différence de la poition réelle du pignon par rapport à cette poition an erreur. Elle et ramenée à la roue face par la relation uivante : φ φ N ( φ' φ' ) ' = ' ( φ' = 0) N (.74) où N et N ont le nombre de dent du pignon et de la roue face repectivement. 7

72 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 4 Répartition de charge L'objectif de la détermination de la répartition de charge et d'étudier le capacité de charge de engrenage face, en prenant en compte à la foi le effet de flexion globale du corp et le propriété mécanique de déformation de urface au niveau du contact. Pour une modéliation optimale, le deux effet ont éparé (Vijayakar [3], Hiltcher [4]) et peuvent être traduit par de coefficient d'influence. L'effet de flexion et calculé grâce à une modéliation par élément fini, et celui de urface et déterminé par une approche locale. Cette approche et baée ur une dicrétiation de la zone de contact à traver le théorie de Hertz et Bouineq. Finalement la réolution de l'équation de compatibilité de déplacement en tout point de contact potentiel permet d'obtenir la répartition de charge, conjointement avec la ditribution de preion intantanée. 4. Réolution de l équation de compatibilité de déplacement 4.. Decription du problème Le problème de la répartition de charge et avant tout un problème de contact entre deux corp. Ce problème et un problème claique de mécanique de contact défini par Signorini (Kalker [7]). L'idée de bae pour la réolution de ce problème et d'éviter l'interpénétration de deux corp en préence tout en repectant le principe de l'énergie potentielle minimum. Sur une zone de contact potentielle (Γ), la répartition de charge adéquate et recherchée, telle qu'elle atifae l'équation de compatibilité de déplacement (condition de non pénétration de corp) en tout point de deux corp olide (Fig..8) : W W k k + W + W k k + ε k P 0 k k + ε k P = 0 α = 0 α 0 dan la zone de contact (Γ) (.75) hor de la zone de contact (Γ) (.76) où W k et W k ont le déplacement normaux de corp et au point k, ε k et l'écart initial au point k, α l'écraement de urface en contact et P k la preion au point k. 7

73 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face W k Pignon ε k Roue face W k La charge totale F doit en outre atifaire : Figure.8 : Contact entre deux corp pdγ = F Γ (.77) En uppoant la preion contante ur une petite urface rectangulaire S k autour du point k, l'intégrale précédente devient : N k = pk Sk = F (.78) où N et le nombre de urface rectangulaire conidérée. 4.. Propriété élatique Le propriété élatique de deux corp (repect du principe de l'énergie potentielle minimum) permettent d'écrire le déplacement normal du corp i au point k ou la forme : ik N W = C j= i kj p j (.79) où i C kj ont le coefficient d'influence du corp i. Pour le deux corp : C = C + C kj kj kj (.80) 73

74 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Il vient alor : N W + W = C P (.8) k k j= kj j Si la ditance entre le deux corp au point k aprè chargement et notée y k, le problème peut alor 'écrire de la manière uivante : N j= N k= C p kj k S p k j + ε k = F α = y k k [, N] (.8) Le problème exprimé ici poède N+ équation (N condition de compatibilité de déplacement et condition ur la charge totale), avec N+ inconnue : p k y k, α N inconnue N inconnue inconnue Il et toutefoi poible de réoudre en utiliant le N condition upplémentaire apportée par : Pk yk = 0 0 k [, N] hor de la zone de contact (Γ) (.83) ou Pk yk 0 = 0 k [, N] dan la zone de contact (Γ) (.84) 4..3 Réolution du problème En utiliant le relation (.83) et (.84) et en poant 'écrire : z k y = k + α, le problème peut alor N Ckj pj + ε k = zk k [, N] j= N pksk = F (.85) k= pk( zk α ) = 0 k [, N] avec P k, z k et α comme inconnue. Le problème défini poède maintenant N+ équation avec N+ inconnue. 74

75 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 75 Il peut être réduit par : = + = = = k N j k j kj k N k k k P p C p F S p α ε (.86) + = = = = N j k j kj k k N k k k p C p p F S p ε α (.87) + = = + = = = N j k j kj k k N k N j k j kj k k p C p p F p C S p ε α ε α (.88) + = + = = = = N j k j kj k k N k N j k j kj k k p C p p p C S p F ε α ε α (.89) Et c'et finalement un ytème de N équation non linéaire à N inconnue qu'il faut réoudre : [ ] N k p C p p C S p F p N j k j kj k N k N j k j kj k k k, + + = = = = ε ε (.90) Ou bien ou forme matricielle : [ ] [ ] ( ) P F P = (.9)

76 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Qui peut être réolu par une méthode numérique itérative de la forme : ( ) [ ] i + P = F[ P] i (.9) où [ P ] i et le vecteur de preion à l'itération i. 4. Définition de coefficient d influence Le coefficient d'influence C ij correpond au déplacement du point i dû à une preion unitaire autour du point j. Ce coefficient pourraient être calculé directement numériquement (par une modéliation par élément fini par exemple), mai le déplacement au point de chargement ne relaterait que médiocrement l'effet de urface i le maillage n'et pa d'une trè grande finee (Bibel [37]). C'et pourquoi il et préférable de éparer l'effet de flexion de l'effet de urface (Vijayakar [5]) : C = C + C + C ij f ij f ij ij (.93) f C ij C f où et ij correpondent à la flexion de corp et, et lorque le corp et ont en contact. C ij à la déformation de urface 4.. Coefficient d influence de urface Pour chaque poition cinématique, la zone potentielle de contact et maillée dan le plan tangent (cf. 4.3.) au contact (Fig..9 et.30). Le déplacement normal du corp i au point k de coordonnée (x,y) dan le plan tangent dû à une charge P au point j de coordonnée (x',y') et calculé en utiliant le réultat de la théorie de Bouineq [6] : W i ( x, y) ν i = πe i Sc P( x', y' ) dx' dy' ( x x' ) + ( y y' ) (.94) où S c et la urface de contact, ν i le coefficient de Poion du corp i et E i le module d'young du corp i. Remarque : comme la preion et nulle à l'extérieur de la zone de contact, l'intégrale peut être généraliée ur tout le plan tangent, quelle que oient e dimenion. 76

77 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face N Corp Corp X Plan tangent au contact Y N Figure.9 : Maillage dan le plan tangent () P j a b j k W k Figure.30 : Maillage dan le plan tangent () 4... Déplacement normal du corp i En uppoant la preion contante ur un carreau du maillage, le déplacement normal du corp i au point k peut 'écrire : W ik ν i = πe i N p dxdy ( x x ) + ( y y ) j j = Sj k où S j et la urface autour du point j ([ x a; x + a][, y b; y b] ) k j j j j + (.95) 77

78 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 78 En effectuant le changement de bae uivant : = = j j y y Y x x X (.96) Le déplacement normal devient : ( ) ( ) = = N j a a b b k j k j j i i ik y y Y x x X dxdy p E W π ν (.97) avec ( ) ( ) = a a b b k j k j kj y y Y x x X dxdy a (.98) Le déplacement normal peut finalement être exprimé par : = = N j j kj i i ik p a E W π ν (.99) 4... Coefficient d'influence Le déplacement du point k dû aux effet de urface correpond en fait au déplacement de deux corp et : k k k W W W + = (.00) Soit : = + = N j j kj k p a E E W π ν π ν (.0) En exprimant le déplacement ou la forme : j N j kj k p W C = = (.0) le coefficient de urface peuvent 'exprimer : kj k a E E C. + = π ν π ν (.03)

79 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Pour une urface rectangulaire de dimenion Love [6] : a b, la valeur de a kj a été déterminée par a kj = ( x a) ln ( y b) + ( y b) + ( x a) ( y + b) + ( y + b) + ( x a) + + ( x + a) ( y b) ln ln ( y + b) + ( y + b) + ( x + a) ( y b) + ( y b) + ( x + a) ( x a) + ( y b) + ( x a) ( x + a) + ( y b) + ( x + a) (.04) + avec : ( y + b) ln ( x + a) + ( y + b) + ( x + a) ( x a) + ( y + b) + ( x a) x = x y = y k k x y j j (.05) 4.. Coefficient d influence de flexion Le coefficient d'influence de flexion ont calculé grâce à une modéliation par élément fini. Pour chaque poition cinématique, le coefficient d'influence de flexion ont le déplacement induit par le chargement unitaire d'un point de contact potentiel ur tou le autre point de contact potentiel (Fig..3). Le caractéritique précie de modèle élément fini utilié ont décrite au chapitre 3. Chaque point doit être chargé ucceivement afin d'obtenir tou le coefficient d'influence de flexion. 79

80 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Charge appliquée = N Déplacement induit ur une dent Figure.3 : Chargement et déplacement du à la flexion Le point de contact potentiel conidéré pour le calcul par élément fini ont le point du maillage du plan tangent défini au 4... La largeur de la zone de contact étant trè faible devant la longueur (le contact et oit linéaire, oit ponctuel, mai aboutit à une ellipe de contact trè allongée ou charge dont le rapport largeur/longueur et généralement au maximum égale à /0 pour de charge faible), la flexion et conidérée contante elon la largeur de contact. Le coefficient de flexion ne ont donc calculé que ur le nœud centraux du maillage du plan tangent. Lor d'un calcul claique par élément fini, le déplacement calculé prennent en compte à la foi le effet de flexion, le déformation de urface aini que de effet du au maillage lui-même qui e déforme notamment autour du point d'application de la charge. Afin d'obtenir uniquement le effet de flexion, Sainot [6] propoe d'effectuer le calcul en deux étape ucceive avec de condition aux limite différente (Fig..3) : - Calcul avec flanc antimologue au contact libre : permet d'obtenir le déplacement dû à la conjugaion de tou le effet cité précédemment, - Calcul avec flanc antimologue au contact bloqué : permet d'obtenir le déplacement dû à la conjugaion de tou le effet cité précédemment auf celui de flexion. [] [] Zone de contact Surface bloquée par encatrement Flanc antimologue au contact bloqué par encatrement Figure.3 : Différent ca de condition aux limite 80

81 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Pour chaque ca p de condition aux limite, le déplacement obtenu au point j pour une charge unitaire au point k peut 'écrire : C = W if [p] kj j (.06) Le coefficient d'influence de flexion ont alor obtenu grâce à la différence de deux calcul : C if kj = C if kj [] if [ ] C kj (.07) Finalement le coefficient d'influence de flexion pour le deux corp ont donné par : C f kj = C f kj + C f kj (.08) 4.3 Définition et maillage du plan tangent Le calcul de coefficient d'influence néceite un maillage rectangulaire plan, qui doit être défini trè préciément Hypothèe ur la zone de contact Pour définir le plan tangent, quelque hypothèe doivent être faite ur la zone de contact ou charge. Tout d'abord, la zone de contact déformée doit être conidérée plane dan le ca d'un contact pignon - roue face (Fig..33). Corp F Corp Plan tangent A vide Sou charge Figure.33 : Zone de contact ou charge Cette hypothèe a pluieur conéquence, notamment ur le normale aux urface de deux corp en contact. 8

82 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Il et néceaire d'aumer que le normale au plan tangent et le normale aux urface à vide ont égale, de manière à pouvoir conidérer par la uite un chargement unidirectionnel (Fig..34). Il et évident que ou charge, i le contact et plan alor le normale au plan et aux urface eront bien confondue. ε Normale réelle au point potentiel de contact Normale utiliée pour le calcul de coefficient de flexion Figure.34 : Hypothèe de normale confondue à vide Cette première conéquence en amène une deuxième : i le normale aux urface ont égale à celle du plan, alor elle ont toute égale entre elle. Il faut noter que ce hypothèe ne concernent que la zone de contact entre le deux urface et ne peuvent en aucun ca être généraliée à toute la urface de denture de l'engrenage face. Le plan tangent doit être défini en un point de contact potentiel préci. Dan le ca d'un contact ponctuel où il n'y a qu'un eul point de contact potentiel, le choix et évident. Par contre dan le ca d'un contact linéaire, le choix et plu délicat puique notamment le normale aux urface varient elon la largeur de contact, et elle vont toute être aimilée à la normale du point de définition du plan tangent choii. Afin d'avoir une déviation angulaire ε (Fig..34) qui rete la plu faible poible, il et néceaire de choiir un point dont la normale et la plu proche poible de la moyenne de toute le normale. Ce point et itué au milieu de la ligne de contact, et era par la uite utilié pour définir le plan tangent. Toute le hypothèe effectuée ici ont été vérifiée et validée pour le engrenage face conidéré dan cette modéliation (cf. Chapitre 3). 8

83 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 4.3. Etimation de la taille du contact Afin de définir la ditribution de preion la plu précie poible, il et néceaire d'avoir une taille de maillage du plan tangent optimale. La théorie de Hertz et utiliée pour définir cette taille. Il n'et pa ici néceaire de vérifier préciément que toute le condition particulière d'application de cette théorie [6] ont bien vérifiée. En effet, le eul réultat utilié era la taille de la zone à mailler. Cette taille pourra n'être qu'un point de départ pour la définition du maillage et être éventuellement corrigée en pratique i elle 'avère trop grande ou trop petite par la uite. Néanmoin il et néceaire de connaître une taille initiale précie pour pouvoir effectuer le maillage du plan tangent. Dan le ca d'un contact ponctuel, la zone de contact ou charge et elliptique et le contact et aimilé au ca de contact général (hyperboloïde-hyperboloïde) de la théorie de Hertz. Le demi axe de l'ellipe de contact ont alor donné par : 3FR' R" b = 4 ' Ek R 3 (.09) R' a = b R" 3 (.0) où F et la charge totale appliquée, E k le module d'young équivalent, R' et R" ont le rayon de courbure équivalent au point de contact. Pour un contact linéaire, la théorie de Hertz donne la demie largeur de contact en fonction de a longueur : b = 8FR" πe L k (.) où F et la charge totale appliquée, E k le module d'young équivalent, R" le rayon de courbure équivalent et L la longueur de la zone de contact. Le module d'young équivalent et défini par : E k = ν E + ν E (.) où E et E ont le module d'young de corp et, et ν et ν leur coefficient de Poion. 83

84 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Le rayon de courbure équivalent ont calculé à partir de rayon de courbure du pignon et de la roue au point de contact conidéré : = R' R + R 3 (.3) = R' ' R + R 4 (.4) où R et R ont le rayon de courbure du pignon elon repectivement la longueur et la largeur de contact, R 3 et R 4 ceux de la roue Direction principale et rayon de courbure Le dimenion donnée par la théorie de Hertz ont dépendante de rayon de courbure de deux corp dan la direction du contact. Il et donc néceaire de calculer au préalable le rayon de courbure. Le rayon de courbure ont défini à partir de rayon de courbure principaux, qui ont calculé dan le direction principale de la roue et du pignon. Pour de urface paramétrique à deux paramètre (pignon), le rayon de courbure et direction principale peuvent être calculée directement (cf. Annexe A.3.). Par contre, lorque la urface et définie à l'aide de 3 paramètre (roue face), le calcul direct et impoible. Il et donc néceaire d'interpoler la urface de la roue ou une forme paramétrique à deux paramètre afin d'obtenir le rayon de courbure principaux et le direction de courbure principale de la roue. L'interpolation utiliée et l'interpolation par carreaux de Coon (cf. Annexe A3.). Le rayon de courbure calculé principaux (R p et R p pour le pignon, R p3 et R p4 pour la roue) étant défini, le rayon dan le direction du contact (direction du maillage) ont donné par le relation uivante : R co α in α = + R p R p où α et l'angle entre le direction de R p et R. (.5) R co α in α = + R p R p où α et l'angle entre le direction de R p et R. (.6) 84

85 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face R 3 co α in α = + R p 3 R p 4 où α et l'angle entre le direction de R p3 et R 3. (.7) R 4 co α in α = + R p 3 R p 4 où α et l'angle entre le direction de R p4 et R 4. (.8) Bae du plan tangent Pour pouvoir mailler le plan tangent, il faut au préalable définir le direction de maillage, c'et-à-dire la bae du plan tangent dan le repère de la roue ou du pignon. Le plan tangent et défini par rapport à la roue face. La modéliation développée ici permettant d'étudier pluieur dent imultanément en contact, la réolution de l'équation de compatibilité de déplacement doit être effectuée ur toute le dent en contact en même temp. Afin de pouvoir appliquer la théorie de Bouineq, le élément de maillage doivent avoir la même taille ur toute le dent, et le plan tangent à chaque dent doivent être parallèle entre eux pour que le déplacement normaux aient la même direction. Il faut donc définir une dent de référence parmi le dent en contact pour déterminer la taille du maillage aini que on orientation (bae du plan tangent), pui un point de référence ur chaque dent pour définir le plan tangent propre à chaque dent. Le point de référence ur chaque dent, iu de la imulation de la cinématique à vide, aura pour coordonnée (X c,y c,z c ) dan le repère de la roue face. Le point de référence ur la dent de référence aura pour normale unitaire (n xc,n yc,n zc ) dan le repère de la roue face. Le direction du plan tangent ont toujour définie en ce point. Contact linéaire Pour un ca de contact linéaire la longueur de contact peut varier d'une dent à l'autre. Afin de limiter au maximum le approximation définie au il convient de définir l'orientation du plan tangent ur la dent la plu chargée. La dent de référence choiie pour orienter le plan tangent era donc celle dont la ligne de contact et la plu longue (en uppoant que la charge era proportionnelle à la urface de contact). La ligne de contact n'étant pa une droite, il n'y a pa de direction contante le long du contact. La olution la plu imple et alor d'orienter le plan tangent elon la largeur de denture de la roue face et d'utilier par la uite un maillage "glié" (Hiltcher [4]) qui uivra la ligne de contact (cf , Fig..36). Le plan tangent era perpendiculaire à n zc et on axe x aura pour coefficient directeur : nxc α = (.9) n yc 85

86 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face La bae du plan tangent A pourra alor être complètement exprimée dan le repère de la roue en fonction du vecteur normal unitaire en on point de définition : A ± = ± + α α. n + α n xc zc # ± α + α n zc + α n yc # 0 α. nxc # + α n zc nzc + α (.0) NB : le igne de coefficient ont fonction du côté de la dent en contact. Contact ponctuel Pour un ca de contact ponctuel, il n'y a qu'un eul point potentiel ur chaque dent. La eule dent en permanence en contact durant l'engrènement étudié étant la dent centrale, c'et le point de contact de cette dent qui ervira à définir le plan tangent. La zone de contact ou charge étant elliptique, il et poible d'effectuer un maillage rectangulaire elon le axe de l'ellipe. La direction de l'ellipe et définie grâce aux écart entre le deux urface autour du point de contact potentiel. La zone de contact ou charge era orientée elon le direction où l'écart à vide entre le deux urface et minimum. La direction d'écart minimum et recherchée numériquement en calculant l'écart entre le deux urface ur un cercle unitaire entourant le point de définition du plan tangent. Le point d'écart minimum, de coordonnée (X min,y min,z min ) permet de définir la bae du plan, tangent A dan le repère de la roue. Le bae du plan tangent et exprimée directement à partir du point (X c,y c,z c ), point de référence ur la dent centrale : [ A ] X nyc = nzc min X ( Zmin Zc ) ( Y Y ) n min xc c c n + n Y xc zc min Y ( Zmin Zc ) ( X X ) n min yc c c n n Z xc yc min Z ( Ymin Yc ) ( X X ) n min zc c c (.) 86

87 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Que le contact oit ponctuel ou linéaire, la bae du plan tangent dan le repère du pignon 'exprime alor en fonction de a définition dan le repère de la roue par : [ A ] = [ A ] ' ' coφ coφ ' ' + coγ inφinφ ' ' coφ inφ ' ' + coγ inφcoφ ' in γ inφ ' ' inφcoφ + coγ inφ inφ ' ' in γ coφ ' ' ' ' inφ inφ + coγ inφ coφ ' + coγ inφ ' in γ coφ coγ (.) Maillage de la zone de contact L'orientation, la taille et la poition du maillage étant définie, la zone potentielle de contact et dicrétiée en fonction du nombre de point déiré pui maillée avec de rectangle. Contact ponctuel Dan le ca d'un contact ponctuel, le maillage effectué dan le plan tangent et un maillage rectangulaire claique (Fig..35) centré ur le point de référence (point de contact théorique à vide) de chaque dent. Le repère (x,y) repréente la bae du plan tangent. Figure 35: Exemple de maillage 5x5 du plan tangent pour un contact ponctuel 87

88 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Contact linéaire Dan le ca d'un contact linéaire, le maillage et appuyé ur le point de contact potentiel trouvé lor de la cinématique. Le nombre de point utilié pour dicrétier la largeur de denture à ce moment ert à définir le nombre d'élément du maillage elon la longueur de contact (Fig..36). Lorque la ligne de contact à vide ne couvre pa toute la largeur de denture, le nombre d'élément era plu faible. De plu dan ce ca, la ligne de contact finit en général en tête de dent ou ur le dernier point du flanc actif. Sou charge, il et fort probable que ce zone entrent alor en contact. Afin de pouvoir le prendre en compte, il et néceaire de le inclure au maillage. Pour ce faire, une ligne de contact potentielle upplémentaire et alor rajoutée en tête de dent (Fig..36) ou ur l'interection trochoïde-développante. Le maillage utilié et alor un maillage "glié" qui uit l'inclinaion de la ligne de contact pui la tête dent ou l'interection trochoïde-développante. Sur la figure.36, le repère (x,y) repréente la bae du plan tangent, le point rouge ont le point de contact calculé lor de la imulation de la cinématique à vide et définiant la ligne de contact théorique. Figure.36 : Exemple de maillage" normal" et "glié" 7x9 du plan tangent pour un contact linéaire 88

89 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Ecart initiaux Le dernier élément néceaire à la réolution de l'équation de compatibilité de déplacement ont le écart initiaux ε k (cf. Eq..75 et.76) entre le deux urface pour chaque point du maillage. Le point du maillage ont projeté orthogonalement ur la dent du pignon et ur la dent de la roue. L'écart initial et alor implement défini par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p k z z y y x x z z y y x x = ε (.3) Où (x p, y p, z p ) et un point du plan tangent, (x, y, z ) et (x, y, z ) e projection orthogonale ur le urface du pignon et de la roue. Le projection orthogonale du plan tangent ur la roue et le pignon ont calculée implement à partir de la normale connue au point de référence du plan tangent et de l'équation d'engrènement (cf...4) qui doit toujour être vérifiée pour tou le point de la roue. Le point M du maillage ont d'abord tranpoé dan le repère de la roue par : [ ] + = m m m c c c p p p Z Y X A Z Y X Z Y X (.4) Il uffit enuite de réoudre le ytème : = = = 0. p yc p xc V n Y Y n X X n & & (.5) où le inconnue eront le paramètre d'un point de la roue : φ, θ et Z. De même le point du plan tangent eront exprimé dan le repère du pignon par : [ ] + = m m m c c c p p p Z Y X A Z Y X Z Y X (.6)

90 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face Et le ytème à réoudre era : n n xc yc = X = Y p p X Y (.7) où le inconnue eront le paramètre d'un point du pignon : θ et Z ( ou u et v pour un pignon corrigé). 4.5 Partage de charge, erreur de tranmiion ou charge et rigidité d'engrènement L'équation de compatibilité de déplacement étant réolue (cf. 4.), le partage de charge entre le différente dent en contact et déterminé à partir de preion intantanée de contact. Sur chaque dent, la charge L i et aini donnée pour chaque poition cinématique par : L i = N k= P S k k (.8) où P k ont le preion intantanée en chaque point du plan tangent de la dent i et S k la urface de carreaux du maillage. L'erreur de tranmiion ou charge et liée au rapprochement global de corp α auquel et ajoutée l'erreur de tranmiion à vide. L'erreur de tranmiion ou charge ayant donc une compoante à vide définie angulairement et une compoante ou charge définie linéairement, il et néceaire de tranpoer l'une de deux. Pour faciliter la comparaion avec d'autre type d'engrenage, la définition angulaire a été choiie. Comme le rapport de conduite théorique à vide (cf. 3.5), l'erreur de tranmiion ou charge et variable d'un coté à l'autre de la dent. Afin de déterminer un erreur de tranmiion ou charge moyenne et de limiter le approximation, le rayon du point de définition du plan tangent r a été choii pour caractérier l'erreur de tranmiion. L'erreur de tranmiion ou charge peut être exprimée alor par : ε t = rα + φ' (.9) où φ' et l'erreur de tranmiion à vide et r le rayon du point de définition du plan tangent. La rigidité d'engrènement et également liée au rapprochement de corp par : F K = α (.30) où F et la charge totale appliquée. Tou le réultat iu de cette modéliation du comportement ou charge ont préenté avec l'étude d'un ca complet au chapitre 4. 90

91 Chapitre : Modéliation du comportement ou charge de engrenage face 5 Concluion La modéliation du comportement ou charge en quai-tatique développée ici permet de prendre en compte toute le caractéritique de engrenage face utilié dan l'indutrie aéronautique. La imulation du taillage de la roue face et baée ur le méthode développée par Litvin qui ont été complétée par la prie en compte de la géométrie réelle de outil de taillage aini que d'éventuelle erreur de taillage. L'utiliation d'outil déporté, pointu ou arrondi en tête, droit ou hélicoïdaux et maintenant poible. Toute ce caractéritique ont été introduite analytiquement dan la modéliation. De même la imulation de la cinématique développée par Litvin a été étendue au ca de contact linéaire aini qu'aux contact en bord ou en tête de dent. Le zone de contact ont recherchée ur pluieur dent en contact imultanément, le tout bien ur toujour analytiquement. La poibilité d'utilier un pignon corrigé a également été ajoutée. Enfin une utiliation couplée d'un modèle de contact avec le Elément Fini permet de déterminer le partage de charge entre le dent, conjointement aux preion intantanée de contact. La définition analytique de la roue face à partir de on outil de taillage et du pignon cylindrique ont prie en compte continuellement dan cette modéliation complète, afin d'aurer une préciion optimale et une rapidité de calcul. Cette modéliation a abouti au développement d un logiciel de imulation complet, Gandalf (Generation, ANalyi and Deign Aid for Loaded Face gear). 9

92 Chapitre 3 Validation Introduction L'étape de validation du modèle numérique développé ici et eentielle en terme de cohérence et de confiance pour aurer la qualité de réultat obtenu par le imulation. Cette étape de validation, bien qu évidente en apparence, n et pa aui imple en pratique. En effet, du côté numérique, le comparaion avec d autre réultat (ouvent obtenu d une manière indirecte car le moyen numérique traditionnel ne ont pa forcément finalié pour l étude de engrenage) n a de valeur que relative. L enemble de réultat repréente une certaine valeur de vérité, mai elle n et pa quantifiable. Du côté expérimental, la ituation n et pa triviale, car faire de eai uppoe à la foi de maîtrier toute le condition d eai (géométrie, charge, ) et enuite de meurer de grandeur ignificative. Dan la pratique, la validation expérimentale et alor extrêmement complexe. Cependant, à un premier niveau d ordre de grandeur et de tendance, ce réultat d eai ont utile pour continuer le travaux. Dan le travail préenté ici, eentiellement numérique, de validation ont été mie en place avec le moyen diponible, à la foi numérique et expérimentaux. Aini, différent élément de modéliation, notamment au niveau de la répartition de charge, aini que certain réultat ont pu être validé numériquement ou expérimentalement. La géométrie de roue face a été vérifiée de différente manière. De comparaion ont été effectuée dan un premier temp avec de réultat iu d'autre approche et dan un deuxième temp, indirectement en utiliant de meure 3D de profil de roue face exploitée avec un autre logiciel. 9

93 Chapitre 3 : Validation La validation de la dernière étape de la modéliation, le calcul de la répartition de charge pui de contrainte en pied de dent, et la plu importante. Cette étape de validation permet alor de valider à fortiori le modèle complet. Cette validation a donc été effectuée elon deux approche ditincte. Tout d'abord, le différente étape du calcul et approximation utiliée ont été vérifiée par de analye pécifique effectuée grâce au logiciel Catia. De comparaion avec le logiciel de calcul d'engrenage cylindrique Prince [8] ont enuite été faite. Enfin, le réultat obtenu par imulation ont été comparé à de réultat de meure expérimentale. Le réultat de validation ont préenté en deux partie, tout d'abord le validation numérique, c'et-à-dire la validation de élément de calcul du modèle aini que le comparaion avec d'autre imulation, pui la validation expérimentale. Validation numérique Pluieur validation numérique 'appuient ur de analye effectuée grâce au logiciel Catia. Dan un premier temp, il a donc été néceaire de teter la préciion de telle meure. L'unité de travail de Catia et le millimètre. Le différent tet ont montré que la préciion de meure étaient au mieux fiable au /000, c'et-à-dire micromètre.. Elément de calcul de la répartition de charge.. Calcul de rayon de courbure et direction principale de la roue face Dan le calcul de la répartition de charge, le rayon de courbure et direction principale du pignon ont calculée directement, alor que celle de la roue face 'appuient ur de interpolation par carreaux de Coon. La vérification de ce approximation et importante puique le rayon de courbure et le direction principale ervent de bae à l'etimation de la taille de la zone de contact ou charge. Cette vérification a été effectuée grâce au logiciel Catia. En effet, avec ce logiciel, il et poible d'obtenir directement le valeur de rayon de courbure et direction principale en un point d'une urface. Une roue face, dont la géométrie et iue de la imulation, a été repréentée ou Catia, pui le valeur de rayon de courbure et direction ont été calculée en diver point. Ce valeur ont enuite été comparée aux valeur calculée dan la imulation, directement ou à partir de interpolation de urface. Le tableaux ci-aprè montrent le réultat obtenu pour deux point de la roue face. Ce analye ont été effectuée ur le point de contact de référence de la dent 3 (c'et-à-dire le point de définition du plan tangent, cf. Chapitre, 4.3.5) pour deux poition cinématique différente (lor d'un calcul ur 5 poition). Le valeur comparée ont le valeur de rayon de courbure R et R, aini que le compoante de troi vecteur définiant la bae de direction principale. 93

94 Chapitre 3 : Validation Meure R R X Y Z X Y Z X 3 Y 3 Z 3 Simulation Catia Différence 0.7% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Tableau 3. : Comparaion de rayon de courbure et direction principale, poition cinématique Meure R R X Y Z X Y Z X 3 Y 3 Z 3 Simulation Catia Différence 0.35% -0.04% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Tableau 3. : Comparaion de rayon de courbure et direction principale, poition cinématique 3 Le réultat obtenu ont excellent dan le limite fixée dan cette étude. L'écart maximum meuré pour la valeur de rayon de courbure et de 0.35 %, et pour le compoante de troi vecteur définiant la bae de direction principale aucun écart n'a pu être meuré. Seul le igne de deuxième et troiième vecteur change, ceci étant dû au fait que Catia définit le normale entrante à la urface alor que la imulation définit le normale ortante. Ce analye permettent également par la même occaion de valider le valeur de normale au profil, puique la troiième compoante de la bae de direction principale et jutement cette normale... Approximation du plan tangent La principale hypothèe faite au niveau du plan tangent dan la imulation uppoe que la zone de contact à vide et plane. Cette approximation et obligatoire pour pouvoir utilier le théorie de Bouineq et réoudre l'équation de compatibilité de déplacement. La principale conéquence de cette approximation et l'aimilation de toute le normale de la zone de contact à la normale du plan tangent. Cette normale era utiliée enuite comme direction de chargement lor du calcul par Elément Fini de coefficient d'influence de flexion. Mai ce ne era que la valeur du déplacement dan la direction de chargement aini calculée qui era enuite utiliée pour déterminer le coefficient d'influence de flexion et dan l'équation de compatibilité de déplacement. C'et donc ur ce réultat que la vérification de l'approximation doit être effectuée. Il erait inopportun de e baer uniquement ur la différence de valeur de compoant N x, N y et N z de vecteur normaux réel et du vecteur normal de référence. En effet, cette différence directe ne traduit pa l'impact ur la valeur de chargement ou de déplacement (lor d'un calcul linéaire par élément fini, la valeur du déplacement étant directement proportionnelle à la valeur du chargement, l'impact era en proportion identique pour le deux). Pour connaître cet impact, il convient de projeter orthogonalement elon chaque direction le vecteur de référence ur le vecteur normaux et de comparer alor la longueur projetée par rapport à la longueur réelle car c'et cette valeur qui era effectivement utiliée pour le calcul à la place de la valeur réelle. 94

95 Chapitre 3 : Validation Il et clair ur un exemple en dimenion (Fig. 3.) qu'une variation du imple au double ur l'un de compoant de vecteur (Y a Y r ) n'aboutit pa à un écart aui important ur la valeur de la contribution de la direction approchée ur la direction réelle. y Y a 0.6 Direction approchée (L=) Y r 0.3 Direction réelle (L=) α L= x Figure 3. : Contribution du vecteur approché dan la direction réelle X a X r Ici l'angle α entre le deux vecteur et calculé par : α = tan X tan Y a a Y X r r où (X a,y a ) ont le compoant du vecteur approché et (X r,y r ) le compoant du vecteur réel. La contribution du vecteur approché dan la direction réelle et donné par le coinu de l'angle α (8,78 ) et vaut ici par exemple 94.7% de la valeur réelle puique le vecteur ont normé. L'erreur commie ne era que de 5.3% alor que la différence ur l'une de compoante de vecteur était de prè de 50%. La méthode décrite ci-deu a été généraliée en 3 dimenion et la contribution de vecteur approché dan la direction réelle meurée. Le contribution meurée pour un ca d'engrenage face droit et un ca d'engrenage face hélicoïdal ont ynthétiée dan le tableaux ci-deou : Ecart entre la dent de meure et la dent de définition du plan tangent Moyenne de contribution meurée Contribution meurée minimum Contribution meurée maximum Dent de référence 99. % % 00 % Dent voiine 98.8 % % 00 % Tableau 3.3 : Contribution de vecteur approché par rapport aux vecteur réel, roue droite 95

96 Chapitre 3 : Validation Ecart entre la dent de meure et la dent de définition du plan tangent Moyenne de contribution meurée Contribution meurée minimum Contribution meurée maximum Dent de référence % % 00 % Dent voiine 97.6 % 88.5 % 99.33% Tableau 3.4 : Contribution de vecteur approché par rapport aux vecteur réel, roue hélicoïdale Le meure ont été bien ûr effectuée ur le ca le plu défavorable, c'et-à-dire en utiliant de engrenage face avec de contact linéaire dont le ligne de contact couvrent toute la largeur de denture et ont fortement inclinée. Aini le point de contact en bord de dent ont le plu éloigné poible de point de référence du plan tangent (Fig. 3.). C'et d'ailleur en ce point que le contribution minimum ont été relevée, mai ce ont également le point qui eront le moin chargé donc l'erreur commie ici aura un impact plu faible ur le réultat de la modéliation. Pour de ca de contact ponctuel, l'erreur commie et bien moin importante et ne era pa préentée ici. Normale réelle à la urface Direction de chargement utiliée Dent de référence du plan tangent Point de définition du plan tangent Figure 3. : Exemple de direction de chargement réelle et approchée ur la roue face Ce réultat montrent, qu'en moyenne, l'erreur commie en utiliant le vecteur normal de référence comme approximation de vecteur normaux réel et inférieure à % ur la dent de référence qui ert de upport de définition au plan tangent. De plu, c'et cette dent qui era la plu chargée et qui ubira le contrainte le plu importante, il et donc néceaire de limiter au maximum le approximation ur cette dent puique toute le étude eront centrée ur elle. 96

97 Chapitre 3 : Validation Sur le dent voiine, l'écart devient plu important :,% pour en engrenage face droit, et allant preque juqu'à 3% pour un engrenage face hélicoïdal. Le point où l'écart meuré et le plu important ont tou itué en fait au niveau du bord de dent intérieur de la roue. Dan le deux ca propoé, la roue préente de interférence de taillage au rayon intérieur, la géométrie et donc fortement perturbée à cet endroit. De plu, il exite peu de modèle de contact imple capable de relater fidèlement un contact réel en bord de dent (Vijayakar par exemple propoe une méthode pour inclure le effet de bord dan le calcul de engrenage [3], mai a mie en œuvre n'et pa aiée). Si le meure effectuée au rayon intérieur ont exclue de moyenne, l'erreur commie diminue fortement. Elle tombe à environ 0,5% d'erreur ur toute le dent pour un engrenage droit, et de 0,5% ur la dent de référence juqu'à % ur le dent voiine pour un engrenage hélicoïdal. Ecart entre la dent de meure et la dent de définition du plan tangent Moyenne de contribution meurée Contribution meurée minimum Contribution meurée maximum Dent de référence % 97.3 % 00 % Dent voiine 99.4 % % 00 % Tableau 3.5 : Contribution de vecteur approché par rapport aux vecteur réel, roue droite, an bord de dent intérieur Ecart entre la dent de meure et la dent de définition du plan tangent Moyenne de contribution meurée Contribution meurée minimum Contribution meurée maximum Dent de référence % 97.4 % 00 % Dent voiine % 96.0 % % Tableau 3.6 : Contribution de vecteur approché par rapport aux vecteur réel, roue hélicoïdale, an bord de dent intérieur De calcul ont été effectué pour meurer l'impact de ce approximation de chargement ur le déplacement calculé. En effet, en utiliant la normale du plan tangent pour effectuer le chargement à la place de la normale réelle, la norme du chargement correpond donc en moyenne à plu de 99% de la valeur réelle, et la direction de chargement varie de moin de 0 par rapport à la direction réelle. Le différence meurée entre le déplacement aini calculé et le déplacement calculé avec le chargement réel, ont du même ordre de grandeur (99% de la norme et variation de direction inférieure à 0 ). Comme c'et uniquement la valeur du déplacement dan la direction de chargement qui era utiliée enuite, l'écart emble tout à fait raionnable pour le calcul de coefficient d'influence de flexion. Pour conforter la validation de cette approximation, deux calcul ont été effectué ur un même engrenage face en utiliant deux point de référence différent pour la définition du plan tangent, ceci pour contater l'impact de cette approximation ur le réultat utiliant le déplacement aini calculé. Le premier calcul utilie le point de référence "normal" pour définir le plan tangent, c'et-àdire le milieu de la ligne de contact potentielle à vide, ur la dent la plu chargée. Le econd calcul utilie un point itué en bord de dent au niveau du rayon intérieur, c'et-à-dire le ca le plu défavorable contaté précédemment. 97

98 Chapitre 3 : Validation L'écart entre le vecteur utilié pour effectuer le chargement (écart en contribution meuré comme décrit précédemment) dan le deux ca et au maximum égal à % (variation de la direction de chargement de,4 ). Cet écart et obervé pour le point itué en bord de dent au niveau du rayon extérieur alor que le plan tangent et défini ici au niveau du rayon intérieur. Une telle ditance entre un point de chargement et le point de définition du plan tangent ne pourra pa être atteinte lor de imulation puique le plan tangent et défini au centre de la dent (Fig. 3.). Le condition utiliée lor de ce calcul ont donc encore plu défavorable. L'écart contaté entre le deux ca ur le coefficient d'influence de flexion iu du calcul par élément fini et également au maximum de l'ordre de %. Le figure 3.3 et 3.4 montrent le réultat obtenu aprè réolution de l'équation de compatibilité de déplacement dan le deux ca, pour la répartition de charge, aini que pour le preion de contact pour deux poition cinématique ur une dent. Point de référence au centre du contact Point de référence en bord de dent Figure 3.3 : Répartition de charge en fonction du point de référence du plan tangent La répartition de charge et identique dan le deux ca. Au niveau de preion de contact, le écart relevé ont également trè faible, compri globalement entre 0 et 5% avec de maxima de 8% au niveau de pic de preion. Point de référence au centre du contact Point de référence en bord de dent Figure 3.4 : Preion de contact en fonction du point de référence du plan tangent 98

99 Chapitre 3 : Validation Le erreur introduite par l'approximation du plan tangent dan le modèle développé ici emblent donc être tout à fait raionnable. Le ca hélicoïdal en contact linéaire avec un angle d'hélice de 0 et évidemment le ca le plu défavorable poible, et la limite du modèle et ici atteinte pour garantir une grande préciion du modèle. Pour un angle d'hélice upérieur à 0, l'influence de l'angle d'hélice ur l'approximation du plan tangent devient plu importante. La définition du plan tangent utiliée ici pourrait être remie en caue et il erait peut être alor néceaire de développer un nouveau modèle. Il faut noter ici que l'approximation de normale à la urface par la normale au plan tangent n'et effectuée que pour le calcul de coefficient d'influence de flexion, où le réultat recherché et uniquement une valeur de déplacement. Cette approximation et néceaire pour que toute le ditance exprimée dan l'équation de compatibilité de déplacement oient dan la même direction. Par contre, pour le calcul de contrainte (mécanique de milieux continu), une telle approximation (variation de quelque degré ur la direction de chargement) aurait de conéquence bien plu importante et ne peut pa être utiliée. Même i la zone de contact entre le pignon et la roue n'et pa effectivement plane aprè déformation (hypothèe du plan tangent), l'effort appliqué era lui par contre normal à la urface de la dent. Pour le calcul de contrainte, la direction de chargement utiliée et donc la normale réelle à la urface.. Comparaion avec d'autre imulation.. Géométrie de la roue face... Catia Grâce au logiciel Catia, il et poible de imuler et viualier pa à pa le taillage de la roue face à partir de la géométrie de l'outil. L'outil et deiné en olide, pui par itération ucceive, on mouvement et imulé. A chaque itération, l'outil et retranché à un bloc de matière qui contituera la roue face. Aini, i le pa d'itération et uffiamment fin, l'enveloppe de l'outil era reproduite et la roue face obtenue en olide. Cette méthode et approximative et laborieue, mai peut tout de même ervir pour comparer le géométrie. Le taillage d'une roue face a été imulé aini par un partenaire du projet FACET (GKN Wetland Helicopter). Le point iu de la imulation analytique ont enuite été trancrit ur le même modèle (Fig. 3.5). La ditance entre le olide et le point a enfin été meurée. La préciion du modèle Catia a d'abord été etimée en meurant l'écart entre le milieu de la dent et le point de tête de dent ur chaque profil. La roue face modéliée étant droite, la dent doit être ymétrique. De différence comprie entre et 0 micron ont été relevée en moyenne avec un maximum de 7 micron au rayon extérieur. La préciion obtenue avec cette imulation à l aide de Catia et donc loin d être optimale. 99

100 Chapitre 3 : Validation Figure 3.5 : Correpondance entre une roue face deinée avec Catia et le point de définition iu de la imulation analytique Le analye ont enuite été effectuée entre le olide généré ou Catia et le point iu de la imulation. Seule le tranche où l'erreur etimée ur le olide Catia était inférieure à 0 micron ont été retenue. Le tableau ci-deou montre le réultat de meure pour deux tranche : Rayon, côté 83,8 mm, droit 83,8 mm, gauche 80,6 mm, droit 80,6 mm, gauche Maximum 9,3 micron 5,55 micron,35 micron 7,88 micron Minimum,08 micron 0,4 micron,0 micron 0,64 micron Moyenne 3,86 micron,0 micron 7,60 micron 7,0 micron Tableau 3.7 : Ditance meurée entre une roue face imulée avec Catia et de point iu de la imulation analytique Le ditance meurée ont en moyenne toujour inférieure à 0 micron, qui et la préciion etimée du modèle Catia. Il et donc tout à fait raionnable de conidérer que le deux géométrie ont identique.... Famou Dan le cadre du projet Européen Facet, un deuxième logiciel de imulation du taillage a été développé. Cette deuxième imulation numérique était néceaire car on objectif était orienté ver l uinage. Elle et baée ur une approche complètement numérique et reproduit fidèlement le taillage à partir de la cinématique de la machine de taillage afin de pouvoir optimier le réglage de la machine de taillage aini que la géométrie de l'outil. 00

101 Chapitre 3 : Validation Il exite donc à l'heure actuelle au ein du conortium Facet deux logiciel capable de imuler la géométrie de la roue face. Le temp de calcul ne ont pa comparable entre l'approche analytique développée dan ce travail ( à econde de calcul) et l'approche numérique développée par l autre partenaire (pluieur heure de calcul) mai il était néceaire de comparer le réultat iu de deux logiciel Gandalf et Famou. Le point iu de deux imulation ont été repréenté ou Catia, et leur déviation meurée. Le pa de calcul de deux imulation étant défini de deux manière différente, il et impoible d'obtenir de point de définition exactement identique. De pline ont été tracée à partir de point iu de Gandalf, et ceux de Famou uperpoé (Fig Point de Gandalf en rouge, point de Famou en bleu). C'et enuite la ditance entre ce point et le pline qui a été meurée. Figure 3.6 : Point iu de Famou repréenté ur le pline iue de point de Gandalf Au niveau du flanc actif de la roue face, toute le meure effectuée ont inférieure à micron (la préciion maximale de Catia étant atteinte, Catia conidère que le point appartiennent à la courbe). Le deux imulation donnent donc de réultat parfaitement identique et comme le deux approche ont complètement différente, il et tout à fait raionnable de conidérer que le deux logiciel ont validé par cette comparaion. Par contre au niveau du pied de dent, de ocillation ont obervée pour le point iu de Famou (Fig. 3.7). Selon le réglage de la vitee d'avance de la machine de taillage, elle ont plu ou moin prononcée. Le ditance meurée alor ont toujour inférieure à 9 micron et le point iu de Famou encadrent toujour la pline iue de Gandalf. Il et impoible à l'heure actuelle de avoir i le ocillation obervée repréentent réellement le pied de dent taillé d'une roue face ou i elle ont due à de perturbation numérique. Néanmoin le modèle développé ici conidérant une roue face "parfaite", il ne emble pa que ce ocillation aient lieu d'être et il et alor raionnable de conidérer que la modéliation développée ici relate préciément la géométrie de la roue face. 0

102 Chapitre 3 : Validation Figure 3.7 : Ocillation de point obervée au niveau du pied de dent.. Géométrie du pignon Un logiciel de calcul, Prince, a été développé au laboratoire CASM il y a pluieur année pour l'étude de engrenage cylindrique. De meure expérimentale ou charge (peckle vidéo, jauge de contrainte) ont permi de valider complètement le proceu dan ce ca. Une comparaion entre le profil iu de Prince et ceux iu de Gandalf pour le pignon a donc été effectuée. La figure 3.8 montre la uperpoition d'un profil de pignon iu de Prince avec un profil de pignon iu de Gandalf. De la même façon que pour le comparaion de la géométrie de la roue face, le point iu de deux imulation ont été repréenté ou Catia, et leur déviation meurée. De pline ont été tracée à partir de point iu de Gandalf, et ceux de Prince uperpoé (Fig Spline iue de point de Gandalf en rouge, point de Prince en bleu). Figure 3.8 : Point iu de Prince repréenté ur le pline iue de point de Gandalf 0

103 Chapitre 3 : Validation Aucune déviation de profil n a pu être meurée entre Gandalf et Prince, le deux géométrie générée ont donc identique. En ce qui concerne le correction de denture du pignon, une foi de plu de analye ont été effectuée à l'aide de Catia. La géométrie du pignon non corrigé étant validée, il uffit de tracer un pignon corrigé et le même pignon non corrigé ou Catia, pui de meurer l'écart de urface. Cet écart doit correpondre aux donnée d'entrée de correction de denture ur le profil. Un exemple de meure effectuée et donné dan le tableau ci-deou : Correction étudiée Longueur de correction en tête (LCA) Profondeur de correction en tête (CA) Longueur de correction en pied (LCF) Profondeur de correction en pied (CF) Valeur donnée en entrée Valeur meurée ou Catia. 3 mm.999 mm 0,06 mm 0,06 mm mm.004 mm 0.0 mm 0.09 mm Ecart 0.00 mm mm mm 0.00 mm Tableau 3.7 : Ecart meuré entre le valeur de correction impoée et obtenue La corrélation et trè bonne, le écart meuré ont du même ordre de grandeur que la préciion de Catia. Le comparaion de réultat iu de Prince et de Catia, montrent que la géométrie de pignon non corrigé et corrigé fournie par Gandalf correpond bien à la géométrie réelle de pignon...3 Calcul par élément fini La modéliation développé ici utilie à pluieur reprie de calcul par élément fini. Le calcul élément fini ont effectué avec Catia. Ceux-ci n'ayant jamai été utilié auparavant dan ce genre de modèle, il a fallu vérifier la validité de réultat. Pour effectuer ce vérification, le logiciel Prince a, une nouvelle foi, été utilié. Ce logiciel utilie une démarche également baée ur le coefficient d'influence et l'équation de compatibilité de déplacement pour déterminer la répartition de charge de engrenage cylindrique. Prince poède on propre olveur intégré et le coefficient d'influence de flexion aini que le contrainte en pied de dent ont calculé grâce à l'utiliation de prime fini. Le contrainte iue de Prince ont été validée expérimentalement. Une comparaion de réultat de Prince avec ceux de Gandalf pour un pignon permet de donner une bonne indication ur la validité de réultat de Gandalf. Divere érie de calcul ont préalablement été menée afin de déterminer notamment le type d'élément à utilier, le condition limite et le chargement adéquat, aini que le compromi optimaux entre finee de maillage et préciion de réultat. 03

104 Chapitre 3 : Validation..3. Coefficient d'influence de flexion Le réultat de coefficient d'influence de flexion entre Prince et Gandalf ont été comparé. Le même pignon a été utilié dan le deux imulation. Un chargement unitaire identique a été appliqué aux deux modèle et le coefficient d'influence de flexion ont été calculé par Prince grâce aux prime fini et par Gandalf grâce aux élément fini de Catia. Pluieur comparaion ont été effectuée en meurant le déplacement de toute une ligne de contact, du au chargement d'un nœud de cette ligne (Fig. 3.9). Le exemple préenté montrent le réultat pour de ligne de contact couvrant toute la largeur de denture d'un pignon et dicrétiée en 9 nœud. Figure 3.9 : Chargement appliqué pour la comparaion de coefficient d influence Le premier exemple montre le déplacement meuré pour un chargement effectué ur le nœud central de la ligne, le econd pour un chargement effectué en bord de dent (Fig. 3.0 et 3.). 0, , ,00000 deplacement 0, , , Prince Catia 0, noeud Figure 3.0 : Déplacement du au chargement du nœud central (ca ) 04

105 Chapitre 3 : Validation 0, , , deplacement 0, , , , Prince Catia 0, , noeud Figure 3. : Déplacement du au chargement d'un nœud en bord de dent (ca ) Le écart entre le deux courbe ont trè faible, auf au point de chargement (nœud 5 pour le ca et nœud pour le ca ). Le tableau ci-deou récapitule le écart meuré pour le ca préenté : Nœud Ca.9 % 3.8 % 0.9 % 5.95 % 9.77 % 5.95 % 0.9 % 3.8 %.9 % Ca 8.00 % 0. % 0.49 %.9 %.59 %.6 %.77 % 0.48 % 0.7 % Tableau 3.8 : Ecart entre Prince et Catia pour le calcul de coefficient de flexion A part au nœud de chargement où il et connu que le réultat ne ont jamai excellent, le écart entre Prince et Catia ont toujour inférieur à 6%. Le différence entre le deux calcul pourraient être due au chargement qui n'et pa appliqué de la même façon dan le deux ca. En effet, le point d'application de la charge ne correpondant pa forcément aux nœud du maillage, la charge doit être répartie ur le nœud du maillage (Fig. 3.). Prince répartit la charge ur le deux nœud le plu proche. Sou Catia, la charge et appliquée grâce à de élément péciaux d'interpolation qui répartient la charge ur tou le nœud de la face de l'élément le plu proche. Le élément utilié étant de élément hexaédrique à 0 nœud, la charge et alor répartie ur 8 nœud. F F f f f f 3 f f 8 f 4 f7 f 6 f 5 Prince Catia Figure 3. : Répartition du chargement ur le nœud du maillage 05

106 Chapitre 3 : Validation Suite à ce remarque, le réultat obtenu ici peuvent donc être conidéré comme atifaiant. Une bonne corrélation entre Prince et Catia et atifaiante ici, mai il et aui important de valider le contrainte en pied de dent...3. Contrainte en pied de dent De la même manière que pour le coefficient d'influence de flexion, le contrainte en pied de dent calculée par Prince et par Catia ont été comparée. La même ditribution de preion intantanée iue de Gandalf a été appliquée ur un pignon dan le deux ca (Fig. 3.3). Le contrainte ont alor été comparée dan différent creux de dent. Afin de pouvoir comparer le contrainte exactement aux même poition, le nombre de nœud en creux de dent ou Catia a été impoé pour correpondre aux nœud de Prince (3 nœud par creux). De même, le nombre de ection elon la largeur de denture a été impoé (9 ection elon la largeur de denture). Figure 3.3 : Chargement appliqué pour la comparaion de contrainte Un exemple de comparaion pour 4 ection ucceive ur le creux de dent central (entre le deux dent chargée) et préenté ur la figure 3.4. Le écart obervé varient entre 0 et 30 MPa elon le ection, ce qui pour le plage de valeur de contrainte obervée donne un écart moyen compri entre 4% et 8% pour le 4 ection préentée ci-deu. Comme pour le calcul de coefficient de flexion, ce écart pourraient être du à la manière différente d'appliquer le chargement. Cet écart et toutefoi inférieur aux plage de validation expérimentale de Prince [8], le réultat apporté par Catia ont donc trè atifaiant. 06

107 Chapitre 3 : Validation 00,00 00,00 0,00-00,00-00,00 Section 3 Prince Section 3 Catia ,00 00,00 0,00-00,00 Section 4 Prince Section 4 Catia ,00-400,00-500,00-00,00-300,00-600,00-400,00 00,00 50,00 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50,00-00,00-50,00-300,00 Section 5 Prince Section 5 Catia ,00 50,00 00,00 50,00 0,00-50,00-00,00-50,00-00,00 Section 6 Prince Section 6 Catia Figure 3.4 : Comparaion de contrainte obtenue entre Prince et Catia pour 4 ection ucceive Cette validation permet également de définir le caractéritique du maillage, le ca de condition limite utilié aini que la manière de procéder au chargement qui eront utilié ultérieurement. En effet, pluieur eai et comparaion ayant comme critère la qualité de réultat aini que le temp de calcul ont préalablement été effectué avant de retenir cette modéliation. Le caractéritique globale de la modéliation par élément fini retenue ont le uivante : - Utiliation d'élément hexaédrique à 0 nœud (élément quadratique à 3ddl par nœud), - Nombre de nœud pour couvrir la zone du pied de dent : entre 0 et 5, - Nombre de ection d'élément ur la largeur de denture : b, où b et la largeur de m denture et m le module (oit par exemple environ 0 ection pour une largeur de 0 mm et un module de 4mm), - Taille approximative de élément : o 4 du module globalement pour le dent, o 0 du module au niveau du pied de dent, o de module à module pour la jante, - Chargement nodal appliqué grâce à de élément d'interpolation de déplacement ur le nœud de la urface de l'élément le plu proche du nœud à charger, - Encatrement de la jante pour modélier la rigidité due aux autre dent (eulement 5 dent ont repréentée), et encatrement de la jante pour modélier l'arbre. 07

108 Chapitre 3 : Validation Ceci conduit à un modèle élément fini qui comporte environ 0000 nœud pour un module de 4 mm et une largeur de denture de 0 mm, et induit un temp de calcul d'environ h (pour le pignon ou pour la roue) pour calculer le contrainte en pied de dent pour 0 poition cinématique (0 calcul à effectuer). En ce qui concerne le calcul de déplacement uniquement, le tet ont montré que l'utiliation d'élément deux foi plu gro donnent exactement le même réultat. Pour le calcul de coefficient d'influence de flexion, il et donc inutile d'avoir un maillage aui fin. De élément de taille ½ module eront retenu pour mailler la dent et de taille variant de à module pour la jante. Toute ce recommandation eront dè lor uivie pour effectuer le diver calcul élément fini néceaire aux exploitation expoée dan le chapitre uivant. Le temp complet néceaire pour une telle modéliation pour 0 poition cinématique peut être etimé de la façon uivante : - Calcul de coefficient d'influence de flexion : o Nombre de calcul à effectuer = nombre de potion cinématique (ici 0) x nombre de nœud ur une ligne de contact (ici ) x rapport de conduite (ici ) x paage (flanc antimologue libre et bloqué) x (roue et pignon) = 760 dan ce ca, o Temp de calcul avec Catia : entre 6 et 8h. - Calcul de contrainte : o Nombre de calcul à effectuer = nombre de poition cinématique (ici 0) x (pignon et roue) = 40 calcul, o Temp de calcul avec Catia : environ h. Globalement, en comptant le temp de préparation de modèle, ce eront entre 0 et h qui eront néceaire pour effectuer un calcul complet pour 0 poition cinématique. Le temp de calcul obtenu ici ont excellent. De calcul équivalent ont été effectué par un partenaire du projet FACET (ZF Friedrichhafen) en utiliant un olveur non linéaire (Marc) et de élément fini de contact. Le réultat obtenu ont équivalent, mai le temp de calcul néceaire a été de 3 jour. 08

109 Chapitre 3 : Validation 3 Validation expérimentale Le divere validation numérique effectuée permettent déjà d'être confiant dan la préciion de réultat fourni par la modéliation. Néanmoin, une validation expérimentale permet de finalier complètement cette validation. Peu d'eai ont à l'heure actuelle été effectué ur le engrenage face. Dan le cadre du projet Facet, deux partie expérimentale ditincte ont prévue. La première campagne d'eai a été effectuée ur un engrenage face monté eul ur un banc d'eai. Elle avait pour but d'obtenir de premier réultat ur le caractéritique de engrenage face afin de le comparer à celle de piro-conique. La deuxième compagne d'eai doit être effectuée cette foi-ci ur de engrenage face monté à la place de piro-conique dan de boîte de tranmiion d'hélicoptère exitante. Le but ici et de comparer le comportement global de engrenage face en utiliation et d'enviager pour eux la poibilité de remplacer le piro-conique. La première campagne d'eai a été effectuée en Allemagne par ZF Friedrichhafen entre 999 et 000. La deuxième campagne devait être effectuée entre 000 et 00 chez le différent contructeur d'hélicoptère Européen, à avoir Eurocopter en France, Aguta en Italie et GKN Wetland en Angleterre. Malheureuement, uite à de problème lié à la fabrication et à la rectification de engrenage face qui 'avèrent plu compliquée que prévu, le eai ont dû être repoué et ne devraient pa débuter avant fin 00. Le eul réultat diponible ont ceux de la première campagne qui ont été effectué avec de engrenage face brut, c'et-à-dire an traitement thermique, ni rectification. La qualité de engrenage n'et donc pa optimale, mai de comparaion peuvent tout de même être effectuée avec la modéliation développée ici. 3. Géométrie de la roue face De meure 3D du flanc actif de roue face effectuée en Allemagne ont permi de valider la géométrie de flanc actif obtenue par le logiciel Famou. Le meure ne ont pa diponible, mai le réultat entre Gandalf et Famou étant trictement identique ur cette zone (cf....), il et tout de même enviageable d'affirmer que cela valide par la même occaion expérimentalement la géométrie iue du modèle développé ici. La meure 3D de roue face utiliée enuite lor de eai effectué par ZF Friedrichhafen ont montré que la géométrie iue du taillage et loin d'être parfaite (Fig. 3.5). De écart de urface pouvant aller juqu'à 40 micron ont été relevé, ce qui équivaut pour de engrenage cylindrique à une qualité de fabrication elon le norme DIN ituée entre 9 et 0, tant au niveau de erreur de pa que de erreur d'hélice. Cette qualité et inacceptable habituellement en Aéronautique. Il faut toutefoi rappeler que le roue utiliée étaient brute, ce qui ne era jamai le ca par la uite lorque le procédé de fabrication et de rectification era totalement maîtrié. Cette qualité de fabrication ne devra toutefoi pa être oubliée lor de l'interprétation de réultat iu de eai. 09

110 Chapitre 3 : Validation Figure 3.5 : Réultat d'une meure 3D de roue face 3. Portée ou charge Lor de eai effectué chez ZF Friedrichhafen, de analye de portée ou charge ont été effectuée. Le comparaion poible ici ne peuvent être que qualitative. Avant toute comparaion, il faut définir une portée ou charge théorique. Il a été choii de définir cette portée en fonction de la preion intantanée de contact. Tout point où la preion et upérieure à une valeur euil et conidéré comme faiant partie de la portée ou charge. Le euil a été déterminé par rapport aux eai. Le eai ont été effectué pour de couple d'entrée ur le pignon variant de 0 à 000 Nm. En deou de 50 Nm (Fig. 3.6), aucune portée n'et enregitrée à part une trace (en jaune ur la figure 3.6) correpondant à un contact en tête de dent du pignon. Cette trace correpond aux pic de preion provoqué par un contact en bord de dent. La valeur euil pour la preion era donc la valeur moyenne obtenue pour un calcul effectué avec un couple d'entrée de 50 Nm. La valeur euil déterminée aini par imulation et de 800 MPa. Il et conidéré qu en deou de cette valeur, le zone de contact ne ont pa détectée par le eai. Figure 3.6 : Portée ou charge relevée à 50 Nm 0

111 Chapitre 3 : Validation Le comparaion entre eai et imulation ont été effectuée avec un couple d entrée de 500 Nm. En effet pour cette valeur, troi meure ucceive ont été faite : une meure à la ditance de montage théorique ( 0 mm, la ditance de montage et la ditance entre l'axe du pignon et l'axe de l'outil de taillage de la roue face, cf. Chapitre, 3...), pui pour deux meure avec une variation de ditance de montage de ± 0.5 mm Le chéma ci-deou préentent le réultat de eai et de imulation. Sur le chéma de réultat d eai la urface de denture et en bleu, la portée et repréentée par le zone jaune. Sur le chéma de réultat de imulation, la urface de denture et repréentée en gri. La courbe verte montre la limite du flanc actif, la portée ou charge et repréentée en rouge. Le rayon intérieur de la roue et toujour à gauche, le rayon extérieur à droite Eai Simulation Figure 3.7 : Portée ou charge ditance de montage théorique A l entraxe théorique, la forme globale de la portée obtenue par imulation et proche de celle obtenue avec le eai. La différence la plu notable e itue au niveau du rayon extérieur de la roue, qui ne emble pa en contact ur le eai, alor qu avec la imulation, la portée couvre toute la largeur de denture. Il et également poible ici de comparer également l équilibrage de la portée, c et à dire d etimer le zone où la preion de contact et plu ou moin forte. Au niveau de eai, le zone de forte preion e ditinguent par une couleur plu claire. En ce qui concerne la imulation, il uffit de regarder la ditribution de preion pour voir i la portée et équilibrée ur la largeur de denture. La figure 3.0 repréente la ditribution de preion pour un contact couvrant toute la largeur de denture (une poition cinématique correpondant au milieu de l engrènement de la dent étudiée). Le eai montrent un contact plutôt décalé ver le rayon intérieur de la roue face qui couvre 90% de la largeur de denture, alor que la imulation montre un contact aez équilibré couvrant toute la largeur de denture. La ditance de montage entre la roue et le pignon a enuite été modifiée afin d oberver on influence ur la portée (Fig. 3.8 et 3.9).

112 Chapitre 3 : Validation Eai Simulation Figure 3.8 : Portée ou charge ditance de montage théorique mm Eai Simulation Figure 3.9 : Portée ou charge ditance de montage théorique mm Lorque la ditance de montage et modifiée, la portée et déplacée. Ceci oberve aui bien ur le eai que ur la imulation. En augmentant la ditance de montage (Fig. 3.8), la portée et déplacée ver le rayon intérieur. La portée ne couvre à peine plu de la moitié de la largeur de denture avec de zone de forte preion au rayon intérieur. Le réultat obtenu par imulation et par eai ont ici trè proche. En diminuant la ditance de montage (Fig. 3.9), la portée et déplacée cette foi-ci ver le rayon extérieur de la roue. La imulation montre une portée qui ne va plu juqu au rayon intérieur, qui couvre environ 60% de la largeur de denture, alor que le eai montrent une portée qui et plutôt bien équilibrée maintenant et qui couvre toute la largeur de denture. Globalement, le portée obervée ou charge montrent une aez bonne corrélation entre le eai et la imulation. Une variation de ditance de montage montre un effet imilaire ur la poition de la portée. Sur deux de troi meure, le eai montrent toujour un contact plu décalé ver le rayon intérieur que le imulation. Ceci peut être dû à la qualité de urface de la roue face qui montre notamment une déviation de profil trè importante (juqu à 40 micron poitif) au niveau du rayon intérieur de la roue (cf 3.).

113 Chapitre 3 : Validation Ditance de montage -0.5 mm Ditance de montage théorique Ditance de montage +0.5 mm Figure 3.0 : Variation de la ditribution de preion en fonction de l entraxe 3.3 Contrainte en pied de dent Lor de eai effectué par ZF Friedrichhafen ur le engrenage face, le contrainte en pied de dent ont été meurée à la foi ur le pignon et ur la roue par de jauge de déformation collée en pied de dent. Le réultat étant diponible et le poition de jauge connue, il et poible de faire de comparaion précie avec la imulation. Le couple d'entrée ur le pignon pour le eai avait été fixé à 500 Nm. Troi dent à 0 de la roue ont été équipée de 3 jauge de déformation ituée en pied de dent et repectivement au rayon intérieur (jauge 0/4), au quart de la largeur de denture (jauge /4) et au milieu de la dent (jauge /4) de la roue. Troi dent du pignon à 0 ont également été équipée de 5 jauge ituée en pied de dent et repectivement au rayon intérieur (jauge 0/4), au quart de la largeur de denture (jauge /4), au milieu de la dent (jauge /4), au troi quart de la largeur de denture (jauge 3/4) et au rayon extérieur (jauge 4/4) de la roue (Fig. 3.). Roue face Pignon Diamètre Intérieur 0,3 Tête Longueur de la grille de meure de la jauge = 0,005 pouce Type de jauge : EA-06-05CK-0 0/4 /4 /4 5.4 Axe du pignon Diamètre extérieur taillé = (36.89) Diamètre Extérieur Tête Longueur de la grille de meure de la jauge = 0,005 pouce Type de jauge : EA-06-05CK-0 Côté Intérieur 0/4 /4 /4 3/4 4/ Largeur de denture taillée.8 Figure 3. : Poition de jauge ur la roue face et le pignon da = Côté Extérieur dm =

114 Chapitre 3 : Validation Troi érie d'eai ont été effectuée, ce qui donne donc 9 meure différente pour chaque poition de jauge. Une imulation a été effectuée avec exactement le même caractéritique que le engrenage face fabriqué et utilié pour le eai. La imulation a été effectuée ur 0 poition cinématique. Le comparaion avec le eai e ont avérée délicate pour pluieur raion : - Lor de eai, le pignon a été tourné "manuellement" de façon à obtenir l'engrènement d'une dent ur environ une econde. La vitee n'et donc pa connue, de plu, il n'et pa certain qu'elle oit contante. Le recalage temporel entre le eai et la imulation 'et donc avéré aez délicat, - Le erreur d'hélice etimée (d'aprè la clae de qualité) ur la roue face peuvent aller juqu'à 40 micron, notamment au niveau du rayon intérieur, ce qui peut déplacer la portée, et donc le contrainte maximum, - Le erreur de pa etimée (d'aprè la clae de qualité) ur la roue peuvent également aller juqu'à 40 micron ce qui peut modifier le nombre de dent en prie imultanément, - Le jauge de déformation ont placée aez haut ur le pied de dent (Fig. 3.), preque à la limite de l'interection flanc actif-trochoïde. Au niveau de la imulation, le nœud ur lequel ont relevé le contrainte ont, pour certaine poition cinématique, trè proche de nœud chargé, ce qui donnent alor de réultat erroné. Aini, certaine fluctuation obervée ur la imulation ont due uniquement au fait que le meure ont effectuée trop prè de zone de chargement. Pour toute ce raion, la comparaion effectuée ici et d'abord d'ordre qualitatif avant d'être quantitatif. Le divere courbe obtenue par imulation ont été recalée en fonction du temp ur le courbe obtenue avec le eai de façon à obtenir un engrènement équivalent en fonction du temp. Figure 3. : Modéliation de la roue et du pignon - Poition de jauge 4

115 Chapitre 3 : Validation La figure 3.3 montre le réultat obtenu ur la roue face et la figure 3.4 ur le pignon. Sur chaque graphe, le courbe bleue et verte correpondent aux eai, et le courbe rouge et jaune à la imulation. Le valeur de la imulation utiliée ont le valeur de contrainte calculée aux deux nœud du maillage le plu proche de la poition exacte de la jauge, et au nœud voiin. Ce nœud ont toujour itué à moin de 0. mm de la poition exacte de la jauge. Le nœud le plu proche ont repectivement pour la roue (Fig. 3.) : - jauge 0/4 : nœud jauge /4 : nœud jauge /4 : nœud 39 Et pour le pignon (Fig. 3.) : - jauge 0/4 : nœud 00 - jauge /4 : nœud jauge 3/4 : nœud jauge 4/4 : nœud 870 Contrainte principale max. (Mpa) Jauge /4 d - t G d - t G Temp (m) Contrainte principale max. (Mpa) Jauge / d - t G d3 - t3 3G Temp (m) Contrainte principale max. (Mpa) 500 Jauge 0/ d - t G3 d3 - t3 3G Temp (m) -00 Figure 3.3 : Comparaion de contrainte ur la roue 5

116 Chapitre 3 : Validation Contrainte principale max. (Mpa) 00 Jauge 4/4 d - t P d3 - t P Temp (m) -50 Contrainte principale max. (Mpa) 50 Jauge 3/ d - t P d3 - t P Temp (m) -50 Contrainte principale max. (Mpa) 50 d3 - t3 P4 Jauge / Jauge 0/ d3 - t P Temp (m) -50 Contrainte principale max. (Mpa) 00 d - t P5 d - t3 P Temp (m) -50 Figure 3.4 : Comparaion de contrainte ur le pignon NB: le dernier pic de contrainte obtenu par imulation pour la roue (Fig. 3.3) ur le jauge /4 (à 475 m en abcie) et /4 (à 55 m en abcie), et pour le pignon (Fig. 3.4) ur la jauge 0/4 (à 340 m en abcie) ont uniquement du à la proximité du chargement et ne ont de ce fait pa repréentatif. La forme globale de courbe de contrainte obtenue par imulation et lor de eai et emblable, aui bien pour la roue que pour le pignon. Sur la roue (Fig. 3.3), pour la jauge /4, la corrélation et trè bonne ur l engrènement complet. Par contre pour le jauge /4 et 0/4, le courbe obtenue lor de eai montrent deux pic de preion, alor que le courbe obtenue par imulation n en montrent qu un eul (le premier). En e baant ur la répartition de charge obtenue par imulation (Fig. 3.5), la préence du deuxième pic obtenu par imulation ne explique pa vraiment. En effet, toute le dent en contact ne préentent qu un eul pic de chargement, il erait donc logique de n avoir qu un eul pic de contrainte par la uite. De plu, ce deuxième pic de contrainte n et pa préent ur le contrainte meurée lor de eai ur le pignon (Fig. 3.4), quelle que oit la jauge obervée. Sur le pignon, la corrélation au niveau de la forme de courbe entre eai et imulation et bonne pour toute le jauge et pour toute le poition cinématique. 6

117 Chapitre 3 : Validation En e référant aux réultat obtenu lor de la comparaion de portée ou charge (cf. 3.), la préence du deuxième pic de contrainte obtenu lor de eai ur la roue pourrait expliquer par un décalage de la portée ver le rayon intérieur. En effet, lor de l engrènement d une roue face et d un pignon cylindrique, le contact débute au niveau du rayon extérieur de la roue et e termine au niveau du rayon intérieur. Si la portée et en plu décalée ver le rayon intérieur, cela pourrait alor entraîner une augmentation de contrainte à ce niveau en fin d engrènement. Figure 3.5 : Répartition de charge obtenue par imulation Au niveau de valeur de contrainte, le réultat obtenu par imulation et par eai ont trè proche. Sur la roue, pour la jauge /4, l écart entre le courbe d eai et de imulation et toujour inférieur à 0 %. Pour la jauge /4, le écart ont également inférieur à 0% juqu à 400 m, mai peuvent atteindre 30% au niveau du deuxième pic de contrainte préent uniquement ur le eai. Pour la jauge 0/4, le écart varient de 0 à 30 % du début à la fin de l engrènement. Sur le pignon, le réultat obtenu pour le valeur de contrainte ont trè proche quelle que oient le jauge obervée. Le courbe obtenue par imulation ont toujour ituée entre le courbe d eai, aucun écart ignificatif n a été relevé. Suite aux remarque faite au début de ce paragraphe concernant tou le facteur pouvant perturber le comparaion et au vu de réultat obtenu pour la roue et le pignon, il et raionnable de conidérer ici que le réultat obtenu par imulation reflètent correctement le comportement ou charge de engrenage face. 7

118 Chapitre 3 : Validation 4 Concluion Le différente comparaion effectuée aui bien numérique qu'expérimentale, donnent dan l'enemble de réultat atifaiant. Le comparaion numérique ont permi de valider le différente étape de la modéliation développée ici, tout en oulignant toutefoi certaine limitation du modèle, limitation qu'il ne faudra pa dépaer, notamment au niveau de l'angle d'hélice. Le comparaion expérimentale ne font que confirmer la cohérence de réultat obtenu par cette modéliation. De plu, cela montre que la démarche complète conitant à coupler le élément fini avec un modèle de contact, le tout baé ur une modéliation analytique, permet d'obtenir un modèle trè performant, aui bien au niveau de temp de calcul que de la préciion de réultat. 8

119 Chapitre 4 Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Introduction Le comportement ou charge de engrenage face et encore trè méconnu. La modéliation aini que le logiciel Gandalf développé dan ce travail vont permettre d'effectuer différente étude ou charge. Avant d'effectuer de étude complexe, il et néceaire, dan un premier temp de comprendre parfaitement et de décrire le fonctionnement de engrenage face. De réultat obtenu à vide et ou charge avec le logiciel Gandalf eront alor préenté. Le engrenage face préentent théoriquement deux ca de contact différent, ponctuel ou linéaire. La comparaion ou charge doit être effectuée pour connaître leur avantage et inconvénient repectif. L'étude de l'influence de erreur de montage ur le comportement ou charge devra permettre d'affiner ce réultat. Enfin, l'optimiation de urface de denture du pignon par l'introduction de bombé et de correction de profil de denture era étudiée pour palier le éventuel inconvénient rencontré et améliorer l'engrènement ou charge. Ce optimiation pourront alor être intégrée dan le proceu de conception préenté au chapitre uivant. 9

120 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Préentation du logiciel Gandalf La modéliation développée au chapitre a permi la réaliation d un logiciel complet de imulation : Gandalf (Generation, ANalyi and Deign Aid for Loaded Face gear). Ce logiciel et écrit en Fortran 77, elon une norme de programmation européenne (Ero) utiliée dan l aéronautique et impoée dan le cadre du projet Facet. Le développement complet du logiciel a été accompagné de 4 rapport [3], [4], [5], [6] aini que d une notice d utiliation [7] (decription détaillée du logiciel fournie à traver la documentation en Annexe 7). Gandalf a été livré à tou le partenaire du projet de recherche Facet, et et maintenant utilié au ein de bureaux d étude de contructeur d hélicoptère européen. Cette verion de Gandalf et compoée de 4 module ditinct : - Géométrie de la roue face, - Cinématique à vide, - Définition de maillage de Bouineq et calcul de coefficient d influence de urface, - Réolution de l équation de compatibilité de déplacement. Une deuxième verion a été développée dan le cadre de cette thèe afin d intégrer le correction de denture du pignon. Elle comprend 3 module upplémentaire : - Géométrie du pignon corrigé, - Cinématique à vide pour un pignon corrigé, - Définition de maillage de Bouineq et calcul de coefficient d influence de urface pour un pignon corrigé. Le coefficient d influence de flexion ont calculé grâce au logiciel Catia. Une interface a été développée entre Catia et Gandalf, de façon à pouvoir repréenter automatiquement de engrenage face avec Catia à partir de réultat de Gandalf. De même le maillage et le chargement utilié pour le calcul par élément fini, aini que la retitution de déplacement ont été automatié par le développement de module IUA pécifique (l IUA et un langage de programmation propre à Catia). Le entrée et le ortie de Gandalf ont gérée par une interface graphique en Anglai (pré et pot-proceeur) développée avec le logiciel Matlab. La plupart de réultat préenté dan ce chapitre ont de graphique produit directement par le pot-proceeur de Gandalf. 0

121 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face La modéliation développée permet de définir de géométrie complexe et variée d engrenage face. Le figure 4., 4. et 4.3 illutrent différent ca d engrenage face généré avec Gandalf et repréenté avec Catia. Le figure 4. et 4. montrent de roue d engrenage face droit dont le angle entre le pignon et la roue meurent 0 et 70. La figure 4.3 montre une roue face hélicoïdale. Figure 4. : Roue face - Angle entre le axe à 0 Figure 4. : Roue face - Angle entre le axe à 70 Figure 4.3 : Roue face hélicoïdale Malgré la poibilité de pouvoir étudier de nombreue configuration d engrenage face, il et tout d abord néceaire de comprendre et de maîtrier le comportement dan de ca de géométrie imple. L étude préentée e limitera donc dan un premier temp à de engrenage face droit dont l angle de axe et égal à 90.

122 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Pour illutrer le réultat de calcul effectué grâce à Gandalf et étudier le comportement ou charge de engrenage face, deux ca d engrenage face ont préenté. Le deux engrenage utilient la même roue face, mai deux pignon différent. La différence entre le deux pignon et uniquement leur nombre de dent. Toute le autre caractéritique ont identique. Aini le deux type de contact (ponctuel et linéaire) eront comparé. Le donnée principale utiliée ont ynthétiée dan le tableau ci-deou : Outil de taillage Roue face Pignon Nombre de dent Angle de preion ( ) 5 5 Module (mm) 4 4 Coefficient de déport 0 0 Coefficient de aillie.5 Coefficient de creux.5.5 Rayon intérieur (mm) 33 Rayon extérieur (mm) 59 Largeur de denture (mm) 8 Taillage / Montage Offet (mm) 0 Angle entre le axe ( ) 90 Tableau 4. : Donnée de l engrenage face Ce deux engrenage face eront utilié pour toute le étude préentée dan ce chapitre. Il eront toujour identifié par leur ca de contact théorique repectif : ponctuel ou linéaire.. Réultat à vide La imulation du taillage permet d obtenir la géométrie exacte de la roue face en fonction de on outil de taillage. La roue face utiliée pour cette étude et repréentée ur la figure 4.4 avec le pot proceeur de Gandalf. Figure 4.4 : Géométrie de la roue face

123 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face La imulation de la cinématique à vide permet d obtenir le zone de contact potentiel à vide. Dan cette imulation, le pignon et toujour conidéré comme organe moteur. Tou le réultat ont viualié ur l organe récepteur, la roue face. Le figure 4.5 et 4.6 montrent le zone de contact potentiel à vide pour le ca linéaire (outil et pignon avec le même nombre de dent) et le ca ponctuel (pignon avec une dent de moin que l outil). Sur la figure 4.5, chaque ligne repréente la zone de contact potentiel à vide pour une poition cinématique. La imulation et effectuée ur un engrènement complet de la dent centrale (dent 3). 0 poition cinématique ont été imulée. Pour chaque poition cinématique, le zone de contact ont recherchée imultanément ur 5 dent (dent et à gauche de la dent centrale, dent 4 et 5 à droite). Pour un contact linéaire, l engrènement débute toujour au rayon extérieur de la roue, en tête de dent. Il e termine au rayon intérieur, en pied de dent. Aini ur la figure 4.5, la première poition cinématique et repréentée en bleu foncé et la dernière poition cinématique en rouge foncé. Figure 4.5 : Zone de contact potentiel à vide - Contact linéaire Le ligne de contact ont inclinée ur le profil de denture, cette inclinaion variant du début à la fin de l engrènement. Figure 4.6 : Zone de contact potentiel à vide - Contact ponctuel Pour un contact ponctuel (Fig. 4.6), le point de contact ont localié ur un même rayon de la roue. L engrènement débute toujour en tête de dent de la roue et e termine en pied de dent. 3

124 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face La comparaion de deux ca de contact montre un rapport de conduite à vide upérieur pour un contact linéaire :.33 contre.4 en ponctuel. De plu, le zone de contact potentiel couvrent toute la urface de denture dan le ca linéaire, alor qu elle ont trè localiée en ponctuel. Un contact linéaire emble déjà plu avantageux à vide, mai c et ou charge qu il faudra enuite comparer le réultat de deux ca. La figure 4.7 montre un exemple de l erreur cinématique à vide, dan le ca du contact linéaire, provoquée par une erreur ur l angle de axe de la roue et du pignon de 0,0. L angle utilié pour la imulation de la cinématique à vide n et donc plu ici 90, mai 89,99. Le valeur de l erreur cinématique ont négative, la roue et donc en retard par rapport au pignon. L amplitude de l erreur cinématique et trè faible, 4 micro radian eulement. Figure 4.7 : Erreur cinématique à vide avec δγ = -0,0 NB : le erreur de taillage donnent de réultat équivalent aux erreur de montage, au igne prè. Avec une erreur ur l angle entre la roue et l outil de taillage de -0,0, la roue era cette foi en avance ur le pignon, mai l'amplitude et la forme de l'erreur cinématique eront identique. Face à cette imilitude de réultat, eule le erreur de montage eront préentée ici.. Réultat ou charge Tou le réultat iu de imulation à vide préenté précédemment ont enuite utilié pour la imulation du comportement ou charge, c et-à-dire notamment le calcul du partage de charge. La figure 4.8 montre la répartition de charge entre le dent en contact durant l engrènement complet de la dent 3 pour le ca de contact linéaire. Le couple appliqué au pignon en entrée et de 00 Nm. 4

125 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Figure 4.8 : Répartition de charge au cour de l engrènement Le nombre de dent en contact imultanément varie entre et 3 dent au cour de l engrènement. La charge maximale obervée et de 00 N. La charge ur chaque dent varie au cour de l engrènement. Globalement, elle et upérieure à la moitié de la charge maximale pendant la moitié de l engrènement et inférieure pendant l autre. La figure 4.9 montre le répartition de preion ur la dent 3 pour 3 poition cinématique. Sur chaque graphe, le chéma du haut repréente la localiation de zone de contact potentiel à vide ur le profil de denture de la roue face. Le point repréenté correpondent aux nœud du maillage de Bouineq utilié pour le calcul ou charge (cf. Chapitre ). Le chéma du ba repréente la ditribution de preion intantanée ur cette zone de contact. La preion et calculée en chaque nœud de ce maillage local. Ce maillage étant déterminé à partir de zone de contact potentiel à vide, certaine zone peuvent ne pa être en contact ou charge. Le 3 poition cinématique repréentée ont le poition 3, 9 et 4. Le calcul ayant été effectué ur 0 poition cinématique, ce poition ont donc caractéritique du début, du milieu et de la fin de l engrènement. La poition 9 correpond également à la charge maximale upportée par la dent 3 au cour de l engrènement (Fig. 4.8). Au début de l engrènement (poition 3), la zone de contact et ituée en tête de dent de la roue face, au niveau du rayon extérieur. Comme le contact et incliné, il e termine ur la tête de dent de la roue face. Un pic de preion apparaît alor à ce niveau. En dehor de ce pic de preion, la preion maximale et de 497 MPa. Au milieu de l engrènement, le contact couvre toute la largeur de denture, la preion et donc bien répartie, mai et tout de même légèrement upérieure au niveau du rayon intérieur de la roue. La portée ou charge et donc légèrement décalée ver le rayon intérieur. C et à cette poition que la preion maximale (hor pic) et relevée pour tout l engrènement. Elle élève à 554 MPa. A la fin de l engrènement, le contact et itué en pied de dent de la roue, au niveau du rayon extérieur. Le niveau de la preion maximale a baié et vaut ici 47 MPa. 5

126 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Figure 4.9 : Répartition de preion intantanée La figure 4.0 montre l erreur de tranmiion ou charge. Sa valeur moyenne et de -4,75 micro radian pour une amplitude de 5, micro radian. L erreur de tranmiion et négative, la roue et en retard par rapport au pignon. La forme de l erreur de tranmiion apparente à une parabole. Figure 4.0 : Erreur de tranmiion ou charge La figure 4. montre la répartition de contrainte de Von Mie en pied de dent calculée à partir de la répartition de charge de la figure 4.8. Le contrainte repréentée correpondent à la poition cinématique 9, c et-à-dire la poition pour laquelle la dent et la plu chargée. Le contrainte eront donc maximale pour cette poition. 6

127 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le contrainte de traction varient dan le pied de dent de 80 MPa environ juqu à 83 MPa. Le contrainte maximale obervée ont ituée prè du rayon intérieur de la roue, ce qui confirme le décalage de la portée ver le rayon intérieur obervé à partir de preion (Fig. 4.9). Figure 4. : Répartition de contrainte de Von Mie en pied de dent Enfin, la figure 4. montre la variation de la rigidité d'engrènement de l'engrenage face étudié. Ici, l'erreur cinématique à vide étant nulle, la forme de la courbe de rigidité et identique à celle de l'erreur de tranmiion ou charge. Figure 4. : Variation de la rigidité d'engrènement 7

128 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 3 Comparaion de contact ou charge Comme mentionné précédemment, le engrenage face préentent, à vide, deux ca de contact différent, dépendant de nombre de dent relatif de l outil et du pignon : ponctuel ou linéaire. Il avère néceaire de le comparer pour connaître leur avantage et inconvénient repectif, non eulement à vide, mai également ou charge. 3. Validité de la modéliation d un contact ponctuel La première comparaion entre le deux ca concerne l engrènement à vide. Le contact linéaire commencent d un côté de la largeur de denture (rayon extérieur) et finient de l autre (rayon intérieur), alor que le contact ponctuel rete toujour au même rayon (cf..). Le premier calcul ou charge de ca de contact ponctuel ont montré que le point de contact potentiel à vide e tranformaient en ellipe trè allongée, quai linéaire, couvrant plu de la moitié de la largeur de denture, même pour un couple d entrée ur le pignon peu important (00 Nm). La forme du contact ou charge dan le ca ponctuel et donc aez imilaire à celle du ca de contact linéaire. Une telle reemblance ou charge emblait paradoxale, en regard de la différence obervée à vide. Ceci a poué à effectuer de calcul de ca ponctuel avec la modéliation développée pour le contact linéaire et à reconidérer la définition ponctuelle du contact. En utiliant la modéliation linéaire, de zone de contact upplémentaire ont été trouvée (Fig. 4.3) et le rapport de conduite à vide et trouvé grandement augmenté. Il et paé dan le ca préenté ici de,4 à,8. Figure 4.3 : Zone de contact potentiel à vide trouvée par un calcul ponctuel et un calcul linéaire 8

129 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face La différence obervée entre le deux réultat provient directement de la définition du contact potentiel pour chaque ca de calcul. En effet, lor d un calcul ponctuel, le équation définie au chapitre conidèrent un contact "pur", c et-à-dire une ditance nulle entre le deux urface. Tou le point de la urface repectant cette condition ont alor trouvé lor de la réolution de ytème d équation qui n admettent qu une eule olution. Par contre la méthode de calcul linéaire et plu "ouple". En effet comme le équation utiliée ont dan ce ca une infinité de olution (cf. Chapitre ), le zone de contact ont recherchée à de rayon prédéfini, et une tolérance ur le écart de urface et utiliée pour déterminer le zone de contact. A chaque rayon prédéfini, le point d écart minimum entre le urface et conidéré comme point de contact potentiel (même i la ditance n et pa nulle) de façon à avoir toujour une ligne de contact à vide qui couvre toute la largeur de denture. Cela permet de définir de zone qui ne eront pa en contact à vide, mai qui eront en contact ou charge à caue de la flexion de dent. Ce ont toute ce zone qui ne peuvent pa être déterminée à vide par la méthode ponctuelle (Fig. 4.4) car le équation utiliée n ayant qu une eule olution, elle ne permettent pa de définir à l avance le zone de recherche du point de contact et de trouver de point où l écart entre le urface n et pa nul. Zone de contact à vide non détectée en début d engrènement par la méthode ponctuelle Zone de contact à vide détectée par la méthode ponctuelle Zone de contact à vide non détectée en fin d engrènement par la méthode ponctuelle Figure 4.4 : Zone de contact non détectée par la méthode ponctuelle L utiliation de la modéliation linéaire pour imuler le comportement de engrenage face avec un contact ponctuel à un impact direct ur tou le réultat, qui ont pour la plupart uretimé par la modéliation ponctuelle. Le rapport de conduite calculé avec la méthode ponctuelle et inférieur au rapport de conduite réel ou charge. Le nombre de dent en prie imultanément défini à vide et inférieur au nombre de dent réel en prie ou charge. Le charge répartie ur chaque dent eront alor uretimée. La figure 4.5 montre la répartition de charge obtenue en utiliant le deux modéliation. La charge maximale calculée en ponctuel était de 3050 N, alor qu elle n et en fait que de 630 N. La figure 4.5 permet également d etimer le rapport de conduite ou charge. Le calcul en linéaire donne une valeur du rapport de conduite à vide (,8) légèrement upérieur au rapport ou charge. En effet la dent 3 n et pa chargée pour la première et la dernière poition cinématique. Elle et en contact eulement pour 8 poition ur le 0 calculée. Le rapport de conduite ou charge era donc égal au moin à,8 0,8 =, 05, alor que la modéliation ponctuelle le déterminait à,4. 9

130 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Modéliation ponctuelle Modéliation linéaire Figure 4.5 : Influence de la modéliation ur la répartition de charge Au niveau de preion de contact, le calcul en ponctuel uretime également le réultat. La figure 4.6 montre le réultat obtenu pour la poition la plu chargée avec le deux modéliation. Le calcul en ponctuel donnait une preion maximale de 86 MPa, alor que le calcul en linéaire l évalue à 75 MPa. Ceci provient du fait que pour cette poition cinématique, la modéliation ponctuelle ne définit qu'une eule dent en prie, alor qu'il y en a effectivement deux (même i la deuxième et trè faiblement chargée). Modéliation ponctuelle Modéliation linéaire Figure 4.6 : Influence de la modéliation ur la ditribution de preion 30

131 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Sur la figure 4.6, le graphe inférieur montre la répartition de preion en projection ur le plan tangent au contact. Cela permet de viualier notamment la forme du contact ur la urface de denture. Il apparaît ici que l ellipe de contact et en fait légèrement courbée. Cette courbure et mieux prie en compte avec la modéliation linéaire. En effet, pour effectuer le calcul ou charge avec la modéliation ponctuelle, le point utilié pour le maillage de Bouineq (cf. Chapitre, 4.3.6) ont défini à partir de l ellipe théorique iue de la théorie de Hertz. La zone de contact et donc parfaitement rectangulaire. La modéliation linéaire appuie le maillage de Bouineq ur le point de contact défini à vide (cf. Chapitre, 4.3.6) et permet donc de prendre en compte cette légère courbure. L erreur de tranmiion ou charge et également uretimée avec la modéliation ponctuelle (Fig. 4.7). Elle était trouvée avec une moyenne de -85 micro radian pour une amplitude de 4 micro radian, alor qu elle n et que de -74 micro radian de moyenne pour une amplitude de 5 micro radian. Modéliation ponctuelle Modéliation linéaire Figure 4.7 : Influence de la modéliation ur l'erreur de tranmiion ou charge La modéliation utiliée à vide dan le ca de contact ponctuel avère donc inadaptée au comportement ou charge, car elle ne permet pa de définir de zone qui ne eront en contact que ou charge à caue de la flexion de dent. Par la uite, tou le calcul eront donc effectué en utiliant uniquement la modéliation de contact linéaire, quel que oit à priori le type de contact. Il convient de rappeler ici que la modéliation ponctuelle n a pa pu être validée expérimentalement, alor que la modéliation linéaire l a été avec uccè (cf. Chapitre 3). 3

132 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 3. Caractéritique de contact ou charge Le différent calcul effectué avec de pignon à 8 dent (ca de contact ponctuel) et 9 dent (ca de contact linéaire) permettent de comparer le réultat (le calcul ont toujour effectué avec la modéliation linéaire). Le réultat obtenu pour un couple d entrée ur le pignon de 00 Nm ont ynthétié dan le tableau uivant : Ponctuel Linéaire Rapport de conduite à vide.8.33 Rapport de conduite ou charge Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Moyenne de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Charge maximale ur la dent 3 (N) Preion maximale à la poition la plu chargée (MPa) Tableau 4. : Caractéritique ou charge de contact linéaire et ponctuel Le ca de contact linéaire emble préenter de nombreux avantage par rapport au ca ponctuel. Le rapport de conduite ou charge et légèrement upérieur et la zone de contact et répartie ur toute la largeur de denture. Ceci induit une charge maximale et de preion maximale inférieure. L erreur de tranmiion ou charge calculée et également plu faible pour un contact linéaire. 3.3 Senibilité aux erreur de montage L influence relative de divere erreur de montage ur la portée ou charge a été étudiée dan le ca de contact ponctuel et linéaire. Dan un premier temp, il a été néceaire de caractérier cette portée ou charge. Pour cela, la ditribution de preion intantanée correpondante à la poition cinématique où la dent et la plu chargée a été utiliée. Pour effectuer le calcul ou charge et le maillage de Bouineq, la largeur de denture a été dicrétiée en nœud. Le nœud où la preion et maximale et utilié pour définir la poition de la portée ou charge. Pour définir la taille de la portée, le nœud où la preion et upérieure à une valeur euil ont utilié. La valeur euil choiie ici et 00 MPa, cette valeur permettant de caractérier une preion non négligeable par rapport à la preion maximale. Aini, la portée ou charge et définie par on nœud de poition, on nœud de début et on nœud de fin. Par exemple ur la figure 4.8, an erreur, la portée et poitionnée au nœud 4, elle débute au nœud et finit au nœud 8. Le figure 4.8 et 4.9 montrent de exemple de l influence d une erreur de montage ur la portée ou charge. L erreur introduite dan la modéliation et une erreur ur l angle entre le axe du pignon et de la roue de -0,0. 3

133 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face San erreur Avec erreur δγ =-0,0 Figure 4.8 : Influence d'une erreur de montage ur la ditribution de preion dan le ca d'un contact ponctuel Ce deux figure montrent bien la différence de enibilité de deux ca de contact à une erreur de montage. Pour le ca de contact ponctuel, la portée ou charge n et preque pa modifiée. La poition et la forme ont identique et le valeur de preion maximale ont preque inchangée (75 et 768 MPa). Par contre pour le contact linéaire, la portée et complètement déplacée ver le rayon intérieur de la roue. Il et évident que le contact era trè défavorable. Le valeur de preion de contact augmentent et paent de 554 à 804 MPa. 33

134 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face San erreur Avec erreur δγ =-0,0 Figure 4.9 : Influence d'une erreur de montage ur la ditribution de preion dan le ca d'un contact linéaire Pour quantifier de façon plu précie l influence de erreur, un plan d expérience a été effectué pour chaque ca de contact. L utiliation de plan d expérience permet enuite grâce à une analye de variance de connaître l influence relative de chaque paramètre étudié aini que leur éventuel couplage, tout en réaliant le minimum de calcul (cf. Annexe 4). De plu l utiliation de plan d expérience, permettra de aurer que l influence de l erreur obervée précédemment ur la portée, n et pa un ca particulier iolé, mai reflète bien une tendance générale. Cinq erreur de montage peuvent être introduite dan la imulation (cf. Chapitre et Fig. 4.0). L engrenage face étudié ici et droit et an offet. Le dent ont donc ymétrique, et le déplacement angulaire du pignon (δα ) ne provoquera qu une rotation de la roue. Le réultat eront inchangé. De même, le pignon étant droit et non corrigé, a géométrie et invariante dan la direction de on axe de rotation. Un déplacement axial du pignon (δr ) n aura donc également aucune influence ur le réultat. Finalement, troi erreur de montage ont donc été retenue et étudiée, avec chacune deux niveaux : - Déplacement radial du pignon, δe : -0,0 mm, 0,0 mm - Déplacement axial de la roue face, δq : -0,0 mm, 0,0 mm - Déplacement angulaire de la roue face, δγ : -0,0, 0,0 34

135 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Z Y X X f δγ ω φ γ O f,, δq Y O f, δε ω Z f, ω C δα Z f, O Y ω Figure 4.0 : Erreur de montage prie en compte Le réultat obervé ont la poition, le début et la fin de la portée, comme défini précédemment. Le détail de expérience effectuée et fourni en annexe 5., le réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou. Contact ponctuel Contact linéaire Expérience Poition Début Fin Poition Début Fin San erreur 4 8 Tableau 4.3 : Influence de erreur d aemblage ur la portée ou charge Il apparaît clairement ici que, quelle que oit l erreur de montage imulée, la portée ou charge et beaucoup moin perturbée pour un contact ponctuel que pour un contact linéaire. Pour le contact linéaire, la poition de la portée et preque toujour déplacée en bord de dent, au rayon intérieur (carreau ) ou au rayon extérieur (carreau ). De plu, la taille de la portée et réduite dan pluieur ca. La zone de contact ne couvre alor plu toute la largeur de denture. 35

136 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face L analye de variance effectuée à la uite de ce expérience permet de quantifier l influence de paramètre de la façon uivante : Influence relative 00,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 0,00% 0,00% 0,00% Poition Début Fin Poition Début Fin δe δq δe δq δγ δe δγ δq δγ δe δq δγ Contact ponctuel Contact linéaire Figure 4. : Influence relative de erreur d aemblage ur la portée ou charge D aprè le graphe de influence relative (Fig. 4.), il apparaît nettement que le déplacement radial du pignon ( δe ) a globalement trè peu d influence ur la portée ou charge. Seul le déplacement axial de la roue face (δq ) et le déplacement angulaire de la roue face (δγ ) jouent un rôle prépondérant ur la portée ou charge. Leur influence et du même ordre de grandeur, même i δγ emble légèrement prépondérant dan le ca d un contact linéaire. L étude effectuée ici a montré le avantage et inconvénient de deux type de contact au niveau du comportement ou charge. Un contact linéaire préente de nombreux avantage par rapport au contact ponctuel : - Rapport de conduite plu important, - Charge maximale plu faible, - Erreur de tranmiion ou charge plu faible, - Preion de contact maximale plu faible, Un engrenage face avec un contact linéaire aura donc a priori une capacité de charge plu importante. Par contre la enibilité à la moindre erreur de montage emble trop importante pour pouvoir le utilier tel quel. Un contact localié et généralement abent du bord de dent comme le contact ponctuel et beaucoup moin enible aux erreur de montage et plu ûr à utilier. L utiliation de engrenage face avec un contact linéaire néceite donc de modification qui améliorent la portée ou charge. L introduction d un bombé ur le pignon devrait permettre de localier et maîtrier la poition de la portée ou charge. Une caractéritique fondamentale de engrenage face et apparue lor de calcul effectuée ici : l'amplitude de l'erreur cinématique à vide emble négligeable en préence d'erreur de montage. En effet, l'erreur cinématique préentée au début de ce chapitre (Fig. 4.7), qui était de 4 micro radian, et la valeur la plu importante rencontrée au cour de cette étude. Le erreur de montage ont donc un effet uniquement ur la valeur moyenne de l'erreur cinématique, mai celle ci rete enuite quaiment contante au cour de l'engrènement. 36

137 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 4 Optimiation du pignon 4. Optimiation de la portée ou charge Le obervation effectuée précédemment montrent, ur le ca de l engrenage face linéaire, une portée ou charge décalée ver le rayon intérieur de la roue. L optimiation de la urface du pignon par l introduction d un bombé doit permettre d équilibrer la portée ou charge. Un bombé et défini pour une charge précie. Le bombé pour l'engrenage face étudié précédemment a été calculé pour un couple d'entrée appliqué au pignon de 500 Nm. Le bombé et défini par quatre paramètre (cf. Chapitre et Fig. 4.) : deux longueur (C bl et C bl ) et deux profondeur (C b et C b ). Profil théorique Profil bombé C b C b Face avant C bl Face arrière C bl Largeur de denture Figure 4. : Définition d'une correction de bombé Afin de déterminer l influence de ce quatre paramètre ur la portée ou charge, un plan d expérience complet à deux niveaux a été effectué. De calcul préliminaire ont été effectué afin d oberver le tendance de l influence de paramètre et de fixer leur valeur pour cette étude. Il a aui fallu déterminer quel allaient être le critère pour définir une "bonne" portée ou charge. La qualité de la portée ou charge et etimée grâce à la ditribution de preion correpondante à la poition cinématique où la dent 3 et la plu chargée. La largeur de denture du pignon et de 8 mm. Pour le calcul ou charge, la largeur de denture de la roue face et dicrétiée en carreaux. Le critère retenu pour caractérier une "bonne" portée ont le uivant : - Preion maximale ituée au centre de la dent, oit entre le carreaux 4 et 6, - Preion au niveau du carreau inférieure à la moitié de la preion maximale, - Preion au niveau du carreau inférieure à la moitié de la preion maximale, - Valeur de la preion maximale équivalente ou inférieure à celle an bombé. De plu, il faudra veiller à ce que la portée ou charge ne oit pa trop enible aux éventuelle erreur de montage. Pour cela, un calcul era effectué avec l'erreur de montage qui a été déterminée comme la plu influente au paragraphe précédent, c'et-à-dire, le déplacement angulaire de la roue face (δγ ). 37

138 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le niveaux de paramètre uivant ont été choii pour l étude : - C bl : 6 mm, 4 mm, - C b : 0 micron, 30 micron, - C bl : 4 mm, mm, - C b : 0 micron, 30 micron. Le détail de expérience effectuée aini que le réultat numérique obtenu ont fourni en Annexe 5.. La figure 4.3 montre l influence relative de paramètre du bombé ur la portée ou charge déterminée grâce au plan d'expérience. Influence relative 00,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 0,00% 0,00% 0,00% Poition Preion maximale Preion en Preion en C bl C b C bl C b C bl +C b C b +C b Autre couplage Figure 4.3 : Influence relative de paramètre du bombé ur la portée ou charge La poition de la portée ou charge et la preion maximale dépendent eentiellement de C bl et C b, c et-à-dire de la partie du bombé ituée au niveau du rayon intérieur de la roue. La preion au carreau dépend eentiellement de C b, la profondeur du bombé au niveau du rayon intérieur et la preion au carreau de C bl, la poition du bombé au niveau du rayon extérieur. L'analye de variance relative à ce plan d'expérience a permi d'obtenir de prédicteur mathématique pour le effet obervé. Aini, de équation donnant la poition du bombé, la preion maximale, la preion au carreau et la preion au carreau ont diponible. Il et important de noter ici que le prédicteur mathématique aini obtenu ne prennent en compte que le effet linéaire de différent paramètre puique le plan effectué n'était qu'à deux niveaux. Il pourront donc être plu ou moin approché en fonction d'éventuelle influence quadratique de paramètre (etimé faible ici). Ce éventuelle influence quadratique pourraient être mie en évidence en effectuant un plan d'expérience à 3 niveaux, mai le nombre de imulation à effectuer erait alor beaucoup plu important. L'objectif ici étant uniquement de définir un bombé qui aure une portée ou charge de bonne qualité et non pa de déterminer de prédicteur le plu fiable poible, l'utiliation de prédicteur mathématique linéaire et uffiante. 38

139 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le prédicteur mathématique obtenu ont le uivante : Poition = C bl + C Preion max Preion Preion b = Cbl + 6.7Cb 4. 33Cbl = Cbl 6.33C b. 05CblCb = Cb 3.49Cb 0. 33C bcb Le critère retenu pour définir une "bonne" portée permettent de choiir de valeur pour la poition du bombé, aini que le preion. Le quatre équation précédente pourront alor former un ytème de 4 équation où le 4 inconnue eront le paramètre du bombé. Mai ce équation ne ont valable que pour le plage de valeur pour lequelle le imulation ont été effectuée. Il faut alor veiller à ce que le valeur choiie pour la poition du bombé et le preion permettent bien d'obtenir de valeur pour le paramètre du bombé à l'intérieur de ce plage. La olution uivante a été retenue pour définir le bombé : - Poition de la portée : carreaux 4, - Preion au niveau du carreau : 600 MPa, - Preion au niveau du carreau : 350 MPa, - Preion maximale : 00 MPa. La réolution du ytème donne alor le caractéritique uivante au bombé (valeur arrondie) : - C bl = 3 mm, - C b = 5 micron, - C bl = 7 mm, - C b = micron. La qualité de ce bombé a été validé par un calcul ou charge le prenant en compte. Deux autre calcul avec de erreur de montage ont également été effectué. La figure 4.4 montre la ditribution de preion obtenue avec le pignon initial, avec le pignon bombé et avec le pignon bombé et une erreur d'aemblage, δγ =-0,0. 39

140 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Pignon initial Pignon bombé Pignon bombé avec δγ =-0.0 Figure 4.4 : Influence du bombé ur la ditribution de preion Le réultat obtenu avec le calcul ou charge ont ynthétié dan le tableau uivant : Bombé eul Bombé Bombé San bombé δγ =-0,0 δγ =0,0 Poition de la portée Preion maximale (MPa) Preion au carreau (MPa) Preion au carreau (MPa) Tableau 4.4 : Influence du bombé ur la portée ou charge Ce réultat montrent que le bombé aini défini aure une portée de bonne qualité, même en préence d'erreur de montage. Le prédicteur mathématique donnent dan l'enemble une bonne approximation de réultat. Le bombé améliore également le comportement global ou charge. La charge maximale et légèrement diminuée, elle pae de 0473 à 0383 N. De même, la moyenne de l'erreur de tranmiion pae de 7 à 66 micro radian. Mai pour diminuer de façon plu ignificative la moyenne de l'erreur de tranmiion, ce eront de correction de profil de denture qui devront être appliquée au pignon. 40

141 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 4. Réduction de l erreur de tranmiion ou charge Dan tout type d'engrenage, l'erreur de tranmiion ou charge et ource de bruit et d'excitation (Rémond [4]). Le concepteur d'engrenage cherchera toujour à la réduire au maximum. Généralement, dan un engrenage, l'erreur de tranmiion ou charge provient en majeure partie de la flexion de dent. Avant de chercher à réduire l'amplitude de l'erreur de tranmiion pour le engrenage, il et néceaire dan un premier temp de cibler on origine dan le ca de engrenage face. L'étude et effectuée ici, toujour ur le même engrenage face (contact linéaire) avec un couple d'entrée ur le pignon de 500 Nm, puique l optimiation de cette correction n et valable qu à un couple particulier. 4.. Influence relative de la flexion et du contact L'erreur de tranmiion ou charge peut provenir de troi effet ditinct : - Déformation de contact, - Flexion de la roue, - Flexion du pignon. Pour connaître l'influence de ce troi effet, différent calcul ou charge on été effectué, en négligeant à chaque foi un ou pluieur effet. Le réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci-deou : Calcul Effet conidéré Valeur moyenne de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Contact + flexion Contact eul Flexion eule Flexion du pignon Flexion de la roue Contact + flexion du pignon Contact + flexion de la roue Tableau 4.5 : Influence du contact et de la flexion ur l'erreur de tranmiion ou charge Le troi premier calcul montrent que le contribution de la déformation due au contact et la déformation due à la flexion de dent ont bien ditincte et complémentaire. Il ne emble pa qu'il y ait de couplage important antre le deux effet, l'effet de flexion contribuant environ à /3 de l'erreur de tranmiion ou charge, et l'effet de contact à /3. Le calcul prenant en compte uniquement la flexion de la roue (calcul 5) montre qu'elle n'a pa d'influence ur l'erreur de tranmiion ou charge. Lorqu'elle et conidérée eule, elle n'a d'ailleur aucune influence ur le calcul ou charge complet. 4

142 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face La répartition de charge correpondante (Fig. 4.5) montre que la charge et répartie équitablement ur toute le dent en contact : lorque deux dent ont en contact, elle upportent chacune la moitié de la charge exactement, et lorque troi dent ont en contact, elle upportent le tier de la charge exactement. Figure 4.5 : Répartition de charge en conidérant uniquement l'effet de flexion de la roue De même, lorque la flexion de la roue n'et aociée qu'à l'effet de contact (calcul 7), celle-ci n'a pa d'influence ur l'erreur de tranmiion. Ce n'et qu'aocié à la flexion du pignon que on influence apparaît, puique l influence de la flexion conjuguée de la roue et du pignon (calcul 3) et bien upérieure à l'influence de la flexion du pignon eul (calcul 4). Le calcul conidérant l'effet de flexion globalement (calcul 3) tient compte non eulement de la flexion du pignon et de la roue, mai également de l'éventuel couplage entre ce deux effet. Grâce à ce calcul, il et poible d'etimer que ce couplage contribue à environ /3 de l'effet de flexion. Le deux dernier calcul confirment cette etimation de la contribution du couplage de flexion. Globalement, la répartition de contribution de différent effet ur l'erreur de tranmiion ou charge peut être etimée aini : - Effet de contact : 33,3%, - Effet de flexion du pignon :, %, - Effet du couplage de la flexion de la roue et de la flexion du pignon : 44,4 %. La ource principale de l'erreur de tranmiion étant donc la flexion, a variation provient donc eentiellement de fluctuation de la flexion de dent au cour de l'engrènement. L'introduction de correction de denture adéquate devraient permettre de réduire cette fluctuation et donc l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Pour l'intant, il n'et pa prévu de corriger le profil de la roue face. De correction appliquée en tête de dent du pignon devraient permettre de compener la flexion du pignon. De correction en pied de dent du pignon devraient corriger l'effet de couplage à traver la compenation de la flexion de la roue. 4

143 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 4.. Etude de la flexion Pour corriger le denture de engrenage cylindrique, la profondeur de correction et généralement choiie de façon à compener la flexion de dent. Par imilitude, il et donc dan un premier temp néceaire de connaître cette flexion de dent. Pour quantifier la flexion de dent, la flèche maximale en tête de dent de la roue face et du pignon a été meurée au cour de l'engrènement ur une dent. La flèche a également été meurée au niveau du rayon intérieur de la roue, au milieu de la largeur de denture et au niveau du rayon extérieur de la roue, ceci afin d'évaluer l'évolution de la poition de la flèche maximale ur la largeur de denture au cour de l'engrènement (Fig. 4.6). Le meure ont été effectuée ur la dent 3, ur le flanc retro au contact, afin d'éviter le perturbation de déplacement due au chargement. Flèche maximale (micron) Pignon Poition cinématique Flèche maximale Flèche au rayon extérieur Flèche en milieu de dent Flèche au rayon interieur Flèche maximale (micron) Roue face Poition cinématique Flèche maximale Flèche au rayon extérieur Flèche en milieu de dent Flèche au rayon interieur Figure 4.6 : Evolution de la flèche au cour de l'engrènement Le courbe de flexion obtenue ont conforme à l'évolution de la poition de la zone de contact durant l'engrènement (Fig. 4.7) déterminée par la cinématique à vide. Pour le pignon, la flexion et maximale au niveau du rayon intérieur au début de l'engrènement, pui au centre de la dent au milieu de l'engrènement, et enfin au niveau du rayon intérieur à la fin de l'engrènement. Deux maxima de flexion ont relevé pour le poition cinématique 9 et 7, il correpondent au pic de variation de l'erreur de tranmiion ou charge (cf. Fig. 4.0). Ce ont donc ce maxima de flexion qu'il faut eayer de diminuer pour réduire l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Pour la roue, la flexion et également plu importante au rayon extérieur en début d'engrènement, pui au milieu de la dent, mai elle devient trè rapidement maximale au rayon intérieur (à partir de la poition 5). Ceci 'explique par l'inclinaion de ligne de contact ur le profil de denture (Fig. 4.7). En effet, à partir de la poition cinématique 5, même i le ligne de contact couvrent toute la largeur de denture, le contact et plu haut ur le profil de dent au niveau du rayon intérieur. A partir de la poition cinématique 0, le contact ne couvre plu toute la largeur de denture, il et itué au rayon intérieur et la roue ne fléchit plu qu'à cet endroit. Comme pour le pignon, le maximum de flexion de la roue face (poition cinématique 9) correpond au pic d'erreur de tranmiion. 43

144 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Début de l engrènement Fin de l engrènement Figure 4.7 : Evolution de la zone de contact potentiel à vide ur la roue face au cour de l'engrènement 4..3 Etude de correction de denture du pignon Pour le engrenage cylindrique, le correction de denture longue et de type parabolique ont le plu efficace pour réduire l'erreur de tranmiion ou charge (Guingand [64]). Par imilitude, il emble logique pour le engrenage face d'étudier dan un premier temp ce type de correction. L'étude effectuée ici portera donc uniquement ur le correction parabolique. Le paramètre définiant le correction de denture étant nombreux (cf. Chapitre ), leur étude a été éparée en 6 configuration différente : - Correction en tête de dent couvrant toute la largeur de denture, - Correction en tête de dent au niveau rayon intérieur de la roue, - Correction en tête de dent au niveau du rayon extérieur de la roue, - Correction en pied de dent couvrant toute la largeur de denture, - Correction en pied de dent au niveau rayon intérieur de la roue, - Correction en pied de dent au niveau du rayon extérieur de la roue. Un plan d'expérience à deux niveaux a été effectué pour chaque ca, pour déterminer l'influence de différent paramètre et l'éventuelle linéarité de cette influence. Pour le correction couvrant toute la largeur de denture, deux paramètre définient la correction : la longueur et la profondeur de correction. Pour le correction ne couvrant pa toute la largeur de denture, troi paramètre le définient : la longueur, la profondeur et la taille de correction ur la largeur de denture. Le valeur maximale de flexion relevée ur le pignon et ur la roue étant comprie entre 5 et 5 micromètre, la plage d'étude choiie pour la profondeur de correction et entre 0 et 30 micron. En ce qui concerne la longueur de correction, mm caractérieront de correction courte, et 6 mm de correction longue. Pour le correction ne couvrant pa toute la largeur de denture, elle eront appliquée ur environ un tier et deux tier de la largeur de denture. Le réultat complet de plan d'expérience ont fourni en Annexe

145 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le analye effectuée à la uite de ce calcul montrent que l'influence de différent paramètre définiant le correction de denture et aez complexe. De calcul effectué avec de valeur intermédiaire aux deux niveaux du plan d expérience montrent que le paramètre dont l'influence et linéaire ont rare. L'étude précie de leur influence, aini que l'obtention d'équation caractériant le correction (comme celle déterminée pour le bombé) néceiteraient l utiliation de plan d'expérience à 3 niveaux. De plu, de calcul effectué avec pluieur correction imultanément (en tête et en pied par exemple) ont montré qu'il exite de couplage de correction entre elle : deux correction dont l effet et poitif ur la réduction de l erreur de tranmiion lorqu elle ont eule, peuvent avoir un effet négatif lorqu elle ont appliquée enemble. De même, leur influence et également couplée avec le éventuel correction de bombé. Une étude complète impliquerait donc une analye imultanée de l'influence de tou le paramètre caractériant le toute correction de denture aini que le bombé. L'objectif ici étant uniquement de trouver de correction adéquate pour réduire l'erreur de tranmiion et non pa forcément la correction optimale parmi toute le configuration poible, eule une analye qualitative de réultat a été effectuée. Dan le ca de l engrenage face étudié ici, le correction le plu efficace emblent être le correction en pied de dent couvrant toute la largeur de denture. Elle devront être alor longue et profonde. Enuite il emble également avantageux de corriger le pignon en tête de dent, ur une partie eulement de la largeur de denture. Le correction eront plu efficace i elle ont ituée au niveau du rayon extérieur de la roue, oit courte ur une grande partie de la largeur de denture, oit longue ur une faible partie de la largeur de denture. Ce deux type de correction appliquée eule laient entrevoir un potentiel de réduction de l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge d environ 40%. Suite à ce première obervation, une étude plu complète a été réaliée ur un type de correction particulier, couplé au bombé défini précédemment. La correction choiie et celle qui emble la plu prometteue en terme de réduction de l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge, c et-à-dire une correction en pied de dent du pignon couvrant toute la largeur de denture. Le nombre de paramètre définiant cette correction de denture n étant que de deux, leur influence a pu être étudiée conjointement. La figure 4.8 montre l évolution de l amplitude de l erreur de tranmiion en fonction de la longueur et de la profondeur de correction. 75 Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Profondeur = 0 Profondeur = 30 Profondeur = ,5 5 5,5 6 6,5 7 Longueur de correction (mm) Figure 4.8 : Variation de l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge pour différente profondeur de correction, en fonction de la longueur de correction 45

146 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le 3 courbe obtenue ont de forme identique. Elle préentent toute un minimum pour une longueur de correction de 5,5 mm. Cette longueur de correction emble donc être optimale pour diminuer l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge. La courbe repréentant l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge en fonction de la profondeur de correction pour cette longueur de correction de 5,5 mm (Fig. 4.9) préente également un minimum pour 45 micron Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Profondeur de correction (micron) Figure 4.9 : Variation de l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge en fonction de la profondeur de correction pour une longueur de correction de 5,5 mm Une correction de denture en pied de dent du pignon ur une longueur de 5,5 mm avec une profondeur de 45 micron et ici le compromi idéal pour diminuer l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge. Néanmoin, au delà de 40 micron de correction, le réultat montrent que le critère défini auparavant pour caractérier une bonne portée ou charge ne ont plu repecté. La portée et alor décalée ver le rayon extérieur de la roue et la preion de contact au niveau du rayon extérieur atteint prè de 700 MPa pour la poition cinématique la plu chargée. Une correction de 40 micron de profondeur ur une longueur de 5,5 mm era alor retenue ici pour optimier l erreur de tranmiion ou charge. Le caractéritique ou charge de l engrenage face aini optimié ont ynthétiée dan le tableau uivant : San correction Bombé eul Bombé + correction Rapport de conduite ou charge Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Gain ur l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge 6. % 4.6 % Moyenne de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) Charge maximale ur la dent 3 (N) Poition de la portée 4 4 Preion maximale (MPa) Preion au carreau (MPa) Preion au carreau (MPa) Tableau 4.6 : Caractéritique ou charge aprè optimiation du pignon 46

147 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Le correction aini appliquée répondent aux compenation de flexion ouhaitée et définie au 4... En plu, d équilibrer la portée, le bombé joue un rôle équivalent aux correction de tête localiée en compenant la flexion du pignon au niveau de rayon extérieur et intérieur. La correction en pied de dent du pignon compene la flexion de la roue et régule aini l influence du couplage flexion roue - flexion pignon. L introduction de la correction en pied de dent du pignon a introduit une erreur cinématique à vide, légèrement décalée dan le temp par rapport à l erreur de tranmiion ou charge initiale (Fig. 4.30). C et notamment cette erreur cinématique qui permet de réduire l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge. Erreur de tranmiion ou charge initiale Erreur cinématique à vide due à la correction du pignon Erreur de tranmiion ou charge aprè correction Figure 4.30 : Erreur de tranmiion ou charge avant et aprè optimiation du pignon Aprè optimiation du pignon, la charge maximale upportée par chaque dent et légèrement diminuée, mai urtout la variation de charge et plu régulière (Fig. 4.3). L augmentation et la diminution du chargement ur chaque dent autour de la poition la plu chargée ont maintenant plu progreif. Le chargement maximal et upporté plu longtemp par chaque dent. San correction, un chargement upérieur à 9000 N était obervé pour 3 poition cinématique eulement (poition cinématique 9 à pour la dent 3). Aprè correction, il et obervé pour 6 poition cinématique (poition cinématique 7 à pour la dent 3). Aini la baie brutale obervée aprè le pic de chargement a diparu. 47

148 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face Figure 4.3 : Répartition de charge avant et aprè optimiation du pignon La portée ou charge et toujour de bonne qualité (Fig. 4.3), même i elle et trè légèrement décalée ver le rayon extérieur, et le preion maximale de contact ont encore réduite. Pignon initial Pignon bombé Pignon bombé + correction Figure 4.3 : Ditribution de preion avant et aprè optimiation du pignon 48

149 Chapitre 4 : Préentation de Gandalf et comportement ou charge de engrenage face 5 Concluion Juqu'à préent, le engrenage face avaient été étudié eentiellement à vide. Leur comportement ou charge retait encore peu connu. Grâce à la modéliation et au logiciel développé dan le cadre de cette thèe, de nombreux calcul ou charge ont pu être effectué. Il ont abouti à une meilleure compréhenion et à une decription précie du comportement ou charge de engrenage face. Le contact ou charge a pu être étudié en détail et reconidéré dan le ca ponctuel. La modéliation du contact ponctuel 'et avérée inadaptée ou charge, et l'utiliation de la modéliation d'un contact linéaire et préconiée quel que oit le nombre de dent relatif du pignon et de l'outil. La comparaion ou charge de deux ca de contact à vide (linéaire et ponctuel) aini que l'étude de l'influence de erreur de montage ont montré leur intérêt repectif. Un engrenage face avec un contact linéaire dont l'aemblage et maîtrié préente de nombreux avantage : - Rapport de conduite plu important, - Charge maximale upportée par le dent plu faible, - Erreur de tranmiion ou charge plu faible, - Preion de contact plu faible, - Capacité de charge plu importante. Par contre, ce type de contact et trè enible aux déalignement, et il et néceaire de corriger le pignon par un bombé afin d'obtenir une portée ou charge de bonne qualité. L'étude de bombé a montré qu'il et poible d'obtenir implement le caractéritique optimale d'un bombé qui permettent de maîtrier parfaitement la portée ou charge. De même l'introduction de correction de profil de denture au pignon a permi de réduire de plu de 40 % l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge, tout en conervant un engrènement optimal. Le optimiation ou charge définie ici pourront être couplée aux réultat à vide du chapitre uivant afin de définir un proceu de conception de engrenage face. 49

150 Chapitre 5 Optimiation de la conception de engrenage face Introduction Dan le proceu de conception de engrenage, l optimiation ou charge décrite précédemment et effectuée en dernier afin d affiner le comportement de l engrenage pour de condition d utiliation particulière. Dan un premier temp, il et néceaire de concevoir l engrenage avec e paramètre de bae, en fonction d un certain nombre de contrainte extérieure. Monté dan une boîte de tranmiion, l engrenage devra la plupart du temp repecter de condition d encombrement, de rapport de réduction et de capacité de charge. Il et donc néceaire de pouvoir dimenionner rapidement un engrenage face qui repectera ce critère, tout en optimiant dè le début de la conception certain paramètre, ceci an avoir à effectuer de calcul complexe. Le développement de formule imple caractériant la géométrie et la conduite à vide de engrenage face permettra aini d optimier la conception trè rapidement. Dan ce contexte, le paramètre définiant la géométrie de roue face ont été étudié afin de caractérier leur influence ur la largeur de denture de roue face et le rapport de conduite à vide. Le obervation effectuée, aociée aux optimiation ou charge du chapitre précédent peuvent permettre de définir par la uite un proceu de conception de engrenage face. 50

151 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Optimiation de la géométrie de roue face La géométrie de roue face, complètement liée à l outil de taillage, et aez complexe à caractérier. Elle et notamment limitée au niveau de la largeur de denture par le phénomène de pointe et d interférence de taillage, repectivement au rayon extérieur et au rayon intérieur (cf. Chapitre ). Ce deux rayon ont meurable, alor que le autre caractéritique, comme le épaieur de dent par exemple ne ont pa contante et difficile à évaluer. Le rayon d interférence de taillage et le rayon de pointe ont alor de indicateur efficace pour caractérier la géométrie de roue face. La recherche d une largeur de denture optimale permettra au concepteur d engrenage face d avoir une zone de contact potentiel la plu grande poible, et aini un potentiel de capacité de charge optimal. La définition de formule mathématique imple permettant d obtenir le rayon de début d interférence de taillage et le rayon de pointe à partir de valeur de différent paramètre caractériant la géométrie permettra d optimier rapidement le engrenage face dè le première phae de conception, tout en limitant le calcul. Deux étude ont été réaliée pour définir l influence de paramètre de définition de roue face ur le rayon d interférence de taillage et le rayon de pointe.. Choix de paramètre La géométrie de roue face dépend de paramètre de on outil de taillage, aini que de poitionnement relatif de l outil et de la roue lor du proceu de taillage. Le deux étude effectuée pour déterminer l influence relative de différent paramètre de définition de la roue face ur la valeur du rayon d interférence de taillage et du rayon de pointe ont baée ur l utiliation de plan d expérience. Comme dan le chapitre précédent, l analye et limitée dan un premier temp aux engrenage face dont l angle entre le axe et à 90. Une étude préalable a été effectuée en faiant varier le paramètre de définition de la géométrie indépendamment pour éventuellement détecter de paramètre dont l influence erait totalement négligeable. Aini le coefficient de creux de l outil a pu être éliminé de l étude, et ce ont 8 facteur qui ont finalement été retenu pour cette étude : - Nombre de dent de l outil : N S, - Module de taillage de l outil : m 0, - Angle de preion de l outil : α 0, - Angle d'hélice de l outil : β, - Coefficient de aillie de l outil : h a, - Coefficient de déport de l outil : x, - Nombre de dent de la roue face : N, - Offet de taillage : c. 5

152 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face L étude préalable a également permi de définir le intervalle uivant pour tou le paramètre : 7 N 43 N 63 mm m 0 6mm 7,5 α 0,5-0 β 0-0mm c 0mm., h a,4 0, x 0,4 Avec 8 paramètre, un plan d expérience complet à 3 niveaux pour chaque paramètre, qui erait idéal pour étudier préciément l influence de tou le paramètre, néceiterait 3 8, oit 656 expérience. Même en négligeant le effet quadratique et en utiliant un plan complet à niveaux, il rete 8, oit 56 expérience pour chaque étude. Le choix et donc reporté ur l utiliation de plan réduit de Taguchi de type L 6 ne néceitant que 6 expérience (cf. Annexe 4). Seul le effet linéaire de paramètre étant pri en compte avec ce type de plan, il faudra vérifier que le fait de négliger le effet quadratique n et pa trop pénaliant pour la préciion. L utiliation de ce type de plan entraîne également un certain nombre d ambiguïté, dan le en où il n et pa poible de ditinguer l influence relative de paramètre qui vont être aliaé (cf. Annexe 4). Une méthodologie particulière a due être mie en place pour palier cet inconvénient. Un premier plan d expérience a été réalié avec tou le paramètre, pui 3 autre plan ont enuite été réalié avec eulement quelque paramètre afin de lever le ambiguïté et obtenir de prédicteur mathématique fiable. Pour chaque étude, 4 plan ont aini été réalié : - Un plan avec le 8 paramètre, - Un plan avec 6 paramètre : N, α 0, β, h a, c, x, - Deux plan avec 5 paramètre : N, m 0, α 0, c, x et N, α 0, β, h a, x. Le choix de paramètre étudié dan le plan à 6 et 5 paramètre a été déterminé par le réultat du plan à 8 paramètre. Le paramètre N et m 0, reortant largement comme le plu influent dan le plan à 8 paramètre, ont été enuite fixé à leur niveau moyen. Aini leur influence n et pa prie en compte dan le plan à 6 paramètre. Il et alor poible d étudier le paramètre moin influent et d éliminer de interaction jugée non influente. Le paramètre N et m 0 ont enuite été réintroduit chacun dan un plan à 5 paramètre pour étudier en détail leur couplage avec le autre paramètre. Le plan à 8 paramètre et défini à partir du graphe linéaire uivant : Z β α 0 h a m 0 Z c x Figure 5. : Graphe linéaire pour le plan à 8 paramètre 5

153 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Le aliaage uivant ont obtenu grâce aux table orthogonale de Taguchi : Paramètre N S N N S m 0 N m 0 h a x α 0 β c N S Alia h a x α 0 h a α 0 x m 0 β N β N S β N S c N c m 0 c c h a Paramètre N m 0 β c N h a β x N α 0 Alia c x α 0 c N x N S h a m 0 α 0 N S x α 0 β Tableau 5. : Alia du plan à 8 paramètre Le plan à 6 paramètre et défini à partir du graphe linéaire uivant : N S α 0 m 0 h a m 0 x β h a Z α 0 x h a β c Figure 5. : Graphe linéaire pour le plan à 6 paramètre Le aliaage uivant ont obtenu grâce aux table orthogonale de Taguchi : Paramètre N S α 0 N S α 0 β N S β α 0 β c x c Alia c h a h a x α 0 h a N S h a Paramètre N S c α 0 c h a β c α 0 x N S x x Alia β x β h a c h a h a x Tableau 5. : Alia du plan à 6 paramètre 53

154 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Le deux plan à 5 paramètre ont défini à partir du graphe linéaire uivant : Z Z m 0 x α 0 x α 0 c β h a Figure 5.3 : Graphe linéaire pour le plan à 5 paramètre Ce deux plan à 5 paramètre ont parmi le plu complet donné par Taguchi car il ne préentent aucun aliaage entre le interaction. Il permettent aini de lever toute le ambiguïté engendrée par le plan à 8 et 6 paramètre.. Optimiation de la largeur de denture.. Analye de réultat NB : Le réultat numérique de cette analye ont claé confidentiel. Le valeur numérique de prédicteur ont ici remplacé par de coefficient α i et β i. Le détail de calcul aini que le coefficient numérique ont fourni en Annexe 6., claée confidentielle. Le analye effectuée à la uite de plan d expérience ont permi de lever toute le ambiguïté et de déterminer le paramètre influent pour le rayon intérieur et le rayon extérieur de la roue. Pour lever le ambiguïté, le réultat de différent plan ont été croié et analyé. Par exemple, pour l étude du rayon intérieur de la roue face, le plan à 8 paramètre donne le facteur de la colonne 3 du tableau de alia comme influent. Or, dan cette colonne, troi couplage ont aliaé : N.m 0, α 0.x et N S.β. Le plan à 6 paramètre permet d affirmer que le couplage α 0.x et N S.β. (colonne 5 et 3 du plan à 6 paramètre) ne ont pa influent. Le deuxième plan à 5 paramètre confirme la non influence du couplage α 0.x. Aini l influence trouvée dan le plan à 8 paramètre n et due qu au eul couplage N.m 0. Le paramètre et couplage influent ont alor été déterminé : - Rayon intérieur de la roue : paramètre m 0, N et α 0 et couplage m 0.N et β.c, - Rayon extérieur de la roue : paramètre m 0, N, N, α 0, et x et couplage m 0.N, m 0.N, β.c, m 0.α 0 et N.α 0 54

155 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Le prédicteur mathématique obtenu ont alor pour le rayon intérieur r i et le rayon extérieur r e : r = α m Z m Z +. c i + α. 0 + α 3. + α 4. α 0 + α α 6. β r e = β + β. m + β. m Z + β. Z 3 + β. Z + β. β. c β. α β. m 0 0. α + β. x β. m 7 + β. Z. α 0 0. Z Parmi le 8 paramètre étudié, la aillie de l outil n apparaît ni comme paramètre influent, ni dan aucun couplage influent. Elle n a donc aucune influence ur le rayon intérieur et extérieur de la roue face. Il et également intéreant de remarquer que tou le paramètre et couplage influent pour le rayon intérieur de la roue face le ont aui pour le rayon extérieur. Ce 5 paramètre ou couplage peuvent être conidéré comme prépondérant pour la géométrie de engrenage face... Validation et limitation de prédicteur Le prédicteur mathématique pouvant être utilié directement pour la conception de engrenage face, il et important de vérifier leur validité. L'étude de écart entre le prédicteur mathématique et le meure effectuée à l'aide de la imulation montrent une erreur moyenne ur l'enemble de plan (exemple de calcul fourni en Annexe 6.) : - Inférieure à 8% pour le rayon intérieur, - Inférieure à 3% pour le rayon extérieur. Le réultat obtenu avec le prédicteur mathématique ont également été comparé avec le calcul effectué lor de l étude préalable qui a conduit au choix de paramètre. Le figure 5.4 et 5.5 montrent de exemple de l évolution de rayon intérieur et extérieur calculé avec le prédicteur mathématique et par imulation. 0,0 00,0 Rayon (mm) 80,0 60,0 40,0 0,0 Rint imulation Rint prédicteur Rext imulation Rext prédicteur 00,0 80,0 60,0 40,0,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Module de l'outil ( mm) Figure 5.4 : Evolution de rayon intérieur et extérieur en fonction du module de l outil 55

156 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 40,0 35,0 Rayon (mm) 30,0 5,0 0,0 5,0 Rint imulation Rint prédicteur Rext imulation Rext prédicteur 0,0 05,0 00, Angle d'hélice de l'outil (degré) Figure 5.5 : Evolution de rayon intérieur et extérieur en fonction de l angle d hélice de l outil Le prédicteur mathématique défini ne prennent en compte que le effet linéaire de différent paramètre. L effet quadratique de certain paramètre a pu être mi en évidence au cour de cette étude. La figure 5.5 permet de viualier l effet quadratique de l angle d hélice de l outil. Le calcul effectué à traver le différent plan d expérience ont montré qu un effet quadratique et certainement préent pour 4 paramètre : - Nombre de dent de l outil : N S, - Angle de preion de l outil : α 0, - Angle d'hélice de l outil : β, - Offet de taillage : c. Le différence obtenue entre le prédicteur mathématique et la imulation proviennent certainement en majeure partie de ce effet quadratique négligé. Néanmoin, l approximation linéaire faite ici et toute à fait acceptable au vu de la préciion de deux prédicteur (8% et 3%). Théoriquement, le prédicteur mathématique ne peuvent être utilié qu à l intérieur de plage définie pour chaque paramètre. Mai parfoi, il pourrait être utile de pouvoir définir un ou pluieur paramètre hor de cette plage. Il et alor poible d étudier l évolution de prédicteur hor de plage d utiliation en faiant varier la valeur d un paramètre et d éventuellement y apporter un coefficient correcteur afin de pouvoir continuer à le utilier. Néanmoin, ce éventuelle extrapolation doivent être utiliée avec précaution, car le interaction entre le paramètre ne ont alor plu prie en compte. L idéal erait de faire d autre plan d expérience afin d élargir le plage de définition de paramètre. 56

157 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face..3 Critère d optimiation de la largeur de denture Le but recherché et d'avoir la largeur de denture la plu importante, afin de pouvoir tranmettre un maximum de puiance. L étude effectuée permet de prédire que la largeur de denture era maximale pour : - N et m 0 maximum, - N, c, α 0, β et x minimum Grâce à cette étude, il et également poible d établir un proceu de conception, afin de déterminer le paramètre d un engrenage face tout en évitant le phénomène de pointe et d interférence de taillage. Lor de la phae de conception d'un engrenage, le module, le rapport de réduction et le nombre de dent du pignon et de la roue ont généralement impoé par de contrainte extérieure. D'autre part, il faut ouvent repecter un encombrement maximum. Dan un premier temp, il et poible de réduire la limite d interférence de taillage en jouant ur l angle de preion, l angle d hélice et l offet. Le rayon minimum d interférence de taillage era aini réduit de la manière uivante : - en augmentant α 0, - i β et c ont de même igne, en le diminuant, - i β et c ont de igne différent, en le augmentant. Il faut avoir que le fait de modifier aini ce paramètre réduira également le rayon extérieur. Néanmoin, le rayon de pointe pourra par la uite être augmenté en diminuant N et x. Aini la largeur de denture pourra être globalement augmentée. Si le réultat obtenu n'et pa atifaiant, il et toujour poible de modifier m 0, N et N, pui de répéter l'opération décrite ci-deu. 57

158 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 3 Optimiation de l engrènement à vide 3. Influence de paramètre de conception ur le rapport de conduite L étude du rapport de conduite de engrenage face et plu complexe que celle de la géométrie. Pour la géométrie, une étude baée ur le plan d expérience a permi de définir le paramètre influent aini qu un prédicteur mathématique pour le rayon intérieur et le rayon extérieur de la roue face. Cette méthode n et toutefoi pa applicable pour l étude du rapport de conduite. En effet, celui-ci et fortement dépendant de rayon intérieur et extérieur de la roue face, qui ont eux même dépendant de paramètre de l outil. Il avère donc trè délicat de fixer de intervalle d étude pour le paramètre an riquer de dépaer le limite d interférence de taillage ou de pointe. Une analye comme celle effectuée précédemment à l aide de plan d expérience ne pourrait être effectuée que pour une géométrie de roue face fixée. La eule étude globale poible ici pour le rapport de conduite n et qu une étude de tendance pour chaque paramètre pri indépendamment. Cette étude et réaliée ici pour quelque paramètre. 3.. Choix de paramètre Afin d éviter tout problème de pointe ou d interférence de taillage au niveau de la géométrie de la roue face, le paramètre défini précédemment comme le plu influent ur la géométrie de la roue (module de l outil et nombre de dent de la roue), aini que le rayon intérieur et extérieur de la roue ont été fixé. De plu, le outil et pignon utilié ici ont normalié afin de limiter le nombre de paramètre à étudier. Le déport ont étudié éparément par la uite et ne ont pa pri en compte ici. Enfin, le nombre de dent du pignon n et pa pri en compte directement, mai à traver la différence du nombre de dent de l outil et du pignon N (qui et compri claiquement entre 0 et 3 dent). Le autre caractéritique du pignon et l outil de taillage ont toujour identique et ont ici une notation commune : α 0 =α 0 =α 0, β=β =β, m 0 =m 0 =m 0, c=c =c. Il faut aui tenir compte du en de rotation de engrenage. En effet, lorque le dent de la roue face ne préentent pa de plan de ymétrie (ca d un engrenage hélicoïdal ou avec offet), le urface en contact avec le pignon ne ont pa le même en fonction du en de rotation. Pour cette étude, 6 paramètre ont finalement été retenu : - Nombre de dent de l outil : N S, - Différence du nombre de dent de l outil et du pignon : N - Angle de preion : α 0, - Angle d'hélice : β, - Offet : c, - Sen de rotation : en. 58

159 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Le intervalle d étude de paramètre ont ceux utilié lor de l étude paramétrique de la géométrie. Il ont défini aini : 7 N 0 N 3 7,5 α 0,5-0 β 0-0mm c 0mm. Sen : "-" (horaire) ou "+" (trigonométrique) 3.. Etude individuelle de paramètre Dan cette étude, la valeur d un paramètre varie tandi que le autre ont fixé à leur niveau moyen. Le caractéritique retenue pour la roue face ont été choiie de manière à éviter le problème de pointe et d interférence de taillage quelle que oit la valeur de différent paramètre étudié. La roue face et aini définie par : - Module de taillage : m 0 = 4 mm - Nombre de dent : N = 53 dent - Rayon intérieur : R int = 5 mm - Rayon extérieur : R ext = 30 mm Tou le réultat de meure effectuée ici ont fourni en Annexe Variation du nombre de dent de l outil et de N Durant cette campagne de meure, l effet de variation du nombre de dent de l outil et de N a été étudié imultanément. La figure 5.6 montre le courbe obtenue, qui ont de droite parallèle entre elle.,40,35 Rapport de conduite à vide,30,5,0 N = 0 N = N = N = 3,5, Nombre de dent de l'outil Figure 5.6 : Evolution du rapport de conduite à vide en fonction du nombre de dent de l outil et de N 59

160 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face L effet de ce deux paramètre et donc linéaire, et le parallélime de droite montre que ce deux paramètre n'interagient pa l'un avec l autre. De plu, pour un écart N donné, le rapport de conduite era plu important pour un nombre de dent élevé ur l'outil. En fixant le nombre de dent de l'outil, le rapport de conduite era plu faible pour un écart N important. Comme cela a déjà été uppoé au chapitre précédent, un ca de contact linéaire ( N=0) promet un rapport de conduite plu important Variation de l angle de preion L'étude de l'évolution du rapport de conduite en fonction de l'angle de preion (Fig. 5.7) montre la préence d'un effet quadratique. Bien que cet effet oit en apparence faible, il et poible qu'il 'accentue pour d'autre choix de paramètre.,34,3 Rapport de conduite à vide,3,8,6,4 Droite permettant de viualier l'effet quadratique,, 7,5 8 8,5 9 9,5 0 0,5,5,5 Angle de preion (degré) Figure 5.7 : Evolution du rapport de conduite à vide en fonction de l angle de preion La figure 5.7 montre que le rapport de conduite augmente avec l'angle de preion Variation de l angle d hélice et de l offet en fonction du en de rotation L'étude de ce troi paramètre enemble (Fig. 5.8) montre l'exitence d'une forte interaction entre eux, à laquelle 'ajoute la préence d'un effet quadratique trè important. Grâce à cette érie de meure, il et poible de mettre en évidence une ymétrie du comportement à vide, fonction du en de rotation. De manière générale, le rapport de conduite à vide et plu important pour un angle d'hélice de igne oppoé à celui du en de rotation. De plu, pour un en et un angle d'hélice donné, il et poible d améliorer le rapport de conduite grâce à un offet de même igne que celui de l'angle d'hélice. 60

161 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face La valeur du rapport de conduite varie peu en fonction de l'offet quand l'angle d'hélice et de igne oppoé au en de rotation. Par contre, pour un angle d'hélice de même igne, l écart entre le courbe et plu important. Rapport de conduite à vide,5,45,4,35,3,5,,5,, Hélice (degré) Offet = -0 / Sen "+" Offet = -7,5 / Sen "+" Offet = -5 / Sen "+" Offet = -,5 / Sen "+" Offet = 0 / Sen "+" Offet =,5 / Sen "+" Offet = 5 / Sen "+" Offet = 7,5 / Sen "+" Offet = 0 / Sen "+" Offet = -0 / Sen "-" Offet = -7,5 / Sen "-" Offet = -5 / Sen "-" Offet = -,5 / Sen "-" Offet = 0 / Sen "-" Offet =,5 / Sen "-" Offet = 5 / Sen "-" Offet = 7,5 / Sen "-" Offet = 0 / Sen "-" Figure 5.8 : Evolution du rapport de conduite à vide en fonction de l angle d hélice et de l offet 3..3 Critère d optimiation de la conduite à vide Afin de pouvoir tranmettre le maximum de puiance, l intérêt et d avoir un rapport de conduite à vide le plu grand poible. Comme pour la géométrie, l étude effectuée ici permet d optimier le paramètre dan ce en. Tout d abord, en fonction de l'angle d'hélice choii, un en de rotation era privilégié afin d'avoir un rapport de conduite maximum : - Si β 0, il et préférable de tourner dan le en horaire, - Si β 0, il et préférable de tourner dan le en trigonométrique. Rappel : β 0 définit un pignon ou un outil avec une hélice à droite. L étude effectuée permet enuite de prédire un rapport de conduite à vide maximum pour : - N et α 0 maximum, - β et c maximum en abolu, - Contact linéaire ( N = 0), - Sen de rotation de même igne que l'offet. Or, ce réglage 'oppoent complètement à ceux défini pour obtenir une largeur de denture maximale (N, α 0, β et c minimum). Par conéquent, il faudra choiir le meilleur compromi entre un rapport de conduite élevé ou une largeur de denture maximale afin de remplir au mieux le condition de bon fonctionnement de la tranmiion, notamment au niveau de valeur de preion de contact et de contrainte en pied de dent. 6

162 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 3. Déport de engrenage face Le pignon d un engrenage face aini que l outil de taillage de la roue face étant de pignon cylindrique, il et poible de le tailler en appliquant un déport de l outil. Claiquement pour le engrenage cylindrique, l utiliation de déport préente 4 intérêt principaux (Henriot [3]) : - Optimiation de gliement pécifique, - Satifaire un entraxe fixé, - Eviter le interférence (par exemple de taillage dan le ca d un petit nombre de dent), - Augmenter la capacité de charge en flexion en augmentant la ection d encatrement. Dan le ca de engrenage face ce intérêt ne emblent pa équivalent. Le gliement pécifique et difficilement définiable pour un engrenage face. En effet, comme la vitee linéaire varie en fonction du rayon de la roue face (elle et plu grande au rayon extérieur), le vitee de gliement ne eront certainement pa contante non plu d un côté à l autre de la dent. L optimiation de gliement néceiteraient donc une définition de la cinématique de engrenage face encore plu précie que celle déjà établie ici. L entraxe de fonctionnement et également complexe à définir, puique le axe de la roue et du pignon ne ont pa parallèle et qu il n et pa poible de définir de rayon primitif à la roue. Dan le engrenage face, un équivalent à l entraxe de fonctionnement et la ditance de montage, qui correpond en fait à la ditance entre le axe du pignon et de l outil de taillage de la roue face (cf. Chapitre ). Cette ditance de montage pourra éventuellement être modifiée par l introduction de déport. Le deux dernier intérêt quant à eux concernent uniquement le pignon et peuvent être appliqué aux engrenage face. En effet, le étude effectuée précédemment ont montré que la taille de la roue face augmentait notamment avec le nombre de dent de l outil. Aini l utiliation de pignon avec un petit nombre de dent et plu favorable à l encombrement, mai il devient alor parfoi néceaire de le déporter pour limiter le interférence de taillage et éviter d avoir un pied de dent trop petit. 3.. Apect de montage Lorque le pignon d un engrenage face (et/ou l outil de taillage de la roue face) et déporté, il et néceaire de repecter certaine règle qui conditionneront par la uite le montage. En effet, il faut veiller notamment à ce que le pignon et la roue puient e monter correctement, c et-à-dire qu il n y ait pa de errage, et à ce que le jeu de fonctionnement oit adéquat. Ce deux apect ont modifié lorque l engrenage face et déporté. De eai de montage ont été effectué avec le logiciel Catia en utiliant de engrenage face avec de déport varié. Ce eai ont conité à repréenter une roue face et un pignon avec Catia pui à imuler l aemblage. L objectif était de rechercher la ditance de montage optimale en fonction de déport appliqué au pignon et à l outil de taillage de la roue. 6

163 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Malheureuement, la cinématique complexe de engrenage face (due notamment au fait que le pignon et la roue ont de axe de rotation concourant et urtout au fait que le vitee linéaire ne ont pa contante elon le rayon de la roue face) a dépaé le limite de imulation cinématique poible avec Catia. Il n a donc pa été poible de déterminer préciément la ditance optimale de montage, mai par contre certaine obervation qualitative ont été pu être effectuée. Lorque l engrenage face n et pa déporté, le ditance de montage propoée par Litvin [] ont été vérifiée. Ce dernier préconie une ditance de montage égale à la différence de rayon primitif du pignon et de l outil de taillage (cf. Chapitre ). Lorqu il ont le même nombre de dent, la ditance de montage devient aini nulle, et dan ce condition, un montage an jeu, ni errage a été obervé avec de zone de contact linéaire entre le pignon et la roue. Cette ditance de montage emble alor optimale. Lorque le nombre de dent ont différent, il devient trè difficile de détecter un contact ponctuel avec Catia. Un montage à la différence de rayon primitif ne emble pa contraire aux condition de errage et de jeu de fonctionnement, mai rien ne prouve non plu qu il oit optimal. L utiliation d engrenage face avec un contact linéaire étant toutefoi préférable (cf. Chapitre 3), l étude n a pa été pouée plu loin dan le ca de contact ponctuel et a été focaliée ur le contact linéaire uniquement. L introduction de déport dan le ca de contact linéaire a permi de faire le obervation qualitative uivante en fonction de la différence de déport appliqué à l outil de taillage de la roue face (x ) et au pignon (x ) : - lorque x x < 0, le montage n et pa poible à caue du errage, - lorque x x > 0, le montage et poible, mai a valeur optimale n a pu être déterminée en raion du jeu du battement qui et variable elon le rayon de la roue face, - lorque x x = 0, une ditance de montage nulle emble adéquate pour éviter le errage et obtenir un jeu nul. Dan l attente d étude plu pouée concernant le condition de montage, il emble donc préférable d utilier de déport égaux pour le pignon et l outil de taillage de la roue face et utilier une ditance de montage nulle. Ceci peut être conidéré comme équivalent aux condition de déport an variation d entraxe appliquée claiquement pour le engrenage cylindrique. 63

164 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 3.. Influence du déport ur le rapport de conduite Suite aux condition d utiliation de déport préconié, une étude a été effectuée afin de connaître l influence du déport ur la conduite à vide de engrenage face. Cette influence a été étudiée pour de pignon avec un petit nombre de dent, c et-à-dire lorque l introduction d un déport au pignon et quaiment néceaire pour limiter le interférence de taillage, ur de ca de contact linéaire, avec toujour x x 0. = L influence de nombreux paramètre ur le rapport de conduite à vide ayant déjà été déterminé, il ne eront pa étudié ici avec le déport. Mai afin de pouvoir tout de même étudier l influence du déport ur différent engrenage face et de pouvoir généralier le tendance, deux paramètre ont été étudié avec le déport : - Le nombre de dent du pignon N, - Le nombre de dent de la roue face N. Un plan d expérience complet de 3 paramètre à 3 niveaux a été effectué. Le niveaux de paramètre uivant ont été choii pour l étude : Paramètre N N x = x Niveau ba Niveau moyen ,5 Niveau haut 80 0,5 En ce qui concerne le autre paramètre, l engrenage face et droit et normalié avec un module de 4 mm et un angle de preion de 0. Le rayon intérieur et extérieur de la roue face ont tel que la limite d interférence de taillage et la pointe ont atteinte, afin d avoir potentiellement toujour une largeur de denture maximale. Le détail de calcul du plan d expérience et fourni en Annexe 6.4 L analye de variance effectuée uite à cette étude a montré que tou le paramètre étudié ont une influence ur le rapport de conduite à vide. Un prédicteur mathématique a été également obtenu pour définir le rapport de conduite à vide en fonction de nombre de dent repectif de la roue et du pignon, et du déport appliqué : ε γ = 0,9+ 0,0. N N x N N N x N + 0, ,0. + 0, ,00.. 0,0005. Ce prédicteur mathématique montre que pour un engrenage face défini, le rapport de conduite à vide augmente avec le déport. Grâce à ce prédicteur, il et poible de tracer de abaque afin de déterminer le rapport de conduite de conduite à vide pour différente valeur du couple N, N (Fig. 5.9). Ce abaque ne ont valable que pour un module et un angle de preion donné (ici m 0 = 4 et α 0 = 0 ) mai l étude effectuée ici pourrait être an problème étendue à d autre valeur de module et d angle de preion. 64

165 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face rapport de conduite à vide,80,70,60,50,40,30,0,0,00 0,00 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 Déport N= N=8 N=8 N=8 N=8 N=7 N=9 N=6 N=8 N=6 N=9 N=49 N=9 N=40 N=8 N=40 Figure 5.9 : Evolution du rapport de conduite à vide en fonction du déport Ce courbe montrent un accord parfait avec la précédente étude effectuée ur le rapport de conduite qui prévoyait une augmentation du rapport de conduite également avec le nombre de dent de la roue et le nombre de dent du pignon (ou de l outil). Cependant, la première étude ur la géométrie a montré que l augmentation du déport de l outil (donc du pignon puiqu il ont ici égaux) entraîne la diminution de la largeur de denture maximale potentielle (Fig. 5.0). Néanmoin, il et intéreant de remarquer que l effet du déport ur la largeur de denture n et ignificatif qu au niveau du rayon extérieur de la roue face (cf..3.). Or pour cette étude, la largeur de denture et définie de façon à être maximale, juqu au rayon de pointe. En pratique, il pourra fréquemment arriver que le rayon de pointe ne puie de toute façon pa être atteint pour de raion d encombrement maximal à repecter. Aini l augmentation du déport pourra dan certain ca entraîner la diminution du rayon de pointe ver une valeur toujour upérieure aux condition d encombrement. Aini le rapport de conduite à vide era augmenté an changer la largeur de denture. Largeur de denture (mm) 60,00 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 30,00 5,00 0,00 5,00 0,00 0,00 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 Déport N=8 N=8 N=8 N=7 N= N=8 N=8 N=6 N=9 N=6 N=9 N=49 N=8 N=40 N=9 N=40 Figure 5.0 : Evolution de la largeur de denture en fonction du déport 65

166 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Le eul paramètre qui permet d augmenter à la foi la largeur de denture et le rapport de conduite à vide et le nombre de dent de la roue face. L inconvénient et que l augmentation de la largeur de denture et obtenue en fait par une augmentation plu importante du rayon de pointe que du rayon d interférence de taillage. Il en réulte alor une perte en terme de place et de poid puique la roue era plu grande. Dan le tranmiion d hélicoptère, où le poid et l encombrement jouent un rôle primordial, il era peut être plu intéreant de privilégier l augmentation du rapport de conduite. Néanmoin, il faudra aurer que la diminution conécutive de la largeur de denture n entraîne pa une augmentation trop importante de preion de contact. En effet, le calcul effectué ici ont montré que la diminution de la largeur et plu importante que l augmentation du rapport de conduite. Pour le valeur maximale de déport (0,5), le gain en conduite et de l ordre de 5-6% pour une diminution de la largeur de denture pouvant atteindre 30 %. Même i la charge appliquée ur chaque dent et diminuée, la urface totale de contact ur toute le dent en contact imultanément era globalement diminuée et le preion de contact augmentée. La puiance à tranmettre déterminera alor le preion maximale et era déciive pour le choix du compromi idéal. 66

167 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 4 Proceu de conception L objectif principal de différente étude effectuée dan cette thèe était de décrire le fonctionnement aini que le comportement ou charge de engrenage face. Ceci a permi de déterminer l influence de paramètre de conception, aui bien ur le comportement à vide que ur le comportement ou charge. La ynthèe de tou le réultat préenté dan ce chapitre, couplé à l optimiation ou charge décrite au chapitre 4, permet de définir un proceu de conception optimal de engrenage face. Comme pour la conception claique de engrenage cylindrique, ce proceu et divié en deux étape principale. Il agit dan un premier temp de dimenionner l engrenage face en déterminant le valeur de macro-paramètre : - Paramètre principaux : nombre de dent, module, angle de preion, - Paramètre econdaire : angle d hélice, offet, coefficient de déport. Ceci peut être effectué grâce aux réultat obtenu lor de imulation à vide. Enuite, le micro-paramètre pourront être défini ur le pignon afin d optimier le comportement ou charge de l engrenage face : - Bombé longitudinal, - Correction de profil. 4. Définition de macro-paramètre Lor de la conception d une boîte de tranmiion, le différent organe ont lié entre eux. Aini chaque élément devra repecter certaine contrainte liée à on environnement et à on rôle dan la tranmiion. En général, pour le engrenage, le rapport de réduction et un encombrement à repecter ont fixé à l avance par le contrainte extérieure à la tranmiion et ne peuvent pa être modifié. Tou le paramètre de l engrenage face doivent être défini dan le repect de ce deux contrainte initiale. Suite aux concluion du chapitre 4, il et préférable d utilier un pignon et un outil pour la roue ayant le même nombre de dent (contact linéaire). Le module et le nombre de dent de la roue face étant le paramètre le plu influent au niveau de la géométrie, il doivent être déterminé en premier. 67

168 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 4.. Paramètre principaux 4... Nombre de dent Le nombre de dent de la roue (N ) et du pignon (N, ou de l outil N ) doivent être choii afin de repecter le rapport de réduction impoé. Pour avoir une largeur de denture la plu grande poible, le nombre de dent de la roue devra être le plu grand poible, mai celui-ci era toujour limité par l encombrement maximal à repecter Module L équation définie au.3. pour déterminer le rayon extérieur de la roue peut être utiliée pour déterminer le module de taillage (m 0 ) tout en repectant l encombrement défini. Le différent paramètre pri compte dan cette équation peuvent dan un premier temp être fixé à un niveau moyen, de façon à ne garder que le module comme paramètre variable Angle de preion L angle de preion (α 0 ) devra être le plu petit poible pour garantir une largeur de denture maximale. L utiliation de équation du.3. définiant le rayon intérieur et le rayon extérieur de la roue permettent de déduire a valeur optimale. Il et toutefoi coneillé à ce niveau de définir un rayon de pointe légèrement upérieur à l encombrement autorié, car l ajutement de paramètre uivant (urtout i le choix néceaire du compromi e porte ur une optimiation du rapport de conduite) provoquera le plu ouvent a diminution. De plu, i le nombre de dent du pignon et petit, il ne faudra pa définir un angle de preion trop faible pour éviter que le pignon oit trop mince et donc moin réitant, notamment vi-àvi de contrainte en pied de dent Paramètre econdaire Le principaux paramètre étant défini, le choix de dernier paramètre va permettre d optimier la géométrie et la conduite à vide. Mai leur définition va entraîner le concepteur d engrenage à faire un compromi. En effet, le deux objectif conitant à augmenter la largeur de denture et le rapport de conduite, conduient à de valeur de paramètre ouvent oppoée. Le choix de l angle d hélice, de l offet et du déport era alor dépendant de l objectif choii et du compromi déiré. Il faut toutefoi repecter certaine contrainte. Tout d abord le déport devra être identique ur le pignon et ur l outil de la roue, oit x = x. De plu, le igne de l angle d hélice de l outil (β ) era dépendant du en de rotation de la roue : - Si la roue tourne dan le en horaire, alor β 0, - Si la roue tourne dan le en trigonométrie, alor β 0. 68

169 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Si la largeur de denture définie emble trop faible, il et poible de l augmenter en diminuant le rayon intérieur de la roue. Pour cela, l angle d hélice et l offet (c ) peuvent être ajuté de la façon uivante : - Si β et c ont de même igne, en le diminuant, - Si β et c ont de igne différent, en le augmentant. La diminution d un éventuel déport permet également de diminuer le rayon intérieur de la roue. Le rapport de conduite à vide peut quant à lui être augmenté de deux façon : - En augmentant le coefficient de déport, - En augmentant β et c. L utiliation d un prédicteur, comme celui développé au 3.. permet d optimier préciément le coefficient de déport en fonction du rapport de conduite déiré. Si le réultat obtenu ne ont pa atifaiant au niveau de la géométrie ou du rapport de conduite, il et alor néceaire de modifier le nombre de dent de la roue et du pignon et de recommencer le proceu de conception. Un calcul ou charge doit également être effectué à ce niveau de la conception afin de aurer que le paramètre aini défini atifont le critère de réitance de engrenage. Il convient de vérifier notamment le valeur de preion de contact et de contrainte en pied de dent. 4. Définition de micro-paramètre Le macro-paramètre de l engrenage face étant défini, le comportement ou charge de celui-ci peut être optimié par l introduction de correction de denture ur le pignon, en fonction du couple appliqué. Le bombé doit être défini en premier pour recentrer la portée ou charge et limiter le preion de contact en bord de dent. Un bombé n étant défini que par 4 paramètre, une étude comme celle effectuée au chapitre 4, 4., peut être effectuée de façon quai-ytématique pour chaque engrenage face conçu. Cela permet de déterminer rapidement un ytème d équation dont la réolution aboutit directement aux valeur optimale du bombé, en fonction de critère de qualité choii. L introduction de correction de profil de denture ur le pignon permet enuite de réduire l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge. Le nombre de combinaion poible pour définir le correction étant trè important, il et actuellement difficile de déterminer directement la correction optimale à effectuer. Néanmoin, couplée à un bombé, de correction de denture effectuée en pied de dent ur toute la largeur de denture du pignon emblent parmi le plu efficace pour réduire l amplitude de l erreur de tranmiion ou charge. Un nombre de calcul ou charge limité, comme ceux effectué au chapitre 4, 4..3, permet de fixer d abord une longueur de correction optimale, pui une profondeur. 69

170 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face Si le correction de profil ne ont pa obligatoire pour aurer un fonctionnement correct de engrenage face, le bombé emble quant à lui primordial. En effet, le ca de contact préconié étant un contact linéaire (nombre de dent de l outil et du pignon identique), un engrenage face non optimié era trop enible aux erreur de montage pour pouvoir être utilié tel quel an rique. Même i le concepteur ne ouhaite pa optimier le comportement ou charge, un léger bombé doit toujour être effectué ur le pignon afin d aurer un engrènement correct. Le proceu complet de conception décrit précédemment peut être ynthétié par la figure 5.. Rapport de réduction N, N, Encombrement R e =f(paramètre) m o Macro-paramètre Optimiation de la largeur de denture R i =f(paramètre) Sen de rotation α o β Optimiation du rapport de conduite R i =f(paramètre) c Ajutement offet Petit déport x Grand déport Micro-paramètre Calcul ou charge Réultat atifaiant? Oui Optimiation du Comportement ou charge Recentrage de la portée Réduction de l erreur de tranmiion ou charge Non Bombé Correction de profil Figure 5. :Proceu de conception de engrenage face Le étude particulière effectuée ici et le réultat obtenu, notamment le équation définiant le rayon intérieur et extérieur de la roue face, limitent pour l intant l application pratique de ce proceu à de plage de paramètre bien définie. Néanmoin, d un point de vue méthodologique, ce proceu global peut être utilié pour concevoir tout type d engrenage face. 70

171 Chapitre 5 : Optimiation de la conception de engrenage face 5 Concluion Différente étude ont été effectuée pour étudier l influence de différent paramètre de définition de engrenage face, ur la largeur de denture de la roue face et le rapport de conduite à vide. Le dimenionnement rapide de engrenage face et déormai poible grâce à la définition de formule imple qui permettent de déterminer le rayon d interférence de taillage et de pointe. De coneil de conception ont été élaboré afin d obtenir une largeur de denture et un rapport de conduite maximaux. Le deux objectif aboutiant à de valeur de paramètre oppoée, il era toujour néceaire de faire un compromi entre augmentation de la largeur de denture et augmentation du rapport de conduite, en fonction de contrainte et de condition d utiliation. Néanmoin, l utiliation conjointe d un prédicteur mathématique comme celui défini pour déterminer le rapport de conduite à vide avec celui défini pour déterminer le rayon d interférence de taillage et de pointe, peut permettre une optimiation rapide de la conception de engrenage face et avérer être une aide précieue dan la recherche du bon compromi. L approche explicitée ici pour définir ce équation imple et applicable à toute plage de donnée. Aini, a généraliation future pourrait couvrir toute la gamme d engrenage face utilié dan l aéronautique et aini devenir un atout indipenable pour le phae de conception de boîte de tranmiion. L utiliation de tou le réultat préenté ici, couplé aux optimiation du chapitre 4 a permi la mie en place d un proceu de conception complet de engrenage face, en deux étape : - Définition de macro-paramètre à traver l optimiation du comportement à vide, - Définition de micro-paramètre à traver l optimiation du comportement ou charge. 7

172 Concluion générale Le potentiel de engrenage face, notamment en regard de engrenage piro-conique, ucite l intérêt de contructeur aéronautique. Le progrè récent de technique d uinage de préciion permettent aujourd hui d enviager une production de grande qualité de roue face. Le programme de recherche européen Facet, dan lequel incrit cette thèe, a été initié dan ce contexte de développement et d innovation technique. Aini, la connaiance du comportement ou charge de engrenage face, à traver une modéliation adaptée aux condition actuelle de imulation et répondant aux critère technologique aéronautique, et devenue un objectif fondamental pour enviager leur intégration dan la conception de rotor d hélicoptère. La première partie de cette thèe a conité à formalier cette modéliation elon une démarche claique pour l étude de engrenage en troi étape : - Définition de la géométrie : le théorie de Litvin ont ervi de bae au développement d une imulation du taillage de la roue face totalement analytique prenant en compte toute le caractéritique géométrique réelle de engrenage face, - Simulation de la cinématique à vide, également ou forme analytique, permettant de définir le comportement à vide de engrenage face et notamment de déterminer le zone de contact potentiel, - Comportement ou charge prenant en compte le apect de déformation locale de contact à traver l utiliation de théorie de Bouineq, et le apect de déformation globale de flexion grâce à l utiliation d une modéliation par élément fini. Afin d obtenir une rapidité de calcul et une préciion optimale, la modéliation complète intègre le définition analytique initiale tout au long du proceu. L utiliation couplée d un modèle de contact et d un modèle de flexion permet de ne négliger aucun de apect fondamentaux régiant le importante déformation ubie par le compoant dan une tranmiion de grande puiance. 7

173 Concluion générale La validation, à la foi numérique et expérimentale, de cette modéliation a montré qu elle était totalement adaptée aux critère actuel d étude de engrenage dan le domaine aéronautique. L utiliation d équation analytique caractériant de concept mécanique de bae, aociée à l utiliation de logiciel commerciaux de modéliation par élément fini, permettent d ajouter à a préciion et a rapidité, la généralité du proceu d étude. Aini on adaptation poible à tout type d engrenage pourrait en faire une méthode tandard pour l étude de engrenage. Le nombreue imulation effectuée grâce à cette modéliation ont permi un apport de connaiance fondamentale ur le engrenage face. La decription précie du comportement ou charge a abouti à une nouvelle caractériation du contact ou charge. La comparaion ou charge de deux ca de contact théorique à vide (linéaire et ponctuel) aini que l'étude de l'influence de erreur de montage ont montré leur intérêt repectif. Aini, l utiliation de ca de contact linéaire (pignon et outil avec le même nombre de dent) et préconiée pour le avantage qu il préentent : - Rapport de conduite plu important, - Charge maximale upportée par le dent plu faible, - Erreur de tranmiion ou charge plu faible, - Preion de contact plu faible, - Capacité de charge plu importante. L extrême enibilité de ce type de contact aux déalignement a néceité la mie en place d un proceu d optimiation du pignon cylindrique. La définition de bombé longitudinaux, dont le caractéritique optimale peuvent être déterminée grâce à de étude tatitique imple, permet de contrôler totalement l équilibrage de la portée ou charge, quelle que oient le condition de montage. De même l'introduction de correction de profil de denture adéquate ur le pignon a montré qu il était poible de réduire l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge de façon ignificative, tout en conervant un engrènement optimal. La conception initiale de engrenage face a été conidérée à traver l étude de l influence de paramètre de conception ur la géométrie de roue face et la cinématique à vide. L utiliation particulière de plan d expérience réduit a abouti à la définition de formule imple caractériant la géométrie de la roue face. Le rôle déterminant de paramètre fondamentaux au niveau de la géométrie de la roue et de la conduite à vide a été mi en évidence. Un dimenionnement rapide de engrenage face répondant à de condition d utiliation définie, et déormai poible grâce à la mie en place d un proceu de conception. Outre un apport de connaiance globale ur le engrenage face, ce travail a montré qu une modéliation complète et précie du comportement ou charge permet d aboutir à une maîtrie totale du proceu de conception, de la détermination optimale de macro-paramètre juqu aux optimiation fine de micro-paramètre. 73

174 Perpective Le première étude précie concernant le engrenage face étant trè récente, le champ d invetigation ur le engrenage face et encore trè vate. L utiliation du logiciel Gandalf développé dan cette thèe pourra permettre d étendre le étude déjà effectuée ici pour le généralier à tou le type d engrenage face. Aini, l étude de l influence de paramètre de conception ur la géométrie pourra être étendue à de plage de paramètre plu grande afin de permettre la conception rapide d engrenage face aux caractéritique variée. Notamment, pour leur potentiel d application variée, il era intéreant d étudier le engrenage face dont l angle entre le axe n et pa droit. De gamme de paramètre équivalente pourront enuite ervir de bae à de étude plu complète ur la cinématique à vide. Le calcul de vitee de gliement pourra être intégré afin de faciliter la comparaion de engrenage face avec d autre type d engrenage. De prédicteur mathématique généraux pourront également être développé afin de caractérier complètement le comportement à vide de engrenage face. Aini une conception rapide era enviageable, quelle que oit la configuration propoée. En ce qui concerne l optimiation du comportement ou charge, une étude générale de correction de profil prenant en compte différente caractéritique géométrique de engrenage face pourra être effectuée afin de généralier le tendance déjà obervée. De plu, une invetigation ur l influence de couplage entre le différente correction de profil, aini qu avec le bombé, permettra d améliorer l optimiation ou charge de engrenage face. L influence de chargement (intenité, forme) ur le comportement ou charge devra être étudiée. La prie en compte de tou le paramètre dan différente étude ou charge pourrait aboutir à la définition de formule permettant de caractérier le réultat ou charge an avoir à effectuer de calcul complexe. Aini, une anticipation de réultat finaux dè le première phae de conception permettra une définition optimale de caractéritique de engrenage face tout en limitant le modéliation et le prototype. Enfin, lorque le comportement et l optimiation ou charge de engrenage face eront totalement maîtrié, il erait intéreant d introduire cette modéliation dan un modèle global de boîte de tranmiion afin d étudier le interaction entre le engrenage face et le autre organe compoant la tranmiion. 74

175 Annexe Annexe : Origine, application et avantage potentiel de engrenage face Le engrenage face ont apparu depui trè longtemp dan divere tructure mécanique. Il étaient déjà employé à l'époque de Romain dan le moulin à eau, pui le Chinoi le utilièrent pour la contruction de gyrocope mécanique. Il contituent enfin la bae de la tructure de moulin à vent en Hollande (Fig. A. et A.) [30]. Figure A. : Moulin à eau romain "Vitriu" [30] Figure A. : Moulin à vent [30] 85

176 Annexe Aujourd'hui le engrenage face intéreent le cientifique et le indutriel devraient pouvoir trouver leur utilité dan de nombreux domaine. Leur utiliation principale pourrait concerner le tranmiion de grande puiance, notamment le tranmiion d'hélicoptère, mai leur nombreux avantage permettent d'enviager de application variée. Le engrenage face préentent un enemble de caractéritique qui permettent d'enviager leur intégration dan diver ytème mécanique (Grendel [63]). Baatein [30] clae leur principaux atout par rapport aux autre type d'engrenage, notamment le piro-conique en troi catégorie : - Gamme étendue de rapport de tranmiion, - Liberté axiale du pignon, - Libre choix de l'angle de tête. A. Gamme étendue de rapport de tranmiion Théoriquement le engrenage face conviennent pour tou le rapport de tranmiion poible (i ). Néanmoin la largeur effective de denture devra être réduite au niveau du diamètre intérieur de la roue face à caue de phénomène d'interférence, notamment pour de faible rapport de tranmiion (i,5) avec un angle de tête de 90. Dan ce condition, la capacité de tranmiion de l'engrenage face et plu faible que celle de piro-conique pour de dimenion comparable. Le engrenage face préentent un intérêt d'utiliation lorque le rapport de tranmiion et au minimum égal à,5. Le plu haut rapport de tranmiion réaliable avec de engrenage piro-conique ont de l'ordre de 6~8, en raion de limitation technique iue du proceu de fabrication. Le engrenage face ne connaient pa ce limitation due à la fabrication et de tranmiion à haut rapport peuvent être enviagée avec un eul étage de réduction, ce qui permet de réduire le volume, le poid et le coût de fabrication de la tranmiion. Un econd domaine d'application 'ouvre aux engrenage face lorqu'il et néceaire de tranmettre une vitee angulaire avec une grande préciion. La figure A.3 montre une application où une tranmiion de rapport 0 et combinée avec une grande préciion de vitee angulaire au niveau du plateau tournant. Il et évident que la déviation de vitee angulaire et plu faible en utiliant un engrenage face plutôt qu'un autre type d'engrenage où il erait néceaire d'utilier deux étage de réduction. Figure A.3: Plateau tournant avec un eul étage de réduction [63] 86

177 Annexe Enfin un troiième domaine d'application pour le engrenage face réide dan le remplacement de engrenage roue et vi (fig. A.4). L'utiliation d'un engrenage face hélicoïdal avec un grand angle d'hélice et un large offet permet de réduire l'uure, le vitee de frottement (rendement élevé), dan un enemble compact autoriant de rapport de réduction upérieur à 00. Figure A.4 : Utiliation de engrenage face à la place de roue et vi [30] A. Liberté axiale du pignon Le engrenage cylindrique (Fig. A.5) autorient de déplacement axiaux et radiaux, qui dan de limite raionnable n'ont pa d'influence négative ur le ligne de contact de dent en engrènement. Ce degré de liberté ont inexitant avec le engrenage piro-conique qui néceitent de plu un réglage préci afin d'obtenir un contact correct. Le engrenage face ont une combinaion de ce deux type d'engrenage. Un engrenage face ne néceite que le réglage axial de la roue alor que le déplacement axial du pignon peut être laié tout à fait libre. Le montage et donc grandement implifié en comparaion de piro-conique et l'utiliation de pluieur pignon avec une eule roue ou de deux roue avec un eul pignon ne poe aucun problème. a b c Figure A.5 : Liberté axiale de engrenage cylindrique (a), piro-conique (b), face (c) [30] Cette propriété de liberté axiale laie entrevoir un grand nombre d'application. La figure A.6 montre un pignon d'engrenage face faiant partie intégrante d'un arbre moteur. Le pignon et monté directement ur l'axe du moteur et le mouvement axial du moteur n'a pa d'influence ur le contact. 87

178 Annexe Figure A.6 : Pignon de roue face monté ur un arbre moteur [30] Figure A.7 : Roue face engrenant avec deux pignon [63] La figure A.7 montre l'utiliation d'un engrenage face avec deux pignon. Ce type de montage et utilié lorqu'une roue entraîne pluieur pignon à grande vitee ou que pluieur moteur entraînent une roue face. Le figure A.8, A.9 et A.0 illutrent de application utiliant de roue face engrenant à partir d'un arbre commun. La figure A.8 montre un arbre ur lequel ont monté deux pignon engrenant chacun avec une roue face. La dilatation axiale du pignon n'a aucune influence ur le contact. Ce type de montage et utilié eentiellement dan de machine agricole. Le montage de la figure A.9 et imilaire avec de en de rotation oppoé pour le deux arbre de ortie. La meilleure illutration de liberté axiale et donnée ur la figure A.0. Grâce à cette propriété, la poition de axe de tambour de moulin peut être réglée en fonction du diamètre de tambour. Il et aini poible d'utilier de tambour de taille différente avec le même ytème de tranmiion. Figure A.8 : Arbre central engrenant ur deux roue face [63] Figure A.9 : Arbre central engrenant ur deux roue face avec en de rotation oppoé [30] Le engrenage face peuvent également 'avérer utile pour de montage où il et néceaire d'avoir de arbre de ortie coaxiaux. La figure A. montre un montage utilié dan le propulion de bateau. La puiance et amenée par un arbre unique et deux roue face permettent de la ditribuer ur deux hélice coaxiale tournant en en oppoé. Le montage de la figure A. permet d'obtenir deux vitee de rotation différente et de en oppoé ur l'arbre de ortie. 88

179 Annexe Figure A.0 : Tambour de moulin à débit variable (breveté par Crown Gear) [63] Figure A. : Hélice avec en de rotation oppoé [63] Figure A. : Boîte de vitee à double vitee de ortie [63] A.3 Liberté du choix de l'angle de tête Le engrenage face offrent la poibilité de choiir la valeur de l'angle de tête (Fig. A.3). Figure A.3 : Engrenage face avec différent angle de tête [30] Cette propriété peut 'avérer trè utile par exemple pour le tranmiion de bateau (Fig.A.4) ou le machine d'extruion et d'injection (Fig. A.5). Enfin le tranmiion d'hélicoptère (Fig. A.6 et A.7) utilient aui largement de angle de tête de valeur divere. 89

180 Annexe Figure A.4 : Propulion de bateau à hélice [30] Figure A.5 : Machine d'injection [30] Figure A.6 : Tranmiion d'hélicoptère, premier étage de réduction (breveté par Daf SP) [63] Figure A.7 : Tranmiion d'hélicoptère, econd étage de réduction (breveté par Luca Wetern Inc.) [63] A.4 Application aux tranmiion d'hélicoptère Le hélicoptère néceitent une tranmiion de grande puiance et l'utiliation de engrenage face peut 'avérer trè utile dan ce ca, car il peuvent permettre de divier le couple entre deux roue face (Handhuh [66]). Cette diviion de couple et illutrée ur la figure A.8. La figure A.8(a) montre la verion de diviion de couple avec deux pignon piro-conique monté ur un même arbre. La figure A.8 (b) montre la verion de diviion de couple avec un eul pignon cylindrique qui engrène imultanément avec deux roue face. La deuxième verion (Fig. A.8 (b)) préente l'avantage de produire de effort réduit ur le roulement par rapport à la première. De plu l'utiliation d'un pignon cylindrique droit permet un mouvement axial, ce qui et impoible avec un engrenage piro-conique utilié habituellement. Le uccè d'un tel ytème dépend de la diviion égale du moment entre le deux arbre de ortie. Le pignon cylindrique poède un ytème de montage qui permet l'auto-centrage entre le deux roue face. Cette olution offre une excellente préciion au niveau de la diviion du couple (±%) [66]. 90

181 Annexe Figure A.8 : Configuration de diviion du couple de tranmiion [80] A.5 Un potentiel controveré De étude récente ur le application potentielle de engrenage face et leur avenir au ein de l'indutrie montrent de avi aez controveré. Mandt [88] ynthétie la plupart de application potentielle précédemment décrite et promet aux engrenage face un avenir certain dan divere application mécanique. De recherche approfondie doivent encore être effectuée et le technique de fabrication améliorée, mai le potentiel de engrenage face et, pour lui, indéniable. Stadtfeld [09] quant à lui ne voit que de inconvénient et de limitation dan l'utiliation de engrenage face. Pour lui, le engrenage face ont une largeur de denture beaucoup trop faible à caue de interférence de taillage et de la pointe, il ont trop enible aux déalignement et leur coût de production et trop élevé. Il n'enviage aucunement le détrônement de piro-conique dan le tranmiion de puiance et ininue même que le chercheur perdent leur temp à étudier le engrange face. Le avi ont donc ici trè partagé, mai il et aez difficile de avoir 'il ont vraiment objectif venant d'un côté d'une équipe qui cherche à mettre au point un proceu de fabrication de haute préciion de engrenage face et de l'autre de Gleaon, l'un de premier contructeur mondiaux d'engrenage piro-conique. Une eule choe et ure à l'heure actuelle, c'et que beaucoup de peronne commencent à 'intéreer et à parler de engrenage face. 9

182 Annexe Annexe : Elément de modéliation A. Simulation du taillage A.. Vitee relative de urface et équation d'engrènement La vitee relative entre le deux urface an le erreur de taillage, peut 'exprimer aini : & V Y ( R coγ ) Z R inγ coφ C R coγ inφ = X ( R coγ ) + Z R inγ inφ C R coγ coφ R in ( co in + ) γ X φ Y φ C (A..) NB : Le problème étant traité en quai-tatique, la vitee de rotation angulaire de l outil ω et toujour conidérée comme unitaire et n apparaît pa dan le développement de équation. Dan ce ca, l'équation d'engrènement 'écrit alor aprè implification : C R ( R coγ ( n coγ )( X n x inφ + n y y Y n ) + Z coφ ) + R x R in γ ( n in γ n z ( X y inφ n coφ Y x coφ ) inφ + C ) = 0 (A..) Avec le erreur de taillage, la vitee relative entre le deux urface 'exprime : & V = X R coφ (coφ inγ inδα + inφ coγ (coδα )) Y ( R coγ (co φ coδα + in φ ) + R inγ coφ inφ inδα ) + Z R inγ coφ coδα C R coγ inφ coδα + RδQ (inγ coφ coγ inφ inδα ) ( R coγ (in φ coδα + co φ ) R inγ coφ inφ inδα ) + Y in (in in in co co (co )) R φ γ φ δα γ φ δα + Z in in co co co co R γ φ δα C R γ φ δα + δqr (coγ coφ inδα + inγ inφ ) X R (inγ coφ coδα coγ inφ inδα ) Y (in in co + co co in ) R γ φ δα γ φ δα + Z R inγ inδα + CR inγ ) X (A..3) Dan ce ca, l équation d engrènement ne e réduit pa à une forme imple. 9

183 Annexe A... Normale unitaire de l outil (ou d'un pignon) Le vecteur unitaire normal de l outil et défini par : n n n x y z avec : N N = N x y z N N N (A..4) N x = Y ψ Y θ Z ψ Z θ N y = Z ψ Z θ X ψ X θ N z X ψ = (A..5) X Y θ Y ψ θ En poant A = r + b tan β r b (A..6) où r et le rayon primitif de l'outil, r b le rayon de bae et β b l'angle d'hélice de bae. Il et poible d'obtenir la définition du vecteur unitaire normal : n n n x y z A co( θ0 + θ + ψ ) = A in( θ 0 + θ + ψ ) A H rb (A..7) où H et le pa d'hélice : H π r tan β = (A..8) p β p étant l angle d hélice au primitif. 93

184 Annexe A..3 Calcul de θ 0 O π/n r b r θ 0 bt t Figure A. : Calcul de θ 0 Dan le ca d'un pignon cylindrique (ou un outil pignon cylindrique), l'angle θ 0 repréente un demi entre-dent (Fig. A.). Il et lié à l'épaieur de bae bt par : θ 0 = π ( N r bt b ) (A..9) où N et le nombre de dent du pignon et r b on rayon de bae. L'épaieur de bae et donnée par : bt t = rb ( ( invα bt invα t )) r (A..0) où t et l'épaieur au primitif, r le rayon primitif, α bt l'angle d'incidence apparent au rayon de bae et α t l'angle de preion apparent au primitif. L'épaieur au primitif et égale à : t π. mt = + x. m n tanα t (A..) où m t et le module apparent, m n le module réel et x le coefficient de déport. Au rayon de bae, invα = 0 bt (A..) 94

185 Annexe Il vient donc : π t θ = ( N r Or π π. mt + invα t ) = ( N r x. mn tanα t r invα ) 0 t N = r m t π π x. mn tanα t donc : θ 0 = ( invα t ) N N r (A..3) (A..4) (A..5) θ π x. m tanα inv n t 0 = α t (A..6) N r A..4 Détermination du centre d'arrondi d'outil Y Y f X Y c O,f φ ρ X f O c A P ν X c θ m r b r a θ 0 Y c O c A X c Figure A. : Définition du centre d'arrondi d'outil Le centre d'arrondi d'outil (Fig. A.) O c et défini grâce aux propriété de tangence entre le cercle d arrondi et la développante de cercle. Il et itué ur un cercle de rayon r - r, oit : a p X oc + Y oc = ( r r ) p a (A..7) 95

186 Annexe Le point de tangence A entre le cercle d arrondi d outil et la développante vérifie : X Y A X = Y A oc oc + r + r p p cot = r int = -r b b in( θ co( θ θ ) r θ co( θ + θ ) r θ in( θ b b θ ) + θ ) (A..8) Par élimination du paramètre t, il vient que la valeur θ m du paramètre de développante θ au point A doit atifaire l équation du econd degré uivante : r θ b m r r θ b p m + r b r a + r r a p = 0 (A..9) O c aura alor pour coordonnée : X Y rb in( θ = - rb co( θ oc oc 0m 0m + θ m + θ ) + ( r m p ) + ( r r θ p b m r θ b )co( θ m 0 )in( θ 0 + θ m + θ m ) ) (A..0) Et ρ era donné enuite par : Y ρ = arctan X Oc Oc (A..) Le coordonnée d'un point P de l'arrondi d'outil peuvent alor être exprimée en fonction de ν dan le repère S de définition de l'outil par : X rp (coν co ρ inν in ρ) + X & r = = Y rp (coν in ρ + inν co ρ) + Y Z Z oc oc (A..) 96

187 Annexe A. Simulation de la cinématique à vide A.. Calcul de la profondeur de correction dan le ca d'une correction de profil La profondeur de correction c et calculée en conidérant la poition du point M ur la droite d'action et l'équation de la correction linéaire ou parabolique dan la ection conidérée. A M D T c c a c f lc a lc f Figure A.3 : Profondeur de correction ur la droite d'action Pour une correction linéaire, c era donné : En tête par : c c T A T M lca T D + lcf T M et en pied par : c = c f (A..) lca lcf = a Pour une correction parabolique, c era donné par : c = a. TM + b. TM + c p p p (A..) où a p, b p et c p ont le coefficient de l'équation de la parabole et ont donné par : a En tête : b c p p p ca = lca c = c = a a ( T A lca) ( T A lca) lca lca a et en pied : b c p p p c f = lcf c = c = f f ( T D + lcf ) ( T D lcf ) lcf lca (A..3) L'évolution de correction de denture étant linéaire elon la largeur de denture, l'utiliation du théorème de Thalè permet implement de définir le profondeur (c a et c f ) et le longueur (lc a et lc f ) de définition de correction à appliquer dan chaque ection à partir de définition de correction initiale (Fig. A.4). 97

188 Annexe ca ca ca Dka Eka figure A.4 : Evolution de correction ur la largeur de denture Pour une ection d'abcie z, c a, c f, lc a et lc f eront donné par : ca ca ca = ca + Eka lca lca lca = lca + Eka cf cf c f = cf + Ekf lcf lcf lc f = lcf + Ekf et ca ca ca = ca + Eka lca lca lca = lca + Eka cf cf c f = cf + Ekf lcf lcf lc f = lcf + Ekf ( Dka + Eka z) ( Dka + Eka z) ( Dkf + Ekf z) ( Dkf + Ekf z) ( z Dka) ( z Dka) ( z Dkf ) ( z Dkf ) i ca ca ou cf cf i ca ca ou cf cf (A..4) (A..5) Enfin, il faut au préalable convertir le correction éventuellement donnée ur le profil en correction ur la droite d'action. 98

189 Annexe A.. Converion de correction de profil Lorque le correction de profil ont donnée directement ur le profil, il faut le convertir ur la droite d'action. A lc a r a -LCA I E r dev r a r T r b Figure A.5 : Converion de la longueur de correction en tête de dent La converion de la longueur de correction en tête de dent et donnée par (Fig. A.5) : O lca = r r ( r LCA) r a b a b (A..6) En pied de dent, elle et donnée de manière équivalente par : lcf = ( r + LCF) r r r dev b dev b (A..7) Pour convertir la profondeur de correction en tête de dent, il faut prolonger artificiellement la droite d'action juqu'au point A (Fig. A..4). En effet, il et évident que le point de tête du profil théorique auquel va être appliqué la correction en tête afin d'obtenir le point de tête corrigé et itué à un rayon upérieur au rayon de tête de l'outil. La converion de correction en tête de dent va être déterminée par la poition de ce point ur la droite d'action. Le point théorique de tête de dent A et connu et et donné par : X Y Z A A A rb in coϕa = rb co coϕ A Z ( φ invϕ ) b ( φ invϕ ) b A A avec ϕ A = tan T A rb (A..8) 99

190 Annexe Y A A r a CA A A ca A Profil théorique ϕ A φ b Profil corrigé ϕ A r b O X Figure A.6 : Converion de la profondeur de correction en tête de dent Le point A de tête de dent corrigée qui et également itué ur le cercle de tête et alor défini par : X Y Z A A A = r a X A CA ( X CA) Z A A (A..9) L'angle ϕ A, paramètre de développante pour le point A, projeté orthogonal de A ur la développante théorique et donné par : ϕ A = tan ϕ B tan X Y A A - co - r r b a (A..0) et A par : X Y Z A A A rb coϕ = rb coϕ A A in co ( φ invϕ ) ( φ invϕ ) Z b b A A (A..) Le point A era repéré ur la droite d'action par : T ϕ A = r b tan A (A..) 00

191 Annexe La correction c à effectuer en A pour obtenir A era : c= ( X X ) + ( Y Y ) A A A A (A..3) Et la valeur c a de la correction convertie ur la droite d'action era donnée directement par le équation A3. et A3., oit par exemple pour une correction linéaire : c a = c AA lca lca (A..4) La converion en pied de dent 'effectue d'une manière imilaire et era donnée par : cf = c EE lcf lcf avec c ( X X ) + ( Y Y ) = (A..5) E E E E où E era le point d'interection trochoïde-développante corrigé et E on projeté orthogonal ur le profil théorique. A..3 Calcul de la profondeur de correction dan le ca d'un bombé La valeur C recherchée ici et la profondeur de correction due au bombé normale au profil. Elle et contante dan chaque ection. Il uffit dè lor de déterminer l'équation de l'arc de cercle le caractériant, et a valeur dan chaque ection deviendra immédiate. Le repère de définition de cet arc n'a pa d'influence ur la profondeur. Le bombé era défini dan le repère (x p,y p ) (Fig. A.7). Dan chaque partie, le cercle qui définit le bombé, pae par 3 point connu : - Partie () du bombé : A (0,0), B (C bl,c b ), C (C bl,0) - Partie () du bombé : D (-B p +C bl,0), E (C bl,c b ), F (B p, 0) Profil théorique Profil bombé C b Face avant C y () y p A x p C bl D B E C () F C b Face arrière C bl Largeur de denture B p z Figure A.7 : Définition d'un bombé Z 0

192 Annexe L'arc de cercle qui caractérie le bombé a alor pour équation dan (x p,y p ) : ( X a) + ( Y b) = R (A..6) où a = Cbl Cb Cbl b = Cb R = Cbl + b dan la partie () et a = Cbl Cb b = R = ( b C ) C ( B C ) p p bl bl b + b dan la partie () (A..7) pour une ection d'abcie z dan le repère du pignon, la valeur C de la correction due au bombé era : C = C b y dan la partie () et dan la partie () C = Cb y (A..8) où y = b ± R z + ( a) (A..9) Ca de pluieur correction imultanée (bombé + correction de profil) Lorqu'un bombé et une correction de profil ont appliqué en même temp, deux configuration ont poible et utiliée de manière équivalente dan l'indutrie : - Prie en compte de profondeur de correction la plu contraignante, - Ajout de deux correction. 0

193 Annexe 03 A.3 Répartition de charge A.3. Calcul de rayon de courbure et direction principale Pour définir le rayon de courbure et direction principale d'une urface, cette dernière doit être définie par une équation paramétrique de la forme : ( ) ( ) ( ) = = = v u z z v u y y v u x x,,, (A.3.) Le rayon de courbure principaux ont alor olution de l'équation : ( ) ( ) ( ) 0 ' " ' " = + + F EG R GD FD ED R D DD (A.3.) où D, D' et D'' ont le coefficient de la econde forme quadratique : F EG d D = (A.3.3) ' ' F EG d D = (A.3.6) " " F EG d D = (A.3.7) avec E, F et G le coefficient de la première forme quadratique : + + = u z u y u x E (A.3.8) v z u z v y u y v x u x F + + = (A.3.9) + + = v z v y v x G (A.3.0)

194 Annexe 04 et d, d' et d'' le déterminant uivant : v z v y v x u z u y u x u z u y u x d = (A.3.) v z v y v x u z u y u x v u z v u y v u x d = ' (A.3.) v z v y v x u z u y u x v z v y v x d = " (A.3.3) Le direction principale quant à elle ont olution de l'équation : ( ) ( ) ( ) 0 ' " " ' = + + ED FD u v ED GD u v FD GD (A.3.3)

195 Annexe Annexe 3 : Méthode numérique A3. Réolution d'un ytème d'équation non linéaire par la méthode de Newton-Raphon Un ytème d'équation non linéaire e préente ou la forme : f( x, x,, x f ( x, x,, x f n ( x, x,, x n n n ) = 0 ) = 0 ) = 0 (A3..) où x, x,, x n ont de inconnue réelle indépendante et f, f,, f n de fonction réelle donnée de n variable x i. Un tel ytème à n inconnu et dit d'ordre n. ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) Soit X ( x, x,, xn ) * * * * approximation de la olution X ( x x,, x ) = un point initial donné de R n. X (0) et conidéré comme une = du ytème non linéaire défini ci-deu. En, n uppoant que X (0) et uffiamment voiin de X * et que le fonction fi( x, x,, x n ), i =, n oient uffiamment dérivable, alor le développement en érie de Taylor de ce fonction 'écrit : f i n n n * ( 0) * ( 0) fi ( 0) * ( 0) * ( 0) fi ( 0) ( X ) = fi( X ) + ( xj xj ) ( X ) + ( xj xj )( xk xk ) ( X ) + pour i =, n j= x j! j= k= x x j k (A3..) Si le terme d'ordre upérieur à ont négligé, une nouvelle approximation de X * peut être () () () () définie par X = x x,, x, avec : f i n ( 0) ( 0) ( X ) + x x ( ), n fi ( 0) ( j j ) ( X ) j= x j () () () () = 0 pour i =, n (A3..) ( ) Aini le vecteur X = x, x,, xn et défini comme la deuxième approximation de la olution et peut 'exprimer par : () ( 0) ( 0) X = X + X, le compoant ou la forme : ( 0) ( 0) ( 0) x x x étant olution du ytème linéaire mi,,, n 05

196 Annexe 06 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = n n n n n n n n f x x f x x f x x f f x x f x x f x x f (A3..3) où ( ) ( ) ( ) ( ) = = ) ( ) ( k i k i k j i j k i X f f X x f x f (A3..4) Le proceu et itéré à partir de la nouvelle approximation X () de X *. Le paage de l'itération i à l'itération i+ e fera par la relation : ( ) () () i i i X X X + = +, le compoant de () () () i n i i x x x,,, étant toujour olution du ytème linéaire mi ou la forme développée : () () () () () () () () ( ) () () () () () = = i n i n n i n i i n i n i i n n i i i i i f x x f x x f x x f f x x f x x f x x f (A3..5) Sou forme matricielle, ce ytème 'écrit : ( ) ( ) = X x f X J j i pour n i, = et n j, = (A3..6) La matrice J et appelée matrice jacobienne de fonction f i évaluée au point X. A l'aide de ce notation, le ytème permettant d'obtenir l'approximation à l'itération i+ à partir de l'itération i peut e mettre ou la forme : ( ) () () ( ) () ( ) i i i i X F X J X X + = (A3..7) Le proceu itératif et arrêté lorque le critère de convergence ε et atteint, lorque : < ε ) ( ) ( up i j i x j x (A3..8)

197 Annexe A3. Interpolation en carreaux de Coon L'interpolation d'une urface en carreaux de Coon et une interpolation de urface de degré 3. Ce type d'interpolation et trè préci ou quelque condition. Chaque carreau de Coon et appuyé ur 6 point d'interpolation dont la valeur de paramètre doit être etimée au plu jute. Pour que l'interpolation oit la meilleure poible, le point de définition doivent avoir une répartition homogène ur la urface (Fig. A3.). Enfin, même i l'interpolation et trè précie, ceci n'et vrai qu'à l'ordre. Lor de dérivation éventuelle de la urface interpolée, de faible ocillation urviennent fréquemment. Lorqu'il era néceaire de calculer le normale à la urface interpolée, une deuxième interpolation era effectuée à partir de valeur numérique de normale aux point d'interpolation, afin d'avoir également une decription de degré 3 de normale. Qu'il 'agie d'interpoler la urface de la roue ou du pignon elon le ca, celle-ci et toujour générée à partir d'équation, et il et poible de définir de point dan de zone déirée précie. Il era donc toujour poible de définir de point qui atifaent le condition optimum d'interpolation et dont le valeur de u et v eront : 0, /3, /3 et. v /3 /3 0 /3 /3 u Figure A3. : Interpolation en carreaux de Coon L'interpolation de la urface en carreaux de Coon et donnée par : 3 (, v) = [ u u u ] Q u v v v (A3..) Le 6 coefficient de chaque interpolation ont obtenu par la méthode du pivot de Gau en remplaçant ucceivement Q(u,v) par le valeur de X, Y et Z (et n x, n y et n z i néceaire) de 6 point de définition où le paramètre u et v ont connu. 07

198 Annexe Annexe 4 : Utiliation de plan d expérience A4. Généralité La technique de plan d expérience et utiliée d ordinaire pour de expérience pratique baée ur de eai, mai elle peut également être utiliée dan le ca d expérience baée ur de calcul ou imulation. L objectif d un plan d expérience et de connaître le comportement d un phénomène, dan le cadre d une expérimentation, en fonction de pluieur paramètre. Il permet de mettre en place une procédure optimiée d expérimentation pour atteindre un objectif précié préalablement, prenant en compte certaine hypothèe. Le réultat et une maîtrie du proceu, une amélioration de performance et évidemment de la qualité par une élimination de diperion, par la connaiance de facteur le plu influent ur le proceu et la détermination de leur valeur optimale, en un minimum d expérience [8]. La démarche d'un plan d'expérience peut être décrite en quatre partie : - Fixer le objectif, c'et-à-dire connaître et définir préciément le but à atteindre et imaginer le aboutiement de l'expérimentation, - Choix du plan d'expérience et réaliation de eai, - Traitement tatitique de réultat, - Interprétation et validation phénoménologique. La variable de ortie repréentative du comportement, appelée variable expliquée ou répone, doit être quantifiable. Le phénomène et étudié en fonction de paramètre nommé facteur contrôlé ou plu implement facteur. Le paramètre ont généralement noté A, B, C, Il peuvent être qualitatif (type de montage, opérateur, ) ou quantitatif (preion, température, ). Il doivent obligatoirement être contrôlable, c'et-à-dire que de valeur pécifique doivent pouvoir leur être impoée. Ce valeur impoée aux paramètre ont appelée niveaux ou modalité du paramètre. Pour l analye de réultat, le niveau de facteur et généralement repréenté par de entier. Pour un plan à troi niveaux par exemple, le niveau ba d'un facteur era repréenté par -, le niveau moyen par 0 et le niveau haut par. A4. Analye de variance L'analye de l'influence de facteur e fait en comparant la variabilité liée au facteur conidéré et la variabilité totale. On décompoe aini la variabilité totale en variabilité élémentaire, exprimée en pourcentage. La recherche de facteur influent et baée ur la contruction du tet d'hypothèe de "non influence" (tet de SNEDECOR). Le principe de ce tet, baé ur l'analye de variance, conduit à définir un intervalle d'acceptation [0;Fε], Fε déignant la variable de SNEDECOR caractériant le euil déciionnel d'acceptation ou de refu d'influence d'un facteur contrôlé. Cette valeur limite peut être vue comme la valeur au-delà de laquelle, i l'hypothèe de non influence et erronée, il y a eulement une probabilité ε de trouver de réaliation de cette variable aléatoire. En terme plu clair, cela ignifie que i la déciion et prie de retenir un facteur comme influent, il n'y a qu'une probabilité ε de le retenir comme influent alor qu'il ne l'et pa. 08

199 Annexe La figure A4. montre un exemple d'analye de variance pour plan complet de 3 paramètre à niveaux. Ici le rique de retenir un facteur influent alor qu'il ne l'et pa et de 5%. Le facteur retenu ici ont A, B et le couplage BC, avec une influence repective de 53,6%, % et 6,9%. Figure A4. : Exemple d'analye de variance Le différent calcul conduient également à la mie en place d'un prédicteur mathématique aocié à l'analye de variance définiant la loi polynomiale d évolution de la grandeur de ortie en fonction de paramètre influent. Pour appliquer la formule du prédicteur mathématique, il et néceaire de connaître le ite expérimental ur lequel cette formule et appliquée, c'et-à-dire le niveau que chaque facteur contrôlé préente pour ce ite. Ce prédicteur donne le coefficient de la régreion multiple d'une répone en fonction de paramètre mi en jeux. Le coefficient du prédicteur ont d abord établi comme une régreion dan un repère lié aux modalité de facteur. Un changement de variable permet d exprimer le prédicteur directement en fonction de valeur de facteur analyé. A4.3 Différent type de plan d'expérience Deux type de plan d expérience ont été utilié au cour de ce travail, de plan factoriel complet et de plan réduit dit de Taguchi [8]. A4.3. Plan factoriel complet Un plan d expérience factoriel complet étudie toute le combinaion poible de facteur eayé. Ce type d expérimentation permet de déterminer le dépendance et interaction entre paramètre et le influence paraite. Le plan d expérience factoriel complet ont théoriquement parfait, mai le délai et le coût d expérimentation deviennent prohibitif dè que l on dépae 3 ou 4 facteur. Dan un plan factoriel complet le nombre d'expérience croît de manière exponentielle par rapport au nombre de paramètre retenu dan l'étude. Un plan complet de n facteur à k niveaux néceite k n expérience, oit par exemple 8 expérience pour un plan de 4 facteur à 3 niveaux. 09

200 Annexe A4.3. Plan réduit de Taguchi Le plan réduit, ou fractionnaire, ont de plan optimaux permettant de réduire la charge expérimentale en ne retenant que le expérience le plu intéreante pour l'étude. Le nombre d expérience et diminué grâce au phénomène d alliaage. Il agit de fixer de paramètre (ou de interaction) aux même niveaux, pour le même expérience. Cela ignifie qu'au moment de l'étude d'influence de différent paramètre et interaction, l'effet d'un facteur et lié à une ou pluieur interaction. De ambiguïté ont alor inévitablement engendrée car le influence de paramètre alliaé ne peuvent être éparée. Le plan aini fractionné conervent l étude de l'influence de principaux facteur, mai de contrate proviennent de la omme de effet aliaé. Le choix dan la manière de divier le plan conditionne le réultat et le poibilité d'analye du plan. Un ca particulier de plan fractionné a été développé par G. Taguchi [8]. La méthodologie et contituée par de table orthogonale donnant la decription d'un plan fractionnaire orthogonal permettant l'étude de facteur et de quelque-une de leur interaction. Ce plan ont généralement utilié pour "débrouailler" un problème et définir le facteur influent retenu pour un plan complet. La méthodologie Taguchi ne prend pa en compte le interaction ayant un degré d'interaction upérieur à. Elle uppoe la connaiance de paramètre et de quelque interaction influente afin de pouvoir réalier un graphe linéaire minimum. Ce graphe linéaire minimum utilié avec le table orthogonale permet de déterminer le allia aini que le expérience à réalier. Le plan de Taguchi utilié ici ont de plan L 6 ( 5 ). Il permettent d étudier juqu'à 5 paramètre et le plan néceite 6 expérience. Toutefoi, plu le nombre de paramètre étudié et élevé, plu le nombre d'interaction pouvant être étudié era réduit. Par exemple, avec 8 paramètre, il et eulement poible de viualier 7 interaction d'ordre. Toute le autre interaction eront aliaée. Taguchi fournit de graphe pour de nombre de paramètre déterminé, et il et parfoi néceaire de faire de extrapolation. La figure A4. montre un exemple de graphe linéaire pour 5 paramètre extrapolé à 6 paramètre. Le dernier paramètre et alor aliaé avec une interaction. A D J H F Figure A4. : Graphe linéaire à 5 paramètre extrapolé à 6 paramètre (A, D, F, G, H et J avec H aliaé à FJ) G 0

201 Annexe Le tableau A4. donne le allia défini alor à partir de ce graphe et de table orthogonale de Taguchi Paramètre A D AD F AF DF GJ G AG DG H FG DJ AJ J Alia GH HJ DH AH FJ FH Tableau A4. : Définition de allia du plan L 6 à 6 paramètre Aini, par exemple, l influence de paramètre A et D pourra être déterminée directement, alor que celle du paramètre F ne pourra pa être diociée de on alia, l interaction HJ. Le choix de l emplacement de paramètre ur le graphe linéaire et alor capital pour l interprétation de réultat.

202 Annexe Annexe 5 : Détail de plan d expérience du chapitre 4 A5. Senibilité aux erreur de montage Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - Déplacement radial du pignon, δe : -0.0 mm, 0.0 mm - Déplacement axial de la roue face, δq : -0.0 mm, 0.0 mm - Déplacement angulaire de la roue face, δγ : -0.0, 0.0 Le réultat obervé ont la poition, le début et la fin de la portée. Le expérience effectuée ont le uivante : Expérience δe (mm) δq (mm) δγ ( ) Le réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci-deou : Contact ponctuel Contact linéaire Expérience Poition Début Fin Poition Début Fin San erreur 4 8

203 Annexe A5. Etude de paramètre du bombé du pignon Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 4 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - C bl : 6 mm, 4 mm, - C bl : 4 mm, mm, - C b : 0 micron, 30 micron, - C b : 0 micron, 30 micron. Le réultat obervé ont la poition de la portée, la preion maximale, la preion au carreau et la preion au carreau. Le expérience effectuée ont le uivante : Expérience C bl (mm) C bl (mm) C b (µm) C b (µm)

204 Annexe Le réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience Poition Preion maximale (Mpa) Preion au carreau (Mpa) Preion au carreau (Mpa) San correction A5.3 Etude de paramètre de correction de denture du pignon A.5.3. Correction en tête de dent ur toute la largeur de denture Le plan d expérience effectué et un plan complet pour paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lca et lca ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (ca et ca ) : 0 micron, 30 micron. Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lca et lca (mm) ca et ca (µm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian)

205 Annexe A.5.3. Correction en tête de dent au niveau du rayon intérieur Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lca ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (ca ) : 0 micron, 30 micron, - largeur de la correction en tête (Eka) : 7 mm, mm. Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lca (mm) ca (µm) Eka (mm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) A Correction en tête de dent au niveau du rayon extérieur Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lca ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (ca ) : 0 micron, 30 micron, - début de la correction en tête ur la largeur de denture (Dka) : mm, 7 mm. Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. 5

206 Annexe Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lca (mm) ca (µm) Dka (mm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) A Correction en pied de dent ur toute la largeur de denture Le plan d expérience effectué et un plan complet pour paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lcf et lcf ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (cf et cf ) : 0 micron, 30 micron. Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lcf et lcf (mm) cf et cf (µm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) A Correction en pied de dent au niveau du rayon intérieur Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lcf ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (cf ) : 0 micron, 30 micron, - largeur de la correction en tête (Ekf) : 7 mm, mm. 6

207 Annexe Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lcf (mm) cf (µm) Ekf (mm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian) A Correction en pied de dent au niveau du rayon extérieur Le plan d expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à niveaux. Le paramètre étudié ont : - longueur de la correction de tête (lcf ) : mm, 6 mm, - profondeur de la correction de tête (cf ) : 0 micron, 30 micron, - début de la correction en tête ur la largeur de denture (Dkf) : mm, 7 mm. Le réultat obervé ont la moyenne et l'amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci deou : Expérience lcf (mm) cf (µm) Dkf (mm) Erreur de tranmiion ou charge moyenne (micro radian) Amplitude de l'erreur de tranmiion ou charge (micro radian)

208 Annexe Annexe 6 : Détail de calcul du chapitre 5 A6. Plan d expérience pour l optimiation de la géométrie A.6.. Plan à 8 paramètre 8

209 Annexe A.6.. Plan à 6 paramètre 9

210 Annexe A.6..3 Plan à 5 paramètre 0

211 Annexe A.6..3 Prédicteur mathématique

212 Annexe A6. Comparaion de réultat iu de prédicteur avec la imulation Le calcul effectué utilient la imulation numérique et le prédicteur Le paramètre variable ont : - Nombre de dent de l outil : N S, - Module de taillage de l outil : m 0, - Angle de preion de l outil : α 0, - Angle d'hélice de l outil : β, - Coefficient de aillie de l outil : h a, - Coefficient de déport de l outil : x, - Nombre de dent de la roue face : N, - Offet de taillage : c. Le réultat obervé ont le rayon d interférence de taillage r i et le rayon de pointe r e. Le calcul effectué et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci-deou : N S N m 0 (mm) α 0 ( ) β ( ) c (mm) h a x r i prédicteur (mm) r i imulation (mm) Ecart r i 4.95% 5.98% 3.50% 7.9% 5.39% 7.4% 0.0% -7.97% r e prédicteur (mm) r e imulation (mm) Ecart r e -0.4%.5% 0.50% 0.6%.00%.5%.39%.50%

213 Annexe A6.3 Influence de paramètre ur le rapport de conduite à vide A6.3. Variation du nombre de dent de l outil et de N N N 0 3 7,45,959,747,538 8,486,97,0,900 9,8,637,448,54 0,35,97,788,600,3475,330,3,939 A6.3. Variation de l angle de preion α 0 ( ) 7,5 8,75 0,5,5 Rapport,8,4,637,895,374 A6.3.3 Variation de l angle d hélice et de l offet en fonction du en de rotation Sen de rotation "+" c β -0-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 0-0,4955,4864,4786,47,4667,468,460,4589,459-7,5,4308,433,47,4,4086,4065,4058,4066,409-5,37,364,3597,3566,355,3549,3565,3597,3647 -,5,334,3094,3069,3059,3065,3088,38,388,367 0,64,595,59,606,637,687,756,847,96,5,45,5,73,4,74,356,459,589,746 5,736,768,8,893,988,08,54,43,643 7,5,395,46,547,658,796,963,63,403,69 0,37,4,37,59,7,95,5,555,956 3

214 Annexe Sen de rotation "-" c β 0 7,5 5,5 0 -,5-5 -7,5-0 0,4955,4864,4786,47,4667,468,460,4589,459 7,5,4308,433,47,4,4086,4065,4058,4066,409 5,37,364,3597,3566,355,3549,3565,3597,3647,5,334,3094,3069,3059,3065,3088,38,388,367 0,64,595,59,606,637,687,756,847,96 -,5,45,5,73,4,74,356,459,589,746-5,736,768,8,893,988,08,54,43,643-7,5,395,46,547,658,796,963,63,403,69-0,37,4,37,59,7,95,5,555,956 4

215 Annexe A6.4 Influence du déport ur le rapport de conduite Le plan d'expérience effectué et un plan complet pour 3 paramètre à 3 niveaux. Le paramètre étudié ont : - Le nombre de dent du pignon : N, - Le nombre de dent de la roue face : N, - Le coefficient déport : x. Le réultat obervé et le rapport de conduite à vide. Le expérience effectuée et réultat obtenu ont ynthétié dan le tableau ci-deou : Expérience N N x ε γ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 5

216 Annexe Annexe 7 : Gandalf Uer Software Manual Introduction One of the main objective of the Facet project i to tudy the behaviour of face gear under load. To achieve thi goal, it wa neceary to dipoe of a complete imulation tool. Within the theoretical tudie, a oftware called Gandalf (Generation, ANalyi and Deign Aid for Loaded Face gear) ha hence been developed according to thee objective. The main purpoe of the tak..8 i to deliver a uer oftware manual to the oftware Gandalf. Gandalf, i divided into four main module : - Geom to imulate the cutting proce and define the geometry of the face gear, - Kine to imulate the unloaded kinematic proce and define the potential contact point, - Coef to define the contact influence coefficient and define the mehing characteritic for F.E. calculation, - Comp to olve the compatibility condition for contact diplacement to obtain the intantaneou preure ditribution and load haring. The input and output file of the oftware have been formatted with a neutral format, o that they might fit to all commercial F.E. olver. Indeed two F.E. calculation are neceary to tudy the whole elatic behaviour of face gear under load : - between Coef and Comp to define the coefficient of influence for tooth deflexion, - after Comp to obtain the tree in the tooth root iued from the preure ditribution. The final part of tak..8 i to develop a graphic interface for the oftware uing Matlab. Graphic interface, fortran ource code and oftware manual will delivered within a whole oftware package. 6

217 Annexe Intallation The compiled verion of Gandalf provided i a Win3 tandard application, teted under Window NT and Window 000. The graphic interface ha been optimied for a 04x768 reolution. 0 Mo of dik pace i required to intall Gandalf itelf. Le than 0 Mo of dik pace i required for each complete calculation. Pentium II with 3 Mb of RAM i enough to run Gandalf, but a more powerful PC will increae the reolution peed. Gandalf i provided within a ingle compreed package. To intall Gandalf, create a detination directory, called for example Gandalf and run intall.exe to unzip the entire package in thi directory. The following ubdirectorie will be created : - Calc : to tore the calculation reult, - Code : fortran ource code of the oftware, - Data : to tore the input data of the calculation for the graphic uer interface, - Fortran : fortran executable module, - Gandalf : graphic uer interface. The graphic uer interface provided ha been written with Matlab. To avoid any problem of Matlab verion, it ha been compiled into a tand-alone application. To run thi tand-alone application, it i neceary to intall firt the graphic library ued by Matlab. All the neceary file are provided in a ingle compreed file. Run lib.exe and unzip all the file in Gandalf ubdirectory. A whole calculation i alo provided a example. Run calc.exe and unzip it in calc ubdirectory. To run Gandalf, run gandalf.exe in Gandalf ubdirectory. All the background theory ued to develop the oftware might be found in the technical report FACET-TR-0-./INSA, FACET-TR-0-./INSA and FACET-TR-6-./INSA. 7

218 Annexe 3 Pre-Proceor 3. Pre-Proceor Main Window The default window of Gandalf i the pre-proceor main window (Fig. ). A pop up menu allow the uer to witch from pre-proceing to pot-proceing proce. Fig. : Pre-Proceor Main Window The pre-proceing window i a general input window. All field mut be completed before running the different module of Gandalf by preing on the pecific pre button. A default file containing default data i loaded on tartup. The geometry module mut alway be run firt, ince it will generate all the input file neceary to the four module, and the directorie for the output file correponding to the calculation name. 8

219 Annexe A main directory with the name of the calculation i firt created. Thi directory will then contain five ubdirectorie : - Data which will contain all the input file - Geom which will contain all the output file of Geom - Kine which will contain all the output file of Kine - Coef which will contain all the output file of Coef - Comp will contain all the output file of Comp (See 3. and 4.3 for more information on input and output file) Dynamic Input Option Switching on the radio button Dynamic Input allow to adapt the face gear and pinion data to the haper data (Fig. ). All the data that are then linked are ditinguihed with a pecific background colour. Changing a yellow data will have an impact on a blue data. Fig. : Dynamic Input The link between the data are defined a follow : Face Gear : The inner and outer radii, R i and R o, are computed according to the formulae of TR-3-./INSA. NB : The formulae of TR-3-./INSA are only an etimation of the true value of undercutting and pointing radii. They of have been validated only for a pecific range of haper and cutting proce data. If the choen data are not within thi range, it i not recommended to ue the dynamic input option. 9

220 Annexe Aembling Proce: Offet and axi angle of aembling proce are equal to offet and axi angle of cutting proce. Pinion : The number of teeth of the pinion will be equal to the number of teeth of the haper minu. The preure angle, modulu, helix angle and helix hand of the pinion will be equal the one of the haper. 3. Other Pre-Proceor Window The pre proceor main window include five menu. 3.. File Allow loading or aving input data file. 3.. Parameter The parameter window allow to define all the parameter pecific to each module (Fig. 3). Fig. 3 : Pre-Proceor Parameter Window 30

221 Annexe Geometry Parameter : - Number of Cro-Section : a the geometry of the face gear i defined in conical (when haft angle i different from 90 ) or cylindrical (when haft angle i equal to 90 ) cro-ection, it i poible to chooe to compute between 0 and 99 croection. - Angular Step for Active Part : define the angular tep in radian between two point of the active part. Changing thi value will change the number of point computed on the active in each cro-ection. - Angular Step for Fillet : a the angular tep for the active part, it define the tep between two point on the fillet. - Required Topland : for each calculation, the oftware compute the radiu of pointing. Sometime it could be more ueful to have a radiu with a pecific minimum topland. The radiu correponding to thi required topland will replace the radiu of pointing in the output file. A required topland of 0 mm allow to compute the radiu of pointing. - Reference Cro-Section : to compute helical face gear only, a reference croection i required to define an origin to the rotation due to the helix angle. By default (let Reference Cro-Section to 0), thi origin i et to the middle of the tooth. But it could happen that the computation doe not converge correctly with thi default value. In thi cae, changing the value of the Reference Cro-Section might olve the non-convergence problem. The value hould be in thi cae the radiu of the cro-ection which be ued a Reference Cro-Section. - Continue on Warning : during the computation of the geometry of face gear, ome warning might be diplayed by the oftware (undercutting, pointing, etc.). It i poible to chooe whether the oftware top or continue when a warning occur. Unloaded Kinematic Parameter : - Number of Kinematic Poition : define the number of kinematic poition for which the contact zone will be computed between the firt and lat point of contact on the middle tooth. - Tooth Width Dicretization : the method ued to define the contact zone allow only to find contact point. In cae of a linear contact only (ame number of teeth for pinion and haper), it i neceary to plit the tooth width into lice and to earch a contact point in each lice. The ucceion of the point will then define the contact line. The number of point choen here i alo very important for the Influence Coefficient module (Coef). Indeed in cae of contact line, the point of contact computed within the unloaded kinematic imulation will be ued to define the local mehing of the contact zone. Thee point will then be ued to compute the deflexion influence coefficient with F.E. calculation. 3

222 Annexe A great number of point choen here will hence induce a great number of F.E. calculation for the next module. Influence Coefficient Parameter : - Contact Width Dicretization : to define the local mehing of the contact zone, it i neceary to chooe a local mehing ize. The contact width dicretization define the number of point that will be ued for the local mehing along the contact width. - Correction for Contact Width Dicretization : the ize of the contact zone that will be mehed (i.e. the etimated ize of the contact zone under load) i defined uing Hertz theory. A the contact face gear i not a perfect conform contact, it i often neceary to correct the ize found with Hertz theory, by multiplying it with a correction coefficient in order to obtain a preure ditribution over the whole real contact zone. - Contact Length Dicretization : in cae of contact line, the point found within the unloaded kinematic imulation impoe the dicretiztion of the contact length. But in cae of contact point, the loaded contact zone will be elliptic and the number of point that will be ued for the local mehing along the contact length mut be choen. - Correction for Contact Length Dicretization : a for the contact width dicretization, the contact length dicretization might require a correction. - Slide Mehing : allow the uer to chooe if point will be added for the local mehing in the cae of contact line when the contact line die not cover the whole tooth width. Warning : the ue of a lide mehing improve the quality of the reult, but alo increae the number of F.E. calculation. Figure 4 and 5 how example of mehing. On figure 4, the theoretical contact cae i point. The dicretization choen for the mehing i 5x5. Theoretical contact point Fig. 4 : Example of mehing, cae of contact point 3

223 Annexe On figure 5, the theoretical contact cae i a line. The number of point choen for tooth width dicretization in the unloaded kinematic imulation wa 7. If the contact i found along the whole tooth width, we have then 7 point of contact to define the line (kinematic poition k), ele we have le than 7 point (4 point for kinematic poition j). If the option of lide mehing i choen, upplementary contact point are added on tip of face gear (or tip of pinion) in order to have the ame number of point along the tooth width for all kinematic poition. For the mehing, the tooth width (contact length) diretization i here hence 7 (diretization choen for unloaded kinematic imulation), and the tooth width diretization i 9. The mehing i hence 7x9. Supplementary potential contact line Theoretical contact line Kinematic poition j Contact point found during unloaded kinematic imulation Kinematic poition k Fig. 5 : Example of mehing, cae of contact line Tip to eventually correct the contact ize are given on page

224 Annexe 3..3 Error The Error window allow to define all the error that might be taken into account within the different imulation (Fig. 6). Fig. 6 : Pre-Proceor Error Window 3..4 Material The Material window allow to define the characteritic of the material ued for the face gear and the pinion (Fig. 7). Fig. 7 : Pre-Proceor Material Window 3..5 About The About window give information on the actual verion of Gandalf (Fig. 8). Fig. 8 : Verion Window 34

225 Annexe 3.3 Input Data and Input File All the data taken into account in the imulation have been dicued and agreed by all partner in January 999 (cf. FACET-MM-08-./INSA). Running Geom will automatically generate all the input file neceary to the four module. It i alo poible (while not recommended) to fill the input file without uing the pre-proceor. There are 4 different input file : - PATH.DAT contain the path for the directory of the calculation. - DONNEES.DAT contain all the geometric data needed for the imulation (characteritic of haper, face gear, pinion, cutting and aembling proce). - PARAM.DAT contain all the non-geometric parameter needed for the imulation (number of point, tep,.). - MATER.DAT contain the characteritic of the material NB : PATH.DAT i located in the ame directory than the executable module. DONNEES.DAT, PARAM.DAT and MATER.DAT are located under the Data ubdirectory of the calculation directory 3.3. Shaper The haper ued for the imulation of the cutting proce i in fact a virtual involute profiled haper (Fig. 9). The required data are ummaried in the following table : SHAPER DATA Number of teeth Z Preure angle (d ) α 0 Module (mm) m 0 Helix angle (d ) β Helix hand (left or right) Addendum modification factor x Addendum coefficient coef Addendum (mm) h a Dedendum coefficient coefc Dedendum (mm) h f Tip Edge radiu (mm) (pur haper) r p Minimum cutting point radiu r dev 35

226 Annexe t α 0 r p h a =(coef+x).m 0 h r a h f =(coefc-x).m 0 r dev r b r f r Fig. 9 : Definition of the haper Geometry NB : Concerning the addendum (or dedendum) of the haper, it i poible to give in input either the addendum coefficient or directly the addendum value. If the coefficient i given, the oftware take thi data for computation, even if a value of addendum (or dedendum) i given. If the coefficient i et to zero, then the oftware will take the given value of addendum (or dedendum) in input. NB : The minimum cutting point radiu define the radiu of the haper point that will cut the tip of the face gear. It depend in reality on the machine etting ued to cut the face gear. If the value i unknown, it i poible to et it to zero in the input file and the oftware will compute a default value according to : m r 0 dev = b + r Cutting Proce / Cutting Error The data ued for the cutting proce are the offet C and the axi angle γ. They are repreented on Fig. 0 and Fig. with the cutting error that might be taken into account : - Radial diplacement of the haper : δe - Angular diplacement of the haper : δα - Axial diplacement of the face gear : δq - Angular diplacement of the face gear : δγ On Fig. 0 and Fig., the blue coordinate ytem i linked with the face gear, and the red one with the haper. 36

227 Annexe Z Y δγ γ O, δq Y Z Fig. 0 : Cutting Proce Parameter and Error () X X O δε Z C δα O Y Fig. : Cutting Proce Parameter and Error () 37

228 Annexe Face Gear The face gear data are the number of teeth Z, the inner and outer radii L and L (Fig. ). The inner and outer radii are defined on tip face gear tooth. Z L L O Y Fig. : Face Gear Parameter Aembling Proce / Aembling Error The data ued for the aembling proce are the offet C and the axi angle γ, the mounting ditance A and the way of rotation. They are repreented on Fig. 3 and Fig. 4 with the aembling error that might be taken into account : - Radial diplacement of the pinion : δe - Angular diplacement of the pinion : δα - Axial diplacement of the pinion : δr - Axial diplacement of the face gear : δq - Angular diplacement of the face gear δγ On Fig. 3 and Fig. 4, the blue coordinate ytem i linked with the face gear, and the red one with the haper. NB : if the mounting ditance i not pecified (et to 0), the oftware will compute the default value according to : A = r r where r i the pitch radiu of haper and r the pitch radiu of the pinion. 38

229 Annexe Convention for rotation way i a follow : Way - : face gear i going clockwie, Way + : face gear i going counter clockwie. Z Y δγ γ O, A δq Y Z Z Fig. 3 : Aembling Proce Parameter and Error () X X O δε Z C δα O Y + Fig. 4 : Aembling Proce Parameter and Error () 39

230 Annexe Pinion The pinion ued for the imulation i a cylindrical pinion (Fig. 5). The required data are ummaried in the following table : PINION DATA Number of teeth Z Preure angle (d ) α 0 Module (mm) m 0 Helix angle (d ) β Helix hand (left or right) Addendum modification factor x Addendum coefficient coef Addendum (mm) h a Dedendum coefficient coefc Dedendum (mm) h f True involute form radiu (mm) r dev Tooth width (mm) b α 0 h a =(coef +x).m 0 h r a h f =(coefc -x).m 0 r dev r brf r Fig. 5 : Definition of the pinion Geometry The pinion might have the following error taken into account : helix angle error and individual pitch error on each tooth. NB : Like for the haper, it i poible to give in input either the coefficient or directly the value for the addendum and dedendum. NB : The true involute form radiu define the real interection of the active part and the fillet of the pinion. If the value i unknown, it i poible to et it to zero in the input file and the oftware will compute a default value according to : m r 0 dev = b + r 50 40

231 Annexe Limitation To enure a good performance of the oftware, the available range of ome input data i limited. A check of the input data i performed in the module Geom. An error meage appear if the limit are reached. The limited data and their range are ummarized in the following table : Parameter Minimum value Maximum value Shaper / Pinion Module (mm) 0 0 Preure angle ( ) 0 45 Helix angle ( ) 0 30 Addendum coefficient 0 Addendum (mm) 0 40 Dededum coefficient 0 Dedendum (mm) 0 40 Addendum Modification factor - Firt Cutting Point (mm) Face Gear Inner radiu (mm) Outer radiu (mm) Cutting / Aembling Proce Axi angle ( ) 70 0 Offet (mm) Mounting Ditance (mm) All Error ( or mm) - Geometry Parameter Number of Cro-Section 0 99 Angular Step (rad) 0 Reference Cro-Section (mm) 0 Face gear outer radiu Required Topland (mm)

232 Annexe 4 Pot-Proceor 4. Pot-Proceor Main Window The main window of the pot-proceor (Fig. 6) i very imilar to the pre-proceor one. All the input data are diplayed for information purpoe. The main window allow to viualize different reult by preing on the pecific pre button. Fig. 6 : Pot-Proceor Main Window When launching the potproceor, a Main Reult window (Fig.7) appear. It reume ome ueful reult of the calculation. NB : In the whole Pot-Proceor, LTE mean Loaded Tranmiion Error. 4

233 Annexe Fig. 7 : Pot-Proceor Main Reult Window 4. Other Pot-Proceor Window 4.. Face Gear Tooth Geometry Viualization To viualize the face geometry it i poible to chooe to ee one, three or five teeth imultaneouly (Fig. 8). If the haft angle wa equal to 90, the geometry of the face gear i defined in cylindrical cro-ection. For all other value of the haft angle, the ection are conical. Fig. 8 : Pot-Proceor Geometry Window 43

234 Annexe 4.. Unloaded Contact Location Viualization The location of the contact point or line computed within the unloaded kinematic imulation i repreented on five teeth of the face gear (Fig. 9). The teeth are numbered a pecified in TR-0-./INSA. The middle tooth i alway the tooth number 3. The two teeth that are in contact before tooth 3 during the mehing are the teeth number and. If the rotation way, wa +, they are then on the left ide of tooth three (Fig. 9), if the rotation way wa -, they are on the right. The two lat teeth (number 4 and 5) are in contact after tooth 3 during the mehing. Fig. 9 : Pot-Proceor Contact Location Window NB : Each colour correpond to one kinematic poition. A the mehing i alway tudied on the central tooth (tooth 3), poition i located on tip of face gear on thi tooth (generally at the outer radiu), and lat poition i located on root of face gear (generally at the inner radiu). 44

235 Annexe 4..3 Preure Ditribution Viualization Two option might be ued to viualize the preure ditribution : - chooe one tooth and viualize the preure ditribution on three ucceive kinematic poition (Fig. 0). The tooth are numbered a for the unloaded kinematic imulation. - chooe one kinematic poition and viualize the preure ditribution on three ucceive teeth. Fig. 0 : Pot-Proceor Preure Ditribution Window For each tooth and each kinematic poition, two figure are ued to viualize the preure ditribution. The upper figure allow to locate on the tooth the point on which the preure ha been computed. The lower figure repreent the preure ditribution on the contact zone. The contact zone i repreented a a rectangle with a length and a width correponding to the local mehing ize. The origin ued to repreent the preure ditribution i located on the centre of the contact zone. 45

236 Annexe 4..4 Load Sharing Viualization The load haring between the five teeth on which the whole imulation ha been performed, i repreented for all the kinematic poition defined (Fig. ). Fig. : Pot-Proceor Load Sharing Window 46

237 Annexe 4..5 Tranmiion Error Viualization Two option might be ued to viualize the tranmiion error : - Unloaded (Fig. ), - Loaded (Fig. 3). The tranmiion error repreented i the one of the middle tooth, i.e. the tooth that i in contact for all the kinematic poition computed. The tranmiion error i repreented veru the face gear rotation angle. Fig. : Pot-Proceor Unloaded Tranmiion Error Window 47