I. Principales définitions

Transcription

1 Généralités sur les onctions I Principales déinitions Un exemple pour commencer ( x) = x² 4x Déterminer : - l ensemble de déinition - les images de 0, de et de 00 - les antécédents de 0 et de -3 Solution : - Ensemble de déinition : D =Rcar x² 4x existe pour tout x réel - Image de 0 : (0) = 0² 4 0 = 0 - Image de : () = ² 4 = 3 - Image de 00 : (00) = 00² 4 00 = Antécédents de 0 : ( x) = 0 x² 4x = 0 x( x 4) = 0 Les antécédents de 0 sont 0 et 4 (car (0) = 0 et (4) = 0 ) - Antécédents de -3 : ( x) = 3 x² 4x = 3 x² 4x + 3 = 0 x ' = et x '' = 3 Les antécédents de -3 sont et 3 (car () = 3 et (3) = 3) 2 Ensemble de déinition d une onction Soit une onction - Si x appartient à l ensemble de déinition D de, alors x a une image unique - L ensemble des réels x qui ont une image par constitue l ensemble de déinition de la onction, généralement noté D Page sur 27 Généralités sur les onctions

2 Exemple : : R R 3x x ( x) = x 2 ( x) existe si x 2 0 donc si x 2 { 2 } ] ;2[ ] 2; [ D = R = + Autre exemple : g : R R x g( x) = 3 2x g( x) existe si 3 2x 0 (la racine carrée d un nombre négati n existe pas) donc si 3 2x donc si 3 2 x D g 3 = R { 2 } = ; 2 3 Image et antécédent Image Soit x est un élément de D, l image de x par est y = ( x) Par exemple, soit ( x) = x² 6, l image de 4 par est y = (4) = 4² 6 = 0 Antécédent Les antécédents d un réel y par une onction sont les valeurs x solutions de l équation y = ( x) Par exemple, soit ( x) = x² 6, quel(s) est(sont) le(s) antécédent(s) de 0? Il aut résoudre ( x ) = 0 soit x² 6 = 0 L équation équivaut à x ² = 6 donc x ' = 4 et x '' = 4 Les antécédents de 0 par sont 4 et -4 Page 2 sur 27 Généralités sur les onctions

3 4 Courbe représentative d une onction - C Courbe représentative de la onction ( x) = cos x La courbe représentative C d une onction dans le plan muni d un repère est l ensemble des points M ( x; y ) tels que x D M ( x; y) C si y = ( x) x D et y = ( x) Remarque importante : Pour toute valeur de x, il y a une seule valeur de y = ( x) La courbe représentative C d une onction ne peut donc pas avoir plusieurs points pour une même valeur d une abscisse x Ces courbes ne représentent pas des onctions! Page 3 sur 27 Généralités sur les onctions

4 Ces courbes représentent des onctions 5 Position relative de courbes, interprétation graphique d équations et d inéquations Intersection de courbes et équations C C g Soient C la courbe représentative de et On peut établir les relations suivantes : M C y = ( x) M C y = g( x) g Cg la courbe représentative de g Aux points d intersection de y = g( x) soit ( x) = g( x) C et de C g, on a M C et g M C donc y = ( x) et Page 4 sur 27 Généralités sur les onctions

5 Les abscisses x des points d intersection de C et de C vériient ( x) = g( x) g A retenir : Et inversement, les solutions de l équation ( x) = g( x) sont les abscisses des points d intersection de C et de C g Position relative de deux courbes et intersection Les abscisses des points de la courbe C situées au-dessus de C vériient ( x) > g( x) g A retenir : Et inversement, les solutions de ( x) > g( x) sont les abscisses des points de C situées audessus de C g Un cas particulier : équation ( x) = m et inéquation ( x) > m y=m C Les solutions de l équation ( x) droite d équation y = m Les solutions de l équation ( x) la droite d équation y = m = m sont les abscisses des points d intersection de C avec la > m sont les abscisses des points de C situés au-dessus de Page 5 sur 27 Généralités sur les onctions

6 6 Quelques exercices d application La courbe ci-dessous représente la onction déinie sur [ 6;7] Questions : Répondre par lecture graphique : - Quelles sont les images des réels -5, -3, 0 et 6? 2- Quels sont les antécédents de - et 0? 3- Résoudre graphiquement ( x ) = 0 4- Quel est, en onction de m, le nombre de solutions de ( x) 5- Résoudre graphiquement ( x ) < 0 6- Résoudre graphiquement ( x) 2 Réponses : - Image de -5 : 0 (ordonnée du point d abscisse -5) Image de -3 : 4 = m Page 6 sur 27 Généralités sur les onctions

7 Image de 0 : -2 Image de 6 : Antécédents de - : -5,5 -,75 0,5 et 5 Antécédents de 0 : -5-2 et 4 3- ( x ) = 0 La solution est l ensemble des antécédents de 0 : S = { 5; 2;; 4} 4- Nombre de solutions de ( x) = m C est le nombre de points d intersection de courbe avec une la droite parallèle à l axes des abscisses et d ordonnées m m Si m < 4 : pas de solution Si m = 4 : une solution Si 4 < m < 3 : deux solutions Si 3 m < 2 : trois solutions Si 2 m < 2 : quatre solutions Si m = 2 : trois solutions Si 2 < m < 4 : deux solutions Si m = 4 : une solution Si m > 4 : pas de solution Page 7 sur 27 Généralités sur les onctions

8 5- ( x ) < 0 Cela correspond aux valeurs de x pour lesquelles abscisses S = 6; 5 2; 4;7 [ [ ] [ ] ] C est au-dessous de l axe des 6- ( x ) > 2 Cela correspond aux valeurs de x pour lesquelles d équation y = 2 S = [ 4; 2,5] { 2} C est au-dessus de la droite Autre exercice : Soit la courbe y = x 3 C représentative de telle que 3 2 ( x) = x 4x + 3 et la droite D d équation C D - Résoudre graphiquement l équation ( x ) = 3 puis l inéquation ( x ) < 3 2- Résoudre graphiquement l équation ( x ) = 0 puis l inéquation ( x) 0 On donnera un encadrement d amplitude 5 0 des solutions non entières 3- Résoudre graphiquement l équation ( x) = x 3 puis l inéquation ( x) x 3 Page 8 sur 27 Généralités sur les onctions

9 Réponses : - ( x ) = 3 La solution est l ensemble des antécédents de 3 : S = { 0;4} ( x ) < 3 : S = ] ;0[ ] 0;4[ 2- ( x ) = 0 La solution est l ensemble des antécédents de 0 : S = { a;; b} Avec < a < 0,5 et 3,5 < a < 4 ( x) 0 : S = [ a; ] [ b; + [ 3- ( x) = x 3 La solution l ensemble des abscisses des points d intersection de C et de D : S = { ;2;3 } ( x) x 3 : S = ] ; ] [ 2;3] II Propriétés particulières : onctions paires, impaires Fonctions paires Déinition Important : Soit une onction déinie sur D La onction est paire si : si x D alors x D pour tout x D on a ( x) = ( x) Exemples Déterminer si les onctions suivantes sont paires : - ( x) = x² donc D =R On calcule ( x) : ( x) = ( x)² = x² Page 9 sur 27 Généralités sur les onctions

10 Donc ( x) = ( x) La onction est paire - ( x) = 2 x² + 3 donc D =R ( x) = 2( x)² + 3 = 2 x² + 3 = ( x) La onction est paire - ( x) = 2 x² + 3x donc D =R ( x) = 2( x)² + 3( x) = 2 x² 3 x ( x) ( x) ( x) La onction n est pas paire - ( x) = x donc D = [ 0; + [ Pour tout x de D, x n appartient pas à D Donc la onction n est pas paire Propriété de la courbe représentative d une onction paire (repère orthogonal) En repère orthogonal, la courbe représentative d une onction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées : Courbe représentative de la onction paire : x² ( x ) = Page 0 sur 27 Généralités sur les onctions

11 2 Fonctions impaires Déinition Important : Soit une onction déinie sur D La onction est impaire si : si x D alors x D pour tout x D on a ( x) = ( x) Exemples Déterminer si les onctions suivantes sont impaires : - ( x) = x donc D =R x : On calcule ( ) ( x) = x Donc ( x) = ( x) La onction est impaire - ( x) = 2x donc D =R ( x) = 2 x = ( x) La onction est impaire - ( x) = 2x + 2 donc D =R ( x) = 2x + 2 ( x) ( x) La onction n est pas impaire (elle n est pas paire non plus : ( x) ( x) ) - - ( x) 3 = x donc D =R x x x x La onction est impaire 3 3 ( ) = ( ) = = ( ) ( x) D = R x ( x) = = = ( x) x x La onction est impaire = donc { 0} Page sur 27 Généralités sur les onctions

12 Propriété de la courbe représentative d une onction impaire (repère orthogonal) En repère orthogonal, la courbe représentative d une onction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère : Courbe représentative de la onction impaire : 3 x ( x ) = 0 Remarque : Si une onction impaire est déinie pour x = 0, alors on a orcément (0) = 0 3 Mise en évidence d un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées ou d un centre de symétrie Pour cela, il aut se servir des propriétés des onctions paires et impaires, en eectuant éventuellement un changement de repère Principe du changement de repère Repère de départ : R R(0, i, j) Soit le point M de coordonnées ( x, y ) dans le repère R Soit le point Ω( x0, y0) qui sera l origine de notre nouveau repère j 0 i M + Ω + Page 2 sur 27 Généralités sur les onctions

13 On va maintenant déinir un nouveau repère R d origine Ω ( x0, y0) : R '( Ω, i, j) Les nouvelles coordonnées du point M dans ce repère R sont : ( X, Y ) On a la relation suivante : OM = OΩ + ΩM De laquelle on déduit la ormule de changement de repère : x = x0 + X y = y0 + Y Exemple pour mieux comprendre : Soit Ω(3,2) dans un repère R(0, i, j) M a pour coordonnées (,2) dans ce repère R(0, i, j) Calculer les coordonnées de M ( X, Y ) dans le nouveau repère R '( Ω, i, j) On a OM = OΩ + ΩM, donc : = 3 + X 2 = 2 + Y On déduit de cette relation que : X = 2 et Y = 0 Donc on a M ( 2,0) dans le nouveau repère R Soit la droite d équation y = x 2 dans le repère R(0, i, j) 2 Calculer les coordonnées de dans le nouveau repère R '( Ω, i, j) Soit M ( x, y) Les coordonnées du point M vériient donc l équation de On a : y = x 2 2 x = 3+ X Or on sait que (c plus haut) y = 2 + Y 3 On en déduit que 2 + Y = (3 + X ) 2 donc Y = + X 4 soit Y = X 2 2 L équation de la droite dans le repère R '( Ω, i, j) est 5 Y = X Page 3 sur 27 Généralités sur les onctions

14 Mise en évidence d un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées : Etudions un exemple : Soit la onction telle que ( x) = x² 2x + 3 ( x )² et soit C sa courbe représentative C On a D = R { } Démontrer que la droite d équation x = est axe de symétrie de C Pour cela, on ait un changement de repère en prenant pour nouvelle origine Ω (,0) pour que que corresponde à l axe des ordonnées dans ce nouveau repère Cherchons les ormules de changement de repère : Soit M ( x, y) dans (0, i, j) Soit M ( X, Y ) dans ( Ω, i, j) On a OM = OΩ + ΩM, donc : x = + X y = 0 + Y Equation de la courbe dans ( Ω, i, j) : Y ( + X )² 2( + X ) + 3 X ² = = = + (( + X ) )² X ² X ² Posons la onction g telle que g( X ) = + 2 X ² Page 4 sur 27 Généralités sur les onctions

15 On a 2 2 g( X ) = + = + = g( X ) ( X )² X ² donc la onction g est paire, axe des ordonnées dans ( Ω, i, j), est axe de symétrie de la courbe représentative de la onction g donc axe de symétrie de C Méthode pour mettre en évidence un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées : - Faire un changement de repère en prenant la nouvelle origine Ω sur - Déterminer les ormules de changement de repère - Déterminer l équation de la courbe dans le nouveau repère et la mettre sous la orme Y = g( X ) - Démontrer que la onction g est paire - Conclure que est axe de symétrie de la courbe C Mise en évidence d un centre de symétrie : Méthode pour mettre en évidence un centre de symétrie : - Faire un changement de repère en prenant la nouvelle origine Ω, centre de symétrie supposée de C, courbe représentative de dans (0, i, j) - Déterminer les ormules de changement de repère - Déterminer l équation de la courbe dans le nouveau repère et la mettre sous la orme Y = g( X ) - Démontrer que la onction g est impaire - Conclure que Ω est centre de symétrie de la courbe C III Monotonie et extremum Ce chapitre III reprend en partie des notions abordées en classe de seconde Sens de variation d une onction Soit une onction déinie sur l intervalle I Dire que est croissante sur I signiie que pour tout x et x2 de I, on a : Si x < x2 alors ( x ) ( x2 ) Une onction croissante «conserve l ordre» Page 5 sur 27 Généralités sur les onctions

16 Soit une onction déinie sur l intervalle I Dire que est décroissante sur I signiie que pour tout x et x2 de I, on a : Si x < x2 alors ( x ) ( x2 ) Une onction décroissante «inverse l ordre» Illustration graphique : a b a b Fonction croissante sur [a,b], mais non strictement croissante Fonction strictement croissante sur [a,b] a b a b Fonction décroissante sur [a,b], mais non strictement croissante Fonction strictement décroissante sur [a,b] Page 6 sur 27 Généralités sur les onctions

17 2 Fonction monotone sur un intervalle Une onction déinie sur un intervalle I est monotone sur cet intervalle si elle est : - soit croissante sur I, - soit décroissante sur I, - soit constante sur I 3 Tableau de variation Un tableau de variation d une onction rapporte l ensemble des inormations sur le sens de variation de cette onction suivant les valeurs de x Exemple : ,5-2 x (x) 5 0, Page 7 sur 27 Généralités sur les onctions

18 4 Maximum et minimum d une onction sur un intervalle M=(x 0 ) a x 0 0 x b m=(x ) Soit une onction déinie sur I = [ a, b] Dire que ( x 0) est le maximum de sur I signiie que : - x0 I - pour tout x I, on a ( x) ( x0 ) Dire que ( x ) est le minimum de sur I signiie que : - x0 I - pour tout x I, on a ( x) ( x0 ) IV Composé de deux onctions opérations sur les onctions Composé de deux onctions Exemple d introduction : Soient les deux onctions u et v telles que : u( x) = 2x + et v( x) = x² x 2x + ( 2x + ) u v v u 2 Page 8 sur 27 Généralités sur les onctions

19 v u est la composée des onctions v et u On applique d abord u puis v (sens inverse de l écriture de v u ) x x² 2 x² + v u u v Les onctions v u et u v ne sont pas les mêmes!! Déinition d une onction composée : Soient u la onction déinie sur l ensemble D u et v la onction déinie sur l ensemble D v Pour tout x de D tel que u( x) D u v, on déinit la onction v u ainsi : [ ] ( v u)( x) = v u( x) Les onctions v u et u v ne sont pas les mêmes, pour la onction v u, on applique d abord u à x puis v à u( x ) Condition sur x pour lesquelles on peut calculer v[ u( x )] : Déjà, il aut que x D (pour que u( x) soit calculable) u Ensuite, il aut que les valeurs u( x ) (obtenues pour x que v[ u( x) ] soit calculable Donc v u est déinie pour les valeurs de x telles que : Du ) soient dans l'ensemble v x Du et u( x) Dv D pour Quelques exemples : Déterminer les onctions v u et u v dans les cas suivants : u( x) = x² + x 2 v( x) = 3 x D v =R donc u( x) Dv et inversement ( v u)( x) v[ u( x) ] v = = x² + x 2 Page 9 sur 27 Généralités sur les onctions

20 ( v u)( x) 3 = x² + x 2 ( v u)( x) = x² x et : ( u v)( x) = u[ v( x) ] = u(3 x) = (3 x)² + (3 x) 2 3 ( u v)( x) = 9 6 x + x² + x ( u v)( x) = x² x u( x) = x + 3x v( x) = 2x D v =R donc u( x) Dv et inversement 3 [ ] 3 3 [ ] ( v u)( x) = v u( x) = v x + 3x ( v u)( x) = v u( x) = 2( x + 3 x ) = + 2x 6x et : ( u v)( x) = u v( x) = u( 2 x) = ( 2 x) + 3( 2 x) [ ] 3 = = x 3( 4x 4 x²)( 2 x) 2x 3( 4x 4 x² 2x 8 x² 8 x ) = = x 3( 8x 2 x² 6x ) 2x 24x 36 x² 8x 3 = x 36 x² 6x 2 2 Sens de variation d une onction composée Théorème : Soit u et v deux onctions déinies et strictement monotone respectivement sur I et J tels que v( J ) I (c est-à-dire que les valeurs v(x) pour tout x Dv, soient inclues dans Du pour que u[ v( x )] existe) Si u et v sont de même monotonie, alors u v est croissante sur J, sinon elle est décroissante sur J v( J ) est l image de l ensemble J par la onction v v( J ) contenue dans l ensemble I (par exemple : [ 5; + [ R + ) I veut dire que l ensemble v( J ) est Il aut bien vériier que toutes les conditions sont réunies avant d appliquer ce théorème! Et c est là toute la diiculté du théorème comme le montre l exemple suivant Page 20 sur 27 Généralités sur les onctions

21 Exemple : Soient u et v deux onctions déinies sur R par : u( x) = 3x + v( x) = x² 2 a) Déterminer les onctions u v et v u et leurs ensembles de déinition b) Dresser le tableau de variations de u v et v u Solution : a) Il aut tout d abord préciser les ensembles de déinition des déinitions: On a Du = Dv =R, donc u v et v u existent pour tout x de R : Du v = Dv u = Déterminons u v : ( u v)( x) = u v( x) [ ] [ ] ( u v)( x) = u x² 2 = 3( x² 2) + = 3 x² 6 + ( u v)( x) = 3 x² 5 Déterminons v u : ( v u)( x) = v u( x) [ ] 2 [ ] ( v u)( x) = v 3x + = (3x + ) 2 = 9 x² + 6x + 2 ( v u)( x) = 9 x² + 6x R b) Déterminons les variations des deux onctions composées : Variations de u v : Soient les deux intervalles I = R et J = R + u est déinie et strictement monotone sur I (croissante) et v est déinie et strictement monotone sur J (croissante car onction carrée) De plus v( J ) = R + ( v( J) est l image de l intervalle J par v) donc v( J) I On est bien dans les conditions du théorème sur le sens de variation des onctions composées D après ce théorème, u v est croissante sur J = R + (u et v sont de même monotonie) On démontrerait de même que u v est décroissante sur R (u et v sont alors de monotonie diérente) Variations de v u : Page 2 sur 27 Généralités sur les onctions

22 Ici, il aut prendre le théorème «à l envers» puisque l on cherche le sens de variation de v u et non de u v!! Soient les deux intervalles I = R + et J = ; + 3 v est déinie et strictement monotone sur I (croissante car onction carrée) et v est déinie et strictement monotone sur J De plus u( J ) = R + (La onction u s annule en et est croissante) donc u( J) I 3 On est bien dans les conditions du théorème sur le sens de variation des onctions composées D après ce théorème, v u est croissante sur J = ; + 3 (u et v sont de même monotonie) On démontrerait de même que v u est décroissante sur ; 3 (u et v sont alors de monotonie diérente) Récapitulons les résultats dans un tableau : x u v u v v u Il existe une autre açon de trouver ces variations, sans avoir recours au théorème : Exemple pour v u : Rappel : pour tout x, ( v u)( x) = v[ u( x) ] Soient x ; + 3 et x2 ; + 3 tels que x > x2 Page 22 sur 27 Généralités sur les onctions

23 On a : u( x ) > u( x2 ) 0 (car u onction strictement croissante et positive sur ; + 3 ), v u( x ) > v u( x ) car la onction v est strictement croissante sur R + donc [ ] [ ] 2 En récapitulant : si x ; + 3 et x2 ; + 3 tels que x > x2, alors ( v u)( x ) > ( v u)( x2) La onction v u est donc croissante sur ; + 3 décroissante sur ; 3 On démontrerait de même que v u est 3 Opérations sur les onctions Somme de deux onctions : ( x) + g( x) = ( + g)( x) Exemple : ( x) = et g( x) = 2x + 3 x ( + g)( x) = + 2x + 3 x 2 x² 3x 2 x² + 3x + ( + g)( x) = + + = x x x x Produit d une onction par un nombre : Soit k un réel La onction k est déinie par : ( k )( x) = k( )( x) Exemple : ( x) = 3x + (4 )( x) = 4 ( x) = 2x Page 23 sur 27 Généralités sur les onctions

24 Produit de deux onctions : Le produit de deux onctions et g est noté g et est déini par : ( x) g( x) = ( g)( x) Exemple : ( g)( x) = ( 2x + 3) x 2x ( g)( x) = = 2 + x x Quotient de deux onctions : Le quotient de la onction par la onction g est noté g et est déini par : ( x) = ( x) g( x) g Exemple : ( ) ( x) = x = x g g( x) 2x + 3 ( x) = = g x 2x x² + 3x V Majorant, minorant et comparaison de onctions Fonction majorée, minorée, bornée Fonction majorée sur un intervalle I : Dire que la onction est majorée par le réel M sur l intervalle I signiie que : quelque soit x de I, on a : ( x) M Page 24 sur 27 Généralités sur les onctions

25 4 Exemple : Soit la onction déinie surr par ( x) = x² + 4 Quelque soit x de R, on a : x² 0 x² 0 x² Donc quelque soit x de R, on a : ( x) 4 La onction est majorée par 4 sur R (et par tous les réels >4) Représentation graphique de ( x) = x² + 4 Fonction minorée sur un intervalle I : Dire que la onction est minorée par le réel m sur l intervalle I signiie que : quelque soit x de I, on a : ( x) m Exemple : Soit la onction déinie sur[ 0; + [ par ( x) = 2x + Quelque soit [ 0; [ x +, on a : x 0 2x 0 2x + Donc quelque soit x [ 0; + [, on a : ( x) La onction est minorée par sur [ 0;+ [ (et par tous les réels <) Fonction bornée sur un intervalle I : Dire que la onction est bornée sur l intervalle I signiie qu elle est à la ois majorée et minorée sur cet intervalle, donc qu il existe des réels m et M tels que : quelque soit x de I, on a : m ( x) M Exemple : La onction déinie surr par ( x) = sin( x) est bornée sur R car quelque soit x de R, on a : sin( x) 2 Exercice d application 5 Soit la onction déinie surr par ( x) = 2 x² + Démontrer que la onction est bornée par -2 et 3 sur R Page 25 sur 27 Généralités sur les onctions

26 Démonstration : Quelque soit x R, on a : 5 5 > 0 2 > 2 x² + x² + La onction est minorée par -2 sur R Il aut maintenant démontrer que pour tout x R, on a : ( x) 3 Une méthode courante consiste à démontrer que pour tout x R, on a ( x) ( x² + ) 5 x² ( x) 3 = 2 3 = = x² + x² + x² + x² + Quelque soit x R, on a : 5 x² 5 x² 0 5 x² 0 0 ( x) 3 0 ( x) 3 x² + La onction est majorée par 3 sur R La onction est donc bornée par -2 et 3 sur R 3-2 Représentation graphique de 5 ( x) = 2 x² + 3 Comparaison de onctions C g j 0 i C Page 26 sur 27 Généralités sur les onctions

27 Soient et g deux onctions déinies sur un même intervalle I Dire que pour tout x I, on a ( x) g( x) g signiie que Graphiquement, cela signiie que la courbe C est en dessous de la courbe C g Exemple : Soit les deux onctions et g déinies sur R par : ( x) = x² g( x) = x Comparer ces deux onctions suivant les valeurs de x Solution : Pour comparer deux onctions, on peut étudier le signe de leur diérence : ( g)( x) = x² x = x( x ) Si x ] ;0] : g Si x [ 0;] : g Si x [ ; + [ : g x 0 + x ( x ) g g g g C C g Page 27 sur 27 Généralités sur les onctions