Économétrie des Marchés Financiers - Stratégies d'investissement

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1 Économétrie des Marchés Financiers - Stratégies d'investissement 1 Utilité esérée L'utilité est censée mesurer la satisfaction de l agent, fonction d'un revenu aléatoire Agent risquohobe: réfère un revenu certain à un même revenu eséré (et donc aléatoire) Rendement fl Risques fl Rendement Risques U (w) > 0 U (w) < 0 U On tentera donc de maximiser la satisfaction de l agent: maximun E [U(w)] Il y autant de f.u. que d agents. Déend de l aversion our le risque de l agent w Aversion relative our le risque = -w U"/U' = γ ne déend as du niveau de la richesse ma référée : f.u. en logarithme. Indice relatif d aversion au risque = 1, 2 Page 1 1

2 Utilité - exemle Quel revenu certain (salaire) souhaiteriez vous en échange d un revenu incertain (investissement)? Aversion aux risques : concavité de la f.u. E[U(w)] < U(E[w]) U à revenu égal, référence our le certain sur l aléatoire U(E[w]) U(w)=ln(w) loterie : w1=4 avec =0.5, w2=16 avec =0.5 E[w]= w1 + () w2 = 0.5*4+0.5*16=10 E[U(w)] U(w) E[U(w)] = U(w1) + () U(w2) = 0.5*ln(4)+0.5*ln(16)=ln(8)=U(8) Quel est le revenu certain équivalent au revenu aléatoire revenu aléatoire = équivalent certain + rime de risque 10 = Indifférence: équivalent certain (8) vs revenu aléatoire (10) référence revenu certain si revenu certain > 8 référence revenu aléatoire si revenu certain < 8 w Cas général: l = rime de risque U(E[w]-λ) = E[U(w)] rime risque absolue» - 1/2 U"/U' variance(w) rime risque relative (en %)» - 1/2 W U"/U' variance(w) our de faibles variations, ar un déveloement de Taylor aversion relative = - <W> U"/U' = 1 our une f/u. en log Exemle : ortefeuille d'actions, avec rendement=10% volatilité=40%, rime de risque = variance/2 = /2= 8%, équivalent certain (salaire) = 10%-8%=2% our un équivalent salaire de ar an, il faut générer une erformance 5 fois lus grande sur un ortefeuille de 5 millions et encore l'aversion au risque est faible 3 Kelly Kelly (1956 Bell Labs) avec Shannon, ose le roblème suivant: gain = doublement de la mise, avec une robabilité 1/2<<1 erte de la mise, avec robabilité q= Quelle roortion f du caital doit on miser? f =levier si =1 : levier infini si <1 Si f=1, corresond au critère du maximum de l'esérance mais c'est la ruine assurée dès la remière erte. Si f=0, on ne rofite as d'un réel avantage => f comris entre 0 et 1 Solution de Kelly : maximiser le taux de croissance. On cherche à maximiser la moyenne du taux de croissance <=> maximiser la moyenne géométrique <=> Taux de croissance équivalent certain <=> Maximiser une fonction d'utilité logarithmique sur une seule ériode sous certaines conditions (ergodicité) Wn = valeur du ortefeuille à la ériode n 1/n Wn/W0 = 1/n [log Wn/Wn-1+log Wn-1/Wn-2+. log W1/W0] E log W1/W0 4 Page 2 2

3 Kelly (formules) G G* 0.1 f f* En étroite relation avec la notion d'entroie. H= - log - q log q Maximiser G <=> minimiser l'entroie H <=> maximiser la rédictibilité d'un signal (au sens Shannon) 5 Kelly (exemle) G f f* G f =0.53 q=0.47 f*= G*= G =0.7 q=0.3 f*=-q=0.4 et G* ~ 8% soit Il vaut mieux sous estimer que sur estimer f* our f ~ 2*f* G<0, on erd ar contre our f ~ f*/2 G ~ 6%, soit 25% de manque à gagner, seulement 1.Pour un avantage aussi minime soit il (=0.53), le taux de croissance reste resectable G*~ 1.8% (doublement en 385 cous) mais le levier doit rester très faible : 6% 2. Les ertes interviennent dès 12% de levier. à f ~ 60%, taux de croissance robable ~ -18% arès 12 ériodes, le caital restant le lus robable n'est lus que 11% du caital initial ex(-0.18*12) Il vaut mieux "sous-arier" que "sur-arier" En trading, faut faire comme les anglais: roulez à gauche =0.9, q=0.1 f*=0.8 et G~36.8% gains très élevés, G chute très raidement au delà de f* encore une fois mieux vaut sous estimer f* 6 Page 3 3

4 Mieux comrendre Kelly (1+f) 5 Portefeuilles exonentiels, fortement imrobables (1+f) 2 (1+f) 3 (1+f) 4 (1+f) 4 (1-f) (1+f) 3 (1-f) L'esérance du ortefeuille E(Wn/W0) = E(W1/W0) n =((2-1)f+1) n est constituée de termes exonentiellement grands et fortement imrobables (1+f) (1-f) (1+f) 2 (1-f) (1+f)(1-f) 3 (1-f) 4 (1+f) 3 (1-f) 2 (1+f)(1-f) (1+f) 2 (1-f) 2 (1+f)(1-f) 2 (1+f) 2 (1-f) 3 (1-f) 2 (1-f) 3 (1+f)(1-f) 4 Kelly Maximiser le ortefeuille médian Maximiser la moyenne géométrique des P&L (1-f) 5 le ortefeuille de Kelly est aussi le ortefeuille médian Quasi nul, mais as de risque de ruine. Proriétés analogues à la distribution log normale : de fait, log (Wn/W0) eut être aroché ar une loi normale log (Wn/W0) gaussienne moyenne variance 7 erformance TWR = valeur terminale du ortefeuille arès N ériodes risque= levier*volatilité Le levier se traduit directement terme de niveau de risque sigma(levier) = levier * sigma, si bien que l'on eut rerésenter la valeur terminale robable TWR en fonction du risque. La erformance n'est as croissante avec le risque, mais atteint un maximum corresondant au levier otimal. 8 Page 4 4

5 Kelly - Alication modèle binomial et Futures (suite) gain: w %, avec robabilité=, erte: l %, avec robabilité=q= g= log(1+fw)+q log(1-fl) f*=(w-ql)/(wl) = a/(wl) avec a= w-ql esérance arithmétique Exemle: contrat Future CAC40, stratégie de tye bracket trading encadrement des gains + des ertes rofit exit à +20 ts et stoloss à -20ts, un trade ar jour croissance 60% 50% 40% 30% 20% Kelly Buy&Hold 10% jours 0% sous jacent en ts S 3000 multilicateur m 10 valeur contrat m*s Systeme de trading delta ts ts 20 cout c 4 gain/contrat W=m*ts-c 196 erte/contrat L=m*ts+c 204 roba gain 0,54 roba erte q= 0,46 robacritique c=l/(w+l) 0,510 gain en % sous jacent w 0,65% erte en % sous jacent l 0,68% Esérance a= w-q l 0,040% Kelly f* f*=a/(w l) 9,00 taux de croissance / trade G*= ln(1+f w)+q ln(1-f l) 0,180% nb trades n 250 taux de croissance global ex(ng*) 1,57 % 56,96% catial requis ar contrat W L /(W-qL) 3332 caital nombre de contrats 3 marge / contrat 2400 n contat/marge 4,2 Caital ar contrat = WL / ( W-qL)= K n contrats = arrondi.inf(caital/k) 9 Kelly - Exemle Futures (suite) Exemle tye contrat DAX, multilicateur = 25 delta trading à +/- 20 ts, robabilité gain = % 1800% sous jacent en ts S % Kelly Buy&Hold multilicateur m % valeur contrat m*s % Systeme de trading delta ts ts % cout c 4 800% gain/contrat W=m*ts-c % erte/contrat L=m*ts+c % roba gain 0,58 200% roba erte q= 0,42 robacritique c=l/(w+l) 0,504 0% jours gain en % sous jacent w 0,66% erte en % sous jacent l 0,67% Esérance a= w-q l 0,101% Kelly Soit lus de 1000% / an!!!! Cherchez l'erreur.. f* f*=a/(w l) 22,80 taux de croissance / trade G*= ln(1+f w)+q ln(1-f l) 1,161% Suose être investi avec levier 22 sur future DAX : nb trades n 250 quasiment 100% de la marge!!! taux de croissance global ex(ng*) 18,21 % 1720,67% Avec 55 contrats en fin de ériode!!! catial requis ar contrat W L /(W-qL) caital nombre de contrats 3 roblèmes? marge / contrat n contat/marge 4,2 P(gain) tro otimiste? caital en fin de eriode Stationnarité des robabilités? n contrats 55 sliage? (gain et ertes réelles!= attendues) Buy & Hold f*/2 11 avantage vs taille des ordres vs Liquidité? G(f*/2) 0,87% Comlexité oérationnelle avec la taille? 8,77 10 croissance Page 5 5

6 Sensibilité Très grande sensibilité du levier en fonction de la robabilité de succès delta(levier) = 2S/ts delta() = 600 delta() delta()=0.01 => delta(levier)=6!!! 60 levier succès Grande sensibilité du levier vs estimation des gains et ertes. exemle récédent : bracket trading autour de 20 ts sur DAX, avec (succès)=0.58 => f* 22 si le gain asse à 19 ts au lieu de 20 ts, ou la erte asse à 21 ts au lieu de 20, f* asse à 7 au lieu de 22!!! Or: l'esérance d'un erte est lus souvent lus grande qu'attendue et celle d'un gain lus faible les raisons euvent être multiles : sread (bid/ask), chasse aux ordres sto, b de liquidité, stoloss en situation de krach, 11 Désir et réalité Performance Les ositions ne euvent ar être multiliées à l'infinie sans tenir comte de facteurs qui détériorent la erformance: - liquidité - rofondeur de marché (imacts) La stratégie de Kelly suose le même succès avec 55 contrats qu'avec un seul: c'est faux La robabilité gain décroît avec la taille Raelez vous sur-estimer le levier est catastrohique. or le levier est très sensible à la robabilité de gain... Taille des ositions => estimation réaliste des robabilités de gain en fonction de la liquidité et autres facteurs de risque stratégie moins agressive (Kelly Fractionnel) diversification multi suorts / multi stratégies 12 Page 6 6

7 Exemle levier otimal - marché action Comaraison Buy&Hold et stratégie otimale active: Le critère de Kelly est la stratégie otimale: le ortefeuille le lus robable croit de manière exonentielle W(T)=ex(T share 2 ) W0 share= µ/σ LES DANGER D'UN LEVIER TROP ELEVE: exemle: + 25% ou -15% ar mois avec robabilités 50/50 Avec une levier de 5, our une mise de déart de 100, au bout de 12 mois, le caital robable est de 3!!!! Le levier otimal est 1.33 = ( *.15)/(.25*.15), gain géométrique moyen = 3%, gain robable au bout de 12 mois = 47% ce qui est fort différent d'une erte de -97% avec un levier de 5!!! Ruine certaine si levier = 1/erteMax = 6.67, risque élevé et erte, si on utile un levier = 2 * levier otimal!!!! Les rendements sont multilicatifs. Arès une erte de 50%, il faut 100% de hausse our se "refaire"... En revanche : utiliser un levier rudent = levierotimal/2, entraine un manque a gagner de 25% seulement. 13 Exemles Un levier constant amlifie les hausses et les baisses un levier tro grand (5) conduit a des ertes raides Fonctionne mieux en ajustement intraday sur futures avec faibles coûts de transaction: levier de 2 du sous jacent <=> ncontrats = 0.2 Caital / valeursousjacent ncontrats= levier Caital / multilicateur * valeursousjacent 14 Page 7 7

8 Exemles (suite) Plus de 60 fois la valeur du NASDAQ et ourtant le levier n'est que de 2 NASDAQ Utilisation d'un levier constant ~ 2 S&P 500 Peut mieux faire en intraday future, avec une estimation dynamique des volatilités: taux sans risque : r 2% µ= rendement+σ 2 /2, rendement 5% levier otimal (σ)= (µ-r)/σ 2 = ½ / σ 2 Oortunités en ce moment (Nov. 2003)? car faible volatilité (historique) et rerise économique => autorise des leviers lus élevés 15 NASDAQ en levier 5 Levier 5 démontre le caractère exonentiel de la stratégie : NASDAQ * 3500!!! bien loin de NASDAQ*5 exlosion à la hausse mais imlosion à la baisse. Reste quelques cents 16 Page 8 8

9 Ajustements dynamiques Les stratégies de tye Kelly (ou basées sur une fu isoélastique) nécessitent des ajustements ermanents, afin de maintenir une roortion constante ("Constant Rebalanced Portfolios"): Soit un ortefeuille d'une valeur 1000 avec seul actif risqué de valeur unitaire 10, avec un levier de 4. On détient donc 400=(1000/10)*4 unités de l'actif. Le mois suivant, l'actif erd 20%, l'actif asse à 80. Le levier étant de 4, la erte en caital est quatre fois lus imortante, la valeur du ortefeuille devient 3200=400*80!!! Pour maintenir un levier constant de 4, il faut ajuster le nombre d'unités en fonction : des nouvelles valeurs du ortefeuille (3200) et l'actif 80, soit un nombre d'unités : 160=(3200/80)*4, il faut donc alléger de =240 unités, soit de 60% =(4-1)*20% (cf ci dessous) On doit ajuster la quantité our vérifier : f<1 δq δs < 0 CONTRARIEN on doit ajuster en sens inverse de la variation: acheter lorsque l'actif baisse, vendre lorsque l'actif est en hausse. Donc f>1 δq δs > 0 SUIVEUR on doit acheter lorsque l'actif monte et vendre lorsqu'il baisse. f=1: on est investi à 100% dans l'actif risqué, et on le restera même en cas de hausse ou de baisse de l'actif. 17 Kelly - Distribution quelconque (r) distribution des rendements discrète ou continue Distribution continue Distribution discrète des rendements r i, avec robabilité i f* solution de : f* solution de : solutions arochées au second ordre: G G* 3/4 G* Exemle: ertemax=20% alors f* << 5 G f<r>- f 2 <r 2 >/2 f* <r>/<r2 > f* 18 f*/2 Solution arochée (très grossière) f Page 9 9

10 Allocation otimale inter-temorelle en tems continu Merton - Continuous Time Finance Recherche de l'allocation otimale x On retrouve les mêmes résultats que dans le cas mono-ériodique avec Γ la matrice de covariance, ρ le vecteur des rendements (ρ i = µ i -r), r le taux sans risque, γ l'aversion relative au risque. Solution ar contrôle otimal stochastique (Hamilton-Jacobi-Bellman) Cas mono actif Cas d'actifs (ou stratégies) non corrélées Résultat remarquable, sachant que µ et σ euvent déendre du tems Mais: 1. suose que les roortions sont ajustées en continu 2 ne tient as comte des coûts de transaction. résultats analogues au CAPM à la différence essentielle que: - le CAPM est mono ériodique - Kelly (ou Merton) est multi-ériodique - dans le cas de Merton, les ondérations varient, mais faiblement => réajustements toujours nécessaires Alicable à tout rocessus, as seulement I(1) Merton est alicable à des rocessus de retour à la moyenne (OU), 19 Levier otimal - cas continu - exemle mono actif Exemle d un modèle lognormal la stratégie otimale consiste à maintenir un ratio constant dans l actif risqué : γ = aversion au risque γ=1, our un f.u. en logarithme. Exemle: action/indice classique: CAC40 rime risque µ-r 4%, σ = volatilité 25% => f=(µ-r) /σ 2 = 0.04/0.25^2 = 0.64 => investi à 64% en CAC40 (si fu en log) : MEDAF: le marché se comorte comme un investisseur ayant dont l'aversion au risque est γ = σ 2 /(µ-r) Exemle f* tels que mesuré f* mesuré deuis CAC DAX E DJI NASDAQ f* ~ 1 : traduit une hyothèse de non arbitrage Kelly vs Buy& Hold? 20 Page 10 10

11 DJI AA AXP BA C CAT DD DIS EK <r>/sigma^2 our les actions comosant le DJI, deuis le 2 janvier 1962 au 6 mars levier moyen f* 1.4 GE GM HD HON HWP IBM INTC IP JNJ JPM KO MCD MMM MO MRK MSFT PG SBC T UTX WMT XOM simga^ y = x + 6E-05 R 2 = <r> 21 Comment gagner sur une actif qui erd Non seulement on eut battre le sous jacent avec un levier < 1 mais on eut gagner sur un sous jacent qui décline!!! ln S T /S 0 ~ gaussienne moyenne (µ - σ 2 /2)T et variance σ 2 T Le rendement moyen eut donc être 0, mais µ>0 si Rendement = 0, l'action reste stable Kelly gagne tout en restant à l'achat sur un actif qui erd!!! Une stratégie active ermet néanmoins de gagner en restant investi à 50% à tout instant car R=0 => µ= σ 2 /2 > 0 => levier f*=µ/σ 2 =0.5 taux de croissance otimal G*(r=0) = ½ µ 2 /σ 2 = σ 2 /8 si σ=40% G*(r=0)=2% / an as tro mal our une action qui stagne et lus elle est volatile meilleure est la erformance!!! si σ=100% G*(r=0)=12.5% / an Fonctionne aussi our R<0, dans la limite µ>0 donc µ < σ 2 /2, dans ce cas f<1/2 f* eut être négatif (vente à découvert) Source maslov, Zhang La stratégie de tye Kelly (ortefeuille CRP) eut être vue comme un système de "cature" de la volatilité Comatible avec l'efficience des marchés: l'effet de la stratégie de Kelly sera de réduire de la volatilité "une centrale hydraulique qui va caturer une énergie roduite ar la hauteur des vagues, aura our effet de réduire la hauteur des vagues, mais eut on imaginer un océan sans vagues ni temêtes. " COVER 22 Page 11 11

12 Levier et Share Share ~ µ/σ, une autre mesure du rendement corrigé du risque Relation Kelly avec Share: Otimiser le taux de croissance est assez roche de l'otimisation du ratio de Share. Share déend du tems : (En remière aroche) si un facteur d'échelle en 0.5 le levier otimal ne déend as du tems f*(intraday)=f(jour)=f(mois)=f(année) our être considéré comme une bonne stratégie, le Share annuel doit être > 2 f ~ µ/σ 2 => f=share/ σ donc si Share=2 et σ=10%, sur un seul actif, suose un levier f= 20!!! 23 Share Non faisable Otimal: ente = ratio de Share Sous otimal r=(1-x) r f + x r m σ = x σ m => r=r f + σ (r m - r f )/ σ m 24 Page 12 12

13 Drawdowns Drawdowns = erte historique deuis le dernier lus haut mesure de risque agressive: Drawdown Le Drawdown s'exrime aussi en %: D% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/D, Probabilité (D%>x%) = P(D>1/(1+x)) ratio de sterling = rendement / maxdrawdown% exemle exigence forte: 30% rendement annuel, max drawdown 10% (Sterling=3) A B C D E F G H drawdowns A/B C/D C / F C / H I.. Loi universelle: les queues de distribution des drawdowns suivent une loi uissance Avec Γ solution de Modèle binomial: gain Λ avec robabilité, erte - Λ avec Cas gaussien 1/Γ rerésente le drawdown robable. 25 Kelly et les drawdowns Hyothèse : investissement dans un actif risque de rendement (instantané) µ et volatilité σ 2 Portefeuille de Kelly se comorte comme un rocessus gaussien multilicatif: Exosant de la densité des Drawdowns Le drawdown est sur le oint de diverger esérance et variance infinies Résultat universel: indéendant de la distribution des rendements!!! Justifie, encore une fois, l'intérêt d'utiliser des stratégies moins agressives (kelly fractionnel) Avec f*/2, l'esérance et la variance sont finies 26 Page 13 13

14 Drawdowns (suite) Exemles τ = 4 Prob(erte historique > 50%) ~ 12,25% 50% <=> caital/2 deuis le lus haut historique τ = 4 corresond à un Kelly/2 t = 2 Prob(erte historique > 50%) ~ 50%!!! τ = 2 corresond à Kelly Une méthode simle our définir une gestion cohérente: exigences de gestion: rendement 30% ar an max drawdown, ne doit as déasser 10% (au seuil de 5%) P(D>-drawdown) DD% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% DD=Wmax/W tau DD% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/DD DD=1/(1-DD%) Probabilité (DD%>x%) = P(DD>1/(1+x)) => τ > 30 DD%=10% DD=1/(1-0.1) P(> DD) ~ DD^(- τ-1)< 5% τ > 1+log(0.05)/ log(1-0.1)=29.43, τ =2µ/σ 2 et µ=30% => σ < 15% => share = µ/σ > 2 Si une stratégie de tye Kelly (roortion constante), sous entend d'utiliser un levier 15 fois inférieur à celui de Kelly aversion relative our le risque de l'ordre de Kelly Fractionnel Malgré la rise en comte des risques, le levier otimal de kelly reste agressif, Une mauvaise estimation des aramètres eut conduire à une sur estimation du levier et donc: décroissance raide du caital dans des drawdowns sévères Il est lus "rudent" d'utiliser des fractions du levier otimal: se lacer à f*/2, f*/4. Kelly Fractionnel: utiliser un levier f=δ f*, avec 0<δ<1 <=> maximiser la fonction d'utilité U(w)= w 1- γ /(1- γ) γ est l'indice d'aversion relatif our le risque: lus γ est grand et lus l'agent est risquohobe. À la limite γ = 1, la fonction d'utilité est le logarithme. δ γ utilité G*(δ )/G* 1/2 2 -w /3 3 -w /4 4 -w le levier otimal est f*(γ)= 1/ γ µ/σ 2 28 Page 14 14

15 Caculs des coûts de transaction 29 Investissement "otimal" et coûts de transactions Imact très imortant des coûts de transaction sur une gestion active Cette stratégie exige un ajustement ermanent our maintenir un ratio constant dans l'actif risqué: soit "f" ce ratio, l'ajustement quotidien devrait être de l'ordre de (f-1)*variationactif f=1 on est investi à 100% en ermanence. f<1, on est contrarien... hausse => vente, baisse => achat f>1 on est suiveur de tendance: hausse => achat, baisse => vente Il existe des "no trade regions" : re-équilibrage uniquement lorsque le ratio sort de bornes f max, f min, exemle µ=12,5%, σ=20%, f=0.6, avec des coûts de 0,5%, ne as faire réajuster tant que f reste dans un intervalle de l'ordre de 10% autour de f. La région de "non trading est roortionnelle à la racine cubique des coûts (ref: Leland, Baviera, ) si c= coût % Si µ/σ 2 0 ou 1, f 0 f maximum our µ/σ 2 0.5, le sous jacent est quasi stable (rendement = µ σ 2 0) ermet de retrouver la variation nécessaire de l'actif our sortir de la zone de "non trading" 30 Page 15 15

16 Levier, coûts de transaction et taux de croissance 31 Quantités Les quantités ne sont as indivisibles. Pour justifier d'un réajustement encore faut il que δq soit entier (eut oser robl ème sur futures notamment ) δq=1 Conclusion : en raison des coûts et des quotités, il n'est as ossible d'ajuster en ermanence: Quelle conséquence sur le taux de croissance? la ondération otimale w* réalise le maximum du taux de croissance => 32 Page 16 16

17 Levier otimal, asymétries, valeurs extrêmes Le levier otimal est très sensible aux lus fortes ertes donc aux queues de distribution: Le levier otimal est d'autant lus faible que: - la distribution a une asymétrie négative - la kurtosis est grande ce qui est le cas de la luart des actifs financiers!!! Mn= moment d'ordre n =E(r n ) Cas d'une distribution, avec queue en loi uissance Source: Thèse de Baviera 33 Estimation du levier otimal Estimations indéendantes de µ et σ (voir arès) Estimation directes: résoudre L'erreur d'estimation du levier est en 1/σ estimation d'autant meilleure que l'actif est volatile!!! Cas multivarié et cas général: Les contraintes ouvant être arbitraires (vente à découvert ou as, contraintes sur actif articulier, secteurs, coût de transactions, ) : nécessite des rogrammes comlexes d'otimisation dans le cas général sinon, on ourra utiliser une remière aroximation, du monde gaussien sans contraintes Monde gaussien avec contraintes Méthodes adatatives et itératives: voir Portefeuilles Universels 34 Page 17 17

18 Kelly-Conclusion (rovisoire.) Stratégie otimale avec le meilleur taux de croissance (si iid) Le taux de croissance = taux de croissance certain équivalent (eut être comaré au taux sans risque) minimise aussi la durée our atteindre un objectif le risque de ruine n'existe as en rincie Points critiques : Stratégie très active : maintenir un ratio constant a tout moment => tenir comte des coûts de transaction. Risque imortants en cas de déassement du levier otimal, les drawdowns euvent être sévères Positions ouvant être imortantes => Kelly Fractionnel Suose une modélisation correcte: nécessité une estimation correcte des rendements et risques attendus. le lus délicat étant l'estimation des rendements mais. Il existe aussi des méthodes "non aramétriques" 35 Exemle Kelly adatatif (et universel) Phase d'arentissage Mesures de erformance: Share, Sterling Sterling= erformance/maxdrawdown 36 Page 18 18

19 Kelly adatative (suite) Gain > x 1000 Krach de 87 le levier est très sensible aux fortes ertes aura du mal a s'en remettre Échelles logarithmiques!!! Richesse finale = , soit ~ un facteur de l'ordre de ^FCHI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) otimal F in Hindsight Adatative ^GDAXI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) otimal F in Hindsight Adatative ^SSMI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) otimal F in Hindsight Adatative ^STOXX50E from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) otimal F in Hindsight Adatative A noter, la méthode adatative fait mieux que le meilleure CRP a osteriori!!! 38 Page 19 19

20 Estimation de la tendance Estimation à artir des rendements historiques: le meilleur estimateur est la moyenne: r = ( r i )/n avec r i = ln(s i /S i-1 ) se réduisant à r = ln(s n /S à ) /n les valeurs intermédiaires ne servent as!!! On a interet à choisir la ériode la lus longue ossible. Vous avez dit tendance? Pour un actif ~ lognormal (5%,20%) intervalle de confiance an à 95% ~ 5% ± 1.64*20%!!! N'est ertinent que lorsque r devirent ~ σ, c'est à dire au bout de T tq Tr ~ T ½ σ, ie. T ~ σ 2 /r 2 =0.2 2 / = 8 ans nota: tems caractéristique = 1/share 2 Si Share annuel = 2, on ourra juger de la ertinence du rendement au bout de 3 mois de tracking seulement!!! Finalement, our aliquer Kelly, dans un modèle aramétrique en f=µ /σ 2 il faut estimer deux aramètres essentiels: µ et σ le lus délicat est l'estimation de µ a moins de le définir ex ante: en renant ar exemle le taux des dividendes 39 Estimations de la volatilité L'estimation de la volatilité est essentielle: gestion du risque, ricing dérivés, leviers, Estimation à artir des cours de clôture (ou last) Riskmetrics (JP Morgan) µ=0.94 soit tems caractéristique de 16 jours ouvrés, soit 3 semaines environ GARCH(1,1) Les estimateurs utilisant les lus haut / lus bas sont beaucou lus efficaces (x10) et réactifs La mesure du range (lus haut - lus bas) est armi les meilleurs estimateurs de volatilité Méthodes utilisant les extremums: Rogers Satchell, Parkinson, Garman Klass, True Range Maximum de vraisemblance de la distribution des +haut et +bas Estimateur utilisant tous les ticks: Zhou et variantes 40 Page 20 20

21 Estimations de la volatilité (suite) Pourquoi utiliser les lus haut et lus bas? - utilise toutes les données disonibles - les extremum sont des mesures agrégées sur toute une ériode: les oen/close ne sont que hotos à des moments récis - ermet d'effecteur des mesure lus récises, robustes et réactives (meilleur résultat avec moins d'historique) 41 Estimateur de volatilité ar maximum de vraisemblance avec Oen/Close/High/Low Source: Malik Magdon Ismail, Amir F. Atiya Volatility Estimation Using High, Low, and Close Data (Algorithmes imlémentés dans YATS) 42 Page 21 21

22 Estimateurs de Volatilité Les estimateurs utilisant les lus haut / lus bas sont : - lus réactifs aux changements de régime - lus lisses (indicant une moindre variance) 43 Backtests et Data Snooing Risque de Data Snooing: Trouver des stratégies qui ne sont que des artefacts dans les données. Essayer de très nombreux systèmes avec de très nombreux aramètres, éventuellement otimiser ces aramètres ne sélectionner que les meilleurs, sans savoir ourquoi ils fonctionnent => forte robabilité our ne sélectionner que des Snooy: c'est à dire des systèmes qui fonctionnent à merveille sur le assé et vont se révéler catastrohiques en réel. DATA SNOOPING dans une marche aléatoire: Prenons le cas d'une marche aléatoire, avec un certain nombre de data générée, rerésentant un historique de marché dans ce cas E[gain de tout système] est <0 = coût de transaction on réalise des backtests de 900 trades de quoi donner confiance au trader, confiance illusoire Essayons lusieurs milliers de systèmes disons (il suffit de tester un système avec 4 aramètres ouvant rendre 10 valeurs différentes) avec des erformances additives: erf globale = erf trades la erformance globale est une v.a. (gaussienne, le théorème de la limite centrale) de moyenne nulle et variance(erf globale)=n variance(trade) (1+2ρ) suosons σ(trade)=1500, et autocorrélation ρ=0.3> 0, car on utilise des sto loss. variance(900 trades) = au lieu de si as d'ac (l'ac > 0 des trades entraîne un risque lus élevé) les 10 meilleurs systèmes sur essayés corresondent au quantile 10/10000 de la gaussienne N(0, 45000) soit une esérance de gain de 195 ar trade our le lus mauvais des 10 meilleurs!!! Avec une bonne t-stat=3.9 Si on a affaire à des queues lus éaisses, l'illusion sera encore lus aveuglante. Comment éviter le data snooing? - modélisation + exlication des anomalies 44 Page 22 22

23 Trading et modélisation Modélisation = simlification du réel Exemle de modèles: croissance otimale / cature de volatilité mean reversion (series AR(1), ARIMA, avec coefficient de rael) Pairs trading, co intégration, Chaînes de Markov, recherche de solutions analytiques ou ar simulation de Monte Carlo Fit: Data réelle = Modèle + ε 0 Simulations: Data Synthétiques = Modèle + ε 1, avec ε 1 ε 0 A la différence essentielle que l'on eut générer autant de données que nécessaire our "résoudre" le système, trouver les aramètres otimaux, le maximum de la fonction objectif (exemle utilité horaire), sans souçon de data snooing ou surotimisation. On reorte le risque de data snooing sur le risque de modèle: Inadéquation du modèle, Mauvais usage du modèle, Aroximations grossières, Bugs dans le déveloement, Données instables, 45 backtesting Définir le système de trading: traduire l'idée en modèle, uis en règles claires et non ambiguës, ouvant donner lieu a rogrammation cohérentes comlètes: révoir tous les cas Définir sa fonction d'utilité Se lacer dans des conditions les lus fidèles Prise en comte des coûts de transaction de la fourchette bid/ask, ou sinon du sliage (ersatz de sread lorsqu'on ne disose as de tous les ticks) délais de transmission des ordres et des riorités à l'exécution, Tester et backtester sur les données du marché ou ar simulation de monte carlo. Otimisations: avec rudence sur les données réelles, sans modération sur les modèles. études de sensibilité aux valeurs des aramètres à des étalons : au système de trading idéal et arfait, au système aléatoire 46 Page 23 23

24 Critères de erformance et contraintes On doit choisir une fonction d'utilité à otimiser armi: - la fonction d'utilité classique : isoélactique (logarithme, uissance), - une utilité terminale ou utilité ar unité de tems exemle: on ourra chercher à otimiser l'utilité/jour en rincie, l'utilité/jour devrait donner une idée du revenu certain équivalent (à comarer à un salaire, ar exemle) - le ratio de Share : rendement/volatilité - le ratio de Sterling : rendement/maxdrawdown - une énalisation des erformances (essimistic ratio de Pardo) - minimiser la VaR Ajouter à cela des contraintes Sur la fonction objectif: exemle: rejet de toute solution dont - le maxdrawdown serait > 10% - le nombre de trades serait jugé insuffisant (our des raisons de signification statistiques, ) - etc Sur les aramètres du système: marge? la somme des ondérations libre ou contraintes = 1 ou =X avec X = levier uatorisé vente à découvert? (ondération<0?) maximum/minimum sur certaine actifs, classes d'actifs, contraintes sur les aramètres des indicateurs techniques, 47 Sto Loss Le Sto Loss est une ratique courante our limiter les ertes Exemle: osition sur CAC40 Future, sto loss à -10ts de erte => ermet de s'assurer que la erte ne déassera jamais 10ts. Oui mais si on continue et sans traitement comlémentaire, le résultat sera le même Si une stratégie est mauvaise, elle restera mauvaise, même avec sto loss. Sto loss Sto loss Sto loss En général, le sto loss fait aaraître des autocorrélations ositives. 48 Page 24 24

25 Auto corrélation des trades En général la série des trades d'un système de trading résente de fortes auto corrélations ositives (mauvaise modélisation, ). Tout n'est as erdu: on eut aliquer un système "anti autocorrélation" exemle: Win=20, Loss=-20 Cost=4 robabilité(win)=0.5 Système brut : erte : Avec traitement Anti AC: gain de 544!!! Système ultra simliste: si AC >0, alors les roba(erte erte)>0.5, il suffit alors d'arrêter arès une erte, et rerendre arès le remier gain... erte constatée arrêt trading réel, assage en mode virtuel gain virtuel: rerise du trading réel Arès traitement, il n'y a lus d'autocorrélation évidente Utilisation ossible d'algorithmes lus sohistiqués de rédiction on line 49 Page 25 25