Corrigé du baccalauréat S Asie 16 juin 2009

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1 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 9 EXERCICE. a. On a : p (F ) ; p (F ). Puis : p F () 5 ; p F (),5 5 ; p(), F F F b. Cette probabilité est égale à p (F ) p F () 4 5. c. e la même façon cette probabilité est égale à (troisième branche) à. d. On a p (F ) p (F ) p (F ). autre part p() 7 p (F ) p F ()+p (F ) p F ()+p (F ) p F () [ 7 p F () p F () 4 ] [ ] [ 4 5 ]. On a donc p (F ). e. On a p F () p (F ) p (F ).. a. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de chaussettes défectueuses sur un tirage de chaussettes. Elle suit une loi binomiale de paramètres n et de probabilité p(), 5. Or p(x ),5 (,5) 4 5,5,95 4,594, (au millième près). b. Cette probabilité est égale à p(x )+p(x ),5 (,5) +,5 (,5) 5,8754+,7574,98,98 (au millième près).

2 EXERCICE Réservé aux candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. C( i) et ( i). a. éterminer l écriture complexe de r. z e i π z z iz. b. OBEF étant un carré, r (B)F, donc f ib. c. On a OB F E b e f e b+ f b+ ib b(+i).. OFG est un parallélogramme si et seulement si O FG d g f g d+f i+ib i(b ). e g b(+i) i(b ) 4. b+ i (b+ i)(+ib) c g i i(b ) ib ( ib)(+ib) i ( b + ) +b i. e g ( Il en résulte que arg GC, GE )arg(i) π c g. EXERCICE Réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. a () (7) onc 9 est solution du système. b. N 5 () signifie : il existe y Z tel que N y+ 5 ; e même N (7) signifie : il existe x Z tel que N 7x+. Toute solution N du système peut donc s écrire de deux façons : y+57x+. Il en résulte que 7x+ y 5 7x y 4, avec x Z, y Z. c. Une solution évidente saute aux yeux : le couple ( ; ) On a donc le système : { 7x y 4 (par différence 7 4 7(x ) (y ) 7(x ) (y ) (). 7 étant premier avec, il divise d après le théorème de Gauss, (y ) ; il existe donc k Z tel que y 7k y 7k+. En reportant dans l équation (), on obtient 7(x ) 7k x k x k+. Les couples solutions s écrivent sous la forme (k+ ; 7k+ ), k Z. d. On a vu que N 7x+ 7(k+ )+ k+ 7+ k+ 8. { N 5 () e. On a déjà démontré ci-dessus que N 8 (). N (7) Inversement : N 8 () N q+ 8 7 q+ 87 q+ 7+ N 7(q+ )+ N 7. e même on peut écrire N q q q + +5 (7q+ )+5 N 5 [].. a. La réponse est oui s il existe un nombre N de la forme k. après le petit théorème de Fermat : 7 est premier et est un entier non divisible par 7. On sait qu a lors 7 [7] [7]. { b. On a vu que l l 5 [] 8 [] l [7] Or Asie juin 9

3 [] 9 [] [] 4 [] 5 4 [] [] ans la division par, tous les nombres l ont donc comme reste : ; ; ; 4 ; 9, mais jamais 5. Conclusion : il n existe pas d entier l tel que l 8 []. EXERCICE points Partie A : existence et unicité de la solution. f est une somme de fonctions dérivables sur ] ; + [ : elle est donc dérivable sur ] ; + [ et f (x)+ >. x La fonction f est donc croissante sur ] ; + [.. On a : - lim f (x) ; x - lim f (x)+. x + Comme la fonction f est croissante sur ] ; + [ il existe un réel unique α> tel que f (α).. f + ln ln<. f ()+ln +>. [ ] On a : f <, f ()> et f croissante sur ;, donc α. Partie B : encadrement de la solution α. Étude de quelques propriétés de la fonction g. a. g est une différence de fonctions dérivables sur ] ; + [ ; elle est donc dérivable et f (x) ( 4 ) 4x qui est du signe de 4x, donc négative ] 5 x 5 x sur ; ] [ [ et positive sur 4 4 ; +. ] g est donc décroissante sur ; ], puis croissante. 4 [ ] b. Sur l intervalle ;, on vient de voir que g est croissante. onc : x g g (x) g (). Or g ln +ln,5>,5 et g () 4 ln <. Conclusion : x g (x). Asie juin 9

4 c. On a (E) : g (x) x f (x). 4x ln x x 4x ln x 5x x+ln x 5. a. Initialisation : u, on a vu que u g (u ),5. onc u u. Hérédité : supposons qu il existe p N tel que u p u p+. une part u p g ( u p ) soit u p+. autre part par croissance de la fonction g : u p u p+ g ( u p ) g ( up+ ), soit up+ u p+. La démonstration par récurrence est achevée. b. On vient donc de démontrer que la suite (u n ) croissante et majorée par converge vers une limite l. [ ] On a u n+ g (u n ). La fonction étant continue sur ;, la limite l vérifie : l g (l) c est-à-dire d après la question. c. vérifie x+ ln x f (x), dont l unique solution est α. Conclusion : la suite (u n ) converge vers α.. a. La calculatrice donne u,574 à près. b. On admet que :,574 α u + 5 4, soit,574 α,5754. onc au millième près :,57 α,58. EXERCICE 4 4 points. La fonction constante x est solution de l équation et les solutions de l équation y + y sont de la forme x K e x. Les solutions sont donc de la forme : f (x)k e x +. Or f () K+ K. onc réponse ().. G, I et A sont alignés si G est le barycentre de I et A, ou encore par associativité le barycentre de (B, ), (C, ) et A. La bonne réponse est la ().. La perpendiculaire à P contenant A a pour équations paramétriques : x +t y t, t R z +t Le projeté orthogonal de A sur P est donc le point commun à cette droite et à P. Ses coordonnées vérifient donc le système : x +t y t z +t x y+ z 5 y z Réponse () x +t y t z +t + t ( t)+( +t) 5 x +t t +t 4t 4 x y z t Asie 4 juin 9

5 4. Question 4 La valeur moyenne de la fonction f est : m + x dx. Cette intégrale ne peut être calculée, mais sur [ ; ] : x x + x. + x Ces fonctions étant positives, on obtient en intégrant sur [ ; ] : dx + x dx dx, soit m. Or π,57, donc la seule réponse possible est la réponse (). Asie 5 juin 9