CLASSE : 2 éme Scciencces EPREUVE : MATHEMATIQUES. Durée : 2h

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1 DEVOIR DE SYNTHESE N 3 CLASSE : ém Sccnccs EPREUVE : MATHEMATIQUES Duré : h Exrcc : (3 ponts) Répondr par Vra ou Faux aux sx propostons suvants. Aucun justfcaton n st dmandé.. Après avor corrgé ls cops d un dvor d contrôl d ss élèvs, un profssur d mathématqus a rmarqué qu la moynn général ds élèvs état 8,47. a) Il décd d ajoutr,5 à chaqu not d contrôl, alors la moynn d class dvnt : 9,97. b) Il décd d augmntr chaqu not d 0%, alors la moynn d class dvnt : 9,3.. Sot ABC st un trangl rctangl n A t I l mlu du sgmnt [BC]. a) Alors la prpndcular au plan (ABC) n I st l ax du crcl crconscrt au trangl ABC. b) L plan contnant la drot (AI) t prpndcular au plan (ABC) st l médatur du sgmnt [AB]. 3. Sot (H) l hyprbol d équaton y dans un rpèr orthonormé O,, j du plan. x a) L cntr d (H) st l pont I(, 0). b) (H) n coup pas la drot (D) : y = x. Exrcc : (5 ponts) L plan st mun d un rpèr orthonormé O,, j.. Sot g la foncton défn sur \ par g(x). x On suppos qu la courb rprésntatv (C g ) d g st un hyprbol. a) Donnr l cntr I t ls asymptots d (C g ). b) Tracr la courb (C g ). x 3. Sot (C f ) la courb rprésntatv d f dans défn par f (x). x a) Justfr qu pour tout x, on a : f (x). x b) En dédur qu (C f ) s obtnt par un translaton à détrmnr d la courb (C g ). c) Tracr (C f ) dans l rpèr O,, j. 3. Sot h la foncton défn par h(x) = a) Montrr qu h st par x 3 x b) Tracr C h la courb rprésntatv d h dans O,, j. Exrcc 3 : ( 5 ponts ) On consdèr un tétraèdr régulr ABCD d arêt a. On pos I mlu du sgmnt [CD].. a) Montrr qu AIB st l plan médatur d [CD]. b) En dédur qu ls plans (AIB) t (BCD) sont prpndculars.. Sot G l projté orthogonal d A sur la drot (BI). a) Montrr qu (AG) st prpndcular au plan (BCD).

2 b) Dédur qu (AG) st l ax du crcl crconscrt au trangl BCD t qu G st l cntr d gravté d c trangl. 6 c) Montrr qu AG a Sot K l mlu du sgmnt [AG]. a) Calculr, n foncton d a, ls dstancs BK t IK. b) En dédur qu l trangl BIK st rctangl n K. Exrcc 4 : (3 ponts) On consdèr la sér statstqu suvant : Class [000,00[ [00,400[ [400,600[ [600,800[ [800,000[ [000,00[ [00,400[ Effctf Rcopr t complétr l tablau suvant : Class [000,00[ [00,400[ [400,600[ [600,800[ [800,000[ [000,00[ [00,400[ Effctf Cntr d class Effctf cumulé crossant. Détrmnr la class modal t la moynn d ctt sér. 3. Qull st la médan d la sér. Exrcc 5: ( 4 ponts) On consdèr la sér statstqu suvant : Valur x Effctf n Calculr l mod t l étndu d la sér.. Détrmnr la médan M t ls quartls Q t Q 3 d la sér. 3. Complétr l tablau suvant : x Total n x.n x.n 4. Calculr la moynn, la varanc t l écart typ d la sér.

3 Exrcc :. a) Vra ; b) Vra. a) Vra ; b) Faux 3. a) Faux ; b) Faux CORRECTION(proposé par Gusm.B) Exrcc : g(x). x a) (C g ) st un hyprbol d cntr I(, 0) t d asymptots ls drots d équatons x = t y = 0. b) La courb (C g ) :. Sot g la foncton défn sur \ par x 3. Sot (C f ) la courb rprésntatv d f dans défn par f (x) x x 3 x a) Pour tout x -, on a : f (x). x x x b) (C f ) = t (C g ) avc u u. c) La courb (C g ) dans l rpèr O,, j :.

4 x 3 3. Sot h la foncton défn par h(x) = x a) L nsmbl d défnton d h st D \, S x Dh alors (-x) Dh t h(-x) = b) La courb C h dans O,, j : h. x 3 x 3 hx ( ) x x donc h st par

5 Exrcc 3 :. a) On a : I st l mlu du sgmnt [CD], AC = AD = BC car l tétraèdr ABCD st régulr donc AIB st l plan médatur d [CD]. b) l plan (AIB) st prpndcular à la drot (CD) t la drot (CD) st nclus dans l plan (BCD) donc ls plans (AIB) t (BCD) sont prpndculars.. a) G l projté orthogonal d A sur la drot (BI) donc (BG) st prpndcular à (BI). Comm (AG) st nclus dans l plan (AIB) t l plan (AIB) st prpndcular à (BCD) alors (AG) st prpndcular au plan (BCD). b) On a : AB = AC = AD t (AG) (BCD) donc (AG) st l ax du crcl crconscrt au trangl BCD. D où BG= CG = DG t comm ABC st un trangl équlatéral alors G st l cntr d gravté d c trangl. c) L trangl AGB st rctangl n G donc Or AB = a t AG AB BG. BG BI BC CI a a a 3a a 6 Il n résult : AG a a a a a a Sot K l mlu du sgmnt [AG].

6 Dvor d synthès 3 a 6 a) K st l mlu du sgmnt [AG] donc KG AG donc 6 a 3 a 6 a BK BG KG a 3 6 t a 3 a 6 a a IK IG KG IB KG b) On a : a a 3a BK IK BI donc l trangl BIK st rctangl n K. 4 4 Exrcc 4 :. Complétr l tablau suvant : Class [000,00[ [00,400[ [400,600[ [600,800[ [800,000[ [000,00[ [00,400[ Effctf Cntr d class

7 Dvor d synthès 3 Effctf cumulé crossant La class modal d ctt sér st [800, 000[. La moynn d ctt sér st : 9900 x Calculons la médan M d la sér : L ffctf total N = 60 st par, N 30 n st pas un valur d l ffctf cumulé crossant M M d où M ; on obtnt M 676, Exrcc 5: On consdèr la sér statstqu suvant : Valur x Effctf n L mod d la sér st 5 t l étndu d la sér st 5 4 =.. Chrchons ls ffctfs cumulés crossants : Valur x Effctf Effctf cumulé crossant n L ffctf total N = 57 st mpar, La médan 3 0 M M : L quartl Q : M N d où M 3 9 ; on obtnt M 4,06 7 N 4, Q 4,5 3 0 Q 8 4, Q 8 d où 0,48 ; on obtnt Q 0,4 5

8 Dvor d synthès 3 L quartl Q 3 : 3N 4, Q 3 4, Q3 5 4, Q3 5 d où 0,87 ; on obtnt Q3 7, Complétons l tablau suvant : x n x.n x.n Total Calculr la moynn, la varanc t l écart typ d la sér. La moynn V 4, x 5,6, la varanc V, t l écart typ