LEÇON N 39 : 39.1 Réflexions et bissectrices Bissectrices de deux droites

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Laure Goudreau
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1 LEÇON N 39 : Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices pplications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangente à un cercle, Pré-requis : Géométrie affine et vectorielle ; Médiatrice, barycentre ; Projection orthogonale, réflexion : définitions et propriétés On se place dans un plan affine euclidien P (les angles orientés sont inutiles u collège, la bissectrice d un angle géométrique est définie comme étant un axe de symétrie 39 Réflexions et bissectrices 39 issectrices de deux droites Théorème : Soient D et D deux droites de P sécantes en un point O Il existe exactement deux réflexions échangeant D et D Leurs axes sont perpendiculaires et passent par O démonstration : nalyse : Soit une droite telle que s (D = D Puisque D D = {O}, s ({O} = s (D D = s (D s (D = D D = {O} Soient alors D différent de O et son image par s lors O = O, de sorte que D (O, O D où deux points possibles, notés et 2 On pose alors (resp 2 la médiatrice de [ ] (resp [ 2 ] Synthèse : s (O = O et s ( = impliquent s (D = s (O = (O = D, et l on montre de même que s 2 (D = D De plus, [ 2 ] est un diamètre du cercle défini plus haut, contenant, donc le triangle 2 est rectangle en Or ( et ( 2 2, donc 2 Exercice : Montrer que si u et v sont respectivement des vecteurs unitaires de D et D, alors les axes de symétrie sont dirigés par u ± v onvenons tout d abord u = O/ O et v = O / O (ce qui implique d ailleurs que v = O 2 / O 2 par construction de et 2

2 2 Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes u + v : On a les égalités suivantes : ( u + v = ( O/ O + O / O u v : On montre de même que : = ( O 2 O 2 = 0 O = O ( 0 O ( O + O 2 ( u v = ( 2 O/ O + O 2 / O 2 Dans ces égalités, nous avons évidemment utilsé le fait que O = O = O 2 = ( O 2 2 O 2 = 0 O Proposition : 2 = {M P d(m, D = d(m, D } démonstration : " " : Soit M 2 Si M = O, alors il est évident que d(m, D = d(m, D = 0 Supposons alors M O On peut considérer M Soient P le projeté orthogonal de M sur D, de sorte que d(m, D = MP, et P = s (P lors P D et P D MP = MP (en effet, s (M = M Par suite, s (MP = (MP, et puisque s conserve l orthogonalité, on a l implication D (MP D (MP, donc P est le projeté orthogonale de M sur D et réalise O M donc le minimum de la distance de M à la droite D, c est-à-dire MP = d(m, D P D " " : Soit M P tel que d(m, D = d(m, D Soient P (resp P le projeté orthogonal de M sur D (resp D et d la médiatrice de [PP ] lors M d car d(m, D = d(m, D MP = MP On en déduit que s d (D = D, donc d est l une des deux bissectrices ou Réflexion de demi-droites Définition 2 : Soient D et D deux droites sécantes en un point O, D et D deux points disctints de O On appelle bissectrice intérieure de l angle ÂO la droite notée telle que s ( [O = [O La droite 2, perpendiculaire à passant par O est alors appelée bissectrice extérieure de l angle ÂO Remarque : Si u et v sont respectivement des vecteurs directeurs des droites D et D, alors (resp 2 est dirigée par u + v (resp u v 392 pplication au triangle et au crecle 392 ercle inscrit et exinscrit Définition 3 : Soit un triangle non plat de P Les bissectrices intérieures (resp extérieures du triangle sont les bissectrices intérieures (resp extérieures des angles, Â et Ĉ

3 Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes 3 Théorème 2 : Dans un triangle non plat, les trois bissectrices intérieures sont concourantes en un point I, barycentre du système {(, a, (, b, (, c} (où a =, b = et c = est le centre du cercle inscrit au triangle I démonstration : Soit I le barycentre du système {(, a, (, b, (, c} (on remarque que non plat a + b + c 0 On a donc : M= M P, I a + b + c MI = a + b + c (a (b + c = M + b M + c M ( bc a + b + c + } {{ } =: u Donc I et u sont colinéaires Mais u est un vecteur directeur de la bissectrice intérieure issue de l angle Â, donc (I n est autre que cette bissectrice On procède de la même manière avec M = et M = pour en déduire que I est bien le point d intersection des trois bissectrices intérieures Par ailleurs, en notant H (resp K, L le projeté orthogonal de I sur ( (resp ( et (, on montre que les triangles IK et IL sont isométriques (en effet, il ont un côté en commun [sur la bissectrice issue de Â], un angle droit chacun et un autre angle identique [grâce à la bissectrice], donc que IK = IL De la même manière, on trouve IL = IH Le cercle de centre I passant par ces trois points est défini de manière unique, et il est tangent aux trois côtés du triangle (par construction de H, K et L, donc c est bien le cercle inscrit Théorème 3 : Soit un triangle non plat La bissectrice intérieure issue de Â (resp, Ĉ et lesbissectrices extérieures issues des deux autres angles sont concourantes en un point I (resp I, I qui est le centre du cercle exinscrit relatif au premier sommet De plus, I est le barycentre du système {(, a, (, b, (, c} (resp I est le barycentre du système {(, a, (, b, (, c}, I est le barycentre du système {(, a, (, b, (, c} démonstration : Soit I le barycentre du système {(, a, (, b, (, c} (on remarque que non plat b + c a 0 On a donc : M= M P, I b + c a MI = b + c a ( a (b + c = M + b M + c M ( + bc b + c a } {{ } =: u Donc I et u sont colinéaires Mais u est un vecteur directeur de la bissectrice intérieure issue de l angle Â, donc (I n est autre que cette bissectrice vec M = et M =, on trouvera par ce calcul un signe dans la parenthèse, qui prouve que (I et (I sont les bissectrices extérieures La conclusion quant au cercle se traite de la même manière que dans le théorème précédent

4 4 Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes Illustrons ceci par une figure : I I I I Remarque 2 : I est l orthocentre du triangle I I I En effet, (I I est la bissectrice extérieure issue de Â et (I I sa bissectrice intérieure Le théorème nous assure qu elle sont perpendiculaires, de sorte que I soit bien sur hauteur issue de I du triangle I I I De même pour les autres côtés I I et I I 3922 Tangente à un cercle Proposition 2 : Soit M P, extérieur à un cercle (Ω, r donné Il y a exactement deux tangentes à passant par M De plus, si l on note T et T les intersections avec, alors la doite (ΩM est la bissectrice intérieure de l angle TMT démonstration : La réflexion d axe (ΩM conserve le cercle, puisque cette droite porte un diamètre du cercle Notons T = s (ΩM (T (ΩT (TM, donc par conservation de l orthogonalité, on a s (ΩM (ΩT s (ΩM (TM (ΩT (T M Or T, donc T = T, et (ΩM est la bissectrice intérieure de l angle TMT Remarque 3 : Pour mieux se représenter la chose, considérer que est le plus grand cercle de la figure page précédente, Ω = I et M = lors (ΩM = (I qui est bien la bissectrice intérieure de l angle Â

5 Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes Rapport de longueur Proposition 3 : Soient un triangle non plat, I (resp J le pied de la bissectrice intérieure (resp extérieure issue de Â lors on a l égalité = I I = J J démonstration : Soit H le pied de la hauteur issue de Soient K et L (resp K et L les projetés orthogonaux de I (resp J sur ( et ( (voir figure ci-dessous On a alors que KI = LI et K J = L J (les triangles LI et KI sont isométriques, de même que mes triangles K J et L J lors d une part (I (I = 2 KI 2 LI = et (I (I = 2 I H 2 I = I H I D autre part, (J (J = 2 K J 2 = L J et (J (J = 2 J H 2 J = J H J Voici la figure correspondante : L K L J H I K

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