sin d A sin d B sin d C d A + d B + d C = π , y B + y A

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1 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (1/6) PROGRAMMES Entretien d calcl ectoriel en liaison aec les disciplines indstrielles et la physiqe. Prodit scalaire ; expressions d prodit scalaire :. = +. = xx + yy OA. O = OA. OH. = ² ² cos θ Propriétés d prodit scalaire : symétrie, linéarité. La projection orthogonale d'n ecter sr n axe mni d'n ecter nitaire est (. ). En particlier, les coordonnées x et y dans ne base orthonormale ( i, j ) sont x = i. et y = j. Caractérisation d'ne droite par k. AM = 0 Éqation d'n cercle de centre et de rayon donnés : (x a)² + (y b)² = R². Formles d'addition por les fonctions cosins et sins; formles de dplication. TP : Exemples de calcls de distances, d angles, d aires et de olmes, dans des configrations selles d plan et de l espace. ² COMMENTAIRES La notion de barycentre porra être abordée lors d traitement d'exemples. Le texte ci-contre sggère ne démarche por l'introdction d prodit scalaire : on s'appie sr la caractérisation (e en seconde) de l'orthogonalité de dex ecters par + ² = ² + ² ; o encore par xx + yy = 0, ce qi amène ax dex premières expressions d prodit scalaire indiqées ci-contre. Le professer pet adopter n atre choix. Qel qe soit ce choix, les qatre expressions doient être mises en aler et exploitées sr qelqes exemples simples. La notion de forme bilinéaire symétriqe est hors programme. Les élèes doient saoir déterminer n ecter normal à ne droite donnée par ne éqation. La détermination d centre et d rayon d'n cercle donné par son éqation cartésienne déeloppée n'est pas exigible des élèes. Les formles de conersion de prodit en somme et de somme en prodit ne sont pas a programme ; il en est de même de la linéarisation des pissances atres qe cos²a et sin²a Por les polygones régliers, on se limitera à des cas simples tels qe : triangle et hexagone, carré et octogone. Tote technicité particlière doit être éitée dans l'étde des triangles. Dans les spécialités «génie mécaniqe», «génie ciil», «génie énergétiqe», «génie des matériax» on porra être amené à tiliser les formles siantes : a² = b² + c² bc cos d A S = ½ bc sin d A a b c = = sin d A sin d sin d C d A + d + d C = π I. RAPPELS a. Coordonnées Dans tot ce chapitre, le plan est mni d n repère (O ; i, j ) où base ( i, j ) est orthonormale. Soit A(x A ; y A ) et (x ; y ) dex points distincts. Alors : le ecter x x A A a por coordonnées : y y A le milie I de [A] a por coordonnées : x + x A, y + y A la distance entre A et at : A = (x x A )² + (y y A )² b. Eqation d ne droite Tote droite (d) non parallèle à l axe des ordonnées admet ne éqation rédite sos la forme y = mx + p Cela signifie qe tot point M(x ; y) doit aoir ses coordonnées qi érifient l éqation por appartenir à cette droite. m est appelé le coefficient directer de (d) p est appelé l ordonnée à l origine de (d) Tot ecter qi a la même direction qe (d) est appelé n ecter directer. En particlier, le ecter 1 m est n ecter directer de (d).

2 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (/6) II. VECTERS D PLAN a. Norme d n ecter Soit b. Vecters colinéaires n ecter. On appelle norme de (notée ) sa longer. Et on a : = x² + y² On dit qe dex ecters sont colinéaires lorsq ils ont la même direction. PROPRIETE : et x' y' sont colinéaires si et selement si lers coordonnées sont proportionnelles c'est-à-dire si : xy x y = 0 Critère de colinéarité de dex ecters. j Exemple : -6 et -1-3 sont-ils colinéaires? (-3) (-6) (-1) = = 0 donc et sont colinéaires. O i c. Vecters orthogonax Soit et x' y' dex ecters. Dire qe et sont orthogonax reient à dire qe le triangle AC est rectangle en A C'est-à-dire la conjectre de Pythagore : A² + AC² = C² Et donc : A ² + = ² + ² ( x² + y²)² + ( x ² + y ²)² = ( (x + x )² + (y + y )²)² x² + y² + x ² + y ² = (x + x )² + (y + y )² j O i x² + y² + x ² + y ² = x² + xx + x ² + y² + yy + y ² 0 = xx + yy xx + yy = 0 Critère d orthogonalité de dex ecters. d. Angle de dex ecters On appelle angle des ecters et l angle orienté formé par dex droites (d) et (d ) de ecters directers respectifs et. On + C le note (, ) o ( a, ). Remarqe : (, ) = - (, ) (d) + (d )

3 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (3/6) III. PRODIT SCALAIRE a. Définition Soit et dex ecters. On appelle prodit sclalaire de par le nombre :. = cos (, ) Exemples : = 4 ; = 3 = 5 ; = = 7 ; = 3 et (, ) = π et (, ) = π et (, ) = π 4 3. = 4 3 = 6-1. = 5 = -5. = = -0 b. Propriétés On admet les propriétés siantes, où, et w sont des ecters et k n nombre réel : La symétrie d prodit scalaire :. =. La linéarité d prodit scalaire :.( + w) =. +. w et k(. ) = (k ). =.k( ) c. Orthogonalité Propriété : Dex ecters sont orthogonax si et selement si. = 0 Conséqence : Pisqe por tot ecter, on a. 0 = 0, alors le ecter nl est orthogonal à tos les atres ecters. III. CALCL D N PRODIT SCALAIRE a. A partir des normes des ecters Por tos ecters et, on a : +.. = ² + ² ²

4 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (4/6) b. A partir d ne projection orthogonale Soit OA et O dex ecters non colinéaires, et H le projeté orthogonal de sr (OA) O H A H O A OA OH si OA et OH sont de même sens OA. O = OA. OH = - OA OH si OA et OH sont de sens contraire c. A partir des coordonnées dans ne base orthonormale Por tos ecters et x' y', on a :. = xx + yy IV. TILISATION D PRODIT SCALAIRE a. Formles d addition et dplication des fonctions cosins et sins On considère les points A et sr le cercle trigonométriqe. On pose a IOA = a et a IO = b donc cos a cos b OA sin a et O sin b et l angle ( O, OA ) at b a Calclons le prodit scalaire O. OA de dex façons différentes : La définition : O. OA = O OA cos (b a) = 1 1 cos (b a) = cos (b a) Les coordonnées : O. OA = cos a. cos b + sin a. sin b Conclsion : cos (b a) = cos a. cos b + sin a. sin b Formles d addition : por tos réels a et b on a : cos (a + b) = cos a. cos b sin a. sin b cos (a b) = cos a. cos b + sin a. sin b sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b sin (a b) = sin a. cos b cos a. sin b Dans le cas où a = b, on en dédit les Formles de dplication : por tot réel : cos ( a) = cos² a sin² a = cos² a 1 = 1 sin² a sin ( a) = cos a. sin a

5 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (5/6) b. Relations d Al Kashi (o «Loi des cosins») Il doit son nom français a mathématicien perse (Ghiyath al-kashi) qi a éc entre 1380 et 149. L'appellation loi des cosins est appare pls tard, assi en Erope. On considère le triangle AC ci-contre : On pose : A = c AC = b C = a Calclons le prodit scalaire A. b C de dex façons différentes : A La définition : A. C = A C cos ( A, C )* = c a (- cos d ) = -ac cos d (*) ( A, C ) = π - d donc cos ( A, C ) = - cos d La formle trianglaire : A. C = 1 (AC² A² C²) = 1 (b² c² a²) c a C On a donc : 1 (b² c² a²) = -ac cos d b² c² a² = -ac cos d d où : b² = a² + c² ac cos d De la même façon on porrait montrer les formles : a² = b² + c² bc cos d A c² = a² + b² ab cos d C Ces formle permettent de calcler la longer d n côté en connaissant les longers des dex atres côtés et l angle q ils forment. c. Formle «des 3 sins» On considère le triangle AC ci-contre : a On appelle H la hater isse de. c On pose : A = c AC = b C = a A H b C D après les formles de trigonométrie : sin d A = L aire d triangle est : S = base hater = H A d où H = A sin d A= c sin d A AC H = b c sin d A On a donc montré qe S = bc sin d A. On arait p montrer de la même façon S = ac sin d o S = ab sin d C Donc S = bc sin d A 3 sins» : = ac sin d = ab sin d C et en mltipliant cette égalité par on obtient la «formle des abc S abc = sin d A a = sin d b = sin d C c

6 STI - 1G1 - CALCL VECTORIEL DANS LE PLAN CORS (6/6) V. CARACTERISATION D NE DROITE a. Vecter normal à ne droite On appelle ecter normal à ne droite (d) de ecter directer tot ecter n orthogonal à. Exemple : Soit (d) la droite d éqation : y = 3x n ecter directer à cette droite est le ecter 1 3. n ecter normal à cette droite est le donc le ecter n En effet :. n = 1 (-3) = = n j O i Propriété : Si (d) la droite d éqation : y = mx + p, alors n ecter normal à (d) est n b. Eqation cartésienne d ne droite On appelle éqation cartésienne d ne droite tote éqation sos la forme ax + by + c = 0, où a, b et c sont des coefficients réels. Exemple : Soit (d) la droite d éqation rédite : y = 3x L éqation cartésienne de (d) est -3x + y + = 0 c. Détermination de l éqation cartésienne d ne droite -m 1. Soit A n point et n n ecter non nl. Alors l ensemble des points M tels qe AM. n = 0 est LA droite passant par A et de ecter normal n. Exemple : On donne A ( ; -1) et n 4, et on et déterminer ne éqation cartésienne de la droite (d) -3 passant par A et de ecter normal n. Soit M(x ; y), donc x AM y + 1 AM. n = 0 4(x ) + (-3)(y + 1) = 0 4x 8 3y 3 = 0 4x 3y 11 = 0 VI. EQATION D N CERCLE Définition : On appelle cercle de centre I et de rayon r l ensemble des points M sités à ne distance r de I Soit I(a ; b) le centre d cercle, et M(x ; y) n point de ce cercle. M appartient a cercle IM = r IM = r (x a)² + (y b)² = r (x a)² + (y b)² = r² Propriété : L éqation d n cercle de centre I(a ; b) et de rayon r est (x a)² + (y b)² = r² Exemple : L éqation d cercle de centre I( ; -1) et de rayon 5 est (x )² + (y + 1)² = 5 Qestion : le point A(5 ; 3) appartient-il a cercle? Réponse : (5 )²+ (3 + 1)² = 3² + 4² = = 5 donc A appartient a cercle.