[0, + [ et f (0) =0. Alors pout tous

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1 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn Inéglité d Höldr t Minkowski 2.98 THÉORÈME (INÉGALITÉ DE YOUNG GÉNÉRALISÉE) Soit f : [, + [! [, + [ un fonction strictmnt croissnt t d dérivé continu sur [, + [ t f () =. Alors pout tous 1) pour tout on 2) pour tous, on, Z Z f () 1 (y) dy = f() Z D plus l églité à liu si t sulmnt si = f (). 1 (y) dy Démonstrtion: 1) L fonction f étnt strictmnt croissnt, continu t f () =, ll st invrsil d [, c]! [, f (c)] t l fonction invrs st ussi strictmnt croissnt. Pr un intégrtion pr prtis, on Z f (x) dx = f() Z xf (x) dx = f() Z f () on utilisé puis l chngmnt d vril y = f (x), (dy = f (x) dx). f 1 (y) dy FIGURE 2 à guch f () ppl t à droit f () 2) On ur, n utilisnt l rltion d Chsl t 1) Z 1 (y) dy = Z Z f () 1 (y) dy + f f () 1 (y) dy = f()+ f f () 1 (y) dy Mintnnt, si f () ppl, on f () f 1 (y)dy f () f 1 ( f ())dy = f () dy = ( f ()) t si f (), on f () f 1 (y)dy = Z f () f 1 (y)dy Z f () f 1 ( f ())dy = Z f () dy = ( f () ) =( f ())

2 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 37 Ainsi on Z 1 (y) dy = f()+ f 1 (y) dy f()+( f ()) =. f () 2.1 COROLLAIRE (INÉGALITÉ DE YOUNG) Soit 1 < p <, lors pour tous, on ppl p p + q q où q 2]1, + [ st l xposnt conjugué à p défini pr 1 p + 1 q = 1. D plus l églité liu si t sulmnt si p = q. Démonstrtion: On ppliqu l inéglité d Young générlisé à f : [, + [! [, + [, défini pr f (x) =x p 1, lors f 1 (y) =y p 1 1. Ainsi, puisqu q = p p 1, on ppl Z x p 1 dx + y p 1 1 dy = p p + q q THÉORÈME (INÉGALITÉ DE HÖLDER ET MINKOWSKI) Soint p t q dux xposnts conjugués ( 1 p + 1 q = 1), 1ppl p ppl. Soint f, g 2R([, ]). Alors on ls inéglités suivnts : (i) (l inéglités d Höldr ). f (x)g(x) dx ppl (ii) (l inéglité d Minkowski). 1/p f (x)+g(x) dx p ppl 1/p 1/q f (x) p dx g(x) dx q. 1/p 1/p f (x) dx p + g(x) dx p. Démonstrtion: (i) ) Si R f (x) p dx = R g(x) q dx = 1, d près l inéglité d Young on : pour tout x 2 [, ], f (x)g(x) ppl f (x) p p f (x)g(x) dx ppl 1 p f (x) p dx + 1 q + g(x) q q pr suit g(x) q dx = 1 p + 1 q = 1. ) Si R f (x) dx = ou R g(x) dx =, lors R fg dx = t l églité.

3 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 38 c) Si R f (x) p dx > t R g(x) q dx >, on pos f 1 = g R g q dx 1/q. Alors on R f 1(x)g 1 (x) dx ppl 1, d où f R f p dx 1/p t g 1 = R 1/p f 1(x) p R 1/p dx = g 1(x) dx p = 1 t d près ) f (x)g(x) dx ppl 1/p 1/q f (x) p dx g(x) dx q. (ii) Soint f t g dux fonctions msurls. D près l inéglité d Höldr f + g p dx = ppl 1/p f p dx f + g f + g p 1 dx ppl " 1/p ppl f dx p + f f + g p 1 dx + g f + g p 1 dx 1/q 1/p 1/q f + g dx p + g p dx f + g p dx 1/q 1/p # g p dx f + g p dx 1 1/q f + g dx p ppl D où l inéglité d Minkowski. 1/p 1/p f dx p + g dx p Intégrtion d fonction à vlurs dns C. On considèr un fonction f défini sur [, ]! C. On put donc écrir pout tout x 2 [, ] f (x) =R f (x)+i Im f (x), où R f (x) t Im f (x) sont rspctivmnt ls prtis rélls t imginirs d f (x). Un propriété vérifié pr ls fonctions à vlurs dns R, s étnd ux fonctions à vlurs dns C, n disnt qu f vérifi l propriété si t sulmnt si R f t Im f vérifint l propiété EXEMPLE. 1) L fonction f possèd un limit fini n un point x si t sulmnt si R f t Im f possèdnt un limit n x, t l on pos lim f (x) = lim R f (x)+i lim Im f (x). x!x x!x x!x On vérifi fcilmnt qu ls propriétés ds limits d somm d produit t d quotints sont ncor vris. 2) L fonction f st continu n un point c si t sulmnt si R f t Im f sont continus n x. 3) L fonction f st dérivl n un point c si t sulmnt si R f t Im f sont dérivls n x, t l on pos f (x )=(R f ) (x )+i(im f ) (x ). 4) L fonction f st orné sur [, ] si t sulmnt si ls fonctions R f t Im f sont ornés. En fft on déduit d l églité q f = (R f ) 2 +(Im f ) 2, qu l fonction f st orné, t ds inéglités R f ppl f t Im f ppl f, l réciproqu.

4 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 39 On put définir l intégrilité u sns d Rimnn ds fonctions à vlurs dns C 2.15 DÉFINITION Soit f [, ]! C. On dit qu f st Rimnn-intégrl, si R f t Im f l sont, t on posr f (x)dx = R f (x)dx + i Im f (x)dx. On not pr R([, ], C) l nsml ds fonction Rimnn-intégrls d [, ] à vlurs dns C REMARQUE On R f (x)dx = R f (x)dx t Im f (x)dx = Im f (x)dx EXEMPLE. L fonction f : [, 1]! C défini pr f (x) = ipx st Rimnn-intégrl, puisqu s prti réll R f (x) =cos(px) t s prti imginir Im f (x) =sin(px) sont continus, dont Rimnn-intégrls t Z 1 ipx dx = Z 1 Z 1 cos(px)dx + i sin(px)dx = 2i p On v voir qulls sont ls propriétés otnus pour ls fonctions à vlurs rélls qui sont ncor vris dns l cs ds fonctions à vlurs complxs Propriétés d l intégrl ds fonctions à vlurs dns C 1) R([, ], C) st un C-spc vctoril sur t l intégrl st un ppliction C-linéir. En fft, soint f, g 2R([, ], C) g t si l st un nomr complx, lors f + g t l f sont Rimnn-intégrls, t Alors ( f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx ; (l f )(x)dx = l f (x)dx. R ( f + g) = R f + R g ; Im ( f + g) = Im f + Im g, t cs dux fonctions sont rélls t Rimnn-intégrls, donc f + g 2R([, ], C). t ( f + g)(x)dx( f + g) = R ( f + g)(x)dx + i Im ( f + g)x)dx. = = R f (x)dx + R g(x)dx + i R f (x)dx + i = Im f (x)dx + Im f (x)dx + i f (x)dx + g(x)dx. Im g(x)dx. R g(x)dx + i Im g(x)dx. D mêm si l = + i, vc, 2 R, on R (l f )= R f Im f t Im (l f )= R f + Im f, d où l f 2R([, ], C).

5 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 4 D plus l f (x)dx = R f (x) dx Im f (x) dx + i R f (x) dx + Im f (x) dx = R f (x) dx Im f (x) dx + i =( + i) R f (x)dx + Im f (x) dx R f (x) dx + i = l f (x) dx. Im f (x) dx 2) Touts ls propriétés fisnt ppl à l linérité d l intégrl rstnt vris. Il suffit d ppliqur ls propriétés pour ls fonctions rélls ux prtis rélls t imginirs : pr xmpl l rltion d Chsls, l théorèm fondmntl du ccul intégrl, l formul d intégrtion pr prtis, l formul d chngmnt d vril... 3) Soit f 2R([, ], C), lors f 2R([, ], C) t f (x)dx ppl f (x) dx. Ecrivons f = u + iv vc u = R f t v = Im f. Commnçons pr montrr qu f st Rimnn-intégrl. Pour tout >, il xist un sudivision s = { = x < x 1 <...< x N = } d [, ] tll qu D + (u, s) D (u, s) ppl 2 t D +(u, s) D (u, s) ppl 2. Pr l inéglité tringulir, pour tous x, x 2 [, ], on : f (x) f (x ) ppl f (x) f (x ) ppl u(x) u(x ) + v(x) v(x ) insi, pour tous x, x 2 [x i, x i+1 ] on sup f (x) inf f (x) ppl sup u(x) inf u(x)! + sup v(x) inf v(x)! n rmrqunt qu sup f (x) f (x ) = sup f (x) inf f (x) x,x 2[x i,x i+1 ] on otint l intégrilité d f d D + ( f, s) D ( f, s) ppl (D + (u, s) D (u, s)) + (D + (v, s) D (v, s)) ppl Montrons mintnnt l néglité. Posons R Alors, f (x) dx = riq où r = R f (x) dx t q st un rél. r = R(r) =R iq f (x) dx = R( iq f (x)) dx (2.1) D utr prt, R( iq f (x)) ppl iq f (x) = f (x), d où R R( iq f (x)) dx ppl R f (x) dx, pr suit f (x) dx = r ppl f (x) dx Critèr d Lsgu pour l intégrilité u sns d Rimnn On not µ(i) l longuur d l intrvll I, (µ([, ]) = ). Un sous-nsml A d R st dit d msur null, si pour tout >, il xist un fmill dénomrl H = {I, I 1,...} d intrvlls ouvrts tll qu A [ + I k t  µ(i k ) ppl. k=

6 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn LEMME 1) Si B st d msur null t A B lors A st ussi d msur null. 2) Tout sous-nsml dénomrl d R st d msur null. 3) Si A k st d msur null pour tout k 2 N, lors [ A k st ussi d msur null. Démonstrtion: 1) C st clir 2) Soit A = {, 1,...} un sous-nsml dénomrl d R. Soit >, t pout tout k, soit I k l intrvll ], + [. Alors, A [ I 2 k+2 2 k+2 k. Pour tout k, l msur d I k st +, d où 2  µ(i k k ) ppl  k= i2n =. D où, A st d msur null. 2k+1 3) Soit >. Pour tout k, soit H k = {I k,, I k,1,...} un fmill d énomrl d intrvlls tll qu A k [ + I k,i t  µ(i k,i ) < i= 2 k+1. Alors, [ H k st ncor un fmill dénomrl d intrvlls, t [ A k [ [ I k,i t i2n +  k= + +  µ(i k,i ) ppl  i= k= 2 k+1 = EXEMPLE. 1) Tout nsml fini st d msur null. 2) Ls nsmls N, Z, Q t l nsml ds nomrs lgériqus sont d msur null cr ils sont dénomrls. Il xist ds nsmls qui sont d msur null sns êtr dénomrl, l nsml tridiqu d Cntor n st un EXEMPLE (L ENSEMBLE TRIADIQUE DE CANTOR). L construction d l nsml d Cntor st s fit pr récurrnc comm suit : On découp [, 1] n trois intrvlls égux t l on supprim l intrvll ouvrt du miliu, on fit d mêm ux dux intrvlls rstnt, insi d suit. On otint insi pour ls prmirs nsmls C =[, 1], C 1 = h, 1 3 i [ 2 3,1, C 3 = h, 1 9 i [ h 29, 1 3 i [ 2 3, 7 9 [ 89,1 ; FIGURE 3 ls 4 prmièr étps d l construction d C C n st otnu à prtir d C n 1 n supprimnt 2 n 1 intrvlls ouvrts dux à dux disjoints d longuur 1 3 n. Plus prcisémnt C n st l réunion ds 2 n intrvlls disjoints

7 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 42 h i d longuur 3 1 n, 3 n, +1 3 n où prcours l nsml ds ntirs d l form = vc k = ou k = 2. L nsml tridiqu d Cntor C st défini comm l intrsction ds nsml C n C := + \ n= C n. n  k 3 k k=1 1) L nsml C n st ps dénomrl : Pour montrr cl, on utilis un utr dscription d C ; c st l nsml ds réls x 2 [, 1] donc l écritur n s 3 n utilis qu t 2 i.. C = ( +  k= k 3 k k 2{, 2} Soit j : C! [, 1] l ppliction défini pr! + + j  k ( k k= 3 k =  2 ) k= 3 k. Montrons qu j st surjctiv. Soit y 2 [, 1] t y = pour tout n 2 N, n 2{, 1}. Alors j(x) =y où x = ) +  n= +  n= n son écritur n s 2, où 3n 2 n 3 n 2 C. Puisqu j st surjctiv, l crdinl d C st supériur à clui d [, 1], mis comm C st un sous-nsml d [, 1], son crdinl st infériur à clui d [, 1]. Ainsi l crdinl d C st égl à clui d [, 1] ; l nsml C n st donc ps dénomrl. 2) L nsml C st d msur null : Pour tout >, il xist n 2 N tl qu 2 n < 3 2. On C n qui st l réunion d 2 n intrvlls disjoints d l form h i 3 n, +1 3 n il st donc h, +1 2 n+1 3 n + 2 n+1 i contnu dns l réunion ds 2 n intrvlls ouvrts disjoints d l form 3 n 1 dont l somm ds longuurs st égl à 2 n 3 n + 2 n 2 n = <. Puisqu C C n, il st donc contnu d un fmill fini d intrvlls ouvrts dont l somm ds longuurs ppl. On donc montrr qu C st d msur nul. On énonc mintnnt, l critèr d Lsgu pour l intégrilité u sns d Rimnn : THÉORÈME (CRITÈRE D INTÉGRABILITÉ DE LEBESGUE) Soit f : [, ]! R. Alors, f st Rimnn-intégrl si t sulmnt si f st orné t l nsml d ss points d discontinuité st d msur null EXEMPLE. 1) On montr fcilmnt, n utilisnt ( l critèr d Lsgu, qu l fonction 1 si x st rtionnl d Dirichlt, f : [, 1]! R défini pr f (x) = si x st irrtionnl n st ps Rimnn-intégrl ; n fft l nsml d ss points d discontinuité st [, 1], qui n st ps d msur null.

8 : 2.5 Applictions d l intégrl d Rimnn 43 2) L modifiction d l fonction précédnt, g : [, 1]! R défini pr 8 < si x st irrtionnl g(x) = si x = : 1 q si x = p q t pgcd(p, q) =1 st Rimnn intégrl, cr ll st orné t son nsml d points d discontinuité st dénomrl, donc d msur null : Exrcic Montrr qu l nsml ds points d discontinuité d g st ], 1] \ Q. Un ppliction d c théorèm PROPOSITION Soit f : [, ]! [c, d] un fonction Rimnn-intégrl t g : [c, d]! R un fonction continu. Alors g f st Rimnn-intégrl sur [, ]. Démonstrtion: L fonction g étnt continu sur l intrvll frmé orné [c, d] ll st orné, il n st lors d mêm pour g f. Comm g st continu, g f st lors continu n tout point où f st continu, insi l nsml d discontinuité d g f st contnu dns clui d f, mis, l nsml d discontinuité d f st d msur null, puisqu f 2R([, ]), insi l nsml d discontinuité d g f st d msur null. Alors, d près l critèr d Lsgu, g f st Rimnn-intgrl sur [, ].