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1 1/6 I. Unités de mesure des anles Degré Radian : 1) Relation entre degré et Radian: Le degré est l unité de mesure des angles la plus utilisée dans les classes précédentes, et on sait que la mesure de l angle plat est 18. Il existe une autre unité de mesure des angles nomée le «radian». la mesure de l angle plat par cette unité est égale à. En utilisant la proportionnalité, si a est la mesure d un angle en degré et x est la mesure du x même angle en radian, alors: = a 18 ) Application: a) Compléter le tableau suivant: mesure de l angle en degré mesure de l angle en radian a) Compléter le tableau suivant: x mesure de l angle en radian mesure de l angle en degré 1) Radian et longueur d un Arc Circulaire : Soit ( Γ) un cercle de rayon R. A et B deux points de ( Γ). Soit M un point mobile sur ( Γ) débutant son mouvement de A dans le sens contraire des Eguilles d une montre. Si le point M bouge de A vers A en effectuant un tour complet, alors son angle de rotation est et la distance qu il a parcouru est P= R. D où si le point M bouge de A vers B, alors son angle de rotation est α (Radian) et la distance qu il a parcouru est S=R α (proportionnalité). II. Cercle trigonométrique Abscisse curviligne général Abscisse curviligne principal : Le plan est muni d unrepère orthonormé (O, i, j ) 1) Le cercle trigonométrique:, i = OA, j = OB Le cercle trigonométrique (C ) est le cercle de centre O origine du repère et de rayon R=1. Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :

2 /6 ) Abscisse curviligne d un point sur le cercle: Soient les points D(, -1 ) ; B (, 1 ) ; C ( -1, ) ; A( 1, ) du cercle trigonométrique (C ). Tout point M du cercle (C ) détermine un angle géométrique et un seul ( OA, OM Toute mesure de l angle ( OA, OM) est appelée abscisse curviligne du point M. Le point M admet une infinité d abscisses curvilignes, mais une et une seule abscisse curviligne α est comprise entre et on l appelle «abscisse curviligne principale» L abscisse curviligne principale α du pint M vérifie donc : α <. Pour toute abscisse curviligne θ du point M il existe un entier relatif k tel que : θ=α+ k. Si θ et θ ' sont deux abscisses curvilignes de M, alors il existe deux entiers relatifs k et k ' tel que : θ=α+ k et θ ' =α+ k ' on dit que θ et θ ' sont congrus modulo., d où : θ θ ' =(k k ' ) = k '' On écrit θ θ ' [modulo ] ou θ θ ' [mod ] ou tout simplement θ θ ' [ ]. On lit θ est congrus à θ ' modulo. 3) Exemples: curviligne de B s écrit ous la forme abscisses curvilignes de B. L abscisse curviligne principale du point A est, d où toute abscisse curviligne de A s écrit ous la forme k avec k un entier relatif.,,, 4 sont des abscisses curvilignes de A. L abscisse curviligne principale du point C est, d où toute abscisse curviligne de C s écrit sous la forme + k avec k un entier relatif. 3, 5,, 3 sont des abscisses curvilignes de C. L abscisse curviligne principale du point B est, d où toute abscisse + k avec k un entier relatif. ). 5, 3 sont des Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :

3 3/6 L abscisse curviligne principale du point D est, d où toute abscisse curviligne de D s écrit sous la forme + k 3 avec k un entier relatif., 5 sont des abscisses curvilignes de D. 3 L abscisse curviligne principale du point E est 4, d où toute abscisse curviligne de E 3 s écrit sous la forme 4 + k 11, 5 avec k un entier relatif. 4 4 sont des abscisses curvilignes de E. III. Rapports trigonométriques: Soit M un point du cercle trigonométrique et θ l une de ses abscisses curvilignes. soient : P la projection orthogonale de M sur l axe des abscisses Q sa projection orthogonale sur l axe des ordonnées. T le point d intersecion de la demi-droite (OM) avec la droite (OI) tangente au cercle en A ( voir figue) 1) Calcul des rapports trigonométriques: a) Calcul de cosθ et de s inθ : Dans le triangle OMP rectangle en P, on a: cosθ= OP OM =OP 1 =OP=x M et s inθ= MP OM = OQ 1 =OQ= y M On en déduit que cosθ et s inθ sont successivement, l abscisse et l ordonnée du point M dans le. C est pour cette raison que l axe des abscisses est encore appelé axe des cosinus et que l axe des ordonnées est appelé axe des sinus. repère (O, i, j ) cet b) Calcul t an θ : Dans le triangle OTA rectangle en A On a: t an θ= AT OA = AT 1 =AT =x T On en déduit que t an θ est l abscisse du point T sur l axe ( AI ), c est pour cette raison que axe est appelé axe des t angentes. ) Signes des rapports trigonométriques: Du cercle trigonométrique, on en déduit les signes de cos x, cos x et de tan x, d où: Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :

4 x cos x s inx tan x 1 Tronc CS Calcul trigonométrique Cours complet : Cr1F Page : 4/6 1 IV. Formules trigonométriques : 1) Rappel des formules de base: 1+tan θ= 1 cos θ Démonstration: 1 1 tan θ= sin θ cosθ 1 cos θ +sin θ=1 On a sur la figure 3, OMP est un triangle rectangle en P, d où d après le théorème de Pythagore: OP +PM =OM OP OM + PM OP PM D où: OM =1 1 OM OM donc, ce qui fait : cos θ +sin θ=1 PM tan θ= PM OP = OM = sin θ OP cosθ On a sur la figure 3, OMP est un triangle rectangle en P d où: OM tan θ= sin θ cosθ Ce qui fait : 1+tan θ=1+ sin θ θ+sin θ On a : cos θ =cos = 1 cos θ cos θ 1+tan θ= 1 D où : cos θ ) Formules de transformation : Les formules de transformation suivantes se déduisent directement du cercle trigonométrique: sin( θ )=sinθ cos( θ)= cosθ tan ( θ)= tan θ sin( +θ )=sin θ cos( +θ )= cosθ tan (+θ )= tan θ sin(θ+ k )=sin θ cos(θ+k)=cosθ tan (θ+ k )=tan θ sin( θ )= sin θ cos( θ )=cosθ tan ( θ )= tan θ sin( /+θ )=cosθ cos( /+θ )= sin θ tan ( /+θ )= 1 /tan θ sin( / θ )=cos θ cos( / θ)=sin θ tan ( / θ)=1 /tan θ sin( /+ θ)= cos θ sin( / θ )= cos θ Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :

5 5/6 cos( /+θ )=sin θ tan ( /+θ )= 1 /tan θ cos( / θ )= sinθ tan ( / θ )=1 /tan θ 3) Angles remarquables: Compléter le tableau suivants : Compléter le cercle suivants : V. Equations et Inéquations Trigonométriques : 1) Equations de bases: ) Exemples de Résolutions des Inéquations Trigonométriques: Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :

6 6/6 Voir séries des exercices Bonne Chance Date : 1/8/17 ammari14@gmail.com Tel :