Chapitre G1 : Seconde partie. Travail de groupes. Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux?

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1 TS Chapitre G : Seconde partie Travail de groupes Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux? Page 45 n 7 Colinéarité - Relation de Chasles Des vecteurs colinéaires à KJ sont : JK, GB, BG, HA, AH Parmi les vecteurs cités précédemment, ceux qui sont de sens opposé à KJ sont : JK, GB, HA AI = AE + EI AI = AE + EF AI = AE + AI = + AE

2 Page 45 n 9 Construction de points à partir d égalités vectorielles EL = EF + FG + GC = EC donc L = C BN = BF + FG + GE

3 Page 49 n 78 Démonstration vectorielle alignement de points Par hypothèse : BK = BD + DE AK = ( + BK ) = + ( BD + DE ) AK = + BD + DE AK = + ( BA + AD ) + ( DA + AE ) AK = + AD AD + AE AK = + AD + AE + AD + AE = + BC + CG = AG On a montré que : AK = + AD + AE et + AD + AE = AG Donc AK = AG Les vecteurs AK et AG sont donc colinéaires. On en déduit que les points A, K et G sont alignés.

4 Page 45 n 0 Démonstration analytique Vecteurs coplanaires points coplanaires AD AD AD x D x A y D y A z D z A 4 ( 6) ( 5) ( ) 8 4 x B x A y B y A z B z A 4 7 ( ) 8 AC AC AC x C x A y C y A z C z A ( ) ( ) 8 AC AC + AC ( 6) On en déduit que AD = + AC Comme AD = + AC AD s exprime en fonction des vecteurs et AC ( AD est une combinaison linéaire des vecteurs et AC ), on en déduit que les trois vecteurs AD, et AC sont coplanaires et donc que les quatre points A,B, C et D sont coplanaires.

5 Page 50 n 9 VRAI FAUX VRAI car les points A, I, J et K appartiennent tous au plan (G) Autre argumentation : Montrons que les vecteurs AI, AJ et AK sont coplanaires AI = AJ + JG + GI AI = AJ + BJ + BA AI = AJ + BA + AJ + BA AI = AJ + BA Or AK = 4 donc = 4 AK On obtient : AI = AJ (4 AK ) AI = AJ AK Autre méthode car ici nous avons un cas particulier on conjecture que (AI)//(JK) JK = JB + BK = BG 4 AI = AH + HI = BG + HG = BG + Donc AI = JK. Les vecteurs AI et JK sont donc colinéaires. Il en résulte que les droites (AI) et (JK) sont parallèles et donc coplanaires. On en déduit que les points A,I, J et K sont coplanaires

6 Page 50 n 9 VRAI FAUX FAUX Si A,H et I sont alignés alors les vecteurs AH et HI seraient colinéaires Donc il existerait un réel k tel que HI = k AH On aurait alors : k AH = + AH Donc ( k ) AH = et AH seraient alors colinéaires, ce qui est faux puisque CDEFGH est un cube

7 Page 5 n Représentation paramétrique d une droite M( x ; y ; z ) (d) AM et u sont colinéaires il existe un réel t tel que AM = t u il existe un réel t tel que x y 7 z ( ) = t il existe un réel t tel que il existe un réel t tel que x = t y 7 = t z + = t x = + t y = 7 + t z = t x = + t y = 7 + t z = t avec t IR est une représentation paramétrique de la droite (d) On sait donc que y = Il s agit donc de résoudre le système suivant : x = + t = 7 + t z = t x = + t t = z = t x = + ( ) t = z = ( ) x = 0 t = z = Ce point a donc pour coordonnées (0 ; ; )

8 Page 5 n 5 Représentation paramétrique d une droite Il s agit de chercher s il existe un réel t tel que donc ce système n admet pas de solution = 4 + t 4 = + t = 5t 6 = t = t = 5t t = t = t = 5 On en conclut que le point A n appartient pas à la droite (d) Voyons si le vecteur BC est colinéaire à un vecteur directeur de la droite (d) Or d après la représentation paramétrique donnée de cette droite (d), un vecteur directeur est u 5 Cherchons s il existe un réel k tel que BC = k u Or BC 4 0 u 5 = k 4 = k 0 = 5k k = 4 k = 4 k = 4 ce système a une solution donc BC = 4 u BC est colinéaire à u donc (BC) et (d) sont parallèles.

9 x = + t y = 4 + t z = 5t avec t IR est une représentation paramétrique de la droite (BC) en prenant B comme point de (BC) et u comme vecteur directeur. On pouvait aussi prendre C comme point d où alors x = + t y = t z = 5t avec t IR On pouvait aussi prendre comme vecteur directeur BC x = t y = 4 4t z = + 0t avec t IR x = t y = 4t z = + 0t avec t IR d où des représentations paramétriques différentes Voir ci-dessous pour ceux qui n ont pas compris M( x ; y ; z ) (d) BM et u sont colinéaires il existe un réel t tel que BM = t u il existe un réel t tel que x y 4 z = t 5 il existe un réel t tel que il existe un réel t tel que x = t y 4 = t z = 5t x = + t y = 4 + t z = 5t Remarque : on peut faire le même travail avec, au choix, il existe un réel t tel que CM = t u il existe un réel t tel que BM = t BC il existe un réel t tel que CM = t BC

10 Page 5 n 9 droites non coplanaires Montrons que les deux droites ne sont pas parallèles Un vecteur directeur de (d) est u 4 Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires? Existe-t-il k tel que u' = α u? et un vecteur directeur de (d ) est u' = 4α = α = α α = 0,5 α = α = ce système n a aucune solution donc les vecteurs u et u' ne sont pas colinéaires Les droites (d) et (d ) ne sont donc pas parallèles. Montrons que ces deux droites n ont aucun point commun Pour cela, résolvons le système suivant : x = + 4k y = + k z = k x = t y = + t z = + t et donc le système ci-dessous + 4k = t + k = + t k = + t 4k t = k t = 4 k t = 4 L + L L 4k t = k t = 4 4t = 0 4k t = k t = 4 t = 0 4k = k = 4 k = k = 4 t = 0 t = 0 4 Ce système n admet donc aucune solution donc les droites (d) et (d ) n ont aucun point commun. Conclusion :Comme (d) et (d ) ne sont pas parallèles et n ont aucun point commun, elles sont non coplanaires

11 Page 5 n représentation paramétrique d un plan Montrons que les vecteurs et AC ne sont pas colinéaires AC 5 6 Cherchons s il existe un réel k tel que AC = k = k 5 = k 6 = k k= k =,5 k = ce système n admet aucune solution les vecteurs et AC ne sont pas colinéaires ce qui signifie que les points A, B et C ne sont pas alignés. Ils définissent donc un plan : le plan (C). M( x ; y ; z ) (C) AM, et AC sont coplanaires x = t + t' y = t + 5t' z = t + 6t' il existe deux réels t et t tels que AM = t + t AC il existe deux réels t et t tels que il existe deux réels t et t tels que il existe deux réels t et t tels que x y 0 z 0 = t x = t + t' y = t + 5t' z = t + 6t' x = t + t' y = t + 5t' z = t + 6t' + t 5 6 avec t IR et t IR est une représentation paramétrique du plan (C)

12 Dire que D appartient au plan (C) signifie que ses coordonnées du point vérifient le x = t + t' système y = t + 5t' z = t + 6t' C'est-à-dire = t + t' 9 = t + 5t' m= t + 6t' Résolution par substitution t = t' t + 5t' = 9 m= t + 6t' t = t' t' = m= t + 6t' t = t' = m= ()+ 6() t = t' (t' ) + 5t' = 9 m= t + 6t' t = t' t' = m= t + 6t' t = t' = m= Résolution par combinaisons linéaires t = t' 6t' + 5t' = 9 m= t + 6t' t = () t + t'= t + 5t' = 9 On multiplie la ligne par m= t + 6t' t' = m= t + 6t' t + 6t'= t + 5t' = 9 m= t + 6t' t = t' = m= t + 6t' On ajoute membre à membre les lignes et précédentes t'= t + 5t' = 9 m= t + 6t' t'= t + 5t' = 9 m= t + 6t' t'= t = m= + 6 t'= t + 5 = 9 m= t + 6t' t'= t = m= t'= t = m= t + 6t'

13 En plus Page 50 n 0 Points coplanaires démonstration analytique On veut donc prouver que les vecteurs, AC et AD sont coplanaires. On cherche s il existe deux réels α et β tels que AD = α + β AC AD AC = α + β 7 = 0α + 7β = α+ 5β 8 = α + β On a donc : AD = + AC β = = α+ 5β 8 = α + β = = α+ 5 6 = α β = 6 = α α= β = α = Les vecteurs, AC et AD sont donc coplanaires donc les quatre points A,B, C et D sont coplanaires

14 Page 50 n 0 Points non alignés- coplanaires démonstration analytique Montrons que les vecteurs et AC ne sont pas colinéaires AC 4 Cherchons s il existe un réel k tel que AC = k = k 4 = k = k k= k = 4 k = donc ce système n admet aucune solution les vecteurs et AC ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C ne sont pas alignés. Ils définissent donc un plan : le plan (C). D appartient au plan (C) donc les vecteurs, AC et AD sont coplanaires Donc il existe deux réels α et β tels que AD = α + β AC AD x 4 AC 4 x = α + β 4 = α + 4β = α+ β x = α + β = β x = α + β β = = α+ β = α+ β x = α β = = α x = α β = α = 4 x = 8 β = α = 4 x = 6 β = α = 4 x = β = α = 4

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