Fonctions dérivées. Applications

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1 CHAPITRE Fonctions dérivées Applications ACTIVITÉ (page 9) Activité a) La tangente en A est horizontale pour a et a b) Signe de f () + + Sens de variation de f On peut donc faire la conjecture suivante : si f () >, f est croissante ; si f () <, f est décroissante b) f () Sur un intervalle I : si f () <, alors f est décroissante ; si f () >, alors f est croissante PROBLÈME OUVERT A( ; ), B( ; ), D( ; ) et C( ; ), avec AD et AB ; donc aire ABCD ( ) soit aire (ABCD) + 8 On considère la fonction f définie sur [ ; ] par + 8 Avec une calculatrice, on obtient la courbe suivante Avec la dérivée, on trouve f () f () + 9 Donc la valeur eacte de pour laquelle l aire est maimale est On peut lire que l aire est maimale pour,

2 EXERCICES Application (page 97) a) f () 9 + b) g () + c) h () f et g sont des sommes de fonctions dérivables sur I, donc elles sont dérivables sur I f () 9 + ; g () (9 + ) Les fonctions u : et v : sont dérivables sur I donc f est dérivable sur I f () + f () + ; f() 9 ; f () 7 Donc la tangente en ( ; 9) a pour équation y 7( ) + 9, soit y 7 9 a) Sur, f () + b) Sur ] ; [, f () + + c) Sur ] ; [, f () ( ) + soit f () ( ) 6 a) Sur *, f () b) Sur {}, f () c) Sur, f () 8 ( + ) d) Sur {}, f () ( ) ( ) ( ) 7 f () ( + ) f (a) ( a ) ( + a ) et f(a) a + a ; donc : y ( a ) ( + a ) ( a) + a + a y ( a ) ( + a ) + 6a ( + a ) 8 b) u () v () ( + ) ( + ) u() v(), + f () donc u () v () ( ), 9 a) f () ( ) f () + 9 b) f () ( ) ( )( + ) f () + + c) f () 8 ( + ) f () + a) f () b) f () ( )( + ) ( + ) f () + + ( + ) f () + a) f dérivable sur {} f () ( ) f () + + b) f dérivable sur { } ( + ) f () ( + ) ( + ) f () + Chapitre Fonctions dérivées Applications

3 a) f () f () + + b) f () 6 f () + + c) f () ( + ) 9 + f () a) f () 6 ( ) b) f () + a) Le maimum est atteint le e jour b) personnes sont malades a) MP AB CP MP soit CA ; d où : MP ( ) b) () AP MP ( ) a) () ( ) () + () b) L aire est maimale pour EXERCICES Activités de recherche (page ) 9 Comparaison de fonctions Les outils : Dérivation Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d une fonction L objectif : Comparer des fonctions à l aide de la dérivation La représentation de g est toujours en dessous de celle de f même si elles semblent très proches pour voisin de a) d() + d, fonction polynôme, est dérivable sur et : d () 6 ( ) b) d () s annule en et en, et est du signe de c) f () + 6 d) Le minimum de d() étant, on peut en conclure que 6 pour tout, d() > e) La courbe représentative de f est toujours au-dessus de celle de g Minimiser une distance Les outils : Distance dans le plan muni d un repère orthonormé Dérivation Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d une fonction Les objectifs : Déterminer le minimum d une fonction Construire «à la règle et au compas» les points solutions On peut conjecturer que deu positions du point M répondent au problème Elles sont symétriques par rapport à l ae des abscisses Pour une de ces positions, M,7 et AM,87 AM ( ) + ( ) a) et b) f () f () + +

4 f () + + c) AM est donc minimal pour M ; et M ; La distance AM est alors égale à,866 a) et b) N L y O J Ω M L K I a f () + a Si a, y a a a Donc on obtient bien un carré dans le cas général Narration de recherche J O N I A H AH ON HM OM, donc OM AH ON HM Aire(OMN) OM ON avec > On note f la fonction définie sur ]; [ par ( ) ( 6) f () ( ) ( ) M 6 f () + c) On obtient les points cherchés en traçant les perpendiculaires à l ae des abscisses passant par L et par L Narration de recherche Le périmètre est noté p : p ( + y) y 6 ; donc p + On note f la fonction définie sur I ]; [ par : + f () ( )( + ) f () + 6 Or : si, y ; donc ABCD est un carré Conclusion : Le carré est bien le rectangle de périmètre minimal Si y a, dans ce cas p + a + a ; > f () a ( a) a + a L aire du triangle est minimale pour 6 M est le symétrique de O par rapport au point H TP Recherche d une aire minimale a) Le quadrilatère AHEM est, par construction, un rectangle Le théorème de Thalès dans le triangle ABC permet d affirmer que AH AB EH d où AH EH : le CB quadrilatère AHEM est un carré b) Le même théorème dans le triangle ADM : EH DH AM AD, h soit h c) h ( h) ( + )h h + d) () h h + ( + ) e) est dérivable sur [ ; ] et () ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) () est du signe du trinôme + qui a deu racines distinctes dans (Δ 8) dont une seule est dans l intervalle [ ; ], Le coefficient de étant positif (a ), () est négatif entre ses racines et positif sinon Chapitre Fonctions dérivées Applications

5 () + () L aire () est donc minimale pour Notons S le point obtenu : AS AF AC CF TP Recherche d un volume maimal a) L aire est égale à CD AD soit ( ) b) g est le produit de deu fonctions dérivables sur ]; ] : ( ) et g () + ( ) donc du signe de c) g () + g() L aire du rectangle est maimale pour, m L aire de ABCD est alors, m d) Les dimensions de la salle sont alors égales, en m, à : h, et L Le volume maimal est donc de 6 97 m EXERCICES Entraînement (page 6) f () f () + + f () 9 DE TÊTE 7 f () + > f est strictement croissante sur 8 f () f () pour [ ; ] donc f est décroissante sur cet intervalle 9 f () + > donc f est strictement croissante sur [ ; ], donc [ ; ] f () + f () + Donc [ ; ] OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES f est dérivable sur et f () f est dérivable sur et f () ( + ) + ( + )( ) ( + )(9 + ) f est dérivable sur ] ; [ + et f () + f est dérivable sur ] ; [ ] ; [ et f () f est dérivable sur ; et f () ( ) 6 Corrigé dans le manuel ; 7 f est dérivable sur ] ; [ ] ; [ et f () + ( ) 8 a) f et g sont deu fonctions rationnelles définies sur { }, donc dérivables sur { } ( + ) ( ) b) f () ( + ) ( + ) et g () ( + ) Donc pour tout de { }, f () g () g() + ( + ) ( + ) + Or, donc g() Il en résulte que f () g () soit f () g () DÉRIVÉES ET TANGENTES ( ) ( + )( ) 7 9 f () ( ) ( ) f( ) et f ( ) 7, donc la tangente a pour équation 9 y 7 9 ( + ) + soit y f () + ; f () et f() ( + ) D où une équation de la tangente en ( ; ) : y f () , soit f () f() 8 et f () 6 +

6 D où une équation de la tangente en ( ; 8) : y ( ) + 8 soit y 8 f est définie sur car pour tout réel, + > Donc f est dérivable sur f () ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a a f(a) ; f (a) a + (a + ) D où une équation de la tangente au point d abscisse a : y a (a + ) ( a) + a a + Corrigé dans le manuel f () 8 6 ; f() et f () 8 D où une équation de la tangente en ( ; ) : y 8( ) soit y De plus, pour, y 8 donc la tangente passe par A La courbe semble avoir une tangente parallèle à l ae des abscisses en deu points f () + + ( + + ) f () ou + + Δ 9 ; donc + et Il y a donc trois points de la courbe ayant une tangente parallèle à l ae des abscisses : les points d abscisses, et 6 a) f est une fonction rationnelle définie sur ces deu intervalles donc dérivable sur ces intervalles ( + ) b) f () ( + ) ( + ) Une tangente à est parallèle à d (y ) signifie que : ( + ) soit ( + ), soit ou + Une tangente T M en un point M d abscisse m a pour équation y (m + ) ( m) + m m +, soit y (m + ) + m (m + ) A( ; ) T M (m + ) + m (m + ) (m + ) m m + m ou m + m m + ou m 7 Corrigé dans le manuel 8 f () + + ; f( ) et f ( ) Donc la tangente T a pour équation y ( + ) soit y + On cherche les intersections de T et : ( ) ou Donc le point B( ; ) est un point de et de T Cherchons une équation de la tangente T en B : f() et f () ; donc T a pour équation y ( ) +, soit y + Donc T T et T est tangente en B à 9 f () 6 + f () ( ) Donc on obtient deu points : A( ; ) et D( ; 6) Si M(m ; m m + m + ) est un point de, f (m) m 6m + Donc la tangente en M a pour équation : y (m 6m + )( m) + m m + m + soit y (m 6m + ) m + m + Si la tangente passe par A( ; ), alors m + m + d où m ( m), donc m ou m Donc par A passe deu tangentes à, l une est tangente à en A et l autre en B ; 8 a) f () 6 + b) f() et f () ; y + g () g() et g () ; y + On retrouve chaque fois la «partie» affine de la fonction a) P () a + b + c P() d et P () c b) y c + d On retrouve donc la propriété de la question ) h () + ; h() et h () 7 + On ne retrouve pas la propriété POSITIONS RELATIVES D UNE COURBE ET D UNE DE SES TANGENTES Corrigé dans le manuel On cherche les points d intersection de la droite et de la courbe + soit Δ Donc il y a deu points d intersection, d abscisses respectives : et + La droite n est donc pas tangente à la courbe a) Il semble y avoir un seul point commun b) +, équivaut à : , soit Il y a donc un seul point commun : A( ; ) a) Il semble qu en A, les courbes aient une tangente commune b) f () et g () ; f () et g () ( + ) Donc la tangente est commune Chapitre Fonctions dérivées Applications

7 SENS DE VARIATION f () + 6 ( + ) f () + f () + 6 f () + 9 f () + 6 Corrigé dans le manuel 6, b ;, c ;, a 6 f et f sont définies sur { } Etremums locau en, et Courbe possible : y 8 6 f () (8 9 + ) ( )(8 ) 8 f () ; I [ 6 ; [ f () 8 8 ( + ) 6 f () + 8 f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () + 9 f () ( )( + 6) ( )( + ) ( + 6) ( )( + + ) ( + 6) 6( ) ( + 6) f () + 6 f () + ( ) O 6 Corrigé dans le manuel 6 On ne sait pas si f () > pour tout de I f () > pour tout de I donc f est strictement croissante sur I On ne peut pas affirmer que f est strictement croissante Il peut eister des réels de I pour lesquels f () 66 f () 6 + ; f () + ( + ) Δ 9 < donc pour tout de, f () > f () + f () + f () donc f () > si > f () < si < f () + EXTREMUMS LOCAUX ENCADREMENTS 67 f () ( )( + ), 6

8 f () + Par lecture du tableau, pour tout > D où le résultat 68 f () ( + )( + ) ( + + )(8) ( + ) f () 8 + ( + ) 7 f () pour,9 8 Donc il n y a pas de maimum local en 69 Corrigé dans le manuel 7 f () + f () + 9 Le minimum de g est g() OPTIMISATION 7 D après le théorème de Thalès : r 6 h soit 6r 8 h donc h (8 r) a) V() πr (8 r) soit V() πr (8 r), r [ ; 8] b) V (r) π r(8 r) r πr(6 r) r 6 8 V (r) + 8 V(r) 9 r 6, h 8 6 8, soit r 6 cm et h 8 cm 7 OB, OH h avec h [ ; 8] et BH r avec r Avec le théorème de Pythagore : OB OH + BH 6 h 8h r d où r h(8 h) et r 9h(8 h) V(h) πr h π h (8 h) π (8h h ) a) V (h) π (6h h ) π h(6 h), h [ ; 8] h 6 V (h) π V(h) 8 8 b) Le volume est maimal pour h 6 cm 7 Corrigé dans le manuel 7 L aire est y La quantité de grillage nécessaire est + y + On pose + ; f () ( + )( ) f () + Donc le minimum de grillage correspond à m 7 M est à la distance de A de puissance p, donc l intensité est p De même, M est à la distance de B 8p de puissance 8p, donc l intensité est ( ) Donc p + 8p ( ) Pour tout ] ; [, f () p( )( + ) ( ) f () + On place donc M en 7p 76 a) cos lbam AH AM AM AB ; donc AM 6 et AM 6 b) Le triangle AMB inscrit dans un demi-cercle est rectangle, donc (AM) // (HK) D après le théorème de Thalès : HK AM BH (6 )6, donc HK soit 6 (6 ) BA 6 6 a) f () 6 (6 ) + 6 ( ) 6 b) 6 f () + Donc HK est maimal pour et dans ce cas, HK 77 V πr h πr h h + r 9, donc V(h) πh (9 h ), soit V(h) π(9h h ) avec h a) V (h) π(9 h ) π h + h Chapitre Fonctions dérivées Applications 7

9 h V (h) + π V(h) b) V π est la valeur maimale du volume, obtenue pour h h dm a) V,766 dm b) h,7 dm et r 79 h 6, dm 78 c + a donc c a ( a) a) Aire du carré : 6 Aire du triangle équilatéral : a a a b) S(a) 6a + 9a + a a 6a + 6 a) S(a) est minimal pour a (9 + ) 9 b) c Il en résulte que c 9 a 79 (F) () ( + )( ), donc (F) () est du signe de sur I (F) () + F() 6 a) Oui car les cinq signes correspondent au partage de ; sur lequel F est décroissante et les cinq signes + au partage de ; sur lequel F est croissante b) I est divisé en intervalles de longueur, : le tau est strictement inférieur à, sur [ ;,] 8 Volume V restant : V() 96 V () 96 ( ) + 8 V () + V() 6 Le volume est maimal pour cm 8 Corrigé dans le manuel 8 a) f () ( + )( ) ( + ) ( + )( ) b) f () + 7 c) Si [ ; ], [ ; ] MH 9 où H est le projeté orthogonal de M sur [AB], MN et AB 6 Donc : () 9 ( + 6) ( + )( )( + ) (), [ ; ] L aire du trapèze est maimale pour AVEC LES TICE 8 a) M(m ; m ), f (), f (m) m ; donc y m( m) + m soit y m + m + b) A( ; m + ) et B m + m ;, m ] ; ] (m + ) (m + ) m (m + ) m c) Aire (OAB) + + ; donc f () + ( + )( ) f () + 9 L aire du triangle est minimale pour m Ce résultat est conforme à la conjecture qui affiche 6,6 comme valeur minimale ROC Restitution organisée de connaissances 8 a) u est de la forme uv avec v u ; donc (u ) u u + uu uu b) u u u, de la forme uv avec v u ; donc (u ) u u + u uu u u a) f () 6( ) b) g () + Prendre toutes les initiatives 8 On pose + + ; f () + La droite a pour coefficient directeur 7, donc la tangente doit avoir 7 pour coefficient directeur : + 7 ou Le point A d abscisse a pour ordonnée 6 et le point B d abscisse a pour ordonnée 6 Or A( ; 6) est un point de la droite d équation y 7 + 9, donc cette droite est tangente à la courbe en A( ; 6) 8 8

10 86 f () 6 6( ) f () + + D où l équivalence : [ ; ] [ ; ] EXERCICES Approfondissement (page ) 87 a + b + c, f () a c f() 9, f(), f () Donc : f () équivaut à a c soit c 9a ; 9 f() 9 équivaut à a + b + c 9 ; f() équivaut à a + b + c c 9a a a + b 9 b 6a + b c 9 Ainsi : a) a + b + c + d, f () a + b + c ; f( ), f() et f ( ) f () Donc : f() équivaut à d ; f () équivaut à c ; f ( ) équivaut à a + b + c ; f( ) équivaut à 8a + b c + d d d c donc c a b b 8a + b a b) Ainsi : + + et f () + 6 a) f() et f () 9 ; donc T a pour équation : y 9( ) + soit y 9 b) f () ou Ainsi, la tangente à est parallèle à T au point A( ; ) a) f () + + Si, alors donc > b) Si,, alors,9 Donc > n implique pas 89 f () + Si < a < b <, alors f(a) > f(b) < a < b < : on ne peut pas comparer f(a) et f(b) f ( ), f () et ; donc p + m + n + f () ( + m)( + ) m n + + m n ( + ) ( + ) f () m n ; f ( ) m n On peut donc choisir m n et + 9 Il semble que pour ] ; 6[ ] ; [, f est audessus de g f () f () + a) et b) g () ( + ) ( ) ( ) g () g() g() ( + ) ( )( + 7 ) g() g() ( 8 + ) ( ) ( )( 6) ( ) Chapitre Fonctions dérivées Applications 9

11 ( )( 6) g() f est au-dessus de g pour [; [ [; 6] ; g est au-dessus de f pour ] ; ] ] ; ] [6 ; [ 9 Volume : + h 8 ; donc h 8 (en cm) Pri de revient : du fond et du couvercle : 8 ; des faces latérales : h D où : p() 8 + p () 6( 6) p () + p() 8 Le pri de revient est minimal pour cm et h 8 cm 9 B(), + 6 B () + 6 [ + ] ( )( + ) B () + B() 7 Bénéfice maimal : B() 7 9 C m () C M () C M () Or ( 7)( ) D où le résultat Pour tout [ ; 9], > 7 9 C M () + C M () 867 Coût moyen minimal : C M (7) 867 ; C m (7) D où le résultat 9 y 76, donc y 88 S() y + + y 6y + S() 78 + S () ( 6) 8( 6 ) 8( 6)( ) 6 S () + S() 6 S() est minimal pour 6 9 a) V π h ; donc h V π b) () π + πh () π + π V π + V π a) () π V (π V) V π () + () Si V π alors h D où le résultat V π V π V π 7 f(h) f() 96 a) hh h, h h h f(h) f() b) lim donc f () h h a) et sont dérivables sur ]; [, donc f est dérivable sur ] ; [ b) f () + + Il en résulte que f est dérivable sur [ ; [ a) Si uv est dérivable sur I, alors u et v sont dérivables sur I b) Cette implication est fausse f : est dérivable sur [; [ mais n est pas dérivable sur cet intervalle 97 f () ( ) + ( ) + ( ) ( + + ) f admet un minimum pour + + w Plus généralement : si Σ n ( i ), alors f () Σ n ( i ) i i f () s annule pour n ( + + ) n w et admet un minimum pour cette valeur

12 98 a) f () + ; f () b) f () + f () 8 h V (h) + V(h) 6π 9 6 f atteint son minimum pour Prendre toutes les initiatives 99 a + b + c + d ; f () a + b + c f() équivaut à d ; f() équivaut à a + b + c + d ; f () équivaut à c ; f () équivaut à a + b + c d c d c a + b donc a a + b b + r + h 6, donc r 6 h Volume du cylindre : V(h) πr h πh 6 h V(h) π (6h h ), h [ ; 8] V (h) π (6 h ) D A r O R C h B Le volume est maimal pour h 8 tan α OH HA r (h r) r r h hr et tan α KB AK R h r Donc : h(h r) R h, hr soit R h r Donc V(h) πr h πr h h r V (h) πr h(h r) (h r) Ainsi le volume est minimal pour h r On a alors : R r Or r 6 cm ; donc h cm et R 6 cm C O A K α r H B EXERCICES Travail en autonomie (page 6) A f () Les points d ascisse de en lesquels la tangente a pour coefficient directeur sont tels que f ( ), soit, soit ou On obtient les points A ; et B( ; ) B f () + + f () ( ) ou ou On obtient les points A( ; ), B( ; ) et C( ; ) La tangente en B a pour équation y ( ) + soit y + Or C appartient à cette tangente, donc (BC) est tangente commune C f () + ; f () + f () + Donc l affirmation est vraie f () donc la tangente à en est horizontale f () + Donc est un maimum local Réponse vraie D f () + ( + ) f () Du tableau, il résulte que si ;, f () [ ; 7] La réciproque est fausse Contre-eemple : f() et ; Chapitre Fonctions dérivées Applications

13 E a) f() a + b + c () f( ) a c b () f() a + b + c () b) De (), on déduit que a, donc () et () deviennent c b b + c soit b et c + ( ) f () [ + + ( ) 8 ( ) f (), donc la tangente en A a pour coefficient directeur y B y C B C, donc la tangente en A est parallèle à (BC) F AO h et AB AO, soit AB 9( h ) a) V(h) AB h h( h ) V(h) h + 96h, h [ ; ] b) V (h) h + 96 (8 h ) + h h h V (h) + 6 V(h) Le volume est maimal pour h cm et V 6 cm G f () a + b a Δ b + a > donc deu etremums locau a) + ; f () + f () b) Si [ ; ], alors 7 ; [ ; ] La réciproque est fausse, car, par eemple : f 8 [ ; ] et [ ; ]