Exercice 01 :Théorème des éléments correspondants

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1 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen École Préparatoire en Sciences Techniques de Tlemcen Département de Physique Corrigé de la série de TD N o 6 Exercice 01 :Théorème des éléments correspondants Considérons deux conducteurs B portant des charges B deux éléments de surfaces ds ds B. Un tube de ux est construit sur la base de ces deux surfaces élémentaires. Calculons le ux à travers la surface fermé de ce tube. En fait, on sait d'après le théorème de Gauss que : E d S = int E ds = E ds + E ds + S L S S B E d S Mais on sait que E à l'intérieur d'un conducteur en équilibre est nul, d'où : Figure 1 Théorème des éléments correspondants S S B E ds = E ds = 0 Et le champ électrique entre les deux conducteurs est parallèle à S L, d'où S L E d S = 0 page 1 de 13

2 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen Ce qui donne : ;mais ce qui donne : int = 0 i nt = B + = 0 = B Dans le cas d'une inuence totale ( entourant complètement le conducteur B) le conducteur B est chargé à une distribution σ B, alors sur la face intérieure de va apparaitre une charge σ telle que : σ ds = S σ B ds S B l'extérieur du conducteur va apparaitre une charge ext égale à la charge int mais de polarité opposée. C'est comme si la charge ext va nous révéler la quantité de charge du conducteur B à l'intérieur du conducteur. Figure 2 Inuence totale 1. On applique le théorème de Gauss en considérant une surface de Gauss S à l'intérieur du conducteur. Sachant que le champ est nul à l'intérieur du conducteur (équilibre électrostatique) on a : φ = S E int d S = int d'où : int =- B 2. cas où le conducteur est initialement neutre : int ext + ext = 0 = int = B + int = 0 = B La charge portée par sur sa surface externe est égale à la charge portée par le conducteur B. page 2 de 13

3 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen cas où le conducteur porte initialement une charge électrique q : ext int ext = q = q int = q + B Exercice 02 : 1. On sait d'après le résultat précédent que le champ électrique entre deux armatures chargées de même quantité de charge électrique mais mais de polarités opposées est ( dans l'air) égal à E = σ ε 0 alors que dans un matériau quelconque le champ E = σ ε où ε est la permittivité électrique du matériau σ la densité surfacique de la charge électrique. Les deux armatures sont supposées portées à deux potentiels diérents, d'où : V (d) V (0) = V (d) V (0) = V (d) V (0) = x1 0 d 0 σ x2 dx + x 1 E d l σ d dx + ε 0 x 2 σ ε 0 dx [ σ x 1 + σ (x 2 x 1 ) + σ (d x 2 ) La charge électrique répartie sur une armature est donnée par = σ S par dénition la capacité du condensateur est le rapport entre la charge la diérence de potentiel entre les deux armatures : ou encore Ce qui donne : C = C = C = V (d) V (0) σs [ σ x 1 + (x 2 x 1 ) + (d x ] 2) ε 0 ε ε 0 εε 0 S x 1 ε + (x 2 x 1 )ε 0 + (d x 2 )ε ] page 3 de 13

4 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen a cas où le matériau isolant occupe tout l'espace entre les deux armatures : on a : x 1 = 0 x 2 = d d'où C = Sε d la valeur de C ne dépend que de la géométrie du condensateur de la permittivité diélectrique du matériau inséré entre les armatures 2.b cas où l'espace entre les deux armatures est vide (air) x 1 = x 2 d'où : C = S d 3. L'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une charge distribuée sur une surface ( une densité σ) est : E p = 1 σ( r) V ( r) ds 2 Ou V ( r) est le potentiel électrostatique créé entre tous points sur la surface. Puisque chaque armature est portée à un potentiel constant V ( d) pour le plan en haut v ( 0) pour le plan en bas nous aurons : E p = 1 σ V d ds + 1/2 ( σ) V 0 ds 2 Puisque V d V 0 sont constants : E p = 1 2 V d σ ds 1/2V 0 ( σ) ds E p = 1 2 (V d V 0 ) = C(V d V 0 ) d'où : E p = 1 2 C(V d V 0 ) 2 est la charge portée par une seule armature, la charge totale du condensateur étant nulle + ( ) = 0 page 4 de 13

5 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen Exercice 03 : 1. La capacité d'un condensateur est dénie par C = V est la charge portée par une armature V la diérence de potentiel entre les deux armatures : = C V = = CCoulomb 2. L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur est donnée par Ep = 1 2 CV 2 = = J 3. La capacité d'un condensateur à armatures planes est donnée par : C = Sε d où S est la surface de l'armature, ε la permittivité diélectrique de matériau inséré entre les deux armatures d la distance entre les deux armatures. D'autre part, on sait que Pour un condensateur d'épaisseur d 1 on a : = C V = Sε d V 1 = Sε d 1 V alors que pour le condensateur d'épaisseur d 2 ce qui donne 4. Pour un condensateur de surface S 1 : 2 = Sε d 2 V d 2 = 2d 1 2 = 1 Sε V = 1 2 d = C 1 = S 1ε d V page 5 de 13

6 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen on aura donc d'où : 2 = S 2ε d S 2 = πr 2 2 r 2 = 2r 1 S 2 = 4S 1 V 2 = 4 1 = C Exercice 04 : La sphère (à l'intérieur) de rayon porte une charge + portée à un potentiel électrostatique V 1, placée à l'intérieur d'une coquille sphérique de rayon intérieur R 2 portant une charge 2 un potentiel V 2. Le champ électrique entre les deux sphères étant radial de Figure 3 Capacité d'un condensateur sphérique symétrie sphérique, il est possible d'appliquer le théorème de Gauss, en prenant comme surface de Gauss la surface sphérique de rayon r. Cela nous perm d'écrire : E d S = E r 4πr 2 = int ε 0 = ε 0 ou encore E r = 1 4πε 0 r 2 E = E r u r = 1 4πε 0 r 2 u r page 6 de 13

7 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen D'autre part, on sait que V (R 2 ) V ( ) = R 2 E d r On obtient donc d'où : ce qui donne enn : V (R 2 ) = V 2 V ( ) = V 1 R 2 V 2 V 1 = d l 4πε 0 r 2 d l = d r u r + rdθ u θ + r sin θdϕd u ϕ V 2 V 1 = 4π V 1 V 2 = R 2 4π dr r 2 = [ 1 4π 1 R 2 [ ] R2 1 r où on a choisi V 1 V 2 plutôt que V 2 V 1, car ce dernier est négatif. La capacité du conducteur est donnée par : R 2 C = = 4π V 2 V 1 R 2 + ] Exercice 05 : Supposons que la longueur du cylindre est très grande devant les rayons des cylindres L >>, R 2. Le champ électrique est dans ce cas radial( E = E r u r ) a une symétrie cylindrique de rayonr (sur une surface cylindrique de rayon r le module de E est le même). Cela nous perm d'appliquer le théorème de Gauss, en choisissant une surface cylindrique de rayon r ( < r < R 2 ) comme surface de Gauss : E d S = int en tout point sur la surface latérale E//d S L S L = 2πrL page 7 de 13

8 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen Figure 4 Capacité d'un condensateur cylindrique E d S 1 E d S 2 E ds + E ds + S 1 S 2 ds 1 ds 2 des éléments de surface sur les surfaces en haut en bas du cylindre choisi. On a donc E ds = E ds S L S 1 S 2 E ds = E ds = 0 E ds = E ds = Er 2πrL ce qui donne : ou encore D'autre part, on sait que : S L E r 2πrL = int int = σ2πrl E r = σ r E = σ ε 0 1 r u r V (R 2 ) V ( ) = R 2 E d r page 8 de 13

9 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen V 2 V 1 = σ ε 0 R 2 dr r V 1 V 2 = σ [ln r] R 2 R ε 1 0 mais on sait que d'où : on obtient : V 1 V 2 = σ ε 0 ln R 2 σ = V 1 V 2 = C = 2π L 2πε 0 L ln R 2 d V 1 V 2 = 2πε 0L ln R 2 Exercice 06 : 1.. La tension entre les points (bornes du condensateurs) B est égale à 24 V, ce qui perm à une charge électrique égale = CV = C = C de se mtre sur une armature du condensateur (l'autre armature portera la même charge mais de polarité diérente). L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur est donnée par : E p = 1 2 CV 2 = J 2. les bornes B sont reliées aux bornes E D d'un condensateur complètement déchargé. a à l'état initial ( sans le condensateur entre E D )le condensateur entre B porte une charge sur son armature proche de. près avoir connecté un deuxième condensateur entre E D la charge se répartit sur les deux armatures proches de E (sur les deux armatures proche de B D la même charge se répartit mais de potentiels diérents). La conservation de la charge électrique donne = q + q E page 9 de 13

10 PHYSIUE II(TD N 6) EPST-Tlemcen ussi, le même potentiel s'établit entre les deux condensateurs, d'où : ou encore La charge q E s'obtient C 1 = q E V = q C 1 = q E C 2 q E C 1 ( 1 C C 2 = q E C 2 ) = q E C 1 + C 2 C 1 C 2 ce qui donne lors que q E = C 2 (C 1 + C 2 ) q = q E = (1 (C 1 + C 2 ) ) = (C 1 + C 2 ) C 2 q E = C q = C C 1 d L'énergie emmagasinée dans le condensateur après connexion est donnée par q 2 Ep = 1 = J 2 C 1 alors que celle emmagasinée dans le condensateur E est q 2 E Ep E = 1 = J 2 C 2 L'énergie emmagasinée dans les deux condensateurs à l'état nal est égale à : E p = E p + E E p = J On voit bien que cte valeur est inférieure à celle du condensateur à l'état initial ( J). Ceci est dû au fait qu'en réalité les ls de connexion utilisés ont une certaine résistance qui fait perdre au système de l'énergie électrostatique sous forme de chaleur (énergie calorique : e Joule.). Cte quantité d'énergie perdue est égale à : E p = = 3.96 J page 10 de 13