Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.
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- Eugène Boudreau
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1 Remarque importante : si au cours de l épreuve, un étudiant repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. La précision, la clarté, la présentation et la concision des raisonnements et des calculs sont des éléments déterminants dans l appréciation des copies. Tout résultat, toute affirmation non justifiés ne seront pas pris en compte. Concours commun 009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. L emploi d une calculatrice est interdit Problème (Algèbre et géométrie) Partie (Étude de deux applications) La notation R [X] désigne R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à. On identifiera dans la suite de ce problème les éléments de R [X] et leurs fonctions polynomiales associées. On note B = (, X, X ) la base canonique de R [X]. On définit les deux applications suivantes : et f : R [X] R [X] P [ ( P X ϕ : R [X] R P P() ) ( + P X+ )] On rappelle aussi que l on note f 0 = Id R [X], et pour tout n N, f n = f f n. Vérifier que f est bien à valeurs dans R [X] et montrer que f est linéaire. Montrer que ϕ est linéaire. 3 Écrire la matrice de f dans la base B de R [X], en indiquant les calculs intermédiaires. L application f est-elle injective? surjective? 5 Détermier une base de ker ϕ. Quelle est la dimension de ker ϕ? 6 L application ϕ est-elle injective? surjective?
2 Partie (Calcul des puissances successives d une matrice) On note I 3 la matrice identité de M 3 (R) et A la matrice A = Enfin, on note B la famille de R [X] définie par B = (, X +, 6X 6X + ). 7 Justifier que la famille B est une base de R [X]. 8 Écrire la matrice de passage Q de B à B. 9 Justifier que Q est inversible et calculer son inverse. 0 Écrire la matrice M de f dans la base B en donnant les calculs intermédiaires. Calculer A n pour tout n N. On explicitera les neuf coefficients de A n. Pour n N et P = a + bx + cx avec (a, b, c) R 3, déterminer f n (P) en fonction de a, b, c. 3 En déduire que P R [X], lim ϕ ( f n (P)) = P(t) dt n + 0 Partie 3 (Une autre preuve du résultat précédent) À l aide d un raisonnement par récurrence, démontrer que P R [X],, n N, f n (P) = n n P k=0 ( ) X + k 5 En déduire, en utilisant un résultat du cours d analyse que l on énoncera avec précision, que n P R [X], lim ϕ ( f n (P)) = P(t) dt n + 0 Partie (Étude d une famille de sphères et d une famille de droites) L espace affine usuel est rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, ı, j, k). Les
3 différentes équations qui apparaissent sont relatives au repère R. Pour tout m réel, on considère l ensemble S m d équation cartésienne S m : x + y + z mz + m = 0 On appelle aussi E l ensemble des points de l espace vérifiant l équation E : x + y = z + On note enfin P le plan d équation y = 0, c est-à-dire le plan (xoz). 6 Démontrer que, pour tout m réel, S m est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. 7 Montrer que l intersection de P et de E est une conique G, dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles. 8 Représenter dans le plan P la conique G. 9 Donner l excentricité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère R de la conique G. 0 Pour tout θ R, on définit la droite (D θ ) ayant pour système d équations cartésiennes (D θ ) : { x z cos θ = sin θ y z sin θ = cos θ Pour tout θ R, déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (D θ ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à Soient θ et m deux réels quelconques. Prouver que la droite (D θ ) est tangente à la sphère S m. Montrer que pour tout θ R, la droite (D θ ) est incluse dans E. 3 Réciproquement, montrer que si M est un point de l ensemble E de coordonnées (x, y, z) dans repère R, alors il existe θ R tel que M appartienne à la droite (D θ ). Que peut-on déduire des deux questions précédentes? Problème (Analyse) Dans tout ce problème, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique. 3
4 Partie (Étude d une fonction) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = xsh ( x ). Étudier la parité de f.. Rappeler un équivalent de la fonction sh en 0 et en déduire les limites de f en + et en.. Déterminer la limite de f en 0. 3 Justifier que f est dérivable sur R et que pour tout x R, [ ( ) f (x) = th ] ( ) ch x x x Montrer que, pour tout X R +, th(x) < X. 5 En déduire le tableau de variations de f. 6 Donner le développement limité à l ordre en 0 de la fonction X sh(x) X. 7 En déduire qu au voisinage de + et de, f admet une développement de la forme f (x) = a 0 + a x + a x + a 3 x 3 + a ( ) x + o x où a 0,..., a sont cinq réels que l on précisera. 8 Montrer que la fonction x R f ( x ) R se prolonge sur R en une fonction continue notée F, puis prouver que F est dérivable sur R. Partie (Tracé d une courbe paramétrée) On s intéresse à l arc paramétré défini pour t = 0 par les équations { ( x(t) = t sh ) t y(t) = t exp ( ) t On note Γ son support. On donne la valeur approchée sh(), 8 à 0 près. 9 Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur R, en précisant les limites. 0 Déterminer les asymptotes de Γ et préciser la position de Γ par rapport à chacune de ses asymptotes. On résumera l étude à l aide de schémas.
5 Tracer l allure de Γ, ainsi que ses asymptotes et la tangente à Γ au point de paramètre t =. On prendra cm comme unité en abscisses et en ordonnées. Partie 3 (Une équation différentielle) On considère l équation différentielle (E) suivante que l on va résoudre sur différents intervalles xy + y = ch(x) (E) Résoudre sur l intervalle R + l équation différentielle (E). 3 Donner sans justification les solutions de l équation différentielle (E) sur R. Justifier que la fonction F est l unique fonction définie et dérivable sur R qui soit solution de l équation différentielle (E) sur R. Partie (Étude d une suite) 5 Montrer que pour n N, l équation f (x) = n + n admet une unique solution dans R +. On la note u n. On définit ainsi une suite (u n ) n N que l on va étudier dans les questions qui suivent. 6 Montrer que la suite (u n ) n N est croissante. 7 Montrer que la suite (u n ) n N tend vers + quand n tend vers +. 8 En utilisant la question ( ;7), déterminer un équivalent de u n quand n tend vers +. Partie 5 (Une fonction définie par une intégrale) Pour x R +, on pose J(x) = x x f (t) dt. 9 Montrer que pour tout x R, sh(x) = ch(x)sh(x). 0 Justifier que J est dérivable sur R + et que pour tout x R +, [ J (x) = f (x) ( )] ch x En déduire le signe de J sur R + ; on exprimera le (ou les) zéro(s) de J à l aide de la fonction ln. On admet les résultats suivants : 5
6 (*) lim x 0 + J(x) = +, (*) lim x + J(x) = + et J admet au voisinage de + une asymptote d équation y = x, (*) la courbe représentative de J est toujours «au-dessus» de l asymptote précédente. Donner le tableau de variations de J sur R +. 3 Tracer l allure de la courbe représentative ( de J. ) On donne pour le tracé : ln(+ 3) 0, 76 et J 0, 65 à 0 près. ln(+ 3) 6
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