Séries de Fourier. , la régularisée de f est l application ~ f définie par : a admette un prolongement de classe

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Gérard Bonnet
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1 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr Sérs d Fourr I Déos rélmrs Noos Ds hr, o osdèr ds oos -érodqus d R ds U ll oo s ou r morux sur R s sulm s ll s ou r morux sur [, ], s-à-dr s l xs u subdvso,, d [, ] ll qu l dm u rologm ou sur l rsro d à hqu rvll ouvr ], [ sgm [ ], S r à M, l régulrsé d s l lo ~ dé r : ~ R, lm lm lm h h h ~ E rulr, s s ou u o, lors :,,, ll dm u rologm d lss s d lss r morux sur R s l xs u subdvso d [ ] qu l rsro d à hqu rvll ouvr ], [ sur l sgm [ ] s lors d lss u mos sur [, ] \ { },,, Rq : S s d lss r morux, lors ll s ou r morux, ms s éssrm ou O ll lors dérvé géérlsé d ou oo ou r morux - érodqu qu oïd v ' ux os où ' s dé O or D u ll oo, qu s do géérl s dé d mèr uqu O or l smbl ds oos -érodqus d R ds ous ; M l smbl ds oos -érodqus d R ds ous r morux ; l smbl ds oos -érodqus d R ds d lss ; ds oos -érodqus d R ds d lss r morux O lors : M M M l smbl M Ls smbls dés -dssus so ds sous-ss vorls du -s vorl ds oos borés d R ds Norms ds Pour ou oo ds M, o o : d d Rq : Ao à l dér d oo r ror ux déos usulls ds, b, K [ ]

2 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr Ds l s vorl, ls los : so ds orms L orm s l orm uld ssoé u rodu slr dé r : g d O moré qu ls oos :, Z orm u g mll orhoormé our rodu slr L mll ormé r ls oos os s our ds N s orhogol Ds M, so s ds orms r lls uv s ulr our ds oos o ulls : l su qu l rsro d à [, ] so ull su u ombr d os our qu ou so ull O uls d busvm l mêm oo 3 Polyôms sérs rgoomérqus Dé : So u r os O ll hrmoqu d rg ou ombso lér ds oos Ls hrmoqus d rg so do ls oos oss :, u S, ls hrmoqus d rg so ls oos u d l orm :, u, où ls os so omlxs U olyôm rgoomérqu s u somm d hrmoqus, s-à-dr u oo d l orm :, u où N O d lors qu s d dgré u lus 3 U sér rgoomérqu s u sér d oos do l rm d rg s u hrmoqu d rg Ss somms rlls so do ds olyôms rgoomérqus Lorsqu u ll sér ovrg u o, o ourr or s somm : S u s u hrmoqu d rg omlxs l qu :, u os b s, l xs u uqu oul, b d ombrs Ls os so lors rlés r ls rlos :,, : b b, O os lors : b b As :, u O lors :, u os b s s l sér ovrg :

3 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr os b s Rq : U olyôm rgoomérqu s u oo ou -érodqu sur R S l sér ovrg, s somm s -érodqu S l sér s uormém ovrg sur,, s somm s u oo ou -érodqu sur R [ ] O dm l héorèm suv : H : Duxèm héorèm d roxmo d Wrsrss ou oo ou -érodqu sur R u êr rohé uormém r ds olyôms rgoomérqus II os d Fourr d u oo os d Fourr xols Dé 3 : So ds M Ls os d Fourr xols d so dés r l Z ormul :, d Rq : Du d l érodé, o do uss our ou rél : rulr : d Pro 4 : Proréés ds os d Fourr So dsm d, Pour ou r, l lo : s lér sur M Pour ou ds M, our ou ds Z, o : 3 M : Z, E rulr, s s à vlurs rélls : 4 So g : Alors g M : Z, g 5 So : Alors M : Z, Rq : Il su d svor rrouvr rdm s roréés Pro 5 : o d Fourr d l dérvé So ou -érodqu d lss r morux Alors : Z, D S s d lss -érodqu, lors : 3

4 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr os d Fourr rgoomérqus Dé 6 : So u élém quloqu ds M Ls os d Fourr rgoomérqus d so dés r ls ormuls : N, os d b s d Rq : b S s à vlurs rélls, ss os d Fourr rgoomérqus so réls s rlm ds s qu o uls ls os d Fourr rgoomérqus Pro 7 : s d u oo r ou mr S s r, lors : N, os d b S s mr, lors : N, b s d Pro 8 : L r ls dérs os So dsm Alors ss os d Fourr vér ls rlos :, b b b N, E rulr : sq : S d lus s à vlurs rélls, lors : R b Im N III Eud d l sér d Fourr ssoé à Sér d Fourr ssoé à Dé 9 : So u élém quloqu ds M O or : O dé ls hrmoqus d os : R, u * N, R, u os b s L sér d Fourr ssoé à s l sér d oos d rm géérl u O d qu s dévlobl sér d Fourr s s sér d Fourr ovrg our somm S u S l sér ovrg, o or : S u Il s g m d svor s sér d oos ovrg, l s éhé, s s somm S s égl à 4

5 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr Pro : s rulr So u oo somm d u sér rgoomérqu qu ovrg α uormém sur R : R, γ α os β s Alors : s ou -érodqu sur R Ss os d Fourr xols so ls qu : Z, γ 3 Ss os d Fourr rgoomérqus so ls qu : N, α b β Rq : s lors égl à l somm d s sér d Fourr ovrg moy qudrqu Rq : Ls résuls d rgrh so démorés ds l s ds oos ous o dm lur géérlso u s ds oos ous r morux Ds l s où r à, o do : S L mll orm u bs orhoormé du sous-s vorl P ds olyôms rgoomérqus d dgré u lus, l somm rll S s do l rojé orhogol d sur P D lus : S b Pro : Iéglé d Bssl So ou r morux Alors : Z, orollr : L sér d rm géérl érodqu sur R M ovrg b lm lm lm b ± S d lus s d lss w w s -érodqu, lors : o± H 3 : héorèm d ovrg moy qudrqu So ds M Alors l sér d Fourr d ovrg moy qudrqu vrs, s-à-dr : lm S 5

6 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr H 4 : Eglé d Prsvl ou Bssl-Prsvl So dsm Alors :, s-à-dr : d b Pro 5 : Foos ous y ls mêms os d Fourr So g dux oos ous -érodqus lls qu : Z, g Alors : g NB : résul s lus vr s ls oos so sulm ous r morux 3 ovrg oull s s r morux Pro 6 : S r à s d lss r morux, lors l su s mjoré ls sérs b so bsolum ovrgs H 7 : héorèm d ovrg orml S s ou -érodqu d lss r morux, lors l sér d Fourr d ovrg ormlm sur R s somm s égl à s do dévlobl sér d Fourr o : R, os b s E, o dm u drr résul or l s où l oo s s ou H 8 : héorèm d Drhl S r à M, lors l sér d Fourr d ovrg smlm sur R s somm s égl à l régulrsé ~ d E rulr, ou o où s ou, l somm d l sér d Fourr d s égl à Rq : E hosss ds vlurs rulèrs d, s rlos rm d lulr l somm d rs sérs IV s d u oo érodqu d érod quloqu S s u oo ou r morux érodqu d érod quloqu, o u oujours s rmr à u oo -érodqu os : 6

7 PSI Lyé Rbls Sérs d Fourr 7 g, R O u lors lqur qu réèd à l oo g O dé ls os d Fourr d omm é ux d l oo g -érodqu ssoé, so : d d g, v : ; d os ; d b s L sér d Fourr d s ér : s os b L églé d Prsvl s éo lors sous l orm : b d S s d lus ou d lss r morux, lors s sér d Fourr ovrg ormlm sur R our somm héorèm d ovrg orml S s ou r morux d lss r morux, lors s sér d Fourr ovrg smlm sur R our somm l régulrsé d héorèm d Drhl

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