Probabilité et méthodes de fiabilité utilisées en géotechnique

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1 Probabilité et méthodes de fiabilité utilisées en géotechnique Fernando Lopez-Caballero Laboratoire MSS-Mat École Centrale Paris 4 février 2011

2 Plan général Formulation de la fiabilité La fonction de performance L indice de fiabilité ou de sécurité Intégration de la fonction de performance Méthode par séries de Taylor Modèle de Rosenblueth Approximation par optimisation Simulation de Monte-Carlo Exemple 1 Exemple 2

3 Plan général Formulation de la fiabilité La fonction de performance L indice de fiabilité ou de sécurité Intégration de la fonction de performance Méthode par séries de Taylor Modèle de Rosenblueth Approximation par optimisation Simulation de Monte-Carlo Exemple 1 Exemple 2

4 La fonction de performance Fonction de performance ou fonction d état limite g(x) g(x) = R(X) S(X) R(X) : fonction de résistances S(X) : fonction de sollicitations

5 La fonction de performance Fonction de performance ou fonction d état limite g(x) g(x) = R(X) S(X) R(X) : fonction de résistances S(X) : fonction de sollicitations g(x) < 0 état de ruine ou faille = 0 état limite > 0 état de sûreté

6 La fonction de performance Fonction de performance ou fonction d état limite g(x) g(x) = R(X) S(X) R(X) : fonction de résistances S(X) : fonction de sollicitations g(x) < 0 état de ruine ou faille = 0 état limite > 0 état de sûreté µ g(x) = µ R(X) µ S(X) σ 2 g(x) = σ 2 R(X) + σ2 S(X)

7 La fonction de performance Probabilité de ruine (p f ) : p f = Prob[R(X) S(X)] = Prob[R(X) S(X) 0] = Prob[g(X) 0]

8 La fonction de performance Probabilité de ruine (p f ) : p f p f = Prob[R(X) S(X)] = Prob[R(X) S(X) 0] = Prob[g(X) 0] ( ) 0 µg(x) = Φ σ g(x) ( p f = Φ µ ) g(x) σ g(x) Φ( ) : Fonction de répartition de la loi normale

9 L indice de fiabilité ou de sécurité L indice de fiabilité β : β = Φ 1 (p f ) β = = µ g(x) σ g(x) µ R(X) µ S(X) σ 2 R(X) + σ2 S(X)

10 L indice de fiabilité ou de sécurité Unsafe Safe fdp g(x) [.] β σ g σ g µ g g(x)

11 L indice de fiabilité ou de sécurité β p f = Φ( β)

12 L indice de fiabilité ou de sécurité 10 0 p f = Φ( β) [.] β [.]

13 Plan général Formulation de la fiabilité La fonction de performance L indice de fiabilité ou de sécurité Intégration de la fonction de performance Méthode par séries de Taylor Modèle de Rosenblueth Approximation par optimisation Simulation de Monte-Carlo Exemple 1 Exemple 2

14 Méthode par séries de Taylor Méthode FOSM Fonction f (X, Y ) à deux variables aléatoires X et Y f (X, Y ) = f (µ X, µ Y ) + (X µ X ) f X + (Y µ Y ) f Y

15 Méthode par séries de Taylor Méthode FOSM Fonction f (X, Y ) à deux variables aléatoires X et Y f (X, Y ) = f (µ X, µ Y ) + (X µ X ) f X + (Y µ Y ) f Y E[f (X, Y )] = f (E[X], E[Y])

16 Méthode par séries de Taylor Méthode FOSM Fonction f (X, Y ) à deux variables aléatoires X et Y f (X, Y ) = f (µ X, µ Y ) + (X µ X ) f X + (Y µ Y ) f Y E[f (X, Y )] = f (E[X], E[Y]) [ Var[f (X, Y )] = Var (X µ X ) f X + (Y µ Y ) f ] Y ( ) 2 ( ) 2 f f = Var[X] + Var[Y ] + 2 f f X Y X Y COV[X, Y ]

17 Méthode par séries de Taylor Si X et Y ne sont pas corrélées : Var[f (X, Y )] = ( ) 2 ( ) 2 f f Var[X] + Var[Y] X Y

18 Méthode par séries de Taylor Si X et Y ne sont pas corrélées : Var[f (X, Y )] = ( ) 2 ( ) 2 f f Var[X] + Var[Y] X Y En général : Var[f (X 1, X 2,...,X n )] = n ( ) 2 f Var[X i ] i=1 x i

19 Méthode par séries de Taylor Séries de Taylor par différences finies : Approche pour calculer les dérivés par différences finies : f X f (µ X + σ X, µ Y ) f (µ X σ X, µ Y ) = f X 2σ X 2σ X f Y f (µ X, µ Y + σ Y ) f (µ X, µ Y σ Y ) = f Y 2σ Y 2σ Y

20 Méthode par séries de Taylor Séries de Taylor par différences finies : Approche pour calculer les dérivés par différences finies : En général : f X f (µ X + σ X, µ Y ) f (µ X σ X, µ Y ) = f X 2σ X 2σ X f Y f (µ X, µ Y + σ Y ) f (µ X, µ Y σ Y ) = f Y 2σ Y 2σ Y Var[f (X 1, X 2,...,X n )] n i=1 ( fxi 2 ) 2

21 Modèle de Rosenblueth Point Estimate Method PEM Fonction Y = f (X i, X j, X k,..., X n ) Nécessité d évaluer Y pour les 2 n, combinaisons possibles des X

22 Modèle de Rosenblueth Point Estimate Method PEM Fonction Y = f (X i, X j, X k,..., X n ) Nécessité d évaluer Y pour les 2 n, combinaisons possibles des X Pour une distribution normale : X i + = µ Xi + σ Xi ; X i = µ Xi σ Xi ; X j + = µ Xj + σ Xj ; X j = µ Xj σ Xj ; X k + = µ Xk + σ Xk ; X k = µ Xk σ Xk ; etc. µ Xi et σ Xi : moyenne et écart type de X i

23 Modèle de Rosenblueth e.g. pour 3 variables X (n = 3), on a 2 n = 8 combinaisons Les Y ij...n sont : X 1, X 2, X 3 Y

24 Modèle de Rosenblueth e.g. pour 3 variables X (n = 3), on a 2 n = 8 combinaisons Les Y ij...n sont : X 1, X 2, X 3 Y X 1, X 2, X 3 + Y + X 1, X 2 +, X 3 Y + X 1, X 2 +, X 3 + Y + + X 1 +, X 2, X 3 Y + X 1 +, X 2, X 3 + Y + + X 1 +, X 2 +, X 3 Y + + X 1 +, X 2 +, X 3 + Y + ++

25 Modèle de Rosenblueth Il y aura n (n 1)/2 coefficients de corrélation ˆρ ij...n On calcule 2 n facteurs de pondération p ij...n = f (ˆρ ij...n ) égaux par couples

26 Modèle de Rosenblueth Il y aura n (n 1)/2 coefficients de corrélation ˆρ ij...n On calcule 2 n facteurs de pondération p ij...n = f (ˆρ ij...n ) égaux par couples e.g. 3 variables, 3 (3 1)/2 = 3, ˆρ 12, ˆρ 23, ˆρ 31 2 n = 8 facteurs de pondération : p = p + ++ = (1/2 3 ) (1 + ˆρ 12 + ˆρ 23 + ˆρ 31 ) p + = p + + = (1/2 3 ) (1 + ˆρ 12 ˆρ 23 ˆρ 31 ) p + = p + + = (1/2 3 ) (1 ˆρ 12 ˆρ 23 + ˆρ 31 ) p ++ = p + = (1/2 3 ) (1 ˆρ 12 + ˆρ 23 ˆρ 31 ) Le signe de ˆρ ij est donné par le signe du produit de la multiplication de ij, pour i(+), j(+) ou i( ), j( ) on a ij(+) pour i( ), j(+) ou i(+), j( ) on a ij( )

27 Modèle de Rosenblueth Avec Y ij...n et p ij...n : E[Y] = E[Y 2 ] = n p ij...n Y ij...n i=1 n i=1 p ij...n Y 2 ij...n σ[y ] = E[Y 2 ] E[Y] 2

28 Approximation par optimisation Méthode FORM L indice de fiabilité ou de sécurité 2 Safe ρ = 0 1 X 2 [.] Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

29 Approximation par optimisation Méthode FORM L indice de fiabilité ou de sécurité 2 Safe ρ = 0 1 X 2 [.] Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

30 Approximation par optimisation Méthode FORM L indice de fiabilité ou de sécurité 2 Safe ρ = 0 1 X 2 [.] Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

31 Approximation par optimisation Méthode FORM L indice de fiabilité ou de sécurité 2 Safe ρ = 0 1 X 2 [.] 0 1 β 2 Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

32 Approximation par optimisation Méthode FORM L indice de fiabilité ou de sécurité X [.] X 1 [.] 1 2 X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

33 Approximation par optimisation Méthode FORM Forme matricielle de l indice de fiabilité β de Hasofer-Lind : β = min (x m) T [C] 1 (x m) x RS [xi ] T [ ] µ xi xi β = min [R] 1 µ xi x RS σ i σ i

34 Approximation par optimisation Méthode FORM [C] est la matrice de covariance des x n variables : σx 2 1 COV(x 1, x 2 )... COV(x 1, x n ) COV(x 2, x 1 ) σx COV(x 2, x n ) [C] = COV(x n, x 1 ) COV(x n, x 2 )... σx 2 n

35 Approximation par optimisation Méthode FORM [R] est la matrice de corrélation des x n variables : 1 ˆρ ˆρ 1n ˆρ ˆρ 2n [R] = ˆρ n1 ˆρ n2... 1

36 Approximation par optimisation Méthode FORM e.g., pour 2 variables x 1 et x 2 : (x 1 µ x1 ) β = 2 (1 ˆρ 2 12 ) + (x 2 µ x2 ) 2 σ2 x 1 (1 ˆρ 2 12 ) 2 ˆρ 12 (x 1 µ x1 ) (x 2 µ x2 ) σ2 x 2 (1 ˆρ 2 12 ) σ x 1 σ x2 Cette équation correspond à celle d une ellipse

37 Approximation par optimisation Méthode FORM 2 Safe ρ = X 2 [.] Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

38 Approximation par optimisation Méthode FORM 2 Safe ρ = X 2 [.] Unsafe g(x 1,X 2 )= X 1 [.] X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

39 Approximation par optimisation Méthode FORM X [.] X 1 [.] 1 2 X 1 N[0, 1] et X 2 N[0, 1]

40 Simulation de Monte-Carlo X 1 X 2... X p Entrée

41 Simulation de Monte-Carlo X 1 X 2... X p Entrée Le modèle Y = f (X 1,..., X p)

42 Simulation de Monte-Carlo X 1 X 2... X p Entrée Le modèle Y = f (X 1,..., X p) D Y = f (X 1,..., X p) Sortie

43 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires.

44 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires. 2. Quantification des caractéristiques probabilistes de toutes les variables aléatoires, c est-à-dire, leur fonction de densité de probabilité, leur moyenne, leur écart type, etc.

45 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires. 2. Quantification des caractéristiques probabilistes de toutes les variables aléatoires, c est-à-dire, leur fonction de densité de probabilité, leur moyenne, leur écart type, etc. 3. Génération des valeurs aléatoires de ces variables.

46 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires. 2. Quantification des caractéristiques probabilistes de toutes les variables aléatoires, c est-à-dire, leur fonction de densité de probabilité, leur moyenne, leur écart type, etc. 3. Génération des valeurs aléatoires de ces variables. 4. Évaluation du problème déterministe pour chaque ensemble de réalisations ou tirages de toutes les variables aléatoires.

47 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires. 2. Quantification des caractéristiques probabilistes de toutes les variables aléatoires, c est-à-dire, leur fonction de densité de probabilité, leur moyenne, leur écart type, etc. 3. Génération des valeurs aléatoires de ces variables. 4. Évaluation du problème déterministe pour chaque ensemble de réalisations ou tirages de toutes les variables aléatoires. 5. Obtention de l information probabiliste de N réalisations, c est-à-dire, évaluer la probabilité de faille, déterminer la moyenne et l écart type des variables de sortie du problème.

48 Simulation de Monte-Carlo La technique de simulation est divisée essentiellement dans 6 parties : 1. Définition du problème en termes de variables aléatoires. 2. Quantification des caractéristiques probabilistes de toutes les variables aléatoires, c est-à-dire, leur fonction de densité de probabilité, leur moyenne, leur écart type, etc. 3. Génération des valeurs aléatoires de ces variables. 4. Évaluation du problème déterministe pour chaque ensemble de réalisations ou tirages de toutes les variables aléatoires. 5. Obtention de l information probabiliste de N réalisations, c est-à-dire, évaluer la probabilité de faille, déterminer la moyenne et l écart type des variables de sortie du problème. 6. Déterminer l efficience et la stabilité de la simulation.

49 Simulation de Monte-Carlo Définir les variables aléatoires X i du problème et les fonctions R(X i), S(X i) et g(x ii) Définir la valeur limite de CV - CV[ˆp f ] lim Générer n nombres aléatoires avec distribution uniforme U[0,1] Transformer les variables X i dans leurs distributions fdp respectives Calculer µ g(xi ), σ g(xi ) Évaluer ˆp f, Var[ˆp f ] et CV[ˆp f ] CV[ˆp f ] CV[ˆp f ] lim Oui Non Calculer µ g(xi ), σ g(xi )

50 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires Technique de transformation inverse ou méthode FCD inverse f X (x) = F 1 X {F U[f U (u)]}

51 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires Technique de transformation inverse ou méthode FCD inverse f X (x) = F 1 X {F U[f U (u)]} F U (u i ) = u i pour U[0, 1] F X (x i ) = F U (u i ) = u i x i = F 1 X (u i)

52 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires F U(u) F X(x) U v.a. X f U(u) f X(x) U 1 u i 0 x i v.a. X

53 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires Distribution Normale ou de Gauss N[0, 1] 1 f S (s) = exp [ 12 ] 2π s2 < s < s 1 F S (s) = exp [ 12 ] s2 ds 2π pour N[µ X, σ X ] x i = µ X + σ X Φ 1 (u i )

54 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires Distribution Log-normale [ 1 f S (s) = 2π ζs s exp 1 ( ) ] 2 lns λs 2 ζ S ( ) ln s λ S [ ζ S 1 F S (s) = exp 1 ( lns λs 2π 2 avec : 0 λ S = E[lnS] = ln µ S 1 2 ζ2 S [ ζ 2 S = Var[ln S] = ln u i ( ) ln xi λ X = Φ ζ X 1 + x i = exp[λ X + ζ X Φ 1 (u i )] ( σs µ S ζ S ) 2 ] ) 2 ] 0 < s < ds

55 Simulation de Monte-Carlo Probabilité de faille : Si l on définie p f = g(x) 0 f (X) dx I g (X) = { 1 g(x) 0 0 g(x) > 0 p f = I g (X) f (X) dx X ˆp f = 1 N N I g (X i ) i=1

56 Simulation de Monte-Carlo L erreur de l estimateur : CV[ˆp f ] = Var[ˆp f ] = CV[ˆp f ] = Var[ˆpf ] ˆp f 1 N I g (X i ) 2 1 N (N 1) N 1ˆp2 f i=1 1 ˆp f (N 1)ˆp f

57 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Pour générer p simulations de x n v.a. non-corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij = 0 i j [X] = [σ X ] [U] + [µ X ]

58 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Pour générer p simulations de x n v.a. non-corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij = 0 i j [X] = [σ X ] [U] + [µ X ] [σ X ] : matrice diagonale avec les σ xi des x n variables σ x σ x [σ X ] = σ xn

59 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Pour générer p simulations de x n v.a. non-corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij = 0 i j [X] = [σ X ] [U] + [µ X ] [U] : matrice n p avec n v.a. u i N[0, 1], ˆρ ij = 0 i j u 1,1 u 1,2... u 1,p u 2,1 u 2,2... u 2,p [U] = u n,1 u n,2... u n,p

60 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Pour générer p simulations de x n v.a. non-corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij = 0 i j [X] = [σ X ] [U] + [µ X ] [µ X ] : matrice n p avec p fois les µ xi des x n variables µ x1,1 µ x1,2... µ x1,p µ x2,1 µ x2,2... µ x2,p [µ X ] = µ xn,1 µ xn,2... µ xn,p

61 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Méthode basée dans l analyse de composantes principales Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij 0 i j [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ]

62 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Méthode basée dans l analyse de composantes principales Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij 0 i j [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ] u i N[0, 1] et ˆρ ij 0 i j [U ] = [T] [Λ] [U]

63 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Méthode basée dans l analyse de composantes principales Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij 0 i j [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ] u i N[0, 1] et ˆρ ij 0 i j [U ] = [T] [Λ] [U] [T] : matrice de transformation orthogonale avec les θ (n) vecteurs propres normalisés de la matrice de corrélation [R] 1 ˆρ ˆρ 1n ˆρ ˆρ 2n [R] = ˆρ n1 ˆρ n2... 1

64 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Méthode basée dans l analyse de composantes principales Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij 0 i j [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ] u i N[0, 1] et ˆρ ij 0 i j [U ] = [T] [Λ] [U] [T] : matrice de transformation orthogonale avec les θ (n) vecteurs propres normalisés de la matrice de corrélation [R] [T] = θ (1) 1 θ (2) 1... θ (n) 1 θ (1) 2 θ (2) 2... θ (n).... θ n (1) θ n (2) θ n (n)

65 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Méthode basée dans l analyse de composantes principales Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : x i N[µ xi, σ xi ] et ˆρ ij 0 i j [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ] u i N[0, 1] et ˆρ ij 0 i j [U ] = [T] [Λ] [U] [Λ] : matrice diagonale avec la racine des λ i de [R] λ i : les n valeurs propres ordonnées de mineur à majeur λ λ [Λ] = λn

66 Simulation de Monte-Carlo Génération des nombres aléatoires corrélés avec distribution Normale Pour générer p simulations de x n v.a. corrélées : [X] = [σ X ] [U ] + [µ X ] [U ] = [T] [Λ] [U] [U] : matrice n p avec n v.a. u i N[0, 1], ˆρ ij = 0 i j [Λ] : matrice diagonale avec la racine des n λ i de [R] ordonnées de mineur à majeur [T] : matrice avec les θ (n) vecteurs propres normalisés de [R] [U ] : matrice n p avec n v.a. u i N[0, 1], ˆρ ij 0 i j

67 Plan général Formulation de la fiabilité La fonction de performance L indice de fiabilité ou de sécurité Intégration de la fonction de performance Méthode par séries de Taylor Modèle de Rosenblueth Approximation par optimisation Simulation de Monte-Carlo Exemple 1 Exemple 2

68 Exemple 1 La résistance maximale pour un sol : q u = 2 c [tan φ + (1 + tan 2 φ) 1/2 ] µ CV [%] tanφ [.] c [kpa] q [kpa] c et tan φ ne sont pas corrélées la fonction de performance g(x) = q u q calculer la probabilité de ruine pour ce cas (i.e. Prob[g(X) 0])

69 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM les variables ne sont pas corrélées (i.e. ˆρ c,tan φ = 0) (c ) 2 ( µ c tanφ µ tan φ β = min + σ c σ tan φ ) 2 pour g(x) = 0

70 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM 150 Prob [g(tan φ,c) 0] = 4.84% β = 1.66 C [kpa] µ C g(tan φ,c) = 0 µ tan φ ρ = tan φ [.] 0.8 1

71 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM les variables sont corrélées (i.e. ˆρ c,tan φ 0) [xi ] T [ ] µ xi xi β = min [R] 1 µ xi x RS σ i σ i pour g(x) = 0

72 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM les variables sont corrélées (i.e. ˆρ c,tan φ 0) [xi ] T [ ] µ xi xi β = min [R] 1 µ xi x RS σ i σ i pour g(x) = 0 [R] = ( 1 ˆρ c,tan φ ˆρ c,tan φ 1 )

73 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM 150 Prob [g(tan φ,c) 0] = 6.93% β = 1.48 C [kpa] µ C g(tan φ,c) = 0 µ tan φ ρ = tan φ [.] 0.8 1

74 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM 150 Prob [g(tan φ,c) 0] = 8.92% β = 1.35 C [kpa] µ C g(tan φ,c) = 0 µ tan φ ρ = tan φ [.] 0.8 1

75 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM 150 Prob [g(tan φ,c) 0] = 1.29% β = 2.23 C [kpa] µ C g(tan φ,c) = 0 µ tan φ ρ = tan φ [.] 0.8 1

76 Exemple 1 Approximation par optimisation - Méthode FORM β [.] ρ[c,tan φ] [.]

77 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables ne sont pas corrélées (i.e. ˆρ c,tan φ = 0) Loi de probabilité normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000

78 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo tan φ [.] C [kpa] tan φ [.] C [kpa] 200

79 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo µ qu [kpa] Number of Sample N

80 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo Frequency [.] µ = 346kPa σ = 77.1kPa CV = 22.3 % q u [kpa]

81 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 200 Prob [g(tan φ,c) 0] 150 C [kpa] 100 g(tan φ,c) = 0 50 Simulations ρ= tan φ [.] 0.8 1

82 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 10 8 p f [%] Number of Sample N

83 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo CV (p f ) [%] Number of Sample N

84 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables sont corrélées (e.g. ˆρ c,tan φ = 0.8) Loi de probabilité normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000

85 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables sont corrélées (e.g. ˆρ c,tan φ = 0.8) Loi de probabilité normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000 [R] = ( )

86 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables sont corrélées (e.g. ˆρ c,tan φ = 0.8) Loi de probabilité normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000 [R] = ( ) λ = { } ou aussi λ = {1 ˆρ c,tan φ 1 + ˆρ c,tan φ }

87 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables sont corrélées (e.g. ˆρ c,tan φ = 0.8) Loi de probabilité normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000 [R] = ( ) λ = { } ou aussi λ = {1 ˆρ c,tan φ 1 + ˆρ c,tan φ } [T] = ( 1 2 )

88 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 1 tan φ [.] C [kpa] tan φ [.] C [kpa] 200

89 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo µ qu [kpa] Number of Sample N

90 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo Frequency [.] µ = 353kPa σ = 98.4kPa CV = 27.9 % q u [kpa]

91 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 200 Prob [g(tan φ,c) 0] 150 C [kpa] 100 g(tan φ,c) = 0 50 Simulations ρ= tan φ [.] 0.8 1

92 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo p f [%] Number of Sample N

93 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo CV (p f ) [%] Number of Sample N

94 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo µ qu [kpa] σ qu [kpa] ρ [.]

95 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo les variables ne sont pas corrélées (i.e. ˆρ c,tan φ = 0) Loi de probabilité Log-normale Prob[g(X) 0] Nombre de simulations N = 5000

96 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 1.2 tan φ [.] C [kpa] tan φ [.] C [kpa] 200

97 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo µ qu [kpa] Number of Sample N

98 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo Frequency [.] µ = 350kPa σ = 78.9kPa CV = 22.5 % q u [kpa]

99 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 200 Prob [g(tan φ,c) 0] 150 C [kpa] 100 g(tan φ,c) = 0 50 Simulations ρ= tan φ [.] 0.8 1

100 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo 10 8 p f [%] Number of Sample N

101 Exemple 1 Simulation de Monte-Carlo CV (p f ) [%] Number of Sample N

102 Plan général Formulation de la fiabilité La fonction de performance L indice de fiabilité ou de sécurité Intégration de la fonction de performance Méthode par séries de Taylor Modèle de Rosenblueth Approximation par optimisation Simulation de Monte-Carlo Exemple 1 Exemple 2

103 Exemple 2 Géométrie de la semelle 50kN 2m 2m 2m 2m 2m Argile Argile Argile Argile Sable

104 Exemple 2 Évaluer la sécurité d une semelle carrée de 2m 2m vis-à-vis du tassement à long terme dû à la consolidation de la couche d argile normalement consolidée; Pour calculer la valeur du tassement d une couche de sol : S = ( ) C c σo + σ H log 1 + e o σ o Les propriétés du sol obtenues au laboratoire sont : µ CV [%] ρ sol [kg/m 3 ] C c [.] e o [.] P [kn] 50 20

105 Exemple 2 Le tassement admissible à long terme est de 0.25m La charge induite ( σ = I e q) est calculée : z b/z I e

106 Exemple 2 Cas 1 : ρsol, C c, e o et P sont indépendantes; Loi de distribution normale ; Cas 2 : ρsol, C c, e o et P sont indépendantes; Loi de distribution log-normale ; Cas 3 : ρsol et P sont indépendantes; Cc et e o sont corrélées ; Coefficient de corrélation ρcc e o varie entre 0.2 et 0.8 ; Loi de distribution log-normale ;

107 Exemple 2 Cas 4 : ρsol, C c, e o et P sont indépendantes; Loi de distribution log-normale ; eo suit un modèle gaussien d auto-corrélation de la forme : ˆρ ij (τ) ) = exp ( π τ2 θ 2 τ = zi z j et θ est la distance d auto-corrélation. Utiliser trois valeurs pour la variable θ, 20m, 4m et 2m.

108 Champs aléatoires Modèles de champs aléatoires Modèle probabiliste naturel pour données corrélés spatialement; Un champ aléatoire X(x) est caractérisé par : Moyenne µ(x) qui peut-être constante spatialement ou stationnaire ; Variance σ 2 (x) ; Fonction de densité de probabilité (fdp) de X(x) ; Structure de corrélation ou matrice d auto-corrélation [R] qui donne le coefficient de corrélation ρ xi x j pour deux points quelconques; Coefficient de corrélation ρxi x j dépend de la distance τ = x i x j et de la distance de fluctuation ou d auto-corrélation θ.

109 Champs aléatoires Modèles de champs aléatoires 1D exponentiel ( ˆρ ij(τ) = exp 2 τ θ ) exponentiel carré ( ou gaussien ) ˆρ ij(τ) = exp π τ2 θ 2 triangulaire cubique ˆρ ij(τ) = 1 τ if τ θ ˆρ θ ij(τ) = θ3 (θ+ τ ) 3

110 Champs aléatoires Modèles de champs aléatoires 1D ρ(τ/θ) ( 2 τ /θ) ρ = e ρ = e ( π (τ/θ)2 ) ρ = 1 τ /θ ρ = θ 3 /(θ + τ ) τ/θ Modèles d auto-corrélation ρ xi x j

111 Champs aléatoires Modèles de champs aléatoires 1D φ pp [ o ] θ = 40m 24 θ = 7m θ = 1m Distance [m] Définition de la distance de fluctuation θ

112 Champs aléatoires Génération de champs aléatoires - Covariance decomposition Analyse en composantes principales avec variables aléatoires guassiennes; Génération de la matrice d auto-corrélation [R] du champ; Génération de n variables aléatoires indépendantes [G] avec fdp N[0, 1]; [Λ] : matrice diagonale avec la racine des n λ i de [R] ordonnées de mineur à majeur; [T] : matrice avec les θ (n) vecteurs propres normalisés de [R] ; Matrice avec un champ aléatoire corrélé Gaussien [P] : [P] = [T] [Λ] [G]

113 Champs aléatoires Génération de champs aléatoires - Covariance decomposition Champ aléatoire corrélé non-gaussien f B (x) : f B (x) = F 1 B {F G[f P (x)]}

114 Favre, J. L. (2005). Sécurité des ouvrages, Risques - Modélisation de l incertain, fiabilité, analyse de risques. Edit. Ellipses, France. Fenton, G. A. (1997). Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering. Workshop presented at ASCE GeoLogan 97 Conference, Logan, Utah. ASCE Geotechnical Safety and Reliability Committee Griffiths, D. V., Fenton, G. A., and Tveten, D. E. (2002). Probabilistic geotechnical analysis : How difficult does it need to be? In Proceedings of the International Conference on Probabilistics in Geotechnics : Technical and Economic Risk Estimation. R. Pottler, H. Klapperich and H. Schweiger (eds.), Graz, Austria, United Engineering Foundation, New York. Haldar, A. and Mahadevan, S. (2000). Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, USA. Harr, M. E. (1987). Reliability based design in civil engineering. McGraw Hill, London, New York. Hasofer, A. M. and Lind, N. C. (1974). Exact and invariant second-moment code format. Journal of the Engineering Mechanics Dvision - ASCE, 100(EM1) : Low, B. K. (1996). Practical probabilistic approach using spreadsheet. In Proc. Uncertainty in the Geologic Environment - From Theory to Practice, pages ASCE Geotechnical Special Publication No 58, Madison, Wisconsin. Low, B. K. and Tang, W. H. (2004). Reliability analysis using object-oriented constrained optimization. Structural Safety, 26 : Rosenblueth, E. (1975). Point estimates for probability moments. Proceedings of the National Academy of Science, USA, 72(10) :