Première S Exercices d'applications sur la dérivation Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations.

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1 Première S Eercices d'applications sur la dérivation 22 Eercice Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations. ) f() = ) f() = 2² 8 2 ² 2 3) f() = 2 3 Eercice 2 : équation f() = ) Démontrer que l'équation ² 2 = admet une unique solution dans l'intervalle [;]. 2) Donner un encadrement d'amplitude 2 de cette solution. Eercice 3 : Optimisation ABCD est un carré de côté. M est sur le segment [AB]. On place le point N tel que CN = AM sur la demi droite [BC) à l'etérieur du segment [BC]. La droite (MN) coupe (DC) en P. On pose AM = avec. Le but de l'eercice est de trouver M sur [AB] tel que la distance PC soit maimale. ) Démontrer que PC = ² 2) a) Etudier les variations de la fonction f définie sur [;] par f() = ². b) En déduire la valeur de pour laquelle la distance PC est maimale.

2 Première S Eercices d'applications sur la dérivation 22 Eercice 4 : Optimisation Dans une sphère de centre O et de rayon R, on inscrit un cône de révolution de hauteur h. On a dans la figure OL = R, HL = r et AH = h. ) Démontrer que le rayon r de la base du cône est égal à h(2r h). 2) a) Calculer le volume du cône en fonction de h. b) Pour quelle valeur de h le volume estil maimal? 2

3 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 Eercice Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations. ) f() = 2 2) f() = 2 3 2² 8 2 ² 2 3) f() = 2 3 ) D f = Y {3} f est dérivable sur Y {3}. Pour D f, () = 2 2 ( 3)² > Donc f est strictement croissante sur ] ;3[ et strictement croissante sur ]3; [. 3 f() Représentation graphique de f dans un repère (non demandé) : 3

4 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 2) f() = 2² 8 2 ² 2 D f = Y {} = 2(² 4 ) ( )² f est dérivable sur D f en tant que quotient de deu fonctions polynômes dérivables sur Y. Pour D f, f() = 2 u() avec u() = ² 4 et v() = ( )² v() On a alors : = 2 u'v uv' v² u'() = 2 4 et v'() = 2( ) D'où : () = 2 () = 4 () = 4 () = 4 ( ) 3 (2 4) ( )² (² 4 ) 2 ( ) ( ) 4 ( 2)( ) ² 4 ( ) 3 ² 3 2 ² 4 ( ) 3 () est du signe de 4

5 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 Tableau des variations de f : f() 3 Représentation graphique de f dans un repère (non demandé) : 3) f() = 2 3 D f = 3 2 ; f est dérivable sur D f car la fonction 2 3 est dérivable sur D f est ne s'annule pas sur D f. Pour D f, f() = On a alors = v' v². avec v() = 2 3 v() 5

6 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 Or v'() = = 2 3 Donc : () = (2 3) 2 3 Or pour 3 2 ; () >. Donc f est strictement croissante sur D f. Tableau des variations de f : f() Représentation graphique de f dans un repère (non demandé) : 6

7 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 Eercice 2 : équation f() = ) Démontrer que l'équation ² 2 = admet une unique solution dans l'intervalle [;]. 2) Donner un encadrement d'amplitude 2 de cette solution. ) Déterminons les variations de la fonction f définie sur Y par f() = ² 2 () = 4 3 2² 6 = 4(² 3 4) = 4( )( 4) Tableau des variations de f sur l'intervalle [;] f() 2 f est strictement décroissante sur [;] et f() > et f() < ; donc l'équation f() = admet une unique solution sur l'intervalle [;]. Représentation graphique de f sur l'intervalle [;] 2) On peut procéder par dichotomie. 7

8 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 f(,5) =.5625 > f(,75) =,496 < f(,625) =,45 > f(,6875) =,258 < f(,65) =,3 < f(,64) =,65 < f(,63) =,75 < Un encadrement d'amplitude 2 de la solution α de l'équation f() = est :,62 < α <,63. Remarque : L'étude de f sur Y montre que l'équation f() = admet quatre solutions sur Y. Tableau des variations de f sur Y f() Une solution sur ] ;4[ : 5,45 Une solution sur [4;] :,46 Une solution sur [;] :,63 Une solution sur [; [ :,28 8

9 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 Représentation graphique de f sur Y Eercice 3 : Optimisation ABCD est un carré de côté. M est sur le segment [AB]. On place le point N tel que CN = AM sur la demi droite [BC) à l'etérieur du segment [BC]. La droite (MN) coupe (DC) en P. On pose AM = avec. Le but de l'eercice est de trouver M sur [AB] tel que la distance PC soit maimale. ) Démontrer que PC = ² 9

10 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 2) a) Etudier les variations de la fonction f définie sur [;] par f() = ². b) En déduire la valeur de pour laquelle la distance PC est maimale. ) Les droites (BM) et (CP) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles NCP et NBM : Soit : Donc : PC = = PC ( ) = ² 2) a) Pour [;], () = () = ² 2 ( )² NC NB = NP NM = CP BM ( 2)( ) ( ²) ( )² () est du signe du polynôme du second degré : ² 2. Le discriminant de l'équation ² 2 = est : = (2)² 4 () = 8 = (2 2)² Les solutions sont 2 et 2. Seule la solution 2 appartient à l'intervalle [;]. On en déduit le tableau des variations de f sur [;] : = 2² ² ( )² f() 2 M

11 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 b) Du tableau des variations de f, on déduit que f attient un maimum sur [;] pour = 2. La distance PC est donc maimale pour = 2,4. Eercice 4 : Optimisation Dans une sphère de centre O et de rayon R, on inscrit un cône de révolution de hauteur h. On a dans la figure OL = R, HL = r et AH = h. ) Démontrer que le rayon r de la base du cône est égal à h(2r h). 2) a) Calculer le volume du cône en fonction de h. b) Pour quelle valeur de h le volume estil maimal? ) On peut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OHL rectangle en H : OL² = OH² HL² Soit : R² = (h R)² r²

12 Première S Eercices d'application sur la dérivation 22 D'où : r² = R² (h R)² = R² h² 2Rh R² = h(2r h) Donc r = h(2r h) (puisque r ) 2) a) V c = 3 πr² h = π h²(2r h) 3 b) Etudions la fonction f définie sur [;2R] par f(h) = π h²(2r h) 3 (h) =. 3 π (4Rh 3h²) = πh(4r 3h) 3 On en déduit le tableau des variations sur la fonction f. f() 4R/3 M 2R De tableau de variations, on déduit que le volume du cône est maimal pour h = 4R 3. Courbe représentative de la fonction f entre [;6] pour R = 3 : 2