σ 2 p ALLOCATION ENTRE DEUX PORTEFEUILLES D ACTIFS RISQUÉS

Transcription

1 53496 GSTION PORTFUILL Théoie modene de oteeuille I. VRSION U RISQU T FONCTION UTILITÉ U [, ] Fonction d'utilité généalement utilisée dans la littéatue : U vesion au isque de l investisseu; mesue de son attitude a aot au isque élevé: l'investisseu est moins enclin à investi dans des actis isqués isquohobe aible: l'investisseu est lus oté à accete le isque 0: l'investisseu est neute a aot au isque: U Coubes d indiéence II. RÉPRTITION U CPITL NTR UN CTIF SNS RISQU T UN PORTFUILL CTIF RISQUÉ. nsemble des ossibilités de lacement Soit y la ootion du caital total investi dans P y la ootion du caital total investi dans F l acti sans isque Rendement eséé et isque du oteeuille combiné C : c y y y [ ] c y. soit c y. On note que c et c sont des onctions linéaie de y CL : oite de éatition du caital. B. Choix d'une combinaison ou d'une éatition otimale Où se lace su le CL? L'objecti de l'investisseu est de maximise son utilité ie. la satisaction tiée de son oteeuille. K. ssoé

2 On sait que: U c y [ ] c y. Max U conduit à : y III. LLOCTION NTR UX PORTFUILLS CTIFS RISQUÉS Suosons que l'investisseu désie inclue dans son oteeuille d'actis isqués deux classes d'actis ou onds, soient et. F P oteeuille d'obligations ou d actions améicaines oteeuille d'actions ou d actions canadiennes ésignons a et les ootions de note oteeuille d'actis isqués, esectivement dans et dans : Rendement Écat tye Pootion Covaiance Cov, Coélation ρ, ho Rael: Cov, ρ, ρ SF. ρ, les endements des deux actis sont ositivement et aaitement coélés. ρ, les endements des deux actis sont négativement et aaitement coélés. ρ 0, les endements des deux actis ne sont as coélées, i.e., que les vaiations de l'une ne sont as liées aux vaiations de l'aute.. nsemble des ossibilités de lacement Établi l'ensemble des ossibilités de lacement ensemble des combinaisons ossibles et touve et de chaque combinaison ossible. Puisque la vaiance du oteeuille P déend de la coélation ente les actis isqués, nous allons distingue tois cas diéents: K. ssoé

3 K. ssoé 3 Cas : ho R moyenne ondéée des écats tyes individuels des actis qui comosent P : Il n'y a aucun avantage issu de la divesiication losqu'on combine deux tites aaitement coélés. Cas : ho R e On eut donc choisi et de sote que soit nul. Plus écisément, si: 0 alos et P Cas 3:. SF ρ : Cas le lus généal en gestion de oteeuille R ρ W Poteeuille à vaiance imale Pou touve les coodonnés endement eséé, écat tye du oteeuille à vaiance imale, on echeche et tel que soit au imum. On obtient : et ρ ρ. Sélection de la combinaison otimale oteeuille otimale étant donné note attitude a aot au isque Si l'unives de lacement de l'investisseu n'est constitué que des tites isqués classes, il chechea la combinaison d'actis isqués qui maximise sa onction d'utilité.

4 avec : U Étant donné son avesion au isque, la maximisation de l utilité conduit à : et Il s'agit d'une combinaison otimale de oteeuille en l'absence d'acti sans isque. IV. RPRTITION U CPITL NTR UN CTIF SNS RISQU T UX CTIFS RISQUÉS Le oblème de éatition du caital ente un acti sans isque et deux actis isqués evient d'abod à choisi la meilleue doite de éatition du caital CL. À chaque niveau de isque, la CL qui emet d'avoi le meilleu endement est la CL qui a la ente la lus élevé: La ente de la CL est donnée a: où: S R R n maximisant la ente de la CL, on obtient les ondéations du oteeuille isqué de tangence P t: [ [ ] ] [ ] [ [ ] ] i. Remaque Le choix du oteeuille de tangence Pt se ait sans égad à l'attitude de l'investisseu a aot au isque. utement dit, tout le monde choisia le même oteeuille isqué Pt, que chacun essaiea de combine avec le tite sans isque en onction de son avesion ou le isque. K. ssoé 4

5 Un ois que nous avons choisi le oteeuille d'acti isqué de tangence, nous savons comment éati note caital ente un acti sans isque F et un oteeuille d'actis isqué P. n eet, étant donné U, y ii. Synthèse : Pocessus de constitution d'un oteeuille a. Séciie les vaiables de endement des tites isqués: Rendements eséés, écats tyes, coélations ou covaiances. b. Établi l'ensemble des combinaisons ossibles des tites isqués c. étee la comosition du oteeuille de tangence P étant donné l'acti sans isque d. Calcule les oiétés du oteeuille de tangence P: endement, écat tye e. Réati son caital ente l'acti sans isque et le oteeuille isqué de tangence P.. Calcule la at du caital investi dans chacun des tites isqués de P. iii. Cas Paticulies Poteeuilles de tangence avec deux taux de endement sans isque: taux êteu et taux emunteu: Tests ou savoi si l'investisseu emunte ou ait un lacement sans isque êts. Gahique: Identiication de deux oteeuilles de tangence, Pt et Pt, avec:. Pt oteeuille de tangence losque taux de lacement sans isque. Pt oteeuille de tangence losque b taux d'emunt éteation de avesion au isque imal ou eectue des lacements au taux sans isque et max avesion au isque maximum ou emunte et aie des lacements dans le oteeuille isqué.. tel que y d'où,. max b tel que y d'où, max b Si : L'investisseu combinea Pt avec lacement Si max : L'investisseu combinea Pt avec b emunt K. ssoé 5

6 Si max < < : L'investisseu choisit, en onction de son avesion au isque, un oteeuille su la ontièe eiciente en aisant comme s'il n'existait as de taux sans isque; autement dit, il n'y a ni lacement sans isque ni emunt. iv. Le modèle de Makoitz Quel que soit le nombe de tites isqués, le oblème de choix de oteeuille eut ête subdivisés en deux tâches distinctes:. La déteation du oteeuille isqué de tangence oteeuille otimal. Ce oteeuille est otimal ou tous les investisseus quelle que soit leu avesion au isque hyothèse d inomation comlète.. La éatition du caital ente l'acti sans isque et le oteeuille de tangence. Gahique:. Identiie l'ensemble des combinaisons ossibles. Identiie le oteeuille à vaiance imale. Identiie la zone noneiciente de la ontièe. Identiie la ontièe eiciente ou la ontièe des oteeuilles eicients.. Le este du ocessus de selection de oteeuille este le même que dans le cade de deux actis isqués et d un acti sans isque. K. ssoé 6