ECH_N2T1 : Echange des outillages entre la navette 2 et le T1

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1 Ereuve d Autoatique et d Inforatique Industrielle Eléents de corrigé Partie A Séquentiel : Sécifications générales et détaillées Question A- Nobre de ièces à roduire ar an : 5 * 3 = 5 bobines de tye C & D Les correcteurs ont retenu deux odes de calculs ossibles. Hyothèse : les tes de changeent d outillage ne sont as affectés ar le TRS, les tes de changeent d outillage s effectuant endant les caagnes de 4 ou 2 jours, en fin de caagne. C Chg t D C 4 jours 2 jours Chg t On a donc des cycles de 6 jours à 3 x 6.8 = 2.4 heures/jour, ce qui donne 8 h +.6 h our C et 4.2 h +.6 h our D soit finaleent = 2.2 heures roductives ar cycle de 6 jours. L année (26.5 jour corresond à 36 cycles de 6 jours +.5 jour. On adettra qu'il n y a donc as de changeent de roduction endant ce résidu de tes. Le nobre d heures roductives dans l année est de (36 x 2.2) +.2 = heures. En aliquant le TRS, on obtient : x.8 = heures de roduction de ièces bonnes, soit secondes. Pour 5 ièces, le tes de cycle oyen est de / 5 8,4 s. Hyothèse 2 : les tes de changeent d outillage sont affectés ar le T.R.S. Déterination des cadences de roduction our resecter les exigences du cahier des charges. - Nobre d'heures de roduction de ièces bonnes : 26,5*6,8*3*,8 = 3533,28 h. - Prise en cote des tes nécessaires aux changeents de caagne : Il y a 2 changeents de caagnes tous 6 jours. - Calcul global sur une année : Sur une année (26,5/6)*2 72 changeents (en négligeant le dernier), soit 43,2 heures. - Total des heures effectives de roduction de ièces confores : = heures = secondes - Tes de cycle oyen ar bobine : / 5 8,38 s Les deux valeurs retenues sont : Tcyoy = 8,4 s ou Tcyoy = 8,38 s Eléents de corrigé

2 Question A2-3 N_res 3 ECH_NN2 : Echange d outillages entre les navettes et 2 Ech_fait 32 N2_RX- C:= 4 ROT_/4 Fin_transfert 33 AVP C:=C+ Rot_faite Av_faite CONT : Contrôle du diaètre 45 ENL_BOB : Enlèveent de la bobine 35 ECH_N2T : Echange des outillages entre la navette 2 et le T Cont_eff Bob_enlv Ech2_fait [C=6] [C=6] 37 N2_RX+ Pos_ech Rearque : La rerésentation des actions ouvait égaleent s'effectuer en utilisant la rerésentation ar acro étaes. Les situations initiales ne sont as définies à ce stade. Eléents de corrigé 2

3 Question A2-2 Evaluation du tes de cycle : Tableau des durées éléentaires Action Durée ( ECH_NN2 5 N2-RX- 2 AVP,5 ECH_N2T 5 N2_RX+ 2 ROT /4 CONT 6 ENL_BOB La éthode des boucles eret une évaluation raide du tes de cycle : Circuits critiques Durée ( : {3,3,32,33,34,35} 2,5 2 : {4,43} 7 3 : {4,43} 7 4 : {4,43} 7 5 : {4,43} 7 6 : {4,35,37} 8 Total 48,5 Il était égaleent ossible de tracer un diagrae de GANTT, un nobre significatif de candidats l'a ratiqué. Ce tes (48,5 our la réalisation de 6 bobines est coatible avec la durée estiée en A.. En effet, our garantir la roduction de 6 bobines dans les conditions évoquées en A., il faut 6*8,4 = 5,4 s. Eléents de corrigé 3

4 Question A3- La descrition ar grafcet a été rivilégiée dans ce corrigé. Def_H Def_C Def_R 3 "éorisation du contrôle de hauteur des cosses non confore" 32 "éorisation du contrôle du cabrage des cosses non confore" 33 "éorisation du contrôle de la résistance non confore" XT2 XT2 XT2 3 IntP IntP9 XT2 XT2 XT2 32 IntP5 322 IntP8 332 XT2 XT2 XT2 33 IntP6 323 IntP9 333 DEP_G23 XT2 XT2 XT XT2 XT2 35 IntP8 325 DEP_G22 XT2 XT2 XT IntP9 XT2 XT2 DEP_G2 XT2 IntP4 = X3 IntP5 = X32 IntP6 = X33 IntP8 = X35+X322 IntP9 = X36+X323+X33 DEP_G2 = X38 DEP_G22 = X325 DEP_G23 = X333 DEP_CONV = /X38./X325./X Aut_rise = XT2 /IntP8 = /X35./X322 /IntP9=/X36./X323./X33 Eléents de corrigé 4

5 Partie B : Asservisseent de la navette B : Déterination d un odèle du systèe écanique Question B. : Ecrire les équations de la écanique our l enseble corresondant à Jeq et our la asse M. Montrer que le systèe eut être rerésenté ar le schéa bloc suivant : C + - H ( V Avec : K r. R H( et H 2( K r. R( M. s f 2) J. s f eq H2( «s» est l oérateur de Lalace. Alication des équations de la écanique à : d - Enseble corresondant à Jeq: J eq C C r f. ; avec C r coule résistant dt exercé sur l arbre. dv - Masse M : M F f. V cour 2 ; avec F cour la force exercée ar la courroie. dt - Courroie et réducteur : Cr=K r.r.f cour et Kr En utilisant ces relations, il est ossible de ettre le systèe sous la fore du schéa bloc suivant : C On en déduit : + - Cr K r. R H( et H 2( K r. R( M. s f 2) J. s f eq J eq. s f F cour K r.r K r R M. s f 2 V Eléents de corrigé 5

6 Question B.2 : V( Donner l exression de la fonction de transfert H( C( Mettre H( sous la fore canonique du reier ordre et donner les exressions du gain statique A et de la constante de tes en fonction des différents araètres hysiques. En écrivant l exression de la boucle ferée, on déontre que : r eq r Avec A 2 2 et 2 2 f K R f 2K r R J f MK f Alication nuérique : A =,565 s - /N. et =,78 s B2 : Déterination de la boucle d asservisseent de vitesse 2 K r 2 R R 2 A H ( s Le oteur synchrone est iloté ar un variateur de vitesse qui élabore la consigne de coule C _réf. Le oteur, à l aide de sa coande, fournit alors un coule effectif C. Cet enseble eut être rerésenté ar la fonction de transfert suivante : H C ( C_ ( ( s réf avec =,5 s Question B2. : Coarer les deux fonctions de transfert H( et H (. Donner l exression des réonses à un échelon unité our chacune d elles. Tracer l'allure de leurs réonses fréquentielles dans le diagrae de Bode. Donner l'allure de la réonse teorelle V(t) à un échelon d alitude C _réf. Justifier que dans cette étude, il est ossible de relacer H ( ar. Les deux fonctions de transfert H( et H ( sont du reier ordre, leurs gains sont du êe ordre ais la constante de tes est très inférieure à. La coosante de la réonse due à H ( convergera d une anière beaucou lus raide que celle due à H(. Donc la dynaique est celle induite ar H(. t t La réonse à un échelon unité de H ( est égale à ( ex( )) La réonse à un échelon unité de H( est égale à A( ex( )) La réonse teorelle de V en réonse à un échelon d alitude C _réf s écrit : Eléents de corrigé 6

7 En négligeant devant et ) réonse que H(. AC _ ref t t V ( t) AC ex( ) ex( ) _ ref t t ex( devant ex( ) Allure de la réonse indicielle, on conclue que V(t) a la êe Réonse de H ( Réonse de H( Réonse fréquentielle Alitude (db) Allures dans le lan de Bode des réonses fréquentielles H( H( Phase (deg) H( H( Eléents de corrigé 7

8 H ( est considérée égale à dans la suite du sujet. Question B2.2 : Donner le schéa bloc de la boucle d asservisseent de la vitesse. Quelle est l exression de la fonction de transfert H v ( = V(/V ref (? Mettre H v ( sous sa fore canonique d un reier ordre et donner l exression du gain A v et de la constante de tes v. Déteriner la valeur de K, qui eret d avoir une dynaique de la boucle ferée de vitesse (H v () quatre fois lus raide que celle de la boucle ouverte. C + - K H( V On a : H v Av s ( avec v A v A. K A. K et v A.K Pour que cette boucle ferée ait une dynaique quatre fois lus raide que la boucle ouverte, il faut que v soit égal à /4. Alication nuérique : v =,8 s, K = 5,3 et A v =,75 B3 : Déterination de la boucle d asservisseent de osition Le cateur de esure de osition La esure de osition est réalisée ar un codeur incréental disosé sur l axe du oteur. Ce codeur a une résolution de 2 ériodes ar tour. Question B3. : Raeler le rincie du codeur incréental. Pour cette alication, quelle est la résolution axiale que l on eut obtenir arès le traiteent des signaux de ce codeur incréental? En déduire K c, le nobre d iulsions ar ètre (our la résolution axiale). Le codeur incréental est un cateur otique qui fournit trois signaux, deux (A et B) en quadrature de hase avec 2 ériodes ar tour, et un troisièe C qui donne un to ar tour. Si on ne traite que les fronts ontants, on a 2 tos ar tour de codeur. Si on traite les fronts ontants et les fronts descendants, on eut avoir 4 tos ar ériode et donc 8 tos ar tour de codeur. Le réducteur a un raort K r et la oulie un rayon R, on en déduit qu il y a 8 tos our un délaceent 2RK r de la navette. En aliquant la roortionnalité on déduit le nobre de tos ar ètre. Eléents de corrigé 8

9 Alication nuérique : K c = 889 tos ar ètre. Alication de la éthode de laceent de ôles : Etae : déterination de A( et B( A( et B( sont resectiveent le dénoinateur et le nuérateur de la fonction de transfert en boucle ouverte B( A( H v (. K s Question B3.2 : Déteriner les deux olynôes A( et B(. En déduire Na et Nb resectiveent les degrés des olynôes A( et B(. Déteriner la fonction de transfert H x (=X(/X ref ( On a A(= s(+ v donc Na = 2 On a B( = K c A v, donc Nb=. H x T ( B( ( S ( A( B ( R( Etae 2 : déterination des degrés de R( et de S( et du nobre de ôles à lacer. Question B3.3 : Montrer que our ouvoir déteriner les coefficients des olynôes R( et S( d une anière unique, il est nécessaire que les degrés N, Ns et Nr vérifient les relations : Nr = Na- et N = 2.Na- Cobien de racines du olynôe P( faut-il alors lacer? P( = S(A(+B(R( Donc N=Max(Ns+Na,Nb+Nr) Coe Ns=Nr et Na>Nb, on déduit que N=Ns+Na On a besoin de déteriner les coefficients de R( et S(, ce qui fait Ns+Nr+2 inconnues à trouver. Il faut, alors, autant d équations. Donc N + = Ns + Nr + 2. En cobinant les relations, on trouve : Ns=Nr= et N = 3. Il faut donc lacer 3 ôles. Etae 3 : Choix des ôles de P( Cette éthode a été roosée ar Philie de Larinat[]. Le laceent des ôles est déduit des écanises de restauration de transfert de boucle (Loo Transfer Recovery : LTR). La éthode consiste à factoriser le olynôe P( en un facteur doinant F( et un facteur auxiliaire C(. La «robustification» résulte alors de l alication des trois rincies suivants : - Déteriner F( de sorte que : F( j) A ( j) c K c Eléents de corrigé 9

10 - Choisir F( «roche» de A( - Choisir C( «roche» de B( Question B3.4 : Montrer que l alication de la stratégie de déterination de F( et de C( assure que l asservisseent est stable et que la reière condition de robustesse F( j) A ( j) est vérifiée. Toutes les racines de P( sont à arties réelles négatives. Donc le systèe est stable. Si on note i les racines de A( et i les racines de F( ( i obtenue à artir de i ). j i est la distance entre i et la droite des iaginaires urs. Pour les trois cas ossibles exosés dans la éthode, nous voyons que les i sont obtenues à artir des i en gardant la êe distance ar raort à l axe des iaginaires urs ou en s en éloignant. Donc our tout et our tout i, j i j i. On en déduit que our tout, F( j) A ( j) Question B3.5 : En aliquant la éthode décrite ci-dessus, rooser un laceent our chacune des racines du olynôe P(. Donner les coefficients f i et c i des olynôes F( et C( Donner les coefficients i du olynôe P(. On adotera la notation : i coefficient de s i 2 i. Donc : P( s Les ôles de A( sont et (-4/). Les ôles de F( corresondants sont resectiveent (-4/) et (-4/). On en déduit : F( = (s+4/)(s+4/) B( est une contante. Le degré de C( est égal à (=N-2) Donc on ose C( = C(+sT c ) avec T c =T /5 et C() = B()=K c A v. On en déduit : C( = K c A v. ((s/2)+) Alication nuérique : F( = s 2 +,5s+3,6 C( = 489,5 s+3642 P( = 489,5 s s s Question B3.6 : Ecrire le systèe d équations qui eret de déteriner les coefficients r i et s i des olynôes R( et S(. Résoudre le systèe. 2s is On ose : S( = s.s+s o et R( = r.s+r o En identifiant les coefficients dans l égalité : P( = [S(A(+B(R(] K c, on aboutit à l équation suivantes : Eléents de corrigé

11 τ v τv KcA v KcA v s s r r 3 2 ( Kc Alication nuérique : S( =,5 s +5,6 et R( = 3, s +7, -4 On rendra T( sous fore d une constante. Question B3.7 : Déteriner cette constante de anière à ce que le gain statique de à. ) X( Xref( soit égal T(=T En aliquant le théorèe de la valeur finale et en iosant que le gain soit égal à ; on déduit que : T= K c r o Alication nuérique : T= 3,6 Réonse à un échelon unité du systèe asservi Eléents de corrigé

12 Question B3.8 : Montrer que la fonction R(/S( eut être relacée ar un régulateur PD série st avec filtre dont la fonction de transfert est : A d d s. Donner les valeurs des araètres du régulateur PD. Il y a un intégrateur dans la boucle d asservisseent, donc il n est as utile d ajouter une action intégrale. Nous roosons un régulateur PD série avec filtre. st Ce régulateur a la fore : PD( = d A d s avec A l action roortionnelle, T d l action dérivée et d la constante de tes du filtre. On obtient les valeurs des araètres du régulateur en osant l égalité R(/S( = PD( uis en identifiant. r On alors : A, s s d s et r s T d r s Alication nuérique : On trouve A =,34-3, d =,3s et T d =,49s Bibliograhie : [] P. De Larinat, «Des régulateurs PID à la coande LQG-LTR : une aroche robuste ar laceent de ôles», Concetion de coandes robuste, J. Bernussou et A. Oustalou (Ed.), Herès 22, Eléents de corrigé 2