Exercice 1: Câble coaxial et Théorème d'ampère

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1 UTBM PS1 / Examen Final P8 Pour tenir ompte de la longueur de l'énoné, le total des points possibles est 33, mais la note finale sera ramenée à une note sur points Exerie 1: Câble oaxial et Théorème d'ampère On onsidère un âble oaxial, retiligne, et de longueur supposée infinie dans le problème. (sur 13 points) Ce âble est onstitué d'une âme entrale en uivre et d'un onduteur ylindrique périphérique en uivre aussi. Les deux onduteurs sont séparés par un matériau diéletrique (sans propriété magnétique). Voir figure 1 i-ontre. z On suppose e âble parouru par un ourant ontinu onstant pour le onduteur entral et - pour le blindage. R 1 1.1) Donner un sens physique au ourant - R l y a un ourant aller et un ourant retour. Et quand on alulera la irulation de B sur un outour fermé dans un plan perpendiulaire à l'axe Oz, l'un des ourants sera vu positivement, l'autre négativement. On peut don d'ores et déjà s'attendre à avoir wideve B = à l'extérieur du âble oaxial. [,5pt] O Figure 1: vue en perspetive du âble oaxial R 3 1.) Rappeler le théorème d'ampère ainsi que les hypothèses néessaires à sa vérifiation. Le théorème d'ampère dit que la irulation de B sur un ontour fermé est égal à x enlaè, à ondition de ompter alrgébriquement les ourants enlaés, 'est à dire + eux qui sont orientés omme la normale à au ontour, et eux qui sont dansle sens opposé. Les hypothèses à vérifier sont que les ourants i sont stationnaires, que le ontour est un ontour «simple» (pas de noeuds). 1.3) Quel est le système de oordonnées le plus adapté à e problème (justifier)? L'axe Oz est axe de révolution, don les oordonnées ylindriques semblent les plus adaptéés pour résoudre e problème [,5 pt] 1.4) Préiser les symétries, et en déduire de quoi devra dépendre B. On donnera son orientation. Le problème est un problème à symétrie ylindrique: 3 variables sont à envisager r,, z. Pour les simplifiations: - si on garde et r onstants, on laisse le problème invariant par translation d'axe Oz (fil infini), don B ne dépend pas de z. - si on garde z et r onstants, on laisse le problème invariant par rotation d'angle quelonque, don B ne dépend pas de l ne reste plus que la dépendane en r, et don B ne dépend que de r <=> B=Br. De plus, omme ( 'est à dire A tel que B=rot A ) est axial, alors B est tangentiel (i.e. ortho-radial). Conlusion: Br= Bu [pts] On suppose qu'on applique le théorème d'ampère sur un ontour irulaire de rayon r, dans un plan perpendiulaire à l'axe Oz. Page 1/8

2 UTBM PS1 / Examen Final P8 1.5) Exprimer la densité de ourant dans le onduteur intérieur et dans le onduteur extérieur. Si on regarde la forme du onduteur intérieur et du onduteur extérieur, il est évident que es les deux densités de ourant J int et J ext n'ont pas même valeur. Pour J int, on a = J S ave S = R 1, soit J int = R 1 En e qui onerne J ext, on doit utiliser S ext = R 3 R, e qui entraîne : J ext = R 3 R [pts] 1.6) En déduire la valeur de enlaé pour rr 1. Pour r=r 1, =J int R 1 et pour rr1, r=j int r et pour éliminer J int dans ette expression, il suffit de le remplaer par => r = r R 1 = r [1 pt] R 1 R 1 Remarque : ette méthode resservira dans e qui suit. 1.7) En utilisant le théorème d'ampère, et pour les 4 as suivants r < R 1 R 1 < r < R R < r < R 3 r > R 3 Caluler l'expression de Br a) Cas r < R 1 On applique le théorème d'ampère sur un ontour perpendiulaire à l'axe Oz, entré sur l'axe, et de rayon r < R 1 Soit : B dr= r <=> B ru dru = r et omme B(r) est onstant pour r= te (e qui est C C vrai sur le ontour), on peut le sortir de l'intégrale, et de plus le produit salaire de deux veteurs unitaires identiques valant 1, l'expression devient : Br C dr= r= B r r. Enfin, si on utilise le résultat de la question préédente, on arrive à : Br = r R 1 1 r Soit finalement : Br = r R 1 b) Cas R 1 < r < R Dans e as, le ourant enlaé vaut simplement +, et l'on en déduit immédiatement (par un raisonnement analogue) : B dr= <=> Br r= Et finalement Br= C r Remarque: tout se passe omme si le fil était de dimensions nulles. ) Cas R < r < R 3 Pour R < r < R 3, le ourant total enlaé vaut entre et R 1 Page /8

3 UTBM PS1 / Examen Final P8 entre R et R 3, on a: ext = J ext R 3 R ext r = J ext r R => ext r = r R R 3 R Et don int ext = 1 r R R 3 R = R 3 r R 3 R ( en réduisant au même dénominateur) D'où l'on tire Br r= R 3 r R 3 R <=> Br = r R 3 r R 3 R d) Cas r > R 3 La somme algébrique des ourants et est nulle => B est null à l'extérieur. C'est l'intérêt du blindage!! [1 pt] 1.8) Traer la ourbe représentative de module de Br en fontion de r, en préisant la valeur du module de B aux points partiuliers Valeurs aratéristiques: Pour r < R 1 Br roit linéairement, jusqu'à la valeur Br= R 1 Entre r=r 1 et r=r Br déroit en 1 r, e qui orrespond au as du fil infiniment mine, jusqu'à la valeur B R =. Puis à partir de r=r R, on arrive à la loi déterminée dans le as d, dans lequel Br passe ontinuement de B R à selon la loi Br= r R 3 r R 3 R Lorsque r=r 3, on retrouve B R 3 = ( on retrouve le as rr 3 ) don on a bien l'effet de «masque» du blindage. La ourbe orrespondante est la suivante: Br R 1 déroissane en 1 r R déroissane en 1 r R 1 R R 3 r [pts] Page 3/8

4 UTBM PS1 / Examen Final P8 Exerie : Onde plane életromagnétique dans le vide (sur 11 points) On rappelle les 4 équations de Maxwell (on utilise les notations du ours): (1) dive= Équation de Maxwell Gauss (3) rot E= B Équation de Maxwell Faraday t () div B= B est à flux onservatif E (4) rot B= j.1) Rappeler (hypothèses omprises) les équations de Maxwell (forme loale et intégrale) dans le vide Equations de Maxwell dans le vide Formes loales : div B= ;rot E= ϱ B E ; div E = ; rot B= j Les densités ϱ (volumique de harge) et j (densité de ourant) sont dites soures du hamp életromagnétique, e E hamp étant aratérisé en haque point de l'espae par le ouple E,B. Le terme est le «ourant de déplaement» Les équations de Maxwell sont ompatibles ave l'équation de ontinuité : div j ϱ = traduisant loalement la onservation de l'életriité. l faut adjoindre aux équations de Maxwell la loi de fore de Lorentz f =q Ev B et =1. Formes intégrales : div B dv = B n ds = dive dv = E n ds= rot E n ds = B t n ds= E dl rot B n ds= B dl= E t n ds [ 3 pts ].) Erire les équations aux dérivées partielles auxquelles obéissent E et B justifiant le fait que es grandeurs peuvent se propager E et B sont des fontions d'ondes si on montre (fait en TD) que le d'alembertien de E et le d'alembertien de B sont nuls. Le d'alembertien représentant l'opérateur vetoriel : 1 appliqué à E ou B. Remarque : est aussi appelé Laplaien (vetoriel ii) du veteur auquel on l'applique. N.B. : seule la démonstration pour E figure dans e orrigé, elle onernant B étant omplètement analogue. Montrons que E 1 E = : On part derot E= B et on fait apparaître E à gauhe et à droite, en alulant rot rot B=rot B t. Ensuite, on alule séparément à gauhe, puis à droite : Terme de gauhe : rot rot E =grad dive E= E ar grad div E= Page 4/8

5 UTBM PS1 / Examen Final P8 Terme de droite : rot B = rot B = 1 t E = 1 E Et don = E = 1 E t j E 1 E = Remarque : la démonstration est analogue pour B [ pts].3) Rappeler ave un exemple simple e qu'est un invariant aratéristique de propagation Lorsqu'une quantité se propage, on montre qu'il existe une quantité invariante, et aratéristique de la propagation. Par exemple, dans le as de la propagation d'une grandeur transversale dans la diretion Ox, et selon les x >, l'invariant est donné par : te =t x [ 1 pt ] On suppose E,, E Z et B, B Y,, et on donne f =1 14 Hz ; =3 1 8 m/s..4) Si on suppose que l'onde életromagnétique est plane et transversale, dans quelle diretion se propagage ette onde? (justifier) D'après le ours, on sait que E,B, n forment un trièdre diret, e qui signifie que n est obtenu en faisant le produit vetoriel diret E B => propagation selon Ox..5) Déterminer les omposantes du veteur = d'onde en utilisant les propriétés de l'onde plane transversale et sinusoïdale. k x On notera les omposantes omme suit: k k y. k z [1 pt] La seule omposante non nulle de k est selon la diretion de propagation, soit k =k x u x Ce qui donne par exemple les omposantes : E=E os t k x xu z = E=E ost x u z => k x=.6) Caluler k et. A.N. : k =k x = = = 3 16 rad.m 1 et = f =3 m [ 1 pt ].7) Montrer que la fontion f x,t=ost x 4sin t x est solution l'équation de propagation des ondes de Jean Le Rond d'alembert Page 5/8

6 UTBM PS1 / Examen Final P8 On part de: f x,t=ost x 4sin t x (équation 1). D'après la forme de f x,t, on peut supposer que ette fontion est une fontion d'onde, représentant une onde se déplaçant à la vitesse = x selon les x> (invariant de propagation en t ) et selon les x< (invariant de propagation t x ). D'après ette hypothèse, (1) est solution de l'équation de d'alembert, à savoir : f x = 1 f t. l faut don aluler f x et 1 f, ave = (élérité de l'onde), puis omparer es deux résultats pour répondre à la question. Calul de f x : Tout d'abord, on alule la dérivée première par rapport à x, soit : f x = 4 sin t x 8 ost x ; Puis : f x = 8 ost x 16 sin t x Calul de f 1 : Dérivée partielle de f x,t par rapport à t : f t = sin t x 4 ost x La dérivée seonde donne : f t = os t x 4 sin t x D'où : 1 f = 4 f = 4 ost x 4 sin t x = 8 ost x 16 sin t x et on retrouve bien Conlusion : f x,t est bien solution de l'équation de propagation de Jean le Rond d'alembert. [ pts ] N.B. : Dans les livres, on trouve souvent érit Jean d'alembert, plutôt que Jean le Rond d'alembert. En fait, Jean le Rond d'alembert ( ), a été abandonné dès sa naissane par sa mère naturelle, Mme de Tenin, et il fût trouvé sur le parvis de l'eglise St Jean le Rond. D'où son nom... Elevé ensuite par la femme d'un pauvre vitrier, elui-i eut une arrière sientifique remarquable l fût ainsi élu à 3 ans à l'aadémie des Sienes. Parmi ses nombreux travaux, le plus onnu est elui sur l 'équation de propagation des ordes vibrantes. La suite à la bibliothèque... Page 6/8

7 UTBM PS1 / Examen Final P8 Exerie 3: Étude d'une onde plane harmonique parfaite se propageant dans le vide (sur 9 points) On onsidère une onde életromagnétique plane dans le vide pour laquelle le hamp életromagnétique s'érit dans un repère artésien orthonormé lassique : E=E x ost z u xe y os t z u ye z ost z u z B=B x ost z u xb y ost z u yb z ost z u z Expressions dans lesquelles,, E x, E y, E z, B x, B y, B z sont des onstantes. 3.1) Quelle est la diretion et le sens de propagation de ette onde (justifier)? L'invariant de propagation est du type t z, e qui orrespond à une propagation selon l'axe Oz, vers les z négatifs [1 pt] 3.) En utilisant l'équation (1) de l'exerie dans le vide, montrer que E z = E=E x u x E y u y E z u z D'après la définition: dive= E = x u x y u y z u z E = soit E x x E y y E z z = Et omme E x x = E y y =, il reste E z z = E z sin t z = ette dernière expression est vraie à tout instant t, en partiulier pour sin t z, e qui entraine E z=. 3.3) En utilisant l'équation () de l'exerie dans le vide, montrer que B z = [pts] On proède de même ave div B= : div B= div B= B x x B y y B z z = Cette fois-i, e sont B x x et B y y préédente pour la 3ème omposante, à savoir : B z z =B z qui sont nuls et on a aussi une expression similaire à la question sin t z = Cette dernière expression est vraie à tout instant t, en partiulier pour sin t z, e qui entraine omme prévu B z = [pts] 3.4) Quelle propriété fondamentale de l'onde plane les deux questions préédentes retrouvent-elles? B et E sont perpendiulaires à la diretion de propagation => l'onde est bien transversale 3.5) On suppose de plus (pour simplifier) que E y =. Montrer en utilisant l'équation de Maxwell (3) de l'exerie que B x = et B y = E x. Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l'onde plane retrouve-t-on? Page 7/8

8 UTBM PS1 / Examen Final P8 Comme E y =, ela entraîne : E= E x os t z Si maintenant on alule rot E= B t et z Bx ost B= B y ost z x, on onstate que rot y E= z E x. E x = z n'aura qu'une seule omposante non nulle (ar E y ne dépend pas de y), alors que B = En effet, B B x sin t z = B ysin t z E x Cela signifie que B x = et. B y = E x z Conlusion : on retrouve bien E B et B = E 3.7) Quel est le type de polarisation de l'onde?. [pts] en aura. La diretion du plan de polarisation ( E, n ) est onstante dans le temps, e qui entraîne que la polarisation de l'onde est retiligne. Fin de l'énoné Liene de e doument : Ce doument est sous Liene Creative Commons sous les termes: Paternité, pas d'utilisation Commeriale. Voir desription : Page 8/8