FICHES DE MATHÉMATIQUES

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1 FICHES DE MATHÉMATIQUES Clsse de PT Pr Mxime CHUPIN Ces fiches sont issues des cours de Jen-Michel SARLAT et de Christin RIEFFEL, professeurs de mthémtiques u lycée LOUIS-ARMAND de Poitiers. 1

2 Tble des mtières 1 Générlités 3 2 Intégrtion sur un segment 5 3 Intégrle générlisées 9 4 Intégrle dépendnt d un prmètre 12 5 Series numériques 14 6 Séries entières 18 7 Structures lgébriques 21 8 Espces vectoriels Mtrices Déterminnt Réduction des endomorphismes Espce euclidien et préhilbertien Séries de FOURIER Equtions différentielles Systèmes différentielles Equtions différentielles linéires Générlités Equtions différentielles linéires à coefficients constnts Equtions différentielles linéires à coefficients vribles Equtions non linéires Courbes plnes Les coniques Géométrie différentielle Courbes guches et surfces Fonctions à plusieurs vribles Intégrles multiples Géométrie dns l espce 88 2

3 1 Générlités Axiomes de PEANO L ensemble N des entiers nturels est crctérisé pr les cinq propriétés suivntes : 1. N contient un élément noté Tout éléments n de N possède un successeur : n n est le successeur d ucun éléments de N. 4. Deux éléments de N ynt le même successeur sont égux. 5. Toute prtie A de N qui contient 0 et le successeur de tout élément de A est égl à : N. (ceci est l xiome d induction sur lequel se fonde le principe de récurrence) Récurrence Récurrence fible : Soit P un prédict portnt sur des entiers. Si P(b) est vri et si : n b, P(n) P(n+ 1) lors : n b, P(n). Récurrence forte : Soit P un prédict portnt sur des entiers. Si P(b) est vri et si : nb, P(b) et P(b+ 1)... P(n 1) et P(n) P(n+ 1) lors : n b, P(n). T.V.I. : Si f est une fonction continue sur un intervlle[, b] de R et siαest un réel compris entre f() et f(b) lors il existe c [, b] tel que : f(c)=α Il en découle que : Théorème des vleurs intermédiires L imge d un segment pr une fonction continue est un segment. 3

4 Dérivée Nombre dérivé : Soit f une fonction numérique définie sur un voisinge V de de R. f est dérivble en si, et seulement f(x) f() si le rpport dmet une limite finie en. Cette limite est le nombre dérivé en ; on le note x f () Fonction dérivée : Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R, f est dérivble sur I si, et seulement si elle est dérivble en tout point de I. Si f est dérivble sur l intervlle I lors f est continue sur I. Théorème de ROLLE Soient et b deux réels distincts tels que <b et f une fonction continue sur[, b], dérivble sur ], b[ telle que f()= f(b). Il existe un nombre c dns], b[ tel que f (c)=0. Théorème des ccroissement finis Soient et b deux réels tels que <b et f une fonction continue sur[, b], dérivble sur], b[. Alors : c ], b[, f(b) f()= f (c)(b ) 4

5 2 Intégrtion sur un segment Définition L définition : L intégrle d une fonction numérique f, continue sur un segment[, b] de R, est l borne supérieure des intégrles des fonctions en esclier sur[, b] qui minorent f et, ce qui revient u même, l borne inférieure des intégrles des fonctions en esclier sur[, b] qui mjorent f. Fonction Intégrle Soit f une fonction numérique définie et continue pr morceux sur un segment I de R. L fonction x F : x f(t)dt est définie et continue sur I. De plus, si f est continue sur I et I, lors F : x x x I,, F (x)= f(x). f(t)dt définie sur I est dérivble sur I et Sommes de RIEMANN Soit f une fonction définie sur un intervlle[, b]. On les trois plus courntes intégrles de RIE- MANN : 1/ S g (f, n)= b n 1 f + k b n n k=0 2/ S d (f, n)= b n f + k b n n k=1 3/ S m (f, n)= b n 1 f + k+ 1 b n 2 n k=0 5

6 Théorème de l moyenne Soit f une fonction continue sur[, b] de R vec <b lors il existe c [, b] tel que : f(c)= 1 b f(t)dt b Premier Théorème de l moyenne Soit f une fonction continue sur[, b] de R et g une fonction continue de[, b] dns R + telle que b g(t)dt> 0. Alors il existe c [, b] tel que : b b f(t)g(t)dt=f(c) g(t)dt Propriétés de l intégrle f et g sont ici des fonctions continues pr morceux sur[, b]. 1. Additivité : 2. Linérité(µ,λ) R 2 : 3. Positivité : b b c c f+ f= f b b b (λ.f+µ.g)=λ f+µ g b b si x [, b], f(x) g(x), lors f g Intégrtion pr prtie Soient u et v deux fonctions numériques de clsse C 1 sur un intervlle I de R et, b deux éléments de I. Alors : b b u (t)v(t)dt=[u(t)v(t)] b u(t)v (t)dt 6

7 Chngement de vrible Soit f : [, b] R ou C une fonction continue pr morceux, etϕ : [α,β] [, b] une fonction de clsse C 1 et monotone sur[α,β]. On : β α b ( f ϕ)(u).ϕ (u)du= f(t)dt Si ϕ est bijective et de réciproque dérivble, on l qulifie de difféomorphisme. Intégrles de fonction rtionnelles trigonométrique Lorsqu on fire à une fonction rtionnelle trigonométrique, on cherche lors une trnsformtion t ϕ(t) qui lisse le bloc différentiel invrint : Trnsformtion t t t π t t π+ t ucune Chngement de vrible dpté u= cos(t) u= sin(t) u= tn(t) θ=tn t 2 Intégrles sous l forme β α F(x, x 2 + bx+ c)dx où 0. x+ b 2 En mettnt x 2 + b x+ c sous s forme cnonique. suivntes, où k = 2 Intégrles béliennes 2 4 2, on se rmène ux intégrles, uquelles on pplique les chngements de vribles indiqués (ǫ = ±1) : B A F(u, u 2 k 2 )du si >0 et > 0 u :=ǫkch(x), x R + B A F(u, k 2 u 2 )du si >0 et < 0 u := k cos(x), x ]0,π[ B A F(u, u 2 + k 2 )du si <0 et < 0 u := ksh(x), x R 7

8 Intégrles béliennes 2 β t+b Intégrles sous l forme F t, n dt, où d bc 0, n N α c t+ d Il suffit d ppliquer le chngement de vrible y= n t+b pour se rmener à une intégrle de frctions c t+d rtionnelles pour intégrer en décomposnt en éléments simples. Attention : on rppelle que u n u est définie sur R si n est impire, et sur R + si n est pire. Formules de TAYLOR Soit p N,[, b] un segment de R et f une fonction de clsse C p sur[, b]. L formule de TAYLOR s écrit lors : p f (k) () f(b)= (b ) k + R p (, b) k! ou explicitement : k=0 f(b)= f()+ f ()(b )+ f ()(b ) f(p) () (b ) p + R p (, b) p! Il existe plusieurs vrintes portnt sur le reste : 1. TAYLOR-YOUNG : R p (, b)= o((b ) p ), f est C p (b )p+1 2. TAYLOR-LAGRANGE : R p (, b) M p. où M= sup (p+ 1)! t [,b] f (p+1) (t) et f est C p+1 b (b t) p 3. TAYLOR vec reste intégrl : R p (, b)= f (p+1) (t)dt, f est C p+1 p! 8

9 3 Intégrle générlisées Intégrle impropre Soit R et b R (b> ), f une fonction définie et continue pr morceu sur[, b[. On dit que b 1. b=+ f(t)dt est une intégrle impropre en b dns les deux cs suivnts : 2. < b < +, et f n dmet ps de limite finie en b pr vleur inférieure. b Dns les deux cs, f(t)dt est définie comme lim f(t)dt x b x<b On définit de mnière nlogue l notion d intégrle impropre en x Convergence-Divergence Soit b x 1. Si 2. Si f(t)dt une intégrle impropre en b : on dit que x b f(t)dt dmet une limite réelle ou complexelqund x tend vers b pr vleur inférieure, b f(t)dt est convergente et pour vleurl f(t)dt n dmet ps de limite qund x tend vers b pr vleur inférieure, on dit que f(t)dt est divergente 9

10 Intégrles de référence On : Ensuite : ln tdt qui converge e αt dt qui converge siα> 0 Intégrle impropre 0<α<1 α= 1 α> dt dt t α diverge diverge converge t α converge diverge diverge Intérles impropres de fonctions positives Soient f et g deux fonctions à vleurs dns R +, lors : 1. si f g sur[, b[ et que 2. si f g sur[, b[ et que b b g converge, lors f converge, lors 3. si f g en b pr vleur inférieure et que 4. si f g en b pr vleur inférieure lors b b b b f converge g converge g converge, lors g et b b f ont même nture f converge 10

11 Intégrle bsolument convergente Soit f une fonction à vleurs complexes, l intégrle impropre est dite bsolument convergente si : Popriétés : 1. si f g sur[, b] et que b b f converge. g converge, lors 2. si f g en b pr vleurs inférieurs et que 3. si b b b f converge bsolument. g converge, lors f est une intégrle bsolument convergente, lors : b f b f b f converge bsolument. Intérles générlisées propriétés Les propriétes de linérité, d dditivité (reltion de CHASLE), l intégrtion pr prtie et le chngement de vrible reste vlble. Attention : 1. Pour l reltion de CHASLE, il est nécessire que toutes les intégrles convergent pour que l somme converge. 2. Pour l linérité et l intégrtion pr prtie, il fut s ssurer que deux des trois termes convergent. 11

12 4 Intégrle dépendnt d un prmètre Intégrle ordinire dépendnt d un prmètre Soit f une fonction de R 2 dns K (C ou R) définie et continue sur A I, vec A une prtie de R et I un segment[, b]. On définit : R K F : b x f(x, t)dt Hypothèse sur f t f(x 0, t) est continue sur I f est continue sur A I f dmet une dérivée prtielle f x continue sur A I f est continue sur[α,β] I F(x 0 ) est définie F est continue sur A Conclusion sur F F est de clsse C 1 sur A et F (x)= b β α f(x, t)dx dt= β α b f x dt b f(x, t)dt dx Continuité d une intégrle impropre dépendnt d un prmètre Soit I=[, b[ un intervlle borné ou non de R ; A un intervlle de R et f une fonction de A I K. S il existe une fonctionϕ : I R + telle que : 1. (x, t) A I, f(x, t) ϕ(t) 2. Alors : b ϕ(t)dt converge b F : x A f(x, t)dt est continue sur A 12

13 Dérivbilité d une intégrle impropre dépendnt d un prmètre Soit I=[, b[ un intervlle borné ou non de R ; A un intervlle de R et f une fonction de A I K qui dmet une dérivée prtielle f x continue. S il existe une fonctionψ : I R + telle que : f 1. (x, t) A I, x ψ(t) 2. Alors : et b ψ(t)dt converge b G : x A f(x, t)dt est de clsse C 1 sur A b F f (x)= (x, t)dt x 13

14 5 Series numériques Définition-Convergence-Divergence Soit(u n ) n N une suite à termes dns K. L série de terme générl(u n ) est le couple(u n, S n ) où(s n ) n N est l suite des sommes prtielles : n S n = k=0 1. Lorsque lim S n + n existe dns K, on dit que l série de terme générl(u n ) converge. Cette limite est lors ppelée somme de l série et est notée : u k u n n=0 2. Lorsque lim S n + n est l infini ou n existe ps, l série de terme générl(u n ) diverge et on renonce à tout clcul! Divergence grossière Si l série n 0 u n converge, lors l suite(u n ) tend vers 0 en+. Attention : L récipropre est fusse! Si(u n ) ne tend ps vers 0, lors n 0 u n diverge : il y divergence grossière. Propriétés On : n=0 + n=0 λu n =λ u n + + u n n=0 + + n=0 v n = n=0 (u n + v n ) Attention : L dditivité ne doit ps être utilisée pour scinder une série en somme de deux séries divergentes. Si cel doit se produire, on psse ux sommes prtielles et à l limite. 14

15 Séries géométriques 1. Si q <1, n 0 q n converge : + n=0 q n = 1 1 q 2. Si q 1, n 0 q n diverge Comprison vec une intégrle impropre Soit f une fonction continue de R + dns R, décroissnte et de limite nulle en+, (donc positive sur R + ). Alors l série f(n) même nture que l intégrle impropre n f(t)dt. Les séries de RIEMANN 1. Si 0 α 1, 2. Siα> 1, 1 n α diverge n 1 1 n α converge n 1 On ne peut cependnt rien dire sur l vleur de l limite dns le cs de convergence. 15

16 Comprison de deux séries à termes positifs Soient u n et v n deux séries à termes positifs. Alors : n 0 n 0 1. Si u n v n pour n n 0, n 0 étnt fixé dns N, et que v n converge, lors u n converge. n 0 n 0 2. Si u n v n et que v n converge, lors u n converge n 0 n 0 3. Si u n v n lors v n et u n ont l même nture. n 0 n 0 Séries bsolument convergentes Soit u n une série à termes complexes. Si u n (à termes positifs) converge lors u n est bso- n 0 n 0 n 0 lument convergente. Toute série bsolument convergente est convergente : u n converge u n converge n 0 n 0 Attention : L réciproque est fusse. u n u n n=0 n=0 Critère de d ALEMBERT Soit(u n ) une suite à termes dns K telle que, pour n> n 0 fixé,u n 0. Alors : u n+1 1. Si lim n + u n =l vecl<1, l série u n converge bsolument. n 0 u n+1 2. Si lim n + u n =l vecl>1, l série u n diverge grossièrement. n 0 u n+1 Attention : Si lim n existe ps où vut 1, le critère est inopérnt. n + u n 16

17 Séries lternées Définitions : 1. Soit(u n ) une suite à vleurs dns R +, décroissnte et de limite nulle. Alors, l série lternée ( 1) n u n converge. n 0 2. Soit S= ( 1) n u n une série lternée. On ppelle le reste d ordre n de S : n=0 R n = S S n = ( 1) k u k k=n+1 Alors R n le signe de( 1) n+1 et R n u n+1 pour tout n N 17

18 6 Séries entières Définition : Série entière Soit( n ) n n une suite à vleurs réelles ou complexes. On ppelle série entière l fonction de C dns C qui à z ssocie l somme de l série n 0 n z n, lorsque cette série converge. Ryon de convergence Soit r un réel positif, on note r le disque (dns le pln complexe) ouvert z C, z < r et r le disque fermé z C, z r vec les conventions 0 =, 0 = 0 et = = C. Soit n 0 n z n une série entière, et sont domine de convergence. Alors il existe un unique élément R R + tel que R R R est le ryon de convergence de l série : 1. l série converge bsolument à l intérieur de son disque de convergence 2. l série diverge grossièrement à l extérieur de son disque de convergence 3. on ne sit ps à priori ce qui se psse pour z = R Lemme d ABEL Soit n 0 n z n une série entière : 1. si( n z n 0 ) n N est bornée et si z 1 < z 0 lors n 0 n z n 1 converge bsolument 2. si( n z n 0 ) n N n ps une limite nulle et si z 1 > z 0 lors n 0 n z n 1 diverge grossièrement Clcul prtique du ryon de convergence : n 0 n z n 0 converge R z 0 n z n 0 ne tend ps vers 0 R z 0 18

19 Critère de d ALEMBERT (simplifié) Soit n 0 n z n une serie entière. n Si n+1 dmet une limitel R + qund n tend vers l infinit, lors le ryon de convergence de cette serie est : R=l Dns les mêmes conditions, le ryon de convergence des séries entières n z 2n et n z 2n+1 est : n 0 n 0 R= l vec pour convention =. Propriétés Soit n 0 n z n une serie entière de ryon de convergence R. Soit f : R x R n x n n 0 Alors : 1. f est sur] R, R[ et p N, x < R, f (p) (x)= n! (n p)! n x n p 2. x ] R, R[, x 0 f(t)dt= n=0 n n+ 1 x n+1 Soit n x n. Si n R n converge, lors : n=0 n=0 Attention : L réciproque est fusse! n R n = lim n=0 Théorème tubérien x R x<r n x n n=0 19

20 Développements de bse 1 1+ x = ( 1) n x n R=1 ln(1+ x)= n=0 ( 1) n+1 x n n=1 e x x n = n! n=0 x 2n chx= (2n)! n=0 x 2n+1 shx= (2n+ 1)! cos x= sin x= n=0 ( 1) n x2n (2n)! n=0 n ( 1) n x 2n+1 (2n+ 1)! n=0 R=1 R= R= R= R= R= (1+ x) α α(α 1) (α n+ 1) = n! n=0 x n R= siα N R=1 siα N 20

21 7 Structures lgébriques Loi de composition interne et propriétés Définition : Soit E un ensemble, une loi de composition interne est une ppliction de E E E Propriétés : Soit les lois de compositions et définies sur E : 1. Loi ssocitive. est ssocitive si, et seulement si : (x, y, z) E 3,(x y) z=x (y z) 2. Loi commuttive. est commuttive si, et seulement si : (x, y) E 2, x y= y x 3. Elément neutre. L élément e de E est neutre pour l loi si, et seulement si : x E, x e= e x=x 4. Eléments symétriques. Si l loi dmet un élément neutre e, l élément x dmet un symétrique y si, et seulement si celui-ci vérifie : x y= y x= e 5. Distributivité à droite. L loi est distributive à droite pr rpport à si, et seulement si : (x, y, z) E 3,(x y) z=(x z) (y z) 6. Distributivité à guche. L loi est distributive à guche pr rpport à si, et seulement si : (x, y, z) E 3, z (x y)=(z x) (z y) 21

22 Groupe Soit G un ensemble muni d une loi interne, le couple(g, ) est un groupe si et seulement si : 1. est ssocitive 2. dmet un élément neutre e 3. Chque élément de G dmet un élément symétrique : x G, x G, x x = x x= e (x = x 1 ) Si en plus pour tout(x, y) G 2, x y= y x lors le groupe G est commuttif où bélien. Sous-Groupe : Soit(G, ) un groupe et H une prtie de G. H est un sous groupe de(g, ) si et seulement si : 1. e pprtient à H 2. (x, y) H 2,(x y) H 3. x H, x 1 H Propriété : Tout sous-groupe est une groupe! Anneu Soit A une ensemble muni de deux lois de composition interne et. Le triplet(a,, ) est un nneu si, et seulement si : 1. (A, ) est un groupe commuttif 2. est distributive à droite et à guche pr rpport à Si, de plus, l loi dmet un élément neutre lors l nneu est un nneu unitire et si l loi est commuttive lors l nneu est commuttif. Sous-Anneu : Soit(A,+, ) un nneu et H une prtie de A. H est un sous-nneu de A si, et seulement si : 1. (H,+) est un sous groupe de A 2. (x, y) H 2, x y H, ie. que H est stble pour l loi. 22

23 Corps Soit K un ensemble muni de deux lois+et, le triplet(k,+, ) est un corps si, et seulement si : 1. (K,+, ) est un nneu 2. (K, ) est un groupe Si, de plus, l loi est commuttive, lors le corps est un corps commuttif. Espce vectoriel Soit E muni d une loi interne notée+et(k,+, ) un corps commuttif tel qu il existe une loi externe notée. définie sur K E à vleurs dns E, le triplet(e,+,.) est un espce vectoriel sur K si, et seulement si : 1. (E,+) est un groupe commuttif 2. λ K, (x, y) E 2,λ.(x+ y)=λ.x+λ.y 3. (λ,µ) K 2,(λ+µ).x=λ.x+µ.x 4. (λ,µ) K 2,(λ µ).x=λ (µ.x) 5. x E, 1.x=x Algèbre Soit A un ensemble muni de deux lois internes+et et(k,+, ) un corps commuttif tel qu il existe une loi externe notée. définie de K A dns A.(A,+,,.) est une lgèbre si, et seulement si : 1. (A,+,.) est un espce vectoriel 2. (A,+, ) est un nneu 3. λ K, (x, y) A, x (λ.y)=λ.(x y) Si, l loi de A est commuttive l lgèbre est une lgèbre commuttive. 23

24 8 Espces vectoriels On considère ici un espce vectoriel E sur un corps K. Fmille et système On ppelle fmille d éléments de E indéxée pr l ensemble I une ppliction f : I E, notée ui i I où u i = f(i). Un système est une fmille le plus souvent finie, et donc indéxée pr une prtie de N : I ={1,2,...,n}. Fmille libre, fmille liée Une fmille finie ui, est dite libre si et seulement si : 0 i n n (λ i ) 0 i n K n, λ k uk = 0 = k [[0, n]],λ k = 0 k=0 Une fmille quelconque ui i I extrite de ui est libre. i I (I est un ensemble) est dite libre si et seulement si toute fmille finie Une fmille est liée si elle n est ps libre. Fmille génértrice Soit H un sous-espce de E, une fmille ui est dite génértice de H si et seulement si tout élément i I de H est combinison linéire d éléments de ui i I, c est-à-dire : x E, J I, J fini, (λ j ) j J K J, x= j Jλ j u j Bse Une fmille ui i I est dite bse de E si et seulement si elle est à l fois libre et génértrice de E. 24

25 Dimension Si E dmet une fmille génértrice finie, lors toutes les bses de E ont le même crdinl. Ce crdinl est ppelé dimension de E, noté dim E : Théorème de l dimension. 0 Si E=, on dit que dim E= 0. Si E n dmet ps de fmille génértrice finie, on dit que dim E=. Somme et somme directe Somme de deux sous-espces Soient F 1 et F 2 deux sous-espces vectoriels d un même espce vectoriel E sur K. L somme de F 1 et F 2, notée F 1 + F 2, est l ensemble des vecteurs somme d un élément de F 1 et d un élément de F 2. F 1 + F 2 ={x 1 + x 2, x 1 F 1, x 2 F 2 } Somme directe Soit un espce vectoriel E de dimension finie, et A et B deux sous-espces vectoriels de E. L somme de A et B est directe si, et seulement si l intersection de A et B est réduite u vecteur nul. Cette somme est lors notée : A B Propriétés crctéristiques : F= A B (F= A+ B) et(a B={0}) F= A B (F= A+ B) et(dim A+ dimb= dim F) F= A B on obtient une bse de F pr l réunion d une bse de A et d une bse de B Si E est un espce-vectoriel de dimension finie, on dit que A et B sont supplémentires si, et seulement si : A B= E Propriété : En dimension finie, tout sous-espce de E dmet un supplémentire. Appliction linéire Soit E et F deux K-espces vectoriels. Une ppliction f de E dns F est une ppliction linéire [homomorphisme d espces vectoriels] si, et seulement si : 1. (x, y) E 2, f(x+ y)= f(x)+ f(y) 2. λ K, x E, f(λ.x)=λ.f(x) L ensemble des pplictions linéires de E dns F est notée : (E, F). 25

26 Noyu et Imge Soitϕ une ppliction linéire de E dns F. On définit lors : 1. le noyu deϕ : Ker(ϕ)={x E,ϕ(x)=0 F } 2. l imge deϕ : Im(ϕ)={y F, x E, y=ϕ(x)} Ces deux ensembles sont respectivement des sous-espce de E et de F. Somme et somme directe Somme de deux sous-espces Soient F 1 et F 2 deux sous-espces vectoriels d un même espce vectoriel E sur K. L somme de F 1 et F 2, notée F 1 + F 2, est l ensemble des vecteurs somme d un élément de F 1 et d un élément de F 2. F 1 + F 2 ={x 1 + x 2, x 1 F 1, x 2 F 2 } Somme directe Soit un espce vectoriel E de dimension finie, et A et B deux sous-espces vectoriels de E. L somme de A et B est directe si, et seulement si l intersection de A et B est réduite u vecteur nul. Cette somme est lors notée : A B Propriétés crctéristiques : F= A B (F= A+ B) et(a B={0}) F= A B (F= A+ B) et(dim A+ dimb= dim F) F= A B on obtient une bse de F pr l réunion d une bse de A et d une bse de B Si E est un espce-vectoriel de dimension finie, on dit que A et B sont supplémentires si, et seulement si : A B= E Propriété : En dimension finie, tout sous-espce de E dmet un supplémentire. 26

27 Injectivité Surjectivité Rppel : On dit qu une ppliction f de E dns F est injective si, et seulement si : (x 1, x 2 ) E, f(x 1 )= f(x 2 ) x 1 = x 2 On dit qu une ppliction f de E dns F est surjective si, et seulement si : y F, x E, f(x)=y Soit ϕ une ppliction linéire de E dns F deux espces-vectoriels. On : 1. ϕ est injective si et seulement si Kerϕ={0} ou si l imge prϕ de toute fmille libre de E est une fmille génértrice de F. 2. ϕ est surjective si et seulement si Im ϕ = F ou si l imge pr ϕ d une fmille génértrice donnée de E est une fmille génértrice de F. 3. ϕ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, ou si l imge prϕ d une bse de E est une bse de F. Formule du rng Si dim E<+ etϕ une ppliction linéire de E dns F, lors : dim(kerϕ)+dim(imϕ)=dim E Conséquences : En dimension finie, si une ppliction linéire est bijective si et seulement si elle est injective[resp. surjective]. On ppelle dim(im ϕ) le rng de ϕ noté rg ϕ. Nomenclture des pplictions linéires Une ppliction linéire ϕ de E dns F (homomorphisme) est ppélée : endomorphisme si E= F. isomorphisme si ϕ est une bijection. utomorphisme siϕ est une bijection et si E= F. L ensemble des endomorphismes de E est noté (E). Remrque : S il existe un isomorphisme entre les deux espces-vectoriels E et F, lors on dit que E et F sont isomorphes et on note E F, nécessirement dim E= dim F. 27

28 Remrques sur les pplictions linéires : On ( (E, F),+, ) un K-espce vectoriel. On ( (E),+,, ) une lgèbre non commuttive. Espces ffines Soitϕ une ppliction linéire de E dns F, et b F. On pose l éqution : ǫ :ϕ(x)= b Si b n pprtient ps à Imϕ, l ensemble des solutions deǫest l ensemble vide Si b pprtient à Imϕ, il existe x 0 E, tel queϕ(x 0 )= b et l ensemble des solutions S deǫest : S=x 0 + Kerϕ L ensemble des solutions de l équtionǫest ppelé espce ffine de direction Kerϕ et d origine x 0 (l direction et l origine ne sont ps définis pour l ensemble vide). En dimension finie, si{u i } 0 i p est une bse de E, lors : S= x 0 + p λ k u k,{λ h } 0 h p K p k=1 Prllélisme : on dit que deux espces ffines sont prllèles s ils sont non confondus et que leurs directions respectives sont incluses l une dns l utre. Deux espces ffines prllèles ont une intersection vide. 28

29 8.1 Mtrices Définition Soit p et n deux entiers non nuls, E K p et F K n deux espces vectoriels munis respectivement des bses(u 1, u 2,, u p ) et(v 1, v 2,, v n ). Alors toute ppliction linéireϕ (E, F) est définie de mnière unique pr l imge des vecteurs de l bse(u 1, u 2,, u p ) dns l bse(v 1, v 2,, v n ), c est-à-dire pr les réels(( i,j )) 1 i n. Le tbleu 1 j p (( i,j )) 1 i n dont l j -ième colonne représente le vecteurϕ(u j ) dns l bse(v 1, v 2,, v n ) est ppelée 1 j p mtrice deϕ[reltive ux bses(u 1, u 2,, u p ) et(v 1, v 2,, v n )]. A=(( i,j )) 1 i n = 1 j p ϕ(u 1 ) ϕ(u j ) ϕ(u p ) v 1 1,1... 1,j... 1,p.... v i i,1... i,j... i,p.... v n n,1... n,j... n,p L ensemble des mtrices à n lignes et p colonnes dns K est noté n,p (K). 29

30 Multipliction Soitϕ etψdeux pplictions linéires,ϕ (K n,k m ) etψ (K p,k n ) uxquelles sont respectivement ssociées les mtrices A= Mt(ϕ) et B= Mt(ψ) On : Mt(ϕ ψ)=mt(ϕ) Mt(ψ)=A B Exécution du produit mtriciel : C = A B B p lignes q colonnes p c i j = ik b k j k=1 b 11 b 21 b 12 b 22 b 1q b 2q b p1 b p2 b pq p p c 22 n1 n2 n p A n lignes p colonnes C= A B n lignes q colonnes Attention : Le produit mtriciel n est ps commuttif!!! Algèbre L ensemble( n (K),+,, ) est un lgèbre non commuttive ( n étnt l ensemble des mtrices crrées de dimension n. L élément neutre pour l multipliction est I n dont ses coefficients sont les indices de KRONECKER i.e. : I n =((δ i,j )) 1 i n 1 j n 0 si i j vec δ i,j = 1 si i= j On pour toute mtrice A n : soit il existe une mtrice B telle que A B= B A= I n. On dit que A est inversible et on note B= A 1. soit il existe une mtrice B telle que A B= B A= 0. On dit que A est diviseur de 0. 30

31 Propriétés 1. Pour tout n N, A n est définie pr A n+1 = A n A 2. Pour tout n N, A n =(A 1 ) n si A est inversible. 3. Soit(B,A) 2 inversibles. Alors : n (AB) 1 = B 1 A 1 Chngement de bse 1. Mtrice de pssge : Soit et deux bses d un même espce vectoriel E de dimension n. On ssocie à tout vecteur x E l mtrice colonne X de ses coordonnées dns l bse et l mtrice X de ses coordonnées dns l bse. On définit P n l mtrice[de pssge]dont les colonnes représentent les coordonnées des vecteurs de dns l bse. On : X= PX i.e. X = P 1 X 2. Chngement de bse : Soit E et F deux espces de dimensions respectives n et p. On considère deux bses de E, E et E vec pour mtrice de pssge P, et deux bses de F, F et de mtrice de pssge Q. F Alors, pour toute pliction linéireϕ de E dns F, de mtrice M dns les bses E et F et M dns les bses E et F, on : M = Q 1 M P Si E= F et Q= P, M = P 1 M P 3. Mtrices semblbles : On dit que deux mtrice A et B de n (K) sont semblbles si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dns deux bses différentes de K n, i.e. : P n (K), A= P 1 BP On note : A B 31

32 8.2 Déterminnt Définition Soit E un espce vectoriel isomorphe à K n. Le déterminnt, noté det, est l unique ppliction de E dns K qui vérifie les propriétés suivnte : 1. multilinérité : (u 1,, u n ) E, i 1, n, X E det(u 1,, u i 1,X, u i+1,, u n ) est linéire. 2. ntisymétrie : (u 1,, u n ) E, (i, j) 1, n 2, i< j det(u 1,, u i,, u j,, u n )= det(u 1,, u j,, u i,, u n ) 3. Si(e 1,, e n ) est l bse cnonique de E lors det(e 1,, e n )=1. Propriétés Soit(u 1,, u n ) une fmille de vecteurs. S il existe(i, j) 1, n 2 tels que i<j et u i = u j lors : Si i j, lors pour toutλ K : Pourλ K : det(u 1,, u n )=0 det(u 1,, u i 1, u i +λu j, u i+1,, u n )=det(u 1,, u i,, u n ) det(u 1,,λu i,, u n )=λdet(u 1,, u i,, u n ) Le déterminnt d un fmille est non nul si et seulement si l fmille est libre. 32

33 Déterminnt d un endomorphisme Soitϕ (E), il existe un unique sclire k(ϕ) ne dépendnt que deϕ, tel que : On pose lors Propriétés : 1. det(λϕ)=λ n det(ϕ) (u 1,, u n )i ne n, det(ϕ(u 1 ),,ϕ(u n ))= k(ϕ) det(u 1,, u n ) det(ϕ) = k(ϕ) 2. Soitϕ etψdeux endomorphisme de E lors det(ϕ ψ)=det(ϕ) det(ψ) 3. ϕ est un endomorphisme si et seulement si det(ϕ) 0, et det(ϕ 1 )= 1 det(ϕ) Déterminnt d un mtrice Soit A n (K), représentnt l endomorphismeϕ de E dns une bse. Le déterminnt est lors le déterminnt de ϕ mis ussi le déterminnt des vecteur colonnes de A. Propriétés : 1. det(λa)=λ n det(a) 2. Soit A,B n (K) lors det(a B)=det(A) det(b) 3. A est inversible si et seulement si det(a) 0, et det(a 1 )= 1 4. det(a)=det( t A) det(a) 5. Si A et B sont semblbles, lors det(a) = det(b). Attention : réciproque fusse. 33

34 Développement du déterminnt Soit A=(( i,j )) 1 i n n (K), et(k, l) 1, n 2 ; on ppelle mtrice mineure de A ttchée u 1 j n couple(k, l), et on note A k,l, l mtrice de n 1 (K) obtenue pr suppression de l k-ème ligne et de l l -ème colonne. On peut développer le déterminnt grâce ux formules suivntes : 1. Développement pr rpport à l j -ième colonne : 2. Développement pr rpport à l i-ième ligne : det(a)= n i=1 ( 1)i+ j i,j det(a i,j ) det(a)= n j=1 ( 1)i+ j i,j det(a i,j ) Comtrice Soit A n (K), l comtrice de A est Com(A)= (( 1) i+ j det(a i,j )) 1 i n Alors, si A est inversible : 1 j n A 1 = 1 det(a) tcom(a) 34

35 9 Réduction des endomorphismes Vleurs, vecteurs et espces propres Soit f (E), E un espce vectoriel, on considère l éqution en x E pourλ K : (µ λ ) : f( x)=λ x Toute solution non nulles de(µ λ ) est ppelée vecteur propre de f. Toute vleur deλ K pour lquelle(µ λ ) dmet une solution non nulle est ppelée vleur propre de f. L ensemble des vleurs propres de f est ppelé spectre de f. Siλest une vleur propre de f, on ppelle sous-espce propre de f ssocié àλl espce E λ = x E, f( x)=λ x = ker(f λ ide ), cette espce étnt non nulle. Propriétés 1. Soitλetµdeux vleurs propres d un endomorphisme, lors siλ µ, E λ E µ = 0 2. Soientλ i, i 1, k, k vleurs propre distincts d un même endomorphisme. Alors : E λ1 + E λ2 + + E λk = E λ1 E λ2 E λk 3. Toute fmille formée de vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes est libre. Trce d une mtrice L trce d une mtrice A=( i,j ) 1 i n n (K) est l somme des éléments digonux de l mtrice. 1 j n Tr(A) = n k=1 k,k Propriétés : Soit(A,B, P) ( n (K)) 3, P inversible, et(λ,µ) K. On : 1. Tr(λA+µB)=λTr(A)+µTr(B) 2. Tr(A B)=Tr(B A) 3. Tr(P 1 A P)=Tr(A) 35

36 Polynôme crctéristique À toute mtrice crrée ou à tout endomorphisme d un espce vectoriel de dimension finie est ssocié un polynôme ppelé polynôme crctéristique. Les rcines de ce polynôme sont exctement les vleurs propres de l endomorphisme. Pour un endomorphisme f (E) on définit le polynôme crctéristique : P f (X)=det(f X id E ) L ordre de multiplicité deλcomme vleur propre de f est, pr définition, l ordre de multiplicité deλ comme rcine de P f, on le noteµ(λ). Propriétés : 1. λ est une vleur propre de f si et seulement si c est une rcine 2. Pour toute vleur propreλ, 1 dim(e λ ) µ(λ) 3. Si f est défini pr s mtrice A dns une bse quelconque, P f (X)=P A (X)=det(A X I n ) est églement le polynôme crctéristique de A qui ne dépend ps de l bse. 4. Soit A B deux mtrices semblbles ssociées à l endomoprphisme f, lors : A B P A (X)=P B (X) (det(a)=det(b) et Tr(A)=Tr(B)) Digonlistion Un endomorphismeϕ (E) est digonlisble si et seulement si il existe une bse de E formée de vecteurs propres de ϕ, i.e. : E λ = E λ Sp(ϕ) Une mtrice M n (K) est digonlisble si et seulement si il existe une mtrice inversible P est une mtrice digonle telles que : =P 1 M P 36

37 Condition de digonlistion Une mtrice M n (K) est digonlisble si et seulement si : 1. le polynôme crctéristique de M est scindé dns K 2. pour toute vleur propreλ de M, dim E λ =µ(λ) Il en découle une condition suffisnte mis ps nécessire : si le polynôme crctériqtique de M est scindé dns K vec des rcines simples lors M est digonlisble. Trigonliser Soit A=( i,j ) 1 i n n (K). Trigonliser A, c est trouver une mtrice de pssge P et une mtrice 1 j n tringulire supérieure T, telles que : T= P 1 AP. Toute mtrice est trigonlisble dns C. Dns l prtique (en P-T), on trigonlise dns 3 (K). Soitα etβdeux éléments de K distincts. Il existe lors deux cs : 1. P A (X)= (X α) 2 (X β), lors T est de l forme : β 0 0 T= 0 α α L mtrice de pssge P est lors de l bse de déprt vers une bse( u, v, w), où u est un vecteur propre ssocié àβ, v un vecteur propre ssocié àαet w un vecteur propre à déterminer tel que f( w)=α w+ v. 2. P A (X)= (X α) 3, lors lors T est de l forme : α 1 b T= 0 α 0 0 α L mtrice de pssge P est lors de l bse de déprt vers une bse( u, v, w), où u est un vecteur propre ssocié àβ, v un vecteur propre à déterminer tel que f( v)=α v+ u et w un vecteur propre à déterminer tel que f( w)=α w+ v+b u. α 1 0 Remrque : On peut imposer = 1 et b= 0 ce qui simplifie le clcul : T= 0 α α Réduire une mtrice, c est l digonliser si possible, l trigonliser sinon. 37

38 10 Espce euclidien et préhilbertien On considère ici un espce vectoriel E sur R (de dimension finie ou infinie). Produit sclire Définition On ppelle produit sclire toute ppliction ϕ de E E sur R qui vérifie les propriétés suivntes : 1. symétrie : (u, v) E 2, ϕ(u, v)=ϕ(v, u) 2. bilinérité : u E, x ϕ(x, u) et x ϕ(u, x) sont linéires 3. u E, ϕ(u, u) 0 et u E, ϕ(u, u)=0 u= 0 Siϕ est un produit sclire sur E, on dit queϕ munit E de l structure : d espce préhilbertien si dim E= d espce euclidien si dim E est finie L ppliction de E dns R : x ϕ(x, x) est ppelée forme qudrtique ssociée àϕ. Inéglité de CAUCHY SCHWARZ Soitϕ un produit sclire sur E. Alors, on : (x, y) E 2, (ϕ(x, y)) 2 ϕ(x, x) ϕ(y, y) Ou encore, en notnt N(x)= ϕ(x, x) : (x, y) E 2, ϕ(x, y) N(x) N(y) Remrque : Il y églité lorsque les vecteurs x et y sont colinéires. Inéglité tringulire Soitϕ un produit sclire sur E. En notnt N(x)= ϕ(x, x) : (x, y) E 2, N(x+ y) N(x)+N(y) Remrque : Il y églité si et seulement si les deux vecteurs x et y sont colinéires et de même sens. L ppliction N est une norme sur E, ppelée norme euclidienne ssocié à ϕ. On note désormis< x, y> le produit sclire de x vec y. 38

39 Orthgonlité Définition : On dit que deux vecteur sont orthogonux si<x, y>= 0. On note x y. Propriétés : 1. Le vecteur nul est orthogonl à tous les utres vecteurs, c est le seul vecteur orthogonl à tous les utres : ( x E,< x, u>= 0) u= 0 2. Théorème de PYTHAGORE : (x, y) E 2, x y, x+ y 2 = x 2 + y 2 Sous espces orthogonux Soit F et G deux sous-espce de E, F et G sont orthogonux si et seulement si : (x, y) F G, x y On note lors F G. Orthogonl d un sous-espce : On dit que G est l orthogonl de F si et seulement si : F G et F G= E L orthogonl de F est noté F : F = x E, y F, x y 39

40 Projection orthogonle Soit F un sous-espce de E de dimension finie. Pour tout x E, il existe un couple unique(f, h) E 2 tel que : x= f+ h, vec f F et h F On définit lors un endomorphisme de E, ppelée projection orthogonl sur F, notéπ F, qui à tout x E ssocie le vecteur f comme défini ci-dessus. Formule de projection : Soit(e 1,, e p ) une bse orthogonle de F, lors : π F (x)= n < e k, x> < e k, e k > e k Le réel < e k, x> < e k, e k > est ppelé coordonnée contrvrinte de x dns le système(e 1,, e p ). k=1 Orthogonlistion de GRAM-SCHMIDT Soit(u 1,, u p ) une bse d un sous-espce F de E. Alors on peut toujours obtenir une bse orthogonle(e 1,, e n ) de F : e 1 := u 1 k 1 < e j, u k > e k := u k < e j, e j > e j si k> 1 j=1 Pour obtenir une bse orthonormée, il suffit de normer les vecteurs e k, i.e. en posnt pour tout k 1, p,ε k = e k e k. 40

41 Systèmes orthogonux (x i ) i I est un système orthogonl si et seulement si : i I, x i 0 et (i, j) I 2, i j x i x j Théorème de PHYTAGORE : Si(x i ) 1 i n est un système orthogonl, lors : n x k = k=1 Un système orthogonl est nécessirement libre. n x k 2 Système orthonormé :(x i ) 1 i n est un système orthonormé si et seulement si : k=1 (i, j) 1, n 2, < x i, x j >=δ i j Distnce d un vecteur à un sous-espce Soit F un sous-espce de E (en dimension finie). Alors : x E, y F, x π F (x) x y Autrement dit, x π F (x) =inf y F x y, cette vleure est églement ppelée distnce de x à F et notée d(x, F). Remrque : Ce procédé sert pr exemple à clculer le minimum de 1 0 (f(x) (x+b))dx, on clcule l projection de f sur l espce des polynômes de degrès 1 1, ce qui nous donne les vleurs de et b (il fut obtenir une bse orthonormée des polynômes de degrès 1). 1 Ceci s étend ux utres degrès 41

42 Groupe orthogonl Définition Définition : Soit E un espce euclidien, muni d un produit sclire noté <, >. Un endomorphisme f de E, f (E), est un utomorphisme orthogonl si et seulement si f vérifie une des propriétés équivlentes suivntes : 1. (x, y) E 2, < f(x), f(y)>=< x, y> 2. x E, f(x) = x («f conserve l norme») 3. Il existe une bse orthonormée de E dont l imge pr f est une bse orthonormée de E. 4. L imge de toute bse orthonormée de E est une bse orthonormée de E. Un utomorphisme orthogonl est ussi ppelé isométrie vectorielle. Groupe othogonl Propriétés Propriétés : 1. Si f est un utomorphisme orthogonl, lors f est bijectif et f 1 est un utomorphisme orthogonl. 2. Si f et g sont deux utomorphismes orthogonux, lors f g est un utomorphisme orthogonl. 3. L ensemble des utomorphismes orthogonux est un groupe muni de l loi, ppelé groupe orthogonl et noté (E) Mtrices orthogonles Soit(e 1,..., e n ) une bse orthonormée de E et A l mtrice dns(e 1,..., e n ) d un endomorphisme f. Alors : f (E) t A A= I n Autrement dit, A n (R) est une mtrice orthogonle si et seulement si t A A= I n L ensemble des mtrices orthogonles, muni de l loi, est un groupe noté (n) et est isomorphe à (E). Propriété : Si A (n), lors deta { 1,1}. Les mtrices de (n) dont le déterminnt est égl à 1 sont ppelées directes ou positives, elles forment un sous-groupe de (n) noté + (n). Ce sont des mtrices de rottion. Les mtrices de (n) dont le déterminnt est égl à 1 sont ppelées indirectes ou positives, elles forment un sous-groupe de (n) noté (n). Ce sont des mtrices d isométrie négtive. 42

43 Propriétés Si M (n), lors t M M= I n donc : M= t M M 2 = I n i.e. M est une mtrice de symétrie orthogonle si et seulement si M est une mtrice symétrique et orthogonle. Les seules vleurs propres possibles pour une mtrice de (n) sont -1 et 1. Mtrices de (2) Les mtrices de (2) sont de deux types : 1. Les mtrices positives, mtrices de rottion vectorielle d ngle θ : cosθ sinθ sinθ cosθ 2. Les mtrices négtives, mtrices de symétrie xile pr rpport à l droite formnt vec l droite formnt vec O, ı l ngle θ 2. cosθ sinθ sinθ cosθ 43

44 Mtrices de (3) Nture Mtrice l plus simple Eléments det symétrique Identité I 3 1 oui Symétrie centrle I 3-1 oui Réflexion le pln E 1-1 oui Demi-tour l xe E 1 1 oui Rottion 0 cosθ sinθ l xe E 1 et l ngleθ 1 non 0 sinθ cosθ Détermintion de l xe et de l ngle d une rottion Soit ρ une rottion d ngle θ ]0, π[ ]π, 2π[ et R s mtrice dns une bse orthonormée ( e 1, e 2, e 3 ). Alors, en posnt = 1 2 (R t R), il existe(p, q, r) R 3 tels que : L xe de ρ est dirigé pr : 0 r q = r 0 p q p 0 ω= p e1 + q e 2 + r e 3 L ngle est défini pr : 1+2cosθ= Tr(R) sinθ= ω 44

45 Endomorphismes symétriques Définition : u (E) est symétrique si et seulement si : Propriété : (x, y) E 2, < u(x), y>=< x, u(y)> 1. Soit(e 1,..., e n ) une bse orthonormée de E, et M l mtrice de u dns(e 1,..., e n ) : u est symétrique t M= M M est symétrique 2. Toute mtrice M symétrique est digonlisble dns R selon une bse orthonormée. Autrement dit, il existe une bse orthonormée de vecteurs propres réels de M. Nottions : Le sous-espce vectoriel des mtrices n n symétriques est noté n. + n [resp. ++ ] est l ensemble n des mtrices symétriques dont toutes les vleurs propres sont positives[resp. strictement positives]. Forme qudrtique Une ppliction q : E R est une forme qudrtique si et seulement si il existe une formeϕ bilinéire symétrique de E 2 dns R telle que : Une telle forme vérifie toujours q(λ x)=λ 2 x. x E, q(x)=ϕ(x, x) Formule de polristion Soit q une forme qudrtique. Pour retrouver l expression de l forme bilinéire symétrique qui lui est ssocie, on utilise l formule de polristion : ϕ(x, y)= 1 (q(x+ y) q(x y)) 4 45

46 Expression de l mtrice de l forme qudrtique Soit E un espce euclidien muni d une bse(e 1,...,e n ). Soit q une forme qudrtique et ϕ s forme bilinéire symétrique ssociée. Alors : où i,j =< e i, e j >. A=(( i,j )) 1 i,j n est l mtrice de q dns l bse(e 1,...,e n ) En effet, soit x= n i=1 x i e i et y= n i=1 y i e i, lors : n n ϕ x i e i, y= y j e j = D où : i=1 j=1 n q x i e i = i=1 1 i,j n n x 2 i i,i + 2 i=1 x i y j < e i, e j >= 1 i< j n x i x j i,j 1 i,j n i.e., si X[resp. Y] est le vecteur colonne des composnte de x[resp. y], on : ϕ(x, y)= t X.A.Y et q(x)= t X.A.X x i y j i,j Réduction d une forme qudrtique Soit q une forme qudrtique de mtrice A dns une bse orthonormée =(e 1,, e n ). A est symétrique réelle, donc est digonlisble dns une bse =(v 1,, v n ). Il existe donc(, P) n (R) 2 telles que : = t P.A.P où =dig(λ 1,,λ n ) et P l mtrice de pssge orthogonle de vers. Soit x E tel que x= n i=1 x i v i uquel on ssocie l mtrice colonne des coordonnées dns, X. Alors l expression de l forme qudrtique q dns l bse est : q(x)= t X..X = On dit que l forme q est réduite dns l bse. n i=1 λ i x 2 i 46

47 11 Séries de FOURIER Définitions Nottions Soit T R +, on poseω= 2π T. On ppelle ici M (T) l espce vectoriel des fonctions T -périodiques et continues pr morceux sur[0,t] à vleurs réelles. (T) l espce vectoriel des fonctions T -périodiques et continues sur[0,t] à vleurs réelles. Alors (T) M (T). Coéfficients réels et somme prtielle de FOURIER Soit f une fonction de M (T), on pose : k N, 0 (f)= 1 T k (f)= 2 T T 0 T 0 T f(t)dt f(t)cos(kωt)dt k N, b k (f)= 2 f(t)sin(kωt)dt T 0 n S n (f) : x 0 (f)+ k (f)cos(kωx)+ b k (f)sin(kωx) et k=1 S 0 (f)= 0 (f) Les n (f) n N et b n (f) n N sont les coefficients réels de FOURIER de f et S n (f) est l somme prtielle de FOURIER de f d ordre n. S n (f)est continue et T -périodique. Inéglité de BESSEL Soit f T (R) i.e. l espce des fonctions T -périodiques de R dns R. Alors : m 0 (f) 2 n (f) 2 m b n (f) T n=1 n=1 T 0 (f(t)) 2 dt 47

48 Formule de PARSEVAL Soit f T (R). Alors : 0 (f) n=1 n (f) n=1 b n (f) 2 = 1 2 T T 0 (f(t)) 2 dt Fonction 1 pr morceux Une fonction f est 1 pr morceux sur un intervlle I si et seulement s il existe une subdivision 0 < 1 < < n de I telle que, pour tout k 0, n : 1. f est de clsse 1 sur I k =] k, k+1 [ 2. f et f sont prolongebles ux bornes de I k Théorème de DIRICHLET Soit f définie sur R, T -périodique et 1 pr morceux, lors en notnt + = lim t 0 t>0 f(t) et = lim f(t) : t 0 t<0 t R, lim (S n + n (f))(t)= + + = f(t) 2 f est ppelée l régulrisée de f. Remrque : Si f est continue lors f= f lors : lim (S n + n (f))(t)= f(t) 48

49 12 Equtions différentielles Nottions : K désigne l un des corps R ou C, I est un intervlle de R et est l espce vectoriel + (I,K) des fonctions de clsse + sur I à vleurs dns K. Pour une fonction y on note y (n) l dérivée n ème (k N) vec pour convention y (0) = y Systèmes différentielles Définitions Nottions Soit n N. x 1 On considère(x 1,..., x n ) 1 de I dns K uquel on ssocie l mtrice unicolonne X=. et (b 1,..., b n ) un n uplet de fonctions continues de I dns K uquel on ssocie l mtrice unicolonne b 1 B=.. b n En notnt X l mtrice colonne constituée de(x 1,..., x ), on considère le système(σ) qui s écrit n mtriciellement : (Σ) : X (t)=a.x(t)+b On forme le système différentiel sns second membre ou homogène ssocié à(σ) : (Σ 0 ) : X (t)=a.x(t) x n Nture de l espce des solutions L ensemble des solutions de(σ 0 ) est un espce vectoriel S de dimension n L ensemble des solutions de(σ) est un espce ffine X 0 + S, où X 0 est une solution quelconque de(σ). Existence et unicité des solutions Si t 0 I et V 0 n 1 (K), il existe une unique solution de(σ) qui vérifie X(t 0 )=V(0). 49

50 Méthode de résolution On procède à l réduction de A, i.e. on détermine une mtrice inversible P et une mtrice R telle que vec R digonle ou tringulire. A= P.R.P 1 y 1 (t) En posnt Y(t)=. = P 1.X(t), le système(σ) est équivlent à : y n (t) Alors : Y = R.Y+ P 1.B 1. si A est digonlisble de vleur propre(λ 1,...,λ n ), le système réduit est lors formé de n équtions : y i (t)=λ i.y i (t)+β i (t) dont l résolution est élémentire (β i (t) étnt l i ème composnte de l mtrice P 1 B). 2. Si est non digonlisble, lors le système se résoud de proche en proche. Remrque : On ps besoin de clculer P 1 si le second membre B(t) est nul Equtions différentielles linéires Générlités Définition Une éqution différentielle est linéire d ordre n s il existe une ppliction f (I) et un endomorpismeφde défini prφ(y)= k y (k), où k 1, n, k 0 (I), tels que n : k=0 (E) :Φ(y)= f On définit lors l éqution sns second membre (ESSM) ou éqution homogène ssociée pr : (E 0 ) :Φ(y)=0 50

51 Courbe intégrle Une courbe intégrle de(e) est le grphe de x y(x) où y est solution de(e). Un exemple où l on trce plusieurs solutions : Nture et espce des solutions L ensemble des solutions de(e 0 ) est un espce vectoriel 0 de dimension n. L ensemble des solutions de(e) est un espce ffine de dimension n dirigé pr 0 et d origine y 0, où y 0 est une solution prticulière de(e). = 0 + y 0 51

52 Existence et unicité de l solution vérifint une condition initile Soit x 0 I et le n-uplet(v 0,..., v n 1 ) K n. Il existe une unique solution de(e) vérifint pour tout k 0, n 1, y (k) (x 0 )= v k Equtions différentielles linéires à coefficients constnts Eqution crctéristique Lorsqu on à fire à une éqution différentielles à coefficients constnts (i.e. les k sont constnts), on définit l éqution crctéristique ssociée à(e 0 ) : (χ) : n k X k = 0 k=0 Eqution du premier ordre : y + y= f(x) L ensemble des solutions de l éqution y (x)+y(x)= f(x), (vec K, et f 0 ) est une droite vectorielle dirigée pr x e x et d origine y 0 = e x f(t)e t dt. = e x f(t)e t dt+λ.e x Ce résultt s obtient à l ide de l méthode de vrition des constntes. Equtions du second ordre ESSM Soit l éqution :(E) : y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f(x), vec(, b,c) K K 2. Résolution de l ESSM : Soientα etβles deux rcines complexes de l éqution crctéristique(χ) : X 2 + b X+ c= 0. Les solutions de l ESSM forment lors un espce vectoriel de dimension 2, de bse : x e αx, x e βx si (x e αx, x xe αx ) si α β α=β 52

53 Résolution complète de l éqution On cherche à déterminer une solution prticulière de(e) : y (x)+ b y (x)+cy(x)= f(x), vec (, b,c) K K 2. Plusieurs méthodes : 1. Seconds membres polynomiux : Si f(x) est un polynôme de degré n, lors il existe une solution prticulière polynomile de degré n si c 0, de degré n+ 1 si c= 0 et b 0, de degré n+ 2 si b= c= Elimintion de l exponentielle : Si f est de l forme e mx g(x), m K, on pose y(x)= u(x)e mx, on obtient lors l éqution sns exponentielle : u +(2m+ b)u +(m 2 + b m+c)u=g 3. Principe de superposition : () Si f(x)= f 1 (x)+ f 2 (x), en dditionnnt les solutions prticulières des équtions : et on obtient une solution prticulière de(e). y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f 1 (x) y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f 2 (x) (b) Si f(x)=r(h(x))[resp. f(x)=i(h(x))], on obtient une solution de(e) en prennt l prtie réelle[resp. imginire] d une solution de second membre h(x). 4. Autres seconds membres : Si les 3 méthodes précédentes ne permettent ps de résoudre l éqution, on recours à l méthode de vrition des constntes : Si y 1 et y 2 sont deux solutions linéirement indépendntes de(e 0 ), on cherche une solution de (E) sous l forme : y(x)=λ(x)y 1 (x)+µ(x)y 2 (x) où λ (x)y 1 (x)+µ (x)y 2 (x)=0 Alors(E) se rmène à un système de CRAMER enλ (x) etµ (x). 53

54 12.4 Equtions différentielles linéires à coefficients vribles Eqution du premier ordre Résolution de l ESSM : Les solutions de (x)y + b(x)y= 0, sur tout intervlle I où ne s nnule ps, forment un espce vectoriel de dimension 1 dirigé pr : u(x)=e A(x) où A est une primitive de x (x) b(x). Résolution complète : On trouve une solution prticulière de (x)y +b(x)y= c(x) pr l méthode de vritions des constntes en posnt : y 0 (x)= k(x)u(x) L ensemble des solutions de(e) est lors : ={y 0 +λ.u,λ K} Existence et unicité d une solution : Il existe une unique solution de(e) définie pr une condition initile(y(x 0 )=y 0 où(x 0, y 0 ) I K. Eqution du second ordre On considère le système : (E) : (x)y + b(x)y + c(x)y= f(x) Il n y ps de méthode générle de résolution. Cependnt l espce ffine des solutions de(e) est dirigé pr un espce vectoriel de dimension 2. Le principe est lors de trouver deux solutions indépendntes de(e 0 ) et de cherche une solution prticulière. 54

55 Méthode prtielle de résolution (de LAGRANGE) Si l on connît une solution u non nulle de l éqution sns second membre(e 0 ) : (x)y + b(x)y + c(x)y= 0, lors le chngement d inconnue y=z.u trnsforme(e) en l éqution en z : qui est une éqution du premier ordre enω=z. (A) :.u.z +(2.u + b.u).z = f Solutions de(e 0 ) polynimiles ou développbles en série entière On recherche des solutions de(e 0 ) polynômiles ou développbles en série entière. Soitφ : y (x)y + b(x)y + c(x)y un endormorphisme de (R). On recherche les solutions de(e 0 ) sous l forme : On lors sur l intervlle de convergence : φ + y(x)= n x = n n=0 + n=0 + n=0 n x n. n φ(x n )=0. Le clcul nous permet de déterminer les k pour que l somme soit nulle (en générl sous forme de reltion de récurrence). On trouve églement les éventuelles solutions polynomiles de(e 0 ). Recherche de solution pr chngement de vrible On effectue le chngement de vrible x=ψ(t) oùψest une fonction bijective de clsse 2, à vleurs dns un intervlle de résolution I. Il est lors prtique d utiliser les nottions de LEIBNIZ pour boutir à une éqution de vrible t, en effet : dy dx = dx dt dy dt et d 2 y dx 2=dt dx d dy dt dx = d2 y dt 2 dt 2 + dy dx dt d 2 t dx 2 55

56 12.5 Equtions non linéires Attention A l différence des éqution linéires : 1. Il n y ps de méthode générle de résolution. 2. Les notions d éqution sns second membre et de solution prticulière n ont ps de sens ni d intérêt. 3. L ensemble de définition des solutions ne peut ps être prévu à l vnce, et dépend en générl des conditions initiles. Equtions à vribles séprbles Les équtions à vribles séprbles sont de forme générle : i.e. f(y).y = g(x) f(y dy dx = g(x). Elles se résolvent vec l condition initile y(x 0 )= y 0 et : y y 0 f(v)dv= x x 0 g(u)du 56

57 13 Courbes plnes Définitions Courbes prmétrées On munit le pln ffine d un repère orthonormé(o, ı, j). On définit l ppliction : où(x, y) 1 définies sur un intervlle I R. On note OM (t)= d M (t) = x (t) ı+ y (t) j. dt Un point M(t 0 ) est dit : 1. régulier si OM (t 0 ) 0 2. singulier ou sttionnire si OM (t 0 )= 0 γ : t OM(t)= x(t) ı+ y(t) j Points singuliers Définition : On ppelle point sttionnire M de l courbeγ représentée pr le équtions x= f(t) et y= g(t) un point qui correspond à une vleur t 0 pour lquelle les dérivées f (t 0 ) et g (t 0 ) sont nulles simultnément. Propriété : Si p est le plus petit entier tel que les dérivées p èmes des fonctions f et g ne s nnulent ps toutes les deux pour l vleur t 0, on montre que l tngente en M pour coefficient de direction f (p) (t) et g (p) (t) (on peut lors utiliser des développements limités de f et g en t 0 ). 57

58 Brnches infinies On étudie ici le cs où lim t t0 F (t)=+ vec t0 R. 1. Si lim t t0 x(t)= x 0, l courbe présente une symptote verticle. 2. Si lim t t0 y(t)=y 0, l courbe présente une symptote horizontle. 3. Si lim t t0 x(t)=± et lim t t0 y(t)=± plusieurs cs sont à étudier : y(t) () si lim t t0 x(t) =±, l courbe présente une brnche prbolique de direction O y y(t) (b) si lim t t0 x(t) = 0, l courbe présente une brnche prbolique de direction O x y(t) (c) si lim =λ, vecλun réel, lors t t0 x(t) i. si lim t t0 (y(t) λ.x(t))=±, l courbe présente une brnche prbolique de direction y=λ.x ii. si lim(y(t) λ.x(t))=µ, vecµun réel, l courbe présente une symptote oblique t t0 y=λ.x+µ Remrque : Lorsque lim F (t)=α, vecα R on prle de point symptote. t ± Définition Courbes en polires Soit f une fonction 1 pr morceux éfinies sur un intervlle I, l courbe en polire(γ) définie pr l églité r=f(θ) est l courbe définie pr le prmétrgeθ I OM(θ)= f(θ).(cosθ ı+ sinθ j). On pose lors : uθ = cosθ ı+ sinθ j et vθ = sinθ ı+ cosθ j 58