On rappelle que la résistance électrique totale du câble est telle que : R A ) ASPECT ELECTRIQUE

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Christine Marceau
il y a 7 ans
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1 1 CONDUCTION DE A CHAEUR DANS UN CABE EECTRIQUE Un câble en cuive homogène de section ciculie, de yon (5 mm), de longueu (1m) et de section S, est pcouu p un count I de 500 A. e cuive possède : Une ésistivité électique ρ = 1, Ω.m Une conductivité themique λ c = 18 W m -1 K -1 On ppelle que l ésistnce électique totle du câble est telle que : R A ) ASECT EECTRIQUE = ρ S 1. Détemine l vleu de l ésistnce électique R (Ω) du câble p unité de longueu insi que l puissnce électique dissipée (W). Clcule l vleu de l densité de count J tot (A.m - ).. On v monte que l puissnce ne se éptie ps unifomément dns le câble. A cet effet, on considèe, une potion du câble de yon (0 < ) et de longueu. Selon le pincipe de l consevtion de l densité de count, l densité de count J () dns cette potion, doit ête égle à J tot. Monte que l puissnce () dissipée dns le câble est telle que : Tce le gphe coespondnt. I ( ) = k. où k = ρ π. B) ASECT THERMIQUE On s intéesse mintennt à l éptition de l tempétue dns le câble, ésultt de l puissnce qui s étblit dns le câble de section totle S et de longueu. On considèe los un cylinde de yon <, d épisseu d et de sufce S () où se développe l puissnce (). T() +dt T() () d 1 hilippe ROUX 006 http ://ouxphi3.peso.cegetel.net

m Une conductivité themique λ c = 18 W m -1 K -1 On ppelle que l ésistnce électique totle du câble est telle que : R A ) ASECT EECTRIQUE = ρ S 1.

2 1. En exploitnt l loi de Fouie, détemine l expession du flux de chleu Φ() sotnt du cylinde considéé. Quelle est l eltion ente Φ () et ()?. Monte que l loi de éptition de l tempétue T() à l intéieu du câble est telle que : k T() = πλ Clcule l éct tempétue T c qui ègne dns le câble ente son xe et s sufce ( = ). 3. Dns les mêmes conditions, que se psseit-il si on utilisit du gphite (ρ = 6000 µω.cm, λ = 17 W m -1 K -1 )? On isole mintennt le conducteu en cuive vec du coutchouc : épisseu e =1 cm λ i = 0,13 W m -1-1 K -1 tempétue T S de l sufce extene du dispositif est de 0 C.. Quel est le flux de chleu (W) qui tvese l gine isolnte? En exploitnt à nouveu l loi de Fouie, détemine l expession de l évolution T i () de l tempétue dns l gine isolnte. Tce le gphe T i () pou du dispositif. 5. En utilisnt l notion de ésistnce themique R th, donne le schém de simultion themique équivlent u dispositif. Clcule l tempétue de l sufce du câble électique.

Dns les mêmes conditions, que se psseit-il si on utilisit du gphite (ρ = 6000 µω.cm, λ = 17 W m -1 K -1 )?

3 3 CORRECTION A ) ASECT EECTRIQUE 1. R=, Ω uissnce : = 5,11 W I Densité de count : Jtot = = 6, 366Am.. π. Clculons l puissnce dissipée dns l potion de câble de yon : () = J ().. ρ π. [ π ] Où J () epésente l densité de count et (π. ) l sufce. Schnt que J () = J tot selon le pincipe de l consevtion de l densité de count, il vient : I ( ) = k. où k = ρ (1) π () W Réptition de l puissnce électique () dns le câble en mm B) ASECT THERMIQUE 1. loi de Fouie pemet de détemine l expession du flux de chleu Φ() sotnt du cylinde considéé : () Φ( ) = λ S dt () d Où S epésente l sufce ltéle du cylinde : S = π.

Schnt que J () = J tot selon le pincipe de l consevtion de l densité de count, il vient : I ( ) = k. où k = ρ (1) π. 60 55 50 5 0 () W 5 35 30 5 0 15 10 5 0 0 0.5 1 1.

4 On évidemment Φ ( ) = () = k.. églité des eltions (1) et () conduit à une éqution difféentielle du pemie ode : dt ()= k πλ d Soit : T ()= k πλ Il n est ps possible physiquement vec nos données de clcule l constnte. On peut cependnt détemine l éct de tempétue : T c k πλ = [ ] 0 ρi 3 Tc = = 10 C Ect de tempétue tès fible. πλ ρi 3. ou le gphite (exemple les chbons d un démeu de voitue) : Tc = = 89 C! πλ. puissnce (5 W) doit tvese l gine isolnte. loi de Fouie devient los : S dt i() = λi d Avec : S = π d On obtient l éqution difféentielle : dti ()= qui pou solution : πλ i Ti ( ) = ln( ) πλi où l constnte est l solution de : Ti ( + e) = 0 C= ln( + e) πλi e et qui conduit à un éct de tempétue : Ti = 1+ = 79 C πλi ln( ), Gphe de T ( ) dns l isolnt : 100 T en C mm Sufce du cuive Sufce de l isolnt

On peut cependnt détemine l éct de tempétue : T c k πλ = [ ] 0 ρi 3 Tc = = 10 C Ect de tempétue tès fible. πλ ρi 3. ou le gphite (exemple les chbons d un démeu de voitue) : Tc = = 89 C! πλ. puissnce (5 W) doit tvese l gine isolnte.

5 5 5. Schém de simultion themique équivlent u dispositif. Rth cuive Rth isolnt 5 W R th cuive = 1, C/W R th isolnt = 1,35 C/W T s câble = (R th isolnt) + T = 9,9 C. Ts (câble) T (0 C)

Rth cuive Rth isolnt 5 W R th cuive = 1,8 10 -

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