Cours de mathe matiques : classe de seconde.

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1 Cours de mathe matiques : classe de seconde. Table des matières ALGORITHMIQUE...7 I GENERALITES...7 II AVEC UNE CALCULATRICE....7 III L instruction conditionnelle....8 IV La boucle itérative....9 V La boucle conditionnelle....9 CALCUL ALGEBRIQUE I LES ENSEMBLES DE NOMBRES ) Les ensembles de nombres ) LES INTERVALLES DE R ) REUNION ET INTERSECTION II CALCUL ALGEBRIQUE ) DEVELOPPER ET FACTORISER ) IDENTITES REMARQUABLES ) REDUIRE AU MEME DENOMINATEUR GENERALITES SUR LES FONCTIONS I Fonction et courbe représentative ) Notion de fonction ) Représentation graphique II Résolution graphique ) Lecture graphique d'une image ) Résolution graphique d'une équation f(x) = k ) Résolution graphique d'une équation f(x) = g(x) ) Résolution graphique d'une inéquation f(x) > k ou f(x) < k ) Résolution graphique d'une inéquation f(x) > g(x) ) Détermination graphique du signe d'une fonction BASES DE GEOMETRIE PLANE I Droites remarquables... 19

2 1) Médiatrice ) Bissectrice II Le triangle ) Médiane... 0 ) Hauteur ) Concourances remarquables ) Triangle rectangle... 1 a) Théorème de Pythagore... 1 b) Cercle circonscrit... 1 c) Médiane... 1 d) Trigonométrie (moyen mnémotechnique CAHSOHTOA : «casse toi»!)... 5) Théorème de Thalès... 6) Théorème des milieux... 3 III Angles ) Angles et droites... 3 ) Angles et cercle IV Transformations du plan ) Définitions... 4 ) Conservation des distances ) Images par une transformation... 5 VARIATIONS DE FONCTION... 7 I Sens de variation d'une fonction II Tableau de variations d'une fonction... 7 III Maximum, minimum, extremum... 8 IV Parité d'une fonction... 9 STATISTIQUES I Vocabulaire des séries statistiques ) Statistiques descriptives ) Effectif et fréquence II Caractéristique d une série statistique quantitative ) Moyenne... 3 ) Moyenne élaguée ) Propriétés de la moyenne ) Médiane et quartiles... 33

3 5) Mode, classe modale et étendue VECTEURS I Généralités sur les vecteurs II Somme de deux vecteurs ) Définitions ) Relation de Chasles ) Propriétés de l addition vectorielle ) Application III Produit d un vecteur par un réel ) Définition ) Propriété IV Colinéarité V Milieu d un segment VI Centre de gravité d un triangle... 4 VII Repère du plan et coordonnées ) Repère du plan ) Coordonnées d un point et d un vecteur ) Règles de calcul sur les coordonnées FONCTIONS DE REFERENCE I Fonction carré ) Présentation de la fonction carré ) Sens de variation de la fonction carré ) Représentation graphique de la fonction carré Interprétation graphique : II Fonction inverse ) Présentation de la fonction inverse ) Sens de variation de la fonction inverse ) Représentation graphique de la fonction inverse Interprétation graphique :... 5 TRIGONOMETRIE I Repérage sur le cercle trigonométrique ) Le cercle trigonométrique ) Enroulement de IR sur le cercle ) Le radian... 54

4 II Cosinus et sinus d un nombre réel ) Définition du sinus et du cosinus d un nombre réel ) Valeurs remarquables II Fonctions trigonométriques ) Présentation des fonctions cosinus et sinus ) Sens de variation des fonctions trigonométriques ) Propriété des fonctions sinus et cosinus ) Représentation graphique EQUATIONS-INEQUATIONS I Résoudre des équations ) Equations du premier degré ) Equations produit ) Equations de la forme x²=a ) Equations quotient II Résoudre des inéquations ) Inéquations du premier degré ) Signe d une expression du type ax+b, où a ) Déterminer le signe d un produit, ou d un quotient ) Résoudre des inéquations PROBABILITES I Expérience aléatoire II Probabilité d un événement ) Loi des grands nombres et probabilité ) Calcul de probabilités ) Evénement contraire III Réunion et intersection de deux événements ) Réunion et intersection ) Evénements incompatibles ) Probabilité d une réunion DROITES DU PLAN I Fonctions affines ) Définition et caractérisation ) Sens de variation ) Représentation graphique d une fonction affine... 68

5 II Équations de droites ) Généralités ) Déterminer une équation de droite connaissant deux points A (x A; y A ) et B (x B; y B ) ) Droites parallèles ) Droites perpendiculaires SYSTEMES D EQUATIONS LINEAIRES I Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues ) Définitions ) Résolution a) Résolution par substitution b) Résolution par combinaison II Systèmes linéaires de 3 équations à 3 inconnues : la méthode du pivot de Gauss FONCTIONS DU SECOND DEGRE ET HOMOGRAPHIQUES I Les fonctions polynômes de degré ) Définition ) Variations ) Représentation graphique ) Ecriture sous une forme particulière II Les fonctions homographiques ) Définition ) Variations ) Représentation graphique GEOMETRIE DANS L ESPACE I Perspective cavalière II Calcul de volumes III Droites de l espace ) Détermination d une droite ) Position relative de deux droites... 8 IV Plans de l espace ) Détermination d un plan ) Position relative de deux plans ) Plans parallèles IV Droites et plans ) Inclusion d une droite dans un plan... 85

6 ) Position relative d une droite et d un plan de l espace V Orthogonalité dans l espace ) Droites orthogonales ) Droites orthogonales à un plan ) Parallélisme et orthogonalité ECHANTILLONAGE I Echantillon II Intervalle de fluctuation III Estimation d une population... 88

7 ALGORITHMIQUE I GENERALITES Un algorithme est une suite d instructions, qui permet à une machine de réaliser des tâches données. Les recettes de cuisine sont des algorithmes. Il existe de nombreux logiciels et plateformes. Construction d un algorithme Un algorithme se présente en général sous la forme suivante : Déclaration des variables : on décrit dans le détail les éléments que l on va utiliser dans l algorithme, Initialisation ou Entrée des données : on récupère les données et/ou on les initialise, Traitement des données : on effectue les opérations nécessaires pour répondre au problème posé, Sortie : on affiche le résultat. Utilisation du logiciel ALGOBOX téléchargeable gratuitement. Des tutoriels : Utilisation en ligne : II AVEC UNE CALCULATRICE. On peut réaliser des algorithmes avec une calculatrice. Il faut respecter la même démarche intellectuelle. Déclaration des variables Initialisation ou Entrée des données Traitement des données Sortie Version TI Appuyer sur programme PRGM Sélectionner nouveau NOUV Donner un nom au programme Version Casio Appuyer sur menu MENU Sélectionner programme PRGM Sélectionner nouveau NEW Donner un nom au programme :Input P =, P :Input T =, T P/T^->I Disp I=, I P = :? ->P T = :? ->T P/T^->I I = : I Appuyer sur programme PRGM Appuyer sur programme PRGM

8 Sélectionner Exécuter EXEC Sélectionner le programme Sélectionner le programme Exemple avec le programme qui calcule la moyenne de deux nombres. Variables a,b et c trois nombres Initialisation Saisir a et b Traitement c:= (a+b)/ Cette étape s appelle l affectation. Sortie Afficher c III L instruction conditionnelle. Pour résoudre certains problèmes, il est nécessaire de mettre en place un test pour effectuer une tâche. Si le test est positif, on effectue la tâche, Sinon, on effectue une autre tâche (cette ligne n est pas obligatoire). En langage naturel, cela donne : Si condition alors tâche 1 sinon tâche (ligne non obligatoire) FinSi Exemple : saisir un nombre et afficher son double si il est positif ou nul, sinon afficher le nombre. Variables A est un nombre Initialisation Saisir a Traitement Si a 0 alors afficher a sinon afficher a Fin Si

9 IV La boucle itérative. Dans un programme, on effectue parfois plusieurs fois la même tâche avec un nombre de fois déterminé à l avance. En algorithmique, on parle de boucle. On utilise une variable (souvent i) qui est un compteur, elle augmente de 1 à chaque fois. En langage naturel, cela donne Pour i de 1 jusque N Faire tâche Fin du pour Dans ce cas on répète notre tâche N fois. N est un nombre que l on doit demander dans le programme dans la face d initialisation. Exemple : Afficher les 10 entiers qui suivent un entier donné. Variables a est un entier I est un entier Initialisation Saisir a Traitement Pour i de 1 jusqu'à 10 Faire afficher a a= a+1 Fin du pour V La boucle conditionnelle. Dans un programme, on effectue parfois plusieurs fois la même tâche avec un nombre de fois non déterminé à l avance. On répète les mêmes instructions tant qu une certaine condition n est pas remplie. On utilise alors une boucle conditionnelle : la boucle s arrête quand la condition n est plus remplie. En langage naturel, cela donne Tant que condition faire Tâche

10 FinTant Exemple : afficher les racines carrées inférieures ou égales à un nombre donné. Variables N et d sont des entiers Initialisation Saisir N d :=0 Tant que (d² N) Afficher d² Fin tant que

11 CALCUL ALGEBRIQUE I LES ENSEMBLES DE NOMBRES. Le logiciel de calcul formel utilisé dans ce chapitre est maxima. Quelques commandes de maxima : Une ligne de commande se termine par un ; et est exécutée par un ctrl + entrée Factor(E(x)) factorise l expression E(x) Expand(E(x)) développe l expression E(x) Display E(x) simplifie l expression E(x) Solve(Eq,x) résout l équation Eq suivant la variable x La commande algebraic :true permet la simplification de racines carrées. 1) Les ensembles de nombres. Définitions : L ensemble des entiers naturels est noté N L ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z L ensemble des nombres décimaux est noté D L ensemble des nombres rationnels est noté Q L ensemble des nombres réels est noté R Remarques : Certaines écritures sont trompeuses : ; Propriétés: Tous les éléments de N appartiennent à Z : on dit que N est inclus dans Z ; On note N Z. On a donc les inclusions suivantes : N Z D Q R.

12 ) LES INTERVALLES DE R. Définition : l ensemble des nombres réels compris, au sens large, entre deux nombres a et b est noté [a ;b]. C est un intervalle qui désigne tous les nombres réels x tels que a x b Notation Nombres x Représentation sur un axe. [a ;b] a x b 0 1 a b ]a ;b[ a <x b 0 1 [a ;b[ a x<b 0 1 ]a ;b[ a <x<b 0 1 [a ; + [ a x 0 1

13 ]a ; + [ a <x 0 1 ]- ;b[ x<b 0 1 ]- ;b] x b 0 1 On dit qu un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l intervalle. On dit qu un intervalle est ouvert si ses extrémités n appartiennent pas à l intervalle. 3) REUNION ET INTERSECTION. Définition : l intersection de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B. Notation : A B Exemple avec A = ]-5 ;4] et B = [-3 ;6[ A B = [-3 ;4] Définition : la réunion de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. Notation : A B Exemple avec A = ]-5 ;4] et B = [-3 ;6[ A B = ]-5 ;6[ Exemples : comme Z D alors Z D Z et Z D = D Remarque : l ensemble vide se note II CALCUL ALGEBRIQUE. 1) DEVELOPPER ET FACTORISER. Développer, c est transformer un produit de facteurs en une somme de facteurs. Factoriser, c est transformer une somme de facteurs en un produit de facteurs. Règle de la double distributivité : (A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD Exemples : Développer ( )( )

14 Avec un logiciel de calcul formel, on utilise la commande expand Factoriser ( ) ( )( ) ( )[( ) ( )] ( )( ) ( ) Avec un logiciel de calcul formel, on utilise la commande factor ) IDENTITES REMARQUABLES. (a+b)²=a²+ab+b² (a-b)²=a²-ab+b² (a+b)(a-b) = a²-b² 3) REDUIRE AU MEME DENOMINATEUR. Propriété : pour tout nombre a,b,c et d, on a : Exemple : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Avec un logiciel de calcul formel, on utilise un ensemble de commandes autour de la commande simplify

15 GENERALITES SUR LES FONCTIONS I Fonction et courbe représentative 1) Notion de fonction Définition : Soit D une partie de R. Définir une fonction f sur D et à valeurs dans R, c'est associer à chaque élément x de D un unique réel y. On note f : D IR. ( On lit «fonction f de D dans R qui à x associe y» ) x y Remarque : x est la variable. La variable peut être aussi notée t, T, r,selon le phénomène étudié. Vocabulaire et notations: x est un antécédent de y f : D IR x y D s appelle l ensemble de définition de f. C est l ensemble de tous les réels auxquels on applique f. On dit que «f est définie sur D». y est l image de x par f. On la note f(x) (on lit «f de x»). Attention : Les parenthèses dans f(x) n ont pas ici leur rôle habituel : elles n indiquent pas une priorité mais mettent en évidence le réel x dont on prend l image par f. Remarque : Souvent l'ensemble de définition D d'une fonction est donné. Par exemple, nous dirons que f est la fonction définie sur [3 ;7] par f(x) = x²-3. Lorsque l'ensemble de définition n'est pas donné, on convient de prendre l'ensemble des réels pour lesquels f(x) existe. Exemple : Cherchons l'ensemble de définition de la fonction f(x) = 1 x. Le calcul de 1 x n'est possible que pour x 0. Son ensemble de définition est donc D = ;0 0; = -{0}. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f(x) = x?

16 Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = -x² + 3x + 5. Calculer l'image de et de 3. Soit f la fonction qui a chaque nombre réel x appartenant à ]0,+[ associe x x 1. Calculer les images de 1, de 4 et de 9. Exemple : Soit f définie sur IR par f(x) = -3x² + 1. Trouver les antécédents de par f, c'est trouver les réels x de l'ensemble de définition tels que f(x) = -, c'est à dire résoudre l'équation f(x) = -. C'est à dire -3x² + 1 = -, -3x² = -3, x² = 1, x = 1 ou x = et 1 appartiennent à l'ensemble de définition, donc 1 et 1 sont deux antécédents de par f. ) Représentation graphique Définition : Dans le plan muni d'un repère O; i, j, la courbe représentative C de la fonction f définie sur D est l'ensemble des points M de coordonnées (x, f(x)) avec x un élément de D. On dit que la courbe C a pour équation y = f(x). Exemple : Donner la courbe représentative de f(x) = x 1 définie sur [1,+ [. (1, ) appartient-il à C? (5,1) appartient-il à C? Remarque : Dire qu'un point M de coordonnées (a,b) appartient à C revient à dire que a appartient à D et b = f(a). En d'autres termes a est un antécédent de b par f. Remarque : Deux points de la courbe ne peuvent pas avoir la même abscisse. II Résolution graphique Dans tout ce paragraphe f et g désignent deux fonctions. On note C f et C g leur courbe représentative dans un repère orthogonal.

17 1) Lecture graphique d'une image Soit a un nombre réel appartenant à l'ensemble de définition de f. Graphiquement, l'image f(a) de a par f est l'ordonnée du point de la courbe C f dont l'abscisse est a. ) Résolution graphique d'une équation f(x) = k. Graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = k, où k est un nombre réel donné, sont les abscisses x des points d'intersection de la courbe C f et de la droite parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = k. Les solutions sont les antécédents de k par la fonction f. En particulier, graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses x des points d'intersection de la courbe C f avec l'axe des abscisses. 3) Résolution graphique d'une équation f(x) = g(x) Graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = g(x) sont les abscisses x des points d'intersection des courbes C f et C g. Remarque : Par une lecture graphique, on n'obtient pas toujours la valeur exacte des solutions de l'équation ; on donne une valeur approchée. 4) Résolution graphique d'une inéquation f(x) > k ou f(x) < k Graphiquement, les solutions de l'inéquation f(x) > k (resp. f(x) < k ), où k est un nombre réel donné, sont les abscisses des points de la courbe C f situés strictement au dessus ( resp. en dessous ) de la droite d'équation y = k. 5) Résolution graphique d'une inéquation f(x) > g(x).

18 Graphiquement, les solutions de l'inéquation f(x) > g(x), sont les abscisses des points de la courbe C f situés strictement au dessus de la courbe C g. 6) Détermination graphique du signe d'une fonction Déterminer le signe d'une fonction f définie sur une partie D de IR, c'est déterminer le signe de f(x) pour n'importe quel nombre réel x de D. On détermine alors : les nombres réels x pour lesquels f(x) = 0 les nombres réels x pour lesquels f(x) 0 les nombres réels x pour lesquels f(x) 0. On résume enfin les résultats dans un tableau de signes.

19 BASES DE GEOMETRIE PLANE Les constructions de ce chapitre ont été réalisées avec le logiciel GEOGEBRA I Droites remarquables 1) Médiatrice Définition : On appelle médiatrice d'un segment [AB] la droite perpendiculaire au segment qui passe par le milieu de ce segment. Propriété : Un point M est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si il est équidistant de A et de B, c est à dire si MA = MB. ) Bissectrice Définition : On appelle bissectrice de l angle la droite passant par O qui partage l'angle en deux angles égaux. Propriété : Un point M, intérieur à l angle, appartient à la bissectrice de si et seulement si H et K étant les projetés orthogonaux de M sur (Ox) et (Oy), MH = MK.

20 II Le triangle 1) Médiane Dans un triangle ABC, on appelle médiane issue de A la droite qui passe par A et par le milieu du côté opposé [BC]. ) Hauteur Dans un triangle ABC, on appelle hauteur issue de A la droite perpendiculaire à (BC) qui passe par A. Rmq : Une hauteur peut être extérieure au triangle ABC. 3) Concourances remarquables Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle. OA = OB = OC Rmq : Ce point n'est pas toujours situé à l'intérieur du triangle. Les bissectrices des trois angles du triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit au triangle. IP = IQ = IR Rmq : Ce point est toujours situé à l'intérieur du triangle.

21 Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point G, centre de gravité du triangle. AG = AA ' 3 ; BG = BB' 3 Rmq : Ce point est toujours situé à l'intérieur du triangle. ; CG = CC' 3 Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H, orthocentre du triangle. Rmq : Ce point n'est pas toujours situé à l'intérieur du triangle. Cas particuliers : Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice du coté [BC], la hauteur issue de A, la médiane issue de A et la bissectrice de l'angle  sont confondues. Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle inscrit sont confondus. 4) Triangle rectangle a) Théorème de Pythagore Théorème : Soit ABC un triangle. Si ABC est rectangle en A, alors AB² + AC² = BC². Remarque : Sert à calculer des longueurs. Réciproque : Soit ABC un triangle. Si AB² + AC² = BC², alors ABC est rectangle en A. Remarque : Sert à démontrer qu un triangle est rectangle. b) Cercle circonscrit Si ABC est un triangle rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre [BC]. Réciproquement : Si A est un point du cercle de diamètre [BC] (A B et A C), alors ABC est un triangle rectangle en A. c) Médiane Si ABC est un triangle rectangle en A et si O est le milieu de [BC], alors OA = 1 BC.

22 Réciproquement : Si ABC est un triangle, O le milieu de [BC] et OA = 1 BC, alors ABC est rectangle en A. d) Trigonométrie (moyen mnémotechnique CAHSOHTOA : «casse toi»!) Dans un triangle ABC rectangle en A : cos ˆB = BA coté adjacent = BC hypoténuse ; sin ˆB = AC coté opposé = BC hypoténuse ; tan ˆB = AC coté opposé = AB coté adjacent Remarque : sin tan cos Angle α Cos α 3 Sin α Tan α Propriété : Pour tout angle Â, ˆ cos A sin Aˆ 1 Démonstration : On se place dans un triangle ABC rectangle en B. Alors ˆ ˆ AB BC AB BC AC cos A sin A 1 (grâce à Pythagore) AC AC AC AC 5) Théorème de Thalès Théorème : Soient d et d deux droites sécantes en A, B et M deux points de d distincts de A, C et N deux points de d distincts de A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : AM AN MN. AB AC BC Remarque : Si on note k ce rapport commun, alors AM = k AB ; AN = k AC et MN = k BC. Les côtés du triangle AMN sont proportionnels aux côtés du triangle ABC. aire(amn) = k² aire(abc).

23 Remarque : Ce théorème permet de calculer des distances. Réciproque : Soient d et d deux droites sécantes en A, B et M deux points de d distincts de A, C et N deux points de d distincts de A. Si AM AN et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites AB AC (MN) et (BC) sont parallèles. Remarque : Cela sert à démontrer que deux droites sont parallèles. 6) Théorème des milieux Théorème : Soit ABC un triangle. Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors : (IJ) // (BC) IJ = 1 BC Réciproque : Soit ABC un triangle. Si I est le milieu de [AB], la parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en son milieu. III Angles 1) Angles et droites Pour des droites sécantes : les angles opposés par le sommet sont égaux. Pour des droites parallèles : Les angles alternes - internes sont égaux. Les angles correspondants sont égaux. Exemple : Dans un parallélogramme de centre O : = comme angles opposés par le sommet. = comme angles alternes internes. = comme angles correspondants. Corollaire : La somme des angles d un triangle est égale à un angle plat.

24 ) Angles et cercle. Définition : Soit C un cercle de centre O. A, B deux points du cercle, M un point du grand arc. L angle est un angle inscrit dans C, qui intercepte le petit arc L angle est l angle au centre qui intercepte le petit arc. Théorème : Dans un cercle, tout angle inscrit mesure la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc de cercle. Conséquence : Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure. Pour tous points M et N du grand arc, Cas particulier : Si A et B sont diamétralement opposés, tout point M du cercle est tel que AMB est rectangle en M. Exemple : ABCD est un quadrilatère de centre I inscrit dans un cercle tel que l angle vaut 55 et l angle vaut 0. Combien vaut l angle? IV Transformations du plan 1) Définitions Définition : Dire qu un point M est invariant par une transformation f signifie que M est sa propre image par f, c est à dire f(m) = M. Transformation f M a pour image M par f signifie que Figure Points invariants Symétrie axiale (ou réflexion) d axe. est la médiatrice du segment [MM ] Tous les points de l axe. s

25 Symétrie centrale de centre O. s O O est le milieu du segment [MM ] Seulement le point O. Translation de vecteur u. t u MM' u - Si u = 0, alors tous les points du plan sont invariants. - Sinon, aucun point n est invariant Rotation de centre I et d angle dans le sens direct. r(i, ) IM =IM MIM'=, le chemin de M à M étant parcouru dans le sens direct.- Si = 0 ou si = 360, tous les points du plan. - Sinon seul I est invariant. Remarque : Une rotation d angle dans le sens direct ( sens contraire des aiguilles d une montre ) est dite rotation d angle orienté +. Une rotation d angle dans le sens indirect est dite rotation d angle orienté -. ) Conservation des distances Les symétries axiales et centrales, les translations et les rotations conservent les distances. Ce sont des isométries. Cela signifie que, si A et B sont deux points quelconques, A et B leurs images respectives par l une de ces transformations, alors A B = AB. 3) Images par une transformation Les translations, les symétries et les rotations transforment une droite en une droite. De plus : Deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles. Deux droites perpendiculaires sont transformées en deux droites perpendiculaires. Cas particulier : Par une symétrie centrale ou une translation, une droite a pour image une droite qui lui est parallèle.

26 Par une translation, une symétrie, une rotation : Un segment [AB] a pour image un segment [A B ] de même longueur, et le milieu de [AB] a pour image le milieu I de [A B ]. Un cercle C a pour image un cercle de C de même rayon, et le centre O de C a pour image le centre O de C. L image d une intersection est l intersection des images.

27 VARIATIONS DE FONCTION I Sens de variation d'une fonction. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de. Dire que la fonction est croissante (resp. strictement croissante) sur I signifie que : pour tous nombres réels x1 et x alors f(x1) f(x) (resp si x1 < x, alors f(x1) < f(x)). Dire que la fonction est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I signifie que : pour tous nombres réels x1 et x alors f(x1) f(x) (resp si x1 < x, alors f(x1) > f(x)). Remarque : Une fonction à la fois croissante et décroissante est une fonction constante. II Tableau de variations d'une fonction Définition : Etudier les variations ou le sens de variation d'une fonction f définie sur un intervalle I revient à déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante, ceux sur lesquels elle est décroissante et ceux sur lesquels elle est constante. On résume ces résultats dans un tableau de variations de f. Exemple : Pour une fonction f définie sur un intervalle [-,5 ;1], par f(x) = x 3 +x²+1 Croissante sur [-,5 ;-1,5] Décroissante sur [-1,5 ;0] Croissante sur [0 ;1,5]

28 On peut dresser le tableau de variation suivant : x -,5-1,5 0 1,15 4 f(x) -,15-1 III Maximum, minimum, extremum Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de et a un réel appartenant à I. Dire que la fonction f admet un maximum sur I au point a signifie que pour tout réel x dans I, f(x) f(a). Le maximum de f sur I est f(a). Dire que la fonction f admet un minimum sur I au point a signifie que pour tout réel x dans I, f(x) f(a). Le minimum de f sur I est f(a). Dire que la fonction f admet un extremum sur I au point a signifie que f admet un maximum ou un minimum en a. Interprétation graphique : Le maximum M de f sur I est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I. Le minimum m de f sur I est l'ordonné du point le plus bas de la courbe représentative de f sur I.

29 IV Parité d'une fonction Définition : Une partie D de IR est dite centrée en zéro lorsque : si x appartient à D, -x appartient aussi à D. Définition : Soit f une fonction définie sur une partie D de IR centrée en zéro. Dire que la fonction f est paire signifie que pour tout réel x appartenant à D, f(-x) = f(x). Dire que la fonction f est impaire signifie que pour tout réel x appartenant à D, f(-x) = - f(x). Interprétation graphique Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

30 STATISTIQUES I Vocabulaire des séries statistiques 1) Statistiques descriptives Définitions : La population est l'ensemble sur lequel porte l'observation : on étudie un caractère bien précisé sur les individus de cette population. On collecte des données. Un échantillon est une partie de la population. La liste des valeurs prises par le caractère constitue la série statistique. Exemple : Une entreprise fabrique des T-shirts. Elle veut étudier les commandes de ses clients et plus particulièrement la couleur et la taille des T-shirts commandés. Population : ensemble des T-shirt commandés Individu : un T-shirt Caractère : couleur ( valeur : blanc, jaune, rouge, bleu, vert, noir) taille (valeur : 36, 38, 40, 4, 44, 46, 48) Définitions : Un caractère est dit quantitatif lorsqu'on peut les mesurer en associant un nombre à chaque individu, sinon il est qualitatif. Un caractère quantitatif est discret lorsqu'il ne prend que des valeurs isolées. Il est quantitatif continu lorsqu'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle. Exemple : T-shirt : la couleur : qualitatif la taille : quantitatif discret La taille des élèves de la classe est un caractère quantitatif continu.

31 Remarques : Souvent les modalités d'un caractère qualitatif sont codés (exemple : 1 pour janvier, pour février ). Cela n'en fait pas un caractère quantitatif car on ne peut pas faire des opérations (1 + n'a pas de sens). Il arrive qu'un caractère quantitatif continu soit rendu discret par exemple en remplaçant la taille par son arrondi au centimètre. ) Effectif et fréquence Définitions : L'effectif d'une valeur d'un caractère est le nombre d'individu de la population ayant cette valeur. La fréquence de la valeur est effectif de la valeur. effectif total Remarque : La somme des fréquences est toujours égal à 1. Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1. On peut également l'exprimer en pourcentage. Exemple : On a demandé à 16 personnes quel était leur opérateur de mobile. Voici ce qu'elles ont répondu : Opérateur Orange SFR Bouygues nombre de personnes fréquence (en décimal) fréquence (en pourcentage) Calculer la fréquence en décimal et en pourcentage.

32 II Caractéristique d une série statistique quantitative. On considère une série statistique sur une population de N individus. 1) Moyenne Définition : La moyenne d une série statistique est la somme de toutes les données divisée x 1... x N par l effectif total. x N Exemple : On donne les notes de Vincent : 1, 8, 15, 11. Quelle est sa moyenne? Remarque : Les nombres x 1, x,, x N ne sont pas (en général) distincts. En effet, on peut avoir deux fois la même note, sur des devoirs différents. Pour calculer x, il peut être commode de regrouper entre eux ceux qui sont égaux. Ainsi, si N 1 est le nombre de si N est le nombre de si N p est le nombre de x i égaux à a 1 x i égaux à a x i égaux à a p alors x N a N a... N a N a N a... N a N N... N N 1 1 p p 1 1 p p 1 p. Exemple : Notons x la moyenne de la taille des 11 joueurs d une équipe de foot. Taille 1m70 1m7 1m75 1m80 1m98 effectif Quelle est la valeur de x? ) Moyenne élaguée Remarque : Dans l exemple précédent, on remarque que dans la série 1m98 est une valeur exceptionnelle. Il peut être intéressant de calculer la moyenne m de cette série de taille privée de la valeur 1m98.

33 Définition : On appelle moyenne élaguée d une série statistique une moyenne qui ne tient pas compte des valeurs non représentatives de la série. Exemple : On a réalisé une enquête pour connaître le nombre d enfants de chaque famille d un village. On obtient les résultats suivants : Nombre d enfants Effectif Combien de familles ont été interrogée? Quel est le nombre moyen d enfants par famille? Il parait évident que les réponses des deux dernières colonnes sont des réponses fantaisistes. Calculer alors une moyenne élaguée. 3) Propriétés de la moyenne Propriété de linéarité : Si x désigne la moyenne de x 1, x,, Si x désigne la moyenne de x 1, x,, moyenne de x1 y1, x y,, xn ynest x y. Si x désigne la moyenne de x 1, x,, nombres a x 1, a x,, a x est a x. N x N, la moyenne de x 1 + a, x + a,, x N + a est x + a. x N et si y désigne la moyenne de y 1, y,, y N, la x N, et si a est un nombre réel, la moyenne des Théorème : Notons x la moyenne de la série statistique donnée par le tableau ci-dessous. Valeur du caractère a 1 a a p Effectif n 1 n n p fréquence f 1 f f p Alors x f1a 1... fpap 4) Médiane et quartiles

34 Définition : La médiane d une série statistique, dont les valeurs sont discrètes et rangées dans l ordre croissant, est la valeur qui sépare la population en deux groupe de même effectif. Exemples : La médiane de la série de note est 10. La médiane de la série de note est 11,5. Remarque : Lorsque que le nombre de valeur de la série est paire, la médiane n est pas (en général) un élément de la série. Pour trouver la médiane, on prend le milieu des deux valeurs centrales. 5) Mode, classe modale et étendue Le mode pour un caractère discret est la valeur qui correspond au plus grand effectif. La classe modale pour un caractère quantitatif continu est la classe qui correspond au plus grand effectif. L étendue de la série est la différence entre les valeurs extrêmes. e = xmax xmin.

35 VECTEURS I Généralités sur les vecteurs Définition : Le vecteur AB est caractérisé par : Sa direction : celle de la droite (AB). Son sens : de A vers B. Sa norme : la longueur du segment [AB] dans l unité choisie. On la note AB ou AB. A B Cas particulier :Le vecteur AA n a ni sens ni direction. Sa norme est nulle. C est le vecteur nul, noté 0. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs AB et DC sont égaux si et seulement s ils ont même sens, même direction et même norme. On note AB DC. A B D C Théorème : AB = DC AB CD est un parallèlogr amme. Ceci est plus fort que dire qu un parallélogramme a deux côtés parallèles et de même longueur car on n a plus le cas du quadrilatère croisé à exclure. Remarque : On a aussi : AD BC.

36 Remarque : Une direction, un sens, une norme étant donnés, le vecteur correspondant peut être représenté par une infinité de manières. B M A L ( on peut définir un vecteur sans pour autant nommer son origine ) On note u le vecteur égal à AB et LM. Ainsi pour représenter un vecteur u, on peut choisir n importe quel point M du plan pour origine. Son extrémité est un unique point N image de M par la translation de vecteur u.. M Remarque : Le vecteur qui a même direction et même norme qu un vecteur u, mais de sens opposé est appelé opposé de u et se note - u. u - II Somme de deux vecteurs 1) Définitions Définition : Soit le vecteur u représenté par le vecteur AB et soit le vecteur v représenté par le vecteur BC. On appelle somme des vecteurs u et v, le vecteur s représenté par le vecteur AC. On note s = u + v ou AC = AB + BC.

37 C A B Définition :Soient u et v deux vecteurs du plan. On appelle différence des vecteurs u et v le vecteur noté u - v défini par u - v = u +(- v ). Construction : Somme de deux vecteurs : Différence de deux vecteurs : v Ici on met en évidence la commutativité de la somme de deux vecteurs. v Règle du parallélogramme : (somme de deux vecteurs ayant même origine) AB + AC = AD où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A B C D ) Relation de Chasles Pour tous points A, B, C du plan, on a : AC = AB + BC. C A B

38 Conséquences : AB BA et AC = BC BA. 3) Propriétés de l addition vectorielle Prop : Pour tous vecteurs u, v et w : u v v u ( u v) w u ( v w) u 0 0 u u u ( u) ( u) u 0 4) Application Démontrer que pour quatre points quelconques A, B, C et D du plan, on a : AB CD AD CB III Produit d un vecteur par un réel 1) Définition Définition : Soient u un vecteur du plan et k un réel. On appelle produit du vecteur u par le réel k le vecteur noté k u, défini de la façon suivante : Si u = 0 ou si k=0, k u = 0. Si u 0 et k 0, alors : k u a la même direction que u. Si k>0, k u est de même sens que u. Si k<0, k u de sens contraire à u. La norme de k u est égale à k. u. Exemples : Soit u un vecteur donné, Construire un représentant de chacun des vecteurs suivants : 4 u ; - u ; 1 u ; u.

39 ) Propriété Propriété : Soient et deux vecteurs du plan, k et k deux réels k( + ) = k +k. k(k )=(kk ). (k+k ) =k +k. k = = ou k=0. Exemples : 3AB 3BC 3(AB BC) 3AC AB 5AB ( 5)AB 7AB 5 5 u u=-5u IV Colinéarité Définition :Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement s ils ont la même direction. Autrement dit : Théorème : u et v deux vecteurs non nuls du plan. u et v sont colinéaires il existe un nombre réel k tel que u = k v. Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur ( en effet 00 u ). Application à la géométrie : Théorème : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. A B

40 C D Théorème : Trois points A, B et C du plan sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires. C est à dire que : A, B, C alignés kir tel que AC k AB. A B C V Milieu d un segment Définition : Le point I est le milieu d un segment [AB] si et seulement si : IA IB 0. A I B Théorème : I milieu de [AB] pour tout point M du plan. Démonstration : 1 1) I milieu de [AB] AI AB IA IB 0 1 IA AI IA AB 0 AB AB AI 1 AI AB 1 AI AB 1 AB AI 1 ) I milieu de [AB] AI AB IA IB 0 Pour tout point M, IM MA IM MB 0 1 AI AB Pour tout point M, MA MB MI 1 AI AB

41 Applications : a) Soient A,B,C trois points du plan non alignés. i)construire le point M tel que : MA MB MC 0. ii)montrer que M est le milieu de [AI] avec I milieu de [BC]. i) MA MB MC 0 MA MA AB MA AC 0 4MA AB AC 0 1 AM AB AC 4 A M B I C D ii) I milieu de [BC] donc AB AC AI 1 AM AB AC donc 4 Donc I est milieu de [AI]. AM 1 AI b) ABC est un triangle. Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], montrer que IJ 1 BC. A I J B C

42 IJ IA AJ I milieu de [AB] donc J milieu de [AC] donc 1 IA BA 1 AJ AC Donc : 1 IJ ( BA AC ) = 1 BC. Propriété des milieux : Si I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] alors : IJ 1 BC. Là encore on voit la puissance du vecteur : cette propriété dit tout de suite ce que dit le théorème des milieux à savoir que la droite passant par les milieux I et J des deux côtés [AB] et [AC] d un triangle ABC est parallèle au troisième côté [BC] et BC= IJ. VI Centre de gravité d un triangle Définition : Dans un triangle ABC, on appelle médiane issue de A la droite qui passe par A et par le milieu de [BC]. A B A' C (AA ) est la médiane issue de A. Propriété et définition : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Le point de concours s'appelle le centre de gravité.

43 B C' G A' A B' Prop : G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si GA GB GC 0. Preuve : Soit A le milieu de [BC]. Pour tout point G du plan : GB GC GA'. GA GB GC 0 GA GA' 0 GA GA AA ' 0 C 3GA AA' 0 AG AA' 3 AG et AA ' sont colinéaires G AA' :médiane issue de A. Si B est le milieu de [AC] et C le milieu de [AB], on montre de même que : BG BB ' et 3 CG CC '. 3 Donc G est le centre de gravité de ABC. Prop : G centre de gravité du triangle ABC AG AA' (avec A milieu de [BC]) 3 pour tout point M, MA MB MC 3MG Démonstration : G centre de gravité de ABC GA GB GC 0 GM MA GM MB GM MC 0 MA MB MC 3MG.

44 VII Repère du plan et coordonnées 1) Repère du plan Un repère du plan est constitué de 3 points non alignés O,I et J. Repère (O,I,J) : O est l origine du repère (OI) est l axe des abscisses (OJ) l axe des ordonnées Ce repère est également noté O; i, j en posant i=oi et j=oj. Les deux vecteurs i et j constituent la base du repère. Définition : On appelle repère du plan tout triplet O; i, j constitué d un point O et de deux vecteurs i et j non colinéaires. Exemple : J O I Remarque : Lorsque les deux axes d un repère sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. Si de plus i j 1, on dit que le repère est orthonormé ou orthonormal. ) Coordonnées d un point et d un vecteur Le plan est muni du repère O; i, j, M un point quelconque, H et K sont les deux points des axes tels que OHMK soit un parallélogramme. OH est colinéaire à i. Donc il existe un réel x tel que OH xi. OK est colinéaire à j. Donc il existe un réel y tel que OK yj. On a alors OM OH OK xi+yj.

45 K M Oo H Définition : On dit alors que le point M a pour coordonnées (x, y) dans le repère O; i, j. x est l abscisse du point M, y son ordonnée. Définition : Les coordonnées du vecteur v = OM dans la base i, j sont (x,y). Résumé : OM = xi y j M a pour coordonnées (x,y) dans le repèreo; i, j OM a pour coordonnées (x,y) dans la base i, j Théorème :Le plan est muni d un repère O; i, j. Deux point sont confondus si et seulement si leurs couples de coordonnées sont égaux. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs couples de coordonnées le sont. Autrement dit, si M (x, y) et M (x, y ) sont deux points, M=M x=x et y=y De la même façon, si u (a, b) et v (a, b ) sont deux vecteurs du plan, u = v a=a et b=b. 3) Règles de calcul sur les coordonnées Le plan est muni d un repère O; i, j. Si u (a, b) et v (a, b ) sont deux vecteurs et k un réel quelconque. u+v a pour cordonnées (a+a, b+b ). Le vecteur ku a pour coordonnées (ka, kb).

46 Pour tout points A x, y et B A A x, y. B B Le milieu I de [AB] a pour coordonnées x x y y, A B A B. Le vecteur AB a pour coordonnées x x, y y. B A B A A I B o Théorème : Dans un repère orthonormé, soit un vecteur u de coordonnées (a, b) On a u a b. Conséquence : Soient deux points A x, y et B A A x, y. Combien vaut AB? B B Critère de colinéarité : Dans un repère O; i, j, deux vecteurs u (a, b) et v (a, b ) sont colinéaires si et seulement si ab -a b=0. Critère d orthogonalité : Dans un repère O; i, j, deux vecteurs u (a, b) et v (a, b ) sont orthogonaux si et seulement si aa +bb =0.

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48 FONCTIONS DE REFERENCE I Fonction carré 1) Présentation de la fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur IR par f(x) = x². On note cette fonction : f : x x² Remarque : Un carré est toujours positif ou nul. Exemple : -5 n est l image par f d aucun nombre réel. 5 n a pas d antécédent par f. Remarque : Un nombre et son opposé ont le même carré : x² = (-x)² Exemples : et ont la même image par f, 4. 9 est l image par f de deux nombres réels 3 et 3. Ou encore 9 a deux antécédents par f qui sont 3 et 3. ) Sens de variation de la fonction carré Propriété : La fonction carré est : - Strictement décroissante sur l intervalle ]-,0] - Strictement croissante sur l intervalle [0,+ [. x 0

49 x² Propriété : La fonction carré admet un minimum en 0 qui a pour valeur 0. Autrement dit pour tout nombre réel x, x² 0. 3) Représentation graphique de la fonction carré Définition : La représentation graphique de la fonction carré dans un repère orthonormé du plan O; i, j est une parabole de sommet O et d axe O j. Elle a pour équation y = x². Tableau de valeurs : x ,5 0 0, x² ,5 0 0, Graphique Remarque : Plus généralement, on appelle parabole la courbe représentative de toute fonction du type f(x) = ax² + bx +c avec a non nul. Définition : Une partie D de IR est dite centrée en zéro lorsque : si x appartient à D, -x appartient aussi à D. Définition : Soit f une fonction définie sur une partie D de IR centrée en zéro. Dire que la fonction f est paire signifie que pour tout réel x appartenant à D, f(-x) = f(x). Interprétation graphique : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

50 Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. C est une fonction paire sur IR. Preuve : En effet, on a (-x)² = x². II Fonction inverse 1) Présentation de la fonction inverse Rappel : L inverse d un nombre x est l unique nombre réel x tel que xx = 1. 0 est le seul réel qui n a pas d inverse car il n existe aucun réel dont le produit par 0 est égal à 1. Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur IR* par f(x) = 1/x. On note cette fonction : f : * * x 1 x Remarque : Tous les réels x sauf 0 ont un inverse qui s obtient par l opération 1 divisé par x. Exemple : a pour image 1 par f. Remarque : Un nombre et son inverse ont le même signe. Ainsi si x > 0, 1/x > 0, et si x < 0, 1/x < 0. ) Sens de variation de la fonction inverse Propriété : La fonction inverse est :

51 - décroissante sur l intervalle ]-,0[ - décroissante sur l intervalle ]0,+ [. Attention : On ne peut pas dire que f est décroissante sur * car * n est pas un intervalle. x 0 1 x 3) Représentation graphique de la fonction inverse Définition : La représentation graphique de la fonction inverse dans un repère orthonormé du plan (OIJ) est une hyperbole de centre O. Elle a pour équation y = 1/x. Tableau de valeurs : x ,5-0,5 0 0,5 0, /x Graphique (indiquer les asymptotes) Remarque : Plus généralement, on appelle hyperbole la courbe représentative de toute fonction du type f(x) = ax b avec a et b non nul simultanément et c non nul. cx d Définition : Soit f une fonction définie sur une partie D de IR centrée en zéro. Dire que la fonction f est impaire signifie que pour tout réel x appartenant à D, f(-x) = - f(x).

52 Interprétation graphique : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l origine du repère. C est une fonction impaire sur *. Preuve : En effet, on a 1 1. x x

53 TRIGONOMETRIE I Repérage sur le cercle trigonométrique 1) Le cercle trigonométrique Définition : Le plan est muni d un repère orthonormé O; i, j, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté de la manière suivante : - le sens direct est contraire au sens des aiguilles d une montre - le sens indirect est le sens des aiguilles d une montre Remarque : Le cercle trigonométrique a une longueur égale à r. Le demi-cercle a une longueur de, et le quart de cercle une longueur de. ) Enroulement de IR sur le cercle Soient A la point de coordonnées (1,0) et D la droite de repère (A, j ). On enroule cette droite graduée sur le cercle C. Pour tout réel x, le point d abscisse x sur la droite D vient s appliquer sur un point M unique de C appelé image du réel x sur le cercle. Réciproquement tout point N du cercle trigonométrique est l image d un réel x ; il est alors aussi l image de tous les réels x + ; x + 4 c est à dire x +k où k appartient à. illustration Exemple :

54 - a pour image B(0,1) - a pour image A (-1,0) 3 - a pour image B (0,-1) - a pour image B (0,-1) 3) Le radian Définition : Au point I d abscisse 1 sur la droite D correspond l unique point J sur le cercle C tel que AJ AI 1. On dit que l angle orienté AOJ correspond à une mesure d un radian. Notation : 1 rad. Remarque : Sur le cercle trigonométrique la mesure d un arc orienté est égal à la mesure de l angle au centre exprimé en radian. Exemple : L angle plat intercepte un demi - cercle de longueur. On a la correspondance rad = 180. II Cosinus et sinus d un nombre réel 1) Définition du sinus et du cosinus d un nombre réel Définition : Soit x un nombre réel et M son image sur le cercle trigonométrique C. Le cosinus de x est l abscisse de M (noté cos x). Le sinus de x est l ordonnée de M (noté sin x). Exemples : cos 0 = 1 et sin 0 = 0. cos 1 et sin 1. cos 1 et sin 0. Propriété : Pour tout réel x, 1 cos x 1 et 1 sin x 1. Pour tout réel x, cos x ² sin x ² 1.

55 Démonstration : cos x et sin x sont l abscisse et l ordonnée du point M image de x sur le cercle trigonométrique. Elles sont donc comprises entre 1 et 1. Comme OM = 1 (M appartient au cercle trigonométrique) et que OM cos x ² sin x ², on élève au carré et on obtient cos x ² sin x ² 1 ) Valeurs remarquables x cos x sin x II Fonctions trigonométriques 1) Présentation des fonctions cosinus et sinus Définition : La fonction cosinus est la fonction, qui a tout réel x, associe cos x. La fonction sinus est la fonction, qui a tout réel x, associe sin x. On note cette fonction : cos : sin : x cos x x sin x ) Sens de variation des fonctions trigonométriques Remarque : Leur sens de variation sur [0, ] s observe sur le cercle trigonométrique.

56 x 0 x 0 cos x 1 sin x ) Propriété des fonctions sinus et cosinus Propriété : Des réels opposés ont même cosinus et des sinus opposés. Pour tout réel x, cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = - sin(x). Conséquence : la fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. Propriété : Pour tout réel x, cos x = cos(x) et sin x = sin(x). On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période. Interprétation graphique : La courbe représentative de la fonction cosinus (resp. sinus) est obtenue à partir du morceau de cette courbe tracé sur,, par des translations successives de vecteurs i et - i. 4) Représentation graphique Définition : Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont appelées des sinusoïdes.

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59 EQUATIONS-INEQUATIONS I Résoudre des équations Résoudre une équation d inconnue x c est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l égalité. Les valeurs trouvées sont appelées solutions de l équation, leur ensemble est noté S. 1) Equations du premier degré Soient a et b deux réels, a non nul. La solution de l équation ax + b = 0 est b x. a Exemples : Résoudre 3x+1=0. Résoudre 6x = 0. ) Equations produit Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Ainsi on a, AB=0 A=0 ou B=0. Exemple : résoudre (x - 5)(-3x + 9) = 0. S = {3,5} On peut souvent se ramener à une équation produit en factorisant. 3) Equations de la forme x²=a Résolution de x²=a : si a < 0, pas de solutions réelles si a = 0, la seule solution est 0 si a>0, Les solutions sont x a ou x=- a Démonstration :

60 On transforme x² = a en x² - a = 0, ce qui est équivalent à x a x a 0. Exemples : x² = 9, S={-3 ;3} x²=-, S=Ø x²=0, S={0} 4) Equations quotient Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est non nul. A Ainsi on a, 0 B A= 0 et B 0. Méthode : On cherche les valeurs de x qui annulent le dénominateur, les valeurs trouvées sont les valeurs interdites de l équation. On résout A=0 On conclut en vérifiant que les solutions trouvées ne sont pas des valeurs interdites. Exemple : Résoudre x 3 (x 1)(x 3) 0. S={-3} x II Résoudre des inéquations 1) Inéquations du premier degré a) 3(x-1)<x+4 3x-3<x+4 3x-x<4+3 Donc S= ;7 x<7 b) 8(x+3) 5(x-4)+6x 8x+4 5x-0+6x 8x-5x-6x x x 3 Attention :on divise par -3<0

61 44 Donc S= ; 3 c) x+1 3(x+)-x x+1 3x+6-x x-3x+x 6-1 0x 5 cette inégalité est toujours vérifiée Donc S= IR d) 3x-4>(x+5)+(x+1) 3x-4>x+10+x+1 3x-x-x> x>15 cette inégalité n est jamais vérifiée Donc S=Ø ) Signe d une expression du type ax+b, où a 0 On distingue 3 cas : b ax + b = 0 x = a ax + b > 0 ax > -b ax + b < 0 ax < -b b si a > 0 ; x > - a b si a < 0 ; x < - a b si a > 0 ; x < - a b si a < 0 ; x > - a On résume cela sous forme de deux tableaux de signes (selon le signe de a) si a > 0 si a < 0 x - b + a x - b + a ax + b ax + b + 0 -

62 Résumé x - b + a ax + b - signe de a 0 signe de a Exemples : Déterminer le signe de 4x et celui de x+3. 3) Déterminer le signe d un produit, ou d un quotient On considère l expression comme un produit du type A B. On étudie le signe de chaque facteur. On en déduit le signe du produit en appliquant la règle des signes. Exemple : déterminer le signe de P=(4x - )(-x + 3) x x x P(x) Pour x dans l intervalle P < 0. 1 ;, P<0, pour x dans l intervalle 1 ;3, P > 0 et pour x dans [3,+ [, Chercher le signe d un quotient B A revient à chercher le signe de A B quand B 0. x 3 Exemple : Quel est le signe de Q? Valeur interdite : 1 4 x. x x

63 4-x Q(x) ) Résoudre des inéquations Méthode : Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe. On transpose tous les termes dans un même membre. x² - 3x < (4x + 1)(3 - x) x² - 3x - (4x + 1)(3 - x) < 0 On factorise x (x - 3) + (4x + 1)(x - 3) < 0 (x - 3)(x + 4x + 1) < 0 (x - 3)(5x + 1) < 0 On étudie le signe avec un tableau x x x On conclut S = 1 ;3 5

64 Méthode : pour résoudre une inéquation quotient. Résoudre x 1 3 x 5 On cherche les valeurs interdites - 5 On transpose tous les termes dans un même membre x 1 30 x 5 On réduit au même dénominateur, si besoin on factorise le numérateur. ( x 1) 3(x 5) 0 x 5 x 1 3x 15 0 x 5 5x 16 0 x 5 On dresse un tableau de signe. x x x On conclut S=]-5 ; 16 ]. 5

65 PROBABILITES I Expérience aléatoire II Probabilité d un événement 1) Loi des grands nombres et probabilité ) Calcul de probabilités 3) Evénement contraire III Réunion et intersection de deux événements. 1) Réunion et intersection ) Evénements incompatibles 3) Probabilité d une réunion

66 DROITES DU PLAN I Fonctions affines 1) Définition et caractérisation Définition : Soient a et b deux réels. La fonction f définie sur IR par f(x) = ax + b est une fonction affine. Cas particuliers : Si b = 0, la fonction définie par f(x) = ax est une fonction linéaire. Elle traduit une situation de proportionnalité (coefficient de proportionnalité : a). Si a = 0, la fonction définie par f(x) = b est une fonction constante. Exercice : Rechercher si les fonctions f, g, h et k définies sur IR, sont affines : f(x) = 5x-3 ; g(x) = -8x² + 5 ; h(x) = 5 + x ; k(x) = x Caractérisation d une fonction affine : f est une fonction affine si et seulement si : l accroissement de la fonction est proportionnel à l accroissement de la variable. Autrement dit, pour tous réels u et v tels que u v, f u Ce rapport a est appelé taux de variation de f entre u et v. Démonstration : Soit f une fonction affine, alors f(x) = ax + b. Pour tous réels u et v : f(u) - f(v) = ( au + b ) ( av + b ) = au av = a ( u v) f v u v a. Ainsi pour tous réels u et v distincts, on obtient : f u f v u v a. Soit f une fonction telle que pour tous réels u et v distincts, on a Alors, en particulier, si u = x et v = 0, on obtient f(x) f(0) = a x. f u f v u v a.

67 D où f(x) = ax + f(0). On pose b = f(0) et on obtient f(x) = ax + b. Ainsi la fonction f est bien une fonction affine. Exercice : Déterminer la fonction affine f telle que f(-3) = 9 et f() = -1. Cherchons les réels a et b tels que f(x) = ax + b. Calcul de a : a = f u f v f () f ( 3) 1 9. u v ( 3) 5 Calcul de b : f() = -1 donc - + b = -1 d où b = = 3. Ainsi la fonction affine f est définie sur IR par f(x) = -x + 3. ) Sens de variation Théorème : Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b telle que a 0. Si a > 0, alors f est strictement croissante sur IR. Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur IR. Démonstration : Soient u et v deux réels quelconques tels que u < v. Si a > 0, au < av (en multipliant par a positif) On ajoute b à chaque membre: au + b < av + b D où f(u) < f(v). Donc la fonction f est strictement croissante sur IR. Si a < 0, au > av (en multipliant par a négatif) On ajoute b à chaque membre: au + b > av + b D où f(u) > f(v). Donc la fonction f est strictement décroissante sur IR. Exemples : Les fonctions sont définies sur IR.

68 f(x) = - 4x + est décroissante sur IR car - 4 est négatif. g(x) = ( )x + 1 est croissante sur IR car est positif. h(x) = 3x est croissante sur IR car 3 est positif. De plus h est une fonction linéaire car b = 0. 3) Représentation graphique d une fonction affine Propriété : Une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b est représentée graphiquement par une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Définition : Si D est la droite représentant la fonction affine f définie par f(x) = ax + b : y -y Pour tous points distincts A et B de D, a = B A x -x a est le coefficient directeur de D. B A différence des ordonnées. différences des abscisses D passe par le point de coordonnées (0 ;b). b est l ordonnée à l origine. Cas particuliers : Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax+ b Si b= 0, sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine. Si a= 0, sa représentation graphique est une droite parallèle à l axe des abscisses. Exercice : Représenter graphiquement les fonctions définies sur IR par : f(x) = -3x + 5 et g(x) = x La droite D f passe par P(0 ;5) ; on a m = -3 =. 1 A partir du point P, on descend de 3 et on décale de 1 vers la droite : on obtient un autre point. ( On peut recommencer à partir de ce nouveau point!) ( important pour ES ) Pour la droite D g, si x = 0, alors g(0) = 1, point difficile à placer. 3 On recherche alors deux points de C g à coordonnées entières : x -4 8 y = g(x) -3 5

69 II Équations de droites Le plan est rapporté à un repère (O ; i, j ). 1) Généralités Caractérisation : Toute droite D du plan admet un équation de la forme : y = mx + p où m et p sont deux réels, si elle est non parallèle à l axe des ordonnées ; x = k où k est un réel, si elle est parallèle à l axe des ordonnées. Cette équation est l équation réduite de la droite D. Rmq : 1) Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées d équation y = mx + p est la représentation graphique de la fonction affine définie sur IR par f(x) = mx + p. ) Une droite parallèle à l axe des ordonnées n est pas la représentation graphique d une fonction affine ( ni d aucune autre fonction ). ) Déterminer une équation de droite connaissant deux points A (xa;ya) et B (xb;yb) a) Cas simple : la droite est parallèle à un axe de coordonnées Exemple : Déterminer une équation de la droite d passant par les points A( ;-3) et B( ;1) puis une équation de la droite d passant par les points C( ;3) et D(-1 ;3). Si A et B ont la même abscisse, l équation de la droite sera x = x A = x B. Si A et B ont la même ordonnée, l équation de la droite sera y = y A = y B. b) Cas général Exemple : Déterminer une équation de la droite d passant par les points A( ;-1) et B( 3;4). Méthode 1 :

70 ybya On calcule directement le coefficient directeur par la formule m =. xbxa On calcule l ordonnée à l origine en écrivant que le point A appartient à la droite : y A = m x A + p. On résout l équation et on trouve p. On réécrit l équation de la droite. Rmq : Lorsque l on sait qu une droite est de coefficient directeur m et que l on connaît les coordonnées (x A ; y A ) d un point A de cette droite alors l équation de cette droite est de la forme y = m ( x - x A ) + y A. Démonstration : En effet, l équation de la droite sera de la forme y = m x + p. Comme A appartient à la droite ses coordonnées vérifient l équation de la droite donc y A = m x A + p d où p = y A - m x A. Ainsi on obtient y = m x + y A - m x A = m ( x - x A ) + y A. Méthode : M est un point quelconque de la droite de coordonnées (x, y). On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AM. M est un point de la droite si et seulement si AB et AM sont colinéaires. On écrit l équation associée. On réduit l équation trouvée pour la mettre sous la forme d une équation de droite. Méthode 3 : y A = xam + p On résout le système de deux équations à deux inconnues suivant : y B = xbm + p l équation de la droite. puis on écrit 3) Droites parallèles a) Vecteur directeur Définition : On appelle vecteur directeur de la droite D, tout vecteur non nul de même direction que la droite D. Exemple : Tracer la droite d équation y = x 1 et donner un vecteur directeur. (Si A et B sont deux points quelconques et distincts de D, alors AB est un vecteur directeur de D.) Remarque : Il y a une infinité de vecteurs directeurs qui sont tous colinéaires.

71 En pratique, on utilise toujours : x = c u (0,1) y = mx + p (m 0) u (1, m) Démonstration : Le point A(0 ;p) est un point de D (car p=m 0+p). Le point B(1 ;m+p) est aussi un point de D (car m+p=1 m+p), et A B. Donc AB est un vecteur directeur de D, et les coordonnées de AB sont (1-0 ;m+p-p), c est à dire (1 ;m) Exercice : Dans le repère (O ; i, j ) on donne le point A(1 ;) et le vecteur u (4, -1). Trouver une équation de la droite D passant par A et de vecteur directeur u. b) Droites parallèles Exercice : Chercher l équation de la droite D passant D passant par C(0 ;3) et D(3 ;). par A(-3 ;0) et B(0 ;-1) et l équation de la droite Que remarque-t-on? Propriété : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Conséquence : Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur. Démonstration : u (1, m) est un vecteur directeur de D, u' (1, m ) un vecteur directeur de D. Or, dire que D et D sont parallèles équivaut à dire qu elles ont même direction, donc que u et u' sont colinéaires. La colinéarité de u et u' équivaut à 1m-1 m =0 donc m=m. Exercice : Trouver une équation de la droite D passant par le point A( -;) qui est parallèle à la droite D d équation y = 3x - 1. D//D m = 3 ; donc l équation réduite de la droite D est de la forme : y = 3x + p. Déterminons p : A appartient à D donc = 3(-) + p d où p = + 6 = 8. Ainsi l équation réduite de D est : y = 3x ) Droites perpendiculaires

72 Propriété : Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Conséquence : Deux droites d équations réduites y = mx + p et y = m x + p sont perpendiculaires si et seulement si mm = - 1. Exercice : Déterminer l équation de la droite D passant par A(1,-4) et perpendiculaire à la droite D d équation y = 3x + 1. Un vecteur directeur de D est u (1,-3). Soit M (x,y) un point, il appartient à D si AM (x 1, y 4) et u sont orthogonaux. Ce qui s écrit (x 1) 1 + (y + 4) (-3) = 0 D où l équation de D : y = x

73 SYSTEMES D EQUATIONS LINEAIRES I Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues 1) Définitions Un système d équations linéaires à deux inconnues s écrit sous la forme : part, a et b d autre part ne sont pas nuls simultanément. ax by c, où a et b d une a 'x b'y c' On associe à un tel système les droites D et D d équations ax + by = c et a x + b y = c. Les équations réduites de ces droites sont a c a ' c' y x et y x. b a b' a ' Résoudre un tel système c est trouver tous les couples (x, y) vérifiant simultanément les deux équations. C est aussi trouver les coordonnées du point d intersection des droites D et D. ) Résolution Le réel D = a b ab' - a'b se nomme déterminant du système. a' b' Si D 0, le système admet un unique couple solution. Si D = 0, le système admet une infinité de solutions ou aucune solution. a) Résolution par substitution 3x y 7 Exemple : Résoudre ( S 1 ). 5x 4y 6 D=

74 D 0, le système admet un unique couple solution. On isole y dans la première équation et on remplace dans la seconde. y 7 3x y 7 3x ( S 1 ) 5x 4(7 3x) 6 17x 34 On résout la seconde équation en x et on remplace x dans la première. y 7 6 y 1 ( S 1) x x L ensemble des solutions est donc S = ;1 Vérifications possibles : on remplace dans le système de départ. on trace les deux droites et on vérifie que c est bien le point d intersection. b) Résolution par combinaison 3x 4y 1 Exemple : Résoudre ( S ). 6x 8y 0 D = Si D = 0, alors on peut transformer le système en un système ayant mêmes premiers membres. Si les seconds membres sont différents, le système n admet aucune solution. Si les seconds membres sont égaux, le système admet une infinité de couples solutions. 3x 4y 1 ( S ). 3x 4y 0 Donc S = Ø.

75 x 5y 9 Exemple : Résoudre ( S 3 ) 5. x y 4,5 5 D = x 5y 9 ( S 3 ). x 5y 9 On a une infinité de couples solutions. Citer des couples : ( ;1) marche mais (3 ;7) non!! On choisit une valeur pour x ou y et on calcule l autre en fonction de cette valeur. Donner des couples solutions ( -13 ;7), ( 7 ;-1) 9 x ( S 3 ) y. 5 9 Donc S = ; / IR. 5 Autre possibilité: 9 5y ( S 3 ) x. 9 5 S = ; / IR. x 3y 9 Exemple : Résoudre ( S 4 ). 17x 8y 3 D = Donc le système admet un unique couple solution. 16x 4y 7 ( S 4 ) 51x 4y x = 63 x = x =

76 Remplacer : mélange des deux méthodes. Ce n est pas beaucoup plus compliqué de refaire la même chose 9 surtout avec. 5 34x 51y 153 ( S 4 ) 34x 16y y = -147 y = y = Donc S ; 5 5 II Systèmes linéaires de 3 équations à 3 inconnues : la méthode du pivot de Gauss Exemple : Résoudre le système triangulaire (S) x y z 3 y z 1 z 4. 3 y z x (S) y 1z z 3 y z x y 1 1 z

77 31 x 3 y1 z Donc l ensemble solution est S={(3 ;-1 ;-)}. Exemple : Résoudre le système (S ) x 3y z 11 x y z 7. x 3y 3z 4 Première étape : Transformer le système en un système triangulaire. (S ) x 3y z 11 x y z 7 ( ) x 3y 3z 4 ( -) x 3y z 11 (S ) x y 4z 14 (L 1+L ) x 6y 6z 8 (L 1+L 3) x 3y z y 5z 5 ( - ) 5 9y 5z 3 x 3y z 11-9y 9z 45 9y 5z 3 (L +L 3) x 3y z 11-9y 9z 45-14z 4 Deuxième étape: Résoudre le système triangulaire comme ci-dessus. (S ) x 3y z 11-9y 9z 45-14z 4

78 113y z x 45 9z y 9 z x 1 y z 3 Troisième étape : Donner l ensemble des solutions. S = {(1 ; ;3)} Exercice : Résoudre le système ( S ) x y 5z 15 1 x 3y z 3. x 6y z 6

79 FONCTIONS DU SECOND DEGRE ET HOMOGRAPHIQUES I Les fonctions polynômes de degré. 1) Définition ) Variations 3) Représentation graphique 4) Ecriture sous une forme particulière II Les fonctions homographiques. 1) Définition ) Variations 3) Représentation graphique

80 GEOMETRIE DANS L ESPACE I Perspective cavalière La plupart des dessins de ce chapitre sont réalisés en perspective cavalière. C est une convention mathématique de représentation des solides sur un plan. Ce n est pas ce que nous voyons effectivement. La représentation la plus proche de notre vision est la perspective classique avec point de fuite. Règles du dessin en perspective cavalière : - Les segments cachés sont représentés en pointillés. Les segments visibles sont représentés en traits pleins. - Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. De même pour des droites sécantes. - Le milieu du segment est placé au milieu du segment dessiné. Plus généralement, il y a conservation de l alignement de points, de l ordre des points, des rapports de longueur sur un segment. Autrement dit, la perspective cavalière conserve les proportions. - Les figures dans le plan de face sont représentées en vraie grandeur (angles conservés et longueur éventuellement à l échelle) - La représentation dépend du choix d un angle et d un rapport k. Réalité d une figure de l espace et représentation dans le plan : Exemple du cube : ABCDEFGH est un cube dont la face ABFE est frontale, c est à dire parallèle au plan de la feuille de papier. La représentation dépend du choix d un angle et d un rapport k. Dans la réalité [AB] et [CG] sont des arêtes parallèles à la feuille. Sur le dessin Elles sont représentées en vraie grandeur.